Critical Angle and Total Internal Reflection Questions in Hindi

(A) कांच के प्रिज्म और पानी के बीच के इंटरफेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $\theta$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त $\sin \theta \geqslant \sin C$ है।
क्रांतिक कोण $C$ को $\sin C = \frac{1}{{}_w\mu_g}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ ${}_w\mu_g$ पानी के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक है।
दिया गया है,कांच का अपवर्तनांक $\mu_g = 1.5 = 3/2$ और पानी का अपवर्तनांक $\mu_w = 4/3$ है।
इसलिए,${}_w\mu_g = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$।
अतः,$\sin C = \frac{1}{9/8} = \frac{8}{9}$।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,आपतन कोण $\theta$ को $\sin \theta \geqslant \frac{8}{9}$ शर्त को पूरा करना चाहिए।

(D) प्रिज्म-द्रव इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $c$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
दिए गए चित्र में,किरण $i = 45^o$ के आपतन कोण पर इंटरफ़ेस से टकराती है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,हमें $i \ge c$ की आवश्यकता है,इसलिए $45^o \ge c$,या $\sin 45^o \ge \sin c$।
चूंकि $\sin c = \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{prism}}$,और यह मानते हुए कि प्रिज्म कांच का है जिसका अपवर्तनांक $\mu_{prism} \approx 1.5$ है,तो पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त $\sin 45^o \ge \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{prism}}$ है।
हालाँकि,प्रश्न द्रव के उस अधिकतम अपवर्तनांक के बारे में पूछता है जिसके लिए पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है। यह तब होता है जब $c = 45^o$ हो।
संबंध $\sin c = \frac{\mu_{liquid}}{\mu_{prism}}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\mu_{liquid} = \mu_{prism} \sin 45^o = 1.5 \times \frac{1}{\sqrt 2} \approx 1.06$ प्राप्त होता है।
कथन में दिया गया मान $\sqrt 2$ है,जो गलत है क्योंकि यह प्रिज्म के अपवर्तनांक को $2$ मानता है। ऐसे प्रश्नों के मानक संदर्भ को देखते हुए,कथन और कारण दोनों तकनीकी रूप से गलत हैं।

(C) दिया गया है: हवा के सापेक्ष हीरे का अपवर्तनांक $\mu_d = \sqrt{6}$। हवा के सापेक्ष द्रव का अपवर्तनांक $\mu_l = \sqrt{3}$।
द्रव के सापेक्ष हीरे का अपवर्तनांक $\mu = \frac{\mu_d}{\mu_l} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए। क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$C = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दिया गया आपतन कोण $i = 30^{\circ}$,क्रांतिक कोण $C = 45^{\circ}$ से कम है,इसलिए पूर्ण आंतरिक परावर्तन नहीं होगा। अतः,कथन गलत है।
कारण बताता है कि $\mu = \frac{1}{\sin C}$,जो क्रांतिक कोण के लिए सही सूत्र है,जहाँ $\mu$ विरल माध्यम के सापेक्ष सघन माध्यम का अपवर्तनांक है। अतः,कारण सही है।

(C) पानी में हवा का बुलबुला एक सघन माध्यम (पानी) और विरल माध्यम (हवा) के बीच एक गोलाकार लेंस जैसी सीमा के रूप में कार्य करता है।
जब प्रकाश की किरणें पानी से हवा के बुलबुले की ओर जाती हैं,तो वे अंतरापृष्ठ पर क्रांतिक कोण से बड़े कोण पर आपतित होती हैं।
इसके परिणामस्वरूप पूर्ण आंतरिक परावर्तन की घटना होती है,जिससे बुलबुला चमकदार या चांदी जैसा दिखाई देता है।
अपवर्तन इस घटना का मुख्य कारण नहीं है; बल्कि,यह पूर्ण आंतरिक परावर्तन है।
इसलिए,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(C) कथन सही है क्योंकि हीरे का अपवर्तनांक $(n \approx 2.42)$ बहुत अधिक होता है,जिसके परिणामस्वरूप इसका क्रांतिक कोण $(C \approx 24.4^\circ)$ बहुत छोटा होता है।
जब प्रकाश हीरे में प्रवेश करता है,तो इस छोटे क्रांतिक कोण के कारण यह बार-बार आंतरिक परावर्तन से गुजरता है,जिससे यह बहुत चमकता है।
कारण गलत है क्योंकि हीरे का चमकना सूर्य के प्रकाश के अवशोषण से संबंधित नहीं है,बल्कि यह पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ की घटना के कारण होता है।

(A) कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या प्रदान करता है।
ऑप्टिकल फाइबर में,कोर का व्यास छोटा रखा जाता है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि फाइबर में प्रवेश करने वाली प्रकाश किरणें कोर-क्लैडिंग इंटरफेस पर क्रांतिक कोण से अधिक कोण पर आपतित हों।
जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,छोटे व्यास वाले कोर के लिए,कोर-क्लैडिंग इंटरफेस पर आपतन कोण $\angle A$ अपेक्षाकृत बड़ा होता है।
बड़े व्यास वाले कोर के लिए,आपतन कोण $\angle B$ छोटा होता है।
चूंकि पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त यह है कि आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक होना चाहिए,इसलिए छोटा कोर व्यास इस संभावना को बढ़ाता है कि प्रकाश किरणें इस शर्त को पूरा करेंगी,जिससे फाइबर के माध्यम से प्रकाश का कुशल संचरण सुनिश्चित होता है।

(A) क्रांतिक कोण $\theta_c$ का सूत्र $\theta_c = \sin^{-1} \left( \frac{1}{\mu} \right)$ है।
कॉची के परिक्षेपण सूत्र के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है (दृश्य प्रकाश के लिए $\mu \propto \frac{1}{\lambda}$)।
चूंकि दृश्य प्रकाश में बैंगनी रंग की तरंगदैर्ध्य सबसे कम होती है,इसलिए बैंगनी रंग के लिए अपवर्तनांक $\mu$ का मान अधिकतम होता है।
चूंकि $\theta_c = \sin^{-1} \left( \frac{1}{\mu} \right)$,इसलिए $\mu$ का मान अधिक होने पर $\theta_c$ का मान कम हो जाता है।
अतः,बैंगनी रंग के लिए क्रांतिक कोण न्यूनतम होता है। कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण,कथन की सही व्याख्या करता है।

(A) कथन सही है क्योंकि ऑप्टिकल फाइबर का उपयोग आधुनिक दूरसंचार प्रणालियों में उच्च गति डेटा संचरण के लिए व्यापक रूप से किया जाता है।
कारण भी सही है क्योंकि ऑप्टिकल फाइबर के संचालन के पीछे का मूल सिद्धांत पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ की घटना है।
जब प्रकाश फाइबर में प्रवेश करता है,तो यह कोर-क्लैडिंग इंटरफेस पर कई बार पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है,जिससे सिग्नल तीव्रता में न्यूनतम नुकसान के साथ लंबी दूरी तक यात्रा कर सकता है।
चूंकि बिना किसी महत्वपूर्ण क्षीणन के लंबी दूरी तक सिग्नल प्रसारित करने की क्षमता सीधे $TIR$ के कारण है,इसलिए कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(D) क्रांतिक कोण $(i_c)$ को सघन माध्यम में उस आपतन कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए विरल माध्यम में अपवर्तन कोण $90^o$ होता है।
जब प्रकाश की किरण सघन माध्यम से विरल माध्यम में क्रांतिक कोण के बराबर आपतन कोण पर यात्रा करती है,तो अपवर्तित किरण दोनों माध्यमों के अंतरापृष्ठ (interface) को छूते हुए निकलती है।
इसलिए,अपवर्तन कोण $90^o$ होता है।

(D) माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$,$\mu = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ सापेक्ष विद्युतशीलता $\epsilon_r = 3$ और सापेक्ष चुंबकशीलता $\mu_r = \frac{4}{3}$ दी गई है।
इसलिए,$\mu = \sqrt{3 \times \frac{4}{3}} = \sqrt{4} = 2$ है।
क्रांतिक कोण $\theta_C$ का सूत्र $\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$ होता है।
$\mu$ का मान रखने पर,$\sin \theta_C = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta_C = 30^{\circ}$ होगा।

(A) प्रकाश स्रोत सभी दिशाओं में प्रकाश उत्सर्जित करता है,जो कुल $4\pi$ स्टेरेडियन का ठोस कोण कवर करता है।
प्रकाश पानी की सतह से तभी बाहर निकलता है यदि आपतन कोण क्रांतिक कोण $\theta_c$ से कम या उसके बराबर हो।
क्रांतिक कोण पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu \sin\theta_c = 1 \sin 90^{\circ}$,जहाँ $\mu = 4/3$.
$\sin\theta_c = 1 / (4/3) = 3/4$.
अतः,$\cos\theta_c = \sqrt{1 - \sin^2\theta_c} = \sqrt{1 - 9/16} = \sqrt{7}/4$.
बाहर निकलने वाले प्रकाश के शंकु द्वारा अंतरित ठोस कोण $\Omega = 2\pi(1 - \cos\theta_c)$ है।
$\cos\theta_c$ का मान रखने पर: $\Omega = 2\pi(1 - \sqrt{7}/4) = 2\pi(1 - 2.646/4) = 2\pi(1 - 0.6615) = 2\pi(0.3385) = 0.677\pi$.
बाहर निकलने वाले प्रकाश का अंश $\frac{\Omega}{4\pi} = \frac{0.677\pi}{4\pi} \approx 0.169$ है।
प्रतिशत में बदलने पर: $0.169 \times 100 \approx 17\%$.

(B) पानी में बल्ब की गहराई $h = 80 \; cm = 0.8 \; m$ है।
पानी का अपवर्तनांक $\mu = 1.33$ है।
प्रकाश सतह से तभी बाहर निकल सकता है यदि आपतन कोण क्रांतिक कोण $i_c$ से कम या उसके बराबर हो। क्रांतिक कोण पर अपवर्तन कोण $r = 90^{\circ}$ होता है।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\mu \sin i_c = 1 \sin 90^{\circ} \implies \sin i_c = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{1.33} \approx 0.7519$.
ज्यामिति से,सतह पर वृत्ताकार क्षेत्र की त्रिज्या $R = h \tan i_c$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\sin i_c = 0.7519$,हमें $\cos i_c = \sqrt{1 - \sin^2 i_c} = \sqrt{1 - (0.7519)^2} \approx 0.6593$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan i_c = \frac{\sin i_c}{\cos i_c} = \frac{0.7519}{0.6593} \approx 1.1404$.
त्रिज्या $R = 0.8 \times 1.1404 \approx 0.9123 \; m$.
वृत्ताकार सतह का क्षेत्रफल $A = \pi R^2 = \pi \times (0.9123)^2 \approx 3.14159 \times 0.8323 \approx 2.61 \; m^2$ है।

(N/A) कांच के फाइबर का अपवर्तनांक,$\mu_{1} = 1.68$.
पाइप के बाहरी आवरण का अपवर्तनांक,$\mu_{2} = 1.44$.
माना $i$ वायु-कोर इंटरफ़ेस पर आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
माना $i'$ कोर-क्लैडिंग इंटरफ़ेस पर आपतन कोण है।
कोर-क्लैडिंग इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,आपतन कोण $i'$ क्रांतिक कोण $i_c$ से अधिक होना चाहिए।
$\sin i_c = \frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{1.44}{1.68} \approx 0.8571$.
अतः,$i_c = \sin^{-1}(0.8571) \approx 59^{\circ}$.
$TIR$ के लिए,$i' > 59^{\circ}$.
प्रवेश बिंदु पर बने समकोण त्रिभुज में,$r = 90^{\circ} - i'$.
चूंकि $i' > 59^{\circ}$,$r < 90^{\circ} - 59^{\circ} = 31^{\circ}$.
वायु-कोर इंटरफ़ेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\frac{\sin i}{\sin r} = \mu_1 = 1.68$.
$\sin i = 1.68 \sin r$.
अधिकतम $i$ के लिए,$r = 31^{\circ}$.
$\sin i_{\max} = 1.68 \sin 31^{\circ} = 1.68 \times 0.515 = 0.8652$.
$i_{\max} = \sin^{-1}(0.8652) \approx 60^{\circ}$.
अतः,आपतन कोणों का परास $0 < i < 60^{\circ}$ है।
$(b)$ यदि बाहरी आवरण नहीं है,तो क्लैडिंग हवा है,इसलिए $\mu_2 = 1.0$.
$\sin i_c = \frac{1.0}{1.68} \approx 0.5952$.
$i_c = \sin^{-1}(0.5952) \approx 36.5^{\circ}$.
$TIR$ के लिए,$i' > 36.5^{\circ}$.
$r < 90^{\circ} - 36.5^{\circ} = 53.5^{\circ}$.
$\sin i_{\max} = 1.68 \sin 53.5^{\circ} = 1.68 \times 0.8038 \approx 1.35$.
चूंकि $\sin i$ का मान $1$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए $i_{\max} = 90^{\circ}$.
इस प्रकार,पाइप में प्रवेश करने वाली सभी किरणें $TIR$ का अनुभव करेंगी।

(N/A) जब प्रकाश एक प्रकाशीय सघन माध्यम से विरल माध्यम में इंटरफेस पर यात्रा करता है,तो यह आंशिक रूप से उसी माध्यम में वापस परावर्तित हो जाता है और आंशिक रूप से दूसरे माध्यम में अपवर्तित हो जाता है। इस परावर्तन को आंतरिक परावर्तन कहा जाता है।
जब प्रकाश की किरण सघन माध्यम से विरल माध्यम में प्रवेश करती है,तो वह अभिलंब से दूर झुक जाती है।
आकृति में,आपतित किरण $AO_{1}$ के लिए,प्रकाश आंशिक रूप से परावर्तित $(O_{1}C)$ होता है और आंशिक रूप से संचरित $(O_{1}B)$ या अपवर्तित होता है।
अपवर्तन कोण $(r)$,आपतन कोण $(i)$ से बड़ा होता है।
जैसे-जैसे आपतन कोण बढ़ता है,वैसे-वैसे अपवर्तन कोण भी बढ़ता है,जब तक कि किरण $AO_{3}$ के लिए,अपवर्तन कोण $\frac{\pi}{2}$ न हो जाए।
अपवर्तित किरण अभिलंब से इतनी दूर झुक जाती है कि वह दोनों माध्यमों के बीच के इंटरफेस पर सतह को छूती हुई निकल जाती है। इसे किरण $AO_{3}D$ द्वारा दर्शाया गया है।
वह आपतन कोण जिसके लिए अपवर्तन कोण $\frac{\pi}{2}$ हो जाता है,उसे क्रांतिक कोण '$i_{C}$' कहा जाता है।
क्रांतिक कोण पर आपतन के बाद प्राप्त विचलित किरण को क्रांतिक किरण कहा जाता है।
यदि आपतन कोण को और बढ़ाया जाता है,उदाहरण के लिए किरण $AO_{4}$ के लिए,तो अपवर्तन संभव नहीं होता है और आपतित किरण पूर्णतः परावर्तित हो जाती है। इसे पूर्ण आंतरिक परावर्तन कहा जाता है।
जब प्रकाश किसी सतह से परावर्तित होता है,तो सामान्यतः उसका कुछ अंश संचरित हो जाता है। इसलिए,परावर्तित किरण हमेशा आपतित किरण से कम तीव्र होती है,चाहे परावर्तक सतह कितनी भी चिकनी क्यों न हो। दूसरी ओर,पूर्ण आंतरिक परावर्तन में,प्रकाश का कोई संचरण नहीं होता है।

(N/A) $1$. साफ पानी से भरा एक कांच का बीकर लें। पानी में साबुन का एक छोटा टुकड़ा डालकर उसे हिलाएं ताकि वह थोड़ा धुंधला हो जाए और प्रकाश किरण का मार्ग दिखाई दे सके।
$2$. लेजर पॉइंटर का उपयोग करके धुंधले पानी से एक किरण गुजारें। पानी के अंदर किरण का मार्ग स्पष्ट रूप से चमकता हुआ दिखाई देगा।
$3$. बीकर के नीचे से किरण को इस तरह डालें कि वह पानी की ऊपरी सतह से टकराए। इस बिंदु पर,इसका आंशिक परावर्तन (नीचे मेज पर एक धब्बे के रूप में दिखाई देता है) और आंशिक अपवर्तन (छत पर एक धब्बे के रूप में दिखाई देता है) होता है,जैसा कि चित्र $(a)$ में दिखाया गया है।
$4$. अब,लेजर किरण को बीकर के एक तरफ से इस तरह निर्देशित करें कि वह पानी की ऊपरी सतह पर अधिक तिरछी टकराए,जैसा कि चित्र $(b)$ में दिखाया गया है। लेजर किरण के कोण को तब तक समायोजित करें जब तक कि पानी की सतह के ऊपर अपवर्तन पूरी तरह से गायब न हो जाए और किरण पूरी तरह से वापस पानी में परावर्तित हो जाए। यह घटना पूर्ण आंतरिक परावर्तन है।
$5$. इस पानी को एक लंबी टेस्ट ट्यूब में डालें और चित्र $(c)$ में दिखाए अनुसार ऊपर से लेजर प्रकाश डालें। लेजर किरण की दिशा को इस तरह समायोजित करें कि जब भी वह ट्यूब की दीवारों से टकराए,तो उसका पूर्ण आंतरिक परावर्तन हो। यह ऑप्टिकल फाइबर में उपयोग किए जाने वाले सिद्धांत को दर्शाता है।
नोट: लेजर किरण को सीधे न देखें और इसे किसी के चेहरे पर डालने से बचें।

(D) पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ तब होता है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है और आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक होता है।
$1$. मृगतृष्णा (मिराज): यह विभिन्न तापमान वाली हवा की परतों में प्रकाश के अपवर्तन के कारण होने वाला एक दृष्टिभ्रम है,जो $TIR$ की ओर ले जाता है।
$2$. प्रिज्म: प्रिज्म को $TIR$ का उपयोग करके प्रकाश को $90^{\circ}$ या $180^{\circ}$ पर मोड़ने के लिए पूर्ण परावर्तक प्रिज्म के रूप में डिज़ाइन किया जा सकता है।
$3$. हीरा: हीरे की चमक उसके अंदर प्रकाश के कई बार होने वाले $TIR$ के कारण होती है,क्योंकि इसका क्रांतिक कोण बहुत छोटा होता है।
$4$. ऑप्टिकल फाइबर: ये तीव्रता के महत्वपूर्ण नुकसान के बिना लंबी दूरी तक प्रकाश संकेतों को प्रसारित करने के लिए $TIR$ का उपयोग करते हैं।
अतः,दी गई सभी घटनाएं $TIR$ पर आधारित हैं।

गर्मियों के दिनों में,जमीन के पास की हवा ऊपर के स्तरों की हवा की तुलना में अधिक गर्म हो जाती है।
हवा का अपवर्तनांक (refractive index) उसके घनत्व के साथ बढ़ता है।
गर्म हवा कम घनी होती है और ठंडी हवा की तुलना में इसका अपवर्तनांक कम होता है।
यदि हवा की धाराएं कम हैं,यानी हवा स्थिर है,तो हवा की विभिन्न परतों का प्रकाशीय घनत्व ऊंचाई के साथ बढ़ता है।
परिणामस्वरूप,एक लंबी वस्तु जैसे कि पेड़ से आने वाला प्रकाश एक ऐसे माध्यम से गुजरता है जिसका अपवर्तनांक जमीन की ओर घटता जाता है। इस प्रकार,ऐसी वस्तु से आने वाली प्रकाश की किरण क्रमिक रूप से अभिलंब (normal) से दूर झुकती है और यदि जमीन के पास की हवा के लिए आपतन कोण क्रांतिक कोण (critical angle) से अधिक हो जाता है,तो यह पूर्ण आंतरिक परावर्तन (total internal reflection) से गुजरती है।
एक दूरस्थ पर्यवेक्षक को,प्रकाश जमीन के नीचे कहीं से आता हुआ प्रतीत होता है। पर्यवेक्षक स्वाभाविक रूप से मान लेता है कि प्रकाश जमीन से परावर्तित हो रहा है,शायद लंबी वस्तु के पास पानी के पूल द्वारा। दूर की लंबी वस्तुओं की ऐसी उल्टी छवियां पर्यवेक्षक के लिए एक ऑप्टिकल भ्रम पैदा करती हैं। इस घटना को मृगतृष्णा कहा जाता है।
इस प्रकार की मृगतृष्णा विशेष रूप से गर्म रेगिस्तानों में आम है।
गर्मियों के दिन में बस या कार में यात्रा करते समय,सड़क का एक दूर का हिस्सा,विशेष रूप से राजमार्ग पर,गीला दिखाई देता है। लेकिन,जब आप उस स्थान पर पहुंचते हैं तो आपको गीलेपन का कोई सबूत नहीं मिलता है। यह भी मृगतृष्णा के कारण होता है।

(B) हीरे अपनी शानदार चमक के लिए जाने जाते हैं। उनकी चमक मुख्य रूप से उनके अंदर प्रकाश के पूर्ण आंतरिक परावर्तन के कारण होती है।
हीरा-वायु इंटरफ़ेस के लिए क्रांतिक कोण $\left(\cong 24.4^{\circ}\right)$ बहुत छोटा होता है। इसलिए,एक बार जब प्रकाश हीरे में प्रवेश करता है,तो इसके अंदर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने की संभावना बहुत अधिक होती है।
$\therefore$ पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,
$\sin i_{c} = \frac{1}{n}$
$\therefore n = \frac{1}{\sin 24.4^{\circ}}$
$\therefore n = \frac{1}{0.4131}$
$\therefore n \approx 2.42$
चूंकि हीरे का अपवर्तनांक बहुत अधिक होता है,इसलिए क्रांतिक कोण बहुत छोटा होता है,जो प्रकाश को अंदर फंसने और बार-बार परावर्तित होने की अनुमति देता है,जिसके परिणामस्वरूप इसकी विशिष्ट चमक दिखाई देती है।

(N/A) प्रकाश को $90^{\circ}$ या $180^{\circ}$ पर मोड़ने के लिए डिज़ाइन किए गए प्रिज्म पूर्ण आंतरिक परावर्तन की घटना का उपयोग करते हैं,जैसा कि चित्र $(a)$ और $(b)$ में दिखाया गया है।
इन मामलों में,प्रिज्म की सतह पर आपतन कोण $45^{\circ}$ होता है। पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,प्रिज्म के पदार्थ के लिए क्रांतिक कोण $i_{c}$ का मान $45^{\circ}$ से कम होना चाहिए।
ऐसे प्रिज्म का उपयोग चित्र $(c)$ में दिखाए अनुसार,प्रतिबिंब के आकार को बदले बिना उसे उल्टा करने के लिए भी किया जाता है।

(N/A) सिद्धांत: ऑप्टिकल फाइबर पूर्ण आंतरिक परावर्तन की घटना पर आधारित होते हैं।
निर्माण: ऑप्टिकल फाइबर उच्च गुणवत्ता वाले मिश्रित कांच या क्वार्ट्ज फाइबर से बनाए जाते हैं। प्रत्येक फाइबर में एक केंद्रीय कोर होता है जो क्लैडिंग से घिरा होता है। कोर के पदार्थ का अपवर्तनांक क्लैडिंग की तुलना में अधिक होता है।
कार्यप्रणाली: जब प्रकाश के रूप में एक सिग्नल को फाइबर के एक सिरे पर उपयुक्त कोण पर निर्देशित किया जाता है,तो यह फाइबर की लंबाई के साथ बार-बार पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है और अंततः दूसरे सिरे से बाहर निकल जाता है।
चूंकि प्रकाश प्रत्येक चरण में पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है,इसलिए प्रकाश सिग्नल की तीव्रता में कोई उल्लेखनीय नुकसान नहीं होता है। ऑप्टिकल फाइबर को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि आंतरिक सतह के एक तरफ परावर्तित प्रकाश दूसरी तरफ क्रांतिक कोण से बड़े कोण पर टकराए। यदि फाइबर मुड़ा हुआ भी हो,तो भी प्रकाश आसानी से इसकी लंबाई के साथ यात्रा कर सकता है। इस प्रकार,एक ऑप्टिकल फाइबर एक ऑप्टिकल पाइप के रूप में कार्य करता है।
अनुप्रयोग: ऑप्टिकल फाइबर के एक बंडल का उपयोग कई उद्देश्यों के लिए किया जा सकता है। जो उपकरण ऊर्जा के एक रूप को दूसरे रूप में परिवर्तित करता है,उसे ट्रांसड्यूसर कहा जाता है। ऑप्टिकल फाइबर का व्यापक रूप से विद्युत संकेतों को प्रसारित और प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है,जिन्हें उपयुक्त ट्रांसड्यूसर द्वारा प्रकाश में परिवर्तित किया जाता है। इनका उपयोग अन्नप्रणाली,पेट और आंतों जैसे आंतरिक अंगों की दृश्य जांच की सुविधा के लिए 'लाइट पाइप' के रूप में भी किया जाता है। इसके अतिरिक्त,इनका उपयोग सजावटी लैंप में किया जाता है जहाँ प्रकाश प्रत्येक फाइबर के निचले हिस्से से यात्रा करता है और सिरे पर प्रकाश के एक बिंदु के रूप में दिखाई देता है।

(N/A) पूर्ण आंतरिक परावर्तन तब होता है जब निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं:
$1$. प्रकाश को सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाना चाहिए।
$2$. सघन माध्यम में आपतन कोण $(i)$ का मान माध्यमों के उस युग्म के लिए क्रांतिक कोण $(c)$ से अधिक होना चाहिए $(i > c)$।

(N/A) पूर्ण आंतरिक परावर्तन वह घटना है जिसमें सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाने वाली प्रकाश की किरण,जब आपतन कोण का मान माध्यमों के उस युग्म के लिए क्रांतिक कोण से अधिक हो जाता है,तो उसी सघन माध्यम में वापस परावर्तित हो जाती है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्तें:
$1$. प्रकाश को प्रकाशीय सघन माध्यम से प्रकाशीय विरल माध्यम में जाना चाहिए।
$2$. आपतन कोण $(i)$ का मान दिए गए माध्यमों के युग्म के लिए क्रांतिक कोण $(C)$ से अधिक होना चाहिए।

(N/A) क्रांतिक कोण को सघन माध्यम में उस आपतन कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए विरल माध्यम में अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ होता है।
जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है,तो जैसे-जैसे आपतन कोण बढ़ता है,अपवर्तन कोण भी बढ़ता जाता है।
आपतन कोण के एक विशिष्ट मान पर,अपवर्तित किरण दोनों माध्यमों के अंतरापृष्ठ (interface) के साथ-साथ चलती है,जिससे अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ हो जाता है। आपतन कोण के इस विशिष्ट मान को क्रांतिक कोण ($C$ या $i_c$) कहा जाता है।

(A) ऑप्टिकल फाइबर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ के सिद्धांत पर कार्य करता है।
$TIR$ होने के लिए, प्रकाश को सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाना चाहिए।
इसलिए, कोर का अपवर्तनांक $(\mu_1)$ क्लैडिंग के अपवर्तनांक $(\mu_2)$ से अधिक होना चाहिए, अर्थात $\mu_1 > \mu_2$।

(N/A) ऑप्टिकल फाइबर का चिकित्सा क्षेत्र में एंडोस्कोपी नामक तकनीक के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
$1$. एंडोस्कोप एक चिकित्सा उपकरण है जो ऑप्टिकल फाइबर के बंडल से बना होता है,जिसे आंतरिक अंगों को देखने के लिए शरीर में डाला जा सकता है।
$2$. इसके पीछे का सिद्धांत $Total Internal Reflection$ $(TIR)$ यानी पूर्ण आंतरिक परावर्तन है।
$3$. फाइबर का एक बंडल आंतरिक क्षेत्र को रोशन करने के लिए शरीर के अंदर प्रकाश ले जाता है,जबकि दूसरा बंडल परावर्तित प्रकाश को डॉक्टर के आईपीस या कैमरे तक वापस भेजता है।
$4$. यह डॉक्टरों को बड़े चीरे लगाए बिना पेट,आंतों या फेफड़ों जैसी आंतरिक संरचनाओं की जांच करने और न्यूनतम इनवेसिव सर्जरी करने की अनुमति देता है।

(D) मान लीजिए कि दी गई डिस्क का आवश्यक न्यूनतम व्यास $d$ है। बिंदुवत वस्तु $O$ से निकलने वाली और अंदर से पानी की सतह पर आपतित होने वाली प्रकाश किरणों के लिए,यदि आपतन कोण $i \geq C$ है,तो पानी के बाहर से अवलोकन करने वाले प्रेक्षक को वस्तु $O$ दिखाई नहीं देगी (जहाँ $C$ पानी से हवा के लिए क्रांतिक कोण है)।
मान लीजिए कि चित्र में कोण $i$,$C$ के बराबर है।
क्रांतिक कोण के सूत्र के अनुसार:
$\sin C = \frac{1}{\mu}$
चूँकि $i = C$,इसलिए $\sin i = \frac{1}{\mu}$।
चित्र की ज्यामिति से:
$\tan i = \frac{d/2}{h}$
$\therefore \frac{d}{2} = h \tan i$
$\therefore d = 2h \tan i$ ... $(1)$
अब,चूँकि $\sin i = \frac{1}{\mu}$,हम $\cos i$ ज्ञात करते हैं:
$\cos i = \sqrt{1 - \sin^2 i} = \sqrt{1 - \frac{1}{\mu^2}} = \frac{\sqrt{\mu^2 - 1}}{\mu}$
अतः,$\tan i = \frac{\sin i}{\cos i} = \frac{1/\mu}{\sqrt{\mu^2 - 1}/\mu} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$।
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$d = \frac{2h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार,मान लीजिए कि एक प्रकाश किरण $\overrightarrow{PQ}$ एक सघन पारदर्शी माध्यम की सतह $AB$ पर $i$ आपतन कोण पर आपतित होती है। अपवर्तन के बाद,किरण $\overrightarrow{QR}$ विरल माध्यम की सतह $AC$ पर बिंदु $R$ पर $\phi$ आपतन कोण पर आपतित होती है। प्रकाश के बाहर निकले बिना निर्देशित होने के लिए,इसे प्रत्येक इंटरफ़ेस पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ से गुजरना होगा। अतः,हमें $\phi \geq C$ की आवश्यकता है,जहाँ $C$ क्रांतिक कोण है।
ज्यामिति से,$\phi + r = 90^{\circ}$,इसलिए $\phi = 90^{\circ} - r$.
$TIR$ के लिए शर्त $\phi \geq C$ है,जिसका अर्थ है $\sin \phi \geq \sin C$.
$\phi = 90^{\circ} - r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin(90^{\circ} - r) \geq \sin C$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\cos r \geq \frac{1}{\mu}$ हो जाता है (चूंकि $\sin C = \frac{1}{\mu}$)।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\cos^2 r \geq \frac{1}{\mu^2}$,या $1 - \sin^2 r \geq \frac{1}{\mu^2}$.
बिंदु $Q$ पर स्नेल के नियम से,$\sin i = \mu \sin r$,इसलिए $\sin r = \frac{\sin i}{\mu}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$1 - \frac{\sin^2 i}{\mu^2} \geq \frac{1}{\mu^2}$.
$\mu^2$ से गुणा करने पर,हमें $\mu^2 - \sin^2 i \geq 1$,या $\mu^2 \geq 1 + \sin^2 i$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^2 i$ का अधिकतम मान $1$ है ($i = 90^{\circ}$ पर),यह शर्त सभी $i$ के लिए मान्य होनी चाहिए,इसलिए $\mu^2 \geq 1 + 1 = 2$,जिसका अर्थ है $\mu \geq \sqrt{2}$.
अतः,$\mu \geq \sqrt{2}$ के लिए,प्रकाश हमेशा $TIR$ का अनुभव करेगा और माध्यम के भीतर निर्देशित होगा।

(C) क्रांतिक कोण $C$ और अपवर्तनांक $\mu$ के बीच का संबंध $\sin C = \frac{1}{\mu}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $C = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\mu}$।
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\mu}$,जिसका अर्थ है कि $\mu = \sqrt{2}$।
माध्यम में प्रकाश का वेग $v$ और निर्वात में प्रकाश की गति $c$ के बीच का संबंध $v = \frac{c}{\mu}$ है।
मान रखने पर,$v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{2}} \; m/s$ प्राप्त होता है।

(B) यह मानते हुए कि समकोण प्रिज्म एक समद्विबाहु प्रिज्म है,अन्य दो कोण प्रत्येक $45^{\circ}$ के हैं।
$\Rightarrow$ प्रत्येक आपतित किरण फलक $PR$ पर $45^{\circ}$ के आपतन कोण पर टकराती है।
$\Rightarrow$ एक किरण फलक $PR$ से तभी बाहर निकलेगी यदि आपतन कोण $i$,उस विशिष्ट तरंगदैर्ध्य के लिए क्रांतिक कोण $\theta_{C}$ से कम हो।
$\Rightarrow$ क्रांतिक कोण का सूत्र $\theta_{C} = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$ है।
$\Rightarrow$ लाल किरण के लिए: $\mu_{R} = 1.27$. $\theta_{C,R} = \sin^{-1}\left(\frac{1}{1.27}\right) \approx 51.94^{\circ}$. चूँकि $45^{\circ} < 51.94^{\circ}$,लाल किरण बाहर निकल जाएगी।
$\Rightarrow$ हरी किरण के लिए: $\mu_{G} = 1.42$. $\theta_{C,G} = \sin^{-1}\left(\frac{1}{1.42}\right) \approx 44.76^{\circ}$. चूँकि $45^{\circ} > 44.76^{\circ}$,हरी किरण पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करेगी और बाहर नहीं निकलेगी।
$\Rightarrow$ नीली किरण के लिए: $\mu_{B} = 1.49$. $\theta_{C,B} = \sin^{-1}\left(\frac{1}{1.49}\right) \approx 42.15^{\circ}$. चूँकि $45^{\circ} > 42.15^{\circ}$,नीली किरण पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करेगी और बाहर नहीं निकलेगी।
$\Rightarrow$ इसलिए,केवल लाल किरण ही फलक $PR$ से बाहर निकलेगी।

(A) परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण $i$,परावर्तन कोण $r$ के बराबर होता है,इसलिए $r = i$ है।
परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के साथ $90^{\circ}$ का कोण बनाती हैं। चूँकि एक सीधी रेखा पर बने कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $r + 90^{\circ} + r^{\prime} = 180^{\circ}$ होगा।
$r = i$ रखने पर,हमें $i + 90^{\circ} + r^{\prime} = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $r^{\prime} = 90^{\circ} - i$ है।
अंतरापृष्ठ (interface) पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर,$n_1 \sin i = n_2 \sin r^{\prime}$,जहाँ $n_1$ सघन माध्यम का अपवर्तनांक है और $n_2$ विरल माध्यम का अपवर्तनांक है।
$r^{\prime} = 90^{\circ} - i$ रखने पर,हमें $n_1 \sin i = n_2 \sin(90^{\circ} - i) = n_2 \cos i$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{n_2}{n_1} = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$ है।
क्रांतिक कोण $C$ को $\sin C = \frac{n_2}{n_1}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
चूँकि $\frac{n_2}{n_1} = \tan i$ और $i = r$ है,इसलिए $\sin C = \tan r$ होगा।
अतः,$C = \sin^{-1}(\tan r)$।

(C) हीरा-वायु इंटरफेस के लिए क्रांतिक कोण $\theta_{C}$ का मान $\sin \theta_{C} = \frac{n_{air}}{n_{diamond}} = \frac{1}{2.42} \approx 0.4132$ द्वारा दिया जाता है।
क्रांतिक कोण की गणना करने पर: $\theta_{C} = \arcsin(0.4132) \approx 24.41^{\circ}$ प्राप्त होता है।
यहाँ आपतन कोण $\theta_{i} = 30^{\circ}$ है।
चूंकि $\theta_{i} > \theta_{C}$ $(30^{\circ} > 24.41^{\circ})$,इसलिए पूर्ण आंतरिक परावर्तन की शर्त पूरी होती है।
अतः,प्रकाश किरण का पूर्ण आंतरिक परावर्तन होगा और यह हवा में अपवर्तित नहीं होगी।

(B) बिंदु $B$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,आपतन कोण $\theta^{\prime \prime}$ क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। बिंदु $B$ पर ग्रेजिंग इमर्जेंस (सतह के समानांतर निर्गमन) के लिए शर्त $\sin \theta^{\prime \prime} = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$ है।
त्रिभुज की ज्यामिति से,हमारे पास $\theta^{\prime} = 90^{\circ} - \theta^{\prime \prime}$ है।
ऊपरी सतह पर बिंदु $A$ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$1 \times \sin \theta = \mu \times \sin \theta^{\prime}$
$\sin \theta = \frac{4}{3} \times \sin(90^{\circ} - \theta^{\prime \prime})$
$\sin \theta = \frac{4}{3} \times \cos \theta^{\prime \prime}$
चूंकि $\sin \theta^{\prime \prime} = \frac{3}{4}$,इसलिए $\cos \theta^{\prime \prime} = \sqrt{1 - \sin^2 \theta^{\prime \prime}} = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \sqrt{1 - 9/16} = \sqrt{7/16} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $\sin \theta$ के समीकरण में रखने पर:
$\sin \theta = \frac{4}{3} \times \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{3}$
$\theta = \sin ^{-1} \left( \frac{\sqrt{7}}{3} \right)$।

(B) विधि $(i)$:
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$।
यहाँ $n_1 = 1$ (वायु),$n_2 = \sqrt{3}$ (कांच),और $i = 60^{\circ}$ दिया गया है।
$1 \cdot \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \cdot \sin r$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin r$
$\sin r = \frac{1}{2} \implies r = 30^{\circ}$।
परावर्तित किरण और अभिलंब के बीच का कोण $i = 60^{\circ}$ है।
अपवर्तित किरण और अभिलंब के बीच का कोण $r = 30^{\circ}$ है।
परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण के बीच का कोण $180^{\circ} - (i + r) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ होगा।
विधि $(ii)$:
चूंकि आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ ब्रूस्टर कोण की शर्त को पूरा करता है,जहाँ $\tan i_p = \mu = \sqrt{3}$,इसका अर्थ है $i_p = 60^{\circ}$।
ब्रूस्टर कोण पर,परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।

(A) अपवर्तनांक $\mu$ माध्यम में प्रकाश की गति $v$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे $\mu = \frac{c}{v}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाने वाले प्रकाश के लिए क्रांतिक कोण $i_c$ का सूत्र $\sin i_c = \frac{\mu_R}{\mu_D}$ है,जहाँ $\mu_R$ विरल माध्यम का अपवर्तनांक है और $\mu_D$ सघन माध्यम का अपवर्तनांक है।
चूंकि $\mu \propto \frac{1}{v}$,इसलिए $\frac{\mu_R}{\mu_D} = \frac{v_D}{v_R}$ होता है।
यहाँ $v_A = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ और $v_B = 2.0 \times 10^8 \ m/s$ दिया गया है,इसलिए माध्यम $A$ सघन माध्यम $(D)$ है और माध्यम $B$ विरल माध्यम $(R)$ है।
अतः,$\sin i_c = \frac{v_A}{v_B} = \frac{1.5 \times 10^8}{2.0 \times 10^8} = \frac{1.5}{2.0} = \frac{3}{4} = 0.750$.
इस प्रकार,$i_c = \sin^{-1}(0.750)$।

(D) पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $\theta_{C}$ से अधिक होना चाहिए।
माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए माध्यम के लिए: $\mu_{D} = \sqrt{1 \times 4} = 2$.
हवा के लिए: $\mu_{R} = 1$.
क्रांतिक कोण $\theta_{C}$ को $\sin \theta_{C} = \frac{\mu_{R}}{\mu_{D}} = \frac{1}{2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,$\theta_{C} = 30^{\circ}$.
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,$i > \theta_{C}$,जिसका अर्थ है $i > 30^{\circ}$।
दिए गए विकल्पों में से,$60^{\circ}$ ही एकमात्र ऐसा मान है जो $30^{\circ}$ से अधिक है और पूर्ण आंतरिक परावर्तन की स्थिति को संतुष्ट करता है।

(C) माना $C$ क्रांतिक कोण (critical angle) है।
समस्या की ज्यामिति से,पानी की सतह पर वृत्ताकार क्षेत्रफल की त्रिज्या $r$,$\tan C = \frac{r}{h}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h = \sqrt{7} \; m$ है।
अतः,$r = h \tan C$.
हम जानते हैं कि $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan C = \frac{\sin C}{\sqrt{1 - \sin^2 C}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan C = \frac{3/4}{\sqrt{1 - (3/4)^2}} = \frac{3/4}{\sqrt{1 - 9/16}} = \frac{3/4}{\sqrt{7/16}} = \frac{3/4}{\sqrt{7}/4} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
मान रखने पर,$r = \sqrt{7} \times \frac{3}{\sqrt{7}} = 3 \; m$.
सतह का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (3)^2 = 9 \pi \; m^2$ है।
इसकी तुलना $x \pi \; m^2$ से करने पर,हमें $x = 9$ प्राप्त होता है।

(D) माध्यम $B$ में प्रकाश की गति $(v_B)$ $1.5 \times 10^{10} \, cm/s$ है और माध्यम $A$ में $(v_A)$ $2.0 \times 10^{10} \, cm/s$ है।
चूंकि $v_B < v_A$,माध्यम $B$ माध्यम $A$ की तुलना में सघन है।
सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाने वाले प्रकाश के लिए क्रांतिक कोण $i_c$ का सूत्र $\sin i_c = \frac{n_r}{n_d} = \frac{v_d}{v_r}$ है।
यहाँ,$v_d = v_B = 1.5 \times 10^{10} \, cm/s$ और $v_r = v_A = 2.0 \times 10^{10} \, cm/s$ है।
$\sin i_c = \frac{1.5 \times 10^{10}}{2.0 \times 10^{10}} = \frac{1.5}{2.0} = \frac{3}{4}$ है।
इसलिए,$i_c = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,आपतन कोण $\theta$ का मान क्रांतिक कोण $i_c$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,$\theta > \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

(A) माध्यम में प्रकाश की गति $V = \frac{c}{n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $n$ अपवर्तनांक है।
चूंकि $n = \frac{c}{V}$,अपवर्तनांक प्रकाश की गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,प्रकाश को सघन माध्यम $(M_{1})$ से विरल माध्यम $(M_{2})$ में जाना चाहिए।
क्रांतिक कोण $i_{c}$ के लिए शर्त $n_{1} \sin i_{c} = n_{2} \sin 90^{\circ}$ है।
अतः,$\sin i_{c} = \frac{n_{2}}{n_{1}} = \frac{V_{1}}{V_{2}}$.
यहाँ $V_{1} = 1.5 \times 10^{8} \text{ m/s}$ और $V_{2} = 2.0 \times 10^{8} \text{ m/s}$ दिया गया है।
$\sin i_{c} = \frac{1.5 \times 10^{8}}{2.0 \times 10^{8}} = \frac{1.5}{2.0} = \frac{3}{4}$.
यदि $\sin i_{c} = \frac{3}{4}$ है,तो सम्मुख भुजा $3$ और कर्ण $4$ है।
आसन्न भुजा $\sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$ होगी।
इसलिए,$\tan i_{c} = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
अतः,$i_{c} = \tan^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)$.

(A) दिया गया है,$n_{L}=C_{A} n_{A}+(1-C_{A}) n_{B}$.
यहाँ,$n_{A}=1.5$ और $n_{B}=1.3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n_{L} = C_{A}(1.5) + (1-C_{A})(1.3) = 1.3 + 0.2 C_{A}$.
क्रांतिक कोण $\theta_{C}$ के लिए प्रिज्म-तरल इंटरफ़ेस पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर:
$n_{p} \sin \theta_{C} = n_{L} \sin 90^{\circ}$.
चूंकि $n_{p} = 1.5$,हमारे पास है:
$\sin \theta_{C} = \frac{n_{L}}{1.5} = \frac{1.3 + 0.2 C_{A}}{1.5}$.
$\theta_{C} = \sin^{-1} \left( \frac{1.3 + 0.2 C_{A}}{1.5} \right)$.
जब $C_{A} = 0$ है,तो $\theta_{C} = \sin^{-1} \left( \frac{1.3}{1.5} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{13}{15} \right) \approx 60^{\circ}$.
जब $C_{A} = 1$ है,तो $\theta_{C} = \sin^{-1} \left( \frac{1.5}{1.5} \right) = \sin^{-1}(1) = 90^{\circ}$.
जैसे-जैसे $C_{A}$ का मान $0$ से $1$ तक बढ़ता है,$\theta_{C}$ का मान $60^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है। फलन $\theta_{C} = \sin^{-1}(f(C_{A}))$ एक अरेखीय वर्धमान फलन है। ग्राफ $(A)$ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) स्नेल के नियम के अनुसार,$n_{1} \sin \theta_{1} = n_{2} \sin \theta_{2}$।
जब $\theta_{1} = \theta_{C}$ होता है,तो अपवर्तन कोण $\theta_{2} = 90^{\circ}$ होता है,इसलिए $\sin \theta_{2} = 1$ और $\cos \theta_{2} = \sqrt{1 - \sin^{2} \theta_{2}} = 0$। अतः,विकल्प $(c)$ सत्य है।
जब $\theta_{1} > \theta_{C}$ होता है,तो $\sin \theta_{2} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \sin \theta_{1} > 1$ होता है। चूंकि $\sin \theta_{2} > 1$ है,इसलिए $\cos \theta_{2} = \sqrt{1 - \sin^{2} \theta_{2}}$ काल्पनिक हो जाता है। अतः,विकल्प $(b)$ सत्य है।
आपतन कोण $\theta_{1}$ के किसी भी मान के लिए,परावर्तित किरण परावर्तन के नियम का पालन करती है,इसलिए $\theta_{1} = \theta_{3}$। अतः,विकल्प $(a)$ सत्य है।
विकल्प $(d)$ के संबंध में,$\theta_{3}$ परावर्तन कोण है,जो हमेशा वास्तविक होता है और $\theta_{1}$ के बराबर होता है। इसलिए,$\cos \theta_{3}$ हमेशा वास्तविक होता है,जिससे यह स्पष्ट होता है कि विकल्प $(d)$ में दिया गया कथन असत्य है।

(B) परावैद्युत स्लैब $x=0, x=a$ और $y=0, y=b$ समतलों द्वारा परिबद्ध है। $y=0$ पर $\theta$ कोण पर आपतित प्रकाश की किरण परावैद्युत में अभिलंब के साथ $r$ कोण पर अपवर्तित होती है।
किरण के $y=b$ तक पहुँचने के लिए,इसे $x=a$ सीमा पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ से गुजरना होगा। $x=a$ सीमा पर आपतन कोण $(90^{\circ}-r)$ है।
$x=a$ पर $TIR$ होने के लिए,आपतन कोण क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए,जहाँ $\sin C = 1/n$ है। अतः,$\sin(90^{\circ}-r) \geq 1/n$,जो सरल होकर $\cos r \geq 1/n$ या $n \geq 1/\cos r$ हो जाता है।
$y=0$ सीमा पर स्नेल के नियम के अनुसार,$n = \sin \theta / \sin r$ है। चूंकि $\theta$ का मान $0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक हो सकता है,इसलिए सीमांत स्थिति $\theta = 90^{\circ}$ पर प्राप्त होती है,जिससे $n = 1/\sin r$ या $\sin r = 1/n$ मिलता है।
सर्वसमिका $\sin^2 r + \cos^2 r = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $(1/n)^2 + (1/n)^2 = 1$ प्राप्त होता है,जो $2/n^2 = 1$ या $n^2 = 2$ की ओर ले जाता है। अतः,न्यूनतम अपवर्तनांक $n = \sqrt{2}$ है।

(D) माना आपतन कोण $i$ है और अपवर्तन कोण $r$ है। पहली सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार:
$\frac{\sin i}{\sin r} = \mu = \sqrt{3} \implies \sin i = \sqrt{3} \sin r \quad \dots(1)$
गोले के केंद्र और अपवर्तन/परावर्तन के दो बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है क्योंकि दो भुजाएँ गोले की त्रिज्या हैं। पहली सतह पर विचलन कोण $(i - r)$ है। दूसरी सतह पर परावर्तन कोण भी $r$ है।
चूंकि आपतित किरण निर्गत किरण के समानांतर है,इसलिए कुल विचलन $\delta = 180^{\circ}$ होना चाहिए।
पहले अपवर्तन पर विचलन $(i - r)$ है।
आंतरिक परावर्तन पर विचलन $(180^{\circ} - 2r)$ है।
दूसरे अपवर्तन पर विचलन $(i - r)$ है।
कुल विचलन $\delta = (i - r) + (180^{\circ} - 2r) + (i - r) = 180^{\circ}$.
$2i - 4r + 180^{\circ} = 180^{\circ} \implies 2i = 4r \implies i = 2r$.
समीकरण $(1)$ में $i = 2r$ रखने पर:
$\sin(2r) = \sqrt{3} \sin r$
$2 \sin r \cos r = \sqrt{3} \sin r$
चूंकि $\sin r \neq 0$,इसलिए $\cos r = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$r = 30^{\circ}$.
चूंकि $i = 2r$,इसलिए $i = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
अतः,आपतन कोण $60^{\circ}$ है।

(A) मान लीजिए $R$ उस गोलाकार क्षेत्र की त्रिज्या है जिसके माध्यम से बाहर की वस्तुएं दिखाई देती हैं।
मान लीजिए $\theta$ जल-वायु इंटरफ़ेस के लिए क्रांतिक कोण है।
अतः,$\sin \theta = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
अब,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}$.
$\sin \theta$ का मान रखने पर:
$\tan \theta = \frac{3/4}{\sqrt{1 - (3/4)^2}} = \frac{3/4}{\sqrt{1 - 9/16}} = \frac{3/4}{\sqrt{7/16}} = \frac{3/4}{\sqrt{7}/4} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
प्रश्न की ज्यामिति के अनुसार,गोताखोर की आँखें तल से $h$ ऊंचाई पर हैं,इसलिए पानी की सतह से दूरी $(H-h)$ है।
इस प्रकार,$\tan \theta = \frac{R}{H-h}$.
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{R}{H-h} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
अतः,$R = \frac{3(H-h)}{\sqrt{7}}$.

(B) प्रकाश किरण के पदार्थ से होकर गुजरने के लिए,अंतरापृष्ठ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन नहीं होना चाहिए। इसके लिए क्रांतिक कोण की शर्त का पालन होना आवश्यक है।
स्नेल के नियम के अनुसार,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$। पूर्ण आंतरिक परावर्तन की सीमांत स्थिति के लिए,अपवर्तन कोण $r = 90^{\circ}$ लिया जाता है।
यहाँ,कांच का अपवर्तनांक $n_1 = 1.5$ है और पदार्थ का न्यूनतम अपवर्तनांक $n_2 = 1.2$ है।
अतः,$\sin i_{\max} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.2}{1.5} = 0.8$।
इसलिए,$i_{\max} = \sin^{-1}(0.8) = 53.1^{\circ}$।

(B) प्रकाश स्रोत को ऊपर से अदृश्य बनाने के लिए,स्रोत से निकलने वाली प्रकाश किरणों को पानी-हवा के अंतरापृष्ठ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करना चाहिए।
मान लीजिए $r$ अपारदर्शी डिस्क की त्रिज्या है। डिस्क के किनारे तक पहुँचने वाली प्रकाश किरणों को सतह पर क्रांतिक कोण $i_c$ के बराबर कोण पर आपतित होना चाहिए।
समस्या की ज्यामिति से,$\tan i_c = \frac{r}{h}$ है।
हम जानते हैं कि पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,$\sin i_c = \frac{1}{\mu}$ होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan i_c = \frac{\sin i_c}{\sqrt{1-\sin^2 i_c}}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\tan i_c = \frac{1/\mu}{\sqrt{1-(1/\mu)^2}} = \frac{1/\mu}{\sqrt{(\mu^2-1)/\mu^2}} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2-1}}$।
$\tan i_c$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{r}{h} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2-1}}$
अतः,$r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2-1}}$।

(D) सही विकल्प $(D)$ है।
$1$. पहले इंटरफ़ेस (माध्यम $1$ और माध्यम $2$ के बीच) पर,प्रकाश की किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। स्नेल के नियम के अनुसार,जब कोई किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है,तो वह विरल माध्यम से सघन माध्यम में यात्रा करती है। इसलिए,$\mu_2 > \mu_1$ है।
$2$. दूसरे इंटरफ़ेस (माध्यम $2$ और माध्यम $3$ के बीच) पर,प्रकाश की किरण पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है,क्योंकि तीसरे माध्यम में कोई प्रकाश प्रवेश नहीं करता है। पूर्ण आंतरिक परावर्तन केवल तब होता है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है। इसलिए,$\mu_2 > \mu_3$ है।
$3$. चूंकि दूसरे इंटरफ़ेस पर प्रकाश का पूर्ण आंतरिक परावर्तन हो रहा है,इसलिए आपतन कोण माध्यमों की जोड़ी $(2, 3)$ के लिए क्रांतिक कोण से अधिक होना चाहिए। यह दर्शाता है कि माध्यम $2$,माध्यम $3$ की तुलना में प्रकाशिक रूप से सघन है। इन अवलोकनों को मिलाने पर,हमें $\mu_2 > \mu_1$ और $\mu_2 > \mu_3$ प्राप्त होता है। इसके अलावा,चूंकि किरण पहले इंटरफ़ेस पर अभिलंब की ओर मुड़ती है और दूसरे पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरती है,पथ की ज्यामिति को संतुष्ट करने के लिए अपवर्तनांक $\mu_1$ का मान $\mu_3$ से अधिक होना चाहिए। अतः,सही क्रम $\mu_3 < \mu_1 < \mu_2$ है।

(A) प्राथमिक इंद्रधनुष के निर्माण में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:
$1$. जब सूर्य का प्रकाश एक गोलाकार पानी की बूंद में प्रवेश करता है,तो यह अपवर्तन और विक्षेपण से गुजरता है।
$2$. इसके बाद प्रकाश बूंद की आंतरिक सतह से टकराता है और पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है।
$3$. अंत में,प्रकाश बूंद से बाहर निकलता है,जहाँ पानी से हवा में प्रवेश करते समय यह फिर से अपवर्तन का अनुभव करता है।
इसलिए,प्रक्रियाओं का सही क्रम है: अपवर्तन,पूर्ण आंतरिक परावर्तन और अपवर्तन।
यह विकल्प $(A)$ के अनुरूप है।

(C) प्रिज्म समद्विबाहु है और $\angle Q = 120^{\circ}$ है। चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle P = \angle R = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}$ है।
किरणें फलक $PQ$ पर लंबवत आपतित होती हैं,इसलिए वे बिना किसी विचलन के प्रिज्म में प्रवेश करती हैं और फलक $PR$ पर $i = 30^{\circ}$ के आपतन कोण पर टकराती हैं।
किसी किरण के फलक $PR$ से बाहर निकलने के लिए,उसे अपवर्तन की शर्त $n \sin i < 1$ (जहाँ $n$ प्रिज्म का अपवर्तनांक है) को पूरा करना होगा।
यदि $n \sin i \geq 1$ है,तो फलक $PR$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है।
यहाँ,$i = 30^{\circ}$ है,इसलिए $\sin i = 0.5$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त $n \times 0.5 \geq 1$ है,जिसका अर्थ है कि $n \geq 2$ होना चाहिए।
किरण $1$ $(n=1.85)$ और $2$ $(n=1.95)$ के लिए,$n < 2$ है,इसलिए वे फलक $PR$ से अपवर्तित होकर बाहर निकलती हैं।
किरण $3$ $(n=2.05)$ और $4$ $(n=2.15)$ के लिए,$n > 2$ है,इसलिए वे फलक $PR$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती हैं और फलक $QR$ की ओर निर्देशित होती हैं।
चूंकि इन परावर्तित किरणों के लिए फलक $QR$ पर आपतन कोण क्रांतिक कोण से कम है,इसलिए किरण $3$ और $4$ फलक $QR$ से बाहर निकलती हैं।

(C) प्रकाश किरण पानी की सतह से तभी बाहर निकलेगी जब आपतन कोण $i$, क्रांतिक कोण $i_c$ से कम या उसके बराबर हो।
पानी-हवा इंटरफ़ेस के लिए क्रांतिक कोण $i_c$ इस प्रकार है:
$\sin i_c = \frac{1}{n} = \frac{1}{1.33} \approx 0.7519$
$i_c = \sin^{-1}(0.7519) \approx 48.75^{\circ}$
लेजर एक ऊर्ध्वाधर तल में घूमता है। जब ऊर्ध्वाधर के साथ इसका कोण $-i_c$ और $+i_c$ के बीच होता है, तो यह पानी की सतह से बाहर प्रकाश उत्सर्जित करेगा। इस प्रकार, कुल कोणीय सीमा जिसके लिए प्रकाश बाहर निकलता है, $2i_c$ है।
लेजर की कोणीय गति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60} \, \text{rad/s}$ है।
वह समय $t$ जिसके लिए प्रकाश बाहर निकलता है, इस प्रकार है:
$t = \frac{\text{कोणीय सीमा}}{\omega} = \frac{2i_c}{\omega}$
$i_c$ को रेडियन में बदलने पर:
$i_c = 48.75^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} \approx 0.8508 \, \text{rad}$
$t = \frac{2 \times 0.8508}{\frac{2\pi}{60}} = \frac{0.8508 \times 60}{\pi} \approx 16.25 \, s$.
दिए गए समाधान के अनुसार $i_c \approx 50^{\circ}$ का उपयोग करते हुए:
$t = \frac{2 \times 50}{360} \times 60 = \frac{100}{6} = 16.67 \, s$.

(A) जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,आपतन कोण $i = 90^\circ - \theta$ घटता है।
प्रारंभ में,छोटे $\theta$ के लिए,आपतन कोण $i$ क्रांतिक कोण $i_c$ से अधिक होता है,इसलिए पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होता है। परावर्तित किरण स्क्रीन पर धनात्मक ऊँचाई $x = h \tan \theta$ पर टकराती है,जहाँ $h$ सतह से स्रोत की दूरी है। जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,$x$ बढ़ता है।
जब $\theta$ उस मान तक पहुँच जाता है जहाँ $i = i_c$ होता है,तो किरण सतह को छूकर निकलती है।
इस क्रांतिक मान से अधिक $\theta$ के लिए,$i < i_c$ होता है,और किरण कांच के स्लैब से अपवर्तित होकर बाहर निकलती है। अपवर्तित किरण क्षैतिज अक्ष के नीचे स्क्रीन पर टकराती है,जिससे $x$ ऋणात्मक हो जाता है। जैसे-जैसे $\theta$ और बढ़ता है,अपवर्तन कोण बढ़ता है,जिससे बिंदु और नीचे चला जाता है और $x$ अधिक ऋणात्मक हो जाता है। अतः,सही ग्राफ $A$ है।