Electric Dipole and Electric Field Questions in Hindi

(C) आघूर्ण $\vec{p}_1$ वाले द्विध्रुव द्वारा $x$ दूरी पर निरक्षीय स्थिति में उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{p}_1}{x^3}$ होता है।
इस क्षेत्र में दूसरे द्विध्रुव $\vec{p}_2$ की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{p}_2 \cdot \vec{E} = -\vec{p}_2 \cdot \left( -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{p}_1}{x^3} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p_1p_2}{x^3}$ है (चूंकि $\vec{p}_1 \parallel \vec{p}_2$)।
द्विध्रुवों के बीच का बल $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$F = -\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p_1p_2}{x^3} \right) = -\frac{p_1p_2}{4\pi\varepsilon_0} (-3x^{-4}) = \frac{3p_1p_2}{4\pi\varepsilon_0 x^4}$.
हालाँकि,दो समानांतर द्विध्रुवों के लिए जो अगल-बगल (निरक्षीय विन्यास) रखे गए हैं,बल आकर्षक होता है और इसका परिमाण $F = \frac{6p_1p_2}{4\pi\varepsilon_0 x^4}$ होता है।

(D) विद्युत द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा पर $y$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{(y^2 + a^2)^{3/2}}$ होता है।
चूंकि $y >> 2a$ है,हम $E \approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{y^3}$ लिख सकते हैं।
आवेश $Q$ पर स्थिर-विद्युत बल $F = QE = Q \cdot \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{y^3}$ है,जिसका अर्थ है कि $F \propto \frac{1}{y^3}$।
जब आवेश को $P'$ पर ले जाया जाता है जहाँ $OP' = y' = \frac{y}{3}$ है,तो नया बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' \propto \frac{1}{(y')^3} = \frac{1}{(y/3)^3} = \frac{27}{y^3}$।
अतः,$F' = 27F$।

(B) बाह्य विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$U = -\vec{P} \cdot \vec{E} = -PE \cos \theta$
दिए गए मान:
विद्युत क्षेत्र $E = 1000\,V/m = 10^3\,V/m$
द्विध्रुव आघूर्ण $P = 10^{-29}\,C\cdot m$
कोण $\theta = 45^\circ$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = -(10^{-29}) \times (10^3) \times \cos(45^\circ)$
$U = -10^{-26} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$U = -10^{-26} \times 0.7071$
$U = -0.7071 \times 10^{-26}\,J$
$U = -7.071 \times 10^{-27}\,J$
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान:
$U \approx -7 \times 10^{-27}\,J$

(D) इस निकाय में तीन आवेश हैं: $(0,0)$ पर $+q$,$(\ell, 0)$ पर $+q$,और $(\ell/2, \ell\sqrt{3}/2)$ पर $-2q$ आवेश।
इसे दो द्विध्रुवों के रूप में देखा जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक का आवेश $q$ और दूरी $\ell$ है।
पहला द्विध्रुव $\overrightarrow{P}_1$ शीर्ष पर स्थित $-q$ आवेश और मूल बिंदु पर स्थित $+q$ आवेश द्वारा बनता है। इसकी दिशा मूल बिंदु से शीर्ष की ओर है,जो $x$-अक्ष के साथ $60^\circ$ का कोण बनाती है।
दूसरा द्विध्रुव $\overrightarrow{P}_2$ शीर्ष पर स्थित दूसरे $-q$ आवेश और $(\ell, 0)$ पर स्थित $+q$ आवेश द्वारा बनता है। इसकी दिशा $(\ell, 0)$ से शीर्ष की ओर है,जो $x$-अक्ष के साथ $120^\circ$ का कोण बनाती है।
प्रत्येक द्विध्रुव आघूर्ण का परिमाण $P = q\ell$ है।
$\overrightarrow{P}_1$ के घटक $P_x = q\ell \cos 60^\circ = q\ell/2$ और $P_y = q\ell \sin 60^\circ = q\ell\sqrt{3}/2$ हैं।
$\overrightarrow{P}_2$ के घटक $P_x = q\ell \cos 120^\circ = -q\ell/2$ और $P_y = q\ell \sin 120^\circ = q\ell\sqrt{3}/2$ हैं।
कुल द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{P}_{net} = \overrightarrow{P}_1 + \overrightarrow{P}_2$ है:
$P_{net, x} = q\ell/2 - q\ell/2 = 0$
$P_{net, y} = q\ell\sqrt{3}/2 + q\ell\sqrt{3}/2 = \sqrt{3}q\ell$.
अतः,$\overrightarrow{P}_{net} = \sqrt{3}q\ell \hat{j}$।

(B) द्विध्रुव का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ इस प्रकार है:
$I = m\left(\frac{d}{2}\right)^2 + m\left(\frac{d}{2}\right)^2 = 2 \cdot m \frac{d^2}{4} = \frac{md^2}{2}$
एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau$ है:
$\tau = pE \sin \theta = (qd) E \sin \theta$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी अनुरूप $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है:
$(qEd) \sin \theta = \left(\frac{md^2}{2}\right) \alpha$
छोटे कोण $\theta$ के लिए,$\sin \theta \approx \theta$. अतः:
$(qEd) \theta = \left(\frac{md^2}{2}\right) \alpha$
$\alpha = \left(\frac{2qE}{md}\right) \theta$
इसे सरल आवर्त गति के समीकरण $\alpha = \omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\omega^2 = \frac{2qE}{md}$
$\omega = \sqrt{\frac{2qE}{md}}$

(A) निकाय की कुल स्थितिज ऊर्जा $U_{total}$,द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा (स्व-ऊर्जा) और आवेश $Q$ के साथ द्विध्रुव की अन्योन्य क्रिया ऊर्जा का योग है।
$1$. द्विध्रुव की स्व-ऊर्जा ($+q$ और $-q$ आवेश $d$ दूरी पर हैं) $U_{dipole} = -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{d}$ है।
$2$. आवेश $Q$ के साथ द्विध्रुव की अन्योन्य क्रिया ऊर्जा $U_{interaction} = V_Q(+q) + V_Q(-q) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} Q \left( \frac{q}{D+d} - \frac{q}{D} \right)$ है।
$3$. चूंकि $D >> d$,हम द्विपद सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं: $\frac{1}{D+d} \approx \frac{1}{D} (1 - d/D) = \frac{1}{D} - \frac{d}{D^2}$.
$4$. इस मान को अन्योन्य क्रिया ऊर्जा में रखने पर: $U_{interaction} \approx \frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0} (\frac{1}{D} - \frac{d}{D^2} - \frac{1}{D}) = -\frac{qQd}{4\pi \varepsilon_0 D^2}$.
अतः,$U_{total} = -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{d} - \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{qQd}{D^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{q^2}{d} - \frac{qQd}{D^2} \right]$.

(D) द्विध्रुव के निरक्षीय तल (इस मामले में $y$-अक्ष) पर किसी भी बिंदु पर विभव $V$ शून्य होता है क्योंकि द्विध्रुव के धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों के कारण उत्पन्न विभव इस तल के प्रत्येक बिंदु पर एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
$V = 0$
द्विध्रुव से $d$ दूरी पर निरक्षीय तल पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{p}}{d^3}$
दिए गए द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p} = -p_0\hat{x}$ को प्रतिस्थापित करने पर,विद्युत क्षेत्र धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में होता है,जो $-\vec{p}$ की दिशा के अनुरूप है।
अतः,विभव $0$ है और विद्युत क्षेत्र $-\frac{\vec{p}}{4\pi\varepsilon_0 d^3}$ है।

(D) द्विध्रुव की अक्ष पर $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{2kp}{r^3}$ है,जहाँ $k$ कूलम्ब नियतांक है और $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है।
चूँकि आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ है,इसलिए $F = q \left( \frac{2kp}{r^3} \right) \propto \frac{1}{r^3}$ होगा।
यदि दूरी को दोगुना कर दिया जाए,तो नई दूरी $r' = 2r$ होगी।
नया बल $F'$ का मान $F' = q \left( \frac{2kp}{(2r)^3} \right) = q \left( \frac{2kp}{8r^3} \right) = \frac{1}{8} F$ होगा।
अतः,नया बल $\frac{F}{8}$ होगा।

(B) बाह्य विद्युत क्षेत्र में स्थित विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र के अनुदिश है,इसलिए $\theta_i = 0^{\circ}$।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = -pE \cos(0^{\circ}) = -pE$ है।
अंत में,द्विध्रुव को $90^{\circ}$ घुमाया जाता है,इसलिए $\theta_f = 90^{\circ}$।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -pE \cos(90^{\circ}) = 0$ है।
द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i$।
$W = 0 - (-pE) = pE$।

(B) स्थिति $(I)$ में,दोनों द्विध्रुव $\vec{p}_1$ और $\vec{p}_2$ एक ही अक्ष पर समान दिशा में संरेखित हैं (अक्षीय विन्यास)। समान दिशा में संरेखित द्विध्रुवों के लिए,उनके बीच का बल आकर्षण का होता है।
स्थिति $(II)$ में,द्विध्रुव एक ही अक्ष पर विपरीत दिशाओं में संरेखित हैं। विपरीत दिशाओं में संरेखित द्विध्रुवों के लिए,उनके बीच का बल प्रतिकर्षण का होता है।
अतः,बलों की प्रकृति $(I)$ के लिए आकर्षण और $(II)$ के लिए प्रतिकर्षण है।

(B) बाह्य एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे गए विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$ सूत्र $\tau = pE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश और विद्युत क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,$\theta = 0$ पर,द्विध्रुव आघूर्ण विद्युत क्षेत्र के साथ संरेखित है,इसलिए $\tau = pE \sin(0) = 0$ है।
जैसे-जैसे द्विध्रुव को वामावर्त दिशा में घुमाया जाता है,$\theta$ का मान $0$ से बढ़ता है। टॉर्क $\tau$,$\sin \theta$ के परिवर्तन का अनुसरण करता है।
$\theta = 0$ पर,$\tau = 0$ है। जैसे-जैसे $\theta$ बढ़कर $\pi/2$ होता है,$\tau$ बढ़कर अपना अधिकतम मान $pE$ प्राप्त कर लेता है।
यह व्यवहार मूल बिंदु $(0,0)$ से शुरू होने वाले साइन वक्र के अनुरूप है।
चित्र $(ii)$ में दिए गए ग्राफ को देखने पर,वक्र $b$ मूल बिंदु से शुरू होता है और $\tau = pE \sin \theta$ फलन का प्रतिनिधित्व करता है।

(A) जब $p$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले एक विद्युत द्विध्रुव को एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखा जाता है,तो छोटे कोणीय विस्थापन $\theta$ के लिए उस पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -pE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $\tau = -pE \theta$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी अनुरूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha$,जहाँ $\alpha = \frac{d^2 \theta}{dt^2}$ कोणीय त्वरण है।
अतः,$I \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -pE \theta$,जो सरल होकर $\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -(\frac{pE}{I}) \theta$ बन जाता है।
यह सरल आवर्त गति का समीकरण $\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -\omega^2 \theta$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{pE}{I}$ प्राप्त होता है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = (\frac{pE}{I})^{1/2}$ है।

(B) $P_1$ आघूर्ण वाले द्विध्रुव द्वारा $r$ दूरी पर उसकी अक्षीय रेखा पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{2 K P_1}{r^3}$ होता है।
इस विद्युत क्षेत्र में $P_2$ द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -P_2 E = -P_2 \left( \frac{2 K P_1}{r^3} \right) = -\frac{2 K P_1 P_2}{r^3}$ है।
द्विध्रुवों के बीच बल $F$,दूरी $r$ के सापेक्ष स्थितिज ऊर्जा के ऋणात्मक प्रवणता द्वारा दिया जाता है:
$F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr} \left( -\frac{2 K P_1 P_2}{r^3} \right)$.
$F = 2 K P_1 P_2 \frac{d}{dr} (r^{-3}) = 2 K P_1 P_2 (-3 r^{-4}) = -\frac{6 K P_1 P_2}{r^4}$.
बल का परिमाण $|F| = \frac{6 K P_1 P_2}{r^4}$ है।

(D) यह प्रणाली तीन विद्युत द्विध्रुवों (dipoles) से बनी है,जिनमें से प्रत्येक का द्विध्रुव आघूर्ण $p = Q(2a)$ है,जहाँ $2a$ षट्कोण के विकर्णों पर $+Q$ और $-Q$ आवेशों के बीच की दूरी है।
षट्कोण के केंद्र $O$ से $x$ दूरी पर उसके तल के लंबवत अक्ष पर स्थित बिंदु के लिए,एक द्विध्रुव के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p}{x^3} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2Qa}{x^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तीनों द्विध्रुव षट्कोण के तल में एक-दूसरे से $120^{\circ}$ के कोण पर स्थित हैं,इसलिए लंबवत अक्ष पर उनके घटक समान परिमाण और दिशा रखते हैं।
हालाँकि,द्विध्रुव के निरक्षीय तल पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र सदिश द्विध्रुव आघूर्ण की विपरीत दिशा में होता है। तल के लंबवत अक्ष पर स्थित बिंदु के लिए,क्षेत्र द्विध्रुव आघूर्ण सदिश की विपरीत दिशा में होता है। $120^{\circ}$ पर स्थित ऐसे तीन सदिशों का योग शून्य होता है। अतः,कुल विद्युत क्षेत्र शून्य है।

(D) एक विद्युत द्विध्रुव द्वारा किसी आवेश पर लगाया गया बल,द्विध्रुव के केंद्र से आवेश की दूरी के घन के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3}$ होने के कारण,बल $F = qE$ के लिए $F \propto \frac{1}{r^3}$ होता है।
माना प्रारंभिक बल $F = \frac{k}{r^3}$ है।
जब दूरी दोगुनी कर दी जाती है,अर्थात $r' = 2r$,तो नया बल $F' = \frac{k}{(2r)^3} = \frac{k}{8r^3}$ होगा।
अतः,$F' = \frac{F}{8}$ प्राप्त होता है।

(A) विद्युत द्विध्रुव पर बाह्य विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य का सूत्र है: $W_{\text{field}} = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$।
यहाँ,$\theta_1 = 30^\circ$ और $\theta_2 = 60^\circ$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$W_{\text{field}} = pE(\cos 30^\circ - \cos 60^\circ)$
$W_{\text{field}} = pE\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right)$
$W_{\text{field}} = \frac{pE}{2}(\sqrt{3} - 1)$।

(B) स्थिति $(I)$ में,दोनों द्विध्रुव $\vec{p}_1$ और $\vec{p}_2$ एक ही अक्ष पर समान दिशा में संरेखित हैं। द्विध्रुव $\vec{p}_1$ द्वारा $\vec{p}_2$ की स्थिति पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $\vec{p}_1$ की दिशा में होता है। चूंकि $\vec{p}_2$ भी उसी दिशा में है,इसलिए उनके बीच का बल आकर्षण का होता है।
स्थिति $(II)$ में,द्विध्रुव विपरीत दिशाओं में संरेखित हैं। $\vec{p}_1$ द्वारा $\vec{p}_2$ की स्थिति पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $\vec{p}_1$ की दिशा में है,लेकिन $\vec{p}_2$ विपरीत दिशा में उन्मुख है। यह विन्यास दोनों द्विध्रुवों के बीच प्रतिकर्षण बल उत्पन्न करता है।

(B) दिए गए आवेश निकाय को चित्र में दिखाए अनुसार $x$ और $y$ निर्देशांक अक्षों का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है।
$-2q$ आवेश को मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ पर रखा गया है। एक $+q$ आवेश को $(a, 0, 0)$ पर और दूसरे $+q$ आवेश को $(0, a, 0)$ पर रखा गया है।
इस निकाय को दो विद्युत द्विध्रुवों के रूप में देखा जा सकता है: एक $x$-अक्ष के अनुदिश जिसका द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}_1 = q a \hat{i}$ है और दूसरा $y$-अक्ष के अनुदिश जिसका द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}_2 = q a \hat{j}$ है।
परिणामी द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{P}_R$ इन दो द्विध्रुवों का सदिश योग है:
$\vec{P}_R = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = qa \hat{i} + qa \hat{j}$.
परिणामी द्विध्रुव आघूर्ण का परिमाण:
$P_R = \sqrt{(qa)^2 + (qa)^2} = \sqrt{2} qa$.
परिणामी द्विध्रुव आघूर्ण की दिशा $\hat{i} + \hat{j}$ सदिश के अनुदिश है,जो मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ और $(a, a, 0)$ बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा है।

(D) एक विद्युत द्विध्रुव के कारण बिंदु $(r, \theta)$ पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{p \cos \theta}{r^{2}}$
दिए गए मान:
$V = 1.8 \times 10^{5} \, V$
$\theta = 60^{\circ}$
$r = 50 \, cm = 0.5 \, m$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \, N \cdot m^2/C^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$1.8 \times 10^{5} = (9 \times 10^{9}) \times \frac{p \cos 60^{\circ}}{(0.5)^{2}}$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = 0.5$:
$1.8 \times 10^{5} = 9 \times 10^{9} \times \frac{p \times 0.5}{0.25}$
$1.8 \times 10^{5} = 9 \times 10^{9} \times p \times 2$
$p = \frac{1.8 \times 10^{5}}{18 \times 10^{9}}$
$p = 0.1 \times 10^{-4} = 10^{-5} \, C-m$

(D) विद्युत क्षेत्र $E$ धनात्मक $x-$ अक्ष की दिशा में बढ़ता है।
मान लीजिए कि ऋणात्मक आवेश $(-q)$ की स्थिति पर क्षेत्र $E_1$ है और धनात्मक आवेश $(+q)$ की स्थिति पर क्षेत्र $E_2$ है।
चित्र के अनुसार,ऋणात्मक आवेश धनात्मक $x$ दिशा में है,इसलिए $E_1 > E_2$ है।
ऋणात्मक आवेश पर बल $F_1 = qE_1$ (ऋणात्मक $x-$ अक्ष की दिशा में) है।
धनात्मक आवेश पर बल $F_2 = qE_2$ (धनात्मक $x-$ अक्ष की दिशा में) है।
चूंकि $E_1 > E_2$,इसलिए कुल बल ऋणात्मक $x-$ अक्ष की दिशा में कार्य करेगा।
आघूर्ण (torque) $\tau = p \times E$ द्विध्रुव को क्षेत्र के साथ संरेखित करने के लिए घुमाता है,जो इस स्थिति में घड़ी की विपरीत दिशा में घूर्णन उत्पन्न करता है।

(C) $+q$ और $-q$ आवेश क्रमशः $(-d, 0)$ और $(d, 0)$ पर रखे गए हैं।
विकल्प $(a)$ के लिए: $x$-अक्ष पर,विद्युत क्षेत्र की दिशा इस आधार पर बदलती है कि बिंदु आवेशों के बीच है या बाहर। अतः,यह हर जगह समान नहीं है।
विकल्प $(b)$ के लिए: मूल बिंदु $(0, 0)$ पर विभव $V = k(q/d) + k(-q/d) = 0$ है। अनंत पर भी विभव $0$ है। अतः,किया गया कार्य $W = q(V_{origin} - V_{\infty}) = 0$ है। इसलिए,कोई कार्य करने की आवश्यकता नहीं है।
विकल्प $(c)$ के लिए: $y$-अक्ष पर किसी भी बिंदु $(0, y)$ पर,$+q$ के कारण विद्युत क्षेत्र दूर की ओर और $-q$ के कारण विद्युत क्षेत्र आवेश की ओर होता है। समरूपता के कारण,ऊर्ध्वाधर घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और परिणामी विद्युत क्षेत्र ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में होता है। अतः,क्षेत्र $x$-अक्ष के अनुदिश है।
विकल्प $(d)$ के लिए: द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ $-q$ से $+q$ की ओर निर्देशित होता है,जो $(d, 0)$ से $(-d, 0)$ की ओर है,यानी ऋणात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश। इसका परिमाण $2qd$ है।

(A) द्विध्रुव एक प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -pE \sin \theta$ का अनुभव करता है जो इसे क्षेत्र की दिशा में वापस लाने का प्रयास करता है।
छोटे कोणीय विस्थापन $\theta$ के लिए, $\sin \theta \approx \theta$ होता है। अतः, बल आघूर्ण $\tau = -pE \theta$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के घूर्णी रूप का उपयोग करते हुए, $\tau = I \alpha = I (d^2 \theta / dt^2)$।
बल आघूर्ण के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $I (d^2 \theta / dt^2) = -pE \theta$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $d^2 \theta / dt^2 = -(pE / I) \theta$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना मानक $S.H.M.$ समीकरण $d^2 \theta / dt^2 = -\omega^2 \theta$ से करने पर, हमें $\omega^2 = pE / I$ प्राप्त होता है, इसलिए $\omega = \sqrt{pE / I}$।
आवर्तकाल $T$ का मान $T = 2\pi / \omega = 2\pi \sqrt{I / pE}$ द्वारा दिया जाता है।

(B) द्विध्रुव का द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ है और एकसमान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ है।
जब एक विद्युत द्विध्रुव को एकसमान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो प्रत्येक आवेश $q$ पर बल $\vec{F} = q\vec{E}$ और $\vec{F} = -q\vec{E}$ कार्य करता है।
ये दो समान और विपरीत बल एक बल-युग्म बनाते हैं,जो द्विध्रुव पर बल आघूर्ण (टॉर्क) उत्पन्न करता है।
बल आघूर्ण का परिमाण एक बल के परिमाण और उनके बीच की लंबवत दूरी के गुणनफल के बराबर होता है।
$\tau = F \times (d \sin \theta) = (qE) \times (a \sin \theta) = (qa) E \sin \theta$.
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण $p = qa$ होता है,इसलिए $\tau = pE \sin \theta$ प्राप्त होता है।
सदिश रूप में,इसे $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(C) दिया गया द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{p} = (-\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) \times 10^{-29} \; C \cdot m$ और स्थिति सदिश $\overrightarrow{r} = \hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{p} = (1)(-1) + (3)(-3) + (5)(2) = -1 - 9 + 10 = 0$,इसलिए यह बिंदु द्विध्रुव के निरक्षीय तल (equatorial plane) पर स्थित है।
निरक्षीय तल पर स्थित बिंदु के लिए,विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ का मान $\overrightarrow{E} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\overrightarrow{p}}{r^3}$ होता है।
इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$,द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{p}$ के प्रति-समानांतर (antiparallel) है।
अतः,$\overrightarrow{E} \parallel -\overrightarrow{p}$ होगा।
चूंकि $\overrightarrow{p} = (-\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) \times 10^{-29}$,इसलिए $-\overrightarrow{p} = (\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) \times 10^{-29}$ होगा।
अतः,विद्युत क्षेत्र $(\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k})$ के समानांतर है।

(N/A) $+10\; \mu C$ आवेश के कारण $P$ पर क्षेत्र $E_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{(r-a)^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5}}{(0.15 - 0.0025)^2} \approx 4.13 \times 10^6\; N/C$ ($BP$ की दिशा में)।
$-10\; \mu C$ आवेश के कारण $P$ पर क्षेत्र $E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{(r+a)^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5}}{(0.15 + 0.0025)^2} \approx 3.86 \times 10^6\; N/C$ ($PA$ की दिशा में)।
$P$ पर परिणामी विद्युत क्षेत्र $E_P = E_1 - E_2 = 2.7 \times 10^5\; N/C$ ($BP$ की दिशा में)।
द्विध्रुव सूत्र $E = \frac{2p}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $p = q(2a) = 10^{-5} \times 0.005 = 5 \times 10^{-8}\; C\cdot m$,हमें $E = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-8}}{(0.15)^3} = 2.67 \times 10^5\; N/C$ प्राप्त होता है।
$(b)$ $B$ पर स्थित $+10\; \mu C$ आवेश के कारण $Q$ पर क्षेत्र $E_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2+a^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5}}{(0.15)^2 + (0.0025)^2} \approx 3.99 \times 10^6\; N/C$।
$A$ पर स्थित $-10\; \mu C$ आवेश के कारण $Q$ पर क्षेत्र $E_A = 3.99 \times 10^6\; N/C$।
परिणामी क्षेत्र $E_Q = 2 E_B \cos \theta = 2 E_B \frac{a}{\sqrt{r^2+a^2}} = 2 \times 3.99 \times 10^6 \times \frac{0.0025}{\sqrt{0.15^2 + 0.0025^2}} \approx 1.33 \times 10^5\; N/C$ ($BA$ की दिशा में)।
द्विध्रुव सूत्र $E = \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} = \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-8}}{(0.15)^3} = 1.33 \times 10^5\; N/C$ जो द्विध्रुव आघूर्ण की विपरीत दिशा में है।

(N/A) निकाय का कुल आवेश व्यक्तिगत आवेशों का बीजगणितीय योग है:
$q_{total} = q_{A} + q_{B} = 2.5 \times 10^{-7} \; C + (-2.5 \times 10^{-7} \; C) = 0 \; C$
दो आवेशों के बीच की दूरी बिंदुओं $A(0, 0, -15 \; cm)$ और $B(0, 0, 15 \; cm)$ के बीच की दूरी है:
$d = 15 \; cm - (-15 \; cm) = 30 \; cm = 0.3 \; m$
विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $p$ को आवेशों में से एक के परिमाण और उनके बीच की दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है:
$p = |q| \times d = (2.5 \times 10^{-7} \; C) \times (0.3 \; m) = 7.5 \times 10^{-8} \; C \cdot m$
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण की दिशा ऋण आवेश से धन आवेश की ओर होती है,और ऋण आवेश $z = -15 \; cm$ पर है तथा धन आवेश $z = +15 \; cm$ पर है,इसलिए द्विध्रुव आघूर्ण की दिशा धनात्मक $z$-अक्ष की ओर है।

(C) दिया गया है:
विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण,$p = 4 \times 10^{-9} \;C \,m$
विद्युत क्षेत्र,$E = 5 \times 10^{4} \;N \,C^{-1}$
कोण,$\theta = 30^{\circ}$
एक समान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बलाघूर्ण $\tau$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tau = pE \sin \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tau = (4 \times 10^{-9}) \times (5 \times 10^{4}) \times \sin 30^{\circ}$
$\tau = 20 \times 10^{-5} \times 0.5$
$\tau = 10 \times 10^{-5} = 10^{-4} \;N \,m$
अतः,द्विध्रुव पर कार्य करने वाले बलाघूर्ण का परिमाण $10^{-4} \;N \,m$ है।

(A) प्रणाली का द्विध्रुव आघूर्ण $p = -10^{-7} \; C \, m$ है (क्योंकि यह ऋणात्मक $z$-दिशा में है)।
प्रति इकाई लंबाई विद्युत क्षेत्र में वृद्धि की दर $\frac{dE}{dz} = 10^{5} \; N \, C^{-1} \, m^{-1}$ है।
असमान विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया बल $F = p \frac{dE}{dz}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $F = (-10^{-7} \; C \, m) \times (10^{5} \; N \, C^{-1} \, m^{-1}) = -10^{-2} \; N$।
ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि बल ऋणात्मक $z$-दिशा में है।
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण ऋणात्मक $z$-दिशा में है और विद्युत क्षेत्र धनात्मक $z$-दिशा में है,इसलिए द्विध्रुव आघूर्ण सदिश और विद्युत क्षेत्र सदिश के बीच का कोण $\theta = 180^{\circ}$ है।
टॉर्क $\tau = pE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\sin 180^{\circ} = 0$ है,इसलिए टॉर्क $\tau = 0$ होगा।

(N/A) विद्युत द्विध्रुव दो समान और विपरीत बिंदु आवेशों की एक प्रणाली है जो एक निश्चित दूरी पर स्थित होते हैं।
यदि दो आवेशों $q$ और $-q$ के बीच की दूरी $2a$ है,तो इस प्रणाली का द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p} = q(2\vec{a})$ द्वारा दिया जाता है। विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण एक सदिश राशि है और इसकी दिशा ऋण आवेश से धन आवेश की ओर होती है।
विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण का $SI$ मात्रक $Cm$ (कूलम्ब-मीटर) है। इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^1 A^1]$ है।
द्विध्रुव प्रणाली का कुल आवेश शून्य होता है,लेकिन इसका विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं होता है क्योंकि दो विपरीत आवेश अलग-अलग स्थानों पर स्थित होते हैं।

(N/A) बिंदु द्विध्रुव एक ऐसा विद्युत द्विध्रुव है जिसमें दो आवेशों के बीच की दूरी $2a$ शून्य की ओर अग्रसर होती है $(2a \rightarrow 0)$ और आवेश का परिमाण $q$ अनंत की ओर अग्रसर होता है $(q \rightarrow \infty)$,ताकि उनका गुणनफल $p = q \times 2a$ एक परिमित स्थिरांक बना रहे।
इस सीमा में,द्विध्रुव को एक बिंदु पर केंद्रित माना जाता है।

(A) अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर विद्युत द्विध्रुव ($-q$ और $+q$ आवेशों का युग्म) का विद्युत क्षेत्र कूलम्ब के नियम और अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,किसी भी बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र प्रत्येक आवेश द्वारा उत्पन्न व्यक्तिगत विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग होता है।
गणितीय रूप से,बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \vec{E}_{+q} + \vec{E}_{-q}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{E}_{+q}$ और $\vec{E}_{-q}$ क्रमशः $+q$ और $-q$ आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र हैं,जिनकी गणना कूलम्ब के नियम का उपयोग करके की जाती है।

(N/A) मान लीजिए कि एक विद्युत द्विध्रुव में $+q$ और $-q$ आवेश हैं जो एक-दूसरे से $2a$ की दूरी पर स्थित हैं। द्विध्रुव के केंद्र $O$ से $r$ दूरी पर अक्षीय रेखा पर एक बिंदु $P$ है।
$+q$ आवेश के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\overrightarrow{E}_{+q} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{(r-a)^{2}} \hat{p}$
$-q$ आवेश के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\overrightarrow{E}_{-q} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{(r+a)^{2}} \hat{p}$
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र इन क्षेत्रों का सदिश योग है:
$\overrightarrow{E} = \overrightarrow{E}_{+q} + \overrightarrow{E}_{-q} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{1}{(r-a)^{2}} - \frac{1}{(r+a)^{2}} \right] \hat{p}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\overrightarrow{E} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{(r+a)^{2} - (r-a)^{2}}{(r^{2}-a^{2})^{2}} \right] \hat{p} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{4ar}{(r^{2}-a^{2})^{2}} \right] \hat{p}$
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण $p = q(2a)$ है,हम लिख सकते हैं:
$\overrightarrow{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2pr}{(r^{2}-a^{2})^{2}} \hat{p}$
एक छोटे द्विध्रुव के लिए जहाँ $r >> a$,हम $r^{2}-a^{2} \approx r^{2}$ ले सकते हैं:
$\overrightarrow{E} \approx \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2pr}{r^{4}} \hat{p} = \frac{2p}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \hat{p}$

(N/A) मान लीजिए एक द्विध्रुव में $+q$ और $-q$ आवेश हैं जो $2a$ की दूरी पर स्थित हैं। द्विध्रुव के केंद्र $O$ से $r$ दूरी पर निरक्षीय तल पर एक बिंदु $P$ है।
बिंदु $P$ की $+q$ और $-q$ से दूरियाँ समान हैं:
$r_{+} = r_{-} = \sqrt{r^{2} + a^{2}}$
दोनों आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र के परिमाण समान हैं:
$E_{+q} = E_{-q} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2} + a^{2}}$
विद्युत क्षेत्र सदिशों को घटकों में वियोजित करने पर:
$1$. द्विध्रुव अक्ष के लंबवत घटक $(E \sin \theta)$ परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
$2$. द्विध्रुव अक्ष के समानांतर घटक $(E \cos \theta)$ एक ही दिशा में (द्विध्रुव आघूर्ण $\hat{p}$ की विपरीत दिशा में) होते हैं।
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र:
$E = -(E_{+q} \cos \theta + E_{-q} \cos \theta) \hat{p}$
$E = -2 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2} + a^{2}} \right) \cos \theta \hat{p}$
ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{r^{2} + a^{2}}}$. यह मान रखने पर:
$E = -\frac{2aq}{4 \pi \varepsilon_{0} (r^{2} + a^{2})^{3/2}} \hat{p}$
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण $p = q(2a)$ है:
$E = -\frac{p}{4 \pi \varepsilon_{0} (r^{2} + a^{2})^{3/2}} \hat{p}$
एक छोटे द्विध्रुव के लिए $(r \gg a)$:
$E \approx -\frac{p}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \hat{p}$

(N/A)

बिंदु आवेश का विद्युत क्षेत्र	द्विध्रुव का विद्युत क्षेत्र
$(1)$ यह त्रिज्यीय रूप से अंदर या बाहर की ओर होता है।	$(1)$ यह त्रिज्यीय नहीं होता है।
$(2)$ यह $\frac{1}{r^{2}}$ के अनुसार घटता है।	$(2)$ यह बड़ी दूरियों के लिए $\frac{1}{r^{3}}$ के अनुसार घटता है।
$(3)$ इसकी विद्युत क्षेत्र रेखाएं रैखिक होती हैं।	$(3)$ इसकी विद्युत क्षेत्र रेखाएं अक्ष को छोड़कर रैखिक नहीं होती हैं।
$(4)$ इसके विद्युत क्षेत्र में,विद्युत विभव केवल अनंत दूरी पर ही शून्य होता है।	$(4)$ इसके विद्युत क्षेत्र में,निरक्षीय तल (equatorial plane) के प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव शून्य होता है।

(N/A) विद्युत द्विध्रुव दो समान और विपरीत बिंदु आवेशों का एक युग्म है जो एक-दूसरे से $2a$ की अल्प दूरी पर स्थित होते हैं।
विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण एक सदिश राशि है जो विद्युत द्विध्रुव की प्रबलता को दर्शाती है।
इसे किसी एक आवेश के परिमाण $(q)$ और उनके बीच की दूरी $(2a)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप में,$\vec{p} = q \times (2\vec{a})$ होता है।
विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण का $SI$ मात्रक $\text{कूलॉम-मीटर}$ $(C \cdot m)$ है।

(N/A) विद्युत द्विध्रुव पर कुल आवेश $0$ होता है।
एक विद्युत द्विध्रुव दो समान और विपरीत बिंदु आवेशों,$+q$ और $-q$ से मिलकर बना होता है,जो एक-दूसरे से $2a$ की अल्प दूरी पर स्थित होते हैं।
कुल आवेश इन दोनों आवेशों का बीजगणितीय योग होता है: $q_{net} = (+q) + (-q) = 0$।
अतः,इस निकाय का कुल आवेश हमेशा शून्य होता है।

(N/A) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ एक सदिश राशि है जिसे एक आवेश के परिमाण $(q)$ और उनके बीच की दूरी $(2a)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसकी दिशा ऋण आवेश से धन आवेश की ओर होती है।
दिशा: विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण की दिशा ऋण आवेश $(-q)$ से धन आवेश $(+q)$ की ओर होती है।
$SI$ मात्रक: विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण का $SI$ मात्रक कूलॉम-मीटर है,जिसे $C \cdot m$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(A) एक विद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p \cos\theta}{r^2}$ होता है,जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है,$r$ द्विध्रुव के केंद्र से दूरी है,और $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश और बिंदु के स्थिति सदिश के बीच का कोण है।
द्विध्रुव के निरक्षीय तल पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,कोण $\theta = 90^\circ$ होता है।
चूंकि $\cos(90^\circ) = 0$ होता है,इसलिए निरक्षीय तल पर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p \cdot 0}{r^2} = 0$ होता है।

(N/A) एकसमान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में रखे गए द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के बीच का कोण है।
$(i)$ स्थायी संतुलन: जब $\vec{p}$,$\vec{E}$ के समानांतर होता है,तो $\theta = 0^{\circ}$ होता है।
$U = -pE \cos(0^{\circ}) = -pE$। यह न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा की अवस्था है,जो स्थायी संतुलन को दर्शाती है।
(ii) अस्थायी संतुलन: जब $\vec{p}$,$\vec{E}$ के प्रति-समानांतर होता है,तो $\theta = 180^{\circ}$ होता है।
$U = -pE \cos(180^{\circ}) = pE$। यह अधिकतम स्थितिज ऊर्जा की अवस्था है,जो अस्थायी संतुलन को दर्शाती है।
(iii) शून्य स्थितिज ऊर्जा: जब $\vec{p}$,$\vec{E}$ के लंबवत होता है,तो $\theta = 90^{\circ}$ होता है।
$U = -pE \cos(90^{\circ}) = 0$। यह उस अवस्था को दर्शाता है जहाँ द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है।

(N/A) जब $\vec{p}$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले एक विद्युत द्विध्रुव को एकसमान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में रखा जाता है,तो यह द्विध्रुव आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र के सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट) के बराबर बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ का अनुभव करता है।
इसका समीकरण है: $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$.
परिमाण के रूप में,इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\tau = pE \sin \theta$,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ और विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ के बीच का कोण है।

(B) बाह्य विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में स्थित विद्युत द्विध्रुव पर बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ का सूत्र है: $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$।
परिमाण के रूप में,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\tau = pE \sin(\theta)$,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ और विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ के बीच का कोण है।
बल आघूर्ण को अधिकतम होने के लिए,$\sin(\theta)$ का मान अधिकतम होना चाहिए,जो कि $1$ है।
यह तब होता है जब $\theta = 90^{\circ}$ हो।
अतः,जब विद्युत द्विध्रुव को विद्युत क्षेत्र के लंबवत रखा जाता है,तो बल आघूर्ण अधिकतम होता है।

(N/A) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{p_{e}}$ वाले विद्युत द्विध्रुव के कारण उसकी निरक्षीय रेखा पर $x$ दूरी (जहाँ $x >> a$) पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ निम्न है:
$\overrightarrow{E} = -\frac{\overrightarrow{p_{e}}}{4 \pi \epsilon_{0} x^{3}}$
चुंबकीय आघूर्ण $\overrightarrow{m}$ वाले धारावाही लूप के कारण उसकी अक्ष पर $x$ दूरी (जहाँ $x >> R$) पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ निम्न है:
$\overrightarrow{B} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2\overrightarrow{m}}{x^{3}}$
नोट: द्विध्रुव के लिए निरक्षीय क्षेत्र द्विध्रुव आघूर्ण के विपरीत दिशा में होता है,जबकि चुंबकीय लूप के लिए अक्षीय क्षेत्र चुंबकीय आघूर्ण की दिशा में होता है।

(N/A) एक विद्युत द्विध्रुव के केंद्र से $r$ दूरी पर उसकी अक्ष पर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2pr}{(r^2 - a^2)^2}$
जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है और $2a$ आवेशों के बीच की दूरी है।
$r >> a$ स्थिति के लिए,हम हर (denominator) में $r^2$ की तुलना में $a^2$ की उपेक्षा कर सकते हैं।
इस प्रकार,समीकरण सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2pr}{r^4}$
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3}$

(N/A) द्विध्रुव आघूर्ण $p$ वाले एक विद्युत द्विध्रुव के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित निरक्षीय रेखा के किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{(r^2 + a^2)^{3/2}}$
$r >> a$ की स्थिति के लिए,हर (denominator) में $a^2$ को $r^2$ की तुलना में नगण्य माना जा सकता है।
अतः,$(r^2 + a^2)^{3/2} \approx (r^2)^{3/2} = r^3$.
समीकरण का सरलीकृत रूप है:
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3}$
इस विद्युत क्षेत्र की दिशा द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $p$ की दिशा के विपरीत होती है।

(C) $2a$ की दूरी पर स्थित $-q$ और $+q$ आवेशों से बने विद्युत द्विध्रुव के लिए,द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ की दिशा $-q$ से $+q$ की ओर होती है।
$1$. अक्षीय रेखा पर: किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{axis}$ की दिशा द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ की दिशा में ही होती है।
$2$. निरक्षीय तल पर: किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{equator}$ की दिशा द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ की विपरीत दिशा में होती है।

(N/A) मान लीजिए कि $\vec{p}$ द्विध्रुव आघूर्ण वाला एक स्थायी द्विध्रुव एकसमान बाह्य क्षेत्र $\vec{E}$ में स्थित है।
आवेश $+q$ पर बल $q\vec{E}$ और आवेश $-q$ पर बल $-q\vec{E}$ कार्य करता है। चूंकि $\vec{E}$ एकसमान है,इसलिए द्विध्रुव पर कुल बल शून्य है।
हालाँकि,आवेश $2a$ की दूरी से अलग हैं,इसलिए बल अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप द्विध्रुव पर एक बल आघूर्ण उत्पन्न होता है।
जब कुल बल शून्य होता है,तो बल आघूर्ण (युग्म) मूल बिंदु से स्वतंत्र होता है।
बल आघूर्ण का परिमाण = (प्रत्येक बल का परिमाण) $\times$ (दोनों बलों के बीच की लंबवत दूरी)
$= qE \times (2a \sin \theta)$
$= (2qa) E \sin \theta$
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण $p = 2qa$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\tau = pE \sin \theta$
सदिश रूप में,बल आघूर्ण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$
यह बल आघूर्ण द्विध्रुव को क्षेत्र $\vec{E}$ के साथ संरेखित (align) करने की प्रवृत्ति रखेगा। जब $\vec{p}$,$\vec{E}$ के साथ संरेखित होता है,तो बल आघूर्ण शून्य होता है।

(N/A) जब $\vec{p}$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले विद्युत द्विध्रुव को एक असमान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में रखा जाता है,तो उस पर एक नेट बल कार्य करता है।
$1$. जब $\vec{p}$,$\vec{E}$ के समानांतर हो: धनात्मक आवेश $q$ पर क्षेत्र की दिशा में $q\vec{E}$ बल लगता है और ऋणात्मक आवेश $-q$ पर विपरीत दिशा में $-q\vec{E}$ बल लगता है। चूंकि क्षेत्र असमान है और धनात्मक आवेश की स्थिति पर क्षेत्र अधिक प्रबल है,इसलिए द्विध्रुव पर नेट बल बढ़ते हुए विद्युत क्षेत्र की दिशा में होता है।
$2$. जब $\vec{p}$,$\vec{E}$ के प्रति-समानांतर हो: धनात्मक आवेश $q$ पर क्षेत्र की दिशा में $q\vec{E}$ बल लगता है और ऋणात्मक आवेश $-q$ पर विपरीत दिशा में $-q\vec{E}$ बल लगता है। यहाँ ऋणात्मक आवेश की स्थिति पर क्षेत्र अधिक प्रबल होने के कारण,द्विध्रुव पर नेट बल घटते हुए विद्युत क्षेत्र की दिशा में होता है।
दोनों स्थितियों में,द्विध्रुव पर नेट टॉर्क शून्य होता है क्योंकि बल द्विध्रुव की अक्ष के अनुदिश होते हैं,लेकिन क्षेत्र की असमानता के कारण उस पर एक नेट स्थानांतरण बल कार्य करता है।

(A) एक विद्युत द्विध्रुव दो समान और विपरीत आवेशों,$+q$ और $-q$ से बना होता है,जो एक-दूसरे से $2a$ की अल्प दूरी पर स्थित होते हैं।
जब इसे एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखा जाता है,तो धनात्मक आवेश पर लगने वाला बल $F_+ = qE$ क्षेत्र की दिशा में होता है।
ऋणात्मक आवेश पर लगने वाला बल $F_- = -qE$ क्षेत्र की विपरीत दिशा में होता है।
द्विध्रुव पर लगने वाला कुल बल इन दोनों बलों का सदिश योग है:
$F_{net} = F_+ + F_- = qE + (-qE) = 0$.
अतः,एकसमान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव पर लगने वाला कुल बल हमेशा शून्य होता है।