Electric Dipole and Electric Field Questions in Hindi

(C) यह निकाय एकसमान विद्युत क्षेत्र में एक विद्युत द्विध्रुव के रूप में कार्य करता है। छड़ के केंद्र के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = M(L/2)^2 + M(L/2)^2 = ML^2/2$ है।
द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau = pE \sin \theta$ है,जहाँ $p = qL$ है।
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $\tau = qLE \theta$ है।
गति का समीकरण $I \alpha = -\tau$ है,जहाँ $\alpha = d^2\theta/dt^2$ है।
$ML^2/2 \cdot (d^2\theta/dt^2) = -qLE \theta$ है।
$d^2\theta/dt^2 = -(2qE / ML) \theta$ है।
यह सरल आवर्त गति का समीकरण है,जिसकी कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{2qE / ML}$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi / \omega = 2\pi \sqrt{ML / 2qE}$ है।
प्रारंभिक छोटे कोण से संतुलन स्थिति (क्षेत्र के समानांतर) तक पहुँचने में लगा समय आवर्तकाल का एक चौथाई होता है।
$t = T/4 = (1/4) \cdot 2\pi \sqrt{ML / 2qE} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{ML}{2qE}}$।

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau = PE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
छोटे दोलनों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $\tau = PE \theta$.
चूंकि बल आघूर्ण प्रत्यानयन (restoring) है,इसलिए $\tau = -PE \theta$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी अनुरूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha$,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
इसलिए,$I \alpha = -PE \theta$,जिससे $\alpha = -(\frac{PE}{I}) \theta$ प्राप्त होता है।
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $\alpha = -\omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{PE}{I}$ प्राप्त होता है।
अतः,दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{PE}{I}}$ है।

(A) इस निकाय में मूल बिंदु $(0,0,0)$ पर $-2q$ आवेश है,$(0,a,0)$ पर $+q$ और $(a,0,0)$ पर $+q$ आवेश है।
इसे दो द्विध्रुवों के रूप में माना जा सकता है: $\vec{p}_1$ जो मूल बिंदु पर $-q$ और $(a,0,0)$ पर $+q$ से बनता है,और $\vec{p}_2$ जो मूल बिंदु पर $-q$ और $(0,a,0)$ पर $+q$ से बनता है।
$\vec{p}_1 = qa\hat{i}$.
$\vec{p}_2 = qa\hat{j}$.
कुल द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = qa\hat{i} + qa\hat{j}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{p}| = \sqrt{(qa)^2 + (qa)^2} = \sqrt{2}qa$ है।
इसकी दिशा $\hat{i} + \hat{j}$ सदिश द्वारा दी जाती है,जो $(0,0,0)$ और $(a,a,0)$ बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश है।

(D) दिया गया है:
आवेश $q = 4 \times 10^{-8} \ C$
दूरी $2a = 2 \times 10^{-2} \ cm = 2 \times 10^{-4} \ m$
विद्युत क्षेत्र $E = 4 \times 10^8 \ N/C$
$1$. द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times (2a) = (4 \times 10^{-8} \ C) \times (2 \times 10^{-4} \ m) = 8 \times 10^{-12} \ Cm$
$2$. अधिकतम टॉर्क $\tau_{max} = pE \sin(90^{\circ}) = pE$
$\tau_{max} = (8 \times 10^{-12} \ Cm) \times (4 \times 10^8 \ N/C) = 32 \times 10^{-4} \ Nm$
$3$. $180^{\circ}$ घुमाने के लिए किया गया कार्य ($0^{\circ}$ से $180^{\circ}$ तक):
$W = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2) = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ})$
$W = (32 \times 10^{-4} \ Nm) \times (1 - (-1)) = 32 \times 10^{-4} \times 2 = 64 \times 10^{-4} \ J$

(B) द्विध्रुव आघूर्ण (dipole moment) $p$,आवेश $q$ और दूरी $d$ के गुणनफल के बराबर होता है:
$p = q \times d = (2 \times 10^{-6} \ C) \times (0.01 \ m) = 2 \times 10^{-8} \ Cm$.
विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = pE \sin(\theta)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम टॉर्क के लिए,$\sin(\theta) = 1$ (जब द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र के लंबवत हो)।
अतः,$\tau_{max} = p \times E$.
मान रखने पर:
$\tau_{max} = (2 \times 10^{-8} \ Cm) \times (5 \times 10^{5} \ N/C) = 10 \times 10^{-3} \ Nm$.

(D) द्विध्रुव की अक्ष पर $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_{axis} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{x^3}$ द्वारा दिया जाता है।
द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा पर $y$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_{equatorial} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{p}{y^3}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि $E_{axis} = E_{equatorial}$,इसलिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{x^3} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{p}{y^3}$.
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{p}{4\pi \varepsilon_0}$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2}{x^3} = \frac{1}{y^3}$.
$x : y$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{x^3}{y^3} = 2$.
दोनों पक्षों का घनमूल (cube root) लेने पर:
$\frac{x}{y} = 2^{1/3} : 1$ या $\sqrt[3]{2} : 1$।

(C) शीर्ष $A$ पर स्थित $+2q$ आवेश को दो $+q$ आवेशों के रूप में माना जा सकता है।
हम दो विद्युत द्विध्रुव बना सकते हैं: एक शीर्ष $A$ से $B$ तक (जिसमें $A$ पर $+q$ और $B$ पर $-q$ है) और दूसरा शीर्ष $A$ से $C$ तक (जिसमें $A$ पर $+q$ और $C$ पर $-q$ है)।
प्रत्येक द्विध्रुव का द्विध्रुव आघूर्ण $p = q a$ है।
इन दो द्विध्रुव आघूर्णों के बीच का कोण $60^{\circ}$ (समबाहु त्रिभुज का कोण) है।
परिणामी द्विध्रुव आघूर्ण $p_{net}$ सदिश योग द्वारा दिया जाता है:
$p_{net} = \sqrt{p^2 + p^2 + 2 p p \cos 60^{\circ}}$
$p_{net} = \sqrt{2p^2 + 2p^2 (1/2)} = \sqrt{3p^2} = p \sqrt{3}$
$p = qa$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $p_{net} = q a \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि स्थिति सदिश $OP$ और द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ ($x$-अक्ष के अनुदिश) के बीच का कोण $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और स्थिति सदिश $OP$ के बीच का कोण $\alpha$ संबंध $\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan \phi$ द्वारा दिया जाता है।
$\phi = \frac{\pi}{3}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
विद्युत क्षेत्र $x$-अक्ष के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह स्थिति सदिश का $x$-अक्ष के साथ कोण और विद्युत क्षेत्र तथा स्थिति सदिश के बीच के कोण $\alpha$ का योग है।
इस प्रकार,$\theta = \phi + \alpha = \frac{\pi}{3} + \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

(C) जब $+q$ और $-q$ आवेशों वाला एक विद्युत द्विध्रुव,जो $2a$ की दूरी पर स्थित है,एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखा जाता है,तो $+q$ आवेश पर बल $F = qE$ और $-q$ आवेश पर बल $F = -qE$ कार्य करता है।
द्विध्रुव पर कुल बल $F_{net} = qE + (-qE) = 0$ होता है।
चूंकि ये दोनों बल अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं,इसलिए वे एक बल-युग्म बनाते हैं जो द्विध्रुव पर एक आघूर्ण (torque) उत्पन्न करता है,जिसे $\tau = p \times E$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,द्विध्रुव आघूर्ण का अनुभव करता है लेकिन उस पर कोई कुल बल कार्य नहीं करता है।

(D) दिया गया है: आवेश $q = 4 \times 10^{-8} \ C$,दूरी $2l = 2 \times 10^{-2} \ cm = 2 \times 10^{-4} \ m$,विद्युत क्षेत्र $E = 4 \times 10^8 \ N/C$.
सबसे पहले,द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times 2l = (4 \times 10^{-8}) \times (2 \times 10^{-4}) = 8 \times 10^{-12} \ C \cdot m$ की गणना करें।
अधिकतम टॉर्क $\tau_{max} = pE = (8 \times 10^{-12}) \times (4 \times 10^8) = 32 \times 10^{-4} \ N \cdot m$ है।
द्विध्रुव को संतुलन स्थिति से $180^{\circ}$ के कोण पर घुमाने के लिए किया गया कार्य $W = pE(1 - \cos 180^{\circ}) = pE(1 - (-1)) = 2pE$ है।
$W = 2 \times (32 \times 10^{-4}) = 64 \times 10^{-4} \ J$।

(D) विद्युत द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$ होता है।
चूंकि आवेश $q$ पर बल $F = qE$ होता है,इसलिए $F \propto \frac{1}{r^3}$ है।
जब दूरी को दोगुना किया जाता है,तो नई दूरी $r' = 2r$ हो जाती है।
अतः नया बल $F' = F \cdot (\frac{r}{r'})^3 = F \cdot (\frac{r}{2r})^3 = F \cdot (\frac{1}{2})^3 = \frac{F}{8}$ होगा।

(B) द्विध्रुव (dipole) पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = pE \sin \theta$ है। छोटे कोण $\theta$ के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $\tau = pE\theta$ है।
छड़ के केंद्र के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = m(\frac{L}{2})^2 + m(\frac{L}{2})^2 = \frac{mL^2}{2}$ है।
गति का समीकरण $I \alpha = -\tau$ है,जिससे $\frac{mL^2}{2} \frac{d^2\theta}{dt^2} = -qLE\theta$ प्राप्त होता है।
यह सरल आवर्त गति का समीकरण है,जहाँ कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{qLE}{I}} = \sqrt{\frac{qLE}{mL^2/2}} = \sqrt{\frac{2qE}{mL}}$ है।
कोण $\theta$ से $0$ तक जाने में लगा समय आवर्तकाल $T$ का एक-चौथाई है,अर्थात $t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} \times \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\pi}{2\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $t = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{mL}{2qE}}$ प्राप्त होता है।

(B) माना परिणामी विद्युत क्षेत्र सदिश और त्रिज्यीय सदिश के बीच का कोण $\alpha$ है। स्थिति सदिश के कोण $\theta$ और विद्युत क्षेत्र के त्रिज्यीय दिशा के साथ कोण $\alpha$ के बीच का संबंध $\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan \theta$ है।
विद्युत क्षेत्र $y$-अक्ष की दिशा में है और स्थिति सदिश $OP$,$x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है। इसलिए,विद्युत क्षेत्र का $x$-अक्ष के साथ कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,विद्युत क्षेत्र और त्रिज्यीय सदिश के बीच का कोण $\alpha = 90^{\circ} - \theta$ होगा।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{1}{2} \tan \theta$.
चूंकि $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$,इसलिए $\cot \theta = \frac{1}{2} \tan \theta$.
इसे सरल करने पर $\tan^2 \theta = 2$ प्राप्त होता है,अर्थात $\tan \theta = \sqrt{2}$।

(A) इस निकाय में मूल बिंदु $(0,0,0)$ पर $-2q$ आवेश स्थित है। इसे दो अलग-अलग द्विध्रुवों के रूप में माना जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक में $q$ और $-q$ आवेश हैं।
पहला द्विध्रुव $-q$ (मूल बिंदु पर) और $+q$ (बिंदु $(a,0,0)$ पर) द्वारा बनता है,जिसका द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}_1 = qa \hat{i}$ है।
दूसरा द्विध्रुव $-q$ (मूल बिंदु पर) और $+q$ (बिंदु $(0,a,0)$ पर) द्वारा बनता है,जिसका द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}_2 = qa \hat{j}$ है।
परिणामी द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}_{net} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = qa \hat{i} + qa \hat{j}$ होगा।
इसका परिमाण $|\vec{p}_{net}| = \sqrt{(qa)^2 + (qa)^2} = \sqrt{2}qa$ है।
इसकी दिशा $\hat{i} + \hat{j}$ सदिश की दिशा में है,जो मूल बिंदु $(0,0,0)$ से बिंदु $(a,a,0)$ की ओर इंगित करती है।

(A) बाह्य विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बलाघूर्ण $\tau = pE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश और विद्युत क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ को संदर्भ स्थिति (जहाँ $U = 0$) से वर्तमान स्थिति $\theta$ तक द्विध्रुव को घुमाने के लिए बाह्य बल द्वारा किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है। $\theta = 90^o$ पर $U = 0$ दिया गया है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा:
$U = -\int_{90^o}^{\theta} \tau \, d\theta = -\int_{\pi/2}^{\theta} pE \sin \theta \, d\theta$
$U = -pE [-\cos \theta]_{\pi/2}^{\theta} = pE (\cos \theta - \cos 90^o)$
चूँकि $\cos 90^o = 0$,इसलिए हमें $U = -pE \cos \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,बलाघूर्ण $pE \sin \theta$ है और स्थितिज ऊर्जा $-pE \cos \theta$ है।

(D) दिया गया है: $\theta = 30^\circ$,$E = 2 \times 10^5 \, \text{NC}^{-1}$,$\tau = 4 \, \text{Nm}$,और $l = 2 \, \text{cm} = 0.02 \, \text{m}$.
विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क: $\tau = pE \sin \theta$,जहाँ $p = ql$.
टॉर्क के सूत्र में $p = ql$ रखने पर: $\tau = qlE \sin \theta$.
$q$ के लिए हल करने पर: $q = \frac{\tau}{El \sin \theta}$.
मान रखने पर: $q = \frac{4}{2 \times 10^5 \times 0.02 \times \sin(30^\circ)}$.
चूँकि $\sin(30^\circ) = 0.5$: $q = \frac{4}{2 \times 10^5 \times 0.02 \times 0.5} = \frac{4}{2 \times 10^3} = 2 \times 10^{-3} \, \text{C}$.
अतः,$q = 2 \, \text{mC}$.

(C) पहिये के संतुलन में रहने के लिए,पहिये के केंद्र के परितः कुल बलाघूर्ण (torque) शून्य होना चाहिए।
संपर्क बिंदु पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक $mg \sin\theta$ के कारण केंद्र के परितः बलाघूर्ण $\tau_g = (mg \sin\theta)r$ है।
विद्युत क्षेत्र $E$ ऊर्ध्वाधर है। द्विध्रुव आघूर्ण $p = q(2r)$ $-q$ से $+q$ की दिशा में है। मान लीजिए कि द्विध्रुव आघूर्ण और ऊर्ध्वाधर विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण $\alpha$ है। ज्यामिति से,द्विध्रुव और क्षैतिज के बीच का कोण $\theta$ है,इसलिए ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\alpha = 90^\circ - \theta$ होगा।
विद्युत क्षेत्र के कारण बलाघूर्ण $\tau_e = pE \sin\alpha = (q \cdot 2r) E \sin(90^\circ - \theta) = 2qrE \cos\theta$ है।
बलाघूर्णों को बराबर करने पर: $mgr \sin\theta = 2qrE \cos\theta$.
$E$ के लिए हल करने पर: $E = \frac{mgr \sin\theta}{2qr \cos\theta} = \frac{mg \tan\theta}{2q}$.

(C) बिंदु $P$,द्विध्रुव $1$ और द्विध्रुव $2$ की निरक्षीय (equatorial) रेखा पर और द्विध्रुव $3$ की अक्षीय (axial) रेखा पर स्थित है।
$x$ दूरी पर निरक्षीय बिंदु के लिए,विद्युत क्षेत्र $E_{eq} = \frac{kp}{x^3}$ होता है जो द्विध्रुव आघूर्ण की विपरीत दिशा में होता है।
$x$ दूरी पर अक्षीय बिंदु के लिए,विद्युत क्षेत्र $E_{ax} = \frac{2kp}{x^3}$ होता है जो द्विध्रुव आघूर्ण की दिशा में होता है।
$1$. द्विध्रुव $1$ के कारण: $E_1 = \frac{kp}{x^3}$ (बाईं ओर)।
$2$. द्विध्रुव $2$ के कारण: $E_2 = \frac{kp}{x^3}$ (बाईं ओर)।
$3$. द्विध्रुव $3$ के कारण: $E_3 = \frac{2kp}{x^3}$ (दाईं ओर)।
$P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net} = E_3 - (E_1 + E_2) = \frac{2kp}{x^3} - \left( \frac{kp}{x^3} + \frac{kp}{x^3} \right) = \frac{2kp}{x^3} - \frac{2kp}{x^3} = 0$।

(C) एक उदासीन जल अणु $(H_2O)$ में $10$ इलेक्ट्रॉन और $10$ प्रोटॉन होते हैं। धनात्मक या ऋणात्मक केंद्र का कुल आवेश $q = 10e$ है,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण का सूत्र $p = q \cdot d$ है,जहाँ $d$ धनात्मक और ऋणात्मक आवेश के केंद्रों के बीच की दूरी है।
दिया गया है कि $p = 6.4 \times 10^{-30} \ C \cdot m$ और $q = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 1.6 \times 10^{-18} \ C$ है।
अतः,$d = \frac{p}{q} = \frac{6.4 \times 10^{-30}}{1.6 \times 10^{-18}} \ m = 4 \times 10^{-12} \ m$ है।
चूँकि $1 \ pm = 10^{-12} \ m$,इसलिए दूरी $4 \ pm$ है।

(C) एक विद्युत द्विध्रुव के कारण उसकी अक्षीय स्थिति में $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{axial} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2\vec{p}}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
एक विद्युत द्विध्रुव के कारण उसके लंब समद्विभाजक (निरक्षीय स्थिति) पर समान दूरी $r$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{equatorial} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि बिंदु $A$ अक्ष पर है और बिंदु $B$ लंब समद्विभाजक पर है,इसलिए $\vec{E}_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2\vec{p}}{r^3}$ और $\vec{E}_B = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ है।
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\vec{E}_A = -2 \vec{E}_B$ प्राप्त होता है।

(B) द्विध्रुव के कारण अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र हमेशा उस बिंदु से गुजरने वाली विद्युत क्षेत्र रेखा के स्पर्शरेखा (tangent) होता है।
बिंदु $P$ पर,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$,धनात्मक आवेश $(E_+)$ और ऋणात्मक आवेश $(E_-)$ द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है।
$E_+$,धनात्मक आवेश से दूर इंगित करता है,और $E_-$,ऋणात्मक आवेश की ओर इंगित करता है।
परिणामी विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E_r} = \vec{E_+} + \vec{E_-}$ बिंदु $P$ पर क्षेत्र रेखा के स्पर्शरेखा है,जो ऊपर-बाईं दिशा की ओर इशारा करता है।
इसलिए,ऊपर-बाईं ओर इशारा करने वाला तीर बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(A) द्विध्रुव आघूर्ण की परिभाषा $\vec{p} = \int \vec{r} dq$ है。
माना $\lambda$ रैखिक आवेश घनत्व है। चाप पर कुल आवेश $q = \lambda \times (\text{चाप की लंबाई}) = \lambda (R \times \frac{\pi}{2})$ है, इसलिए $\lambda = \frac{2q}{\pi R}$।
क्षैतिज अक्ष से $\theta$ कोण पर स्थित $dq = \lambda R d\theta$ अवयव पर विचार करें। इस अवयव का स्थिति सदिश $\vec{r} = R \cos \theta \hat{i} + R \sin \theta \hat{j}$ है。
केंद्र के सापेक्ष चाप का द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p} = \int_{0}^{\pi/2} (R \cos \theta \hat{i} + R \sin \theta \hat{j}) \lambda R d\theta$ है。
घटकों की गणना करने पर:
$p_x = \lambda R^2 \int_{0}^{\pi/2} \cos \theta d\theta = \lambda R^2 [\sin \theta]_{0}^{\pi/2} = \lambda R^2$।
$p_y = \lambda R^2 \int_{0}^{\pi/2} \sin \theta d\theta = \lambda R^2 [-\cos \theta]_{0}^{\pi/2} = \lambda R^2$।
द्विध्रुव आघूर्ण का परिमाण $p = \sqrt{p_x^2 + p_y^2} = \sqrt{(\lambda R^2)^2 + (\lambda R^2)^2} = \sqrt{2} \lambda R^2$ है。
$\lambda = \frac{2q}{\pi R}$ का मान रखने पर:
$p = \sqrt{2} \times (\frac{2q}{\pi R}) \times R^2 = \frac{2\sqrt{2}qR}{\pi}$।

(D) $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाली वलय की अक्ष पर $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$x = R/\sqrt{2}$ रखने पर,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQ(R/\sqrt{2})}{(R^2 + R^2/2)^{3/2}} = \frac{2kQ}{3\sqrt{3}R^2}$ प्राप्त होता है।
विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव $P$ पर लगने वाला बल $F = P \frac{dE}{dx}$ होता है।
हमें $x = R/\sqrt{2}$ पर अवकलन $\frac{dE}{dx}$ ज्ञात करना है।
$\frac{dE}{dx} = kQ \frac{R^2-2x^2}{(R^2+x^2)^{5/2}}$ प्राप्त होता है।
जब $x = R/\sqrt{2}$ होता है,तो $R^2 - 2x^2 = R^2 - 2(R^2/2) = 0$ हो जाता है।
अतः,द्विध्रुव पर लगने वाला बल $F = P \cdot 0 = 0$ है।

(B) दो छोटे विद्युत द्विध्रुवों $\vec{p}_1$ और $\vec{p}_2$ के बीच अन्योन्यक्रिया की स्थितिज ऊर्जा का सामान्य व्यंजक इस प्रकार है:
$W = -\frac{k}{r^3} \left[ \frac{3(\vec{p}_1 \cdot \vec{r})(\vec{p}_2 \cdot \vec{r})}{r^2} - \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2 \right]$
दी गई विन्यास से:
$1$. सदिश $\vec{r}$,$\vec{p}_1$ की दिशा में है,इसलिए $\vec{p}_1 \cdot \vec{r} = P_1 r \cos(0) = P_1 r$ है।
$2$. $\vec{p}_2$ और $\vec{r}$ के बीच का कोण $\theta$ है,इसलिए $\vec{p}_2 \cdot \vec{r} = P_2 r \cos \theta$ है।
$3$. $\vec{p}_1$ और $\vec{p}_2$ के बीच का कोण $\theta$ है,इसलिए $\vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2 = P_1 P_2 \cos \theta$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$W = -\frac{k}{r^3} \left[ \frac{3(P_1 r)(P_2 r \cos \theta)}{r^2} - P_1 P_2 \cos \theta \right]$
$W = -\frac{k}{r^3} [3 P_1 P_2 \cos \theta - P_1 P_2 \cos \theta]$
$W = -\frac{k}{r^3} [2 P_1 P_2 \cos \theta]$
$W = -\frac{2kP_1P_2\cos \theta}{r^3}$

(C) द्विध्रुव की अक्ष पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ की दिशा में ही होती है।
जब द्विध्रुव को $90^o$ वामावर्त घुमाया जाता है,तो द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ की दिशा भी $90^o$ वामावर्त घूम जाती है।
चूंकि बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ हमेशा द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ के समानांतर होता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ भी $90^o$ वामावर्त ही घूमेगा।

(A) निकाय का कुल आवेश $Q_{total} = 3q + q - 2q - 2q = 0$ है। चूँकि कुल आवेश शून्य है,इसलिए द्विध्रुव आघूर्ण मूल बिंदु के चयन पर निर्भर नहीं करता है।
द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{P}$ का सूत्र $\vec{P} = \sum q_i \vec{r}_i$ है।
दिए गए स्थान:
$3q$ आवेश $(0, a)$ पर $\implies \vec{r}_1 = a\hat j$
$q$ आवेश $(0, -a)$ पर $\implies \vec{r}_2 = -a\hat j$
$-2q$ आवेश $(-a, 0)$ पर $\implies \vec{r}_3 = -a\hat i$
$-2q$ आवेश $(a, 0)$ पर $\implies \vec{r}_4 = a\hat i$
द्विध्रुव आघूर्ण की गणना:
$\vec{P} = (3q)(a\hat j) + (q)(-a\hat j) + (-2q)(-a\hat i) + (-2q)(a\hat i)$
$\vec{P} = 3qa\hat j - qa\hat j + 2qa\hat i - 2qa\hat i$
$\vec{P} = 2qa\hat j$

(D) दिया गया है: $\vec{p} = (2.0\hat{i} + 3.0\hat{j}) \times 10^{-6} \text{ C m}$ और $\vec{E} = (3.0\hat{i} + 2.0\hat{k}) \times 10^{5} \text{ N C}^{-1}$।
$1$. बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E} = (2.0\hat{i} + 3.0\hat{j}) \times 10^{-6} \times (3.0\hat{i} + 2.0\hat{k}) \times 10^{5}$.
$\vec{\tau} = 0.1 \times [ (2.0\hat{i} \times 3.0\hat{i}) + (2.0\hat{i} \times 2.0\hat{k}) + (3.0\hat{j} \times 3.0\hat{i}) + (3.0\hat{j} \times 2.0\hat{k}) ]$.
क्रॉस गुणन का उपयोग करते हुए: $\hat{i} \times \hat{i} = 0, \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}, \hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$.
$\vec{\tau} = 0.1 \times [ 0 - 4.0\hat{j} - 9.0\hat{k} + 6.0\hat{i} ] = (0.6\hat{i} - 0.4\hat{j} - 0.9\hat{k}) \text{ Nm}$. कथन $(A)$ सही है।
$2$. स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = - [ (2.0\hat{i} + 3.0\hat{j}) \times 10^{-6} \cdot (3.0\hat{i} + 2.0\hat{k}) \times 10^{5} ]$.
$U = -0.1 \times [ (2.0 \times 3.0) + (3.0 \times 0) ] = -0.6 \text{ J}$. कथन $(B)$ सही है।
$3$. अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $U_{\text{max}} = |\vec{p}| |\vec{E}|$.
$|\vec{p}| = \sqrt{2.0^2 + 3.0^2} \times 10^{-6} = \sqrt{13} \times 10^{-6} \text{ C m}$.
$|\vec{E}| = \sqrt{3.0^2 + 2.0^2} \times 10^{5} = \sqrt{13} \times 10^{5} \text{ N C}^{-1}$.
$U_{\text{max}} = \sqrt{13} \times 10^{-6} \times \sqrt{13} \times 10^{5} = 13 \times 10^{-1} = 1.3 \text{ J}$. कथन $(C)$ सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $(D)$ है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि एक विद्युत द्विध्रुव में दो समान और विपरीत आवेश ($+q$ और $-q$) होते हैं,इसलिए गोले के भीतर कुल आवेश $q_{net} = +q + (-q) = 0$ होता है।
इसलिए,गोले से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{0}{\epsilon_0} = 0$ है।
हालाँकि,गोले पर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र द्विध्रुव के व्यक्तिगत आवेशों द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है,जो हर बिंदु पर शून्य नहीं होता है।
इसी तरह,गोले पर हर जगह विद्युत विभव शून्य नहीं होता है,सिवाय द्विध्रुव के निरक्षीय तल (equatorial plane) के।

(D) असमान विद्युत क्षेत्र में,द्विध्रुव के दो आवेशों $+q$ और $-q$ की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता अलग-अलग होती है।
मान लीजिए कि $+q$ की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र $E_1$ है और $-q$ की स्थिति पर $E_2$ है।
धनात्मक आवेश पर बल $F_1 = qE_1$ है और ऋणात्मक आवेश पर बल $F_2 = -qE_2$ है।
चूंकि $E_1 \neq E_2$,बलों के परिमाण असमान हैं $(|F_1| \neq |F_2|)$।
चूंकि बल असमान हैं और अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं,वे एक-दूसरे को रद्द नहीं करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक शुद्ध स्थानांतरीय बल उत्पन्न होता है।
इसके अतिरिक्त,चूंकि बल संरेखीय (collinear) नहीं हैं,वे द्विध्रुव पर एक टॉर्क भी लगाते हैं।
इसलिए,द्विध्रुव टॉर्क और स्थानांतरीय बल दोनों का अनुभव करता है।

(C) विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया बलाघूर्ण $\vec{T} = \vec{P} \times \vec{E}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{P} = P \cos \theta \hat{i} + P \sin \theta \hat{j}$ है।
पहले विद्युत क्षेत्र $\vec{E_1} = E\hat{i}$ के लिए:
$\vec{T_1} = (P \cos \theta \hat{i} + P \sin \theta \hat{j}) \times (E\hat{i}) = PE \cos \theta (\hat{i} \times \hat{i}) + PE \sin \theta (\hat{j} \times \hat{i}) = 0 - PE \sin \theta \hat{k} = -PE \sin \theta \hat{k}$.
दिया गया है $\vec{T_1} = \tau \hat{k}$,इसलिए $\tau = -PE \sin \theta$.
दूसरे विद्युत क्षेत्र $\vec{E_2} = \sqrt{3}E\hat{j}$ के लिए:
$\vec{T_2} = (P \cos \theta \hat{i} + P \sin \theta \hat{j}) \times (\sqrt{3}E\hat{j}) = \sqrt{3}PE \cos \theta (\hat{i} \times \hat{j}) + \sqrt{3}PE \sin \theta (\hat{j} \times \hat{j}) = \sqrt{3}PE \cos \theta \hat{k} + 0 = \sqrt{3}PE \cos \theta \hat{k}$.
दिया गया है $\vec{T_2} = -\vec{T_1} = -(\tau \hat{k}) = -(-PE \sin \theta \hat{k}) = PE \sin \theta \hat{k}$.
$\vec{T_2}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\sqrt{3}PE \cos \theta \hat{k} = PE \sin \theta \hat{k}$.
$\tan \theta = \sqrt{3}$.
अतः,$\theta = 60^{\circ}$.

(A) निकाय का द्रव्यमान केंद्र कण $A$ से $r_A = \frac{m \cdot L}{2m + m} = \frac{L}{3}$ की दूरी पर और कण $B$ से $r_B = \frac{2m \cdot L}{2m + m} = \frac{2L}{3}$ की दूरी पर है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = (2m)r_A^2 + m r_B^2 = 2m(\frac{L}{3})^2 + m(\frac{2L}{3})^2 = \frac{2mL^2}{9} + \frac{4mL^2}{9} = \frac{6mL^2}{9} = \frac{2mL^2}{3}$ है।
छोटे कोण $\theta$ के लिए प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -(qE \cdot r_A \sin \theta + qE \cdot r_B \sin \theta) = -qE L \sin \theta \approx -qE L \theta$ है।
$\tau = I \alpha$ का उपयोग करने पर,$-qE L \theta = \frac{2mL^2}{3} \alpha$,जिससे $\alpha = -\frac{3qE}{2mL} \theta$ प्राप्त होता है।
यह सरल आवर्त गति को दर्शाता है जहाँ $\omega^2 = \frac{3qE}{2mL}$ है।
$\theta = 0$ पर कोणीय वेग $\omega_{max} = \omega \theta_0 = \theta_0 \sqrt{\frac{3qE}{2mL}}$ है।
छड़ में तनाव $T$ कणों के लिए अभिकेंद्र बल प्रदान करता है। कण $B$ के लिए,$T - qE = m \omega_{max}^2 r_B = m (\theta_0^2 \frac{3qE}{2mL}) (\frac{2L}{3}) = qE \theta_0^2$ होता है।
अतः,$T = qE + qE \theta_0^2$ प्राप्त होता है।

(A) $r$ दूरी पर स्थित $\vec{p}_1$ और $\vec{p}_2$ आघूर्ण वाले दो द्विध्रुवों के बीच अन्योन्यक्रिया की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} [\vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2 - 3(\vec{p}_1 \cdot \hat{r})(\vec{p}_2 \cdot \hat{r})]$ द्वारा दी जाती है। अगल-बगल स्थित द्विध्रुवों के लिए,$\vec{p}_1 \cdot \hat{r} = 0$ और $\vec{p}_2 \cdot \hat{r} = 0$ है,इसलिए $U = \frac{\vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2}{4\pi\epsilon_0 r^3}$ होता है।
व्यवस्था $(1)$ में,तीनों द्विध्रुव समानांतर हैं। मान लीजिए प्रत्येक द्विध्रुव का परिमाण $p$ है। अन्योन्यक्रिया ऊर्जा $U_1 = U_{12} + U_{23} + U_{13} = \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} + \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} + \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 (2r)^3} = \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} (1 + 1 + 1/8) = 2.125 \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3}$ है। यह धनात्मक और सबसे बड़ी है।
व्यवस्था $(2)$ में,तीसरा द्विध्रुव प्रति-समानांतर है। $U_2 = U_{12} + U_{23} + U_{13} = \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} + \frac{-p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} + \frac{-p^2}{4\pi\epsilon_0 (2r)^3} = \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} (1 - 1 - 1/8) = -0.125 \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3}$ है।
व्यवस्था $(3)$ में,बीच वाला द्विध्रुव प्रति-समानांतर है। $U_3 = U_{12} + U_{23} + U_{13} = \frac{-p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} + \frac{-p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} + \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 (2r)^3} = \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} (-1 - 1 + 1/8) = -1.875 \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3}$ है।
मानों की तुलना करने पर,$U_1 > U_2 > U_3$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $\alpha$ वह कोण है जो परिणामी विद्युत क्षेत्र सदिश,बिंदु $A$ के स्थिति सदिश $r$ के साथ बनाता है।
द्विध्रुव आघूर्ण $p$ और स्थिति सदिश $r$ के बीच का कोण $\theta$ है।
परिणामी विद्युत क्षेत्र और स्थिति सदिश के बीच के कोण $\alpha$ का सूत्र $\tan \alpha = \frac{\tan \theta}{2}$ है।
यह दिया गया है कि विद्युत क्षेत्र द्विध्रुव आघूर्ण $p$ के लंबवत है,इसलिए विद्युत क्षेत्र और द्विध्रुव आघूर्ण के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
ज्यामिति से,विद्युत क्षेत्र और स्थिति सदिश के बीच का कोण $\alpha$ और कोण $\theta$ के बीच संबंध $\alpha + \theta = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\alpha = 90^{\circ} - \theta$ है।
इसे टेंजेंट सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{\tan \theta}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ होता है,इसलिए $\cot \theta = \frac{\tan \theta}{2}$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{\tan \theta} = \frac{\tan \theta}{2}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\tan^2 \theta = 2$ है।
अतः,$\tan \theta = \sqrt{2}$,या $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{2})$ है।

(D) $r$ दूरी पर स्थित $p$ आघूर्ण वाले दो समानांतर द्विध्रुवों के बीच अन्योन्य क्रिया ऊर्जा,प्रति-समानांतर विन्यास के लिए $u = -\frac{kp^2}{r^3}$ और समानांतर विन्यास के लिए $u = \frac{kp^2}{r^3}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए द्विध्रुव बाएं से दाएं $D_1, D_2, D_3$ हैं।
प्रारंभिक विन्यास (सभी समानांतर):
$U_1 = u(D_1, D_2) + u(D_2, D_3) + u(D_1, D_3)$
$U_1 = \frac{kp^2}{a^3} + \frac{kp^2}{a^3} + \frac{kp^2}{(2a)^3} = \frac{2kp^2}{a^3} + \frac{kp^2}{8a^3} = \frac{17kp^2}{8a^3} = U$.
अंतिम विन्यास (एक अंतिम द्विध्रुव उलट दिया गया,मान लीजिए $D_1$):
$U_2 = u(D_1, D_2) + u(D_2, D_3) + u(D_1, D_3)$
$U_2 = -\frac{kp^2}{a^3} + \frac{kp^2}{a^3} - \frac{kp^2}{(2a)^3} = -\frac{kp^2}{8a^3}$.
विद्युत बलों द्वारा किया गया कार्य $W = U_{initial} - U_{final} = U_1 - U_2$.
$W = \frac{17kp^2}{8a^3} - (-\frac{kp^2}{8a^3}) = \frac{18kp^2}{8a^3}$.
चूंकि $U = \frac{17kp^2}{8a^3}$,इसलिए $\frac{kp^2}{a^3} = \frac{8U}{17}$.
इसे $W$ में प्रतिस्थापित करने पर: $W = \frac{18}{8} \times \frac{8U}{17} = \frac{18U}{17}$.

(B) आवेशों के निकाय का कुल द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}_{net}$,$\vec{p} = \sum q_i \vec{r}_i$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{r}_i$ घड़ी के केंद्र से आवेश $q_i$ का स्थिति सदिश है।
व्यवस्था का अवलोकन करके,हम एक-दूसरे के विपरीत आवेशों की जोड़ी बना सकते हैं। स्थिति $\vec{r}$ पर आवेश $q$ और स्थिति $-\vec{r}$ पर आवेश $-q$ एक द्विध्रुव बनाते हैं जिसका आघूर्ण $\vec{p} = q\vec{r} - (-q)\vec{r} = 2q\vec{r}$ है।
घड़ी के डायल को देखने पर,आवेश $1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11$ बजे की स्थिति पर रखे गए हैं। विशेष रूप से:
- $1$ बजे $(+Q)$ और $7$ बजे $(-Q)$: द्विध्रुव $7$ से $1$ की दिशा में है।
- $2$ बजे $(+Q)$ और $8$ बजे $(-Q)$: द्विध्रुव $8$ से $2$ की दिशा में है।
- $4$ बजे $(+Q)$ और $10$ बजे $(-Q)$: द्विध्रुव $10$ से $4$ की दिशा में है।
- $5$ बजे $(+Q)$ और $11$ बजे $(-Q)$: द्विध्रुव $11$ से $5$ की दिशा में है।
इन सदिशों का योग करने पर,कुल द्विध्रुव आघूर्ण $3$ बजे की दिशा में प्राप्त होता है।

(C) अनंत लंबाई के आवेशित तार के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$ द्वारा दिया जाता है।
असमान विद्युत क्षेत्र में एक छोटे विद्युत द्विध्रुव $\vec{p}$ पर लगने वाला बल $\vec{F} = (\vec{p} \cdot \nabla) \vec{E}$ होता है।
त्रिज्यीय दिशा के साथ $\theta$ कोण पर स्थित द्विध्रुव के लिए,बल का परिमाण $F = |p \cos \theta \frac{dE}{dr}|$ है।
चूंकि $\frac{dE}{dr} = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r^2}$,इसलिए बल का परिमाण $F = p |\cos \theta| \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r^2}$ होता है।
यहाँ,सभी द्विध्रुवों के लिए $r$ समान है। बल $|\cos \theta|$ पर निर्भर करता है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ और त्रिज्यीय विद्युत क्षेत्र की दिशा के बीच का कोण है।
$p_3$ के लिए,$\theta = 0^\circ$,इसलिए $|\cos 0^\circ| = 1$ है।
$p_2$ और $p_4$ के लिए,$\theta = 45^\circ$,इसलिए $|\cos 45^\circ| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ है।
$p_1$ और $p_5$ के लिए,$\theta = 90^\circ$,इसलिए $|\cos 90^\circ| = 0$ है।
अतः,$F_3 > F_2 = F_4 > F_1 = F_5$।

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ द्वारा दिया जाता है।
टॉर्क का परिमाण $\tau = pE \sin\theta$ होता है।
ग्राफ से,अधिकतम टॉर्क $\tau_{\text{max}} = 50 \times 10^{-28}\ N\cdot m$ है ($\theta = 90^\circ$ पर,जहाँ $\sin\theta = 1$ होता है)।
अतः,$\tau_{\text{max}} = pE$.
यहाँ $E = 40\ N/C$ और $\tau_{\text{max}} = 50 \times 10^{-28}\ N\cdot m$ दिया गया है:
$50 \times 10^{-28} = p \times 40$
$p = \frac{50 \times 10^{-28}}{40}$
$p = 1.25 \times 10^{-28}\ C\cdot m$.

(D) यह प्रणाली दो समानांतर डिस्क से बनी है जिनका सतह आवेश घनत्व $\sigma$ और $-\sigma$ है,जो एक विद्युत द्विध्रुव (dipole) बनाती हैं।
प्रत्येक डिस्क पर कुल आवेश $Q = \sigma A = \sigma \pi R^2$ है।
इस प्रणाली का द्विध्रुव आघूर्ण $p$,$p = Ql = \sigma \pi R^2 l$ द्वारा दिया जाता है।
द्विध्रुव की अक्ष पर $r$ की बड़ी दूरी पर स्थित बिंदु $P$ के लिए,विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$.
$p$ का मान रखने पर:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2(\sigma \pi R^2 l)}{r^3}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$E = \frac{2 \sigma \pi R^2 l}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} = \frac{\sigma R^2 l}{2 \varepsilon_0 r^3}$.

(C) विद्युत क्षेत्र रेखाएं बाईं ओर एक-दूसरे के करीब हैं और दाईं ओर दूर हैं,जो यह दर्शाता है कि विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ बाईं ओर अधिक है और दाईं ओर कम है।
आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
द्विध्रुव में बाईं ओर एक ऋणात्मक आवेश $-q$ और दाईं ओर एक धनात्मक आवेश $+q$ होता है।
ऋणात्मक आवेश $-q$ पर बल बाईं ओर (क्षेत्र की दिशा के विपरीत) कार्य करता है और इसका परिमाण $F_{-q} = qE_{left}$ है।
धनात्मक आवेश $+q$ पर बल दाईं ओर (क्षेत्र की दिशा में) कार्य करता है और इसका परिमाण $F_{+q} = qE_{right}$ है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र बाईं ओर अधिक है $(E_{left} > E_{right})$,इसलिए ऋणात्मक आवेश पर लगने वाले बल का परिमाण धनात्मक आवेश पर लगने वाले बल के परिमाण से अधिक है $(F_{-q} > F_{+q})$।
अतः,द्विध्रुव पर परिणामी बल बाईं ओर की दिशा में होगा।

(C) पहिये के संतुलन में रहने के लिए,नत समतल के साथ संपर्क बिंदु के परितः कुल बलाघूर्ण (torque) शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए पहिये की त्रिज्या $R$ है। $+q$ और $-q$ आवेशों को जोड़ने वाली रेखा $2R$ लंबाई का व्यास है।
व्यास और नत समतल के बीच का कोण $\alpha$ है। ज्यामिति के अनुसार,$\alpha = \theta$ है।
द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ के कारण संपर्क बिंदु के परितः बलाघूर्ण शून्य है।
$+q$ पर विद्युत बल $qE$ (क्षैतिज रूप से बाईं ओर) और $-q$ पर $qE$ (क्षैतिज रूप से दाईं ओर) है।
विद्युत क्षेत्र के कारण संपर्क बिंदु पर बलाघूर्ण $\tau_E = (qE \cos \theta) R + (qE \cos \theta) R = 2qER \cos \theta$ है।
हालाँकि,एक खुरदरे समतल पर संतुलन के लिए,केंद्र पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण के घटक $mg \sin \theta$ के कारण बलाघूर्ण को संतुलित होना चाहिए। संपर्क बिंदु के परितः गुरुत्वाकर्षण के घटक $mg \sin \theta$ के कारण बलाघूर्ण $(mg \sin \theta) R$ है।
बलाघूर्णों को बराबर करने पर: $2qER \cos \theta = mgR \sin \theta$.
$E$ के लिए हल करने पर: $E = \frac{mg \sin \theta}{2q \cos \theta} = \frac{mg \tan \theta}{2q}$.

(D) बिंदु $P$ पर तीसरे आवेश को संतुलित करने के लिए,उस पर लगने वाला कुल स्थिरवैद्युत बल शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए।
एक विद्युत द्विध्रुव (समान परिमाण और विपरीत चिह्न वाले दो बिंदु आवेश) के मामले में,आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र प्रत्येक आवेश द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग होता है।
अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के लिए,द्विध्रुव द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र कभी भी शून्य नहीं होता है क्योंकि धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों के क्षेत्र सदिश किसी भी सीमित दूरी पर एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं।
इसलिए,द्विध्रुव के आसपास ऐसा कोई बिंदु $P$ नहीं है जहाँ कुल विद्युत क्षेत्र शून्य हो,और इस प्रकार तीसरे आवेश को संतुलित नहीं किया जा सकता है।

(C) बाह्य विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{p} \cdot \vec{E}$ द्वारा दी जाती है।
द्विध्रुव की अक्ष पर $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{r^2}$ होता है।
यहाँ,$p = 4 \, C-m$,$q = 8 \times 10^{-6} \, C$,और $r = 4 \, m$ है।
आवेश के कारण द्विध्रुव की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{9 \times 10^9 \times 8 \times 10^{-6}}{4^2} = \frac{72 \times 10^3}{16} = 4.5 \times 10^3 \, N/C$ है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव $x$-अक्ष के अनुदिश (विद्युत क्षेत्र के समानांतर) है,इसलिए $\theta_1 = 0^\circ$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_1 = -pE \cos(0^\circ) = -pE$ है।
$\frac{\pi}{2}$ के कोण से घुमाने के बाद,नया कोण $\theta_2 = \frac{\pi}{2}$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -pE \cos(90^\circ) = 0$ है।
किया गया कार्य $W = U_2 - U_1 = 0 - (-pE) = pE$ है।
$W = 4 \times 4.5 \times 10^3 = 18 \times 10^3 \, J = 18 \, mJ$।

(C) द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ वाले द्विध्रुव के कारण उसकी निरक्षीय रेखा (equatorial line) पर $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{eq} = -\frac{k\vec{p}}{x^3}$ होता है।
द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ वाले द्विध्रुव के कारण उसकी अक्षीय रेखा (axial line) पर $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{ax} = \frac{2k\vec{p}}{x^3}$ होता है।
दो ऊर्ध्वाधर द्विध्रुवों के लिए, बिंदु $M$ उनकी निरक्षीय रेखा पर स्थित है। प्रत्येक द्विध्रुव बाईं ओर $\frac{kp}{x^3}$ परिमाण का विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है। अतः, इन दोनों का कुल विद्युत क्षेत्र बाईं ओर $\frac{kp}{x^3} + \frac{kp}{x^3} = \frac{2kp}{x^3}$ होगा।
क्षैतिज द्विध्रुव के लिए, बिंदु $M$ उसकी अक्षीय रेखा पर स्थित है। यह दाईं ओर $\frac{2kp}{x^3}$ परिमाण का विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
$M$ पर नेट विद्युत क्षेत्र इन क्षेत्रों का सदिश योग है: $\vec{E}_{net} = \frac{2kp}{x^3} (\text{दाईं}) - \frac{2kp}{x^3} (\text{बाईं}) = 0$.

(C) द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु $(r, \theta)$ पर विद्युत विभव $V = \frac{kp \cos \theta}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
निरक्षीय तल (इस चित्र में $y$-अक्ष) के लिए,$\theta = 90^\circ$ है,इसलिए $\cos 90^\circ = 0$,जिसका अर्थ है कि $y$-अक्ष पर सभी बिंदुओं पर विभव शून्य है,जिसमें बिंदु $B$ और $D$ शामिल हैं।
चूंकि $V_B = 0$ और $V_D = 0$,इसलिए बिंदु $B$ से $D$ तक एक परीक्षण आवेश $q_0$ को ले जाने में किया गया कार्य $W = q_0(V_D - V_B) = 0$ है।
अक्षीय रेखा पर बिंदुओं $A$ और $C$ के लिए,विभव शून्य नहीं है और $V_A \neq V_C$ है। इसलिए,$A$ और $C$ के बीच आवेश को ले जाने में किया गया कार्य शून्य नहीं है।

(A) यह निकाय एक विद्युत द्विध्रुव बनाता है जिसमें $+q$ आवेश $(-d, 0)$ पर और $-q$ आवेश $(+d, 0)$ पर स्थित है।
$1$. $y$-अक्ष पर स्थित बिंदुओं के लिए,द्विध्रुव के कारण विद्युत क्षेत्र धनात्मक आवेश से ऋणात्मक आवेश की ओर होता है,जो $-\hat{i}$ दिशा में है।
$2$. $x$-अक्ष पर स्थित बिंदुओं के लिए,विद्युत क्षेत्र की दिशा आवेशों के सापेक्ष स्थिति के आधार पर बदलती रहती है।
$3$. द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ की दिशा $-q$ से $+q$ की ओर होती है,अर्थात $(+d, 0)$ से $(-d, 0)$ की ओर,जो $-\hat{i}$ दिशा है। इसका परिमाण $p = q(2d) = 2qd$ है।
$4$. मूल बिंदु $(0, 0)$ पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{d} + \frac{k(-q)}{d} = 0$ है। चूंकि मूल बिंदु पर विभव शून्य है,इसलिए अनंत से एक परीक्षण आवेश को मूल बिंदु तक लाने में किया गया कार्य $W = q_0 \Delta V = q_0(0 - 0) = 0$ होगा।

(D) विद्युत द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर उसके केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2pr}{r^3} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3}$ होता है।
चूंकि आवेश $q$ पर बल $F = qE$ होता है,इसलिए $F \propto \frac{1}{r^3}$ है।
यदि दूरी $r$ को दोगुना $(r' = 2r)$ कर दिया जाए,तो नया बल $F'$ होगा: $F' = F \times (\frac{r}{r'})^3 = F \times (\frac{r}{2r})^3 = F \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{F}{8}$।

(B) एक छोटे द्विध्रुव के कारण उसकी निरक्षीय रेखा पर $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_{eq} = \frac{kp}{r^3}$ होता है। इस क्षेत्र की दिशा द्विध्रुव आघूर्ण सदिश के विपरीत होती है ($+q$ से $-q$ की ओर)।
एक छोटे द्विध्रुव के कारण उसकी अक्षीय रेखा पर $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_{axis} = \frac{2kp}{r^3}$ होता है। इस क्षेत्र की दिशा द्विध्रुव आघूर्ण सदिश की दिशा में होती है ($-q$ से $+q$ की ओर)।
चित्र के विश्लेषण के आधार पर,नेट विद्युत क्षेत्र $E_{net} = \frac{2kp}{r^3}$ प्राप्त होता है।

(C) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ की दिशा ऋण आवेश $(-q)$ से धन आवेश $(+q)$ की ओर होती है।
विद्युत द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा पर,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ की दिशा के प्रति-समानांतर (anti-parallel) होती है।
इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र सदिश,द्विध्रुव आघूर्ण सदिश की विपरीत दिशा में इंगित करता है।
इसलिए,निरक्षीय रेखा पर विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के बीच का कोण $180^o$ है।

(B) विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ द्वारा त्रिज्यीय सदिश $\vec{r}$ (रेखा $OP$) के साथ बनाया गया कोण $\phi$,$\tan \phi = \frac{E_{\perp}}{E_{\|}} = \frac{1}{2} \tan \alpha$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\alpha$ स्थिति सदिश द्वारा द्विध्रुव अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ,$\alpha = \frac{\pi}{3}$ है।
इसलिए,$\tan \phi = \frac{1}{2} \tan \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\phi = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$।
विद्युत क्षेत्र $x$-अक्ष के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह स्थिति सदिश का $x$-अक्ष के साथ कोण और $\phi$ का योग है।
अतः,$\theta = \alpha + \phi = \frac{\pi}{3} + \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$।

(C) कोने $C$ पर स्थित $-2q$ आवेश को दो $-q$ आवेशों के रूप में माना जा सकता है।
$C$ पर एक $-q$ आवेश $A$ पर स्थित $+q$ के साथ एक द्विध्रुव बनाता है (द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}_1$,$C$ से $A$ की ओर,परिमाण $p = ql$)।
$C$ पर दूसरा $-q$ आवेश $B$ पर स्थित $+q$ के साथ एक द्विध्रुव बनाता है (द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}_2$,$C$ से $B$ की ओर,परिमाण $p = ql$)।
इन दो द्विध्रुव आघूर्णों $\vec{p}_1$ और $\vec{p}_2$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
परिणामी द्विध्रुव आघूर्ण है:
$p_{net} = \sqrt{p^2 + p^2 + 2pp \cos 60^{\circ}}$
$p_{net} = \sqrt{2p^2 + 2p^2(1/2)} = \sqrt{3p^2} = \sqrt{3}p$
$p = ql$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $p_{net} = \sqrt{3}ql$ प्राप्त होता है।