एक विद्युत द्विध्रुव के कारण उसके निरक्षीय तल पर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र का समीकरण प्राप्त कीजिए।

(N/A) मान लीजिए एक द्विध्रुव में $+q$ और $-q$ आवेश हैं जो $2a$ की दूरी पर स्थित हैं। द्विध्रुव के केंद्र $O$ से $r$ दूरी पर निरक्षीय तल पर एक बिंदु $P$ है।
बिंदु $P$ की $+q$ और $-q$ से दूरियाँ समान हैं:
$r_{+} = r_{-} = \sqrt{r^{2} + a^{2}}$
दोनों आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र के परिमाण समान हैं:
$E_{+q} = E_{-q} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2} + a^{2}}$
विद्युत क्षेत्र सदिशों को घटकों में वियोजित करने पर:
$1$. द्विध्रुव अक्ष के लंबवत घटक $(E \sin \theta)$ परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
$2$. द्विध्रुव अक्ष के समानांतर घटक $(E \cos \theta)$ एक ही दिशा में (द्विध्रुव आघूर्ण $\hat{p}$ की विपरीत दिशा में) होते हैं।
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र:
$E = -(E_{+q} \cos \theta + E_{-q} \cos \theta) \hat{p}$
$E = -2 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2} + a^{2}} \right) \cos \theta \hat{p}$
ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{r^{2} + a^{2}}}$. यह मान रखने पर:
$E = -\frac{2aq}{4 \pi \varepsilon_{0} (r^{2} + a^{2})^{3/2}} \hat{p}$
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण $p = q(2a)$ है:
$E = -\frac{p}{4 \pi \varepsilon_{0} (r^{2} + a^{2})^{3/2}} \hat{p}$
एक छोटे द्विध्रुव के लिए $(r \gg a)$:
$E \approx -\frac{p}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \hat{p}$