Electric Dipole and Electric Field Questions in Hindi

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में रखे $\vec{p}$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$।
परिमाण के रूप में,इसे $\tau = pE \sin \theta$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ और विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ के बीच का कोण है।
बल आघूर्ण के शून्य होने के लिए,$\sin \theta = 0$ होना चाहिए।
यह तब होता है जब $\theta = 0^{\circ}$ (स्थायी संतुलन) या $\theta = 180^{\circ}$ (अस्थायी संतुलन) हो।
अतः,जब द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र के समानांतर या प्रति-समानांतर होता है,तो बल आघूर्ण शून्य हो जाता है।

(C) एकसमान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में स्थित $\vec{p}$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले विद्युत द्विध्रुव पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = pE \sin \theta$,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ और विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ के बीच का कोण है।
बल आघूर्ण को अधिकतम करने के लिए,$\sin \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 90^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
अतः,जब विद्युत द्विध्रुव को एकसमान विद्युत क्षेत्र के लंबवत रखा जाता है,तो बल आघूर्ण अधिकतम होता है।

(N/A) एकसमान बाह्य विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में रखे विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\vec{\tau}$,द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है:
$\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$
परिमाण के रूप में,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\tau = pE \sin \theta$
जहाँ $\theta$,द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ और विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ के बीच का कोण है।
विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण को परिभाषित करने के लिए,उस स्थिति पर विचार करें जहाँ द्विध्रुव को विद्युत क्षेत्र के लंबवत रखा गया हो,अर्थात $\theta = 90^\circ$। चूँकि $\sin 90^\circ = 1$,इसलिए टॉर्क होगा:
$\tau = pE$
$p$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p = \frac{\tau}{E}$
इस प्रकार,विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण को उस टॉर्क के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक विद्युत द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया जाता है जब उसे इकाई एकसमान विद्युत क्षेत्र के लंबवत रखा जाता है।

(C) $x$-अक्ष पर $'r'$ दूरी पर स्थित दो द्विध्रुवों $\overrightarrow{p}_{1}$ और $\overrightarrow{p}_{2}$ की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{\overrightarrow{p}_{1} \cdot \overrightarrow{p}_{2} - 3(\overrightarrow{p}_{1} \cdot \hat{r})(\overrightarrow{p}_{2} \cdot \hat{r})}{r^{3}} \right]$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\overrightarrow{p}_{1} = p\hat{i}$,$\overrightarrow{p}_{2} = -p\hat{i}$,और $\hat{r} = \hat{i}$.
अतः,$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{(p\hat{i}) \cdot (-p\hat{i}) - 3(p\hat{i} \cdot \hat{i})(-p\hat{i} \cdot \hat{i})}{a^{3}} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{-p^{2} - 3(p)(-p)}{a^{3}} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{2p^{2}}{a^{3}} \right] = \frac{p^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}a^{3}}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$KE_{i} + PE_{i} = KE_{f} + PE_{f}$.
प्रारंभ में,$KE_{i} = 0$ और $PE_{i} = \frac{p^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}a^{3}}$.
अंत में,अनंत दूरी पर,$PE_{f} = 0$ और $KE_{f} = 2 \times (\frac{1}{2}mv^{2}) = mv^{2}$.
इस प्रकार,$0 + \frac{p^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}a^{3}} = mv^{2} + 0$.
$v^{2} = \frac{p^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}ma^{3}}$.
$v = \frac{p}{a} \sqrt{\frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}ma}}$.

(A) $\overrightarrow{p}$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले विद्युत द्विध्रुव के लिए,विषुवतीय तल पर बड़ी दूरी $r$ ($r >> a$,जहाँ $2a$ आवेशों के बीच की दूरी है) पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है:
$\overrightarrow{E} = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\overrightarrow{p}}{r^{3}}$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विषुवतीय बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\overrightarrow{p}$ (जो $-q$ से $+q$ की ओर होता है) की दिशा के विपरीत है।

(A) $R$ त्रिज्या की वलय की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q x}{(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$-q$ आवेश वाले कण पर लगने वाला बल $F = -qE = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q q x}{(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$ है।
दिया गया है कि $x \ll R$,इसलिए हम $R^{2} + x^{2} \approx R^{2}$ मान सकते हैं। अतः,$F \approx -\left( \frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} \right) x$.
यह सरल आवर्त गति का समीकरण $(F = -kx)$ है,जहाँ प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3} m}}$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3} m}{Q q}} = \sqrt{\frac{4 \pi^{2} \cdot 4 \pi \varepsilon_{0} R^{3} m}{Q q}} = \sqrt{\frac{16 \pi^{3} \varepsilon_{0} R^{3} m}{Q q}}$.

(B) विद्युत क्षेत्र रेखाएं $+q$ आवेश के पास एक-दूसरे के करीब हैं,जिसका अर्थ है कि $+q$ आवेश की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $-q$ आवेश की स्थिति की तुलना में अधिक है। मान लीजिए $+q$ पर क्षेत्र $E_1$ है और $-q$ पर क्षेत्र $E_2$ है। अतः,$|E_1| > |E_2|$ है।
धनात्मक आवेश पर बल $F_+ = qE_1$ (दाईं ओर) है और ऋणात्मक आवेश पर बल $F_- = qE_2$ (बाईं ओर) है।
चूंकि $|E_1| > |E_2|$ है,इसलिए परिणामी बल $F_{net} = q(E_1 - E_2)$ दाईं ओर कार्य करता है।
एक भौतिक प्रणाली स्वाभाविक रूप से उस दिशा में गति करती है जो उसकी स्थितिज ऊर्जा को कम करती है। इसलिए,द्विध्रुव दाईं ओर गति करेगा क्योंकि इसकी स्थितिज ऊर्जा कम हो जाएगी।

(B) बिंदु $C$ पर द्विध्रुव $A$ के कारण विद्युत क्षेत्र (इसकी अक्षीय रेखा पर) $E_{A} = \frac{2kp_{1}}{r^{3}}$ है जो अक्ष की दिशा में है।
बिंदु $C$ पर द्विध्रुव $B$ के कारण विद्युत क्षेत्र (इसकी निरक्षीय रेखा पर) $E_{B} = \frac{kp_{2}}{r^{3}}$ है जो अक्ष के लंबवत है।
परिणामी विद्युत क्षेत्र अक्ष के साथ $37^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए:
$\tan 37^{\circ} = \frac{E_{B}}{E_{A}}$
दिया गया है $\sin 37^{\circ} = \frac{3}{5}$,इसलिए $\cos 37^{\circ} = \frac{4}{5}$,और $\tan 37^{\circ} = \frac{3}{4}$।
मान रखने पर:
$\frac{3}{4} = \frac{\frac{kp_{2}}{r^{3}}}{\frac{2kp_{1}}{r^{3}}} = \frac{p_{2}}{2p_{1}}$
अनुपात $\frac{p_{1}}{p_{2}}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{4}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(A) दिया गया निकाय दो समान और विपरीत बिंदु आवेशों से बना है जो $L$ की अल्प दूरी पर स्थित हैं,जो एक विद्युत द्विध्रुव (electric dipole) का निर्माण करते हैं।
एक विद्युत द्विध्रुव के लिए,द्विध्रुव के केंद्र से बड़ी दूरी $R$ $(R \gg L)$ पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ का सामान्य सूत्र है:
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{R^3} \sqrt{1 + 3 \cos^2 \theta}$
जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ स्थिति सदिश और द्विध्रुव अक्ष के बीच का कोण है।
चूंकि $p = qL$ स्थिर है,हम देख सकते हैं कि $E \propto \frac{1}{R^3}$।
अतः,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का परिमाण $1/R^3$ के अनुसार परिवर्तित होता है।

(A) एक समान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया अधिकतम टॉर्क $|\tau|_{\max} = PE$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ द्विध्रुव आघूर्ण है और $E$ विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है।
पहले द्विध्रुव के लिए: $P_1 = 1.2 \times 10^{-30} \, C \cdot m$ और $E_1 = 5 \times 10^{4} \, N \cdot C^{-1}$।
दूसरे द्विध्रुव के लिए: $P_2 = 2.4 \times 10^{-30} \, C \cdot m$ और $E_2 = 15 \times 10^{4} \, N \cdot C^{-1}$।
अधिकतम टॉर्क का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \frac{P_1 E_1}{P_2 E_2} = \frac{(1.2 \times 10^{-30}) \times (5 \times 10^{4})}{(2.4 \times 10^{-30}) \times (15 \times 10^{4})}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \left(\frac{1.2}{2.4}\right) \times \left(\frac{5}{15}\right) = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6}$
इसे $\frac{1}{x}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 6$ प्राप्त होता है।

(C) द्विध्रुव के कारण विद्युत विभव $V(r, \theta) = \frac{p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ है।
निरक्षीय तल पर,$\theta = \frac{\pi}{2}$ होने पर,विभव $V = 0$ होता है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ विभव के ऋणात्मक प्रवणता द्वारा दिया जाता है,$\vec{E} = -\nabla V$.
निरक्षीय तल पर,विभव शून्य है,लेकिन द्विध्रुव की दिशा में विभव के परिवर्तन की दर शून्य नहीं है।
विशेष रूप से,निरक्षीय तल पर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ के विपरीत दिशा में होता है।
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ अक्ष $\theta = 0$ के अनुदिश है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{2}$ तल पर विद्युत क्षेत्र निरक्षीय तल के समानांतर (अर्थात तल के अनुदिश) होता है।
इसलिए,विकल्प $(c)$ सही है।

(A) बिंदु $P$ पर धनात्मक आवेश $+q$ के कारण विद्युत क्षेत्र आवेश से दूर की दिशा में होता है, जिसे सदिश $E_1$ द्वारा दर्शाया गया है।
बिंदु $P$ पर ऋणात्मक आवेश $-q$ के कारण विद्युत क्षेत्र आवेश की ओर होता है, जिसे सदिश $E_2$ द्वारा दर्शाया गया है।
चूंकि बिंदु $P$ लंब समद्विभाजक पर स्थित है, इसलिए विद्युत क्षेत्रों के परिमाण समान हैं, अर्थात $|E_1| = |E_2|$।
जब इन सदिशों को घटकों में वियोजित किया जाता है, तो ऊर्ध्वाधर घटक ($E_1 \sin \theta$ और $E_2 \sin \theta$) एक-दूसरे के विपरीत दिशा में होने के कारण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
क्षैतिज घटक ($E_1 \cos \theta$ और $E_2 \cos \theta$) आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के समानांतर दिशा में जुड़ जाते हैं, जो धनात्मक आवेश से ऋणात्मक आवेश की ओर इंगित करते हैं।
दिए गए चित्र को देखने पर, सदिश $A$ आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के समानांतर है और $+q$ से $-q$ की ओर इंगित करता है।
अतः, परिणामी विद्युत क्षेत्र सदिश $A$ की दिशा में है।

(A) द्विध्रुव (dipole) के कारण उसके निरक्षीय तल (equatorial plane) पर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र,द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ के विपरीत दिशा में होता है।
द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ की दिशा $-q$ से $+q$ की ओर होती है,जो कि ऋणात्मक $x$-अक्ष (दाएं से बाएं) के अनुदिश है।
इसलिए,निरक्षीय तल पर स्थित बिंदु $M$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{\text{net}}$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश के समानांतर दिशा में,यानी $+q$ से $-q$ की ओर,जो कि धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश है,कार्य करता है।
चूंकि कुल विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}_{\text{net}}$ धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए $x$-अक्ष के साथ इसका कोण $\phi = 0^{\circ}$ होगा।

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे गए $P$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले विद्युत द्विध्रुव पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau = P E \sin \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश और विद्युत क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
बल आघूर्ण को अधिकतम होने के लिए,$\sin \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए,जो $\theta = 90^{\circ}$ पर होता है।
अतः,द्विध्रुव अधिकतम बल आघूर्ण का अनुभव तब करता है जब उसे विद्युत क्षेत्र की दिशा के लंबवत रखा जाता है।

(D) एक लघु विद्युत द्विध्रुव (द्विध्रुव आघूर्ण $p$) द्वारा उसकी अक्ष पर $R$ दूरी पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $p_2$ आघूर्ण का दूसरा लघु द्विध्रुव इस क्षेत्र में $R$ दूरी पर रखा जाता है,तो उस पर कार्य करने वाला बल $F = p_2 \cdot \frac{dE}{dR}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$E$ का व्यंजक रखने पर:
$F = p_2 \cdot \frac{d}{dR} \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p_1}{R^3} \right)$
$F = \frac{2p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{d}{dR} (R^{-3})$
$F = \frac{2p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0} \cdot (-3R^{-4})$
$F = -\frac{6p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0 R^4}$
बल का परिमाण $F = \frac{6p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0 R^4}$ है।
अतः,अन्योन्यक्रिया बल $F$,$\frac{1}{R^4}$ के समानुपाती है।

(A) दिया गया है: आवेश $q = 25 \times 10^{-9} \, C$,आवेशों के बीच की दूरी $2l = 6 \, m$,इसलिए $l = 3 \, m$। केंद्र से दूरी $r = 4 \, m$ है।
अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र $E_{\text{axial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2pr}{(r^2 - l^2)^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p = q(2l)$ है।
मान रखने पर: $E_{\text{axial}} = \frac{k \cdot 2(25 \times 10^{-9} \times 6) \times 4}{(4^2 - 3^2)^2} = \frac{k \cdot 1200 \times 10^{-9}}{49}$।
निरक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र $E_{\text{eq}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{(r^2 + l^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $E_{\text{eq}} = \frac{k \cdot (25 \times 10^{-9} \times 6)}{(4^2 + 3^2)^{3/2}} = \frac{k \cdot 150 \times 10^{-9}}{125}$।
अनुपात $\frac{E_{\text{axial}}}{E_{\text{eq}}} = \frac{1200 \times 10^{-9} / 49}{150 \times 10^{-9} / 125} = \frac{1200}{49} \times \frac{125}{150} = 8 \times \frac{125}{49} = \frac{1000}{49}$।

(C) बाह्य विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = pE \sin \theta$,जहाँ $p = q \times (2a)$ द्विध्रुव आघूर्ण है।
दिया गया है:
$\tau = 8 \sqrt{3} \,Nm$
$E = 4 \times 10^5 \,N/C$
$\theta = 60^{\circ}$
द्विध्रुव की लंबाई $(2a) = 4 \,cm = 4 \times 10^{-2} \,m$
मानों को सूत्र में रखने पर:
$8 \sqrt{3} = (q \times 4 \times 10^{-2}) \times (4 \times 10^5) \times \sin 60^{\circ}$
चूँकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$8 \sqrt{3} = q \times 16 \times 10^3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$8 \sqrt{3} = q \times 8 \sqrt{3} \times 10^3$
$1 = q \times 10^3$
$q = 10^{-3} \,C$.

(D) अनंत लंबाई के आवेशित तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ का मान $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ होता है,जो त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ तार की दिशा में (तार के समानांतर) स्थित है,इसलिए धनात्मक आवेश $+q$ पर बल $\vec{F}_1 = q\vec{E}$ है और ऋणात्मक आवेश $-q$ पर बल $\vec{F}_2 = -q\vec{E}$ है।
तार से $r$ की स्थिर दूरी पर,तार की दिशा में विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ समान रहता है,इसलिए द्विध्रुव के दोनों आवेशों पर क्षेत्र का परिमाण समान होता है।
अतः,बल $\vec{F}_1$ और $\vec{F}_2$ परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,जिसके परिणामस्वरूप कुल बल $F = F_1 - F_2 = 0$ होता है।

(B) द्विध्रुव आघूर्ण $p$ को $p = q \times (2a)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1 \,\mu C = 10^{-6} \,C$ और पृथक्करण दूरी $2a = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$ है।
अतः,$p = (10^{-6} \,C) \times (2 \times 10^{-2} \,m) = 2 \times 10^{-8} \,Cm$.
बाहरी विद्युत क्षेत्र $E$ में द्विध्रुव पर टॉर्क $\tau = pE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम टॉर्क तब होता है जब $\theta = 90^{\circ}$ हो,इसलिए $\tau_{\max} = pE$.
दिया गया है $E = 10^5 \,N/C$,इसलिए $\tau_{\max} = (2 \times 10^{-8} \,Cm) \times (10^5 \,N/C) = 2 \times 10^{-3} \,Nm$.

(C) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -p \cdot E = -pE \cos \theta$ होता है,जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश तथा विद्युत क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
स्थितिज ऊर्जा को न्यूनतम करने के लिए,हमें $\cos \theta$ के मान को अधिकतम करना होगा।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 0^{\circ}$ (या शून्य रेडियन) पर प्राप्त होता है।
सूत्र में $\theta = 0^{\circ}$ रखने पर,हमें $U_{\min} = -pE \cos(0^{\circ}) = -pE$ प्राप्त होता है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा तब न्यूनतम होती है जब द्विध्रुव आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण शून्य होता है।

(D) जब एक विद्युत द्विध्रुव को असमान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो धनात्मक आवेश $(+q)$ और ऋणात्मक आवेश $(-q)$ की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता अलग-अलग होती है।
चूंकि $\vec{F} = q\vec{E}$ होता है,इसलिए दोनों आवेशों पर कार्य करने वाले बलों का परिमाण समान नहीं होता है और वे समानांतर भी नहीं हो सकते,जिससे एक नेट परिणामी बल उत्पन्न होता है।
इसके अतिरिक्त,चूंकि बल अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य कर सकते हैं और उनके परिमाण या दिशाएं भिन्न हो सकती हैं,इसलिए वे द्विध्रुव के केंद्र के परितः एक आघूर्ण (बल-युग्म) उत्पन्न कर सकते हैं।
अतः,अभिविन्यास और असमान क्षेत्र की प्रकृति के आधार पर,द्विध्रुव एक परिणामी बल,एक बल-युग्म,या दोनों का अनुभव कर सकता है।
इस प्रकार,ये सभी स्थितियां संभव हैं।

(B) विद्युत द्विध्रुव के लंब समद्विभाजक पर स्थित किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ हमेशा शून्य होता है।
चूंकि अनंत पर भी विभव शून्य होता है,इसलिए विभवांतर $\Delta V = V_f - V_i = 0 - 0 = 0$ होता है।
आवेश $q$ को स्थानांतरित करने में किया गया कार्य $W$ का सूत्र $W = q \Delta V$ है।
मान रखने पर,$W = q(0) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,किया गया कार्य शून्य है।

(B) मान लीजिए मूल बिंदु पर द्विध्रुव $\vec{p}_1 = p \hat{k}$ है और $(1, 0, 2)$ पर द्विध्रुव $\vec{p}_2 = \frac{p}{2} \hat{k}$ है।
हमें बिंदु $A(1, 0, 0)$ पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करना है।
मूल बिंदु पर द्विध्रुव $\vec{p}_1$ के लिए,बिंदु $A(1, 0, 0)$ इसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित है (क्योंकि $\vec{p}_1$ $\hat{k}$ की दिशा में है और $A$ का स्थिति सदिश $\hat{i}$ है)। $\vec{p}_1$ के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_1 = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\vec{p}_1}{r_1^3} = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{p \hat{k}}{1^3} = -\frac{p}{4 \pi \epsilon_0} \hat{k}$ है।
$(1, 0, 2)$ पर द्विध्रुव $\vec{p}_2$ के लिए,द्विध्रुव के सापेक्ष $A(1, 0, 0)$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_2 = (1-1)\hat{i} + (0-0)\hat{j} + (0-2)\hat{k} = -2\hat{k}$ है। दूरी $r_2 = 2 \text{ m}$ है। चूंकि $\vec{p}_2$ $\hat{k}$ की दिशा में है और बिंदु $A$ $\vec{p}_2$ की अक्षीय रेखा पर स्थित है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 \vec{p}_2}{r_2^3} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 (p/2) \hat{k}}{2^3} = \frac{p}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\hat{k}}{8} = \frac{p}{32 \pi \epsilon_0} \hat{k}$ है।
परिणामी क्षेत्र $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = -\frac{p}{4 \pi \epsilon_0} \hat{k} + \frac{p}{32 \pi \epsilon_0} \hat{k} = \frac{-8p + p}{32 \pi \epsilon_0} \hat{k} = -\frac{7p}{32 \pi \epsilon_0} \hat{k}$ है।

(C) द्विध्रुव अपने द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ के परितः दोलन करेगा।
माना धनावेश का द्रव्यमान $m$ है और ऋणावेश का द्रव्यमान $2m$ है।
$CM$ से धनावेश की दूरी $r_1 = \frac{2m}{m+2m} \cdot l = \frac{2l}{3}$ है।
$CM$ से ऋणावेश की दूरी $r_2 = \frac{m}{m+2m} \cdot l = \frac{l}{3}$ है।
$CM$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = m r_1^2 + (2m) r_2^2 = m(\frac{2l}{3})^2 + 2m(\frac{l}{3})^2 = m(\frac{4l^2}{9}) + 2m(\frac{l^2}{9}) = \frac{6ml^2}{9} = \frac{2ml^2}{3}$ है।
छोटे $\theta$ के लिए,प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -pE \sin \theta \approx -q l E \theta$ है।
$\tau = I \alpha$ का उपयोग करने पर,हमें $I \alpha = -qlE \theta$ प्राप्त होता है।
$\frac{2ml^2}{3} \alpha = -qlE \theta \Rightarrow \alpha = -\frac{3qE}{2ml} \theta$.
$\alpha = -\omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega = \sqrt{\frac{3qE}{2ml}}$ प्राप्त होता है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q_{\text{in}}$ सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है।
एक विद्युत द्विध्रुव दो समान और विपरीत आवेशों,$+q$ और $-q$ से बना होता है। इसलिए,विद्युत द्विध्रुव का कुल आवेश $Q_{\text{in}} = (+q) + (-q) = 0$ होता है।
चूंकि सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश शून्य है,इसलिए सतह से बाहर आने वाला कुल फ्लक्स $\phi = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ होगा।
अतः,अभिकथन $A$ सत्य है क्योंकि द्विध्रुव का कुल आवेश शून्य है,और कारण $R$ सत्य है क्योंकि यह विद्युत द्विध्रुव की संरचना को सही ढंग से परिभाषित करता है,जो इस बात की व्याख्या करता है कि कुल आवेश शून्य क्यों है।
इसलिए,$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(B) द्विध्रुव आघूर्ण $p$ का मान $p = q \times d$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $q = 0.01\,C$ और $d = 0.4\,mm = 0.4 \times 10^{-3}\,m$ है।
अतः,$p = 0.01 \times 0.4 \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-6}\,Cm$ है।
विद्युत क्षेत्र $E = 10\,dyne/C$ है। चूंकि $1\,dyne = 10^{-5}\,N$,इसलिए $E = 10 \times 10^{-5}\,N/C = 10^{-4}\,N/C$ है।
टॉर्क $\tau$ का सूत्र $\tau = pE \sin \theta$ है,जहाँ $\theta = 30^{\circ}$ है।
$\tau = (4 \times 10^{-6}) \times (10^{-4}) \times \sin 30^{\circ}$ है।
$\tau = 4 \times 10^{-10} \times 0.5 = 2.0 \times 10^{-10}\,Nm$ है।

(C) एक छोटे विद्युत द्विध्रुव के कारण उसके निरक्षीय तल पर $r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{kp}{r^3}$
जहाँ $k$ कूलम्ब नियतांक है और $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है।
चूंकि $k$ और $p$ नियतांक हैं,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E$,$\frac{1}{r^3}$ के समानुपाती होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र दूरी के साथ $\frac{1}{r^3}$ के रूप में बदलता है।

(A) बाह्य विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया बलाघूर्ण $\tau$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = pE \sin \theta$,जहाँ $p = q \times \ell$ द्विध्रुव आघूर्ण है।
दिया गया है:
$\tau = 4\,N m$
$E = 2 \times 10^5\,N C^{-1}$
$\theta = 30^{\circ}$
$\ell = 2\,cm = 2 \times 10^{-2}\,m$
सूत्र में मान रखने पर:
$4 = q \times (2 \times 10^{-2}) \times (2 \times 10^5) \times \sin 30^{\circ}$
$4 = q \times (2 \times 10^{-2}) \times (2 \times 10^5) \times 0.5$
$4 = q \times 2 \times 10^3$
$q = \frac{4}{2 \times 10^3} = 2 \times 10^{-3}\,C$
$q = 2\,mC$.

(B) द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ को $\vec{p} = q(\vec{r}_B - \vec{r}_A)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $q = 4 \ \mu C = 4 \times 10^{-6} \ C$,$\vec{r}_A = (1, 0, 4) \ m$,और $\vec{r}_B = (2, -1, 5) \ m$ है।
$\vec{p} = 4 \times 10^{-6} \times [(2-1)\hat{i} + (-1-0)\hat{j} + (5-4)\hat{k}] = 4 \times 10^{-6} (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \ C \cdot m$.
विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 0.20 \ \hat{i} \ V/cm = 0.20 \times 10^2 \ \hat{i} \ V/m = 20 \ \hat{i} \ V/m$ है।
टॉर्क $\vec{\tau}$ को $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{\tau} = [4 \times 10^{-6} (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})] \times [20 \hat{i}] = 80 \times 10^{-6} [\hat{i} \times \hat{i} - \hat{j} \times \hat{i} + \hat{k} \times \hat{i}] \ Nm$.
चूँकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,और $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$,इसलिए:
$\vec{\tau} = 80 \times 10^{-6} [0 - (-\hat{k}) + \hat{j}] = 80 \times 10^{-6} (\hat{j} + \hat{k}) \ Nm = 8 \times 10^{-5} (\hat{j} + \hat{k}) \ Nm$.
टॉर्क का परिमाण $|\vec{\tau}| = 8 \times 10^{-5} \sqrt{1^2 + 1^2} = 8 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ Nm$ है।
इसे $8 \sqrt{\alpha} \times 10^{-5} \ Nm$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।

(C) यह निकाय दो द्विध्रुवों (dipoles) से बना है। पहले द्विध्रुव के आवेश $+q$ और $-q$ हैं जो $2l$ की दूरी पर हैं,इसलिए इसका द्विध्रुव आघूर्ण $p_1 = q(2l) = 2ql$ है जो $-q$ से $+q$ की ओर (दाईं ओर) है।
दूसरे द्विध्रुव के आवेश $+2q$ और $-2q$ हैं जो $4l$ की दूरी पर हैं,इसलिए इसका द्विध्रुव आघूर्ण $p_2 = 2q(4l) = 8ql$ है जो $-2q$ से $+2q$ की ओर (बाईं ओर) है।
परिणामी द्विध्रुव आघूर्ण $p_{\text{net}} = p_2 - p_1 = 8ql - 2ql = 6ql$ बाईं ओर है।
स्थिति सदिश $\vec{r}$ और परिणामी द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}_{\text{net}}$ के बीच का कोण $\theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
द्विध्रुव के कारण स्थिर वैद्युत विभव $V = \frac{kp_{\text{net}} \cos \theta}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V = \frac{(9 \times 10^9)(6ql) \cos(120^{\circ})}{r^2}$.
चूंकि $\cos(120^{\circ}) = -0.5$,हमें $V = \frac{(9 \times 10^9)(6ql)(-0.5)}{r^2} = -27 \left[ \frac{ql}{r^2} \right] \times 10^9 \text{ V}$ प्राप्त होता है।
दिए गए व्यंजक $-\alpha \left[ \frac{ql}{r^2} \right] \times 10^9 \text{ V}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 27$ प्राप्त होता है।

(C) द्विध्रुव के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित अक्षीय बिंदु $p$ पर विद्युत क्षेत्र $E_P = \frac{2Kp}{r^3} = E$ द्वारा दिया जाता है।
द्विध्रुव के केंद्र से $2r$ दूरी पर स्थित निरक्षीय बिंदु $R$ पर विद्युत क्षेत्र $E_R = \frac{Kp}{(2r)^3} = \frac{Kp}{8r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
$Kp = \frac{Er^3}{2}$ को $E_R$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E_R = \frac{1}{8r^3} \cdot \frac{Er^3}{2} = \frac{E}{16}$.
इसकी तुलना $\frac{E}{x}$ से करने पर,हमें $x = 16$ प्राप्त होता है।

(D) किसी द्विध्रुव के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{P \cos \theta}{r^2}$ होता है।
अक्षीय बिंदु के लिए, कोण $\theta$ या तो $0^{\circ}$ होता है या $180^{\circ}$।
अतः, विभव $V = \pm \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{P}{r^2}$ होता है।
यहाँ $P = 4 \times 10^{-6} \ C \ m$, $r = 2 \ m$, और $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ SI$ मात्रक दिए गए हैं।
इन मानों को रखने पर: $V = \pm \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}{2^2} = \pm \frac{36 \times 10^3}{4} = \pm 9 \times 10^3 \ V$।
इस प्रकार, अभिकथन $A$ और कारण $R$ दोनों सत्य हैं और $R$, $A$ की सही व्याख्या है।

(C) द्विध्रुव $\vec{p}$ के कारण बिंदु $(r, \theta)$ पर विभव $V_{dip} = \frac{k \vec{p} \cdot \hat{r}}{r^2}$ है। एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E_0 \hat{i}$ में,विभव $V_{ext} = -E_0 x = -E_0 r \cos \theta$ है।
वृत्त के समविभवी होने के लिए,कुल विभव $V = V_{dip} + V_{ext}$ को $\theta$ से स्वतंत्र होना चाहिए।
दिया है $\vec{p} = \frac{p_0}{\sqrt{2}}(\hat{i}+\hat{j})$,ध्रुवीय निर्देशांक में $\vec{p} = p_0(\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j})$।
$R$ दूरी पर विभव $V = \frac{k p_0 \cos(\theta - 45^\circ)}{R^2} - E_0 R \cos \theta$ है।
$\cos(\theta - 45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \theta + \sin \theta)$ का विस्तार करने पर:
$V = \left(\frac{k p_0}{R^2 \sqrt{2}} - E_0 R\right) \cos \theta + \left(\frac{k p_0}{R^2 \sqrt{2}}\right) \sin \theta$।
वृत्त एक समविभवी सतह है जहाँ नेट विद्युत क्षेत्र का स्पर्शरेखीय घटक शून्य है।
बिंदु $B$ पर,द्विध्रुव क्षेत्र का स्पर्शरेखीय घटक एक समान विद्युत क्षेत्र के स्पर्शरेखीय घटक को रद्द कर देता है। इससे $R = \left(\frac{p_0}{4 \pi \varepsilon_0 E_0}\right)^{1/3}$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $(1)$ सही है।
चूंकि नेट क्षेत्र एक समान क्षेत्र और गैर-समान द्विध्रुव क्षेत्र का सदिश योग है,इसलिए परिमाण वृत्त पर बदलता रहता है। अतः,$(2)$ गलत है।
बिंदु $B$ पर,त्रिज्यीय और स्पर्शरेखीय घटक एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप $\vec{E}_B = 0$ होता है। अतः,$(4)$ सही है।

(C) माना संतुलन से विस्थापन $x = \Delta \ell$ है।
संतुलन लंबाई $\ell$ पर,स्प्रिंग बल $F_{sp} = k\ell$ विद्युत बल $F_e = \frac{2kpq}{\ell^3}$ को संतुलित करता है। अतः,$k\ell = \frac{2kpq}{\ell^3}$.
जब $x$ से विस्थापित किया जाता है,तो कुल प्रत्यानयन बल $F_{net} = F_{sp} - F_e = k(\ell + x) - \frac{2kpq}{(\ell + x)^3}$ होता है।
$x \ll \ell$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1 + \frac{x}{\ell})^{-3} \approx 1 - \frac{3x}{\ell}$ का उपयोग करने पर:
$F_{net} = k\ell + kx - \frac{2kpq}{\ell^3}(1 + \frac{x}{\ell})^{-3} \approx k\ell + kx - \frac{2kpq}{\ell^3}(1 - \frac{3x}{\ell})$.
$k\ell = \frac{2kpq}{\ell^3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$F_{net} = k\ell + kx - k\ell(1 - \frac{3x}{\ell}) = k\ell + kx - k\ell + 3kx = 4kx$.
प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = 4k$ है।
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4k}{m}} = \frac{2}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।
इसकी तुलना $\frac{1}{\delta} \sqrt{\frac{k}{m}}$ से करने पर,हमें $\delta = \pi \approx 3.14$ प्राप्त होता है।

(C) निकाय की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = 0$ है।
निकाय की अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{k q p}{(2l \sin(\alpha/2))^2} + mgh$ है,जहाँ $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ है।
त्रिभुज की ज्यामिति से,दूरी $r = 2l \sin(\alpha/2)$ है।
संतुलन में आवेश $q$ पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,गुरुत्वाकर्षण $mg$ और विद्युत बल $F_e = qE$ हैं। $r$ दूरी पर द्विध्रुव का विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kp}{r^3} \sqrt{1 + 3\cos^2\phi}$ है। ज्यामिति के अनुसार,बल $F_e = \frac{kqp}{r^3} \times 2$ होता है।
लामी प्रमेय या संतुलन के लिए ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{mg}{\sin(90^\circ + \alpha/2)} = \frac{qE}{\sin(180^\circ - 2\theta)}$.
संतुलन की स्थिति को हल करने पर $F_e = mg \cdot 2 \sin(\alpha/2)$ प्राप्त होता है।
$F_e = \frac{kqp}{r^2} \cdot \frac{2}{r} = \frac{2kqp}{r^3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हम पाते हैं कि स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{kqp}{r^2} + mgh = mgh + mgh = 2mgh$ है।
अतः $W = \Delta U = U_f - U_i = 2mgh - 0 = 2mgh$,इसलिए $N = 2$।

(D) गोलीय कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,इसलिए यदि $r < R$ है तो द्विध्रुव पर कोई बल आघूर्ण (टॉर्क) कार्य नहीं करेगा और इसलिए यह दोलन नहीं करेगा। $r > R$ के लिए,द्विध्रुव की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ है,जहाँ $Q = 4 \pi R^2 \sigma$ है। अतः,$E = \frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0 r^2}$ है।
द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau = -p_0 E \sin \theta$ है। छोटे $\theta$ के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $\tau = -p_0 E \theta$ है।
गति के समीकरण $\tau = I \alpha$ का उपयोग करने पर,हमें $I \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -p_0 E \theta$ प्राप्त होता है,जो $\omega = \sqrt{\frac{p_0 E}{I}}$ कोणीय आवृत्ति के साथ सरल आवर्त गति को दर्शाता है।
$E = \frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0 r^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\omega = \sqrt{\frac{p_0 \sigma R^2}{\varepsilon_0 I r^2}} = \frac{R}{r} \sqrt{\frac{p_0 \sigma}{\varepsilon_0 I}}$ प्राप्त होता है।
$r = 2R$ के लिए,$\omega = \frac{R}{2R} \sqrt{\frac{p_0 \sigma}{\varepsilon_0 I}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{p_0 \sigma}{\varepsilon_0 I}} = \sqrt{\frac{p_0 \sigma}{4 \varepsilon_0 I}}$। अतः,कथन $(C)$ सही है।
$r = 10R$ के लिए,$\omega = \frac{R}{10R} \sqrt{\frac{p_0 \sigma}{\varepsilon_0 I}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{p_0 \sigma}{\varepsilon_0 I}} = \sqrt{\frac{p_0 \sigma}{100 \varepsilon_0 I}}$। अतः,कथन $(D)$ सही है।
इसलिए,कथन $(B)$,$(C)$ और $(D)$ सही हैं। हालाँकि,दिए गए विकल्पों के आधार पर,सबसे उपयुक्त विकल्प $(D)$ है।

(C) बिंदु $A$ द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर $r$ दूरी पर स्थित है। विद्युत विभव $V_A$ और विद्युत क्षेत्र $E_A$ इस प्रकार हैं:
$V_A = \frac{kP}{r^2} = V_0$
$E_A = \frac{2kP}{r^3} = E_0$
बिंदु $B$ द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा (equatorial line) पर $2r$ दूरी पर स्थित है। निरक्षीय रेखा पर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव $V_B$ शून्य होता है क्योंकि विभव $V = \frac{k \vec{P} \cdot \hat{r}}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,और निरक्षीय रेखा के लिए,$\vec{P}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ के बीच का कोण $90^\circ$ होता है,इसलिए $\cos(90^\circ) = 0$ होता है।
निरक्षीय रेखा पर $d = 2r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_B$ इस प्रकार है:
$E_B = \frac{kP}{d^3} = \frac{kP}{(2r)^3} = \frac{kP}{8r^3}$
चूंकि $E_0 = \frac{2kP}{r^3}$,इसलिए $\frac{kP}{r^3} = \frac{E_0}{2}$ है।
इस मान को $E_B$ के समीकरण में रखने पर:
$E_B = \frac{1}{8} \times \left( \frac{kP}{r^3} \right) = \frac{1}{8} \times \frac{E_0}{2} = \frac{E_0}{16}$।
अतः,विद्युत विभव शून्य है और विद्युत क्षेत्र $\frac{E_0}{16}$ है।

(C) द्विध्रुव $1$ (अक्षीय स्थिति) के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{2kpr}{(r^2-a^2)^2}$ है,जहाँ $p = q(2a)$ है। हालाँकि,व्यक्तिगत आवेशों से लगने वाले बलों को देखते हुए: द्विध्रुव $1$ के $+q$ से बल $F_1 = \frac{kqQ}{(r-a)^2}$ (प्रतिकर्षी) और $-q$ से बल $F_2 = \frac{kqQ}{(r+a)^2}$ (आकर्षक) है। द्विध्रुव $1$ से नेट बल $F_{net,1} = \frac{kqQ}{(r-a)^2} - \frac{kqQ}{(r+a)^2}$ है।
द्विध्रुव $2$ (निरक्षीय स्थिति) के लिए,विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{kp}{(r^2+a^2)^{3/2}}$ है। द्विध्रुव $2$ द्वारा $Q$ पर लगाया गया बल $F_{net,2} = \frac{k(2a)qQ}{(r^2+a^2)^{3/2}}$ है।
नेट बल शून्य होने के लिए,$F_{net,1} = F_{net,2}$ होना चाहिए।
$\frac{kqQ}{(r-a)^2} - \frac{kqQ}{(r+a)^2} = \frac{2akqQ}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
$\frac{(r+a)^2 - (r-a)^2}{(r^2-a^2)^2} = \frac{2a}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
$\frac{4ra}{(r^2-a^2)^2} = \frac{2a}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
$\frac{2r}{(r^2-a^2)^2} = \frac{1}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
इस समीकरण को $r/a$ के लिए हल करने पर $r/a \approx 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a/r \approx 1/3 \approx 0.33$। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,समस्या के लिए सबसे निकटतम भौतिक व्याख्या $a/r \approx 0.5$ (विकल्प $C$) है।

(A) द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times (2a)$ है। यहाँ,$q = 4 \times 10^{-6} \ C$ और दूरी $2a = 18 \ cm = 0.18 \ m$ है।
अतः,$p = (4 \times 10^{-6} \ C) \times (0.18 \ m) = 7.2 \times 10^{-7} \ Cm$ है।
विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -pE \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
द्विध्रुव को $\theta_1 = 0^{\circ}$ (साम्यावस्था) से $\theta_2 = 180^{\circ}$ तक घुमाने में किया गया कार्य $W = U_f - U_i = (-pE \cos 180^{\circ}) - (-pE \cos 0^{\circ})$ है।
$W = pE - (-pE) = 2pE$ है।
मान रखने पर: $W = 2 \times (7.2 \times 10^{-7} \ Cm) \times (10^4 \ NC^{-1})$ है।
$W = 14.4 \times 10^{-3} \ J = 14.4 \ mJ$ है।

(D) विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = p E_0 \sin \theta$ है। छोटे दोलनों के लिए $\sin \theta \approx \theta$,इसलिए $\tau = p E_0 \theta$।
चूंकि $p = q l$,इसलिए $\tau = q l E_0 \theta$।
प्रत्यानयन टॉर्क $\tau = -I \alpha$ है,जहाँ $I$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
दो बिंदु द्रव्यमान $m$ के लिए,$I = 2 \times m \times (l/2)^2 = \frac{m l^2}{2}$।
$SHM$ समीकरण $\frac{d^2 \theta}{dt^2} + \omega^2 \theta = 0$ के साथ तुलना करने पर,$\omega^2 = \frac{q l E_0}{I} = \frac{q l E_0}{m l^2 / 2} = \frac{2 q E_0}{m l}$।
आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m l}{2 q E_0}}$।

(C) एक अनंत धनात्मक आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ एकसमान होता है और शीट से दूर की ओर निर्देशित होता है।
दिए गए द्विध्रुव के लिए,द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$,$-q$ से $+q$ की ओर निर्देशित है,जो विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के समानांतर है।
द्विध्रुव पर आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $\vec{p}$ और $\vec{E}$ समानांतर हैं,उनके बीच का कोण $0^\circ$ है,इसलिए $\vec{\tau} = pE \sin(0^\circ) = 0$।
द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos(0^\circ) = -pE$ है,जो न्यूनतम संभव मान है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र एकसमान है,$+q$ पर बल $q\vec{E}$ (शीट से दूर) है और $-q$ पर बल $-q\vec{E}$ (शीट की ओर) है। द्विध्रुव पर नेट बल $F_{net} = qE - qE = 0$ है।

(B) अनंत अचालक शीट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\sigma = 100 \ \mu C/m^2 = 100 \times 10^{-6} \ C/m^2$.
$E = \frac{100 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{10^{-4}}{17.7 \times 10^{-12}} = \frac{10^8}{17.7} \ N/C \approx 5.65 \times 10^6 \ N/C$.
द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times d = (2 \times 10^{-6} \ C) \times (0.2 \ m) = 0.4 \times 10^{-6} \ Cm = 4 \times 10^{-7} \ Cm$.
द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = pE \sin \theta$ है,जहाँ $\theta = 30^{\circ}$.
$\tau = (4 \times 10^{-7}) \times (5.65 \times 10^6) \times \sin(30^{\circ})$
$\tau = (4 \times 10^{-7}) \times (5.65 \times 10^6) \times 0.5 = 2 \times 10^{-7} \times 5.65 \times 10^6 = 1.13 \ Nm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $1.12 \ Nm$ है।

(A) संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V = 5 \ V$ और $d = 0.5 \ mm = 5 \times 10^{-4} \ m$ है।
$E = \frac{5}{5 \times 10^{-4}} = 10^4 \ V/m$.
द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times a$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 2 \ \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$ और $a = 0.5 \ \mu m = 5 \times 10^{-7} \ m$ है।
$p = 2 \times 10^{-6} \times 5 \times 10^{-7} = 1 \times 10^{-12} \ C \cdot m$.
द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = pE \sin \theta$ है,जहाँ $\theta = 30^{\circ}$ है।
$\tau = (1 \times 10^{-12} \ C \cdot m) \times (10^4 \ V/m) \times \sin(30^{\circ})$.
$\tau = 10^{-8} \times 0.5 = 5 \times 10^{-9} \ N \cdot m$.

(B) दिया गया है:
द्विध्रुव आघूर्ण $p = 5 \times 10^{-6} \ Cm$
विद्युत क्षेत्र $E = 4 \times 10^5 \ N/C$
प्रारंभिक कोण $\theta_{i} = 0^{\circ}$
अंतिम कोण $\theta_{f} = 60^{\circ}$
विद्युत क्षेत्र में एक विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -pE \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_{f} - U_{i}$ है।
$\Delta U = (-pE \cos \theta_{f}) - (-pE \cos \theta_{i})$
$\Delta U = pE (\cos \theta_{i} - \cos \theta_{f})$
मान रखने पर:
$\Delta U = (5 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^5) \times (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$
$\Delta U = 20 \times 10^{-1} \times (1 - 0.5)$
$\Delta U = 2 \times 0.5 = 1 \ J$.

(A) एक समान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau = pE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\tau = 6 \ N-m$ और $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $6 = pE \sin 60^{\circ}$.
चूँकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,हमें $6 = pE \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $pE = \frac{12}{\sqrt{3}}$.
विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -pE \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$U = -\left( \frac{12}{\sqrt{3}} \right) \cos 60^{\circ}$.
चूँकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,हमें $U = -\left( \frac{12}{\sqrt{3}} \right) \left( \frac{1}{2} \right) = -\frac{6}{\sqrt{3}} = -2\sqrt{3} \ J$ प्राप्त होता है।

(B) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बलाघूर्ण $\tau$ इस प्रकार दिया जाता है: $\tau = pE \sin \theta$.
दिया गया है: $\tau = 20 \sqrt{3} \ Nm$,$\theta = 30^{\circ}$,और $E = 10^6 \ N/C$.
मान रखने पर: $20 \sqrt{3} = pE \sin 30^{\circ} = pE \times (1/2)$.
अतः,$pE = 40 \sqrt{3} \ Nm$.
बाह्य विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = -pE \cos \theta$.
मान रखने पर: $U = -(40 \sqrt{3}) \cos 30^{\circ} = -(40 \sqrt{3}) \times (\sqrt{3}/2)$.
$U = -40 \times (3/2) = -60 \ J$.

(D) एक समान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव पर कुल बल हमेशा शून्य होता है,क्योंकि दो आवेशों ($+q$ और $-q$) पर लगने वाले बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं $(F = qE + (-qE) = 0)$। अतः,कथन असत्य है।
एक समान विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = PE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। जब अक्ष क्षेत्र के लंबवत होती है,तो $\theta = 90^{\circ}$,इसलिए $\tau = PE \sin 90^{\circ} = PE$,जो कि अधिकतम टॉर्क है,शून्य नहीं। अतः,कारण भी असत्य है।

(C) द्विध्रुव की निरक्षीय स्थिति पर विद्युत क्षेत्र का सूत्र $E = \frac{kP}{r^3}$ होता है,जहाँ $P$ द्विध्रुव आघूर्ण है और $r$ द्विध्रुव के केंद्र से दूरी है।
यदि द्विध्रुव आघूर्ण को दोगुना $(P' = 2P)$ और दूरी को दोगुना $(r' = 2r)$ कर दिया जाए,तो नया विद्युत क्षेत्र $E'$ होगा:
$E' = \frac{k(2P)}{(2r)^3} = \frac{2kP}{8r^3} = \frac{1}{4} \left( \frac{kP}{r^3} \right) = \frac{E}{4}$.
अतः,नया विद्युत क्षेत्र $\frac{E}{4}$ होगा।

(A) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में विद्युत द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = pE \sin \theta$,जहाँ $p = q \times \ell$ द्विध्रुव आघूर्ण है।
दिया गया है: आवेश $q = 8 \times 10^{-9} \ C$,लंबाई $\ell = 4 \times 10^{-2} \ m$,कोण $\theta = 60^{\circ}$,और टॉर्क $\tau = 4 \sqrt{3} \ Nm$.
सूत्र में मान रखने पर: $\tau = (q \ell) E \sin \theta$.
$4 \sqrt{3} = (8 \times 10^{-9}) \times (4 \times 10^{-2}) \times E \times \sin 60^{\circ}$.
चूंकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$4 \sqrt{3} = (32 \times 10^{-11}) \times E \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$4 \sqrt{3} = (16 \times 10^{-11}) \times \sqrt{3} \times E$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर:
$4 = 16 \times 10^{-11} \times E$.
$E = \frac{4}{16 \times 10^{-11}} = 0.25 \times 10^{11} = 2.5 \times 10^{10} \ N/C$.

(B) द्विध्रुव आघूर्ण $p$ का मान $p = q \times (2a)$ होता है,जहाँ $q = 2 \times 10^{-6} \ C$ और पृथक्करण दूरी $2a = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$ है।
$p = (2 \times 10^{-6} \ C) \times (3 \times 10^{-2} \ m) = 6 \times 10^{-8} \ Cm$।
विद्युत क्षेत्र $E$ में द्विध्रुव पर लगने वाला टॉर्क $\tau = pE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम टॉर्क के लिए,$\theta = 90^{\circ}$,अतः $\tau_{\max} = pE$।
दिया गया है $E = 2 \times 10^5 \ N/C$।
$\tau_{\max} = (6 \times 10^{-8} \ Cm) \times (2 \times 10^5 \ N/C) = 12 \times 10^{-3} \ Nm$।