एक विद्युत द्विध्रुव (dipole) के कारण उसकी अक्षीय रेखा पर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र के लिए व्यंजक प्राप्त कीजिए।
(N/A) मान लीजिए कि एक विद्युत द्विध्रुव में $+q$ और $-q$ आवेश हैं जो एक-दूसरे से $2a$ की दूरी पर स्थित हैं। द्विध्रुव के केंद्र $O$ से $r$ दूरी पर अक्षीय रेखा पर एक बिंदु $P$ है।
$+q$ आवेश के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\overrightarrow{E}_{+q} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{(r-a)^{2}} \hat{p}$
$-q$ आवेश के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\overrightarrow{E}_{-q} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{(r+a)^{2}} \hat{p}$
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र इन क्षेत्रों का सदिश योग है:
$\overrightarrow{E} = \overrightarrow{E}_{+q} + \overrightarrow{E}_{-q} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{1}{(r-a)^{2}} - \frac{1}{(r+a)^{2}} \right] \hat{p}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\overrightarrow{E} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{(r+a)^{2} - (r-a)^{2}}{(r^{2}-a^{2})^{2}} \right] \hat{p} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{4ar}{(r^{2}-a^{2})^{2}} \right] \hat{p}$
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण $p = q(2a)$ है,हम लिख सकते हैं:
$\overrightarrow{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2pr}{(r^{2}-a^{2})^{2}} \hat{p}$
एक छोटे द्विध्रुव के लिए जहाँ $r >> a$,हम $r^{2}-a^{2} \approx r^{2}$ ले सकते हैं:
$\overrightarrow{E} \approx \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2pr}{r^{4}} \hat{p} = \frac{2p}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \hat{p}$
$+q$ आवेश के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\overrightarrow{E}_{+q} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{(r-a)^{2}} \hat{p}$
$-q$ आवेश के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\overrightarrow{E}_{-q} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{(r+a)^{2}} \hat{p}$
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र इन क्षेत्रों का सदिश योग है:
$\overrightarrow{E} = \overrightarrow{E}_{+q} + \overrightarrow{E}_{-q} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{1}{(r-a)^{2}} - \frac{1}{(r+a)^{2}} \right] \hat{p}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\overrightarrow{E} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{(r+a)^{2} - (r-a)^{2}}{(r^{2}-a^{2})^{2}} \right] \hat{p} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{4ar}{(r^{2}-a^{2})^{2}} \right] \hat{p}$
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण $p = q(2a)$ है,हम लिख सकते हैं:
$\overrightarrow{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2pr}{(r^{2}-a^{2})^{2}} \hat{p}$
एक छोटे द्विध्रुव के लिए जहाँ $r >> a$,हम $r^{2}-a^{2} \approx r^{2}$ ले सकते हैं:
$\overrightarrow{E} \approx \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2pr}{r^{4}} \hat{p} = \frac{2p}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \hat{p}$
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एक छोटा विद्युत द्विध्रुव $\vec{p}_0$,जिसका अपने केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है,को $R$ त्रिज्या वाले एक गोलीय कोश के केंद्र से $r$ दूरी पर रखा गया है। गोलीय कोश पर पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ समान रूप से वितरित है। द्विध्रुव को शुरू में चित्र में दिखाए अनुसार एक छोटे कोण $\theta$ पर उन्मुख किया गया है। $r$ दूरी पर रहते हुए,द्विध्रुव अपने केंद्र के परितः घूमने के लिए स्वतंत्र है। यदि इसे विरामावस्था से मुक्त किया जाता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं? [$\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है।]
$(A)$ द्विध्रुव $r$ के किसी भी परिमित मान पर छोटे दोलन करेगा।
$(B)$ द्विध्रुव $r > R$ के किसी भी परिमित मान पर छोटे दोलन करेगा।
$(C)$ द्विध्रुव $r = 2R$ पर $\sqrt{\frac{\sigma p_0}{4 \varepsilon_0 I}}$ की कोणीय आवृत्ति के साथ छोटे दोलन करेगा।
$(D)$ द्विध्रुव $r = 10R$ पर $\sqrt{\frac{\sigma p_0}{100 \varepsilon_0 I}}$ की कोणीय आवृत्ति के साथ छोटे दोलन करेगा।
$(A)$ द्विध्रुव $r$ के किसी भी परिमित मान पर छोटे दोलन करेगा।
$(B)$ द्विध्रुव $r > R$ के किसी भी परिमित मान पर छोटे दोलन करेगा।
$(C)$ द्विध्रुव $r = 2R$ पर $\sqrt{\frac{\sigma p_0}{4 \varepsilon_0 I}}$ की कोणीय आवृत्ति के साथ छोटे दोलन करेगा।
$(D)$ द्विध्रुव $r = 10R$ पर $\sqrt{\frac{\sigma p_0}{100 \varepsilon_0 I}}$ की कोणीय आवृत्ति के साथ छोटे दोलन करेगा।
एक द्विध्रुव (dipole) समान परिमाण $q$ और विपरीत प्रकृति के दो आवेशित कणों से बना है। धनावेशित कण का द्रव्यमान $m$,ऋणावेशित कण के द्रव्यमान $(2m)$ का आधा है। दोनों आवेश $l$ दूरी पर स्थित हैं। यदि द्विध्रुव को एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में इस प्रकार रखा जाता है कि द्विध्रुव अक्ष विद्युत क्षेत्र $E$ के साथ बहुत छोटा कोण $\theta$ बनाता है,तो मुक्त किए जाने पर द्विध्रुव के दोलनों की कोणीय आवृत्ति क्या होगी?
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