Electric Dipole and Electric Field Questions in Hindi

(D) विद्युत द्विध्रुव के कारण उसकी अक्षीय स्थिति (end-on position) पर $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान $E = \frac{2kp}{r^3}$ होता है,जहाँ $k$ कूलम्ब नियतांक है और $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है।
इस विद्युत क्षेत्र में रखे आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ होता है।
$E$ का मान रखने पर,$F = q \left( \frac{2kp}{r^3} \right)$,जिससे यह स्पष्ट है कि $F \propto \frac{1}{r^3}$ है।
यदि दूरी दोगुनी कर दी जाए $(r' = 2r)$,तो नया बल $F'$ होगा:
$F' \propto \frac{1}{(2r)^3} = \frac{1}{8r^3}$.
अतः,$F' = \frac{F}{8}$.

(B) आदर्श द्विध्रुव का विद्युत क्षेत्र जिसका आघूर्ण $\vec{p}$ है,$\vec{r}$ स्थिति पर $\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{3(\vec{p}\cdot\hat{r})\hat{r} - \vec{p}}{r^3}]$ होता है।
$(P)$ दोनों द्विध्रुव $x = -r$ और $x = r$ पर $\vec{p} = p\hat{j}$ हैं। $X(0,0)$ पर,$\vec{r}_1 = r\hat{i}$ और $\vec{r}_2 = -r\hat{i}$। दोनों का क्षेत्र निरक्षीय है: $\vec{E} = 2 \times [-\frac{p}{4\pi\epsilon_0 r^3}\hat{j}] = -\frac{p}{2\pi\epsilon_0 r^3}\hat{j}$। यह $(2)$ से मेल खाता है।
$(Q)$ द्विध्रुव $-r$ पर $p\hat{j}$ और $r$ पर $-p\hat{j}$ हैं। $X$ पर क्षेत्र समान और विपरीत हैं,इसलिए $\vec{E} = 0$। यह $(1)$ से मेल खाता है।
$(R)$ $-r$ पर द्विध्रुव $p\hat{j}$ (निरक्षीय क्षेत्र $-\frac{p}{4\pi\epsilon_0 r^3}\hat{j}$) और $r$ पर द्विध्रुव $p\hat{i}$ (अक्षीय क्षेत्र $\frac{2p}{4\pi\epsilon_0 r^3}\hat{i}$)। कुल $\vec{E} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0 r^3}(2\hat{i}-\hat{j})$। यह $(4)$ से मेल खाता है।
$(S)$ दोनों द्विध्रुव $x = -r$ और $x = r$ पर $p\hat{i}$ हैं। दोनों क्षेत्र अक्षीय हैं: $\vec{E} = \frac{2p}{4\pi\epsilon_0 r^3}\hat{i} + \frac{2p}{4\pi\epsilon_0 r^3}\hat{i} = \frac{p}{\pi\epsilon_0 r^3}\hat{i}$। यह $(5)$ से मेल खाता है।
अतः,$P \rightarrow 2, Q \rightarrow 1, R \rightarrow 4, S \rightarrow 5$।

(A) बाह्य विद्युत क्षेत्र में एक विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -pE \cos \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण $p$ और विद्युत क्षेत्र $E$ के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए $\theta_1 = 0^{\circ}$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_1 = -pE \cos 0^{\circ} = -pE(1) = -pE$ है।
अंत में,द्विध्रुव को $90^{\circ}$ घुमाया जाता है,इसलिए $\theta_2 = 90^{\circ}$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -pE \cos 90^{\circ} = -pE(0) = 0$ है।
द्विध्रुव को घुमाने के लिए किया गया कार्य (आवश्यक ऊर्जा) स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta U = U_2 - U_1$.
$W = 0 - (-pE) = pE$.

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = pE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p = q \times (2a)$ द्विध्रुव आघूर्ण है और $(2a)$ द्विध्रुव की लंबाई है।
अधिकतम टॉर्क के लिए,$\sin \theta = 1$,इसलिए $\tau_{max} = pE = q(2a)E$.
दिया गया है: $q = 2 \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$,$E = 8 \times 10^{4} \ N/C$,और $\tau_{max} = 4 \times 10^{-3} \ N \cdot m$.
मान रखने पर: $4 \times 10^{-3} = (2 \times 10^{-6}) \times (2a) \times (8 \times 10^{4})$.
$4 \times 10^{-3} = 16 \times 10^{-2} \times (2a)$.
$2a = \frac{4 \times 10^{-3}}{16 \times 10^{-2}} = \frac{4}{16} \times 10^{-1} = 0.25 \times 10^{-1} \ m$.
$2a = 0.025 \ m = 25 \ mm$.
अतः,द्विध्रुव की लंबाई $25 \ mm$ है।

(B) एक ध्रुवीय अणु वह है जिसमें स्थायी विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण (dipole moment) होता है। यह तब होता है जब अणु के भीतर आवेश का वितरण असममित होता है।
$(a)$ $H_2O$ (जल): इसकी ज्यामिति मुड़ी हुई (bent) होती है। दो $O-H$ बंधों के द्विध्रुव आघूर्ण एक-दूसरे को रद्द नहीं करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक शुद्ध द्विध्रुव आघूर्ण प्राप्त होता है। अतः,यह एक ध्रुवीय अणु है।
$(b)$ $N_2$: यह समान परमाणुओं वाला द्विपरमाणुक अणु है जिसकी संरचना रैखिक है,इसलिए इसका द्विध्रुव आघूर्ण शून्य है।
$(c)$ $CO_2$: इसकी संरचना रैखिक है जहाँ दो $C=O$ बंधों के द्विध्रुव आघूर्ण समान और विपरीत होते हैं,जो एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं। अतः,यह अध्रुवीय है।
$(d)$ $H_2$: यह समान परमाणुओं वाला द्विपरमाणुक अणु है,इसलिए इसका द्विध्रुव आघूर्ण शून्य है।
अतः,सही विकल्प $(a)$ है।

(B) एकसमान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = pE \sin \theta$,जहाँ $p = q \times (2a)$ द्विध्रुव आघूर्ण है,$E$ विद्युत क्षेत्र है,और $\theta$ द्विध्रुव अक्ष और विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण है।
दिया गया है:
द्विध्रुव की लंबाई $(2a) = 2 \ cm = 0.02 \ m = 2 \times 10^{-2} \ m$
विद्युत क्षेत्र $(E) = 10^{5} \ N/C$
कोण $(\theta) = 60^{\circ}$
टॉर्क $(\tau) = 8 \sqrt{3} \ Nm$
सूत्र में मान रखने पर:
$8 \sqrt{3} = (q \times 2 \times 10^{-2}) \times 10^{5} \times \sin 60^{\circ}$
$8 \sqrt{3} = q \times 2 \times 10^{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$8 \sqrt{3} = q \times \sqrt{3} \times 10^{3}$
$q = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times 10^{3}} = 8 \times 10^{-3} \ C$.
अतः,आवेश का परिमाण $8 \times 10^{-3} \ C$ है।

(D) एक समान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -\vec{P} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ होता है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र की दिशा में है,इसलिए प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_1 = -pE \cos(0^{\circ}) = -pE$ है।
द्विध्रुव को $\theta = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ के कोण पर घुमाने के बाद,अंतिम कोण $\theta_2 = 60^{\circ}$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -pE \cos(60^{\circ}) = -pE \times 0.5 = -\frac{pE}{2}$ है।
द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = U_2 - U_1 = -\frac{pE}{2} - (-pE) = -\frac{pE}{2} + pE = \frac{pE}{2}$.

(D) बाह्य विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ वाले विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$,जहाँ $\theta$ $\vec{p}$ और $\vec{E}$ के बीच का कोण है।
स्थितिज ऊर्जा $U$ को न्यूनतम करने के लिए,$\cos \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,जो $\theta = 0^{\circ}$ (या $0$ रेडियन) पर प्राप्त होता है।
इसलिए,जब द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र की दिशा में ही संरेखित होता है,तब उसकी स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।

(C) द्विध्रुव आघूर्ण $p$ एक आवेश के परिमाण $q$ और उनके बीच की दूरी $2l$ के गुणनफल के बराबर होता है।
दिया गया है: $q = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$,$2l = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$.
$p = q \times 2l = (2 \times 10^{-6} \text{ C}) \times (3 \times 10^{-2} \text{ m}) = 6 \times 10^{-8} \text{ C-m}$.
विद्युत क्षेत्र $E$ में द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = pE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम टॉर्क के लिए,$\theta = 90^{\circ}$ होना चाहिए,इसलिए $\sin 90^{\circ} = 1$.
$\tau_{\max} = pE = (6 \times 10^{-8} \text{ C-m}) \times (2 \times 10^5 \text{ N/C}) = 12 \times 10^{-3} \text{ N-m}$.

(D) $p$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले एक छोटे विद्युत द्विध्रुव के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर अक्षीय रेखा पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{a} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{2p}{r^{3}}$ द्वारा दी जाती है।
केंद्र से समान दूरी $r$ पर निरक्षीय रेखा पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{q} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{p}{r^{3}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $E_{a} = 2 \times (\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{p}{r^{3}}) = 2E_{q}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $E_{a} = 2E_{q}$ है।

(D) एक विद्युत द्विध्रुव दो समान और विपरीत आवेशों $+q$ और $-q$ से बना होता है,जो $2\ell$ की दूरी पर स्थित होते हैं।
एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में,धनात्मक आवेश पर बल $F_+ = qE$ क्षेत्र की दिशा में होता है,और ऋणात्मक आवेश पर बल $F_- = -qE$ क्षेत्र की विपरीत दिशा में होता है।
द्विध्रुव पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F_+ + F_- = qE - qE = 0$ होता है।
विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -P \cdot E = -PE \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
जब द्विध्रुव आघूर्ण $P$ क्षेत्र की दिशा में होता है,तो कोण $\theta = 0^{\circ}$ होता है।
अतः,$U = -PE \cos(0^{\circ}) = -PE$,जो कि न्यूनतम संभव मान है (स्थिर संतुलन)।

(D) एक ध्रुवीय अणु वह अणु है जिसमें ध्रुवीय बंध होते हैं,जहाँ सभी बंधों के द्विध्रुव आघूर्ण (dipole moments) का सदिश योग शून्य नहीं होता है।
$H_2O$ के मामले में,बंध एक कोण पर झुके होते हैं (बेंट ज्यामिति),इसलिए शुद्ध द्विध्रुव आघूर्ण शून्य नहीं होता है।
अतः,$H_2O$ एक ध्रुवीय अणु है।
इसके विपरीत,$H_2$ और $O_2$ के लिए,अणु समनाभिकीय (homonuclear) और अध्रुवीय होते हैं।
$CO_2$ के लिए,अणु रैखिक होता है,और दो $C=O$ बंध द्विध्रुव परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप शुद्ध द्विध्रुव आघूर्ण शून्य हो जाता है।

(A) लघु द्विध्रुव के कारण अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{\text{axial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r_1^3}$ द्वारा दी जाती है।
निरक्षीय रेखा पर लघु द्विध्रुव के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{\text{equatorial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r_2^3}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $E_{\text{axial}} = E_{\text{equatorial}}$,इसलिए:
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r_1^3} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r_2^3}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{2}{r_1^3} = \frac{1}{r_2^3}$.
अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{r_1^3}{r_2^3} = 2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $\frac{r_1}{r_2} = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_1: r_2 = \sqrt[3]{2}: 1$.

(B) एक विद्युत द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर उसके केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{p}{r^2}$
जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण (dipole moment) है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि विद्युत विभव $V$,$1/r^2$ के समानुपाती होता है।

(A) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य है, $P$ आघूर्ण वाले द्विध्रुव के केंद्र से $x$ दूरी पर है। $27P$ आघूर्ण वाले द्विध्रुव से इसकी दूरी $(24 - x)$ होगी।
द्विध्रुव के अक्षीय बिंदु के लिए विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
जिस बिंदु पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य है, वहाँ दोनों द्विध्रुवों के कारण विद्युत क्षेत्र के परिमाण समान होने चाहिए:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2P}{x^3} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2(27P)}{(24 - x)^3}$
$\frac{1}{x^3} = \frac{27}{(24 - x)^3}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{3}{24 - x}$
$24 - x = 3x$
$4x = 24$
$x = 6 \,cm$.

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ को प्रति इकाई आवेश बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $E = \frac{F}{q}$.
बल की विमा $[F] = [M L T^{-2}]$ और आवेश की विमा $[q] = [A T]$ है।
अतः,विद्युत क्षेत्र की विमा $[E] = \frac{[M L T^{-2}]}{[A T]} = [M L T^{-3} A^{-1}]$ है।
विद्युत क्षेत्र में द्रव्यमान की घात $1$ है।
विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $p$ को आवेश और दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $p = q \times d$.
आवेश की विमा $[q] = [A T]$ और दूरी की विमा $[d] = [L]$ है।
अतः,विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण की विमा $[p] = [A T L] = [M^0 L^1 T^1 A^1]$ है।
विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण में द्रव्यमान की घात $0$ है।
इस प्रकार,द्रव्यमान की घातें क्रमशः $1$ और $0$ हैं।

(B) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ ऋण आवेश $(-q)$ से धन आवेश $(+q)$ की दिशा में होता है।
विद्युत द्विध्रुव के निरक्षीय तल पर,परिणामी विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net}$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ के प्रति-समानांतर (anti-parallel) होता है।
गणितीय रूप से,निरक्षीय तल पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र सदिश,द्विध्रुव आघूर्ण सदिश की विपरीत दिशा में होता है,इसलिए उनके बीच का कोण $180^{\circ}$ होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) एकसमान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाले बलाघूर्ण $\tau$ का सूत्र है: $\tau = pE \sin \theta$।
दिए गए मान हैं:
द्विध्रुव आघूर्ण $p = 4 \times 10^{-9} \text{ Cm}$
विद्युत क्षेत्र $E = 5 \times 10^4 \text{ NC}^{-1}$
कोण $\theta = 60^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tau = (4 \times 10^{-9}) \times (5 \times 10^4) \times \sin 60^{\circ}$
$\tau = 20 \times 10^{-5} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tau = 10 \times 10^{-5} \times 1.732$
$\tau = 1.732 \times 10^{-4} \text{ Nm}$
अतः,बलाघूर्ण का परिमाण $1.73 \times 10^{-4} \text{ Nm}$ है।

(C) एक विद्युत द्विध्रुव के कारण उसकी अक्ष पर $x$ की बड़ी दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{\text{axis}} = \frac{2kp}{x^3}$ द्वारा दी जाती है।
एक विद्युत द्विध्रुव के कारण उसकी निरक्षीय रेखा पर $y$ की बड़ी दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{\text{equator}} = \frac{kp}{y^3}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि परिमाण समान हैं: $E_{\text{axis}} = E_{\text{equator}}$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2kp}{x^3} = \frac{kp}{y^3}$.
दोनों पक्षों से $kp$ को हटाने पर: $\frac{2}{x^3} = \frac{1}{y^3}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{x^3}{y^3} = 2$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{x}{y} = \sqrt[3]{2} : 1$.

(C) एक असमान विद्युत क्षेत्र में,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता अलग-अलग बिंदुओं पर भिन्न होती है।
एक विद्युत द्विध्रुव के लिए,धनात्मक आवेश $(+q)$ पर बल $F_+ = qE_+$ और ऋणात्मक आवेश $(-q)$ पर बल $F_- = -qE_-$ होता है।
परिणामी बल $F_{net} = q(E_+ - E_-)$ है। चूंकि क्षेत्र असमान है,$E_+ \neq E_-$,इसलिए परिणामी बल आमतौर पर शून्य नहीं होता है।
हालाँकि,यदि द्विध्रुव को इस प्रकार रखा जाए कि दोनों आवेशों पर क्षेत्र की तीव्रता समान हो (भले ही क्षेत्र अन्य स्थानों पर असमान हो),तो परिणामी बल शून्य हो सकता है।
बल आघूर्ण के संबंध में,$\tau = p \times E$। यदि द्विध्रुव आघूर्ण $p$,द्विध्रुव के स्थान पर विद्युत क्षेत्र $E$ के समानांतर या प्रति-समानांतर है,तो बल आघूर्ण $\tau = pE \sin(\theta)$ शून्य हो जाता है क्योंकि $\theta = 0^\circ$ या $180^\circ$ होता है।
अतः,द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण शून्य हो सकता है।

(B) एक विद्युत द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर उसके केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2pr}{(r^2 - a^2)^2}$
जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण (dipole moment) है और $2a$ आवेशों के बीच की दूरी है।
एक छोटे द्विध्रुव के लिए जहाँ $r \gg a$ है,हम हर (denominator) में $a^2$ की उपेक्षा कर सकते हैं:
$E \approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2pr}{r^4}$
$E \approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$
अतः,$E \propto \frac{1}{r^3}$.

(D) एकसमान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में रखे विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बलाघूर्ण $\tau$ सूत्र $\tau = p E \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ $\vec{p}$ और $\vec{E}$ के बीच का कोण है।
बलाघूर्ण को अधिकतम होने के लिए,$\sin \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 90^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
अतः,जब $\vec{p}$ और $\vec{E}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है,तब बलाघूर्ण अधिकतम होता है।

(D) द्विध्रुव के अक्षीय बिंदु पर $z$ दूरी (जहाँ $z \gg a$) पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}(z) = \frac{2kp}{z^3}$ द्वारा दिया जाता है।
द्विध्रुव के निरक्षीय बिंदु पर $y$ दूरी (जहाँ $y \gg a$) पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}(y) = \frac{kp}{y^3}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि $z = y$,इसलिए हम परिमाणों का अनुपात इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\left| \frac{\vec{E}(z)}{\vec{E}(y)} \right| = \frac{2kp/z^3}{kp/y^3} = \frac{2kp/z^3}{kp/z^3} = 2$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) जब एक विद्युत द्विध्रुव को असमान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो द्विध्रुव के विभिन्न बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता भिन्न होती है।
चूंकि क्षेत्र असमान है,इसलिए $+q$ और $-q$ आवेशों पर लगने वाला बल समान और विपरीत नहीं होगा,जिसके परिणामस्वरूप एक गैर-शून्य नेट बल $(F_{net} \neq 0)$ उत्पन्न होगा।
इसके अतिरिक्त,क्योंकि द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के बीच का कोण $0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ नहीं है,आवेशों पर कार्य करने वाले बल एक बल-युग्म बनाते हैं,जो द्विध्रुव पर एक टॉर्क $(\tau = \vec{p} \times \vec{E} \neq 0)$ आरोपित करता है।
अतः,द्विध्रुव टॉर्क और नेट बल दोनों का अनुभव करता है।

(D)
जब एक विद्युत द्विध्रुव को असमान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो दोनों आवेशों ($+q$ और $-q$) पर अलग-अलग परिमाण के बल कार्य करते हैं क्योंकि उनकी स्थिति पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता भिन्न होती है।
मान लीजिए $+q$ की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र $E_1$ है और $-q$ की स्थिति पर $E_2$ है।
$+q$ पर बल $F_1 = qE_1$ है और $-q$ पर बल $F_2 = -qE_2$ है।
नेट बल $F_{net} = q(E_1 - E_2)$ है।
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{P}$,$\vec{E}$ के समानांतर है,इसलिए धनात्मक आवेश ऋणात्मक आवेश की तुलना में उच्च क्षेत्र तीव्रता वाले क्षेत्र में होता है।
अतः,नेट बल बढ़ते हुए विद्युत क्षेत्र की दिशा में कार्य करता है।

(B) विद्युत क्षेत्र रेखाएं बाईं ओर अधिक घनी हैं,जो यह दर्शाती हैं कि वहां विद्युत क्षेत्र अधिक प्रबल है $(E_L > E_R)$।
एक द्विध्रुव के लिए,ऋण आवेश $(-q)$ पर लगने वाला बल विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में होता है,और धन आवेश $(+q)$ पर लगने वाला बल विद्युत क्षेत्र की दिशा में होता है।
मान लीजिए $-q$ की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र $E_L$ है और $+q$ की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र $E_R$ है।
$-q$ पर लगने वाला बल $F_L = q E_L$ है जो दाईं ओर कार्य करता है।
$+q$ पर लगने वाला बल $F_R = q E_R$ है जो बाईं ओर कार्य करता है।
चूंकि क्षेत्र रेखाएं बाईं ओर अधिक घनी हैं,इसलिए $E_L > E_R$,अतः $F_L > F_R$ होगा।
परिणामी बल $F_{net} = F_L - F_R$ है,जो दाईं ओर की दिशा में कार्य करता है।

(B) एक अणु का द्विध्रुव आघूर्ण $p_0 = 10^{-29} \text{ C m}$ है।
चूंकि $1 \text{ mole}$ में $6 \times 10^{23}$ अणु होते हैं,इसलिए $2 \text{ mole}$ में अणुओं की कुल संख्या $N = 2 \times 6 \times 10^{23} = 12 \times 10^{23}$ अणु है।
जब सभी द्विध्रुव क्षेत्र के साथ संरेखित होते हैं,तो पदार्थ का कुल द्विध्रुव आघूर्ण $P = N \times p_0 = 12 \times 10^{23} \times 10^{-29} = 12 \times 10^{-6} \text{ C m}$ होता है।
बाह्य विद्युत क्षेत्र $E$ में एक द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -P E \cos \theta$ द्वारा दी जाती है। कम तापमान पर अधिकतम ध्रुवीकरण के लिए,द्विध्रुव क्षेत्र के साथ संरेखित हो जाते हैं,इसलिए $\theta = 0^{\circ}$ है।
मान रखने पर: $U = -(12 \times 10^{-6} \text{ C m}) \times (10^6 \text{ V m}^{-1}) \times \cos(0^{\circ}) = -12 \times 1 \times 1 = -12 \text{ J}$.

(B) एक ध्रुवीय अणु वह है जिसमें विद्युत ऋणात्मकता के अंतर और असममित आणविक ज्यामिति के कारण स्थायी विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण (dipole moment) होता है।
$1$. $HCl$: क्लोरीन,हाइड्रोजन की तुलना में अधिक विद्युत ऋणात्मक है,जिससे द्विध्रुव आघूर्ण उत्पन्न होता है। यह एक ध्रुवीय अणु है।
$2$. $H_2O$: जल के अणु की मुड़ी हुई (bent) ज्यामिति और ऑक्सीजन की उच्च विद्युत ऋणात्मकता के कारण इसमें नेट द्विध्रुव आघूर्ण होता है। यह एक ध्रुवीय अणु है।
$3$. $H_2$ और $O_2$: ये समनाभिकीय द्विपरमाणुक अणु हैं जिनका द्विध्रुव आघूर्ण शून्य होता है। ये अध्रुवीय हैं।
अतः,$[HCl, H_2O]$ युग्म में दोनों ध्रुवीय अणु हैं।

(D) एक विद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु $(r, \theta)$ पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$V(r, \theta) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}$
$1$. द्विध्रुव की अक्ष पर,कोण $\theta$ या तो $0$ या $\pi$ रेडियन होता है। इसे सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \cos(0)}{r^2} = \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ या $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \cos(\pi)}{r^2} = -\frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$
अतः,अक्ष पर $V \neq 0$ होता है।
$2$. द्विध्रुव के निरक्षीय तल पर,कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ रेडियन होता है। इसे सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \cos(\pi/2)}{r^2} = 0$ (क्योंकि $\cos(\pi/2) = 0$)
अतः,निरक्ष पर $V = 0$ होता है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र में एक विद्युत द्विध्रुव को प्रारंभिक कोण $\theta_1$ से अंतिम कोण $\theta_2$ तक घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = p E (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
यह दिया गया है कि द्विध्रुव शुरू में विद्युत क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$ है।
द्विध्रुव को $180^{\circ}$ घुमाया जाता है,इसलिए अंतिम कोण $\theta_2 = 180^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = p E (\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ})$
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$ और $\cos 180^{\circ} = -1$ है:
$W = p E (1 - (-1))$
$W = p E (1 + 1)$
$W = 2 p E$
अतः,किया गया कार्य $2 p E$ है।

(D) एक समान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र: $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ है।
प्रत्येक स्थिति के लिए:
$(a)$ $\theta = 180^{\circ}$ पर,$U = -pE \cos 180^{\circ} = -pE(-1) = pE$. यह $(ii)$ से मेल खाता है।
$(b)$ $\theta = 120^{\circ}$ पर,$U = -pE \cos 120^{\circ} = -pE(-1/2) = \frac{1}{2} pE$. यह $(iii)$ से मेल खाता है।
$(c)$ $\theta = 90^{\circ}$ पर,$U = -pE \cos 90^{\circ} = -pE(0) = 0$. यह $(iv)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $a-ii, b-iii, c-iv$ है।

(D) द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा पर $r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p} = p \hat{i}$ है,इसलिए बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \hat{i}}{r^3}$ होगा।
$-q$ आवेश पर बल $\vec{F} = (-q)\vec{E} = (-q) \left( -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \hat{i}}{r^3} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^3} \hat{i}$ होगा।
$O$ के परितः टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ है। यहाँ $-q$ आवेश का स्थिति सदिश $\vec{r} = r \hat{j}$ है।
अतः,$\vec{\tau} = (r \hat{j}) \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^3} \hat{i} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^2} (\hat{j} \times \hat{i}) = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^2} \hat{k}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,विकल्प $(d)$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया है:
द्विध्रुव आघूर्ण,$p = 4 \times 10^{-14} \ C \cdot m$
विद्युत क्षेत्र,$E = 5 \times 10^4 \ N/C$
कोण,$\theta = 30^{\circ}$
एकसमान विद्युत क्षेत्र में स्थित विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tau = p E \sin \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tau = (4 \times 10^{-14}) \times (5 \times 10^4) \times \sin 30^{\circ}$
$\tau = 20 \times 10^{-10} \times 0.5$
$\tau = 10 \times 10^{-10} \ N \cdot m$
$\tau = 10^{-9} \ N \cdot m$

(B) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे गए विद्युत द्विध्रुव पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau = p E \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p$ विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ $p$ और $E$ के बीच का कोण है।
छोटे कोण $\theta$ के लिए,हम $\sin \theta \approx \theta$ मान सकते हैं।
अतः,बल आघूर्ण $\tau = p E \theta$ हो जाता है।
चूंकि बल आघूर्ण को $\tau = I \alpha$ के रूप में भी दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है,इसलिए $I \alpha = p E \theta$ प्राप्त होता है।
कोणीय त्वरण के लिए व्यवस्थित करने पर,$\alpha = \frac{p E}{I} \theta$ मिलता है।
यह समीकरण $\alpha = -\omega^2 \theta$ के रूप में है,जो सरल आवर्त गति को दर्शाता है।
पदों की तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{p E}{I}$ मिलता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{p E}{I}}$।
आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{p E}}$ होता है।

(B) असमान विद्युत क्षेत्र में,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता अंतरिक्ष के विभिन्न बिंदुओं पर भिन्न होती है।
चूंकि द्विध्रुव के दो आवेश ($+q$ और $-q$) एक-दूसरे से थोड़ी दूरी पर स्थित होते हैं,इसलिए वे अपने संबंधित स्थानों पर अलग-अलग विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का अनुभव करते हैं।
चूंकि दोनों आवेशों पर कार्य करने वाले बल $(F = qE)$ परिमाण या दिशा में असमान होते हैं,इसलिए द्विध्रुव पर कुल बल शून्य नहीं होता है।
इसके अतिरिक्त,चूंकि बल अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं,इसलिए वे द्विध्रुव के केंद्र के परितः एक कुल टॉर्क उत्पन्न करते हैं।
अतः,असमान विद्युत क्षेत्र में रखा गया एक विद्युत द्विध्रुव सामान्यतः बल और टॉर्क दोनों का अनुभव करता है।

(C) एक छोटे विद्युत द्विध्रुव के लिए केंद्र से $r$ दूरी पर जहाँ $r >> a$ है:
अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{ax} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2\vec{p}}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
निरक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{eq} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $\vec{E}_{ax} = -2\vec{E}_{eq}$ होता है।

(C) मान लीजिए कि विद्युत द्विध्रुव $x$-अक्ष पर स्थित है। $(r, \theta)$ बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$,त्रिज्यीय सदिश $\vec{r}$ के साथ $\alpha$ कोण बनाता है,जो $\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\theta$ वह कोण है जो स्थिति सदिश द्विध्रुव अक्ष के साथ बनाता है।
विद्युत क्षेत्र सदिश द्विध्रुव अक्ष के साथ जो कोण बनाता है वह $\phi = \theta + \alpha$ है।
विद्युत क्षेत्र के द्विध्रुव अक्ष के लंबवत होने के लिए,कोण $\phi$ का मान $90^{\circ}$ होना चाहिए।
अतः,$\theta + \alpha = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\alpha = 90^{\circ} - \theta$.
इस मान को $\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan \theta$ संबंध में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{1}{2} \tan \theta$
$\cot \theta = \frac{1}{2} \tan \theta$
$\tan^2 \theta = 2$
$\tan \theta = \sqrt{2}$
$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{2})$.

(C) एक विद्युत द्विध्रुव के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2p}{r^3}$ (अक्षीय रेखा पर) या $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p}{r^3}$ (निरक्षीय रेखा पर) होता है। दोनों ही स्थितियों में,$E \propto \frac{1}{r^3}$ होता है।
विद्युत द्विध्रुव के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}$ होता है। अतः,$V \propto \frac{1}{r^2}$ होता है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र $1/r^3$ के अनुसार और विभव $1/r^2$ के अनुसार परिवर्तित होता है।

(B) इस निकाय में तीन आवेश हैं: $A$ पर $+2q$,$B$ पर $+2q$ और $C$ पर $-4q$। हम $C$ पर स्थित $-4q$ आवेश को दो $-2q$ आवेशों में विभाजित कर सकते हैं।
अब,हमारे पास दो विद्युत द्विध्रुव हैं:
$1$. $A$ पर स्थित $+2q$ और $C$ पर स्थित $-2q$ द्वारा बना द्विध्रुव,जिसका द्विध्रुव आघूर्ण $p_1 = (2q)(x)$ है और इसकी दिशा $C$ से $A$ की ओर है।
$2$. $B$ पर स्थित $+2q$ और $C$ पर स्थित $-2q$ द्वारा बना द्विध्रुव,जिसका द्विध्रुव आघूर्ण $p_2 = (2q)(x)$ है और इसकी दिशा $C$ से $B$ की ओर है।
इन दो द्विध्रुव आघूर्णों $p_1$ और $p_2$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
परिणामी द्विध्रुव आघूर्ण $p_{net}$ का परिमाण इस प्रकार है:
$p_{net} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2 \cos 60^{\circ}}$
चूंकि $p_1 = p_2 = p = 2qx$ है:
$p_{net} = \sqrt{p^2 + p^2 + 2p^2 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{2p^2 + 2p^2(1/2)} = \sqrt{3p^2} = p\sqrt{3}$
$p = 2qx$ रखने पर:
$p_{net} = (2qx)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}qx$.

(C) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ एक सदिश है जो ऋण आवेश $(-q)$ से धन आवेश $(+q)$ की दिशा में होता है।
विद्युत द्विध्रुव के विषुवतीय तल पर किसी भी बिंदु पर,परिणामी विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ द्विध्रुव अक्ष के समानांतर होता है लेकिन द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ की विपरीत दिशा में होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{p}$ प्रति-समानांतर (anti-parallel) हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $180^{\circ}$ है।

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र में रखे विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाले बल आघूर्ण $\tau$ का सूत्र है: $\tau = pE \sin \theta$।
दिया गया है:
द्विध्रुव आघूर्ण $p = 2 \times 10^{-10} \text{ C m}$।
विद्युत क्षेत्र $E = 10^4 \text{ N C}^{-1}$।
कोण $\theta = 30^{\circ}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\tau = (2 \times 10^{-10}) \times (10^4) \times \sin(30^{\circ})$।
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$ है:
$\tau = 2 \times 10^{-6} \times 0.5 = 1 \times 10^{-6} \text{ N m}$।
अतः,बल आघूर्ण का परिमाण $10^{-6} \text{ N m}$ है।

(C) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{P}$ वाले द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा पर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ का सूत्र इस प्रकार है: $\overrightarrow{E} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\overrightarrow{P}}{r^3}$.
यह व्यंजक दर्शाता है कि विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ की दिशा विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{P}$ की दिशा के विपरीत है।
चूंकि ये सदिश प्रति-समांतर (anti-parallel) हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $180^{\circ}$ है।

(B) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण का सूत्र $p = q \cdot l$ है,जहाँ $q$ कुल धनात्मक या ऋणात्मक आवेश का परिमाण है और $l$ आवेशों के केंद्रों के बीच की दूरी है।
एक तटस्थ $NH_3$ अणु के लिए,इलेक्ट्रॉनों (या प्रोटॉन) की कुल संख्या $7 + (3 \times 1) = 10$ है।
अतः,कुल आवेश $q = 10e = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 1.6 \times 10^{-18} \ C$ है।
दिया गया है $p = 5 \times 10^{-30} \ C \cdot m$।
सूत्र $l = \frac{p}{q}$ का उपयोग करने पर:
$l = \frac{5 \times 10^{-30}}{1.6 \times 10^{-18}}$
$l = 3.125 \times 10^{-12} \ m$।

(C) बाह्य विद्युत क्षेत्र में रखे विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = p E \sin \theta$।
दिया गया है:
द्विध्रुव आघूर्ण $p = 5 \times 10^{-7} \text{ C m}$
विद्युत क्षेत्र $E = 2 \times 10^4 \text{ N C}^{-1}$
कोण $\theta = 60^{\circ}$
मान रखने पर:
$\tau = (5 \times 10^{-7}) \times (2 \times 10^4) \times \sin(60^{\circ})$
$\tau = 10 \times 10^{-3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tau = 10 \times 10^{-3} \times 0.866$
$\tau = 8.66 \times 10^{-3} \text{ N m}$

(A) दिया गया है: आवेश $q = 500 \times 10^{-6} \ C$,दूरी $2a = 10 \ cm = 0.1 \ m$ (अतः $a = 0.05 \ m$),और दूरी $r = 25 \ cm = 0.25 \ m$.
द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र का सूत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2pr}{(r^2 - a^2)^2}$ है,जहाँ $p = q(2a)$.
मान रखने पर: $p = 500 \times 10^{-6} \times 0.1 = 5 \times 10^{-5} \ Cm$.
$E = (9 \times 10^9) \times \frac{2 \times (5 \times 10^{-5}) \times 0.25}{((0.25)^2 - (0.05)^2)^2}$.
$E = (9 \times 10^9) \times \frac{2.5 \times 10^{-5}}{(0.0625 - 0.0025)^2}$.
$E = \frac{2.25 \times 10^5}{(0.06)^2} = \frac{2.25 \times 10^5}{0.0036} = 6.25 \times 10^7 \ NC^{-1}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$5.76 \times 10^7 \ NC^{-1}$ सबसे निकटतम मान है।

(A) मान लीजिए कि दो द्विध्रुव $A$ और $B$ बिंदुओं पर रखे गए हैं,जिनके द्विध्रुव आघूर्ण क्रमशः $p_1 = p$ और $p_2 = 27 p$ हैं और वे विपरीत दिशाओं में उन्मुख हैं।
मान लीजिए $P$ उनके बीच का शून्य बिंदु है जहाँ कुल विद्युत क्षेत्र की तीव्रता शून्य है।
मान लीजिए $A$ पर स्थित द्विध्रुव से बिंदु $P$ की दूरी $x$ है।
$B$ पर स्थित द्विध्रुव से बिंदु $P$ की दूरी $(24 - x) \,cm$ है।
एक छोटे विद्युत द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र $E = \frac{2kp}{r^3}$ होता है।
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,दोनों द्विध्रुवों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए: $E_1 = E_2$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2kp}{x^3} = \frac{2k(27p)}{(24 - x)^3}$
$\frac{1}{x^3} = \frac{27}{(24 - x)^3}$
दोनों पक्षों का घनमूल (cube root) लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{3}{24 - x}$
$24 - x = 3x$
$24 = 4x$
$x = 6 \,cm$।
अतः,$p$ आघूर्ण वाले द्विध्रुव से $6 \,cm$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र शून्य होगा।

(D) असमान विद्युत क्षेत्र में,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता अंतरिक्ष के विभिन्न बिंदुओं पर बदलती रहती है।
चूंकि द्विध्रुव के दो आवेश ($+q$ और $-q$) एक छोटी दूरी से अलग होते हैं,इसलिए वे अलग-अलग विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ($E_1$ और $E_2$) का अनुभव करते हैं।
चूंकि $F = qE$ होता है,इसलिए दोनों आवेशों पर लगने वाले बल समान और विपरीत नहीं होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप नेट बल शून्य नहीं होता है।
हालाँकि,द्विध्रुव पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ द्वारा दिया जाता है। यदि द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र के समानांतर या प्रति-समानांतर संरेखित है,तो टॉर्क शून्य हो सकता है।
इसलिए,नेट बल आमतौर पर शून्य नहीं होता है,और टॉर्क इसके अभिविन्यास के आधार पर शून्य हो सकता है।

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे विद्युत द्विध्रुव पर लगने वाला टॉर्क $\tau$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tau = p E \sin \theta$ ...$(i)$
जहाँ $p$ विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश और विद्युत क्षेत्र की दिशा के बीच का कोण है।
विभिन्न कोणों पर टॉर्क का विश्लेषण:
$1$. $\theta = 0^{\circ}$ पर,$\tau = p E \sin 0^{\circ} = 0$.
$2$. $\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,$\tau = p E \sin \frac{\pi}{2} = p E$.
$3$. $\theta = \pi$ पर,$\tau = p E \sin \pi = 0$.
$4$. $\theta = \frac{3\pi}{2}$ पर,$\tau = p E \sin \frac{3\pi}{2} = -p E$.
$5$. $\theta = 2\pi$ पर,$\tau = p E \sin 2\pi = 0$.
यह परिवर्तन शून्य से शुरू होने वाले साइन वेव पैटर्न का अनुसरण करता है,जो $\frac{\pi}{2}$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है,$\pi$ पर शून्य हो जाता है,$\frac{3\pi}{2}$ पर न्यूनतम मान प्राप्त करता है और $2\pi$ पर वापस शून्य हो जाता है। इस व्यवहार को दर्शाने वाला ग्राफ मानक साइन वक्र है।

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में एक विद्युत द्विध्रुव को $\theta_1$ कोण से $\theta_2$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = p E (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
दिया गया है:
$\theta_1 = 30^{\circ}$
$\theta_2 = 90^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = p E (\cos 30^{\circ} - \cos 90^{\circ})$
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 90^{\circ} = 0$ है:
$W = p E (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = \frac{\sqrt{3}}{2} p E$
अतः,किया गया कार्य $\frac{\sqrt{3}}{2} p E$ है।

(A) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र इस प्रकार है:
$U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$
जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है,$E$ विद्युत क्षेत्र का परिमाण है,और $\theta$ द्विध्रुव अक्ष और विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण है।
स्थितिज ऊर्जा $U$ को न्यूनतम होने के लिए,$\cos \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 0^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
अतः,जब द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र के समानांतर संरेखित होता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।