Current Density, Drift Velocity and Mobility Questions in Gujarati

(C) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ અને પ્રવાહ $i$ વચ્ચેનો સંબંધ $i = n e A v_d$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આના પરથી,ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d = \frac{i}{n e A}$ થાય.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$v_1 = v = \frac{i}{n e A}$.
બીજા કિસ્સામાં,પ્રવાહ $i' = 2i$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A' = 2A$ છે.
તેથી,નવો ડ્રિફ્ટ વેગ $v_2 = \frac{i'}{n e A'} = \frac{2i}{n e (2A)} = \frac{i}{n e A}$ થાય.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $v_2 = v_1 = v$ મળે છે.

(B) વાહકમાં ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ $(v_d)$ સંબંધ $v_d = \frac{I}{neA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
સામાન્ય ધાતુના વાહકો માટે,ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ ખૂબ જ ઓછો હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $10^{-4} \, m/s$ થી $10^{-5} \, m/s$ ની રેન્જમાં હોય છે.
આને $cm/s$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $10^{-4} \, m/s = 10^{-4} \times 10^{2} \, cm/s = 10^{-2} \, cm/s$.
તેથી,ડ્રિફ્ટ વેગનો ક્રમ $10^{-2} \, cm/s$ છે.

(B) એકમ કદ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(n)$ $n = \frac{\text{Density} \times N_A}{\text{Atomic Weight}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: ઘનતા $\rho = 9 \times 10^3 \ kg/m^3$,પરમાણુ ભાર $M = 63 \times 10^{-3} \ kg/mol$,એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.023 \times 10^{23} \ atoms/mol$.
$n = \frac{9 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23}}{63 \times 10^{-3}} \approx 8.6 \times 10^{28} \ electrons/m^3$.
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર $v_d = \frac{I}{neA}$ છે,જ્યાં $I = 1.1 \ A$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $A = \pi r^2 = \pi (0.5 \times 10^{-3})^2 \ m^2$.
$v_d = \frac{1.1}{8.6 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 3.14 \times 0.25 \times 10^{-6}}$.
$v_d \approx \frac{1.1}{1.08 \times 10^4} \approx 1.01 \times 10^{-4} \ m/s = 0.1 \ mm/s$.

(A) વાહકનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \frac{ml}{ne^2 \tau A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$l$ એ લંબાઈ છે,$n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે,$e$ એ વિદ્યુતભાર છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $R \propto \frac{1}{\tau}$.
જ્યારે વાહકનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનનો થર્મલ વેગ વધે છે.
આના કારણે ઇલેક્ટ્રોન અને લેટીસ આયનો વચ્ચે વારંવાર અથડામણો થાય છે.
પરિણામે,બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમય,જેને રિલેક્સેશન સમય $\tau$ કહેવાય છે,તે ઘટે છે.
જેથી $R$ એ $\tau$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,$\tau$ માં ઘટાડો થવાને કારણે અવરોધ $R$ માં વધારો થાય છે.

(C) વાહક તારમાંથી સ્થાયી વિદ્યુત પ્રવાહ વહેવા માટે,તેના છેડાઓ વચ્ચે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત હોવો જરૂરી છે.
સંબંધ $E = V/L$ મુજબ,જ્યાં $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,$V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે,અને $L$ એ તારની લંબાઈ છે,વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર હાજર હોવું જોઈએ.
આ વિદ્યુતક્ષેત્ર વિદ્યુતભાર વાહકો (ઇલેક્ટ્રોન) ના ડ્રિફ્ટ વેગ માટે જવાબદાર છે.
જેમ કે પ્રવાહ તારની લંબાઈની દિશામાં વહે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર પણ તારની લંબાઈની દિશામાં,એટલે કે તેને સમાંતર હોવું જોઈએ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં,ધાતુના બ્લોકમાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અસ્તવ્યસ્ત ઉષ્મીય ગતિમાં હોય છે.
વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,આ ઇલેક્ટ્રોનનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ $(V_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3KT}{m}}$,જ્યાં $K$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V_{rms} \propto \sqrt{T}$.
તેથી,સરેરાશ વેગ (ખાસ કરીને સરેરાશ વર્ગિત ઉષ્મીય વેગ) એ $\sqrt{T}$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(C) ડ્રિફ્ટ વેગ $(v_d)$ માટેનું સૂત્ર $v_d = \frac{I}{nAe}$ છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ = $20 \, A$
ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા $(n)$ = $10^{29} \, m^{-3}$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ = $10^{-6} \, m^2$
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $(e)$ = $1.6 \times 10^{-19} \, C$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_d = \frac{20}{10^{29} \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$v_d = \frac{20}{1.6 \times 10^{29-6-19}}$
$v_d = \frac{20}{1.6 \times 10^4}$
$v_d = 12.5 \times 10^{-4} \, m/s = 1.25 \times 10^{-3} \, m/s$.

(B) ઓમના નિયમનું સૂક્ષ્મ સ્વરૂપ દર્શાવે છે કે વાહકમાંથી વહેતી પ્રવાહ ઘનતા $j$ એ વાહક પર લાગુ કરેલા વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $j = \sigma E$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ વિદ્યુત વાહકતા છે.
વિદ્યુત વાહકતા $\sigma$ એ અવરોધકતા (વિશિષ્ટ અવરોધ) $\rho$ નો વ્યસ્ત હોવાથી,$\sigma = 1/\rho$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $j = E/\rho$ મળે છે.
વિદ્યુત તીવ્રતા $E$ ને કર્તા બનાવતા,આપણને $E = j\rho$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $E = j\rho$ (અથવા જો $k$ એ અવરોધકતા દર્શાવતું હોય તો $E = jk$) છે.

(C) ડ્રિફ્ટ વેગનું સૂત્ર $v_d = \frac{I}{nAe}$ છે।
આપેલ છે:
$I = 1.344 \, A$
$A = 1 \, mm^2 = 10^{-6} \, m^2$
$n = 8.4 \times 10^{22} \, \text{electrons}/cm^3 = 8.4 \times 10^{28} \, \text{electrons}/m^3$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_d = \frac{1.344}{(8.4 \times 10^{28}) \times (10^{-6}) \times (1.6 \times 10^{-19})}$
$v_d = \frac{1.344}{8.4 \times 1.6 \times 10^3}$
$v_d = \frac{1.344}{13.44 \times 10^3} = 0.1 \times 10^{-3} \, m/s$
$v_d = 0.1 \, mm/s$.

(A) વાહકનો અવરોધ $R$ એ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહના માઇક્રોસ્કોપિક મોડેલ પરથી,અવરોધકતા $\rho$ એ $\rho = \frac{m}{ne^2 \tau}$ છે.
અવરોધના સૂત્રમાં $\rho$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$R = \left( \frac{m}{ne^2 \tau} \right) \frac{l}{A} = \frac{ml}{ne^2 \tau A}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $J$ ને એકમ આડછેદના ક્ષેત્રફળ દીઠ વિદ્યુતપ્રવાહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $J = \frac{I}{A} = \frac{I}{\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાંબાનો તાર અને લોખંડનો તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંને તારમાંથી સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે,એટલે કે $I_{Cu} = I_{Fe} = I$.
તાંબાના તાર $(J_{Cu})$ અને લોખંડના તાર $(J_{Fe})$ માં વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{J_{Cu}}{J_{Fe}} = \frac{I / (\pi r_{Cu}^2)}{I / (\pi r_{Fe}^2)} = \frac{r_{Fe}^2}{r_{Cu}^2}$.
અહીં $r_{Cu} = 1\, mm$ અને $r_{Fe} = 3\, mm$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{J_{Cu}}{J_{Fe}} = \frac{(3\, mm)^2}{(1\, mm)^2} = \frac{9}{1} = 9:1$.
આમ,વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતાનો ગુણોત્તર $9:1$ છે.

(C) વાહકમાં ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ ${v_d}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: ${v_d} = \frac{eE\tau}{m}$,જ્યાં $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,$\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{l}$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ:
${v_d} = \frac{eV\tau}{ml}$.
અહીં,$V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે,$l$ એ તારની લંબાઈ છે,$e$ એ પ્રાથમિક વીજભાર છે,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે.
આમાંથી કોઈ પણ પરિમાણ $(V, l, e, m, \tau)$ તારના વ્યાસ $d$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,વ્યાસ $d$ બદલવાથી ઇલેક્ટ્રોનના ડ્રિફ્ટ વેગ ${v_d}$ પર કોઈ અસર થતી નથી.
આમ,ડ્રિફ્ટ વેગ બદલાતો નથી.

(B) વાહકમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સંબંધ $I = nAev_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે, $e$ એ ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ ઝડપ છે.
જોકે ડ્રિફ્ટ ઝડપ $v_d$ ખૂબ જ નાની (સામાન્ય રીતે $10^{-4} \, m/s$) હોય છે અને વિદ્યુતભાર $e$ પણ ખૂબ જ નાનો $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$ હોય છે, પરંતુ વાહકમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા $n$ અત્યંત વધારે (સામાન્ય રીતે $10^{28} \, \text{થી } \, 10^{29} \, m^{-3}$) હોય છે।
$n$ નું આ ખૂબ જ ઊંચું મૂલ્ય $v_d$ અને $e$ ના નાના મૂલ્યોની ભરપાઈ કરે છે, જેનાથી વાહકમાંથી નોંધપાત્ર પ્રમાણમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહી શકે છે।

(C) તારમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ એ $I = neAv_d$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
તારનો આડછેદ વર્તુળાકાર હોવાથી,$A = \pi r^2$.
તેથી,$I = ne(\pi r^2)v_d$.
આનો અર્થ એ છે કે $I \propto r^2 v_d$.
પ્રથમ તાર માટે,$I_1 = I$,$r_1 = r$,અને $v_{d1} = V$.
બીજા તાર માટે,$r_2 = r/2$ અને $v_{d2} = 2V$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{r_2^2 v_{d2}}{r_1^2 v_{d1}} = \frac{(r/2)^2 (2V)}{r^2 V} = \frac{(r^2/4) (2V)}{r^2 V} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
આમ,$I_2 = I_1 / 2 = I/2$.

(C) વાહકમાં ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર $v_d = \frac{I}{neA}$ છે,જ્યાં $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$n$ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંને ભાગો માટે $I$,$n$ અને $e$ અચળ હોવાથી,$v_d \propto \frac{1}{A}$ થાય.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $A \propto d^2$.
તેથી,$v_d \propto \frac{1}{d^2}$.
ભાગ $P$ અને $Q$ માટે,$\frac{v_P}{v_Q} = \left( \frac{d_Q}{d_P} \right)^2$ થાય.
અહીં $d_P = d$ અને $d_Q = d/2$ આપેલ છે,તેથી $\frac{v_P}{v_Q} = \left( \frac{d/2}{d} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ,$v_P = \frac{1}{4}v_Q$.

(B) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર $v_d = \frac{I}{neA}$ છે,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$n$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $A$ એ તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_d$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા $(n)$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $(A)$ પર આધાર રાખે છે.
જોકે,સામાન્ય વાહક તાર માટે ડ્રિફ્ટ વેગ તારની લંબાઈ $(L)$ પર આધાર રાખતો નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ડ્રિફ્ટ વેગ $(V_d)$ માટેનું સૂત્ર $V_d = \frac{I}{neA}$ છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ = $40 \ A$
ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા $(n)$ = $10^{29} \ m^{-3}$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ = $10^{-6} \ m^2$
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $(e)$ = $1.6 \times 10^{-19} \ C$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$V_d = \frac{40}{10^{29} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-6}}$
$V_d = \frac{40}{1.6 \times 10^{29-19-6}}$
$V_d = \frac{40}{1.6 \times 10^4}$
$V_d = 25 \times 10^{-4} \ m/s = 2.5 \times 10^{-3} \ m/s$.

(C) ડ્રિફ્ટ વેગ $(V_d)$ માટેનું સૂત્ર $V_d = \frac{I}{nAe}$ છે.
આપેલ છે:
$I = 5.4 \, A$
$n = 8.4 \times 10^{28} \, m^{-3}$
$A = 10^{-6} \, m^2$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
કિંમતો મૂકતા:
$V_d = \frac{5.4}{8.4 \times 10^{28} \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$V_d = \frac{5.4}{8.4 \times 1.6 \times 10^3}$
$V_d = \frac{5.4}{13.44 \times 10^3} \approx 0.4017 \times 10^{-3} \, m/s$
$V_d \approx 0.4 \, mm/s$.

(A) વિદ્યુત પ્રવાહ,વોટલેસ પ્રવાહ અને પાવર એ અદિશ રાશિઓ છે કારણ કે તેઓ સદિશ સરવાળાના નિયમોનું પાલન કરતા નથી.
પ્રવાહ ઘનતા $\vec{J} = \frac{I}{A} \hat{n}$ ને વિદ્યુતભારના પ્રવાહને લંબ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પ્રવાહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,અને તે એક સદિશ રાશિ છે જે ધન વિદ્યુતભારના પ્રવાહની દિશામાં હોય છે.

(B) વાહકમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_d = \frac{i}{neA}$,જ્યાં $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $A$ એ વાહકનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
વાહક તાર હોવાથી,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$v_d = \frac{i}{ne\pi r^2}$.
આના પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_d \propto \frac{i}{r^2}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ડ્રિફ્ટ વેગ $v_1 = v$,પ્રારંભિક વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1 = i$ અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે.
ધારો કે નવો ડ્રિફ્ટ વેગ $v_2$,નવો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_2 = 2i$ અને નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r$ છે.
પ્રમાણસરતા $v_d \propto \frac{i}{r^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{i_2}{i_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$
$\frac{v_2}{v} = \frac{2i}{i} \times \left( \frac{r}{2r} \right)^2$
$\frac{v_2}{v} = 2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
તેથી,$v_2 = \frac{v}{2}$.

(A) ડ્રિફ્ટ વેગનું સૂત્ર $v_d = \frac{I}{nAe}$ છે.
અહીં,$I = 8 \, A$,$n = 8 \times 10^{28} \, m^{-3}$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ છે.
ચોરસ તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = (2.0 \, mm)^2 = (2.0 \times 10^{-3} \, m)^2 = 4 \times 10^{-6} \, m^2$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_d = \frac{8}{8 \times 10^{28} \times 4 \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$v_d = \frac{8}{51.2 \times 10^3} = \frac{1}{6.4} \times 10^{-3} \approx 0.156 \times 10^{-3} \, m/s$.

(C) જ્યારે રેખીય ધાતુના વાહકના છેડાઓ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્ર મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પર બળ લગાડે છે,જેના કારણે તેઓ ગતિ કરે છે.
જોકે,વાહકના ધન આયનો સાથે વારંવાર થતી અથડામણને કારણે,ઇલેક્ટ્રોન સતત પ્રવેગિત થતા નથી.
તેના બદલે,તેઓ એક નાનો,અચળ સરેરાશ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે જેને ડ્રિફ્ટ વેગ કહેવામાં આવે છે,જે વાહકના નીચા સ્થિતિમાનના છેડાથી ઊંચા સ્થિતિમાનના છેડા તરફ હોય છે.

(C) ડ્રિફ્ટ વેગનું સૂત્ર $v_d = \frac{I}{neA}$ છે.
અહીં,$I = 100\,A$,$n = 10^{28}\,m^{-3}$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \pi (0.01)^2 = \pi \times 10^{-4}\,m^2$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_d = \frac{100}{10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times \pi \times 10^{-4}}$
$v_d = \frac{100}{1.6 \times \pi \times 10^5} \approx \frac{100}{5.026 \times 10^5} \approx 1.989 \times 10^{-4}\,m/s$.
આમ,ડ્રિફ્ટ વેગ આશરે $2 \times 10^{-4}\,m/s$ છે.

(B) ઓમના નિયમના સૂક્ષ્મ સ્વરૂપ મુજબ,પ્રવાહ ઘનતા $J$ એ વાહક પર લાગુ પાડવામાં આવેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આ સંબંધ નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $J = \sigma E$,જ્યાં $\sigma$ એ પદાર્થની વિદ્યુત વાહકતા છે.
આ સમીકરણને વાહકતા $\sigma$ માટે ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\sigma = \frac{J}{E}$
આમ,સાચો સંબંધ $\sigma = J/E$ છે.

(D) કુલ પ્રવાહ ઘનતા $J$ એ ઇલેક્ટ્રોનને કારણે પ્રવાહ ઘનતા $(J_e)$ અને ધન આયનોને કારણે પ્રવાહ ઘનતા $(J_i)$ નો સરવાળો છે.
$J = J_e + J_i = n e v_e + n e v_i = n e (v_e + v_i)$
આપેલ છે:
$n = 5 \times 10^7\, cm^{-3} = 5 \times 10^{13}\, m^{-3}$
$e = 1.6 \times 10^{-19}\, C$
$v_e = 0.4\, m/s$
$J = 4\, \mu A/m^2 = 4 \times 10^{-6}\, A/m^2$
પ્રથમ,ઇલેક્ટ્રોનને કારણે પ્રવાહ ઘનતાની ગણતરી કરો:
$J_e = n e v_e = (5 \times 10^{13}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times 0.4 = 3.2 \times 10^{-6}\, A/m^2$
હવે,આયનોને કારણે પ્રવાહ ઘનતા શોધો:
$J_i = J - J_e = 4 \times 10^{-6} - 3.2 \times 10^{-6} = 0.8 \times 10^{-6}\, A/m^2$
$J_i = n e v_i$ નો ઉપયોગ કરીને,$v_i$ માટે ઉકેલો:
$v_i = \frac{J_i}{n e} = \frac{0.8 \times 10^{-6}}{(5 \times 10^{13}) \times (1.6 \times 10^{-19})} = 0.1\, m/s$.

(C) મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન સિદ્ધાંત:
ધાતુઓમાં,મોટાભાગના પરમાણુઓની સૌથી બહારની કક્ષામાં નબળા રીતે બંધાયેલા ઇલેક્ટ્રોન હોય છે,જેને મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેઓ તેમના મૂળ પરમાણુથી અલગ થઈને મુક્તપણે ગતિ કરવાની વૃત્તિ ધરાવે છે.
વિદ્યુતભારનો પ્રવાહ આ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિને કારણે થાય છે. બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની હાજરીમાં,બધા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે,આમ વિદ્યુત પ્રવાહ રચાય છે.
જેમ જેમ ઇલેક્ટ્રોન ધાતુના વાહકમાંથી પસાર થાય છે,તેમ તેમ તેઓ વારંવાર પરમાણુઓ,અન્ય ઇલેક્ટ્રોન અથવા અશુદ્ધિઓ સાથે અથડાય છે.
આ અથડામણો ઇલેક્ટ્રોનમાંથી વાહકના પરમાણુઓમાં ગતિ ઊર્જાનું સ્થાનાંતરણ કરે છે,જે પરમાણુઓની કંપન ઊર્જામાં વધારો કરે છે,જેનાથી વાહકમાં ઉષ્મા ઉત્પન્ન થાય છે.

(D) જ્યારે ધાતુના તાર પર વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વહન કરતા ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા પ્રવેગિત થાય છે.
જેમ જેમ આ ઇલેક્ટ્રોન લેટીસમાંથી પસાર થાય છે,તેમ તેમ તેઓ વારંવાર ધાતુના કંપન કરતા પરમાણુઓ (અથવા આયનો) સાથે અથડાય છે.
આ અથડામણ દરમિયાન,ઇલેક્ટ્રોન તેમની ગતિ ઉર્જાનો અમુક ભાગ પરમાણુઓને સ્થાનાંતરિત કરે છે,જેના કારણે પરમાણુઓ વધુ કંપનવિસ્તાર સાથે કંપન કરવા લાગે છે.
પરમાણુઓની આ કંપન ઉર્જામાં વધારો એ તારના તાપમાનમાં વધારા તરીકે દેખાય છે,જેને ગરમી ઉત્પન્ન થવી કહેવાય છે.
તેથી,ગરમી ઉત્પન્ન થવાનું સાચું કારણ વહન કરતા ઇલેક્ટ્રોનનું ધાતુના તારના પરમાણુઓ સાથે અથડાવું છે.

(B) પ્રવાહ $i = 1 \mu A = 10^{-6} \text{ A}$ આપેલ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.5 \text{ mm}^2 = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
પ્રોટોનનો વેગ $v = 3 \times 10^4 \text{ m/s}$.
એક સેકન્ડમાં,બીમના ભાગની લંબાઈ $L = v \times t = 3 \times 10^4 \times 1 = 3 \times 10^4 \text{ m}$ થાય.
આ ભાગનું કદ $V = A \times L = (0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^2) \times (3 \times 10^4 \text{ m}) = 1.5 \times 10^{-2} \text{ m}^3$ થાય.
એક સેકન્ડમાં વહેતો વિદ્યુતભાર $Q = i \times t = 10^{-6} \text{ C} \times 1 \text{ s} = 10^{-6} \text{ C}$ થાય.
વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho = \frac{Q}{V} = \frac{10^{-6}}{1.5 \times 10^{-2}} = \frac{1}{1.5} \times 10^{-4} = 0.666 \times 10^{-4} = 6.66 \times 10^{-5} \text{ C/m}^3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધાત્વિક વાહકોમાં,વિદ્યુત પ્રવાહ મુખ્યત્વે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની અસર હેઠળ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનના ડ્રિફ્ટને કારણે હોય છે.
અર્ધવાહકોમાં,વિદ્યુત પ્રવાહ બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની અસર હેઠળ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ (holes) બંનેના ડ્રિફ્ટને કારણે હોય છે.
તેથી,ધાત્વિક વાહકો અને અર્ધવાહકો બંનેમાં વિદ્યુત પ્રવાહમાં ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ સામેલ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) જ્યારે વિદ્યુત ક્ષેત્ર ગેરહાજર હોય,ત્યારે વાહકમાં મુક્ત ઈલેક્ટ્રોન યાદચ્છિક દિશામાં અને યાદચ્છિક વેગ સાથે ગતિ કરે છે,અને અથડામણો વચ્ચે તેમનો પથ સુરેખ હોય છે.
જોકે,બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ ની હાજરીમાં,ઈલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુત બળ $F = -eE$ લાગે છે.
આ બળને કારણે ઈલેક્ટ્રોન અચળ પ્રવેગ $a = -eE/m$ અનુભવે છે.
આ અચળ પ્રવેગને કારણે,બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે ઈલેક્ટ્રોનનો પથ પરવલયાકાર (parabolic) બને છે,સુરેખ રેખા નહીં.

(C) ઈલેક્ટ્રોનનો ડ્રીફ્ટ વેગ $v_d$ ખૂબ જ ઓછો (સામાન્ય રીતે $10^{-3} \, m/s$) હોય છે.
જોકે,જેવી સ્વિચ ચાલુ કરવામાં આવે છે,કે તરત જ તારની સમગ્ર લંબાઈમાં પ્રકાશની ઝડપે $(c \approx 3 \times 10^8 \, m/s)$ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સ્થાપિત થઈ જાય છે.
આ વિદ્યુત ક્ષેત્ર તારમાં રહેલા તમામ મુક્ત ઈલેક્ટ્રોન પર એકસાથે બળ લગાડે છે,જેના કારણે તેઓ ડ્રીફ્ટ થવા લાગે છે અને પરિપથમાં લગભગ તાત્ક્ષણિક રીતે વિદ્યુત પ્રવાહ સ્થાપિત થાય છે.
તેથી,બલ્બ તરત જ પ્રકાશિત થાય છે કારણ કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઝડપથી પ્રસરણ પામે છે,નહીં કે વ્યક્તિગત ઈલેક્ટ્રોન સ્વિચથી બલ્બ સુધી મુસાફરી કરે છે.

(A) ડ્રીફટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર $v_d = \frac{eV\tau}{ml}$ છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$V$ એ સ્થિતિમાનનો તફાવત છે,$\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $l$ એ તારની લંબાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $v_d \propto V$ અને $v_d \propto \frac{1}{l}$.
જો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ બમણો કરવામાં આવે,તો ડ્રીફટ વેગ $v_d$ એ $v_d' = \frac{e(2V)\tau}{ml} = 2v_d$ થશે.
તેથી,જો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ બમણો કરવામાં આવે તો ડ્રીફટ વેગ બમણો થાય છે.

(B) ઓમના નિયમના સદિશ સ્વરૂપ મુજબ,પ્રવાહ ઘનતા $J$ અને વિધુતક્ષેત્ર $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $J = \sigma E$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પદાર્થની વિધુત વાહકતા છે.
આ સમીકરણને વિધુતક્ષેત્ર $E$ માટે ગોઠવતા,આપણને $E = J / \sigma$ મળે છે.
અચળ તાપમાને આપેલ પદાર્થ માટે વાહકતા $\sigma$ અચળ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $E \propto J$.
તેથી,વિધુતક્ષેત્ર એ પ્રવાહ ઘનતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(C) ડ્રીફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ છે,જ્યાં $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
$E = \frac{V}{L}$ હોવાથી,આપણને $v_d = \frac{eV\tau}{mL}$ મળે છે.
અહીં,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$V$ એ સ્થિતિમાનનો તફાવત છે,$\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $L$ એ તારની લંબાઈ છે.
નોંધો કે ડ્રીફ્ટ વેગ $v_d$ માત્ર સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$,લંબાઈ $L$ અને દ્રવ્યના ગુણધર્મો (રિલેક્સેશન સમય $\tau$) પર આધાર રાખે છે.
તે તારના વ્યાસ $d$ અથવા આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો વ્યાસ $d$ બમણો કરવામાં આવે,તો ડ્રીફ્ટ વેગ $v_d$ બદલાશે નહીં.

(B) $1$. વાહકમાંથી વહેતો વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ સમગ્ર વાહકમાં અચળ રહે છે કારણ કે તે શ્રેણી જોડાણ જેવું છે.
$2$. વિદ્યુત પ્રવાહ ઘનતા $J = I/A$. અહીં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_P > A_Q$ હોવાથી, વિદ્યુત પ્રવાહ ઘનતા $J_P < J_Q$ થાય.
$3$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = J/\sigma = I/(A\sigma)$. $A_P > A_Q$ હોવાથી, $E_P < E_Q$ થાય. આમ, $Q$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $P$ કરતા વધારે છે.
$4$. એકમ લંબાઈ દીઠ ઉષ્મા ઉત્પન્ન થવાનો દર $dH/dx = I^2 R/dx = I^2 \rho / A$. $A_P > A_Q$ હોવાથી, $P$ આગળ ઉષ્મા ઉત્પન્ન થવાનો દર $Q$ કરતા ઓછો છે.
$5$. તેથી, સાચું વિધાન એ છે કે $P$ આગળ વિદ્યુત પ્રવાહ ઘનતા $Q$ કરતા ઓછી છે (વિકલ્પ $B$).

(C) જ્યારે ધાતુના વાહક પર સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ લાગુ પાડવામાં આવે છે,ત્યારે વાહકની અંદર ઉંચા સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઉત્પન્ન થાય છે.
ઈલેક્ટ્રોન ઋણ વીજભારિત હોવાથી,તેઓ વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે $F = -eE$ બળ અનુભવે છે.
તેથી,મુક્ત ઈલેક્ટ્રોન નીચા સ્થિતિમાન ધરાવતા છેડાથી ઉંચા સ્થિતિમાન ધરાવતા છેડા તરફ બળ અનુભવે છે.
સ્ફટિક લેટીસના આયનો સાથે વારંવાર થતી અથડામણોને કારણે,ઈલેક્ટ્રોન સતત પ્રવેગિત થવાને બદલે બળની દિશામાં એક સરેરાશ અચળ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે,જેને ડ્રીફ્ટ વેગ $(v_d)$ કહેવામાં આવે છે.

(A) ડ્રિફ્ટ વેગનું સૂત્ર $\upsilon_d = \frac{e\tau V}{mL}$ છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે,$V$ એ વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત છે,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $L$ એ વાહકની લંબાઈ છે.
વાહકો સમાન હોવાથી અને સમાન તાપમાને રાખેલા હોવાથી,રિલેક્સેશન સમય $\tau$,દળ $m$ અને લંબાઈ $L$ બંને વાહકો માટે અચળ રહેશે.
તેથી,ડ્રિફ્ટ વેગ એ વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં છે: $\upsilon_d \propto V$.
આમ,ડ્રિફ્ટ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{\upsilon_{d1}}{\upsilon_{d2}} = \frac{V_1}{V_2}$ થશે.
આપેલ વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $1 : 2$ હોવાથી,ડ્રિફ્ટ વેગનો ગુણોત્તર પણ $1 : 2$ થશે.

(C) આપેલ છે: પ્રવાહ $I = 1.344 \, A$,ક્ષેત્રફળ $A = 1 \, mm^2 = 1 \times 10^{-6} \, m^2$,અને ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $n = 8.4 \times 10^{22} \, cm^{-3} = 8.4 \times 10^{28} \, m^{-3}$.
ડ્રિફ્ટ વેગ માટેનું સૂત્ર $v_d = \frac{I}{neA}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$v_d = \frac{1.344}{(8.4 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (1 \times 10^{-6})}$
$v_d = \frac{1.344}{8.4 \times 1.6 \times 10^{3}}$
$v_d = \frac{1.344}{13.44 \times 10^{3}} = 0.1 \times 10^{-3} \, m/s = 0.1 \, mm/s$.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$,ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = neAv_d$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$I = ne(\pi r^2)v_d$,જે દર્શાવે છે કે $I \propto r^2 v_d$.
પ્રથમ વાયર માટે: $I_1 = I$,$r_1 = r$,$v_{d1} = V$.
બીજા વાયર માટે: $r_2 = r/2$,$v_{d2} = 2V$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{r_2^2 v_{d2}}{r_1^2 v_{d1}} = \frac{(r/2)^2 (2V)}{r^2 V} = \frac{(r^2/4) (2V)}{r^2 V} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$I_2 = I_1 / 2 = I/2$.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $J$ ને $J = I / A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંને તારમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન રહેશે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તાંબાના તાર $(1)$ માટે: $J_1 = I / (\pi r_1^2)$.
લોખંડના તાર $(2)$ માટે: $J_2 = I / (\pi r_2^2)$.
વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતાનો ગુણોત્તર $J_1 / J_2 = (I / \pi r_1^2) / (I / \pi r_2^2) = r_2^2 / r_1^2$ થશે.
અહીં $r_1 = 1 \ mm$ અને $r_2 = 3 \ mm$ આપેલ છે,તેથી:
$J_1 / J_2 = (3)^2 / (1)^2 = 9 / 1$.
આમ,ગુણોત્તર $9 : 1$ થશે.

(C) ધારો કે ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ છે,એકમ કદ દીઠ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n$ છે,વાહકની લંબાઈ $l$ છે અને વાહકના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
વાહકમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $N = n(lA)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાહકમાં રહેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q = Ne = n(lA)e$ થાય.
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ સાથે વાહકની લંબાઈ $l$ કાપવા માટે ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા લેવાયેલ સમય $t = l / v_d$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને વિદ્યુતભારના વહનનો દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $I = q / t$.
$q$ અને $t$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{n(lA)e}{l / v_d} = neAv_d$.
આમ,સંબંધ $I = neAv_d$ છે.

(D) ડાબી બાજુના છેડે ત્રિજ્યા $a$ છે અને જમણી બાજુના છેડે ત્રિજ્યા $b$ છે. તેથી,$\ell$ લંબાઈ પર ત્રિજ્યામાં થતો વધારો $(b - a)$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ ત્રિજ્યામાં થતા વધારાનો દર $\frac{b - a}{\ell}$ છે.
ડાબી બાજુના છેડાથી $x$ અંતરે ત્રિજ્યામાં થતો વધારો $\left( \frac{b - a}{\ell} \right) x$ છે.
તેથી,$x$ અંતરે ત્રિજ્યા $r = a + \left( \frac{b - a}{\ell} \right) x$ થાય.
આ બિંદુએ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left[ a + \left( \frac{b - a}{\ell} \right) x \right]^2$ થાય.
વાહકમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ અચળ હોવાથી,વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $J = \frac{i}{A} = \frac{i}{\pi \left[ a + \frac{x(b - a)}{\ell} \right]^2}$ મળે.

(C) કોપરના $1 \ m^3$ કદનું દળ = $8990 \ kg = 8990 \times 10^3 \ g$ છે.
$1 \ m^3$ માં મોલની સંખ્યા = $\frac{8990 \times 10^3}{63.5} \approx 1.415 \times 10^5 \ mol$ થાય.
દરેક મોલમાં $6.022 \times 10^{23}$ પરમાણુઓ હોય છે અને દરેક પરમાણુ એક મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન આપે છે,તેથી મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા $n$:
$n = (1.415 \times 10^5) \times (6.022 \times 10^{23}) \approx 8.52 \times 10^{28} \ m^{-3}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ માટેના સૂત્ર $I = neAv_d$ પરથી,ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$:
$v_d = \frac{I}{neA}$.
અહીં $I = 1.34 \ A$,$A = 1.0 \ mm^2 = 10^{-6} \ m^2$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે:
$v_d = \frac{1.34}{(8.52 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (10^{-6})}$
$v_d \approx \frac{1.34}{1.3632 \times 10^4} \approx 0.98 \times 10^{-4} \ m/s$.
$mm/s$ માં ફેરવતા:
$v_d \approx 0.1 \ mm/s$.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 10\,cm = 0.1\,m$,ક્ષેત્રફળ $A = 1 \times 10^{-4}\,m^2$,વોલ્ટેજ $V = 2\,V$,મોબિલિટી $\mu = 0.14\,m^2V^{-1}s^{-1}$,ઈલેક્ટ્રોન ઘનતા $n = 1.5 \times 10^{16}\,m^{-3}$,ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$.
પ્રવાહ $I$ નું સૂત્ર $I = neAv_d$ છે,જ્યાં $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
$v_d = \mu E$ અને $E = V/l$ હોવાથી,$v_d = \mu (V/l)$ થાય.
આ કિંમત પ્રવાહના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = neA \left( \frac{\mu V}{l} \right)$.
$I = \frac{n e A \mu V}{l} = \frac{(1.5 \times 10^{16}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (1 \times 10^{-4}) \times 0.14 \times 2}{0.1}$.
$I = \frac{0.672 \times 10^{-7}}{10^{-1}} = 6.72 \times 10^{-7}\,A$.

(B) ડ્રિફ્ટ વેગનું સૂત્ર $v_d = \frac{I}{neA}$ છે.
આપેલ છે:
$I = 24 \, mA = 24 \times 10^{-3} \, A$
$n = 3 \times 10^{23} \, m^{-3}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
$A = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_d = \frac{24 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{23} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}}$
$v_d = \frac{24 \times 10^{-3}}{4.8 \times 10^{0}}$
$v_d = 5 \times 10^{-3} \, m/s$.

(C) ડ્રિફ્ટ વેગના પદમાં વિદ્યુત પ્રવાહનું સૂત્ર $i = neAv_d$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$i = ne \pi r^2 v$.
નવા તાર માટે,ત્રિજ્યા $r' = r/2$ છે અને જરૂરી ડ્રિફ્ટ વેગ $v' = 2v$ છે.
નવો પ્રવાહ $i'$ આ મુજબ મળે: $i' = ne \pi (r')^2 v'$.
કિંમતો મૂકતા: $i' = ne \pi (r/2)^2 (2v)$.
$i' = ne \pi (r^2/4) (2v) = \frac{1}{2} (ne \pi r^2 v)$.
આમ,$i = ne \pi r^2 v$ હોવાથી,આપણને $i' = i/2$ મળે છે.

(A) પ્રવાહ $i$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ $i = neA v_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$n$ અચળ રહે છે. તેથી,$i \propto A v_d$.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,$i \propto r^2 v_d$,જેનો અર્થ છે કે $v_d \propto \frac{i}{r^2}$.
તેથી,ડ્રિફ્ટ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{d1}}{v_{d2}} = \left( \frac{i_1}{i_2} \right) \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{i_1}{i_2} = \frac{4}{1}$ અને $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{r_2}{r_1} = \frac{2}{1}$.
$\frac{v_{d1}}{v_{d2}} = \left( \frac{4}{1} \right) \times \left( \frac{2}{1} \right)^2 = 4 \times 4 = 16$.
આમ,ગુણોત્તર $16 : 1$ છે.

(A) પ્રવાહ ઘનતા $J$ એ સૂત્ર $J = nqv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ચાર્જ કેરિયર્સની સંખ્યા ઘનતા છે,$q$ એ દરેક કેરિયરનો ચાર્જ છે,અને $v$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
આપેલ છે:
સંખ્યા ઘનતા $n = 2 \times 10^8 \text{ ions/cm}^3 = 2 \times 10^8 \times 10^6 \text{ ions/m}^3 = 2 \times 10^{14} \text{ ions/m}^3$.
બેવડા ભારિત આયનનો ચાર્જ $q = ze = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ C} = 3.2 \times 10^{-19} \text{ C}$.
વેગ $v = 10^5 \text{ m/s}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$J = (2 \times 10^{14}) \times (3.2 \times 10^{-19}) \times 10^5$
$J = 6.4 \times 10^{14-19+5} \text{ A/m}^2$
$J = 6.4 \times 10^0 = 6.4 \text{ A/m}^2$.

(D) તાર $AB$ સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ તેની સમગ્ર લંબાઈ દરમિયાન અચળ રહે છે.
સ્થાયી પ્રવાહ માટે સાતત્યના સિદ્ધાંત મુજબ,શ્રેણી પરિપથના કોઈપણ આડછેદમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ સમાન હોય છે.
પ્રવાહ ઘનતા $J$ ને એકમ આડછેદના ક્ષેત્રફળ દીઠ પ્રવાહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે સૂત્ર $J = I/A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન તાર માટે પ્રવાહ $I$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ બંને અચળ હોવાથી,તાર $AB$ પરના દરેક બિંદુએ પ્રવાહ ઘનતા $J$ પણ અચળ હોવી જોઈએ.
તેથી,$AB$ પરના સ્થાનની સાપેક્ષ $J$ નો આલેખ એક આડી સીધી રેખા હશે.
આ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) વાહકમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ સૂત્ર $I = n e A V_{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ વિદ્યુતભાર વાહકની ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $V_{d}$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંને તારમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન હશે.
બંને તારની ત્રિજ્યા $r$ સમાન હોવાથી,તેમના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ પણ સમાન થશે.
તેથી,$n_{1} e A V_{d_{1}} = n_{2} e A V_{d_{2}}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $n_{1} V_{d_{1}} = n_{2} V_{d_{2}}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{V_{d_{1}}}{V_{d_{2}}} = \frac{n_{2}}{n_{1}}$.
આપેલ છે કે વિદ્યુતભાર વાહકોની ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{1}{4}$ છે,તેથી $\frac{n_{2}}{n_{1}} = \frac{4}{1}$ થાય.
આમ,ડ્રિફ્ટ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{V_{d_{1}}}{V_{d_{2}}} = 4 : 1$ થશે.