Current Density, Drift Velocity and Mobility Questions in Hindi

(C) अनुगमन वेग $v_d$ और धारा $i$ के बीच का संबंध सूत्र $i = n e A v_d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इससे,अनुगमन वेग $v_d = \frac{i}{n e A}$ होता है।
प्रथम स्थिति में,$v_1 = v = \frac{i}{n e A}$ है।
दूसरी स्थिति में,धारा $i' = 2i$ है और क्षेत्रफल $A' = 2A$ है।
अतः,नया अनुगमन वेग $v_2 = \frac{i'}{n e A'} = \frac{2i}{n e (2A)} = \frac{i}{n e A}$ होगा।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $v_2 = v_1 = v$ प्राप्त होता है।

(B) चालक में इलेक्ट्रॉनों का अनुगमन वेग $(v_d)$ संबंध $v_d = \frac{I}{neA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ विद्युत धारा है,$n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
सामान्य धात्विक चालकों के लिए,इलेक्ट्रॉनों का अनुगमन वेग बहुत कम होता है,जो आमतौर पर $10^{-4} \, m/s$ से $10^{-5} \, m/s$ की सीमा में होता है।
इसे $cm/s$ में बदलने पर: $10^{-4} \, m/s = 10^{-4} \times 10^{2} \, cm/s = 10^{-2} \, cm/s$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुगमन वेग की कोटि $10^{-2} \, cm/s$ है।

(B) प्रति इकाई आयतन में परमाणुओं की संख्या $(n)$ $n = \frac{\text{Density} \times N_A}{\text{Atomic Weight}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: घनत्व $\rho = 9 \times 10^3 \ kg/m^3$,परमाणु भार $M = 63 \times 10^{-3} \ kg/mol$,आवोगाद्रो संख्या $N_A = 6.023 \times 10^{23} \ atoms/mol$.
$n = \frac{9 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23}}{63 \times 10^{-3}} \approx 8.6 \times 10^{28} \ electrons/m^3$.
अपवाह वेग $v_d$ का सूत्र $v_d = \frac{I}{neA}$ है,जहाँ $I = 1.1 \ A$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $A = \pi r^2 = \pi (0.5 \times 10^{-3})^2 \ m^2$.
$v_d = \frac{1.1}{8.6 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 3.14 \times 0.25 \times 10^{-6}}$.
$v_d \approx \frac{1.1}{1.08 \times 10^4} \approx 1.01 \times 10^{-4} \ m/s = 0.1 \ mm/s$.

(A) चालक का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \frac{ml}{ne^2 \tau A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$l$ लंबाई है,$n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है,$e$ आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है।
इस संबंध से,हम देखते हैं कि $R \propto \frac{1}{\tau}$।
जब किसी चालक का तापमान बढ़ता है,तो मुक्त इलेक्ट्रॉनों का तापीय वेग बढ़ जाता है।
इसके कारण इलेक्ट्रॉनों और जाली आयनों (lattice ions) के बीच अधिक बार टक्कर होती है।
परिणामस्वरूप,दो क्रमिक टक्करों के बीच का औसत समय,जिसे विश्रांति काल $\tau$ कहा जाता है,कम हो जाता है।
चूंकि $R$,$\tau$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए $\tau$ में कमी आने से प्रतिरोध $R$ में वृद्धि होती है।

(C) किसी चालक तार से स्थिर विद्युत धारा प्रवाहित होने के लिए,उसके सिरों के बीच विभवांतर का होना आवश्यक है।
संबंध $E = V/L$ के अनुसार,जहाँ $E$ विद्युत क्षेत्र है,$V$ विभवांतर है,और $L$ तार की लंबाई है,चालक के अंदर एक विद्युत क्षेत्र मौजूद होना चाहिए।
यह विद्युत क्षेत्र आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों) के अपवाह वेग (drift velocity) के लिए जिम्मेदार होता है।
चूंकि धारा तार की लंबाई के अनुदिश प्रवाहित होती है,इसलिए विद्युत क्षेत्र भी तार की लंबाई की दिशा में,यानी उसके समानांतर होना चाहिए।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) बाह्य विद्युत क्षेत्र की अनुपस्थिति में,धात्विक ब्लॉक में मुक्त इलेक्ट्रॉन यादृच्छिक ऊष्मीय गति में होते हैं।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,इन इलेक्ट्रॉनों का वर्ग माध्य मूल वेग $(V_{rms})$ सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3KT}{m}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ बोल्ट्जमैन नियतांक है,$T$ परम ताप है,और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $V_{rms} \propto \sqrt{T}$।
अतः,औसत वेग (विशेष रूप से वर्ग माध्य मूल ऊष्मीय वेग) $\sqrt{T}$ के समानुपाती होता है।

(C) अपवाह वेग $(v_d)$ का सूत्र $v_d = \frac{I}{nAe}$ है।
दिया गया है:
धारा $(I)$ = $20 \, A$
इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व $(n)$ = $10^{29} \, m^{-3}$
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $(A)$ = $10^{-6} \, m^2$
इलेक्ट्रॉन का आवेश $(e)$ = $1.6 \times 10^{-19} \, C$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_d = \frac{20}{10^{29} \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$v_d = \frac{20}{1.6 \times 10^{29-6-19}}$
$v_d = \frac{20}{1.6 \times 10^4}$
$v_d = 12.5 \times 10^{-4} \, m/s = 1.25 \times 10^{-3} \, m/s$.

(B) ओम के नियम का सूक्ष्म रूप यह बताता है कि धारा घनत्व $j$,चालक पर लगाए गए विद्युत क्षेत्र $E$ के समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे $j = \sigma E$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\sigma$ विद्युत चालकता है।
चूंकि चालकता $\sigma$,प्रतिरोधकता (विशिष्ट प्रतिरोध) $\rho$ का व्युत्क्रम है,इसलिए $\sigma = 1/\rho$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $j = E/\rho$ प्राप्त होता है।
विद्युत तीव्रता $E$ के लिए हल करने पर,हमें $E = j\rho$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $E = j\rho$ (या यदि $k$ प्रतिरोधकता को दर्शाता है तो $E = jk$) है।

(C) अनुगमन वेग का सूत्र $v_d = \frac{I}{nAe}$ है।
दिया गया है:
$I = 1.344 \, A$
$A = 1 \, mm^2 = 10^{-6} \, m^2$
$n = 8.4 \times 10^{22} \, \text{electrons}/cm^3 = 8.4 \times 10^{28} \, \text{electrons}/m^3$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_d = \frac{1.344}{(8.4 \times 10^{28}) \times (10^{-6}) \times (1.6 \times 10^{-19})}$
$v_d = \frac{1.344}{8.4 \times 1.6 \times 10^3}$
$v_d = \frac{1.344}{13.44 \times 10^3} = 0.1 \times 10^{-3} \, m/s$
$v_d = 0.1 \, mm/s$.

(A) चालक का प्रतिरोध $R$,$R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
धारा के सूक्ष्म मॉडल से,प्रतिरोधकता $\rho$ का मान $\rho = \frac{m}{ne^2 \tau}$ होता है।
प्रतिरोध के सूत्र में $\rho$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R = \left( \frac{m}{ne^2 \tau} \right) \frac{l}{A} = \frac{ml}{ne^2 \tau A}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) धारा घनत्व $J$ को प्रति इकाई अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल में प्रवाहित धारा के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $J = \frac{I}{A} = \frac{I}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तांबे का तार और लोहे का तार श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए दोनों तारों से समान धारा $I$ प्रवाहित होती है,अर्थात $I_{Cu} = I_{Fe} = I$.
तांबे के तार $(J_{Cu})$ और लोहे के तार $(J_{Fe})$ में धारा घनत्व का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{J_{Cu}}{J_{Fe}} = \frac{I / (\pi r_{Cu}^2)}{I / (\pi r_{Fe}^2)} = \frac{r_{Fe}^2}{r_{Cu}^2}$.
यहाँ $r_{Cu} = 1\, mm$ और $r_{Fe} = 3\, mm$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{J_{Cu}}{J_{Fe}} = \frac{(3\, mm)^2}{(1\, mm)^2} = \frac{9}{1} = 9:1$.
अतः,धारा घनत्व का अनुपात $9:1$ है।

(C) चालक में इलेक्ट्रॉनों का अनुगमन वेग ${v_d}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: ${v_d} = \frac{eE\tau}{m}$,जहाँ $E$ विद्युत क्षेत्र है,$\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
चूँकि विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{l}$ है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
${v_d} = \frac{eV\tau}{ml}$.
यहाँ,$V$ विभवांतर है,$l$ तार की लंबाई है,$e$ प्राथमिक आवेश है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $\tau$ विश्रांति काल है।
इनमें से कोई भी पैरामीटर $(V, l, e, m, \tau)$ तार के व्यास $d$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,व्यास $d$ को बदलने से इलेक्ट्रॉनों के अनुगमन वेग ${v_d}$ पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
अतः,अनुगमन वेग अपरिवर्तित रहता है।

(B) चालक में विद्युत धारा $I$ को संबंध $I = nAev_d$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, $e$ इलेक्ट्रॉन आवेश का परिमाण है, और $v_d$ अपवाह (ड्रिफ्ट) गति है।
यद्यपि अपवाह गति $v_d$ बहुत छोटी (आमतौर पर $10^{-4} \, m/s$) होती है और आवेश $e$ भी बहुत छोटा $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$ होता है, लेकिन एक चालक में मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व $n$ अत्यधिक उच्च (आमतौर पर $10^{28} \, \text{से } \, 10^{29} \, m^{-3}$) होता है।
$n$ का यह बहुत उच्च मान $v_d$ और $e$ के छोटे मानों की भरपाई करता है, जिससे चालक के माध्यम से महत्वपूर्ण मात्रा में विद्युत धारा का प्रवाह संभव हो पाता है।

(C) तार में प्रवाहित धारा $I$ का संबंध $I = neAv_d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $v_d$ अपवाह वेग है।
चूंकि तार का अनुप्रस्थ काट वृत्ताकार है,इसलिए $A = \pi r^2$.
अतः,$I = ne(\pi r^2)v_d$.
इसका अर्थ है कि $I \propto r^2 v_d$.
पहले तार के लिए,$I_1 = I$,$r_1 = r$,और $v_{d1} = V$.
दूसरे तार के लिए,$r_2 = r/2$ और $v_{d2} = 2V$.
अनुपात लेने पर: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{r_2^2 v_{d2}}{r_1^2 v_{d1}} = \frac{(r/2)^2 (2V)}{r^2 V} = \frac{(r^2/4) (2V)}{r^2 V} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$I_2 = I_1 / 2 = I/2$.

(C) चालक में इलेक्ट्रॉनों का अनुगमन वेग $v_d$ सूत्र $v_d = \frac{I}{neA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है,$n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूँकि दोनों भागों के लिए $I$,$n$ और $e$ स्थिर हैं,इसलिए $v_d \propto \frac{1}{A}$ होगा।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है,जिसका अर्थ है कि $A \propto d^2$ है।
इसलिए,$v_d \propto \frac{1}{d^2}$ होगा।
भाग $P$ और $Q$ के लिए,$\frac{v_P}{v_Q} = \left( \frac{d_Q}{d_P} \right)^2$ होगा।
यहाँ $d_P = d$ और $d_Q = d/2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{v_P}{v_Q} = \left( \frac{d/2}{d} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$ होगा।
अतः,$v_P = \frac{1}{4}v_Q$।

(B) अनुगमन वेग $v_d$ का सूत्र $v_d = \frac{I}{neA}$ है,जहाँ $I$ विद्युत धारा है,$n$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $A$ तार का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $v_d$ धारा $(I)$,मुक्त इलेक्ट्रॉनों के घनत्व $(n)$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ पर निर्भर करता है।
हालाँकि,एक सामान्य चालक तार के लिए अनुगमन वेग तार की लंबाई $(L)$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) अनुगमन वेग $(V_d)$ का सूत्र $V_d = \frac{I}{neA}$ है।
दिया गया है:
धारा $(I)$ = $40 \ A$
इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व $(n)$ = $10^{29} \ m^{-3}$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ = $10^{-6} \ m^2$
इलेक्ट्रॉन का आवेश $(e)$ = $1.6 \times 10^{-19} \ C$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V_d = \frac{40}{10^{29} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-6}}$
$V_d = \frac{40}{1.6 \times 10^{29-19-6}}$
$V_d = \frac{40}{1.6 \times 10^4}$
$V_d = 25 \times 10^{-4} \ m/s = 2.5 \times 10^{-3} \ m/s$.

(C) अनुगमन वेग $(V_d)$ का सूत्र $V_d = \frac{I}{nAe}$ है।
दिया गया है:
$I = 5.4 \, A$
$n = 8.4 \times 10^{28} \, m^{-3}$
$A = 10^{-6} \, m^2$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
मान रखने पर:
$V_d = \frac{5.4}{8.4 \times 10^{28} \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$V_d = \frac{5.4}{8.4 \times 1.6 \times 10^3}$
$V_d = \frac{5.4}{13.44 \times 10^3} \approx 0.4017 \times 10^{-3} \, m/s$
$V_d \approx 0.4 \, mm/s$.

(A) विद्युत धारा,वाटहीन धारा और शक्ति अदिश राशियाँ हैं क्योंकि वे सदिश योग के नियमों का पालन नहीं करती हैं।
धारा घनत्व $\vec{J} = \frac{I}{A} \hat{n}$ को आवेश के प्रवाह के लंबवत प्रति इकाई क्षेत्रफल में प्रवाहित धारा के रूप में परिभाषित किया जाता है,और यह एक सदिश राशि है जिसकी दिशा धनात्मक आवेश के प्रवाह की दिशा में होती है।

(B) चालक में मुक्त इलेक्ट्रॉनों का अनुगमन वेग $v_d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_d = \frac{i}{neA}$,जहाँ $i$ धारा है,$n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $A$ चालक का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि चालक एक तार है,इसलिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
अतः,$v_d = \frac{i}{ne\pi r^2}$।
इससे हम देख सकते हैं कि $v_d \propto \frac{i}{r^2}$।
मान लीजिए प्रारंभिक अनुगमन वेग $v_1 = v$,प्रारंभिक धारा $i_1 = i$ और प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ है।
मान लीजिए नया अनुगमन वेग $v_2$,नई धारा $i_2 = 2i$ और नई त्रिज्या $r_2 = 2r$ है।
समानुपातिकता $v_d \propto \frac{i}{r^2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{i_2}{i_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$
$\frac{v_2}{v} = \frac{2i}{i} \times \left( \frac{r}{2r} \right)^2$
$\frac{v_2}{v} = 2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
अतः,$v_2 = \frac{v}{2}$।

(A) अनुगमन वेग का सूत्र $v_d = \frac{I}{nAe}$ है।
यहाँ,$I = 8 \, A$,$n = 8 \times 10^{28} \, m^{-3}$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ है।
वर्गाकार तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = (2.0 \, mm)^2 = (2.0 \times 10^{-3} \, m)^2 = 4 \times 10^{-6} \, m^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_d = \frac{8}{8 \times 10^{28} \times 4 \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$v_d = \frac{8}{51.2 \times 10^3} = \frac{1}{6.4} \times 10^{-3} \approx 0.156 \times 10^{-3} \, m/s$.

(C) जब एक रैखिक धात्विक चालक के सिरों पर विभवांतर लगाया जाता है,तो चालक के भीतर एक विद्युत क्षेत्र स्थापित हो जाता है।
यह विद्युत क्षेत्र मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर बल लगाता है,जिससे वे गति करने लगते हैं।
हालाँकि,चालक के धनात्मक आयनों के साथ बार-बार होने वाली टक्करों के कारण,इलेक्ट्रॉन निरंतर त्वरित नहीं होते हैं।
इसके बजाय,वे एक छोटा,नियत औसत वेग प्राप्त करते हैं जिसे अनुगमन वेग (drift velocity) कहा जाता है,जो चालक के निम्न विभव वाले सिरे से उच्च विभव वाले सिरे की ओर निर्देशित होता है।

(C) अनुगमन वेग का सूत्र $v_d = \frac{I}{neA}$ है।
यहाँ,$I = 100\,A$,$n = 10^{28}\,m^{-3}$,और $e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \pi (0.01)^2 = \pi \times 10^{-4}\,m^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_d = \frac{100}{10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times \pi \times 10^{-4}}$
$v_d = \frac{100}{1.6 \times \pi \times 10^5} \approx \frac{100}{5.026 \times 10^5} \approx 1.989 \times 10^{-4}\,m/s$.
अतः,अनुगमन वेग लगभग $2 \times 10^{-4}\,m/s$ है।

(B) ओम के नियम के सूक्ष्म रूप के अनुसार,धारा घनत्व $J$ चालक पर लगाए गए विद्युत क्षेत्र $E$ के सीधे आनुपातिक होता है।
यह संबंध समीकरण $J = \sigma E$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पदार्थ की विद्युत चालकता है।
इस समीकरण को चालकता $\sigma$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sigma = \frac{J}{E}$
अतः,सही संबंध $\sigma = J/E$ है।

(D) कुल धारा घनत्व $J$,इलेक्ट्रॉनों के कारण धारा घनत्व $(J_e)$ और धनात्मक आयनों के कारण धारा घनत्व $(J_i)$ का योग है।
$J = J_e + J_i = n e v_e + n e v_i = n e (v_e + v_i)$
दिया गया है:
$n = 5 \times 10^7\, cm^{-3} = 5 \times 10^{13}\, m^{-3}$
$e = 1.6 \times 10^{-19}\, C$
$v_e = 0.4\, m/s$
$J = 4\, \mu A/m^2 = 4 \times 10^{-6}\, A/m^2$
सबसे पहले,इलेक्ट्रॉनों के कारण धारा घनत्व की गणना करें:
$J_e = n e v_e = (5 \times 10^{13}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times 0.4 = 3.2 \times 10^{-6}\, A/m^2$
अब,आयनों के कारण धारा घनत्व ज्ञात करें:
$J_i = J - J_e = 4 \times 10^{-6} - 3.2 \times 10^{-6} = 0.8 \times 10^{-6}\, A/m^2$
$J_i = n e v_i$ का उपयोग करते हुए,$v_i$ के लिए हल करें:
$v_i = \frac{J_i}{n e} = \frac{0.8 \times 10^{-6}}{(5 \times 10^{13}) \times (1.6 \times 10^{-19})} = 0.1\, m/s$.

(C) मुक्त इलेक्ट्रॉन सिद्धांत:
धातुओं में,अधिकांश परमाणुओं की सबसे बाहरी कक्षाओं में ढीले ढंग से बंधे इलेक्ट्रॉन होते हैं,जिन्हें मुक्त इलेक्ट्रॉन कहा जाता है क्योंकि उनमें अपने मूल परमाणु से अलग होकर स्वतंत्र रूप से गति करने की प्रवृत्ति होती है।
विद्युत आवेश का प्रवाह इन इलेक्ट्रॉनों की गति के कारण होता है। बाहरी विद्युत क्षेत्र की उपस्थिति में,सभी मुक्त इलेक्ट्रॉन क्षेत्र की विपरीत दिशा में प्रवाहित होते हैं,जिससे विद्युत धारा का निर्माण होता है।
जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन धातु के चालक से होकर गुजरते हैं,वे अक्सर परमाणुओं,अन्य इलेक्ट्रॉनों या अशुद्धियों के साथ टकराते हैं।
ये टक्करें इलेक्ट्रॉनों से चालक के परमाणुओं में गतिज ऊर्जा का स्थानांतरण करती हैं,जिससे परमाणुओं की कंपन ऊर्जा बढ़ जाती है,और इस प्रकार चालक में ऊष्मा उत्पन्न होती है।

(D) जब धातु के तार पर विद्युत विभवांतर लागू किया जाता है,तो चालन इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र द्वारा त्वरित होते हैं।
जैसे-जैसे ये इलेक्ट्रॉन जाली (lattice) से गुजरते हैं,वे बार-बार धातु के कंपन करते हुए परमाणुओं (या आयनों) से टकराते हैं।
इन टक्करों के दौरान,इलेक्ट्रॉन अपनी गतिज ऊर्जा का एक हिस्सा परमाणुओं को स्थानांतरित कर देते हैं,जिससे परमाणु अधिक आयाम के साथ कंपन करने लगते हैं।
परमाणुओं की कंपन ऊर्जा में यह वृद्धि तार के तापमान में वृद्धि के रूप में प्रकट होती है,जिसे ऊष्मा का उत्पादन कहा जाता है।
इसलिए,ऊष्मा उत्पन्न होने का सही कारण चालन इलेक्ट्रॉनों का धातु के तार के परमाणुओं से टकराना है।

(B) धारा $i = 1 \mu A = 10^{-6} \text{ A}$ दी गई है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 0.5 \text{ mm}^2 = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^2$ है।
प्रोटॉन का वेग $v = 3 \times 10^4 \text{ m/s}$ है।
एक सेकंड में,बीम खंड की लंबाई $L = v \times t = 3 \times 10^4 \times 1 = 3 \times 10^4 \text{ m}$ होगी।
इस खंड का आयतन $V = A \times L = (0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^2) \times (3 \times 10^4 \text{ m}) = 1.5 \times 10^{-2} \text{ m}^3$ होगा।
एक सेकंड में प्रवाहित आवेश $Q = i \times t = 10^{-6} \text{ C} \times 1 \text{ s} = 10^{-6} \text{ C}$ है।
आवेश घनत्व $\rho = \frac{Q}{V} = \frac{10^{-6}}{1.5 \times 10^{-2}} = \frac{1}{1.5} \times 10^{-4} = 0.666 \times 10^{-4} = 6.66 \times 10^{-5} \text{ C/m}^3$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) धात्विक चालकों में,विद्युत धारा मुख्य रूप से बाहरी विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में मुक्त इलेक्ट्रॉनों के अपवाह (drift) के कारण होती है।
अर्धचालकों में,विद्युत धारा बाहरी विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में मुक्त इलेक्ट्रॉनों और कोटरों (holes) दोनों के अपवाह के कारण होती है।
इसलिए,धात्विक चालकों और अर्धचालकों दोनों में विद्युत धारा में इलेक्ट्रॉनों का अपवाह शामिल होता है।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) जब विद्युत क्षेत्र अनुपस्थित होता है,तो चालक में मुक्त इलेक्ट्रॉन यादृच्छिक दिशाओं में और यादृच्छिक वेग के साथ गति करते हैं,और टक्करों के बीच उनका पथ सीधी रेखा होता है।
हालाँकि,बाहरी विद्युत क्षेत्र $E$ की उपस्थिति में,इलेक्ट्रॉन पर विद्युत बल $F = -eE$ कार्य करता है।
यह बल इलेक्ट्रॉन को निरंतर त्वरण $a = -eE/m$ प्रदान करता है।
इस निरंतर त्वरण के कारण,दो क्रमिक टक्करों के बीच इलेक्ट्रॉन का पथ परवलयाकार (parabolic) हो जाता है,न कि सीधी रेखा।

(C) इलेक्ट्रॉनों का अनुगमन वेग $v_d$ बहुत कम (आमतौर पर $10^{-3} \, m/s$) होता है।
हालाँकि,जैसे ही स्विच चालू किया जाता है,तार की पूरी लंबाई में प्रकाश की गति $(c \approx 3 \times 10^8 \, m/s)$ से विद्युत क्षेत्र स्थापित हो जाता है।
यह विद्युत क्षेत्र तार में मौजूद सभी मुक्त इलेक्ट्रॉनों पर एक साथ बल लगाता है,जिससे वे अनुगमन (drift) करने लगते हैं और परिपथ में लगभग तात्कालिक रूप से विद्युत धारा स्थापित हो जाती है।
इसलिए,बल्ब तुरंत जल उठता है क्योंकि विद्युत क्षेत्र तेजी से फैलता है,न कि इसलिए कि व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉन स्विच से बल्ब तक यात्रा करते हैं।

(A) अनुगमन वेग $v_d$ का सूत्र $v_d = \frac{eV\tau}{ml}$ है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$V$ विभवांतर है,$\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $l$ तार की लंबाई है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $v_d \propto V$ और $v_d \propto \frac{1}{l}$ है।
यदि विभवांतर $V$ को दोगुना कर दिया जाए,तो अनुगमन वेग $v_d$ का मान $v_d' = \frac{e(2V)\tau}{ml} = 2v_d$ हो जाएगा।
अतः,यदि विभवांतर $V$ को दोगुना कर दिया जाए तो अनुगमन वेग दोगुना हो जाता है।

(B) ओम के नियम के सदिश रूप के अनुसार,धारा घनत्व $J$ और विधुत क्षेत्र $E$ के बीच संबंध $J = \sigma E$ है,जहाँ $\sigma$ पदार्थ की विधुत चालकता है।
इस समीकरण को विधुत क्षेत्र $E$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $E = J / \sigma$ प्राप्त होता है।
चूँकि स्थिर तापमान पर किसी दिए गए पदार्थ के लिए चालकता $\sigma$ एक स्थिरांक है,इसलिए हम कह सकते हैं कि $E \propto J$।
अतः,विधुत क्षेत्र धारा घनत्व के सीधे समानुपाती होता है।

(C) अनुगमन वेग $v_d$ का सूत्र $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ है,जहाँ $E$ विद्युत क्षेत्र है।
चूंकि $E = \frac{V}{L}$,इसलिए $v_d = \frac{eV\tau}{mL}$ होता है।
यहाँ,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$V$ विभवांतर है,$\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $L$ तार की लंबाई है।
ध्यान दें कि अनुगमन वेग $v_d$ केवल विभवांतर $V$,लंबाई $L$ और पदार्थ के गुणों (विश्रांति काल $\tau$) पर निर्भर करता है।
यह तार के व्यास $d$ या अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,यदि व्यास $d$ को दोगुना किया जाता है,तो अनुगमन वेग $v_d$ अपरिवर्तित रहेगा।

(B) $1$. चालक से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ पूरे चालक में स्थिर रहती है क्योंकि यह एक श्रेणी परिपथ है।
$2$. धारा घनत्व $J = I/A$ होता है। चूंकि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_P > A_Q$ है, इसलिए धारा घनत्व $J_P < J_Q$ होगा।
$3$. विद्युत क्षेत्र $E = J/\sigma = I/(A\sigma)$ होता है। चूंकि $A_P > A_Q$ है, इसलिए $E_P < E_Q$ होगा। अतः, $Q$ पर विद्युत क्षेत्र $P$ की तुलना में अधिक है।
$4$. प्रति इकाई लंबाई ऊष्मा उत्पादन की दर $dH/dx = I^2 R/dx = I^2 \rho / A$ होती है। चूंकि $A_P > A_Q$ है, इसलिए $P$ पर ऊष्मा उत्पादन की दर $Q$ की तुलना में कम है।
$5$. अतः, सही कथन यह है कि $P$ पर धारा घनत्व $Q$ की तुलना में कम है (विकल्प $B$)।

(C) जब किसी धात्विक चालक पर विभवांतर $V$ लगाया जाता है,तो चालक के अंदर उच्च विभव से निम्न विभव की ओर एक विद्युत क्षेत्र $E$ स्थापित हो जाता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन ऋणावेशित होते हैं,इसलिए वे विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में $F = -eE$ बल का अनुभव करते हैं।
अतः,मुक्त इलेक्ट्रॉन निम्न विभव वाले सिरे से उच्च विभव वाले सिरे की ओर बल का अनुभव करते हैं।
जालक आयनों के साथ बार-बार होने वाली टक्करों के कारण,इलेक्ट्रॉन निरंतर त्वरित होने के बजाय बल की दिशा में एक औसत नियत वेग प्राप्त कर लेते हैं,जिसे अपवाह वेग $(v_d)$ कहा जाता है।

(A) अनुगमन वेग का सूत्र $\upsilon_d = \frac{e\tau V}{mL}$ है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है,$V$ विभवांतर है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $L$ चालक की लंबाई है।
चूंकि चालक समान हैं और समान तापमान पर रखे गए हैं,इसलिए विश्रांति काल $\tau$,द्रव्यमान $m$ और लंबाई $L$ दोनों चालकों के लिए स्थिर रहेंगे।
अतः,अनुगमन वेग विभवांतर के सीधे समानुपाती होता है: $\upsilon_d \propto V$.
इस प्रकार,अनुगमन वेग का अनुपात $\frac{\upsilon_{d1}}{\upsilon_{d2}} = \frac{V_1}{V_2}$ होगा।
दिया गया विभवांतर का अनुपात $1 : 2$ है,इसलिए अनुगमन वेग का अनुपात भी $1 : 2$ होगा।

(C) दिया गया है: धारा $I = 1.344 \, A$,क्षेत्रफल $A = 1 \, mm^2 = 1 \times 10^{-6} \, m^2$,और इलेक्ट्रॉन घनत्व $n = 8.4 \times 10^{22} \, cm^{-3} = 8.4 \times 10^{28} \, m^{-3}$।
अनुगमन वेग का सूत्र $v_d = \frac{I}{neA}$ है।
मान रखने पर:
$v_d = \frac{1.344}{(8.4 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (1 \times 10^{-6})}$
$v_d = \frac{1.344}{8.4 \times 1.6 \times 10^{3}}$
$v_d = \frac{1.344}{13.44 \times 10^{3}} = 0.1 \times 10^{-3} \, m/s = 0.1 \, mm/s$.

(C) धारा $I$,अपवाह वेग $v_d$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के बीच संबंध $I = neAv_d$ है।
चूंकि $A = \pi r^2$,इसलिए $I = ne(\pi r^2)v_d$,जिसका अर्थ है $I \propto r^2 v_d$.
पहले तार के लिए: $I_1 = I$,$r_1 = r$,$v_{d1} = V$.
दूसरे तार के लिए: $r_2 = r/2$,$v_{d2} = 2V$.
अनुपात लेने पर: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{r_2^2 v_{d2}}{r_1^2 v_{d1}} = \frac{(r/2)^2 (2V)}{r^2 V} = \frac{(r^2/4) (2V)}{r^2 V} = \frac{1}{2}$.
अतः,$I_2 = I_1 / 2 = I/2$.

(B) धारा घनत्व $J$ को $J = I / A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $I$ विद्युत धारा है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तार श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए दोनों तारों से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ समान होगी।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
तांबे के तार $(1)$ के लिए: $J_1 = I / (\pi r_1^2)$.
लोहे के तार $(2)$ के लिए: $J_2 = I / (\pi r_2^2)$.
धारा घनत्वों का अनुपात $J_1 / J_2 = (I / \pi r_1^2) / (I / \pi r_2^2) = r_2^2 / r_1^2$ होगा।
यहाँ $r_1 = 1 \ mm$ और $r_2 = 3 \ mm$ दिया गया है,इसलिए:
$J_1 / J_2 = (3)^2 / (1)^2 = 9 / 1$.
अतः,अनुपात $9 : 1$ होगा।

(C) माना कि अपवाह वेग $v_d$ है,प्रति इकाई आयतन मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n$ है,चालक की लंबाई $l$ है और चालक का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है।
चालक में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $N = n(lA)$ द्वारा दी जाती है।
चालक में निहित कुल आवेश $q = Ne = n(lA)e$ है।
अपवाह वेग $v_d$ के साथ चालक की लंबाई $l$ को पार करने में इलेक्ट्रॉनों द्वारा लिया गया समय $t = l / v_d$ है।
विद्युत धारा $I$ को आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया गया है: $I = q / t$.
$q$ और $t$ के मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{n(lA)e}{l / v_d} = neAv_d$.
अतः,संबंध $I = neAv_d$ है।

(D) बाएं सिरे पर त्रिज्या $a$ है और दाएं सिरे पर त्रिज्या $b$ है। अतः,$\ell$ लंबाई पर त्रिज्या में वृद्धि $(b - a)$ है।
प्रति इकाई लंबाई त्रिज्या में वृद्धि की दर $\frac{b - a}{\ell}$ है।
बाएं सिरे से $x$ दूरी पर त्रिज्या में वृद्धि $\left( \frac{b - a}{\ell} \right) x$ है।
इसलिए,$x$ दूरी पर त्रिज्या $r = a + \left( \frac{b - a}{\ell} \right) x$ होगी।
इस बिंदु पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left[ a + \left( \frac{b - a}{\ell} \right) x \right]^2$ होगा।
चूंकि चालक में प्रवाहित धारा $i$ स्थिर है,इसलिए धारा घनत्व $J = \frac{i}{A} = \frac{i}{\pi \left[ a + \frac{x(b - a)}{\ell} \right]^2}$ प्राप्त होता है।

(C) तांबे के $1 \ m^3$ आयतन का द्रव्यमान $8990 \ kg = 8990 \times 10^3 \ g$ है।
$1 \ m^3$ में मोलों की संख्या = $\frac{8990 \times 10^3}{63.5} \approx 1.415 \times 10^5 \ mol$ है।
चूंकि प्रत्येक मोल में $6.022 \times 10^{23}$ परमाणु होते हैं और प्रत्येक परमाणु एक मुक्त इलेक्ट्रॉन देता है,इसलिए मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व $n$ है:
$n = (1.415 \times 10^5) \times (6.022 \times 10^{23}) \approx 8.52 \times 10^{28} \ m^{-3}$।
धारा के सूत्र $I = neAv_d$ का उपयोग करते हुए,अनुगमन वेग $v_d$ है:
$v_d = \frac{I}{neA}$।
यहाँ $I = 1.34 \ A$,$A = 1.0 \ mm^2 = 10^{-6} \ m^2$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है:
$v_d = \frac{1.34}{(8.52 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (10^{-6})}$
$v_d \approx \frac{1.34}{1.3632 \times 10^4} \approx 0.98 \times 10^{-4} \ m/s$।
$mm/s$ में बदलने पर:
$v_d \approx 0.1 \ mm/s$।

(D) दिया गया है: लंबाई $l = 10\,cm = 0.1\,m$,क्षेत्रफल $A = 1 \times 10^{-4}\,m^2$,वोल्टेज $V = 2\,V$,गतिशीलता $\mu = 0.14\,m^2V^{-1}s^{-1}$,इलेक्ट्रॉन घनत्व $n = 1.5 \times 10^{16}\,m^{-3}$,इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$.
धारा $I$ का सूत्र $I = neAv_d$ है,जहाँ $v_d$ अनुगमन वेग है।
चूँकि $v_d = \mu E$ और $E = V/l$,इसलिए $v_d = \mu (V/l)$ होगा।
इस मान को धारा के सूत्र में रखने पर: $I = neA \left( \frac{\mu V}{l} \right)$.
$I = \frac{n e A \mu V}{l} = \frac{(1.5 \times 10^{16}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (1 \times 10^{-4}) \times 0.14 \times 2}{0.1}$.
$I = \frac{0.672 \times 10^{-7}}{10^{-1}} = 6.72 \times 10^{-7}\,A$.

(B) अनुगमन वेग का सूत्र $v_d = \frac{I}{neA}$ है।
दिया गया है:
$I = 24 \, mA = 24 \times 10^{-3} \, A$
$n = 3 \times 10^{23} \, m^{-3}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
$A = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_d = \frac{24 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{23} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}}$
$v_d = \frac{24 \times 10^{-3}}{4.8 \times 10^{0}}$
$v_d = 5 \times 10^{-3} \, m/s$.

(C) अनुगमन वेग के पदों में विद्युत धारा का सूत्र $i = neAv_d$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
अतः,$i = ne \pi r^2 v$.
नए तार के लिए,त्रिज्या $r' = r/2$ है और वांछित अनुगमन वेग $v' = 2v$ है।
नई धारा $i'$ इस प्रकार होगी: $i' = ne \pi (r')^2 v'$.
मान रखने पर: $i' = ne \pi (r/2)^2 (2v)$.
$i' = ne \pi (r^2/4) (2v) = \frac{1}{2} (ne \pi r^2 v)$.
चूंकि $i = ne \pi r^2 v$,इसलिए हमें $i' = i/2$ प्राप्त होता है।

(A) धारा $i$ और अनुगमन वेग $v_d$ के बीच का संबंध $i = neA v_d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए $n$ स्थिर रहता है। अतः,$i \propto A v_d$.
चूंकि $A = \pi r^2$,हमारे पास $i \propto r^2 v_d$ है,जिसका अर्थ है $v_d \propto \frac{i}{r^2}$।
इसलिए,अनुगमन वेग का अनुपात $\frac{v_{d1}}{v_{d2}} = \left( \frac{i_1}{i_2} \right) \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{i_1}{i_2} = \frac{4}{1}$ और $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{r_2}{r_1} = \frac{2}{1}$।
$\frac{v_{d1}}{v_{d2}} = \left( \frac{4}{1} \right) \times \left( \frac{2}{1} \right)^2 = 4 \times 4 = 16$।
अतः,अनुपात $16 : 1$ है।

(A) धारा घनत्व $J$ को सूत्र $J = nqv$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ आवेश वाहकों का संख्या घनत्व है,$q$ प्रत्येक वाहक का आवेश है,और $v$ अपवाह वेग है।
दिया गया है:
संख्या घनत्व $n = 2 \times 10^8 \text{ ions/cm}^3 = 2 \times 10^8 \times 10^6 \text{ ions/m}^3 = 2 \times 10^{14} \text{ ions/m}^3$.
द्वि-आवेशित आयन का आवेश $q = ze = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ C} = 3.2 \times 10^{-19} \text{ C}$.
वेग $v = 10^5 \text{ m/s}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$J = (2 \times 10^{14}) \times (3.2 \times 10^{-19}) \times 10^5$
$J = 6.4 \times 10^{14-19+5} \text{ A/m}^2$
$J = 6.4 \times 10^0 = 6.4 \text{ A/m}^2$.

(D) तार $AB$ एकसमान है,जिसका अर्थ है कि इसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ इसकी पूरी लंबाई में स्थिर रहता है।
स्थिर धाराओं के लिए निरंतरता के सिद्धांत के अनुसार,श्रेणी परिपथ के किसी भी अनुप्रस्थ काट से बहने वाली धारा $I$ समान होती है।
धारा घनत्व $J$ को प्रति इकाई अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल में धारा के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे सूत्र $J = I/A$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि एकसमान तार के लिए धारा $I$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ दोनों स्थिर हैं,इसलिए तार $AB$ के प्रत्येक बिंदु पर धारा घनत्व $J$ भी स्थिर होना चाहिए।
इसलिए,$AB$ के अनुदिश स्थिति के सापेक्ष $J$ का ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा होगी।
यह विकल्प $D$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(C) चालक से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा $I$ का सूत्र $I = n e A V_{d}$ है,जहाँ $n$ आवेश वाहक घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $V_{d}$ अनुगमन वेग है।
चूंकि तार श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए दोनों तारों से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ समान होगी।
दोनों तारों की त्रिज्या $r$ समान है,इसलिए उनके अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ भी समान होगा।
अतः,$n_{1} e A V_{d_{1}} = n_{2} e A V_{d_{2}}$।
इसे सरल करने पर $n_{1} V_{d_{1}} = n_{2} V_{d_{2}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{V_{d_{1}}}{V_{d_{2}}} = \frac{n_{2}}{n_{1}}$।
दिया गया है कि आवेश वाहक घनत्व का अनुपात $\frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{1}{4}$ है,इसलिए $\frac{n_{2}}{n_{1}} = \frac{4}{1}$ होगा।
इस प्रकार,अनुगमन वेग का अनुपात $\frac{V_{d_{1}}}{V_{d_{2}}} = 4 : 1$ होगा।