Current Density, Drift Velocity and Mobility Questions in Gujarati

(C) વાયરમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ એ સૂત્ર $I = neAv_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$n$ અને $e$ અચળ રહે છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
પ્રથમ વાયર માટે: $I_1 = ne(\pi r^2)v$.
બીજા વાયર માટે: $r_2 = r/2$ અને $v_{d2} = 2v$.
$I_2 = ne(\pi (r/2)^2)(2v) = ne(\pi r^2 / 4)(2v) = (1/2) ne \pi r^2 v$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$I_2 = I_1 / 2 = I/2$ મળે છે.

(D) વિદ્યુતભાર $q$,સંખ્યા ઘનતા $n$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ ધરાવતા વિદ્યુતભાર વાહકને કારણે મળતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = n q A v_d$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધન આયનો $(+2e)$ માટે: વીજભાર $q_1 = +2e$,સંખ્યા ઘનતા $n$ અને ડ્રિફ્ટ ઝડપ $v_1 = v/4$ છે. તેથી પ્રવાહ $I_1 = n(2e)A(v/4) = nevA/2$ થાય.
ઋણ આયનો $(-e)$ માટે: વીજભાર $q_2 = -e$,સંખ્યા ઘનતા $n$ અને ડ્રિફ્ટ ઝડપ $v_2 = v$ છે. ઋણ આયનો ધન આયનોની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનો પ્રવાહમાં ફાળો ધન આયનોની દિશામાં જ હોય છે. પ્રવાહનું મૂલ્ય $I_2 = n|q_2|Av_2 = n(e)Av = nevA$ થાય.
કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{total} = I_1 + I_2 = nevA/2 + nevA = 3nevA/2$ થાય.

(D) કુલ પ્રવાહ $I$ એ સંકલન $I = \int J \cdot dA$ દ્વારા મળે છે. નળાકાર વાયર માટે,ક્ષેત્રફળનો ઘટક $dA = 2\pi x dx$ છે.
$I = \int_{0}^{R/2} J_0 \left( \frac{x}{R} - 1 \right) (2\pi x dx) + \int_{R/2}^{R} J_0 \frac{x}{R} (2\pi x dx)$
$I = 2\pi J_0 \left[ \int_{0}^{R/2} \left( \frac{x^2}{R} - x \right) dx + \int_{R/2}^{R} \frac{x^2}{R} dx \right]$
$I = 2\pi J_0 \left[ \left( \frac{x^3}{3R} - \frac{x^2}{2} \right)_{0}^{R/2} + \left( \frac{x^3}{3R} \right)_{R/2}^{R} \right]$
$I = 2\pi J_0 \left[ \left( \frac{R^3/8}{3R} - \frac{R^2/4}{2} \right) + \left( \frac{R^3}{3R} - \frac{R^3/8}{3R} \right) \right]$
$I = 2\pi J_0 \left[ \left( \frac{R^2}{24} - \frac{R^2}{8} \right) + \left( \frac{R^2}{3} - \frac{R^2}{24} \right) \right]$
$I = 2\pi J_0 \left[ \frac{R^2 - 3R^2}{24} + \frac{8R^2 - R^2}{24} \right] = 2\pi J_0 \left[ -\frac{2R^2}{24} + \frac{7R^2}{24} \right]$
$I = 2\pi J_0 \left( \frac{5R^2}{24} \right) = \frac{5}{12} \pi J_0 R^2$.

(D) પ્રવાહ $I$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = n e A v_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $I = n e \left( \frac{\pi d^2}{4} \right) v_d$.
પ્રથમ વાયર માટે: $I = n e \left( \frac{\pi d^2}{4} \right) V$.
બીજા વાયર માટે જેનો વ્યાસ $d' = d/2$ છે: $I = n e \left( \frac{\pi (d/2)^2}{4} \right) v' = n e \left( \frac{\pi d^2}{16} \right) v'$.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $n e \left( \frac{\pi d^2}{4} \right) V = n e \left( \frac{\pi d^2}{16} \right) v'$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને મળે $\frac{V}{4} = \frac{v'}{16}$,જેનો અર્થ છે કે $v' = 4V$.

(C) વાહકમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ સંબંધ $I = neAv_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે, $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ ઝડપ છે.
અહીં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સ્થાયી છે અને $n$ તથા $e$ અચળ હોવાથી, $A v_d = \text{અચળ}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $v_d \propto \frac{1}{A}$.
આકૃતિ પરથી, બિંદુ $P$ આગળ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A_P)$ એ બિંદુ $Q$ આગળના ક્ષેત્રફળ $(A_Q)$ કરતા નાનું છે.
તેથી, $A_P < A_Q$ હોવાથી, $v_P > v_Q$ મળે છે.

(B) વાહકમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$i = n A q v_d$
જ્યાં:
$i$ = વિદ્યુતપ્રવાહ (એમ્પીયરમાં)
$n$ = એકમ કદ દીઠ વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા (વાહક ઘનતા) = $p$
$A$ = આડછેદનું ક્ષેત્રફળ = $s$
$q$ = દરેક વાહક પરનો વિદ્યુતભાર
$v_d$ = ડ્રિફ્ટ વેગ
આપેલ ચલોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$i = p \cdot s \cdot q \cdot v_d$
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$v_d = \frac{i}{p s q}$
આમ,ડ્રિફ્ટ વેગ $i/psq$ છે.

(D) જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહના વહેણને કારણે અવરોધક ગરમ થાય છે, ત્યારે તેનું તાપમાન વધે છે.
$1$. અવરોધ $(R)$ અને અવરોધકતા $(\rho)$ એ વાહકના તાપમાન પર આધારિત ગુણધર્મો છે. જેમ તાપમાન વધે છે, તેમ ઇલેક્ટ્રોનનો રિલેક્સેશન સમય ઘટે છે, જેના કારણે $R$ અને $\rho$ બંને બદલાય છે.
$2$. ડ્રિફ્ટ ઝડપ $(v_d)$ એ $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે. તાપમાન સાથે $\tau$ બદલાતું હોવાથી, ડ્રિફ્ટ ઝડપ પણ બદલાય છે.
$3$. મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(n)$ એ પદાર્થનો પોતાનો ગુણધર્મ છે (એકમ કદ દીઠ વેલેન્સ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા). અવરોધકના કાર્યકારી તાપમાનના ફેરફારોને ધ્યાનમાં લીધા વિના આ મૂલ્ય અચળ રહે છે.
તેથી, મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા બદલાતી નથી. સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) જ્યારે અસમાન આડછેદ ધરાવતા તારમાંથી સ્થાયી વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે,ત્યારે તારના દરેક આડછેદ પર વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન રહે છે.
$1$. સમયગાળા $t$ માં આપેલ આડછેદમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતભાર $q = I \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $I$ અચળ હોવાથી,પસાર થતો વિદ્યુતભાર આડછેદથી સ્વતંત્ર છે.
$2$. મુક્ત-ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $n$ એ તારના દ્રવ્યનો ગુણધર્મ છે અને તે તારના ભૌમિતિક આકાર કે આડછેદથી સ્વતંત્ર છે.
$3$. ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ સાથે $I = n e A v_d$ દ્વારા સંબંધિત છે. $I$ અને $n$ અચળ હોવાથી,જો આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ બદલાય તો $v_d$ બદલાય છે.
તેથી,આપેલ સમયગાળામાં પસાર થતો વિદ્યુતભાર અને મુક્ત-ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા બંને આડછેદથી સ્વતંત્ર છે.

(B) વાહકમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I = n e A v_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$V = I R$,જ્યાં $R = \rho \frac{l}{A}$.
સમીકરણમાં $I$ અને $R$ ની કિંમત મૂકતા: $V = (n e A v_d) \times (\rho \frac{l}{A}) = n e v_d \rho l$.
અવરોધકતા $\rho$ માટે સૂત્ર: $\rho = \frac{V}{n e v_d l}$.
આપેલ કિંમતો: $V = 5 \ V$,$l = 0.1 \ m$,$n = 8 \times 10^{28} \ m^{-3}$,$v_d = 2.5 \times 10^{-4} \ m/s$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{5}{8 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2.5 \times 10^{-4} \times 0.1}$.
$\rho = \frac{5}{3.2 \times 10^5} = 1.5625 \times 10^{-5} \ \Omega m \approx 1.6 \times 10^{-5} \ \Omega m$.

(A) પ્રવાહ ઘનતા $J$ ને $J = I/A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુત પ્રવાહ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા વાહક $PQ$ માંથી વહેતો વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ અચળ હોવાથી,પ્રવાહ ઘનતા $J$ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(J \propto 1/A)$.
આલેખ પરથી,પ્રવાહ ઘનતા $P$ આગળ વધારે છે અને $Q$ તરફ જતાં ઘટે છે.
આનો અર્થ એ છે કે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ $P$ આગળ નાનું અને $Q$ આગળ મોટું હોવું જોઈએ.
તેથી,પટ્ટી $Q$ કરતા $P$ આગળ સાંકડી છે.

(B) અવરોધકમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ તેની સમગ્ર લંબાઈ દરમિયાન અચળ રહે છે કારણ કે તે શ્રેણી જોડાણ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $i$, પ્રવાહ ઘનતા $J$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $V_d$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$i = J A$
$J = n e V_d$
$J$ ની કિંમત પ્રવાહના સમીકરણમાં મૂકતા:
$i = (n e V_d) A$
અહીં $i$, $n$ અને $e$ અચળ હોવાથી:
$A V_d = \text{અચળ}$
$V_d \propto \frac{1}{A}$
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી, જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે, તેથી $V_d \propto \frac{1}{r^2}$.
નળાકારના મધ્ય ભાગમાં ત્રિજ્યા $r$ મોટી છે, તેથી ક્ષેત્રફળ $A$ પણ મોટું છે.
તેથી, નળાકારના છેડાઓની સરખામણીમાં મધ્ય ભાગમાં ડ્રિફ્ટ વેગ $V_d$ ઓછો હોવો જોઈએ.
આ આલેખ $B$ ને અનુરૂપ છે, જેમાં મોટી ત્રિજ્યાવાળા વિસ્તારમાં $V_d$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.

(A) વાયરનો અવરોધ $R$ સૂત્ર $R = \frac{\rho l}{A} = \frac{m l}{n e^2 \tau A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$l$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$n$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે,અને $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે.
આપેલ છે કે $l$,$A$,$m$,$e$,અને $\tau$ અચળ છે,તેથી અવરોધ $R$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $R \propto \frac{1}{n}$.
આપેલ છે કે $n \propto T$,તેથી $R \propto \frac{1}{T}$.
આ સંબંધ $R = \frac{k}{T}$ (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે) એ લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

$(A)$ ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ છે, જ્યાં $E = \frac{V}{L}$ છે.
તેથી, $v_d = \frac{eV\tau}{mL}$.
બધા સળિયા કોપરના બનેલા છે અને સમાન તાપમાને હોવાથી, રિલેક્સેશન સમય $\tau$ અને ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m$ અચળ રહેશે.
તેથી, $v_d \propto \frac{V}{L}$.
સળિયા $(A)$ માટે: $v_A \propto \frac{V}{L} = 1 \cdot (V/L)$.
સળિયા $(B)$ માટે: $v_B \propto \frac{2V}{2L} = 1 \cdot (V/L)$.
સળિયા $(C)$ માટે: $v_C \propto \frac{2V}{3L} = 0.67 \cdot (V/L)$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા, આપણને $v_A = v_B > v_C$ મળે છે.

(B) વાહકમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I = neAv_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
$l$ લંબાઈના વાહકમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $N = nAl$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું કુલ વેગમાન $P = Nmv_d$ છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
$N = nAl$ મૂકતા,આપણને $P = (nAl)mv_d$ મળે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહના સૂત્ર પરથી,$nAv_d = \frac{I}{e}$.
આ કિંમત વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા: $P = l \cdot (nAv_d) \cdot m = l \cdot \frac{I}{e} \cdot m$.
વિશિષ્ટ વીજભાર $S$ એ વીજભાર અને દળનો ગુણોત્તર છે,$S = \frac{e}{m}$,તેથી $\frac{m}{e} = \frac{1}{S}$.
આમ,કુલ વેગમાન $P = \frac{Il}{S}$ થાય.

(A) વાહકમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ એ સૂત્ર $I = n_e e A v_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_e$ એ એકમ કદ દીઠ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
બે સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંનેમાંથી સમાન પ્રવાહ $I$ વહે છે.
ડાબા સળિયા માટે: $I = (2n) e A v_L$
જમણા સળિયા માટે: $I = (n) e (2A) v_R$
પ્રવાહ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$(2n) e A v_L = (n) e (2A) v_R$
$2 n e A v_L = 2 n e A v_R$
બંને બાજુ $2 n e A$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$v_L = v_R$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{v_L}{v_R} = 1$ થાય.

(B) આડછેદમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ પર પ્રવાહ ઘનતા $J$ ના સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = \int J \cdot dA$.
$r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા નળાકાર કવચ માટે,સૂક્ષ્મ ક્ષેત્રફળ $dA = 2\pi r \cdot dr$ છે.
આપેલ પ્રવાહ ઘનતા $J = \frac{J_0}{r^2}$ અને સૂક્ષ્મ ક્ષેત્રફળ $dA$ ને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{a}^{2a} \left( \frac{J_0}{r^2} \right) (2\pi r \cdot dr)$
$I = 2\pi J_0 \int_{a}^{2a} \frac{1}{r} \cdot dr$
$I = 2\pi J_0 [\ln r]_{a}^{2a}$
$I = 2\pi J_0 (\ln(2a) - \ln(a))$
$I = 2\pi J_0 \ln\left( \frac{2a}{a} \right)$
$I = 2\pi J_0 \ln 2$.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ માટેનું સૂત્ર $I = n e A v_d$ છે,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ,$n$ એ સંખ્યા ઘનતા,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
આપેલ છે: $I = 1.7\, A$,$d = 1.02\, mm \implies r = 0.51 \times 10^{-3}\, m$,$n = 8.5 \times 10^{28}\, m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19}\, C$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.51 \times 10^{-3})^2 \approx 8.17 \times 10^{-7}\, m^2$.
$v_d$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $v_d = \frac{I}{n e A}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_d = \frac{1.7}{(8.5 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (\pi \times (0.51 \times 10^{-3})^2)}$.
$v_d = \frac{1.7}{8.5 \times 1.6 \times \pi \times 0.2601 \times 10^{-7}} \approx \frac{1.7}{11.12} \times 10^{-3} \approx 0.15 \times 10^{-3}\, m/s$.
આમ,$v_d = 0.15\, mm/s$.

(B) વાહકોમાં,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનનો થર્મલ વેગ વધે છે.
આના કારણે ઇલેક્ટ્રોન અને લેટીસ આયનો વચ્ચે અથડામણ વધુ વારંવાર થાય છે.
પરિણામે,બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમય,જેને રિલેક્સેશન સમય $(\tau)$ કહેવાય છે,તે ઘટે છે.
રેઝિસ્ટિવિટી $(\rho)$ એ રિલેક્સેશન સમયના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(\rho = \frac{m}{ne^2\tau})$,તાપમાનમાં વધારો થવાથી રિલેક્સેશન સમય ઘટે છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતી પાતળી નળાકાર કવચમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $dI = J \cdot dA$ છે,જ્યાં $dA = 2 \pi r dr$ છે.
આપેલ પ્રવાહ ઘનતા $J = J_0 \frac{r}{R}$ મૂકતા:
$dI = (J_0 \frac{r}{R}) \cdot (2 \pi r dr) = \frac{2 \pi J_0}{R} r^2 dr$.
કુલ પ્રવાહ $I$ શોધવા માટે,આપણે $r = 0$ થી $r = R$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$I = \int_{0}^{R} \frac{2 \pi J_0}{R} r^2 dr = \frac{2 \pi J_0}{R} \int_{0}^{R} r^2 dr$.
$I = \frac{2 \pi J_0}{R} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{R} = \frac{2 \pi J_0}{R} \cdot \frac{R^3}{3} = \frac{2}{3} J_0 (\pi R^2)$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ હોવાથી,કુલ પ્રવાહ $I = \frac{2}{3} J_0 A$ થાય છે.

(A) વાહકમાં ઈલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ $V_{d}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_{d} = \frac{eE\tau}{m}$.
ત્યાં $L$ લંબાઈના તાર માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{V}{L}$ છે,તેથી આપણે આને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$V_{d} = \frac{e}{m} \left( \frac{V}{L} \right) \tau$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V_{d} \propto V$.
તેથી,જો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ બમણો કરવામાં આવે,તો ડ્રિફ્ટ વેગ $V_{d}$ પણ બમણો થશે.

(A) ડ્રિફ્ટ વેગનું સૂત્ર $I = neAv_d$ છે, જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે, $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે, $e$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર છે, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે。
આપેલ કિંમતો:
$I = 0.2 \, A$
$n = 0.8 \times 10^{23} \, \text{electrons}/cm^3 = 0.8 \times 10^{29} \, \text{electrons}/m^3$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
$A = 0.01 \, cm^2 = 10^{-6} \, m^2$
$v_d$ માટે સૂત્ર:
$v_d = \frac{I}{neA}$
$v_d = \frac{0.2}{(0.8 \times 10^{29}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (10^{-6})}$
$v_d = \frac{0.2}{1.28 \times 10^4}$
$v_d = 0.156 \times 10^{-4} \, m/s = 1.56 \times 10^{-5} \, m/s$.

(B) વાહકમાંથી વહેતા સ્થાયી વિદ્યુતપ્રવાહ માટે,વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના સિદ્ધાંતને કારણે આડછેદના ક્ષેત્રફળને ધ્યાનમાં લીધા વિના તારમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અચળ રહે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $J$ ને $J = I / A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તાર અનિયમિત આડછેદ ધરાવતો હોવાથી,તારની લંબાઈ સાથે $A$ બદલાય છે.
તેથી,$I$ અચળ હોવાથી અને $A$ બદલાતું હોવાથી,વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $J$ પણ તારની લંબાઈ સાથે બદલાશે.
આમ,માત્ર વિદ્યુતપ્રવાહ જ અચળ રહે છે.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = n e A v_d$.
અહીં,$I = 1.5 \, A$,$n = 9 \times 10^{28} \, m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,અને $A = 5 \, mm^2 = 5 \times 10^{-6} \, m^2$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1.5 = (9 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (5 \times 10^{-6}) \times v_d$.
$1.5 = (9 \times 1.6 \times 5) \times 10^{28-19-6} \times v_d$.
$1.5 = 72 \times 10^3 \times v_d$.
$v_d = \frac{1.5}{72 \times 10^3} = \frac{1.5}{72} \times 10^{-3} \, m/s$.
$v_d \approx 0.0208 \times 10^{-3} \, m/s = 0.0208 \, mm/s$.
આમ,$v$ નું મૂલ્ય $0.02 \, mm/s$ ની નજીક છે.

(D) વાહકની અવરોધકતા $\rho$ શોધવાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{m_e}{n e^2 \tau}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$n = 8.5 \times 10^{28} \ m^{-3}$
$\tau = 25 \ fs = 25 \times 10^{-15} \ s$
$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\rho = \frac{9.1 \times 10^{-31}}{(8.5 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \times (25 \times 10^{-15})}$
$\rho = \frac{9.1 \times 10^{-31}}{8.5 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38} \times 25 \times 10^{-15}}$
$\rho = \frac{9.1 \times 10^{-31}}{544 \times 10^{-25}}$
$\rho \approx 0.0167 \times 10^{-6} \ \Omega m \approx 1.67 \times 10^{-8} \ \Omega m$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આશરે કિંમત $10^{-8} \ \Omega m$ મળે છે.

(B) મોબિલિટી $\mu$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ $V_d$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નો ગુણોત્તર છે: $\mu = \frac{V_d}{E}$.
ઓમના નિયમ મુજબ,$E = \rho J$,જ્યાં $\rho$ અવરોધકતા છે અને $J$ એ પ્રવાહ ઘનતા છે.
પ્રવાહ ઘનતા $J = \frac{I}{A} = \frac{I}{\pi r^2}$.
આપેલ છે: $I = 5\, A$,$\rho = 1.7 \times 10^{-8}\, \Omega \, m$,$r = 5\, mm = 5 \times 10^{-3}\, m$,અને $V_d = 1.1 \times 10^{-3}\, m/s$.
પ્રથમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની ગણતરી કરો:
$E = \rho \times \frac{I}{\pi r^2} = 1.7 \times 10^{-8} \times \frac{5}{\pi \times (5 \times 10^{-3})^2} = 1.7 \times 10^{-8} \times \frac{5}{\pi \times 25 \times 10^{-6}} \approx 1.08 \times 10^{-3}\, V/m$.
હવે,મોબિલિટી $\mu$ શોધો:
$\mu = \frac{1.1 \times 10^{-3}}{1.08 \times 10^{-3}} \approx 1.01\, m^2/Vs$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $1.0\, m^2/Vs$ છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં વાહકના કોઈપણ આડછેદમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અચળ હોય છે,તેથી $I$ બધા બિંદુઓ પર સમાન હોય છે.
સંબંધ $I = neA V_d$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $V_d$ એ ડ્રિફ્ટ ઝડપ છે.
જેহেতু $I$,$n$,અને $e$ અચળ છે,તેથી આપણને $V_d \propto \frac{1}{A}$ મળે છે.
જેમ જેમ તારમાં $A$ થી $B$ તરફ જતાં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઘટે છે,તેમ ડ્રિફ્ટ ઝડપ $V_d$ વધવી જોઈએ.
તેથી,બિંદુ $A$ પરની ડ્રિફ્ટ ઝડપ બિંદુ $B$ પરની ડ્રિફ્ટ ઝડપ કરતા ઓછી છે,એટલે કે $(V_d)_A < (V_d)_B$.

(A) ઓહ્મનો નિયમ જણાવે છે કે વાહકમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ તેના છેડાઓ વચ્ચે લાગુ પાડવામાં આવેલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જો ભૌતિક પરિસ્થિતિઓ અચળ રહે. આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $J$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(J = \sigma E)$.
વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $J = n e v_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે,તેથી $n e v_d = \sigma E$.
આ સૂચવે છે કે $v_d \propto E$.
તેથી,જ્યારે ડ્રિફ્ટ વેગ વિદ્યુતક્ષેત્રના સીધા પ્રમાણમાં હોય ત્યારે ઓહ્મનો નિયમ પળાય છે.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = neAv_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$n$ અને $e$ અચળ રહે છે. તેથી,$I \propto A v_d$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi (d/2)^2 = \pi d^2 / 4$ છે,તેથી $A \propto d^2$.
આમ,$I \propto d^2 v_d$.
બંને કિસ્સામાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન હોવાથી,$d_1^2 v_{d1} = d_2^2 v_{d2}$ થાય.
અહીં $d_1 = d$,$v_{d1} = v_d$,અને $d_2 = d/2$ લેતા:
$d^2 v_d = (d/2)^2 v_{d2}$
$d^2 v_d = (d^2 / 4) v_{d2}$
$v_{d2} = 4v_d$.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ નું સૂત્ર $i = neAv_d$ છે,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
$L$ લંબાઈના તારમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $N = nAL$ છે.
તેથી,$nA = N/L$.
આ કિંમત પ્રવાહના સમીકરણમાં મૂકતા: $i = (N/L)ev_d$,જેનો અર્થ છે કે $Nv_d = iL/e$.
બધા ઇલેક્ટ્રોનનું કુલ વેગમાન $P = Nmv_d$ છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m \approx 9.1 \times 10^{-31}\, kg)$ છે.
વેગમાનના સમીકરણમાં $Nv_d = iL/e$ મૂકતા: $P = m(iL/e) = (m/e) \times iL$.
અહીં $m = 9.1 \times 10^{-31}\, kg$,$e = 1.6 \times 10^{-19}\, C$,$i = 16\, A$,અને $L = 1\, m$ છે:
$P = (9.1 \times 10^{-31} / 1.6 \times 10^{-19}) \times 16 \times 1$
$P = (9.1 / 1.6) \times 10^{-12} \times 16$
$P = 9.1 \times 10^{-12} \times 10 = 91 \times 10^{-12}\, kg\, m/s$.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$I = n e A v_d$
જ્યાં:
$I = 10\,A$ (વિદ્યુતપ્રવાહ)
$n = 9 \times 10^{28}\,m^{-3}$ (એકમ કદ દીઠ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા)
$e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$ (ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર)
$A = 1\,cm^2 = 1 \times 10^{-4}\,m^2$ (આડછેદનું ક્ષેત્રફળ)
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ માટે સૂત્ર:
$v_d = \frac{I}{n e A}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_d = \frac{10}{(9 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (1 \times 10^{-4})}$
$v_d = \frac{10}{9 \times 1.6 \times 10^{28-19-4}}$
$v_d = \frac{10}{14.4 \times 10^5}$
$v_d = \frac{10}{1.44 \times 10^6} \approx 6.94 \times 10^{-6}\,m/s$

(A) વાહકમાં પ્રવાહ $I$ એ $I = n e A v_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
પ્રવાહ ઘનતા $J$ ને $J = \frac{I}{A} = n e v_d$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
માઇક્રોસ્કોપિક સ્વરૂપમાં ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ ઘનતા $J$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સાથે $J = \sigma E$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે,જ્યાં $\sigma$ એ વિદ્યુત વાહકતા છે.
$J$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $n e v_d = \sigma E$ મળે છે.
ચોક્કસ તાપમાને આપેલ પદાર્થ માટે $n$,$e$ અને $\sigma$ અચળ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $v_d \propto E$.

(C) જ્યારે કોઈ વાહકમાંથી સ્થાયી વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો હોય ત્યારે તેમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ $(v_d)$ આશરે $10^{-4} \ m/s$ ના ક્રમનો હોય છે.
આ મૂલ્ય ઇલેક્ટ્રોનના અસ્તવ્યસ્ત ઉષ્મીય વેગની સરખામણીમાં ખૂબ જ નાનું છે,જે ઓરડાના તાપમાને $10^5 \ m/s$ ના ક્રમનો હોય છે.
તેથી,ડ્રિફ્ટ વેગનો સાચો ક્રમ $10^{-4} \ m/s$ છે.

(B) આપેલ છે: પ્રવાહ $I = 1.1\, A$,વ્યાસ $d = 1\, mm = 10^{-3}\, m$,ઘનતા $\rho = 9 \times 10^{3}\, kg/m^3$,મોલર દળ $M = 63 \times 10^{-3}\, kg/mol$.
એકમ કદ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = \frac{\rho N_A}{M}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{9 \times 10^{3} \times 6.023 \times 10^{23}}{63 \times 10^{-3}} \approx 8.6 \times 10^{28}\, m^{-3}$.
દરેક પરમાણુ એક મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન મુક્ત કરતું હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $n_e = n = 8.6 \times 10^{28}\, m^{-3}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{3.14 \times (10^{-3})^2}{4} = 7.85 \times 10^{-7}\, m^2$.
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d = \frac{I}{n_e A e}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_d = \frac{1.1}{(8.6 \times 10^{28}) \times (7.85 \times 10^{-7}) \times (1.6 \times 10^{-19})}$.
$v_d = \frac{1.1}{1.08 \times 10^{4}} \approx 1.018 \times 10^{-4}\, m/s = 0.1018\, mm/s \approx 0.1\, mm/s$.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $V_d$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $i = neAV_d$,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19}\, C)$ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે:
$i = 1.6\, A$
$n = 10^{29}\, m^{-3}$
$A = 1\, mm^2 = 10^{-6}\, m^2$
$e = 1.6 \times 10^{-19}\, C$
$V_d$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$V_d = \frac{i}{neA}$
કિંમતો મૂકતા:
$V_d = \frac{1.6}{10^{29} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-6}}$
$V_d = \frac{1.6}{1.6 \times 10^{29-19-6}}$
$V_d = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}\, m/s$.

(C) વાહકમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ સંબંધ $I = neAv_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,સમીકરણ $I = ne(\pi r^2)v_d$ બને છે.
અહીં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અચળ રહે છે,તેથી $v_d \propto \frac{1}{r^2}$ થાય.
જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે $(r' = 2r)$,તો નવો ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d'$ નીચે મુજબ મળે:
$v_d' = v_d \times \left(\frac{r}{r'}\right)^2 = v_d \times \left(\frac{r}{2r}\right)^2 = \frac{v_d}{4}$.
આમ,નવો ડ્રિફ્ટ વેગ $\vec v/4$ થશે.

(C) વાહકમાં મોટી સંખ્યામાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન હોય છે. જ્યારે આપણે પરિપથ પૂર્ણ કરીએ છીએ,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર તરત જ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપે (આશરે $3 \times 10^8 \ m/s$) સમગ્ર વાહકમાં સ્થાપિત થાય છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્ર તમામ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પર એકસાથે બળ લગાડે છે,જેના કારણે તેઓ ડ્રિફ્ટ થવા લાગે છે.
પરિણામે,સમગ્ર પરિપથમાં પ્રવાહ તરત જ સ્થાપિત થાય છે.
પ્રવાહ એ વાત પર આધાર રાખતો નથી કે એક ઇલેક્ટ્રોનને વાહકના એક છેડેથી બીજા છેડે પહોંચવામાં કેટલો સમય લાગે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ વાસ્તવમાં ખૂબ જ ઓછો હોય છે (સામાન્ય રીતે $10^{-4} \ m/s$ ના ક્રમનો).
તેથી,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(C) ઓહ્મના નિયમના સૂક્ષ્મ સ્વરૂપ $\vec J = \sigma \vec E$ પરથી,જ્યાં $\sigma$ એ વાહકતા છે. $\sigma$ એ ધન અદિશ રાશિ હોવાથી,પ્રવાહ ઘનતા $\vec J$ હંમેશા વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ ની દિશામાં હોય છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
કારણ વિશે વાત કરીએ તો,જ્યારે કોઈ બિંદુવત વિદ્યુતભારને સ્થિત-વિદ્યુતક્ષેત્રમાં સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે,ત્યારે તે માત્ર ત્યારે જ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખા પર ગતિ કરે છે જો તે રેખા સીધી હોય. જો વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વક્ર હોય,તો વિદ્યુતભાર તે રેખાના માર્ગને અનુસરશે નહીં કારણ કે વેગ સદિશ અને બળ સદિશ (જે રેખાને સ્પર્શક હોય છે) એકરેખસ્થ રહેશે નહીં. તેથી,કારણ ખોટું છે.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહની ગેરહાજરીમાં,વાહકમાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન વાયુના અણુઓની જેમ યાદચ્છિક ગતિમાં હોય છે.
તેમનો સરેરાશ વેગ શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની પાસે કોઈ ચોક્કસ દિશામાં ચોખ્ખો (net) વેગ હોતો નથી.
પરિણામે,ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ ચોખ્ખું ચુંબકીય બળ લાગતું નથી.
જ્યારે પ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન એક ચોક્કસ દિશામાં ડ્રિફ્ટ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે,અને પરિણામે,તેમના પર ચુંબકીય બળ લાગે છે (જો ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઘટક પ્રવાહની દિશાને લંબ હોય તો).

$(A)$ ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d}$ નું સૂત્ર $v_{d} = \frac{I}{neA}$ છે.
આપેલ છે: $I = 1.5 \; A$, $A = 1.0 \times 10^{-7} \; m^{2}$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$.
સંખ્યા ઘનતા $n$ ની ગણતરી:
$n = \frac{\text{ઘનતા} \times N_{A}}{\text{પરમાણ્વીય દળ}} = \frac{9.0 \times 10^{3} \; kg/m^{3} \times 6.022 \times 10^{23} \; \text{પરમાણુ}/\text{મોલ}}{63.5 \times 10^{-3} \; kg/\text{મોલ}} \approx 8.5 \times 10^{28} \; m^{-3}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$v_{d} = \frac{1.5}{8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^{-7}} \approx 1.1 \times 10^{-3} \; m/s = 1.1 \; mm/s$.
$(b) (i)$ $300 \; K$ તાપમાને તાંબાના પરમાણુઓની ઉષ્મીય ઝડપ આશરે $2 \times 10^{2} \; m/s$ છે. ડ્રિફ્ટ વેગ ઉષ્મીય ઝડપ કરતા આશરે $10^{-5}$ ગણો નાનો છે.
$(ii)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્રકાશની ઝડપે પ્રસરણ પામે છે, $c = 3.0 \times 10^{8} \; m/s$. આ ઝડપની સરખામણીમાં ડ્રિફ્ટ વેગ $10^{-11}$ ના અવયવ જેટલો અત્યંત નાનો છે.

(N/A) વિદ્યુતક્ષેત્ર સમગ્ર સર્કિટમાં લગભગ તરત જ (પ્રકાશની ઝડપે) સ્થાપિત થાય છે,જે દરેક બિંદુએ સ્થાનિક ઇલેક્ટ્રોન ડ્રિફ્ટનું કારણ બને છે. પ્રવાહની સ્થાપના માટે ઇલેક્ટ્રોનને વાહકના એક છેડેથી બીજા છેડે જવાની રાહ જોવી પડતી નથી. જો કે,પ્રવાહને તેના સ્થિર મૂલ્ય સુધી પહોંચવામાં થોડો સમય લાગે છે.
$(b)$ દરેક 'મુક્ત' ઇલેક્ટ્રોન પ્રવેગિત થાય છે,અને તેની ડ્રિફ્ટ ઝડપ વધારે છે જ્યાં સુધી તે ધાતુના ધન આયન સાથે અથડાય નહીં. અથડામણ પછી તે તેની ડ્રિફ્ટ ઝડપ ગુમાવે છે પરંતુ ફરીથી પ્રવેગિત થવાનું શરૂ કરે છે અને ફરીથી અથડામણ અનુભવે છે. તેથી,સરેરાશ રીતે,ઇલેક્ટ્રોન માત્ર એક ડ્રિફ્ટ ઝડપ મેળવે છે.
$(c)$ આ સરળ છે,કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન સંખ્યા ઘનતા ખૂબ જ વધારે છે,આશરે $10^{29}\; m^{-3}$.
$(d)$ બિલકુલ નહીં. ડ્રિફ્ટ વેગ એ ઇલેક્ટ્રોનના મોટા રેન્ડમ વેગ પર સુપરપોઝ થયેલ હોય છે.
$(e)$ વિદ્યુતક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં,માર્ગો સીધી રેખાઓ છે; વિદ્યુતક્ષેત્રની હાજરીમાં,માર્ગો સામાન્ય રીતે વક્ર હોય છે.

(C) આપેલ છે:
મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા,$n = 8.5 \times 10^{28} \; m^{-3}$
વાયરની લંબાઈ,$l = 3.0 \; m$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 2.0 \times 10^{-6} \; m^2$
વિદ્યુત પ્રવાહ,$I = 3.0 \; A$
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર,$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
વિદ્યુત પ્રવાહ માટેનું સૂત્ર $I = nAe v_d$ છે,જ્યાં $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
$v_d = \frac{l}{t}$ હોવાથી,$I = nAe \frac{l}{t}$ મળે.
સમય $t$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$t = \frac{nAe l}{I}$.
કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{(8.5 \times 10^{28}) \times (2.0 \times 10^{-6}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times 3.0}{3.0}$
$t = 8.5 \times 2.0 \times 1.6 \times 10^{(28 - 6 - 19)}$
$t = 27.2 \times 10^3 = 2.72 \times 10^4 \; s$.
બે સાર્થક અંકો સુધી લેતા,$t = 2.7 \times 10^4 \; s$.

(N/A) ઘન વાહકોમાં વિદ્યુતપ્રવાહની ગેરહાજરી નીચે મુજબ સમજાવી શકાય છે:
$1$. જ્યારે ધાતુના ઘન પદાર્થો બને છે,ત્યારે સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન તેમના મૂળ પરમાણુઓથી અલગ થઈને મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન બની જાય છે,જ્યારે ધન આયનો ચોક્કસ ત્રિ-પરિમાણીય ભૌમિતિક ગોઠવણીમાં સ્થિર રહે છે.
$2$. બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં,આ ધન આયનો તાપીય ઉર્જાને કારણે તેમના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ દોલનો કરે છે.
$3$. મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન આ ધન આયનોની વચ્ચેની જગ્યામાં અસ્તવ્યસ્ત ગતિ કરે છે.
$4$. તેમની ગતિ દરમિયાન,ઇલેક્ટ્રોન વારંવાર ધન આયનો સાથે અથડાય છે,જેના કારણે તેમની ગતિની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
$5$. ગતિ અસ્તવ્યસ્ત હોવાથી,કોઈપણ સમયે આપેલ આડછેદમાંથી એક દિશામાં પસાર થતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા તેની વિરુદ્ધ દિશામાં પસાર થતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા જેટલી જ હોય છે. આમ,ચોખ્ખો વિદ્યુતભારનો પ્રવાહ શૂન્ય રહે છે અને તેથી વિદ્યુતપ્રવાહ રચાતો નથી.

(N/A) રિલેક્સેશન ટાઈમ,જેને $\tau$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે વાહકમાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચે થતી બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેના સરેરાશ સમયગાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જ્યારે વાહક પર વિદ્યુતક્ષેત્ર લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અસ્તવ્યસ્ત ગતિ કરે છે અને લેટીસના ધન આયનો સાથે અથડાય છે.
આવી બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેના સમયગાળાને રિલેક્સેશન ટાઈમ કહેવામાં આવે છે.
તે સામાન્ય રીતે $10^{-14} \ s$ ના ક્રમનો હોય છે.

(A) $1$. વાહક: જે પદાર્થોમાંથી વિદ્યુતભાર સરળતાથી વહી શકે છે તેને વાહક કહેવામાં આવે છે. આનું કારણ એ છે કે તેમાં મોટી સંખ્યામાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન હોય છે જે સમગ્ર પદાર્થમાં મુક્તપણે ફરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે તાંબુ,ચાંદી અને એલ્યુમિનિયમ જેવી ધાતુઓ.
$2$. અવાહક: જે પદાર્થોમાંથી વિદ્યુતભાર સરળતાથી વહી શકતો નથી તેને અવાહક કહેવામાં આવે છે. આનું કારણ એ છે કે તેમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ખૂબ જ ઓછા અથવા હોતા નથી,અને ઇલેક્ટ્રોન તેમના પરમાણુઓ સાથે મજબૂતીથી જોડાયેલા હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે કાચ,પ્લાસ્ટિક,રબર અને લાકડું.
$3$. સરખામણી: અવાહકની તુલનામાં વાહકોમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘણી વધારે હોય છે. તેથી,વાહકોમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન વધુ હોય છે.

(N/A) પ્રવાહ ઘનતા: કોઈ પણ બિંદુએ વિદ્યુત પ્રવાહ ઘનતા એટલે તે બિંદુએ પ્રવાહને લંબ એકમ આડછેદના ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતો વિદ્યુત પ્રવાહ. પ્રવાહ ઘનતા એ સદિશ રાશિ છે.
$\overrightarrow{J} = \frac{I}{A} \hat{n}$
$\text{એકમ} = A/m^2 = A \cdot m^{-2}$
$\text{પારિમાણિક સૂત્ર} = [M^0 L^{-2} T^0 A^1]$
ઓહ્મના નિયમનું સદિશ સ્વરૂપ:
$l$ લંબાઈ અને $A$ આડછેદ ધરાવતા વાહકનો વિચાર કરો. તેના પર લાગુ પાડવામાં આવેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ છે. વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \cdot l$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$V = I \cdot R$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવરોધ $R = \rho \cdot \frac{l}{A}$,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે.
ઓહ્મના નિયમમાં $V$ અને $R$ ની કિંમત મૂકતા:
$E \cdot l = I \cdot \left( \frac{\rho \cdot l}{A} \right)$
$E = \left( \frac{I}{A} \right) \cdot \rho$
પ્રવાહ ઘનતા $J = I/A$ હોવાથી:
$E = J \cdot \rho$
વાહકતા $\sigma = 1/\rho$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = J / \sigma$
$J = \sigma \cdot E$
સદિશ સ્વરૂપમાં,આ $\overrightarrow{J} = \sigma \overrightarrow{E}$ તરીકે લખાય છે,જે ઓહ્મના નિયમનું સદિશ સ્વરૂપ છે.

(N/A) ઓમનો નિયમ તેના સૂક્ષ્મ અથવા સદિશ સ્વરૂપમાં પ્રવાહ ઘનતા સદિશ $\vec{J}$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.
ઓમના નિયમ અનુસાર,વાહકના કોઈ બિંદુએ પ્રવાહ ઘનતા $\vec{J}$ તે બિંદુએ રહેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$\vec{J} = \sigma \vec{E}$
જ્યાં:
$\vec{J}$ એ પ્રવાહ ઘનતા સદિશ છે ($A/m^2$ માં માપવામાં આવે છે),
$\sigma$ એ પદાર્થની વિદ્યુત વાહકતા છે ($\Omega^{-1} m^{-1}$ અથવા $S/m$ માં માપવામાં આવે છે),
$\vec{E}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ છે ($V/m$ માં માપવામાં આવે છે).
વૈકલ્પિક રીતે,કારણ કે $\sigma = 1/\rho$,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,આ સમીકરણને $\vec{E} = \rho \vec{J}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(N/A) $1$. ઇલેક્ટ્રોનનું ડ્રિફ્ટ: વાહકમાં,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ઉષ્મીય ઉર્જાને કારણે અસ્તવ્યસ્ત ગતિ કરે છે અને ધન આયનો સાથે અથડાય છે. તેમનો સરેરાશ વેગ શૂન્ય હોય છે. જ્યારે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે આ ઇલેક્ટ્રોન પર $F = -eE$ બળ લાગે છે,જેના કારણે તેઓ વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં ધીમેથી ડ્રિફ્ટ થાય છે. આ ચોખ્ખી ધીમી ગતિને ડ્રિફ્ટ કહેવામાં આવે છે.
$2$. ડ્રિફ્ટ વેગ $(v_d)$: બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની અસર હેઠળ વાહકમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત થતા સરેરાશ વેગને ડ્રિફ્ટ વેગ કહેવાય છે. જો $\tau$ એ સરેરાશ રિલેક્સેશન સમય હોય,તો $v_d = -\frac{eE\tau}{m}$.
$3$. વિદ્યુત પ્રવાહ $(I)$ નું તારણ: $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતો વાહક ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $n$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે. $A \Delta x$ કદમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $n A \Delta x$ છે. કારણ કે $\Delta x = v_d \Delta t$,તેથી $\Delta t$ સમયમાં આડછેદમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $\Delta Q = (n A v_d \Delta t) e$ છે. વિદ્યુત પ્રવાહ $I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = n e A v_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(N/A) આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સુવાહકનો વિચાર કરો જેમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ લાગુ પાડવામાં આવે છે. આ ક્ષેત્રને કારણે,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન બળ અનુભવે છે અને $\vec{E}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ થી ગતિ કરે છે.
$\Delta t$ જેટલા નાના સમયગાળામાં,ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર $\Delta x = |v_d| \Delta t$ છે.
આ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા નળાકાર ઘટકનું કદ $V = A \Delta x = A |v_d| \Delta t$ છે.
જો $n$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા) હોય,તો આ કદમાં રહેલા કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $N = n V = n A |v_d| \Delta t$ થાય.
$\Delta t$ સમયમાં આડછેદમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $\Delta Q = N e = n A e |v_d| \Delta t$ છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોન પરના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય છે.
વિદ્યુત પ્રવાહ $I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = n A e |v_d|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહ ઘનતા $J = \frac{I}{A}$ હોવાથી,આપણને $J = \frac{n A e |v_d|}{A} = n e |v_d|$ મળે છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં ડ્રિફ્ટ થતા હોવાથી,$\vec{J} = -n e \vec{v}_d$ થાય.

(N/A) મોબિલિટી $(\mu)$ એટલે વાહકમાં લાગુ પાડેલા એકમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ દીઠ ડ્રિફ્ટ વેગ $(v_d)$ નું મૂલ્ય.
ગાણિતિક રીતે, $\mu = \frac{|v_d|}{E}$.
ડ્રિફ્ટ વેગનું સૂત્ર $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ છે, જ્યાં $e$ એ વિદ્યુતભાર, $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય અને $m$ એ વાહકનું દળ છે. આ કિંમત મોબિલિટીના સૂત્રમાં મૂકતા, $\mu = \frac{e\tau}{m}$ મળે છે.
$SI$ એકમ: $m^2 V^{-1} s^{-1}$.
પરિમાણીય સૂત્ર: $[M^{-1} L^0 T^2 A^1]$.