Current Density, Drift Velocity and Mobility Questions in Gujarati

(N/A) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની હાજરીમાં ઈલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નીચે મુજબના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_d = -\frac{eE}{m} \tau$,જ્યાં $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,$m$ એ ઈલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $\tau$ એ રિલેક્સેશન ટાઈમ છે.
તેનું મૂલ્ય લેતા,આપણને મળે છે $|v_d| = \frac{eE}{m} \tau$.
મોબિલિટી $\mu$ ને એકમ વિદ્યુતક્ષેત્ર દીઠ ડ્રિફ્ટ વેગના મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\mu = \frac{|v_d|}{E}$.
$|v_d|$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu = \frac{eE\tau}{mE} = \frac{e\tau}{m}$.
મોબિલિટીનો $SI$ એકમ $\frac{m/s}{V/m} = m^2 V^{-1} s^{-1}$ છે.

(A) જ્યારે $n$ જેટલા ઇલેક્ટ્રોન $A$ આડછેદ ધરાવતા વાહકમાં $v_{d}$ ડ્રિફ્ટ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = n A v_{d} e$
વ્યાખ્યા મુજબ,મોબિલિટી $\mu$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ અને લાગુ પાડેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નો ગુણોત્તર છે:
$\mu = \frac{v_{d}}{E}$
તેથી,ડ્રિફ્ટ વેગને આ રીતે દર્શાવી શકાય:
$v_{d} = \mu E$
આ કિંમતને પ્રવાહના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = n A (\mu E) e$
મોબિલિટી $\mu$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\mu = \frac{I}{n A E e}$
મોબિલિટીનો $SI$ એકમ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{A}{m^{-3} \times m^{2} \times (V/m) \times C} = \frac{A}{V \cdot C} = m^{2} V^{-1} s^{-1}$

(A) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં,વાહકમાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ઉષ્મીય ઉર્જાને કારણે તમામ શક્ય દિશાઓમાં અસ્તવ્યસ્ત ગતિ કરે છે.
આ ગતિ સંપૂર્ણપણે રેન્ડમ હોવાથી,$\vec{v}$ વેગ સાથે ગતિ કરતા દરેક ઇલેક્ટ્રોન માટે,સરેરાશ રીતે બીજો એક ઇલેક્ટ્રોન $-\vec{v}$ વેગ સાથે ગતિ કરતો હોય છે.
પરિણામે,વાહકમાં રહેલા તમામ $N$ ઇલેક્ટ્રોનના વેગનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
તેથી,સરેરાશ વેગ $\vec{v}_{avg} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \vec{v}_i = 0$ થાય છે.

(N/A) $1$. રિલેક્સેશન ટાઈમ $(\tau )$: વાહકમાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન જ્યારે ધન આયનો સાથે અથડાય છે,ત્યારે બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેના સરેરાશ સમયગાળાને રિલેક્સેશન ટાઈમ કહે છે. તેનું મૂલ્ય સામાન્ય રીતે $10^{-14} \ s$ ના ક્રમનું હોય છે.
$2$. ડ્રિફ્ટ વેલોસિટી $(v_d)$: જ્યારે વાહકને બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે,ત્યારે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન જે સરેરાશ વેગથી વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેને ડ્રિફ્ટ વેલોસિટી કહે છે. તેનું સૂત્ર $v_d = -\frac{eE\tau}{m}$ છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર,$E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર,$\tau$ એ રિલેક્સેશન ટાઈમ અને $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.

(N/A) મોબિલિટી $(\mu)$ ને એકમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ દીઠ ડ્રિફ્ટ વેગ $(v_d)$ ના મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે, $\mu = \frac{v_d}{E}$.
ડ્રિફ્ટ વેગનો $SI$ એકમ $m/s$ છે અને વિદ્યુતક્ષેત્રનો $SI$ એકમ $V/m$ અથવા $N/C$ છે.
તેથી, મોબિલિટીનો $SI$ એકમ $\frac{m/s}{V/m} = m^2 V^{-1} s^{-1}$ અથવા $m^2 / (V \cdot s)$ થાય છે.

(N/A) જંકશન પરથી પસાર થતા વિદ્યુતભારની ગતિમાં સામાન્ય રીતે વેગમાનનું સંરક્ષણ થતું નથી.
જ્યારે વિદ્યુતભાર વાહકમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે લેટીસ આયનો સાથે અથડામણ અનુભવે છે,જે વિદ્યુતભાર પર બાહ્ય બળ લગાડે છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,તંત્રના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર તેના પર લાગતા ચોખ્ખા બાહ્ય બળ જેટલો હોય છે.
લેટીસ આયનો સ્થિર ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d} = \frac{eE\tau}{m}$ જાળવી રાખવા માટે વિદ્યુતભાર પર બળ લગાડે છે,તેથી વિદ્યુતભારનું વેગમાન સંરક્ષિત રહેતું નથી કારણ કે લેટીસ દ્વારા લાગતું બાહ્ય બળ શૂન્ય નથી.
વધુમાં,જંકશન પર વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ વધારાના સ્થાનિક વિદ્યુતક્ષેત્રો ઉત્પન્ન કરે છે જે વિદ્યુતભારના વેગમાનમાં વધુ ફેરફાર કરે છે.

(N/A) રિલેક્સેશન સમય $\tau$ એ ઇલેક્ટ્રોન અને લેટીસ આયનો વચ્ચેની બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમયગાળો છે.
$1$. $E$ ક્ષેત્ર પર નિર્ભરતા: જ્યારે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ તેમના રેન્ડમ થર્મલ વેગ ($10^5 \ m/s$ ના ક્રમમાં) ની તુલનામાં ખૂબ જ નાનો ($10^{-3} \ m/s$ ના ક્રમમાં) હોય છે. અથડામણની આવૃત્તિ મુખ્યત્વે રેન્ડમ થર્મલ ગતિ દ્વારા નક્કી થતી હોવાથી,રિલેક્સેશન સમય $\tau$ લાગુ કરેલા $E$ ક્ષેત્રથી લગભગ સ્વતંત્ર રહે છે. $\tau$ ની આ અચળતા એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે વિદ્યુત પ્રવાહ ઘનતા $J$ એ $E$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે $(J = \sigma E)$,જે ઓમના નિયમનું સૂક્ષ્મ સ્વરૂપ છે.
$2$. $T$ પર નિર્ભરતા: જેમ તાપમાન $T$ વધે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોનનો રેન્ડમ થર્મલ વેગ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે. આનાથી ઇલેક્ટ્રોન અને લેટીસ આયનો વચ્ચે વધુ વારંવાર અથડામણ થાય છે,જેનાથી રિલેક્સેશન સમય $\tau$ ઘટે છે. સમીકરણ $\rho = \frac{m}{n e^2 \tau}$ મુજબ,તાપમાન વધવા સાથે $\tau$ ઘટતું હોવાથી,વાહકની અવરોધકતા $\rho$ વધે છે.

(B) ધાતુઓમાં,બાહ્ય કક્ષાના ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસ સાથે નબળા બંધનથી જોડાયેલા હોય છે. આ ઇલેક્ટ્રોનને મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અથવા સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન કહેવામાં આવે છે. ઓરડાના તાપમાને ઉષ્મીય ઉર્જાને કારણે,આ ઇલેક્ટ્રોન તેમના મૂળ પરમાણુઓથી અલગ થઈ જાય છે અને સ્ફટિક લેટીસમાં અવ્યવસ્થિત રીતે ગતિ કરે છે. જ્યારે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે આ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ચોક્કસ દિશામાં ડ્રિફ્ટ થાય છે,જેનાથી વિદ્યુત પ્રવાહ ઉત્પન્ન થાય છે. તેથી,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન એ ધાતુઓની વાહકતા માટે જવાબદાર વીજભાર વાહકો છે.

(N/A) પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{R} = \frac{6}{6} = 1 \, A$.
ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા $n = 10^{29} \, m^{-3}$.
તારની લંબાઈ $l = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = (1 \, mm)^2 = 10^{-6} \, m^2$.
તારનું કદ $V_{vol} = A \times l = 10^{-6} \times 0.1 = 10^{-7} \, m^3$.
ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $N = n \times V_{vol} = 10^{29} \times 10^{-7} = 10^{22}$.
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d = \frac{I}{nAe} = \frac{1}{10^{29} \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}} = \frac{1}{1.6 \times 10^4} = 0.625 \times 10^{-4} \, m/s = 6.25 \times 10^{-5} \, m/s$.
કુલ ગતિ ઊર્જા $K.E. = N \times \frac{1}{2} m_e v_d^2 = 10^{22} \times 0.5 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (6.25 \times 10^{-5})^2$.
$K.E. = 4.55 \times 10^{-9} \times 39.06 \times 10^{-10} \approx 1.78 \times 10^{-17} \, J$.
$(b)$ વ્યય થતી પાવર $P = I^2 R = (1)^2 \times 6 = 6 \, W$.
$P = \frac{E}{t}$ હોવાથી,સમયગાળો $t = \frac{E}{P} = \frac{1.78 \times 10^{-17}}{6} \approx 2.97 \times 10^{-18} \, s \approx 3 \times 10^{-18} \, s$.

(C) વિદ્યુતભારિત કણની મોબિલિટી $\mu$ એ તેના ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ અને લાગુ પાડેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $\mu = \frac{v_d}{E}$
આપેલ છે:
$v_d = 7.5 \times 10^{-4} \, m s^{-1}$
$E = 3 \times 10^{-10} \, V m^{-1}$
ગણતરી:
$\mu = \frac{7.5 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-10}}$
$\mu = 2.5 \times 10^{-4 - (-10)}$
$\mu = 2.5 \times 10^{6} \, m^{2} V^{-1} s^{-1}$

(C) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d}$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $i = neAv_{d}$ છે,જ્યાં $n$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે.
પ્રથમ,સંખ્યા ઘનતા $n$ ની ગણતરી કરો:
$n = \frac{\text{ઘનતા} \times N_{A}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{2.7 \times 10^{3} \, kg/m^{3} \times 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}}{27 \times 10^{-3} \, kg/mol} \approx 6.022 \times 10^{28} \, m^{-3}$.
સરળતા માટે $n \approx 6 \times 10^{28} \, m^{-3}$ લો.
હવે,$v_{d}$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવો:
$v_{d} = \frac{i}{neA}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$i = 10 \, A$,$n = 6 \times 10^{28} \, m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$A = 4 \times 10^{-6} \, m^{2}$.
$v_{d} = \frac{10}{(6 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (4 \times 10^{-6})}$
$v_{d} = \frac{10}{38.4 \times 10^{3}} = \frac{10}{38400} \approx 2.6 \times 10^{-4} \, m/s$.

(B) આડછેદના ક્ષેત્રફળના ઘટક $dA$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $i$ એ $di = J(r) dA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નળાકાર વાયર માટે,$dr$ જાડાઈ અને $r$ ત્રિજ્યાવર્તી અંતરે ક્ષેત્રફળનો ઘટક $dA = 2 \pi r dr$ છે.
આપેલ પ્રવાહ ઘનતા $J(r) = J_{0}(1 - \frac{r}{R})$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$di = J_{0}(1 - \frac{r}{R}) (2 \pi r dr) = 2 \pi J_{0} (r - \frac{r^{2}}{R}) dr$.
$r = 0$ થી $r = \frac{R}{4}$ સુધીનો કુલ પ્રવાહ $i$ શોધવા માટે,આપણે સંકલન કરીએ છીએ:
$i = \int_{0}^{R/4} 2 \pi J_{0} (r - \frac{r^{2}}{R}) dr = 2 \pi J_{0} [\frac{r^{2}}{2} - \frac{r^{3}}{3R}]_{0}^{R/4}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$i = 2 \pi J_{0} [\frac{(R/4)^{2}}{2} - \frac{(R/4)^{3}}{3R}] = 2 \pi J_{0} [\frac{R^{2}}{32} - \frac{R^{3}}{192R}] = 2 \pi J_{0} [\frac{R^{2}}{32} - \frac{R^{2}}{192}]$.
સામાન્ય છેદ શોધતા:
$i = 2 \pi J_{0} [\frac{6R^{2} - R^{2}}{192}] = 2 \pi J_{0} [\frac{5R^{2}}{192}] = \frac{5 J_{0} \pi R^{2}}{96}$.

(B) આપેલ છે: વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 10\, A$,ક્ષેત્રફળ $A = 5\, mm^{2} = 5 \times 10^{-6}\, m^{2}$,ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d} = 2 \times 10^{-3}\, m/s$,અને ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19}\, C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતપ્રવાહ અને ડ્રિફ્ટ વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $i = neAv_{d}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $n$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$n = \frac{i}{eAv_{d}}$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{10}{1.6 \times 10^{-19} \times 5 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}}$.
$n = \frac{10}{16 \times 10^{-28}} = 0.625 \times 10^{28} = 625 \times 10^{25}\, m^{-3}$.

(A) આપેલ છે:
વાહકતા $\sigma = 5 \times 10^{7} \, S/m$
ત્રિજ્યા $r = 0.5 \, mm = 5 \times 10^{-4} \, m$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10 \, mV/m = 10 \times 10^{-3} \, V/m = 10^{-2} \, V/m$
ઓહ્મના નિયમના સૂક્ષ્મ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવાહ ઘનતા $J = \sigma E$:
$J = (5 \times 10^{7}) \times (10^{-2}) = 5 \times 10^{5} \, A/m^{2}$
પ્રવાહ $i = J \times A = J \times (\pi r^{2})$:
$i = (5 \times 10^{5}) \times \pi \times (5 \times 10^{-4})^{2}$
$i = 5 \times 10^{5} \times \pi \times 25 \times 10^{-8}$
$i = 125 \times 10^{-3} \, \pi \, A$
$i = 125 \, \pi \, mA$
આપેલ છે કે $i = x^{3} \, \pi \, mA$,તેથી:
$x^{3} = 125$
$x = \sqrt[3]{125} = 5$

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $\vec{J}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ના અદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $I = \vec{J} \cdot \vec{A} = J A \cos(\theta)$.
અહીં $I = 5\; A$,$A = 0.04\; m^2$ અને $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $5 = J \times 0.04 \times \cos(60^{\circ})$.
$\cos(60^{\circ}) = 0.5$ હોવાથી,$5 = J \times 0.04 \times 0.5 = J \times 0.02$.
તેથી,$J = \frac{5}{0.02} = 250\; A/m^2$.
ઓમના નિયમ મુજબ,$\vec{E} = \rho \vec{J}$,તેથી મૂલ્ય $E = \rho J$ થશે.
$E = (44 \times 10^{-8}) \times 250 = 11000 \times 10^{-8} = 11 \times 10^{-5}\; V/m$.

(B) શ્રેણી પરિપથમાં,વાહકમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ દરેક આડછેદ પર અચળ રહે છે.
$i = n e A v_{d}$ હોવાથી,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ વિદ્યુતભાર છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $v_{d}$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે,તેથી આપણને $v_{d} = \frac{i}{n e A}$ મળે છે.
જેમ આપણે $P$ થી $Q$ તરફ જઈએ છીએ,ત્રિજ્યા $r$ ઘટે છે,તેથી આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2}$ ઘટે છે. $i$ અચળ હોવાથી,ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d}$ વધવો જોઈએ.
સંબંધ $v_{d} = \frac{e E \tau}{m}$ પરથી,જ્યાં $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,$\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે,અને $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_{d} \propto E$. તેથી,જેમ $v_{d}$ વધે છે,તેમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ પણ વધે છે.
વાહકમાં પ્રવાહ $i$ અચળ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન પ્રવાહ બદલાતો નથી.
આમ,$P$ થી $Q$ તરફ જતાં,ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ વધે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વધે છે.

(C) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 10 \, m$,ત્રિજ્યા $r = \frac{10^{-2}}{\sqrt{\pi}} \, m$,અવરોધ $R = 10 \, \Omega$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10 \, V/m$.
પ્રથમ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ શોધો:
$A = \pi r^{2} = \pi \left( \frac{10^{-2}}{\sqrt{\pi}} \right)^{2} = \pi \cdot \frac{10^{-4}}{\pi} = 10^{-4} \, m^{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવાહ ઘનતા $J = \sigma E$,જ્યાં $\sigma$ એ વાહકતા છે.
કારણ કે $\sigma = \frac{1}{\rho}$ અને $R = \rho \frac{L}{A}$,તેથી $\rho = \frac{RA}{L}$.
આમ,$\sigma = \frac{L}{RA}$.
આ કિંમતને $J$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$J = \left( \frac{L}{RA} \right) E = \frac{E \cdot L}{R \cdot A}$.
કિંમતો મૂકતા:
$J = \frac{10 \times 10}{10 \times 10^{-4}} = \frac{100}{10^{-3}} = 10^{5} \, A/m^{2}$.

(A) પ્રવાહ ઘનતા $J = 4 \times 10^{6} \; A \cdot m^{-2}$ આપેલ છે.
તારની ત્રિજ્યા $R = 4 \; mm = 4 \times 10^{-3} \; m$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I = \int J \cdot dA$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{R}{2}$ અને $R$ ત્રિજ્યા વચ્ચેના બહારના ભાગ માટે ક્ષેત્રફળ $A' = \pi R^{2} - \pi \left(\frac{R}{2}\right)^{2} = \pi R^{2} - \frac{\pi R^{2}}{4} = \frac{3}{4} \pi R^{2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$I = J \times A' = 4 \times 10^{6} \times \frac{3}{4} \pi R^{2}$.
$I = 4 \times 10^{6} \times \frac{3}{4} \times \pi \times (4 \times 10^{-3})^{2}$.
$I = 3 \times 10^{6} \times \pi \times 16 \times 10^{-6}$.
$I = 48 \; \pi \; A$.

(C) ક્ષેત્રફળ ખંડ $dA$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I = \int J \cdot dA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નળાકાર તાર માટે,$r'$ ત્રિજ્યા અને $dr'$ જાડાઈ ધરાવતી રીંગનો ક્ષેત્રફળ ખંડ $dA = 2 \pi r' dr'$ છે.
અહીં $J = 1.0 \times 10^{6} \, A/m^{2}$ અને $r = 4.0 \, mm = 4.0 \times 10^{-3} \, m$ આપેલ છે.
$r/2$ અને $r$ વચ્ચેના વિસ્તારમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I$:
$I = \int_{r/2}^{r} J (2 \pi r') dr' = 2 \pi J \int_{r/2}^{r} r' dr'$
$I = 2 \pi J \left[ \frac{(r')^{2}}{2} \right]_{r/2}^{r} = \pi J \left[ r^{2} - \left( \frac{r}{2} \right)^{2} \right]$
$I = \pi J \left[ r^{2} - \frac{r^{2}}{4} \right] = \pi J \left( \frac{3r^{2}}{4} \right)$
$J = 10^{6} \, A/m^{2}$ અને $r = 4 \times 10^{-3} \, m$ ની કિંમતો મૂકતા:
$I = \pi \times 10^{6} \times \frac{3}{4} \times (4 \times 10^{-3})^{2}$
$I = \pi \times 10^{6} \times \frac{3}{4} \times 16 \times 10^{-6} = 12 \pi \, A$
આને $x \pi \, A$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 12$ મળે છે.

(B) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર: $v_d = \frac{e \tau E}{m} = \frac{e \tau}{m} \left( \frac{\Delta V}{\ell} \right)$ છે.
$1$. તાપમાનની અસર: જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોનની અથડામણની આવૃત્તિ વધે છે,જેના કારણે રિલેક્સેશન સમય $\tau$ ઘટે છે. $v_d \propto \tau$ હોવાથી,ડ્રિફ્ટ વેગ ઘટે છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે અને $E$ ખોટું છે.
$2$. લંબાઈની અસર: સૂત્ર $v_d = \frac{e \tau \Delta V}{m \ell}$ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $v_d \propto \frac{1}{\ell}$. તેથી,વિધાન $D$ સાચું છે.
$3$. ક્ષેત્રફળની અસર: ડ્રિફ્ટ વેગ અને વિદ્યુતપ્રવાહ વચ્ચેનો સંબંધ $I = n e A v_d$ છે. જો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અચળ હોય,તો $v_d = \frac{I}{n e A}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v_d \propto \frac{1}{A}$. જોકે,સામાન્ય વાહકમાં જ્યાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V$ નિશ્ચિત હોય,ત્યારે $v_d = \frac{e \tau \Delta V}{m \ell}$ થાય,જે આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ પર આધારિત નથી. તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.
$4$. વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતની અસર: $v_d = \frac{e \tau \Delta V}{m \ell}$ હોવાથી,ડ્રિફ્ટ વેગ લાગુ પાડેલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $\Delta V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,વિધાન $C$ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $A$ અને $D$ સાચા છે.

(B) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 1\,m$,પ્રવાહ $i = 1\,A$,ક્ષેત્રફળ $A = 2.0 \times 10^{-6}\,m^{2}$,અવરોધકતા $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,m$,વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$.
પ્રથમ,તારનો અવરોધ $R$ શોધો:
$R = \frac{\rho l}{A} = \frac{1.7 \times 10^{-8} \times 1}{2.0 \times 10^{-6}} = 0.85 \times 10^{-2}\,\Omega$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$:
$V = iR = 1 \times 0.85 \times 10^{-2} = 0.85 \times 10^{-2}\,V$.
તારમાં ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$:
$E = \frac{V}{l} = \frac{0.85 \times 10^{-2}}{1} = 0.85 \times 10^{-2}\,V/m$.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F$:
$F = eE = 1.6 \times 10^{-19} \times 0.85 \times 10^{-2} = 1.36 \times 10^{-21}\,N$.
આને $10^{-23}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$F = 136 \times 10^{-23}\,N$.
તેથી,$x = 136$.

(D) પ્રવાહ $I$,વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને વેગ $v$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \rho A v$ છે.
આપેલ છે:
$I = 500 \,\mu A = 500 \times 10^{-6} \,A$
$v = 3 \times 10^7 \,m/s$
$A = 1.50 \,mm^2 = 1.50 \times 10^{-6} \,m^2$
વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\rho = \frac{I}{A v}$
કિંમતો મૂકતા:
$\rho = \frac{500 \times 10^{-6}}{(1.50 \times 10^{-6}) \times (3 \times 10^7)}$
$\rho = \frac{500}{1.50 \times 3 \times 10^7}$
$\rho = \frac{500}{4.5 \times 10^7} \approx 1.11 \times 10^{-5} \,C/m^3$.
આમ,આ મૂલ્ય $10^{-5} \,C/m^3$ ની નજીક છે.

(B) જ્યારે પ્રવાહ $I$ બદલાતા આડછેદ ધરાવતા વાહકમાંથી વહે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારના સાતત્યને કારણે દરેક આડછેદમાંથી વહેતો પ્રવાહ અચળ રહે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I = jA$,જ્યાં $j$ એ પ્રવાહ ઘનતા છે અને $A$ એ આડછેદનો વિસ્તાર છે,તેથી $j_1 A_1 = j_2 A_2$ થાય.
જેમ વિસ્તાર ઘટે છે $(A_2 < A_1)$,તેમ પ્રવાહ ઘનતા વધવી જોઈએ $(j_2 > j_1)$.
વળી,પ્રવાહ ઘનતા અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ $j = n e v_d$ છે. અહીં $n$ અને $e$ અચળ હોવાથી,જેમ વિસ્તાર ઘટે છે તેમ ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વધે છે.
ઓમના નિયમના સૂક્ષ્મ સ્વરૂપ મુજબ,$j = \frac{E}{\rho}$,જ્યાં $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે અને $\rho$ એ દ્રવ્યની અવરોધકતા છે.
જેમ $j$ વધે છે અને આપેલ દ્રવ્ય માટે $\rho$ અચળ છે,તેથી સાંકડા વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું મૂલ્ય વધવું જોઈએ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) આપેલ અવરોધનું સૂત્ર $R = \frac{m_e v}{n e^2 L^2}$ છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇના સંબંધ મુજબ,$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_e v}$.
અહીં $\lambda = L$ આપેલ હોવાથી,$L = \frac{h}{m_e v}$,જેનો અર્થ છે કે $m_e v = \frac{h}{L}$.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{(h/L)}{n e^2 L^2} = \frac{h}{n e^2 L^3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n = \frac{N}{V} = \frac{N}{L^3}$ (જ્યાં $N$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે),તેથી $R = \frac{h}{N e^2}$.
મહત્તમ અવરોધ માટે,ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $N$ ન્યૂનતમ હોવી જોઈએ. ધાતુના નમૂનામાં ઇલેક્ટ્રોનની ન્યૂનતમ સંખ્યા $N = 1$ છે.
તેથી,$R_{max} = \frac{h}{e^2} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(1.60 \times 10^{-19})^2}$.
$R_{max} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.56 \times 10^{-38}} \approx 2.59 \times 10^4 \, \Omega$.
આ મૂલ્ય $10^4 \, \Omega$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $V_d$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = n e A V_d$.
અહીં,$I = 10 \,A$,$n = 9 \times 10^{28} \,m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$,અને $A = 1 \,cm^2 = 10^{-4} \,m^2$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$10 = (9 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (10^{-4}) \times V_d$.
$10 = (9 \times 1.6 \times 10^{28-19-4}) \times V_d$.
$10 = (14.4 \times 10^5) \times V_d$.
$V_d = \frac{10}{14.4 \times 10^5} = \frac{1}{1.44} \times 10^{-5} \approx 0.6944 \times 10^{-5} = 6.94 \times 10^{-6} \,m/s$.

(B) ઇલેક્ટ્રોનની મોબિલિટી $\mu$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 5 \,V$
લંબાઈ $l = 10 \,cm = 0.1 \,m$
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d = 2.5 \times 10^{-4} \,m/s$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{V}{l} = \frac{5}{0.1} = 50 \,V/m$
હવે,મોબિલિટી $\mu$ ની ગણતરી કરીએ:
$\mu = \frac{v_d}{E} = \frac{2.5 \times 10^{-4}}{50}$
$\mu = \frac{2.5}{50} \times 10^{-4} = 0.05 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-6} \,m^2 V^{-1} s^{-1}$.

(A) વાહકમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ એ સંબંધ $I = n e A v_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના હોવાથી,$n$ અને $e$ અચળ છે.
તેથી,$v_d = \frac{I}{n e A} = \frac{I}{n e (\pi r^2)}$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $r_A : r_B = 1 : 2$ આપેલ છે,તેથી ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $A_A : A_B = r_A^2 : r_B^2 = 1^2 : 2^2 = 1 : 4$ થશે.
પ્રવાહનો ગુણોત્તર $I_A : I_B = 4 : 1$ આપેલ છે.
ડ્રિફ્ટ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{dA}}{v_{dB}} = \frac{I_A}{A_A} \times \frac{A_B}{I_B} = \left(\frac{4}{1}\right) \times \left(\frac{4}{1}\right) = \frac{16}{1}$ થશે.
તેથી,ગુણોત્તર $16:1$ છે.

(D) એકમ કદ દીઠ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(n)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$n = \frac{N_A \times \rho}{M} = \frac{6.023 \times 10^{26} \times 10.5 \times 10^3}{108} \approx 5.86 \times 10^{28} \, m^{-3}$.
ડ્રિફ્ટ વેગના સૂત્ર $v_d = \frac{I}{n e A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v_d = \frac{20}{(5.86 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (3.14 \times 10^{-6})}$.
$v_d = \frac{20}{29.45} \times 10^{-4} \, m/s \approx 6.798 \times 10^{-4} \, m/s$.

(A) ડ્રિફ્ટ વેગ $V_{d}$ નું સૂત્ર $V_{d} = \frac{eE}{m}\tau$ છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે.
અહીં $E = \frac{V}{L}$ હોવાથી,જ્યાં $V$ એ લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ છે અને $L$ એ વાહકની લંબાઈ છે,આપણે લખી શકીએ કે $V_{d} = \frac{eV}{mL}\tau$.
આ પ્રશ્નમાં,લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ $V$,લંબાઈ $L$,દ્રવ્ય (જે $\tau$ નક્કી કરે છે) અને ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર/દળ અચળ રહે છે.
તેથી,ડ્રિફ્ટ વેગ $V_{d}$ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
આમ,નવો ડ્રિફ્ટ વેગ $V_{d}$ જ રહેશે.

(B) ડ્રિફ્ટ વેગનું સૂત્ર $v_d = \frac{I}{neA}$ છે.
અહીં,$I = 2\,A$,$n = 2.0 \times 10^{28}\,m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$,અને $A = 25.0\,mm^2 = 25.0 \times 10^{-6}\,m^2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_d = \frac{2}{(2.0 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (25.0 \times 10^{-6})}$
$v_d = \frac{2}{80 \times 10^3 \times 10^{-6}}$
$v_d = \frac{2}{80 \times 10^{-3}}$
$v_d = \frac{2}{0.08} = 25\,ms^{-1}$.
પ્રશ્નમાં $\times 10^{-6}\,ms^{-1}$ ના સ્વરૂપમાં જવાબ માંગ્યો હોવાથી,ગણતરી મુજબ જવાબ $25$ મળે છે.

(A) આપેલ છે:
ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા,$n = 8 \times 10^{28} \ m^{-3}$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 2 \times 10^{-6} \ m^2$
વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 3.2 \ A$
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
ડ્રિફ્ટ વેગ $(v_d)$ માટેનું સૂત્ર:
$I = n e A v_d$
$v_d$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$v_d = \frac{I}{n e A}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_d = \frac{3.2}{(8 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^{-6})}$
$v_d = \frac{3.2}{25.6 \times 10^3}$
$v_d = 0.125 \times 10^{-3} \ m/s$
$v_d = 125 \times 10^{-6} \ m/s$
આમ,ડ્રિફ્ટ વેગ $125 \times 10^{-6} \ m/s$ છે.

(B) જ્યારે ધાત્વિક વાહક પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = -eE$ અનુભવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર ઊંચા પોટેન્શિયલથી નીચા પોટેન્શિયલ તરફ હોય છે,તેથી ઇલેક્ટ્રોન ઊંચા પોટેન્શિયલ તરફ પ્રવેગિત થાય છે.
જોકે,ધાતુના લેટિસના ધન આયનો સાથે સતત અથડામણને કારણે,ઇલેક્ટ્રોન સીધી રેખામાં ગતિ કરતા નથી પરંતુ ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે યાદચ્છિક,વક્ર માર્ગો પર ગતિ કરે છે.
સરેરાશ રીતે,તેઓ ઊંચા પોટેન્શિયલ તરફ ચોખ્ખો ડ્રિફ્ટ વેગ દર્શાવે છે.
આમ,અથડામણો વચ્ચે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ વક્ર માર્ગે હોય છે.

(D) ચાર્જ કેરિયર્સની મોબિલિટી $\mu$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $\mu = \frac{v_d}{E}$
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{\ell}$ છે,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $\ell$ એ તારની લંબાઈ છે,તેથી:
$\mu = \frac{v_d}{V/\ell} = \frac{v_d \cdot \ell}{V}$
આપેલ કિંમતો: $v_d = 0.5\ m/s$,$\ell = 2\ m$,$V = 200\ V$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{0.5 \times 2}{200} = \frac{1}{200} = 0.005\ m^2 V^{-1} s^{-1}$
$\mu = 5 \times 10^{-3}\ m^2 V^{-1} s^{-1}$

(A) તારમાંથી વહેતો વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ દરેક આડછેદ માટે અચળ રહે છે.
વિદ્યુત પ્રવાહ ઘનતાની વ્યાખ્યા $J = \frac{I}{A}$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$I$ અચળ હોવાથી,$J \propto \frac{1}{A}$ થાય.
આકૃતિ પરથી,$A$ પાસેનું ક્ષેત્રફળ $B$ પાસેના ક્ષેત્રફળ કરતા નાનું છે $(A_A < A_B)$,તેથી $j_A > j_B$ મળે.
ઓમના નિયમના સૂક્ષ્મ સ્વરૂપ મુજબ,$\vec{J} = \sigma \vec{E}$,જ્યાં $\sigma$ એ દ્રવ્યની વાહકતા છે.
દ્રવ્ય સમાન અને આઈસોટ્રોપિક હોવાથી,$\sigma$ સમગ્ર તારમાં અચળ રહે છે.
આમ,$E = \frac{J}{\sigma}$,જેનો અર્થ છે કે $E \propto J$.
તેથી,$j_A > j_B$ હોવાથી,$E_A > E_B$ સાબિત થાય છે.

(B) આપેલ છે:
વાહકની લંબાઈ $L = 40 \ cm = 0.4 \ m$
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 10 \ V$
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d = 5 \times 10^{-6} \ m/s$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે: $E = \frac{V}{L} = \frac{10}{0.4} = 25 \ V/m$.
મોબિલિટી $\mu$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ અને વિદ્યુતક્ષેત્રનો ગુણોત્તર છે: $\mu = \frac{v_d}{E}$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu = \frac{5 \times 10^{-6}}{25} = 0.2 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-7} \ m^2 \ V^{-1} \ s^{-1}$.

(B) ડ્રિફ્ટ વેગ $V_d$ નું સૂત્ર $V_d = \frac{I}{neA}$ છે,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ,$n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર અને $A$ એ વાહકનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $V_d = \frac{I}{ne\pi r^2}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V_d \propto \frac{I}{r^2}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ડ્રિફ્ટ વેગ $V_1 = V$,પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_1 = i$ અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ અને ત્રિજ્યા બંને બમણા કરવામાં આવે,ત્યારે નવો પ્રવાહ $I_2 = 2i$ અને નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r$ થાય છે.
નવો ડ્રિફ્ટ વેગ $V_2 = V_1 \times \left( \frac{I_2}{I_1} \right) \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_2 = V \times \left( \frac{2i}{i} \right) \times \left( \frac{r}{2r} \right)^2 = V \times 2 \times \frac{1}{4} = \frac{V}{2}$.

(C) ચાર્જ કેરિયરનો ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $v_d = \mu E$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં,$\mu$ ને ચાર્જ કેરિયરની મોબિલિટી (ગતિશીલતા) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,મોબિલિટી $\mu = \frac{v_d}{E}$.
તે એકમ વિદ્યુતક્ષેત્ર દીઠ ડ્રિફ્ટ વેગનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.

(D) પ્રવાહ ઘનતા $(J)$ ની વ્યાખ્યા પ્રવાહની દિશાને લંબ એકમ ક્ષેત્રફળ $(A)$ માંથી વહેતા વિદ્યુત પ્રવાહ $(I)$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$J = \frac{I}{A}$.
વિદ્યુત પ્રવાહ $(I)$ નો $SI$ એકમ એમ્પિયર $(A)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $(A)$ નો $SI$ એકમ ચોરસ મીટર $(m^{2})$ છે.
તેથી,પ્રવાહ ઘનતાનો $SI$ એકમ $\frac{A}{m^{2}} = A \ m^{-2}$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) મોબિલિટી $\mu$ ને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\mu = \frac{v_d}{E}$.
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નો એકમ $m/s$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નો એકમ $N/C$ (અથવા $V/m$) છે.
મૂળભૂત એકમોને બદલતા:
$1 \ N = 1 \ kg \cdot m/s^2$
$1 \ C = 1 \ A \cdot s$
તેથી,$E$ નો એકમ $\frac{kg \cdot m/s^2}{A \cdot s} = \frac{kg \cdot m}{A \cdot s^3}$ થાય છે.
હવે,$\mu$ નો એકમ ગણતા:
$\mu = \frac{m/s}{kg \cdot m / (A \cdot s^3)} = \frac{m}{s} \cdot \frac{A \cdot s^3}{kg \cdot m} = \frac{A \cdot s^2}{kg} = kg^{-1} s^2 A$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = n A v_d e$ છે,જ્યાં $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે.
$v_d = \frac{l}{t}$ હોવાથી,જ્યાં $l$ એ તારની લંબાઈ અને $t$ એ સમય છે,આપણે લખી શકીએ:
$I = n A \left( \frac{l}{t} \right) e$
$t$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$t = \frac{n A l e}{I}$
આપેલ કિંમતો:
$n = 8.5 \times 10^{28} \ m^{-3}$
$A = 1.0 \times 10^{-6} \ m^2$
$l = 6 \ m$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$I = 1.5 \ A$
આ કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{8.5 \times 10^{28} \times 1.0 \times 10^{-6} \times 6 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.5}$
$t = \frac{81.6 \times 10^3}{1.5} = 54.4 \times 10^3 \ s$
$t = 5.44 \times 10^4 \ s$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) વાહકમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = n A v_d e$,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે અને $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે.
તારમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અચળ હોવાથી,$v_d = \frac{I}{n A e}$ મળે.
અહીં $I$,$n$ અને $e$ અચળ હોવાથી,$v_d \propto \frac{1}{A}$ થાય.
આડછેદ વર્તુળાકાર હોવાથી,$A = \pi r^2$,તેથી $v_d \propto \frac{1}{r^2}$ થાય.
હવે,બિંદુ $A$ અને $B$ આગળ ડ્રિફ્ટ વેગનો ગુણોત્તર ગણતા:
$\frac{(v_d)_A}{(v_d)_B} = \frac{r_B^2}{r_A^2} = \frac{(r)^2}{(3r)^2} = \frac{r^2}{9r^2} = \frac{1}{9}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{1}{9}$ છે.

(D) મોબિલિટી $\mu$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ અને લાગુ પાડેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\mu = \frac{v_d}{E}$.
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^1 T^{-1}]$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\mu = \frac{[L^1 T^{-1}]}{[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\mu = [M^{-1} L^{1-1} T^{-1 - (-3)} A^1] = [M^{-1} L^0 T^2 A^1]$.

(A) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = (2 \ mm)^2 = (2 \times 10^{-3} \ m)^2 = 4 \times 10^{-6} \ m^2$. વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 8 \ A$. સંખ્યા ઘનતા $n = 8 \times 10^{28} \ m^{-3}$. ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
ડ્રિફ્ટ વેગ માટેનું સૂત્ર: $I = n A v_d e$.
$v_d$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $v_d = \frac{I}{n A e}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_d = \frac{8}{8 \times 10^{28} \times 4 \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$v_d = \frac{8}{51.2 \times 10^3} = \frac{8}{51200} \approx 1.56 \times 10^{-4} \ ms^{-1}$.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની મોબિલિટીનું સૂત્ર: $\mu = \frac{e \tau}{m}$ છે.
તાપમાન અચળ હોવાથી,રિલેક્સેશન સમય $\tau$ અચળ રહે છે,તેથી મોબિલિટી $\mu$ સમાન રહે છે.
વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = n e A v_d$ છે.
આ સમીકરણ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_d = \frac{I}{n e A}$.
અહીં $n$,$e$ અને $A$ અચળ હોવાથી,$v_d \propto I$ થાય છે.
તેથી,જ્યારે પ્રવાહ $I$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ પણ વધે છે.

(D) આપેલ છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર,$E = 3 \times 10^{-10} \text{ Vm}^{-1}$.
મોબિલિટી,$\mu = 2.5 \times 10^6 \text{ m}^2 \text{V}^{-1} \text{s}^{-1}$.
ડ્રિફ્ટ વેગ $(v_d)$,મોબિલિટી $(\mu)$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$v_d = \mu E$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$v_d = (2.5 \times 10^6) \times (3 \times 10^{-10})$
$v_d = 7.5 \times 10^{-4} \text{ m/s}$.
તેથી,ડ્રિફ્ટ વેગ $7.5 \times 10^{-4} \text{ m/s}$ છે.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 1 \,m$,ક્ષેત્રફળ $A = 5 \times 10^{-7} \,m^{2}$,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 1 \,A$,ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $n = 8 \times 10^{28} \,m^{-3}$,ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d}$ નું સૂત્ર $v_{d} = \frac{I}{neA}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{d} = \frac{1}{8 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5 \times 10^{-7}} = \frac{1}{64 \times 10^{2}} = \frac{1}{6.4 \times 10^{3}} \,m/s$.
તારની લંબાઈ $l$ કાપવા માટે લાગતો સમય $T = \frac{l}{v_{d}}$ છે.
$T = \frac{1}{1 / (6.4 \times 10^{3})} = 6.4 \times 10^{3} \,s$.

(B) વાહકમાં પ્રવાહ $I$ નું સૂત્ર $I = neAv_d$ છે, જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોન નંબર ઘનતા છે, $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
ભલે ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ ખૂબ જ નાનો હોય (સામાન્ય રીતે $10^{-4} \, m/s$) અને વીજભાર $e$ નાનો હોય $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$, વાહકમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા $n$ અત્યંત મોટી હોય છે, જે સામાન્ય રીતે $10^{28} \, m^{-3}$ ના ક્રમની હોય છે.
તેથી, $neAv_d$ નો ગુણાકાર નોંધપાત્ર રીતે મોટો પ્રવાહ આપે છે.

(B) મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની મોબિલિટી $\mu$ ને એકમ વિદ્યુતક્ષેત્ર દીઠ ડ્રિફ્ટ વેગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{v_d}{E} = \frac{e \tau}{m}$
જ્યાં:
$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,
$\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે,
$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
ચૂક $e$ અને $m$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\mu \propto \tau$
તેથી,વાહકમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની મોબિલિટી એ રિલેક્સેશન સમયના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોનના ડ્રિફ્ટ વેગ $(v_{d})$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{d} = \frac{I}{n e A}$
જ્યાં:
$I = 2 \,A$ (વિદ્યુતપ્રવાહ)
$n = 5 \times 10^{26} \,m^{-3}$ (મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ (ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર)
$A = 2 \times 10^{-6} \,m^{2}$ (આડછેદનું ક્ષેત્રફળ)
કિંમતો મૂકતા:
$v_{d} = \frac{2}{(5 \times 10^{26}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^{-6})}$
$v_{d} = \frac{2}{16 \times 10^{26-19-6}} = \frac{2}{16 \times 10^{1}} = \frac{2}{160} = \frac{1}{80} \,ms^{-1}$

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d}$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = n A e v_{d}$.
અહીં, $n = 10^{29} \,m^{-3}$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે, $A = 1 \,mm^{2} = 10^{-6} \,m^{2}$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે, $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે, અને $I = 20 \,A$ છે।
ડ્રિફ્ટ વેગ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $v_{d} = \frac{I}{n A e}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_{d} = \frac{20}{10^{29} \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$v_{d} = \frac{20}{1.6 \times 10^{4}} = \frac{20}{16000} = 1.25 \times 10^{-3} \,ms^{-1}$.