Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $u = -\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $v = 3\hat{i} + 4\hat{j}$.
$|u| = 3$ અને $|v| = 5$.
એકમ સદિશો $\hat{u} = \frac{-\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}}{3}$ અને $\hat{v} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5}$ છે.
આંતરિક દ્વિભાજક $a = \lambda(\hat{u} + \hat{v})$ અને બાહ્ય દ્વિભાજક $b = \mu(\hat{u} - \hat{v})$ છે.
ગણતરી કરતા,$a = \frac{4\hat{i} + 22\hat{j} - 10\hat{k}}{15}$ અને $b = \frac{-14\hat{i} - 2\hat{j} - 10\hat{k}}{15}$ મળે છે.
તેથી,$a - b$ ની એક શક્ય કિંમત વિકલ્પ $B$ મુજબ $\frac{2}{3}(-\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$ છે.

(A) આપેલ છે કે $|a|=1$ અને $|b|=1$,અને $\alpha$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \alpha = (1)(1) \cos \alpha = \cos \alpha$.
કારણ કે $a+b$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|a+b|=1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a+b|^2 = 1^2 = 1$.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,$(a+b) \cdot (a+b) = 1$.
$a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = 1$.
કારણ કે $a \cdot a = |a|^2 = 1$ અને $b \cdot b = |b|^2 = 1$,અને $a \cdot b = b \cdot a = \cos \alpha$,તેથી આપણે આ કિંમતો મૂકીએ:
$1 + \cos \alpha + \cos \alpha + 1 = 1$.
$2 + 2 \cos \alpha = 1$.
$2 \cos \alpha = 1 - 2$.
$2 \cos \alpha = -1$.
$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.
બંને બાજુઓનો પોતાની સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
$|\overrightarrow{a}|^2 = |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})$
કારણ કે $\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = |\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{c}| \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ થાય.
તેથી,$a^2 = b^2 + c^2 + 0$
$a^2 = b^2 + c^2$.

(B) આપેલ સદિશો $a = \hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}$ અને $b = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$(a+b)$ ની ગણતરી કરો:
$a+b = (\hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}) + (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + (t+3) \hat{k}$.
ત્યારબાદ,$(a-b)$ ની ગણતરી કરો:
$a-b = (\hat{i} + \hat{j} + t \hat{k}) - (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 0 \hat{i} - \hat{j} + (t-3) \hat{k}$.
કારણ કે $(a+b)$ અને $(a-b)$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(a+b) \cdot (a-b) = 0$.
$(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + (t+3) \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} - \hat{j} + (t-3) \hat{k}) = 0$.
$(2)(0) + (3)(-1) + (t+3)(t-3) = 0$.
$0 - 3 + (t^2 - 9) = 0$.
$t^2 - 12 = 0$.
$t^2 = 12$.
$t = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$.

(B) આપેલ સદિશો $\bar{a} = \bar{i} + 2\bar{j} + 2\bar{k}$ અને $\bar{b} = 2\bar{i} - \bar{j} + p\bar{k}$ છે.
$\bar{a}$ નું માન $|\bar{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
$\bar{b}$ નું માન $|\bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + p^2} = \sqrt{4 + 1 + p^2} = \sqrt{5 + p^2}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \cdot \bar{b} = (1)(2) + (2)(-1) + (2)(p) = 2 - 2 + 2p = 2p$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos(\theta)$,જ્યાં $\theta = 60^{\circ}$ છે.
તેથી,$2p = 3 \times \sqrt{5 + p^2} \times \cos(60^{\circ})$.
$\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$2p = 3 \times \sqrt{5 + p^2} \times \frac{1}{2}$.
$4p = 3\sqrt{5 + p^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16p^2 = 9(5 + p^2) = 45 + 9p^2$.
$7p^2 = 45 \implies p^2 = \frac{45}{7} \implies p = \sqrt{\frac{45}{7}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે કે $|\bar{a}| = |\bar{b}|$. ધારો કે $|\bar{a}| = |\bar{b}| = k$.
આપેલ સમીકરણ $|\bar{a} + 2\bar{b}| = |2\bar{a} - \bar{b}|$ નો વર્ગ કરતા:
$|\bar{a} + 2\bar{b}|^2 = |2\bar{a} - \bar{b}|^2$
$(\bar{a} + 2\bar{b}) \cdot (\bar{a} + 2\bar{b}) = (2\bar{a} - \bar{b}) \cdot (2\bar{a} - \bar{b})$
$|\bar{a}|^2 + 4|\bar{b}|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 4|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$
કારણ કે $|\bar{a}| = |\bar{b}| = k$,કિંમત મૂકતા:
$k^2 + 4k^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 4k^2 + k^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$
$5k^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 5k^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$
$8(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 0$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\bar{a}$ એ $\bar{b}$ ને લંબ છે.
કારણ કે $\bar{c}$ એ $\bar{a}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો એ $\bar{b}$ અને $\bar{a}$ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ થાય,જે $90^{\circ}$ છે.

(D) ધારો કે બાજુઓ $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\sqrt{3}\hat{i} - 2\sqrt{3}\hat{j} + \sqrt{3}\hat{k}$ છે.
માન $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$.
માન $|\vec{b}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12+12+3} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
ત્રીજી બાજુ $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a} = (2\sqrt{3}-2)\hat{i} + (-2\sqrt{3}-1)\hat{j} + (\sqrt{3}+2)\hat{k}$ છે.
માન $|\vec{c}|^2 = (2\sqrt{3}-2)^2 + (-2\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+2)^2 = 16+13+7 = 36$,તેથી $|\vec{c}| = 6$.
બાજુઓ $3, 3\sqrt{3}, 6$ છે.
પરિમિતિ $= 3 + 3\sqrt{3} + 6 = 9 + 3\sqrt{3}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ખૂણો $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{27+36-9}{2(3\sqrt{3})(6)} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies A = \frac{\pi}{6}$.
સૌથી નાની બાજુ $3$ ની સામેનો ખૂણો લઘુત્તમ હોય છે,જે $\frac{\pi}{6}$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલને લંબ છે,તેથી $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ અને $\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$ થાય.
વળી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{4}) = 3 \times 2\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 6$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 + 5^2 + 2(6) + 0 + 0$
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 9 + 8 + 25 + 12 = 54$.
તેથી,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$.

(C) ધારો કે $\vec{a} = 4 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(1) + (-1)(3) + (2)(-2) = 4 - 3 - 4 = -3$ છે.
માન $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{21}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}$ છે.
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-3}{\sqrt{21} \sqrt{14}} = \frac{-3}{7 \sqrt{6}}$ છે.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{294} = \frac{285}{294}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{\sqrt{285}}{7 \sqrt{6}}$ મળે.
$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \left( \frac{\sqrt{285}}{7 \sqrt{6}} \right) \left( \frac{-3}{7 \sqrt{6}} \right) = -\frac{\sqrt{285}}{49}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4$ અને $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{37}$.
નિત્યસમ $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$37 = 3^2 + 4^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$
$37 = 9 + 16 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$
$37 = 25 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} \Rightarrow 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 12 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 6$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$,તેથી $6 = 3 \cdot 4 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = 60^{\circ}$ અને $\sin \theta = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
હવે,$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k^2 = 9 + 16 - 12 = 13$.
અંતે,$\frac{4}{13}(k \sin \theta)^2 = \frac{4}{13} \cdot k^2 \sin^2 \theta = \frac{4}{13} \cdot 13 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a} = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 6 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ ને સમાંતર $\vec{b}$ ના ઘટકનું માન શોધવાનું સૂત્ર $\frac{|\vec{b} \cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \cdot \vec{a} = (6)(4) + (-2)(5) + (-2)(-3) = 24 - 10 + 6 = 20$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\vec{a}$ નું માન $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ શોધો.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
માન $= \frac{|20|}{5 \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}$.

(D) આપેલ છે: $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2$ અને $|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{a}+2\vec{b}|^2=20$.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) + (\vec{a}+2\vec{b}) \cdot (\vec{a}+2\vec{b}) = 20$
$|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = 20$
$2|\vec{a}|^2 + 5|\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 20$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$2(1)^2 + 5(2)^2 + 2(1)(2)\cos\theta = 20$
$2 + 20 + 4\cos\theta = 20$
$22 + 4\cos\theta = 20$
$4\cos\theta = -2$
$\cos\theta = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \frac{2\pi}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
કારણ કે $\vec{a} \perp \vec{b}$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=1$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 1$ મળે.
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = 1$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 1$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $1 + 1 + 1 + 2(0 + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 1$.
$3 + 2(\vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b}) = 1$.
કારણ કે $\vec{c} \cdot \vec{a} = |\vec{c}||\vec{a}| \cos \alpha = \cos \alpha$ અને $\vec{c} \cdot \vec{b} = |\vec{c}||\vec{b}| \cos \beta = \cos \beta$,તેથી:
$3 + 2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1$.
$2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1 - 3 = -2$.
તેથી,$\cos \alpha + \cos \beta = -1$.

(D) આપેલ છે કે $(\vec{c} \cdot \vec{c}) \vec{a} = \vec{c}$. બંને બાજુ $\vec{c}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$(\vec{c} \cdot \vec{c}) (\vec{a} \cdot \vec{c}) = \vec{c} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$.
$\vec{c}$ શૂન્ય સદિશ ન હોવાથી,$|\vec{c}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{c}) = |\vec{c}|^2$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{c} = 1$ $(i)$.
આપેલ સમીકરણ: $(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} + (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} = (4 - 2 \beta - \sin \alpha) \vec{b} + (\beta^2 - 1) \vec{c}$.
પદોને ગોઠવતા: $(\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = (4 - 2 \beta - \sin \alpha) \vec{b} + (\beta^2 - 1) \vec{c}$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ અસમરેખ હોવાથી,સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$ $(ii)$
$-\vec{a} \cdot \vec{b} = \beta^2 - 1 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 - \beta^2$ $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $1 + (1 - \beta^2) = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$.
$2 - \beta^2 = 4 - 2 \beta - \sin \alpha \Rightarrow \beta^2 - 2 \beta + 2 - \sin \alpha = 0$.
આ સમીકરણ માટે $\sin \alpha = 1$ (એટલે કે $\alpha = \frac{\pi}{2}$) લેતા,$\beta^2 - 2 \beta + 1 = 0 \Rightarrow (\beta - 1)^2 = 0 \Rightarrow \beta = 1$.
તેથી,$\sin (\alpha + \beta) = \sin (\frac{\pi}{2} + 1) = \cos 1$.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(-1) + (-2)(-2) = 2 - 2 + 4 = 4$.
માનનો વર્ગ શોધો: $|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 9$ અને $|\vec{b}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 9$.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{x} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} = \frac{4}{9} \vec{b}$ છે.
$\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{y} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} \vec{a} = \frac{4}{9} \vec{a}$ છે.
હવે,$|\vec{x} - \vec{y}| = |\frac{4}{9} \vec{b} - \frac{4}{9} \vec{a}| = \frac{4}{9} |\vec{b} - \vec{a}|$.
$\vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (-2 - (-2))\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j}$ મળે.
તેથી,$|\vec{b} - \vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$.
આમ,$|\vec{x} - \vec{y}| = \frac{4}{9} \sqrt{10}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3^2 + 5^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 7^2$.
$9 + 25 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49$.
$34 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49 - 34 = 15$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{15}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\frac{15}{2} = (3)(5) \cos \theta$.
$\frac{15}{2} = 15 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) આપેલ છે: $|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=5, |\vec{a}-\vec{b}|=3$.
માનક સમીકરણનો વર્ગ કરતા: $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 3^2 = 9$.
ગુણધર્મ $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 9$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $16 + 25 - 2(4)(5) \cos \theta = 9$.
$41 - 40 \cos \theta = 9$.
$40 \cos \theta = 32$.
$\cos \theta = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$.
$\cos \theta = \frac{4}{5}$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ મળે.
તેથી,$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.
આમ,$\cot^2 \theta = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ પરિકેન્દ્ર $S$ પર છે. તેથી $\vec{SA} = \vec{a}, \vec{SB} = \vec{b}, \vec{SC} = \vec{c}$,જ્યાં $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$.
$(i)$ લંબકેન્દ્ર $O$ એ $\vec{SO} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} = \vec{SO}$. એટલે કે,$(i) \rightarrow D$.
(ii) ધારો કે $G$ એ મધ્યકેન્દ્ર છે. તો $\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$. $S$ ને ઉગમબિંદુ લેતા,$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g}) = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{g} = 3\vec{g} - 3\vec{g} = \vec{0}$. એટલે કે,$(ii) \rightarrow C$.
(iii) કારણ કે $\vec{OA} = \vec{a} - \vec{o}$,$\vec{OB} = \vec{b} - \vec{o}$,અને $\vec{OC} = \vec{c} - \vec{o}$,તેથી $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{o} = \vec{o} - 3\vec{o} = -2\vec{o} = 2\vec{SO} = 2\vec{OS}$ (કારણ કે $\vec{SO} = \vec{o}$). એટલે કે,$(iii) \rightarrow A$.
(iv) મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર $O$ અને પરિકેન્દ્ર $S$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી,$\vec{OG} = \frac{2}{3}\vec{OS}$. એટલે કે,$(iv) \rightarrow B$.
આમ,સાચી જોડ $(i) \rightarrow D, (ii) \rightarrow C, (iii) \rightarrow A, (iv) \rightarrow B$ છે.

(A) બિંદુ $A$ (સ્થાન સદિશ $\vec{a}$) માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ છે.
આપેલ સદિશો મૂકતા: $\vec{r} = (2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) = (2+\lambda) \hat{i} + (2\lambda-1) \hat{j} + (1-\lambda) \hat{k}$.
$\vec{r}$ નો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{r} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{9}{\sqrt{6}}$ છે.
પ્રથમ,$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$ શોધો.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{r} \cdot \vec{c} = (2+\lambda)(1) + (2\lambda-1)(1) + (1-\lambda)(-2) = 2 + \lambda + 2\lambda - 1 - 2 + 2\lambda = 5\lambda - 1$.
પ્રક્ષેપને સરખાવતા: $\frac{5\lambda - 1}{\sqrt{6}} = \frac{9}{\sqrt{6}} \Rightarrow 5\lambda - 1 = 9 \Rightarrow 5\lambda = 10 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ને $\vec{r}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $\vec{r} = (2+2) \hat{i} + (2(2)-1) \hat{j} + (1-2) \hat{k} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$.
છેલ્લે,માન $|\vec{r}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
કારણ કે $\vec{a} \perp \vec{b}$ અને $\vec{a} \perp \vec{c}$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{2 \pi}{3}$ છે,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \frac{2 \pi}{3} = (1)(1) \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$.
હવે,પદ $|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = (\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}) \cdot (\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c})$ ધ્યાનમાં લો.
આ ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 + 16|\vec{c}|^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(\vec{a} \cdot \vec{c}) - 24(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = 1 + 9(1) + 16(1) + 6(0) - 8(0) - 24\left(-\frac{1}{2}\right)$.
$|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2 = 1 + 9 + 16 + 12 = 38$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + p \hat{k}$ અને $|\vec{b}| = 7$.
સૌ પ્રથમ,$\vec{a}$ નું માન શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + p^2} = \sqrt{8 + p^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ (લેગ્રાન્જની ઓળખ).
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(5 \sqrt{17})^2 + (4)^2 = (\sqrt{8 + p^2})^2 \times (7)^2$.
$(25 \times 17) + 16 = (8 + p^2) \times 49$.
$425 + 16 = 392 + 49p^2$.
$441 = 392 + 49p^2$.
$49 = 49p^2$.
$p^2 = 1$.
તેથી,$p = \pm 1$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (1)(-1) + (-1)(3) = 2 - 1 - 3 = -2$ શોધો.
માનનું વર્ગ શોધો: $|\vec{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 6$ અને $|\vec{b}|^2 = 1^2 + (-1)^2 + 3^2 = 11$.
તેથી,$\vec{x} = \left(\frac{-2}{11}\right) \vec{b} \implies |\vec{x}|^2 = \frac{4}{121} \times 11 = \frac{4}{11}$.
તે જ રીતે,$\vec{y} = \left(\frac{-2}{6}\right) \vec{a} \implies |\vec{y}|^2 = \frac{4}{36} \times 6 = \frac{2}{3}$.
હવે,$|\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 = \frac{4}{11} + \frac{2}{3} = \frac{34}{33}$.
$\cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{66}}$ હોવાથી,$\cos^2 \theta = \frac{4}{66} = \frac{2}{33}$.
આમ,$x^2+y^2 = \frac{34}{33} = 17 \times \frac{2}{33} = 17 \cos^2 \theta$.

(B) આપેલ છે કે,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 0$.
નિત્યસમ $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ મૂલ્યો $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=2$ મૂકતા:
$3^2+4^2+2^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$9+16+4+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$29+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{29}{2}$.
હવે,આપણે $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}+2(|\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}|)$ શોધવાનું છે.
$= -\frac{29}{2} + 2(3+4+2) = -\frac{29}{2} + 2(9) = -\frac{29}{2} + 18 = \frac{-29+36}{2} = \frac{7}{2}$.

(B) ધારો કે $\vec{a} = -3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - 2 \hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકારનું સૂત્ર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (-3)(0) + (2)(-2) = -4$.
ત્યારબાદ,માન (magnitudes) ની ગણતરી કરો:
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
આમ,$|\vec{a}| |\vec{b}| = \sqrt{13} \times \sqrt{5} = \sqrt{65}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-4}{\sqrt{65}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-4}{\sqrt{65}}\right)$.

(B) આપેલ ચાર સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
કારણ કે $\vec{a} \perp \vec{c}$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{b}$ એ $(\vec{c} - \vec{d})$ ને સમાંતર છે,તેથી એક અદિશ $\lambda$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\lambda \vec{b} = \vec{c} - \vec{d}$ થાય.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા,આપણને $\lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{d})$ મળે છે.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,આ સમીકરણ $\lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) = -(\vec{a} \cdot \vec{d})$ માં ફેરવાય છે.
તેથી,$\lambda = -\frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}$ મળે.
હવે $\lambda$ ની કિંમત $\vec{c} = \vec{d} + \lambda \vec{b}$ માં મૂકતા,આપણને $\vec{c} = \vec{d} - \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right) \vec{b}$ મળે છે.

(D) લેગ્રાન્જની નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} = x \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = 6 \hat{i} - y \hat{j} + 2 \hat{k}$.
$|\vec{a}|^2 = x^2 + 2^2 + (-1)^2 = x^2 + 5$.
$|\vec{b}|^2 = 6^2 + (-y)^2 + 2^2 = 36 + y^2 + 4 = y^2 + 40$.
આમ,$|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 = (x^2 + 5)(y^2 + 40) = f(x) g(y)$.
તેથી,$f(x) = x^2 + 5$ અને $g(y) = y^2 + 40$.
આપેલ સમીકરણ $f(x) + g(y) - 46 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x^2 + 5) + (y^2 + 40) - 46 = 0$.
$x^2 + y^2 + 45 - 46 = 0$.
$x^2 + y^2 = 1$.
આ $(0, 0)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(B) સદિશ $\vec{u}$ નો સદિશ $\vec{v}$ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} = \frac{|(3)(2) + (5)(-3) + (2)(-5)|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-5)^2}} = \frac{|6 - 15 - 10|}{\sqrt{4 + 9 + 25}} = \frac{|-19|}{\sqrt{38}} = \frac{19}{\sqrt{38}}$.
$m = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{c}|}{|\vec{c}|} = \frac{|(2)(-5) + (-3)(-2) + (-5)(3)|}{\sqrt{(-5)^2 + (-2)^2 + 3^2}} = \frac{|-10 + 6 - 15|}{\sqrt{25 + 4 + 9}} = \frac{|-19|}{\sqrt{38}} = \frac{19}{\sqrt{38}}$.
$n = \frac{|\vec{c} \cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|} = \frac{|(-5)(3) + (-2)(5) + (3)(2)|}{\sqrt{3^2 + 5^2 + 2^2}} = \frac{|-15 - 10 + 6|}{\sqrt{9 + 25 + 4}} = \frac{|-19|}{\sqrt{38}} = \frac{19}{\sqrt{38}}$.
આમ,$l = \frac{19}{\sqrt{38}}$,$m = \frac{19}{\sqrt{38}}$,અને $n = \frac{19}{\sqrt{38}}$ હોવાથી,$l = m = n$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $2 \vec{a}+3 \vec{b}+4 \vec{c}=\vec{0}$.
અહીં $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=1, |\vec{c}|=1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $3 \vec{b}+4 \vec{c}=-2 \vec{a}$.
બંને બાજુ માન લેતા: $|3 \vec{b}+4 \vec{c}|^2=|-2 \vec{a}|^2$.
$(3 \vec{b}+4 \vec{c}) \cdot (3 \vec{b}+4 \vec{c}) = 4|\vec{a}|^2$.
$9|\vec{b}|^2 + 16|\vec{c}|^2 + 24(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 4$.
$9(1) + 16(1) + 24(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 4$.
$25 + 24(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 4$.
$24(\vec{b} \cdot \vec{c}) = -21 \Rightarrow \vec{b} \cdot \vec{c} = -\frac{21}{24} = -\frac{7}{8}$.
નિત્યસમ $|\vec{b} \times \vec{c}|^2 + (\vec{b} \cdot \vec{c})^2 = |\vec{b}|^2 |\vec{c}|^2$ નો ઉપયોગ કરતા.
$|\vec{b} \times \vec{c}|^2 + (-\frac{7}{8})^2 = (1)^2(1)^2$.
$|\vec{b} \times \vec{c}|^2 + \frac{49}{64} = 1$.
$|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = 1 - \frac{49}{64} = \frac{15}{64}$.
$|\vec{b} \times \vec{c}| = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

(D) આપેલ સદિશો $a = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $b = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
$a$ ને લંબ સદિશ પર $b$ નો પ્રક્ષેપ સદિશ એ $b$ નો $a$ ને લંબ ઘટક છે,જે $b_{\perp a} = b - \text{proj}_a b$ દ્વારા મળે છે.
$a$ પર $b$ નો પ્રક્ષેપ $\text{proj}_a b = \left(\frac{a \cdot b}{|a|^2}\right)a$ છે.
પહેલા $a \cdot b = (2)(3) + (-1)(-2) + (2)(-5) = 6 + 2 - 10 = -2$ શોધો.
ત્યારબાદ $|a|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9$ શોધો.
તેથી,$\text{proj}_a b = \left(\frac{-2}{9}\right)(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = -\frac{4}{9}\hat{i} + \frac{2}{9}\hat{j} - \frac{4}{9}\hat{k}$.
હવે,$b_{\perp a} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) - (-\frac{4}{9}\hat{i} + \frac{2}{9}\hat{j} - \frac{4}{9}\hat{k})$.
$b_{\perp a} = (3 + \frac{4}{9})\hat{i} + (-2 - \frac{2}{9})\hat{j} + (-5 + \frac{4}{9})\hat{k}$.
$b_{\perp a} = \frac{31}{9}\hat{i} - \frac{20}{9}\hat{j} - \frac{41}{9}\hat{k}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ કારણ કે તેઓ લંબ છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-\tan \theta) + (\tan \theta)(\tan \theta) + \left(\frac{3}{\sqrt{\sin \frac{\theta}{2}}}\right)(-2 \sqrt{\sin \frac{\theta}{2}}) = 0$
$-\tan \theta + \tan^2 \theta - 6 = 0$
ધારો કે $x = \tan \theta$,તો $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0$
તેથી,$\tan \theta = 3$ અથવા $\tan \theta = -2$.
સદિશ $\vec{c} = (\sin 2 \theta) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ એ $X$-અક્ષ સાથે ગુરુકોણ બનાવે છે,જેનો અર્થ છે કે $X$-અક્ષ પર $\vec{c}$ નો પ્રક્ષેપ ઋણ હોવો જોઈએ.
$\vec{c} \cdot \hat{i} < 0 \Rightarrow \sin 2 \theta < 0$.
જો $\tan \theta = 3$,તો $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{6}{10} > 0$ (અસ્વીકાર્ય).
જો $\tan \theta = -2$,તો $\sin 2 \theta = \frac{2(-2)}{1 + (-2)^2} = \frac{-4}{5} < 0$ (સ્વીકાર્ય).
આમ,$\tan \theta = -2 \Rightarrow \theta = n \pi - \tan^{-1} 2, n \in Z$.

(C) આપેલ છે કે $p=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ અને $q=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકાર $p \cdot q = (2)(1) + (-3)(1) + (1)(-1) = 2 - 3 - 1 = -2$ શોધો.
માનાંકનો વર્ગ શોધો: $|p|^2 = 2^2 + (-3)^2 + 1^2 = 14$ અને $|q|^2 = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3$.
સદિશ $a$ ($q$ પર $p$ નો પ્રક્ષેપ) $a = \frac{p \cdot q}{|q|^2} q = \frac{-2}{3}(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ છે.
સદિશ $b$ ($p$ પર $q$ નો પ્રક્ષેપ) $b = \frac{q \cdot p}{|p|^2} p = \frac{-2}{14}(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}) = \frac{-1}{7}(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})$ છે.
હવે,$a \times b = \left(\frac{-2}{3}\right) \left(\frac{-1}{7}\right) [(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \times (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})] = \frac{2}{21} (-2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})$.
તેમજ,$a \cdot b = \left(\frac{-2}{3}\right) \left(\frac{-1}{7}\right) [(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \cdot (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})] = \frac{2}{21} (-2) = \frac{-4}{21}$.
અંતે,$\frac{a \times b}{a \cdot b} = \frac{\frac{2}{21} (-2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})}{\frac{-4}{21}} = \frac{2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}}{2}$.

(B) આપેલ છે કે,$\vec{AB} = p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k}$,$\vec{AC} = s \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$,અને $\vec{CB} = 3 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\vec{CA} = -\vec{AC} = -s \hat{i} - 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$ હોવાથી,$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{CA} \times \vec{CB}| = 5 \sqrt{6}$ થાય.
સદિશ ગુણાકાર કરતા: $\vec{CA} \times \vec{CB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -s & -3 & -4 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 10 \hat{i} - (2s+12) \hat{j} + (9-s) \hat{k}$.
તેથી,$\frac{1}{2} \sqrt{100 + (2s+12)^2 + (9-s)^2} = 5 \sqrt{6} \implies \sqrt{100 + 4s^2 + 144 + 48s + 81 - 18s + s^2} = 10 \sqrt{6}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $5s^2 + 30s + 325 = 600 \implies 5s^2 + 30s - 275 = 0 \implies s^2 + 6s - 55 = 0$.
અવયવ પાડતા $(s+11)(s-5) = 0$ મળે,તેથી $s=5$.
ત્રિકોણના નિયમ $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}$ મુજબ,$\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$.
$p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k} = (s+3) \hat{i} + 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
$s=5$ મૂકતા,$p = 8, q = 4, r = 2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે,$x = \hat{i} + \hat{j}$ અને $y = 3\hat{i} - 2\hat{k}$.
શરતો $r \times x = y \times x$ અને $r \times y = x \times y$ છે.
$r \times x = y \times x$ પરથી,$(r - y) \times x = 0$,જે સૂચવે છે કે $(r - y)$ એ $x$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$r - y = \lambda x$,અથવા $r = y + \lambda x$.
સદિશો મૂકતા: $r = (3\hat{i} - 2\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j}) = (3 + \lambda)\hat{i} + \lambda\hat{j} - 2\hat{k}$.
માન $|r| = \sqrt{21}$ આપેલ હોવાથી,$|r|^2 = 21$.
$(3 + \lambda)^2 + \lambda^2 + (-2)^2 = 21$.
$9 + 6\lambda + \lambda^2 + \lambda^2 + 4 = 21$.
$2\lambda^2 + 6\lambda + 13 = 21 \Rightarrow 2\lambda^2 + 6\lambda - 8 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $\lambda^2 + 3\lambda - 4 = 0$.
$(\lambda + 4)(\lambda - 1) = 0$,તેથી $\lambda = 1$ અથવા $\lambda = -4$.
$\lambda = 1$ માટે,$r = (3 + 1)\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k} = 4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
બીજી શરત $r \times y = x \times y$ ચકાસતા: $(r - x) \times y = 0$,તેથી $r - x$ એ $y$ ને સમાંતર હોવું જોઈએ.
$r = 4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ માટે,$r - x = (4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j}) = 3\hat{i} - 2\hat{k} = y$. જે $y$ ને સમાંતર છે,તેથી આ સાચું છે.

(A) આપેલ છે કે $a = 4 \hat{i} + 3 \hat{j}$. $a \cdot b = 0$ હોવાથી અને $b$ એ $XOY$ સમતલમાં હોવાથી,$b$ એ $k(3 \hat{i} - 4 \hat{j})$ સ્વરૂપમાં હશે. ધારો કે $b = 3 \hat{i} - 4 \hat{j}$.
ધારો કે $c = x \hat{i} + y \hat{j}$.
$a$ પર $c$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{a \cdot c}{|a|} = 1 \implies \frac{4x + 3y}{5} = 1 \implies 4x + 3y = 5$ $(i)$.
$b$ પર $c$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{b \cdot c}{|b|} = 2 \implies \frac{3x - 4y}{5} = 2 \implies 3x - 4y = 10$ (ii).
સમીકરણ $(i)$ ને $4$ વડે અને (ii) ને $3$ વડે ગુણતા: $16x + 12y = 20$ અને $9x - 12y = 30$.
બંનેનો સરવાળો કરતા,$25x = 50 \implies x = 2$.
$x = 2$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $4(2) + 3y = 5 \implies 8 + 3y = 5 \implies 3y = -3 \implies y = -1$.
આમ,$c = 2 \hat{i} - \hat{j}$.

(B) ધારો કે બે સદિશો $\vec{a} = 2 \alpha^2 \hat{i} + 4 \alpha \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}$ છે.
સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ગુરુકોણ હોવાથી,$\cos \theta < 0$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$. સદિશોના માન $|\vec{a}|$ અને $|\vec{b}|$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$\cos \theta < 0$ ની શરતનો અર્થ એ છે કે તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ થાય.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \alpha^2)(7) + (4 \alpha)(-2) + (1)(\alpha) < 0$
$14 \alpha^2 - 8 \alpha + \alpha < 0$
$14 \alpha^2 - 7 \alpha < 0$
$7 \alpha (2 \alpha - 1) < 0$
આ અસમતા ઉકેલવા માટે,આપણે નિર્ણાયક બિંદુઓ $\alpha = 0$ અને $\alpha = \frac{1}{2}$ મેળવીએ છીએ.
પદાવલિ $7 \alpha (2 \alpha - 1)$ એ મૂળની વચ્ચે ઋણ હોય છે.
તેથી,$0 < \alpha < \frac{1}{2}$.

(D) ધારો કે સદિશ $b=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે $a \cdot b = b_1+b_2+b_3 = 1$ $(i)$
વળી,$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (b_3-b_2) \hat{i} + (b_1-b_3) \hat{j} + (b_2-b_1) \hat{k}$.
આપેલ છે કે $a \times b = \hat{j}-\hat{k}$,તેથી ઘટકોને સરખાવતા:
$b_3-b_2 = 0 \Rightarrow b_2 = b_3$
$b_1-b_3 = 1 \Rightarrow b_1 = b_3+1$
$b_2-b_1 = -1 \Rightarrow b_2 = b_1-1$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(b_3+1) + b_3 + b_3 = 1$
$3b_3 + 1 = 1 \Rightarrow 3b_3 = 0 \Rightarrow b_3 = 0$.
આમ,$b_2 = 0$ અને $b_1 = 0+1 = 1$.
તેથી,$b = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k} = \hat{i}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $p=a-2b$ અને $q=2a+b$ છે.
$a$ માટે ઉકેલવા,બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણો: $2q=4a+2b$.
આને પ્રથમ સમીકરણમાં ઉમેરતા: $p+2q = (a-2b) + (4a+2b) = 5a$.
$5a = (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) + 2(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = 5\hat{i}+\hat{k}$.
તેથી,$a = \hat{i} + \frac{1}{5}\hat{k}$.
$b$ માટે ઉકેલવા,$q=2a+b$ માં $a$ ની કિંમત મૂકો: $b = q-2a$.
$b = (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) - 2(\hat{i} + \frac{1}{5}\hat{k}) = -\hat{j} + \frac{3}{5}\hat{k}$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $a \cdot b = (1)(0) + (0)(-1) + (\frac{1}{5})(\frac{3}{5}) = \frac{3}{25}$.
માન $|a| = \sqrt{1^2 + (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{26}{25}} = \frac{\sqrt{26}}{5}$ અને $|b| = \sqrt{(-1)^2 + (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{34}{25}} = \frac{\sqrt{34}}{5}$.
ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a||b|} = \frac{3/25}{(\sqrt{26}/5)(\sqrt{34}/5)} = \frac{3}{\sqrt{26 \times 34}} = \frac{3}{\sqrt{884}} = \frac{3}{2\sqrt{221}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{2\sqrt{221}}\right)$.

(B) આપેલ છે કે $a = \sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}$.
પાસપાસેની બાજુઓ $u$ અને $v$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|u \times v|$ છે.
$1$. પ્રથમ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ: $|a \times \hat{i}| = |(\sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{i}| = |-\cos^2 x \hat{k} + \hat{j}| = \sqrt{\cos^4 x + 1}$.
તેથી,$|a \times \hat{i}|^2 = \cos^4 x + 1$.
$2$. બીજા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ: $|a \times \hat{j}| = |(\sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{j}| = |\sin^2 x \hat{k} - \hat{i}| = \sqrt{\sin^4 x + 1}$.
તેથી,$|a \times \hat{j}|^2 = \sin^4 x + 1$.
$3$. ત્રીજા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ: $|a \times \hat{k}| = |(\sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{k}| = |-\sin^2 x \hat{j} + \cos^2 x \hat{i}| = \sqrt{\sin^4 x + \cos^4 x}$.
તેથી,$|a \times \hat{k}|^2 = \sin^4 x + \cos^4 x$.
ક્ષેત્રફળના વર્ગોનો સરવાળો $A = |a \times \hat{i}|^2 + |a \times \hat{j}|^2 + |a \times \hat{k}|^2 = (\cos^4 x + 1) + (\sin^4 x + 1) + (\sin^4 x + \cos^4 x) = 2 + 2(\sin^4 x + \cos^4 x)$.
$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$A = 2 + 2(1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)) = 4 - \sin^2(2x)$.
કારણ કે $0 \leq \sin^2(2x) \leq 1$,તેથી $3 \leq 4 - \sin^2(2x) \leq 4$.
આમ,$A \in [3, 4]$.

(C) બિંદુઓ $P, Q, R$ ના સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{p} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$
$\vec{q} = b \hat{i} + c \hat{j} + a \hat{k}$
$\vec{r} = c \hat{i} + a \hat{j} + b \hat{k}$
આપણે $\angle QPR$ શોધવાની જરૂર છે,જે સદિશો $\vec{PQ}$ અને $\vec{PR}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (b-a) \hat{i} + (c-b) \hat{j} + (a-c) \hat{k}$
$\vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = (c-a) \hat{i} + (a-b) \hat{j} + (b-c) \hat{k}$
ડોટ ગુણાકાર $\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = (b-a)(c-a) + (c-b)(a-b) + (a-c)(b-c)$
$= (bc - ab - ac + a^2) + (ac - bc - ab + b^2) + (ab - ac - bc + c^2)$
$= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$
તેમના માન (magnitudes) નીચે મુજબ છે:
$|\vec{PQ}|^2 = (b-a)^2 + (c-b)^2 + (a-c)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
$|\vec{PR}|^2 = (c-a)^2 + (a-b)^2 + (b-c)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
આમ,$\cos \theta = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{PR}}{|\vec{PQ}| |\vec{PR}|} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(D) આપેલ છે: $|a|=6, |b|=8, |c|=10$.
વળી, $a \cdot (b+c) = 0$, $b \cdot (c+a) = 0$, અને $c \cdot (a+b) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$a \cdot b + a \cdot c = 0$ $(i)$
$b \cdot c + b \cdot a = 0$ (ii)
$c \cdot a + c \cdot b = 0$ (iii)
$(i)$, (ii), અને (iii) નો સરવાળો કરતા:
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 \implies a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$.
હવે, $|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
કિંમતો મૂકતા:
$|a+b+c|^2 = 6^2 + 8^2 + 10^2 + 2(0) = 36 + 64 + 100 = 200$.
તેથી, $|a+b+c| = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2}$.

(C) આપેલ છે કે,$a+b+\sqrt{3} c=0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $a+b = -\sqrt{3} c$ મળે છે.
બંને બાજુઓનો પોતાની સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$(a+b) \cdot (a+b) = (-\sqrt{3} c) \cdot (-\sqrt{3} c)$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા અને જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$|a|^2 + 2(a \cdot b) + |b|^2 = 3|c|^2$.
કારણ કે $a, b, c$ એ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = |b| = |c| = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$1^2 + 2(1)(1) \cos \theta + 1^2 = 3(1)^2$,જ્યાં $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1 + 2 \cos \theta + 1 = 3$.
$2 + 2 \cos \theta = 3$.
$2 \cos \theta = 1$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,તેથી ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે,$|a|=1, |b|=2, |c|=3$.
સદિશો $b$ અને $c$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$b \cdot c = 0$ થાય.
$a$ પર $b$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{a \cdot b}{|a|}$ છે અને $a$ પર $c$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{a \cdot c}{|a|}$ છે.
બંને પ્રક્ષેપો સમાન હોવાથી,$\frac{a \cdot b}{|a|} = \frac{a \cdot c}{|a|}$,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot b = a \cdot c$.
હવે,$|a-b+c|^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$|a-b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 - 2(a \cdot b) + 2(a \cdot c) - 2(b \cdot c)$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$|a-b+c|^2 = (1)^2 + (2)^2 + (3)^2 - 2(a \cdot b) + 2(a \cdot b) - 2(0)$.
$|a-b+c|^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
તેથી,$|a-b+c| = \sqrt{14}$.

(C) આપેલ છે કે,$|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$ અને $|\vec{c}|=4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{x}-\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$.
તેથી,$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 = (|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{c} \cdot \vec{a})$.
$= 2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2 \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$.
તેથી,$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq -(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)$.
આ કિંમતને આપણા સમીકરણમાં મૂકતા:
$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 \leq 2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) - (-(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)) = 3(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)$.
માન મૂકતા:
$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 \leq 3(2^2+3^2+4^2) = 3(4+9+16) = 3(29) = 87$.
આમ,શ્રેષ્ઠ ઉપલી સીમા $87$ છે.