Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(B) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $u$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $z$ છે.
તેથી,$T_p = u z^{p-1} = a$,$T_q = u z^{q-1} = b$,અને $T_r = u z^{r-1} = c$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log a = \log u + (p-1) \log z$
$\log b = \log u + (q-1) \log z$
$\log c = \log u + (r-1) \log z$
ધારો કે $\vec{A} = (\log a^2) i + (\log b^2) j + (\log c^2) k = 2(\log a) i + 2(\log b) j + 2(\log c) k$.
ધારો કે $\vec{B} = (q-r) i + (r-p) j + (p-q) k$.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \cdot \vec{B} = 2 [(\log a)(q-r) + (\log b)(r-p) + (\log c)(p-q)]$.
$\log a, \log b, \log c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(\log a)(q-r) + (\log b)(r-p) + (\log c)(p-q) = [\log u + (p-1)\log z](q-r) + [\log u + (q-1)\log z](r-p) + [\log u + (r-1)\log z](p-q)$.
$= \log u (q-r+r-p+p-q) + \log z [(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)]$.
$= \log u (0) + \log z [0] = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ છે.

(D) આપેલ છે,$\vec{AB} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{BC} = \hat{i} - 2\hat{k}$.
ધારો કે વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ અને $\vec{BD} = \vec{BC} - \vec{AB}$ છે.
$\vec{AC} = (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (\hat{i} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} - 2\hat{j}$.
$\vec{BD} = (\hat{i} - 2\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{AC}| |\vec{BD}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (4)(-2) + (-2)(2) + (0)(-4) = -8 - 4 = -12$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$|\vec{BD}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{|-12|}{(2\sqrt{5})(2\sqrt{6})} = \frac{12}{4\sqrt{30}} = \frac{3}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{9}{30}} = \sqrt{\frac{3}{10}}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{10}}\right)$.
આ કિંમત વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) બે સદિશો લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) $0$ હોય.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - 2x\hat{j} - 3y\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 3x\hat{j} + 2y\hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર લેતા: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-2x)(3x) + (-3y)(2y) = 0$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $1 - 6x^2 - 6y^2 = 0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $6x^2 + 6y^2 = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 + y^2 = \frac{1}{6}$.
આ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્ર અને $\frac{1}{\sqrt{6}}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.
આમ,બિંદુ $(x, y)$ નો બિંદુપથ એક વર્તુળ છે.

(A) બે સદિશો $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે ખૂણો $\theta > 90^{\circ}$ છે,તેથી $\cos \theta < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (\lambda)(\lambda) + (-7)(1) + (3)(2\lambda) = \lambda^2 - 7 + 6\lambda$.
અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય કરતા નાનો લેતા: $\lambda^2 + 6\lambda - 7 < 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(\lambda + 7)(\lambda - 1) < 0$.
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને મળે છે કે $\lambda$ એ $-7$ અને $1$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ.
તેથી,$-7 < \lambda < 1$.

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$.
આપણે તેને $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=(-\overrightarrow{c})^2$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતાં,$|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})=|\overrightarrow{c}|^2$ મળે.
કારણ કે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,તેથી $|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta=|\overrightarrow{c}|^2$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા $3^2+4^2+2(3)(4) \cos \theta = (\sqrt{37})^2$.
$9+16+24 \cos \theta = 37$.
$25+24 \cos \theta = 37$.
$24 \cos \theta = 37-25 = 12$.
$\cos \theta = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) સદિશ $a$ નો સદિશ $b$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ એ $b$ ની દિશામાં $a$ નો ઘટક છે.
$a$ નો $b$ પરના પ્રક્ષેપનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{Proj}_{b} a = \left( \frac{a \cdot b}{|b|^2} \right) b$
આ એક એવો સદિશ દર્શાવે છે જે $b$ ને સમાંતર છે અને તેનું મૂલ્ય $a$ ના $b$ પરના અદિશ પ્રક્ષેપ જેટલું છે.

(D) આપેલ છે કે,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$.
સદિશ ગુણાકાર અને અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
બંને બાજુને $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\vec{a}, \vec{b} \neq 0$ અને $\cos \theta \neq 0$):
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$.
$\tan \theta = 1$.
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોવાથી,$0 \leq \theta \leq \pi$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(D) ધારો કે $\vec{u} = 2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{v} = a \hat{i}+4 \hat{j}+b \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{2}{3}$.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(a) + (-1)(4) + (2)(b) = 2a - 4 + 2b = 2(a+b-2)$.
માન (magnitudes) છે $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ અને $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + 4^2 + b^2} = \sqrt{a^2+b^2+16}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{2(a+b-2)}{3 \sqrt{a^2+b^2+16}}$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને મળે $\sqrt{a^2+b^2+16} = a+b-2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $a^2+b^2+16 = (a+b-2)^2 = (a+b)^2 - 4(a+b) + 4$.
$a^2+b^2+16 = a^2+b^2+2ab - 4a - 4b + 4$.
$16 = 2ab - 4a - 4b + 4$.
$12 = 2ab - 4(a+b)$.
$6 = ab - 2(a+b)$.
$ab = 2(a+b) + 6 = 2(a+b+3)$.
આમ,$2(a+b+3) = ab$.

(B) સદિશો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ પાયો નક્કી કરે છે,તેથી પાયાનું ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}|$ થાય.
સમાંતરફલકનું ઘનફળ = પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\times$ ઊંચાઈ.
તેથી,ઊંચાઈ = $\frac{\text{ઘનફળ}}{\text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|}{|\bar{a} \times \bar{b}|}$.

(D) આપેલ છે: $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b}=2 \hat{j}-3 \hat{k}$.
$\vec{a} \parallel \vec{c}$ હોવાથી,આપણે $\vec{c} = k \vec{a}$ લખી શકીએ.
$\vec{b} = \vec{c} - \vec{d}$ હોવાથી,$\vec{d} = \vec{c} - \vec{b} = k \vec{a} - \vec{b}$.
$\vec{a} \perp \vec{d}$ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$.
$\vec{a} \cdot (k \vec{a} - \vec{b}) = 0 \Rightarrow k |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
$|\vec{a}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 1^2 = 6$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(0) + (-1)(2) + (1)(-3) = -5$.
કિંમતો મૂકતા: $k(6) - (-5) = 0 \Rightarrow 6k = -5 \Rightarrow k = -\frac{5}{6}$.
તેથી,$\vec{c} = -\frac{5}{6} \vec{a}$ અને $\vec{d} = -\frac{5}{6} \vec{a} - \vec{b}$.
અંતે,$\vec{c} + \vec{d} = -\frac{5}{6} \vec{a} - \frac{5}{6} \vec{a} - \vec{b} = -\frac{10}{6} \vec{a} - \vec{b} = -\frac{5}{3} \vec{a} - \vec{b} = -\frac{1}{3}(5 \vec{a} + 3 \vec{b})$.

(C) નો $b$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ $x = \frac{a \cdot b}{|b|^2} b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$b$ નો $a$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ $y = \frac{a \cdot b}{|a|^2} a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $b = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો: $a \cdot b = (1)(2) + (2)(-1) + (-2)(-2) = 2 - 2 + 4 = 4$.
માનના વર્ગની ગણતરી કરો: $|a|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$ અને $|b|^2 = 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9$.
આમ,$x - y = \frac{a \cdot b}{|b|^2} b - \frac{a \cdot b}{|a|^2} a = \frac{4}{9} b - \frac{4}{9} a = \frac{4}{9} (b - a)$.
$b - a = (2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) = \hat{i} - 3\hat{j}$ ની ગણતરી કરો.
તેથી $x - y = \frac{4}{9} (\hat{i} - 3\hat{j})$.
અંતે,$|x - y| = \frac{4}{9} \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \frac{4}{9} \sqrt{1 + 9} = \frac{4}{9} \sqrt{10}$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એ $K$ માન ધરાવતા પરસ્પર લંબ સદિશો છે,તેથી $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{b} \cdot \bar{c} = \bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ અને $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = K$,એટલે કે $\bar{a} \cdot \bar{a} = \bar{b} \cdot \bar{b} = \bar{c} \cdot \bar{c} = K^2$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\bar{u} \times (\bar{v} \times \bar{w}) = (\bar{u} \cdot \bar{w})\bar{v} - (\bar{u} \cdot \bar{v})\bar{w}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપેલ સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$(\bar{a} \cdot \bar{a})(\bar{r}-\bar{b}) - (\bar{a} \cdot (\bar{r}-\bar{b}))\bar{a} + (\bar{b} \cdot \bar{b})(\bar{r}-\bar{c}) - (\bar{b} \cdot (\bar{r}-\bar{c}))\bar{b} + (\bar{c} \cdot \bar{c})(\bar{r}-\bar{a}) - (\bar{c} \cdot (\bar{r}-\bar{a}))\bar{c} = \bar{0}$.
ડોટ પ્રોડક્ટની કિંમતો મૂકતા:
$K^2(\bar{r}-\bar{b}) - (\bar{a} \cdot \bar{r})\bar{a} + K^2(\bar{r}-\bar{c}) - (\bar{b} \cdot \bar{r})\bar{b} + K^2(\bar{r}-\bar{a}) - (\bar{c} \cdot \bar{r})\bar{c} = \bar{0}$.
$3K^2\bar{r} - K^2(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) - ((\bar{a} \cdot \bar{r})\bar{a} + (\bar{b} \cdot \bar{r})\bar{b} + (\bar{c} \cdot \bar{r})\bar{c}) = \bar{0}$.
કારણ કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ લંબ છે,કોઈપણ સદિશ $\bar{r}$ ને $\bar{r} = \frac{\bar{a} \cdot \bar{r}}{K^2}\bar{a} + \frac{\bar{b} \cdot \bar{r}}{K^2}\bar{b} + \frac{\bar{c} \cdot \bar{r}}{K^2}\bar{c}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$(\bar{a} \cdot \bar{r})\bar{a} + (\bar{b} \cdot \bar{r})\bar{b} + (\bar{c} \cdot \bar{r})\bar{c} = K^2\bar{r}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$3K^2\bar{r} - K^2(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) - K^2\bar{r} = \bar{0}$.
$2K^2\bar{r} = K^2(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c})$.
$\bar{r} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2}$.

(B) આપેલ છે કે,$\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો:
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(3) + (-1)(4) + (-1)(-5) = 6 - 4 + 5 = 7$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{b} \times(\vec{a} \times \vec{b})=(\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{a}-(\vec{b} \cdot \vec{a}) \vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{b} \times(\vec{a} \times \vec{b}) = 6 \vec{a} - 7 \vec{b}$.
આને $\frac{\vec{a} - (7/6) \vec{b}}{1/6}$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ સમીકરણ $\frac{\vec{a}-k \vec{b}}{l}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 7/6$ અને $l = 1/6$ મળે છે.
હવે,$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$ શોધો.
અંતે,$\frac{k}{l|\vec{b}|} = \frac{7/6}{(1/6) \times \sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{6}}$.
આ કિંમત $\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો અદિશ પ્રક્ષેપ દર્શાવે છે,જે $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{7}{\sqrt{6}}$ છે.

(C) સદિશ $\bar{a}$ ને લંબ $\bar{b}$ નો ઘટક $\bar{b} - \text{proj}_{\bar{a}} \bar{b} = \bar{b} - \left( \frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|^2} \right) \bar{a}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\bar{b} \cdot \bar{a} = (1)(1) + (\sqrt{11})(\sqrt{11}) + (-10)(-2) = 1 + 11 + 20 = 32$ ગણો.
ત્યારબાદ,માનનો વર્ગ $|\bar{a}|^2 = (1)^2 + (\sqrt{11})^2 + (-2)^2 = 1 + 11 + 4 = 16$ ગણો.
હવે,પ્રક્ષેપ શોધો: $\frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|^2} \bar{a} = \frac{32}{16} \bar{a} = 2 \bar{a} = 2(\bar{i} + \sqrt{11} \bar{j} - 2 \bar{k}) = 2 \bar{i} + 2\sqrt{11} \bar{j} - 4 \bar{k}$.
અંતે,લંબ ઘટક $\bar{b} - 2 \bar{a} = (\bar{i} + \sqrt{11} \bar{j} - 10 \bar{k}) - (2 \bar{i} + 2\sqrt{11} \bar{j} - 4 \bar{k}) = -\bar{i} - \sqrt{11} \bar{j} - 6 \bar{k} = -(\bar{i} + \sqrt{11} \bar{j} + 6 \bar{k})$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે $\bar{r} = x\bar{i} + y\bar{j} + z\bar{k}$.
આપેલ ડોટ પ્રોડક્ટ્સ:
$x + 2y + 3z = 0$ $(1)$
$2x - 3y + z = -2$ $(2)$
$3x + y - 2z = 6$ $(3)$
આ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલતા:
$(1)$ પરથી,$x = -2y - 3z$.
$(2)$ માં મૂકતા: $2(-2y - 3z) - 3y + z = -2 \implies -7y - 5z = -2 \implies 7y + 5z = 2$ $(4)$
$(3)$ માં મૂકતા: $3(-2y - 3z) + y - 2z = 6 \implies -5y - 11z = 6$ $(5)$
$(4)$ ને $5$ વડે અને $(5)$ ને $7$ વડે ગુણતા: $35y + 25z = 10$ અને $-35y - 77z = 42$.
સરવાળો કરતા: $-52z = 52 \implies z = -1$.
$z = -1$ ને $(4)$ માં મૂકતા: $7y - 5 = 2 \implies 7y = 7 \implies y = 1$.
$y = 1, z = -1$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $x + 2(1) + 3(-1) = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.
આમ,$\bar{r} = \bar{i} + \bar{j} - \bar{k}$.
છેલ્લે,$\bar{r} \cdot (3\bar{i} + \bar{j} + \bar{k}) = (1)(3) + (1)(1) + (-1)(1) = 3 + 1 - 1 = 3$.

(B) આપેલ છે કે $|\bar{a}| = |\bar{b}| = \sqrt{6}$ અને $\bar{a} \cdot \bar{b} = -1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos(\theta)$.
કિંમતો મૂકતા: $-1 = (\sqrt{6})(\sqrt{6}) \cos(\theta) = 6 \cos(\theta)$.
તેથી,$\cos(\theta) = -\frac{1}{6}$.
કારણ કે $\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)$,તેથી $\sin^2(\theta) = 1 - (-\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$.
આમ,$\sin(\theta) = \frac{\sqrt{35}}{6}$.
હવે,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(\theta) = (\sqrt{6})(\sqrt{6}) \sin(\theta) = 6 \sin(\theta)$.
તેથી,$|\bar{a} \times \bar{b}| \sin(\theta) = 6 \sin(\theta) \cdot \sin(\theta) = 6 \sin^2(\theta) = 6 \times \frac{35}{36} = \frac{35}{6}$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{0}, \vec{b}, \vec{d}$ છે. તો $C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{b} + \vec{d}$ થાય.
$P$ એ $AD$ ને $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું હોવાથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \frac{3\vec{d} + 1\vec{0}}{3+1} = \frac{3}{4}\vec{d}$ થાય.
ધારો કે $Q$ એ $BP$ ને $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં અને $AC$ ને $m:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$BP$ પર $Q$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{q} = \frac{k\vec{p} + 1\vec{b}}{k+1} = \frac{k(\frac{3}{4}\vec{d}) + \vec{b}}{k+1} = \frac{1}{k+1}\vec{b} + \frac{3k}{4(k+1)}\vec{d}$ છે.
$AC$ પર $Q$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{q} = \frac{m\vec{c} + 1\vec{a}}{m+1} = \frac{m(\vec{b} + \vec{d})}{m+1} = \frac{m}{m+1}\vec{b} + \frac{m}{m+1}\vec{d}$ છે.
$\vec{b}$ અને $\vec{d}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{1}{k+1} = \frac{m}{m+1}$ અને $\frac{3k}{4(k+1)} = \frac{m}{m+1}$.
આમ,$\frac{1}{k+1} = \frac{3k}{4(k+1)} \Rightarrow 4 = 3k \Rightarrow k = \frac{4}{3}$.
$k = \frac{4}{3}$ ને $\frac{m}{m+1} = \frac{1}{k+1} = \frac{1}{4/3 + 1} = \frac{1}{7/3} = \frac{3}{7}$ માં મૂકતા.
$7m = 3m + 3 \Rightarrow 4m = 3 \Rightarrow m = \frac{3}{4}$.
તેથી,$AQ:QC = m:1 = \frac{3}{4}:1 = 3:4$.

(D) ધારો કે $\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
$\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ધરાવતા સમતલમાં હોવાથી,$\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ સમતલીય છે. તેથી,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
તેથી,$(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}) = 0 \Rightarrow 3a_1 + a_2 - 5a_3 = 0 \dots (i)$.
$\vec{a}$ એ $\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ ને લંબ હોવાથી,$(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) = 0 \Rightarrow a_1 + a_2 + 3a_3 = 0 \dots (ii)$.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $3\sqrt{6}$ છે,તેથી $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = 3\sqrt{6}$.
$\frac{a_1 + 2a_2 + a_3}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{6} \Rightarrow a_1 + 2a_2 + a_3 = 18 \dots (iii)$.
સમીકરણો $(i), (ii),$ અને $(iii)$ ઉકેલતા:
$a_1 = -8, a_2 = 14, a_3 = -2$ મળે છે.
તેથી,$\vec{a} = -8\hat{i} + 14\hat{j} - 2\hat{k}$.
$|\vec{a}|^2 = (-8)^2 + 14^2 + (-2)^2 = 64 + 196 + 4 = 264$.

(B) સદિશ $\overrightarrow{AB} = B - A = (4-3, 4-4, 4-0) = (1, 0, 4)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{CD} = D - C = (1 - (-6), 1 - 2, 2 - 3) = (7, -1, -1)$ છે.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1)(7) + (0)(-1) + (4)(-1) = 7 + 0 - 4 = 3$ થાય.
$\overrightarrow{AB}$ નું માન $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 0 + 16} = \sqrt{17}$ છે.
$\overrightarrow{CD}$ નું માન $|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{7^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1 + 1} = \sqrt{51}$ છે.
અહીં $\sqrt{51} = \sqrt{17 \times 3} = \sqrt{17} \sqrt{3}$ હોવાથી,$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{17} \sqrt{3}$ થાય.
ખૂણા $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|} = \frac{3}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17} \sqrt{3}} = \frac{3}{17 \sqrt{3}}$ મળે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને બિંદુ $M$ પર દુભાગે છે.
$M$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $M = \left(\frac{3+7}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (5, 3, 4)$.
$M$ એ $BD$ નું પણ મધ્યબિંદુ હોવાથી,ધારો કે $D = (x, y, z)$. તેથી $\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}, \frac{z+6}{2}\right) = (5, 3, 4)$.
$x, y, z$ માટે ઉકેલતા: $x+1=10 \Rightarrow x=9$; $y+4=6 \Rightarrow y=2$; $z+6=8 \Rightarrow z=2$. આમ,$D = (9, 2, 2)$.
સદિશ $\vec{DC} = (7-9, 4-2, 5-2) = (-2, 2, 3)$. દિશા ગુણોત્તર $a_1 = -2, b_1 = 2, c_1 = 3$ છે.
સદિશ $\vec{DB} = (1-9, 4-2, 6-2) = (-8, 2, 4)$. દિશા ગુણોત્તર $a_2 = -8, b_2 = 2, c_2 = 4$ છે.
$\vec{DC}$ અને $\vec{DB}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = \frac{|(-2)(-8) + (2)(2) + (3)(4)|}{\sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 3^2} \sqrt{(-8)^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{|16 + 4 + 12|}{\sqrt{4+4+9} \sqrt{64+4+16}} = \frac{32}{\sqrt{17} \sqrt{84}} = \frac{32}{\sqrt{17} \cdot 2\sqrt{21}} = \frac{16}{\sqrt{357}}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{16}{\sqrt{357}}\right)$.

(C) આપેલ સ્થાન સદિશો:
$A = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$
$B = 2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$
$C = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$
સૌ પ્રથમ,સદિશો $\overrightarrow{AC}$ અને $\overrightarrow{AB}$ શોધો:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) = 0\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
હવે,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+3) - \hat{j}(0-1) + \hat{k}(0+1) = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું માન $|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ છે.
$\overrightarrow{AB}$ નું માન $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$ છે.
રેખા $AB$ થી બિંદુ $C$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{11}} = \sqrt{\frac{6}{11}}$.

(A) ધારો કે $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$. $a$ એક એકમ સદિશ હોવાથી,$|a|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$.
હવે,$a \times \hat{i} = (a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \times \hat{i} = -a_2 \hat{k} + a_3 \hat{j}$.
તેથી,$|a \times \hat{i}|^2 = a_2^2 + a_3^2$.
તે જ રીતે,$|a \times \hat{j}|^2 = a_1^2 + a_3^2$ અને $|a \times \hat{k}|^2 = a_1^2 + a_2^2$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા,$|a \times \hat{i}|^2 + |a \times \hat{j}|^2 + |a \times \hat{k}|^2 = (a_2^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_2^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$.
$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ હોવાથી,સરવાળો $2(1) = 2$ થાય છે.

(D) સદિશ $r$ એ $a$ અને $b$ ના સમતલમાં હોવાથી,તેને $r = a + tb$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$r = (i + 2j + k) + t(i - j + k) = (1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k$.
આપેલ છે કે $r$ નો $c$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે,તેથી સૂત્ર $\frac{r \cdot c}{|c|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ નો ઉપયોગ કરતા.
પ્રથમ,$|c| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ મેળવીએ.
હવે,ડોટ ગુણાકાર $r \cdot c = ((1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k) \cdot (i + j - k) = (1 + t) + (2 - t) - (1 + t) = 2 - t$.
આ કિંમતોને પ્રક્ષેપના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{2 - t}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આથી $2 - t = 1$,જેનો અર્થ છે કે $t = 1$.
$t = 1$ ને $r$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $r = (1 + 1)i + (2 - 1)j + (1 + 1)k = 2i + j + 2k$.

(B) ધારો કે રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \cos \alpha \hat{i} + \cos \alpha \hat{j} + \cos \alpha \hat{k}$ છે.
કારણ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,તેથી $3 \cos^2 \alpha = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ છે.
સદિશ $\vec{a} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ નો રેખા પરનો પ્રક્ષેપ એ ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \cdot \hat{u}$ નું માન છે.
$|\vec{a} \cdot \hat{u}| = |(4\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})|$
$= |\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(4 - 3 + 2)|$
$= |\pm \frac{3}{\sqrt{3}}| = \sqrt{3}$.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$ અને $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ ની ગણતરી કરીએ.
$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} = 2(-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) - (-2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}) = (-2\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}) + (2\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}) = \hat{j}+\hat{k}$.
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = (-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) + (2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+\hat{k}$.
ધારો કે $\theta$ એ આ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે. ખૂણાનો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{(\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i}+\hat{k})}{|\hat{j}+\hat{k}| |\hat{i}+\hat{k}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $(\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i}+\hat{k}) = (0)(1) + (1)(0) + (1)(1) = 1$.
માન (magnitudes) ની ગણતરી કરતા: $|\hat{j}+\hat{k}| = \sqrt{0^2+1^2+1^2} = \sqrt{2}$ અને $|\hat{i}+\hat{k}| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(B) વિધાન $(A)$ માટે: રેખાઓ $\bar{r}=\bar{a}+t\bar{b}$ અને $\bar{r}=\bar{b}+s\bar{a}$ છે. આ રેખાઓ અનુક્રમે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે અને $\bar{b}$ અને $\bar{a}$ સદિશોને સમાંતર છે. બંને રેખાઓ $\bar{a}+\bar{b}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે (પ્રથમમાં $t=1$ અને બીજામાં $s=1$ મૂકતા),તેથી તેઓ છેદે છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ માટે: બે વિષમતલીય રેખાઓ $\bar{r}=\bar{p}+t\bar{q}$ અને $\bar{r}=\bar{c}+s\bar{d}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\bar{p}-\bar{c}) \cdot (\bar{q} \times \bar{d})|}{|\bar{q} \times \bar{d}|}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ ખરેખર સદિશ $(\bar{p}-\bar{c})$ નો સદિશ $(\bar{q} \times \bar{d})$ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈ છે. આમ,$(R)$ સાચું છે.
જોકે,$(A)$ માં રેખાઓનું છેદવું એ આ રેખાઓનો વિશિષ્ટ ગુણધર્મ છે,જ્યારે $(R)$ એ વિષમતલીય રેખાઓ વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતર માટેનું સામાન્ય સૂત્ર આપે છે. તેથી,$(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{AB} = B - A = (3-1, 4-(-1), -2-2) = (2, 5, -4)$
$\overrightarrow{CD} = D - C = (3-0, 5-3, 6-2) = (3, 2, 4)$
ધારો કે $\theta$ એ સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. ખૂણાનો કોસાઇન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|}$
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (2)(3) + (5)(2) + (-4)(4) = 6 + 10 - 16 = 0$
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,તેથી સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.

(D) આપેલ બે વિષમતલીય રેખાઓ $r = b + ta$ અને $r = d + sc$ છે.
બે વિષમતલીય રેખાઓ $r = a_1 + \lambda b_1$ અને $r = a_2 + \mu b_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \left| \frac{(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)}{|b_1 \times b_2|} \right|$ છે.
અહીં,$a_1 = b$,$b_1 = a$,$a_2 = d$,અને $b_2 = c$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,લઘુત્તમ અંતર $\left| \frac{(d - b) \cdot (a \times c)}{|a \times c|} \right|$ મળે છે.
કારણ કે $|x| = |-x|$,આ કિંમત $\left| \frac{(b - d) \cdot (a \times c)}{|a \times c|} \right|$ ને સમાન છે.
આ પદ સદિશ $(b - d)$ નો સદિશ $(a \times c)$ પરના લંબ પ્રક્ષેપનું માન દર્શાવે છે.

(A) ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{OP} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{OQ} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
ખૂણો $\theta = \angle POQ$ શોધવા માટે,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos \theta = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરીએ:
$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (0)(4) + (1)(-2) + (2)(1) = 0 - 2 + 2 = 0$.
અહીં ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,સદિશો $\vec{OP}$ અને $\vec{OQ}$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, 1, 1)$,$B(1, -1, 1)$,અને $C(-1, 1, -1)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{AB} \times \vec{AC}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AB} = (1-2)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j}$.
$\vec{AC} = (-1-2)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = -3\hat{i} - 2\hat{k}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-0) - \hat{j}(2-0) + \hat{k}(0-6) = 4\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}' = 2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ મળે છે.
સમતલને લંબ એકમ સદિશ $e = \pm \frac{2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-3)^2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{14}}(2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k})$.
આપેલ છે કે $a = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$,$e$ પર $a$ નો પ્રક્ષેપ સદિશ $(a \cdot e)e$ છે.
$a \cdot e = \pm \frac{1}{\sqrt{14}}(2(2) + (-3)(-1) + 6(-3)) = \pm \frac{1}{\sqrt{14}}(4 + 3 - 18) = \mp \frac{11}{\sqrt{14}}$.
પ્રક્ષેપ સદિશ $= (a \cdot e)e = \left(\mp \frac{11}{\sqrt{14}}\right) \left(\pm \frac{1}{\sqrt{14}}(2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k})\right) = -\frac{11}{14}(2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) = \frac{11}{14}(-2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k})$.

(A) $a, b, c$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $r = (1 - x - y)a + xb + yc$ છે.
જો ચાર બિંદુઓ $a, b, c, d$ સમતલીય હોય,તો $d$ ને $a, b, c$ ના રેખીય સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે જેથી સહગુણકોનો સરવાળો $1$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $2a - 3b + 7c - 6d = 0$ ને $6d = 2a - 3b + 7c$ તરીકે લખી શકાય,જેનો અર્થ છે કે $d = \frac{2}{6}a - \frac{3}{6}b + \frac{7}{6}c = \frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b + \frac{7}{6}c$.
સહગુણકોનો સરવાળો $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{7}{6} = \frac{2 - 3 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો $1$ હોવાથી,બિંદુ $d$ એ $a, b, c$ દ્વારા બનતા સમતલમાં આવેલું છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે,$(R)$ સાચું છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) સમીકરણ $|\vec{r}-\vec{a}| - |\vec{r}-\vec{b}| = c$ એ અતિવલયની વ્યાખ્યા દર્શાવે છે જ્યાં $A$ અને $B$ એ નાભિઓ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = |\vec{a}-\vec{b}|$ છે.
શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર (મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ) $2a = c$ છે.
તેથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\text{નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર}}{\text{શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર}} = \frac{|\vec{a}-\vec{b}|}{c}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}$ એ $\vec{\gamma}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $k_{1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}=k_{1} \vec{\gamma}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\vec{\beta}=\frac{k_{1}}{3} \vec{\gamma}-\frac{1}{3} \vec{\alpha}$.
વળી,$\vec{\beta}+2 \vec{\gamma}$ એ $\vec{\alpha}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $k_{2}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\vec{\beta}+2 \vec{\gamma}=k_{2} \vec{\alpha}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\vec{\beta}=k_{2} \vec{\alpha}-2 \vec{\gamma}$.
$\vec{\beta}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને મળે $\frac{k_{1}}{3} \vec{\gamma}-\frac{1}{3} \vec{\alpha}=k_{2} \vec{\alpha}-2 \vec{\gamma}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $\vec{\alpha}(k_{2}+\frac{1}{3})=\vec{\gamma}(\frac{k_{1}}{3}+2)$.
કારણ કે $\vec{\alpha}$ અને $\vec{\gamma}$ અરેખીય છે,તેથી સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ: $k_{2}+\frac{1}{3}=0 \Rightarrow k_{2}=-\frac{1}{3}$ અને $\frac{k_{1}}{3}+2=0 \Rightarrow k_{1}=-6$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $k_{1}=-6$ મૂકતા,આપણને મળે $\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}=-6 \vec{\gamma}$.
તેથી,$\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}+6 \vec{\gamma}=\overrightarrow{0}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $a(\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) + b(\vec{\beta} \times \vec{\gamma}) + c(\vec{\gamma} \times \vec{\alpha}) = \overrightarrow{0}$ છે.
ધારો કે $\vec{u} = \vec{\alpha} \times \vec{\beta}$,$\vec{v} = \vec{\beta} \times \vec{\gamma}$,અને $\vec{w} = \vec{\gamma} \times \vec{\alpha}$.
આપેલ સમીકરણ $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} = \overrightarrow{0}$ બને છે.
અહીં $a, b, c$ શૂન્યતર અદિશ હોવાથી,સદિશો $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ સુરેખ રીતે આધારિત છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમતલીય છે.
કોઈપણ ત્રણ સદિશો $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ માટે,તેમના સદિશ ગુણાકારો $\vec{\alpha} \times \vec{\beta}$,$\vec{\beta} \times \vec{\gamma}$,અને $\vec{\gamma} \times \vec{\alpha}$ ત્યારે જ સમતલીય હોય જો $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ પોતે સમતલીય હોય.
તેથી,સદિશો $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ સમતલીય છે.

(B) ધારો કે $ZOX$ સમતલમાં એકમ સદિશ $\vec{r} = x \hat{i} + z \hat{k}$ છે.
તે એકમ સદિશ હોવાથી,$|\vec{r}|^2 = x^2 + z^2 = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{\alpha} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$,તેથી $|\vec{\alpha}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$.
$\vec{r}$ અને $\vec{\alpha}$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે,તેથી $\vec{r} \cdot \vec{\alpha} = |\vec{r}| |\vec{\alpha}| \cos 45^{\circ}$.
$(x \hat{i} + z \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) = 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow 2x - z = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
આપેલ છે કે $\vec{\beta} = \hat{j} - \hat{k}$,તેથી $|\vec{\beta}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\vec{r}$ અને $\vec{\beta}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\vec{r} \cdot \vec{\beta} = |\vec{r}| |\vec{\beta}| \cos 60^{\circ}$.
$(x \hat{i} + z \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} + 1 \hat{j} - 1 \hat{k}) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow -z = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow z = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$z$ ની કિંમત $2x - z = \frac{3}{\sqrt{2}}$ માં મૂકતા,$2x - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3}{\sqrt{2}} \Rightarrow 2x = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\vec{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,$|a+b| < |a-b|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a+b|^2 < |a-b|^2$ મળે.
ગુણધર્મ $|x|^2 = x \cdot x$ નો ઉપયોગ કરતા,$(a+b) \cdot (a+b) < (a-b) \cdot (a-b)$ મળે.
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) < |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$ મળે.
બંને બાજુથી $|a|^2 + |b|^2$ બાદ કરતા,$2(a \cdot b) < -2(a \cdot b)$ મળે.
આથી $4(a \cdot b) < 0$,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot b < 0$.
કારણ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta < 0$ અને $|a|, |b| > 0$,તેથી $\cos \theta < 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ ગુરુકોણ છે.

(D) ધારો કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = k^2 \cos \alpha$,$\vec{b} \cdot \vec{c} = k^2 \cos \beta$,અને $\vec{c} \cdot \vec{a} = k^2 \cos \gamma$.
સદિશોના સરવાળાનું માન ધ્યાનમાં લો: $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 \geq 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \geq 0$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$.
કિંમતો મૂકતા: $3k^2 + 2k^2(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) \geq 0$.
$2k^2$ વડે ભાગતા (કારણ કે $k > 0$): $\frac{3}{2} + (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) \geq 0$.
તેથી,$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \geq -\frac{3}{2}$.