Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Hindi

(B) सदिश $\vec{v} = p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k}$ का निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेप उसके घटकों के निरपेक्ष मान होते हैं।
$x$-अक्ष पर प्रक्षेप $|p| = |4| = 4$ है।
$y$-अक्ष पर प्रक्षेप $|q| = |-5| = 5$ है।
$z$-अक्ष पर प्रक्षेप $|r| = |7| = 7$ है।
इन प्रक्षेपों की लंबाइयों का योग $|p| + |q| + |r| = 4 + 5 + 7 = 16 \text{ इकाई}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $2 \vec{a} + 3 \vec{b} - 5 \vec{c} = \vec{0}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2 \vec{a} + 3 \vec{b} = 5 \vec{c}$ प्राप्त होता है।
$5$ से भाग देने पर,$\vec{c} = \frac{2 \vec{a} + 3 \vec{b}}{5} = \frac{2 \vec{a} + 3 \vec{b}}{2 + 3}$ प्राप्त होता है।
यह आंतरिक विभाजन के लिए अनुभाग सूत्र $\vec{r} = \frac{m \vec{b} + n \vec{a}}{m + n}$ के रूप में है,जहाँ बिंदु $\vec{a}$ और $\vec{b}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
यहाँ,$m = 3$ और $n = 2$ है।
अतः,बिंदु $C$ रेखाखंड $AB$ को $3:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

(C) माना बिंदु $B$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
दिया गया है कि बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = (1\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k})$ है।
सदिश $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$\overrightarrow{AB} = (x - 1)\hat{i} + (y - 2)\hat{j} + (z - (-1))\hat{k} = (x - 1)\hat{i} + (y - 2)\hat{j} + (z + 1)\hat{k}$ है।
हमें $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}$ दिया गया है।
घटकों की तुलना करने पर:
$x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$
$y - 2 = 3 \Rightarrow y = 5$
$z + 1 = -1 \Rightarrow z = -2$
अतः,$B$ के निर्देशांक $(3, 5, -2)$ हैं।

(A) माना $\overline{r} = x \overline{a} + y \overline{b}$.
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर:
$-4 \hat{i} - 6 \hat{j} - 2 \hat{k} = x(-\hat{i} - 4 \hat{j} + 3 \hat{k}) + y(-8 \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k})$
$= (-x - 8y) \hat{i} + (-4x - y) \hat{j} + (3x + 3y) \hat{k}$
घटकों की तुलना करने पर:
$(1)$ $-x - 8y = -4$
$(2)$ $-4x - y = -6$
$(3)$ $3x + 3y = -2$
$(3)$ से,$x + y = -\frac{2}{3}$,अतः $y = -\frac{2}{3} - x$.
$y$ का मान $(1)$ में रखने पर: $-x - 8(-\frac{2}{3} - x) = -4 \implies -x + \frac{16}{3} + 8x = -4 \implies 7x = -4 - \frac{16}{3} = -\frac{28}{3} \implies x = -\frac{4}{3}$.
अतः $y = -\frac{2}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{2}{3}$.
इस प्रकार,$\overline{r} = -\frac{4}{3} \overline{a} + \frac{2}{3} \overline{b}$.

(D) माना कि $P, Q, R, S, M, N$ बिंदुओं के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{m}, \vec{n}$ हैं।
हम जानते हैं कि $\vec{PS} + \vec{QR} = (\vec{s} - \vec{p}) + (\vec{r} - \vec{q}) = (\vec{s} + \vec{r}) - (\vec{p} + \vec{q})$.
चूँकि $M$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,$\vec{m} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$,जिसका अर्थ है $\vec{p} + \vec{q} = 2\vec{m}$.
चूँकि $N$,$RS$ का मध्य-बिंदु है,$\vec{n} = \frac{\vec{r} + \vec{s}}{2}$,जिसका अर्थ है $\vec{r} + \vec{s} = 2\vec{n}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{PS} + \vec{QR} = 2\vec{n} - 2\vec{m} = 2(\vec{n} - \vec{m}) = 2\vec{MN}$.
अतः,$\vec{PS} + \vec{QR} = t \vec{MN}$ से तुलना करने पर,हमें $t = 2$ प्राप्त होता है।

(B) माना $AD$ कोण $A$ का समद्विभाजक है,जो $BC$ को $AB : AC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(0-3)^2 + (0-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = 5$.
$AC = \sqrt{(0-3)^2 + (5-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
अनुपात $AB : AC = 5 : 5\sqrt{2} = 1 : \sqrt{2}$.
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $D$,$BC$ को $1 : \sqrt{2}$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$D$ का स्थिति सदिश = $\frac{\sqrt{2}\vec{B} + 1\vec{C}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(0\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}) + 1(0\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k})}{1 + \sqrt{2}} = \frac{5\hat{j} + (4\sqrt{2} + 4)\hat{k}}{1 + \sqrt{2}}$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,ऐसा प्रतीत होता है कि मूल प्रश्न में अनुपात $1:2$ माना गया है,जिसके अनुसार विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(A) यदि त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं,तो इसके केंद्रक $G$ का सूत्र इस प्रकार है:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right)$
दिए गए शीर्ष $A(1, 2, 3)$,$B(1, 0, 3)$ और $C(4, 1, -3)$ हैं।
मान रखने पर:
$G = \left( \frac{1 + 1 + 4}{3}, \frac{2 + 0 + 1}{3}, \frac{3 + 3 - 3}{3} \right)$
$G = \left( \frac{6}{3}, \frac{3}{3}, \frac{3}{3} \right)$
$G = (2, 1, 1)$
अतः,केंद्रक का स्थिति सदिश $2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।

(C) बिंदु $P(4, 5, x)$,$Q(3, y, 4)$ और $R(5, 8, 0)$ संरेख हैं।
अतः,सदिश $\vec{PQ}$ को सदिश $\vec{PR}$ के समानुपाती होना चाहिए।
$\vec{PQ} = (3-4)\hat{i} + (y-5)\hat{j} + (4-x)\hat{k} = -\hat{i} + (y-5)\hat{j} + (4-x)\hat{k}$.
$\vec{PR} = (5-4)\hat{i} + (8-5)\hat{j} + (0-x)\hat{k} = \hat{i} + 3\hat{j} - x\hat{k}$.
चूंकि बिंदु संरेख हैं,किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{PQ} = k \vec{PR}$ होगा।
$-\hat{i} + (y-5)\hat{j} + (4-x)\hat{k} = k(\hat{i} + 3\hat{j} - x\hat{k})$.
घटकों की तुलना करने पर:
$1) -1 = k \Rightarrow k = -1$.
$2) y - 5 = 3k \Rightarrow y - 5 = 3(-1) \Rightarrow y - 5 = -3 \Rightarrow y = 2$.
$3) 4 - x = -kx \Rightarrow 4 - x = -(-1)x \Rightarrow 4 - x = x \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
अतः,$x + y = 2 + 2 = 4$.

(C) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ संरेख होते हैं यदि किसी अदिश $x$ के लिए $\vec{a} = x \vec{b}$ हो।
दिया गया है कि $\vec{a} = 2 \hat{i} + p \hat{j} + 4 \hat{k}$ और $\vec{b} = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + q \hat{k}$।
घटकों की तुलना करने पर:
$2 = 6x \Rightarrow x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।
$p = -9x \Rightarrow p = -9 \times \frac{1}{3} = -3$।
$4 = qx \Rightarrow 4 = q \times \frac{1}{3} \Rightarrow q = 4 \times 3 = 12$।
अतः,$p = -3$ और $q = 12$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\vec{a}=x \vec{b}+y \vec{c}$.
सदिशों का मान रखने पर:
$4 \hat{i}+13 \hat{j}-18 \hat{k} = x(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + y(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})$
$= (x+2y) \hat{i} + (-2x+3y) \hat{j} + (3x-4y) \hat{k}$.
दोनों पक्षों में $\hat{i}, \hat{j}, \text{ और } \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें समीकरण प्राप्त होते हैं:
$1) x + 2y = 4$
$2) -2x + 3y = 13$
$3) 3x - 4y = -18$
समीकरण $(1)$ से,$x = 4 - 2y$.
इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$-2(4 - 2y) + 3y = 13$
$-8 + 4y + 3y = 13$
$7y = 21 \Rightarrow y = 3$.
अब,$y = 3$ का मान $x = 4 - 2y$ में रखने पर:
$x = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2$.
समीकरण $(3)$ में जाँच करने पर:
$3(-2) - 4(3) = -6 - 12 = -18$ (सत्यापित).
अतः,$x = -2$ और $y = 3$.
इसलिए,$x+y = -2 + 3 = 1$.

(B) माना $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $A$ से गुजरने वाली माध्यिका सदिश $\vec{AD}$ है।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,$A$ के सापेक्ष $D$ का स्थिति सदिश $\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $\vec{AB} = 3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 4 \hat{k}$ और $\vec{AC} = 5 \hat{i} - 5 \hat{j} + 2 \hat{k}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{AD} = \frac{1}{2}((3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 4 \hat{k}) + (5 \hat{i} - 5 \hat{j} + 2 \hat{k}))$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(8 \hat{i} + 0 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$\vec{AD} = 4 \hat{i} + 3 \hat{k}$।
माध्यिका की लंबाई सदिश $\vec{AD}$ का परिमाण है:
$|\vec{AD}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ इकाई।

(A) माना $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + x\hat{k}$ और $\vec{b} = y\hat{i} + 6\hat{j} + 4\hat{k}$ दो संरेख सदिश हैं।
चूंकि वे संरेख हैं,एक अदिश $m$ का अस्तित्व है ताकि $\vec{a} = m\vec{b}$ हो।
घटकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\hat{i} + 2\hat{j} + x\hat{k} = m(y\hat{i} + 6\hat{j} + 4\hat{k})$।
दोनों पक्षों पर $\hat{i}, \hat{j},$ और $\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1 = my$
$2 = 6m \Rightarrow m = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x = 4m$
$m = \frac{1}{3}$ का मान $x$ और $y$ के समीकरणों में रखने पर:
$x = 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
$1 = \frac{1}{3}y \Rightarrow y = 3$
अतः,$x = \frac{4}{3}$ और $y = 3$ प्राप्त होते हैं।

(B) माना शीर्ष $A$,$B$,और $C$ हैं जिनके स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = 5\hat{i}+3\hat{j}-3\hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{i}+5\hat{j}+9\hat{k}$ हैं।
भुजाओं की लंबाई सदिशों $\vec{AB}$,$\vec{BC}$,और $\vec{AC}$ के परिमाण हैं।
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 12\hat{k}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 4 + 144} = \sqrt{157}$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 1\hat{i} + 4\hat{j} + 8\hat{k}$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9$.
त्रिभुज का परिमाप $= |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{AC}| = 6 + \sqrt{157} + 9 = 15 + \sqrt{157}$ इकाई।

(B) माना $A, B, C, D, M, N$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{m}, \vec{n}$ हैं।
चूंकि $M$ और $N$ क्रमशः $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं,हमारे पास है:
$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \implies \vec{a} + \vec{b} = 2\vec{m}$
$\vec{n} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} \implies \vec{c} + \vec{d} = 2\vec{n}$
हमें समीकरण दिया गया है: $\vec{AD} + \vec{BC} = t \vec{MN}$
सदिशों को स्थिति सदिशों के रूप में व्यक्त करने पर:
$(\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{c} - \vec{b}) = t(\vec{n} - \vec{m})$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(\vec{d} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b}) = t(\vec{n} - \vec{m})$
स्थिति सदिशों के योग के लिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$2\vec{n} - 2\vec{m} = t(\vec{n} - \vec{m})$
$2(\vec{n} - \vec{m}) = t(\vec{n} - \vec{m})$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $t = 2$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश हैं।
तब,$\overline{OA} = \vec{a}, \overline{OB} = \vec{b}, \overline{OC} = \vec{c}$.
त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $G$,स्थिति सदिश $\overline{OG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3 \overline{OG}$.
अब,हम व्यंजक $\overline{OA} + \overline{OB} + \overline{OC} + \overline{OG}$ का मूल्यांकन करते हैं:
$\overline{OA} + \overline{OB} + \overline{OC} + \overline{OG} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \overline{OG}$.
$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= 3 \overline{OG} + \overline{OG} = 4 \overline{OG}$.

(B) चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ असरेख सदिश हैं,दो सदिश $\bar{p} = m_1\bar{a} + n_1\bar{b}$ और $\bar{q} = m_2\bar{a} + n_2\bar{b}$ संरेख होते हैं यदि और केवल यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2} = k$।
दिया गया है $\bar{p} = (2x + 1)\bar{a} - 1\bar{b}$ और $\bar{q} = (x - 2)\bar{a} + 1\bar{b}$।
संरेखता के लिए:
$\frac{2x + 1}{x - 2} = \frac{-1}{1}$
$2x + 1 = -(x - 2)$
$2x + 1 = -x + 2$
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$

(A) त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश $\overline{a}$,$\overline{b}$,और $\overline{c}$ होने पर,उसके केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\overline{g} = \frac{\overline{a} + \overline{b} + \overline{c}}{3}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए सदिशों के मान रखने पर:
$\overline{g} = \frac{(2 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + \hat{k}) + (4 \hat{\imath} + 5 \hat{\jmath} + 3 \hat{k}) + (6 \hat{\imath} + \hat{\jmath} + 5 \hat{k})}{3}$
घटकों का योग करने पर:
$\overline{g} = \frac{(2+4+6) \hat{\imath} + (3+5+1) \hat{\jmath} + (1+3+5) \hat{k}}{3}$
$\overline{g} = \frac{12 \hat{\imath} + 9 \hat{\jmath} + 9 \hat{k}}{3}$
$\overline{g} = 4 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + 3 \hat{k}$.

(D) दिए गए स्थिति सदिश $\bar{a} = \hat{i} + 3\hat{j}$,$\bar{b} = 2\hat{i} + 5\hat{j}$,और $\bar{c} = 4\hat{i} + 2\hat{j}$ हैं।
संबंध $\bar{c} = t_{1}\bar{a} + t_{2}\bar{b}$ का उपयोग करते हुए:
$4\hat{i} + 2\hat{j} = t_{1}(\hat{i} + 3\hat{j}) + t_{2}(2\hat{i} + 5\hat{j})$
$4\hat{i} + 2\hat{j} = (t_{1} + 2t_{2})\hat{i} + (3t_{1} + 5t_{2})\hat{j}$
$\hat{i}$ और $\hat{j}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
$t_{1} + 2t_{2} = 4$ --- $(1)$
$3t_{1} + 5t_{2} = 2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर: $3t_{1} + 6t_{2} = 12$ --- $(3)$
समीकरण $(3)$ में से $(2)$ को घटाने पर: $(3t_{1} + 6t_{2}) - (3t_{1} + 5t_{2}) = 12 - 2$
$t_{2} = 10$
$t_{2} = 10$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर: $t_{1} + 2(10) = 4$
$t_{1} + 20 = 4 \implies t_{1} = -16$
अतः,$t_{1}t_{2} = (-16)(10) = -160$.

(C) दिया गया समीकरण $l \bar{a} + m \bar{b} + n \bar{c} = \overline{0}$ है।
सदिशों का मान रखने पर: $l(\hat{\imath} + \hat{\jmath} + \hat{k}) + m(2\hat{\imath} - 2\hat{\jmath} + 2\hat{k}) + n(2\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} + 2\hat{k}) = 0\hat{\imath} + 0\hat{\jmath} + 0\hat{k}$.
घटकों को शून्य के बराबर करने पर:
$l + 2m + 2n = 0$ $(i)$
$l - 2m + 3n = 0$ (ii)
$l + 2m + 2n = 0$ (iii)
समीकरण $(i)$ और (iii) समान हैं। समीकरण $(i)$ में से (ii) घटाने पर:
$(l + 2m + 2n) - (l - 2m + 3n) = 0$
$4m - n = 0 \implies n = 4m$.
$n = 4m$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$l + 2m + 2(4m) = 0 \implies l + 10m = 0 \implies l = -10m$.
यदि $m = -1$ लें,तो $l = 10$ और $n = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,मान $(10, -1, -4)$ हैं।

(B) दो सदिश $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ और $\vec{b} = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ संरेख होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = k$।
दिए गए सदिश $x \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$ और $\hat{i}+y \hat{j}-z \hat{k}$ हैं।
अतः,$\frac{x}{1} = \frac{-3}{y} = \frac{7}{-z} = k$।
इससे हमें $x = k$,$y = -\frac{3}{k}$,और $z = -\frac{7}{k}$ प्राप्त होता है।
अब,इन मानों को व्यंजक $\frac{x y^2}{z}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x y^2}{z} = \frac{k \cdot (-\frac{3}{k})^2}{-\frac{7}{k}} = \frac{k \cdot \frac{9}{k^2}}{-\frac{7}{k}} = \frac{\frac{9}{k}}{-\frac{7}{k}} = -\frac{9}{7}$।

(C) दिया गया है कि बिंदुओं $L$ और $M$ के स्थिति सदिश $\vec{l} = 2\vec{a} - \vec{b}$ और $\vec{m} = \vec{a} + 2\vec{b}$ हैं।
बिंदु $N$,रेखाखंड $LM$ को $2:1$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है।
बाह्य विभाजन के लिए स्थिति सदिश का सूत्र $\vec{n} = \frac{m\vec{m} - n\vec{l}}{m - n}$ है।
मान रखने पर:
$\vec{n} = \frac{2(\vec{a} + 2\vec{b}) - 1(2\vec{a} - \vec{b})}{2 - 1}$
$\vec{n} = \frac{2\vec{a} + 4\vec{b} - 2\vec{a} + \vec{b}}{1}$
$\vec{n} = 5\vec{b}$.

(C) मान लीजिए बिंदुओं $P, Q, R, S, M, N$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{m}, \vec{n}$ हैं।
चूंकि $M, PQ$ का मध्य बिंदु है,हमारे पास $\vec{m} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$ है,जिसका अर्थ है $\vec{p} + \vec{q} = 2\vec{m}$।
चूंकि $N, RS$ का मध्य बिंदु है,हमारे पास $\vec{n} = \frac{\vec{r} + \vec{s}}{2}$ है,जिसका अर्थ है $\vec{r} + \vec{s} = 2\vec{n}$।
अब,व्यंजक $\overrightarrow{PS} + \overrightarrow{QR} = (\vec{s} - \vec{p}) + (\vec{r} - \vec{q})$ पर विचार करें।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(\vec{s} + \vec{r}) - (\vec{p} + \vec{q})$ प्राप्त होता है।
मध्य बिंदुओं से प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\vec{n} - 2\vec{m}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $2(\vec{n} - \vec{m}) = 2\overrightarrow{MN}$ हो जाता है।

(C) माना शीर्षों $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
चूंकि $M$ विकर्ण $AC$ का मध्य बिंदु है,इसका स्थिति सदिश $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ है।
चूंकि $N$ विकर्ण $BD$ का मध्य बिंदु है,इसका स्थिति सदिश $\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ है।
अब,व्यंजक $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}$ पर विचार करें:
$= (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{b} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{c})$
$= 2\vec{b} + 2\vec{d} - 2\vec{a} - 2\vec{c}$
$= 2[(\vec{b} + \vec{d}) - (\vec{a} + \vec{c})]$
$= 4 \left[ \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} \right]$
$= 4(\vec{n} - \vec{m})$
$= 4 \overrightarrow{MN}$

(C) दिया गया है कि $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$।
सदिशों का मान रखने पर:
$3 \hat{i} + 0 \hat{j} - \hat{k} = m(\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) + n(2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$
$3 \hat{i} + 0 \hat{j} - \hat{k} = (m + 2n) \hat{i} + (m - n) \hat{j} + (-2m + n) \hat{k}$
दोनों पक्षों में $\hat{i}, \hat{j}, \text{ और } \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$m + 2n = 3 \quad (i)$
$m - n = 0 \quad (ii)$
$-2m + n = -1 \quad (iii)$
समीकरण $(ii)$ से,$m = n$ प्राप्त होता है।
$m = n$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$m + 2m = 3 \Rightarrow 3m = 3 \Rightarrow m = 1$।
चूंकि $m = n$,इसलिए $n = 1$ होगा।
अतः,$m + n = 1 + 1 = 2$।

(A) दिया गया समीकरण: $2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b} - 5 \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $5 \overrightarrow{c} = 2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}$
$5$ से भाग देने पर,हमें मिलता है: $\overrightarrow{c} = \frac{2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{5}$
चूंकि $2 + 3 = 5$,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $\overrightarrow{c} = \frac{2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{2 + 3}$
यह आंतरिक विभाजन के लिए विभाजन सूत्र है,जो बताता है कि यदि कोई बिंदु $C$,रेखाखंड $AB$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो उसका स्थिति सदिश $\overrightarrow{c} = \frac{n \overrightarrow{a} + m \overrightarrow{b}}{m + n}$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र $\overrightarrow{c} = \frac{n \overrightarrow{a} + m \overrightarrow{b}}{m + n}$ के साथ $\overrightarrow{c} = \frac{2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{2 + 3}$ की तुलना करने पर,हम $n = 2$ और $m = 3$ प्राप्त करते हैं।
अतः,बिंदु $C$,रेखाखंड $AB$ को $m:n = 3:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

(B) दिया गया है $\overrightarrow{p} = x \overrightarrow{a} + y \overrightarrow{b} + z \overrightarrow{c}$.
सदिशों का मान रखने पर:
$3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k} = x(\hat{i} + \hat{j}) + y(\hat{j} + \hat{k}) + z(\hat{i} + \hat{k})$
$3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k} = (x + z) \hat{i} + (x + y) \hat{j} + (y + z) \hat{k}$
दोनों पक्षों में $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$x + z = 3$ $(i)$
$x + y = 2$ $(ii)$
$y + z = 4$ $(iii)$
$(i), (ii),$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$2(x + y + z) = 3 + 2 + 4 = 9 \Rightarrow x + y + z = 4.5$
योग में से $(iii)$ घटाने पर: $x = 4.5 - 4 = 0.5 = \frac{1}{2}$
योग में से $(i)$ घटाने पर: $y = 4.5 - 3 = 1.5 = \frac{3}{2}$
योग में से $(ii)$ घटाने पर: $z = 4.5 - 2 = 2.5 = \frac{5}{2}$
अतः,$x = \frac{1}{2}, y = \frac{3}{2}, z = \frac{5}{2}$.

(D) माना दो रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ हैं। रेखा $L_1$,$A = 6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c}$ और $B = -4 \overrightarrow{c}$ से होकर गुजरती है। $L_1$ का दिशा सदिश $\overrightarrow{d_1} = B - A = -6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c}$ है। $L_1$ का समीकरण $\overrightarrow{r} = 6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c} + m(-6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c})$ ... $(i)$ है।
रेखा $L_2$,$C = -\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}-3 \overrightarrow{c}$ और $D = \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}-5 \overrightarrow{c}$ से होकर गुजरती है। $L_2$ का दिशा सदिश $\overrightarrow{d_2} = D - C = 2 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c}$ है। $L_2$ का समीकरण $\overrightarrow{r} = -\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}-3 \overrightarrow{c} + n(2 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c})$ ... $(ii)$ है।
$\overrightarrow{r}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c} + m(-6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c}) = -\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}-3 \overrightarrow{c} + n(2 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c})$
$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$6 - 6m = -1 + 2n \implies 6m + 2n = 7$ ... $(iii)$
$-4 + 4m = -2 + 4n \implies 4m - 4n = 2 \implies 2m - 2n = 1$ ... $(iv)$
$4 - 8m = -3 - 2n \implies 8m - 2n = 7$ ... $(v)$
$(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर: $8m = 8 \implies m = 1$. $(iv)$ में $m=1$ रखने पर: $2(1) - 2n = 1 \implies 2n = 1 \implies n = 1/2$. $(v)$ में जाँच करने पर: $8(1) - 2(1/2) = 8 - 1 = 7$. मान समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।
$(i)$ में $m=1$ रखने पर: $\overrightarrow{r} = 6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c} - 6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c} = -4 \overrightarrow{c}$.

(B) हम जानते हैं कि दो सदिशों के अंतर का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b})}$
यहाँ दिया गया है कि $|\bar{a}| = 3$,$|\bar{b}| = 2$,और $\bar{a} \cdot \bar{b} = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2 - 2(5)}$
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{9 + 4 - 10}$
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{13 - 10}$
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{3}$

(C) माना $\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{b}$,$\vec{a}$ के संरेख है,हम $\vec{b} = \lambda \vec{a}$ लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
$\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
$\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}}{7}$ है।
दिया गया है कि $|\vec{b}| = 14$,अतः सदिश $\vec{b} = \pm |\vec{b}| \hat{a}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
धनात्मक दिशा लेने पर,$\vec{b} = 14 \left( \frac{2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}}{7} \right) = 2(2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}) = 4 \hat{i}-6 \hat{j}+12 \hat{k}$।

(B) दिया गया है कि $\overline{e}_1, \overline{e}_2$ और $\overline{e}_1+\overline{e}_2$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overline{e}_1| = 1$,$|\overline{e}_2| = 1$,और $|\overline{e}_1+\overline{e}_2| = 1$ है।
सदिशों के योग के परिमाण के गुण का उपयोग करते हुए:
$|\overline{e}_1+\overline{e}_2|^2 = |\overline{e}_1|^2 + |\overline{e}_2|^2 + 2(\overline{e}_1 \cdot \overline{e}_2)$
जहाँ $\overline{e}_1 \cdot \overline{e}_2 = |\overline{e}_1||\overline{e}_2| \cos \theta$ है और $\theta$ उनके बीच का कोण है।
$|\overline{e}_1+\overline{e}_2|^2 = |\overline{e}_1|^2 + |\overline{e}_2|^2 + 2|\overline{e}_1||\overline{e}_2| \cos \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1^2 = 1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos \theta$
$1 = 1 + 1 + 2 \cos \theta$
$1 = 2 + 2 \cos \theta$
$-1 = 2 \cos \theta$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
अतः,$\theta = 120^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि: $|\bar{a}+\bar{b}|^2 + |\bar{a}-\bar{b}|^2 = 2(|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2)$.
दिया गया है $|\bar{a}|=3$,$|\bar{b}|=4$,और $|\bar{a}-\bar{b}|=5$.
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + (5)^2 = 2((3)^2 + (4)^2)$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + 25 = 2(9 + 16)$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + 25 = 2(25)$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + 25 = 50$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = 50 - 25 = 25$
$|\bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{25} = 5$.

(C) परिभाषा के अनुसार,एक इकाई सदिश (unit vector) वह सदिश है जिसका परिमाण $1$ होता है।
चूँकि $\vec{c}$ को $(\vec{a} + \vec{b})$ की दिशा में एक इकाई सदिश के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए परिभाषा के अनुसार इसका परिमाण $1$ होगा।
अतः,$|\vec{c}| = 1$.

(D) सबसे पहले,दी गई दिशाओं में इकाई सदिश ज्ञात कीजिए:
माना $\vec{a} = (2, -2, 1)$ है। इसका परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ है।
इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{1}{3}(2, -2, 1)$ है।
चूंकि $\vec{x}$ का परिमाण $6$ है,$\vec{x} = 6 \hat{a} = 2(2, -2, 1) = (4, -4, 2)$ है।
माना $\vec{b} = (1, 1, -1)$ है। इसका परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ है।
इकाई सदिश $\hat{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$ है।
चूंकि $\vec{y}$ का परिमाण $\sqrt{3}$ है,$\vec{y} = \sqrt{3} \hat{b} = (1, 1, -1)$ है।
अब,$\vec{x} + 2\vec{y}$ की गणना कीजिए:
$\vec{x} + 2\vec{y} = (4, -4, 2) + 2(1, 1, -1) = (4+2, -4+2, 2-2) = (6, -2, 0)$ है।
अंत में,परिमाण $|\vec{x} + 2\vec{y}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 4 + 0} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ प्राप्त होता है।

(C) माना सदिश $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\vec{a}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$।
सदिश $x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ की दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ को $\frac{x}{|\vec{a}|}, \frac{y}{|\vec{a}|}, \frac{z}{|\vec{a}|}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$l = \frac{1}{\sqrt{14}}$,$m = \frac{-2}{\sqrt{14}}$,$n = \frac{3}{\sqrt{14}}$।
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{-2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}$ हैं।

(D) माना $\vec{r}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ का परिणामी सदिश है।
$\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) + (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{r}$ का परिमाण $|\vec{r}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$ है।
$\vec{r}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = \frac{3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{14}}$ है।
$\vec{r}$ के समांतर $5$ इकाई परिमाण वाला सदिश $5\hat{r} = \frac{5}{\sqrt{14}}(3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = \frac{15}{\sqrt{14}}\hat{i} + \frac{5}{\sqrt{14}}\hat{j} - \frac{10}{\sqrt{14}}\hat{k}$ होगा।

(B) चरण $1$: सदिश $\vec{a} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}$ का परिमाण ज्ञात कीजिए।
$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$.
चरण $2$: $\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a}$ ज्ञात कीजिए।
$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{29}}$.
चरण $3$: $\vec{a}$ की दिशा में $2 \sqrt{29}$ परिमाण वाला अभीष्ट सदिश $2 \sqrt{29} \times \hat{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
सदिश $= 2 \sqrt{29} \times \left( \frac{4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{29}} \right) = 2(4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}) = 8 \hat{i} + 6 \hat{j} - 4 \hat{k}$.

(D) हम जानते हैं कि कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में इकाई सदिशों के गुणधर्म हैं:
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$
$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\hat{k} \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) + \hat{i} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{k} \cdot \hat{k} + \hat{i} \cdot \hat{i}$
चूंकि एक इकाई सदिश का स्वयं के साथ डॉट गुणनफल $1$ होता है:
$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$
$\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$
अतः,$1 + 1 = 2$.
यदि प्रश्न में $\hat{i} \cdot (\hat{k} \times \hat{j})$ हो,तो $1 - 1 = 0$ प्राप्त होता है। विकल्पों को देखते हुए सही उत्तर $0$ है।

(A) माना कि दिया गया सदिश $\vec{a} = 5 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,सदिश $\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}$.
$\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{5 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{30}}$ है।
$\vec{a}$ की दिशा में $8$ इकाई परिमाण वाला सदिश $8 \hat{a} = 8 \times \left( \frac{5 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{30}} \right) = \frac{40}{\sqrt{30}} \hat{i} - \frac{8}{\sqrt{30}} \hat{j} + \frac{16}{\sqrt{30}} \hat{k}$ होगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Projection} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$।
माना $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(1) = 1 - 1 = 0$ की गणना करें।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $\frac{0}{|\vec{b}|} = 0$ होगा।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) सबसे पहले,सदिशों का योग ज्ञात करें: $\vec{a} + \vec{b} = (2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) + (-\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = (2-1) \hat{i} + (-1+1) \hat{j} + (2-1) \hat{k} = \hat{i} + \hat{k}$.
इसके बाद,परिणामी सदिश का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
$\vec{a} + \vec{b}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b}|} = \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ है।
$\sqrt{2}$ परिमाण वाला अभीष्ट सदिश $\sqrt{2} \times \hat{u} = \sqrt{2} \times \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}} = \hat{i} + \hat{k}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) एक सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप का सूत्र $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ है।
यहाँ,$\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}$ है।
इकाई सदिश $\hat{b} = \hat{i}$ है।
$\vec{a}$ का $\hat{i}$ पर प्रक्षेप $\vec{a} \cdot \hat{i} = (-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot \hat{i} = -1$ है।
प्रक्षेप का परिमाण अदिश प्रक्षेप का निरपेक्ष मान होता है।
परिमाण $= |-1| = 1$।

(B) $\vec{x} = (2, 3, \sqrt{3})$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{x}$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\hat{x} = \frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,परिमाण $|\vec{x}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (\sqrt{3})^2}$ की गणना करें।
$|\vec{x}| = \sqrt{4 + 9 + 3} = \sqrt{16} = 4$.
अब,$\vec{x}$ के प्रत्येक घटक को परिमाण $4$ से विभाजित करें:
$\hat{x} = \left(\frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) सदिश की दिक्-कोज्याएँ $l = \frac{2}{3}$,$m = -\frac{1}{3}$,और $n = \frac{2}{3}$ दी गई हैं।
हम जानते हैं कि $|\vec{V}|$ परिमाण और $(l, m, n)$ दिक्-कोज्याओं वाला सदिश $\vec{V} = |\vec{V}|(l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ सदिश का परिमाण $|\vec{V}| = 3$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\vec{V} = 3 \left( \frac{2}{3}\hat{i} - \frac{1}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k} \right)$
$\vec{V} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.

(C) मान लीजिए $A$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है।
अतः $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ क्रमशः शीर्ष $B$ और $C$ के स्थिति सदिश दर्शाते हैं।
मान लीजिए $M$ भुजा $BC$ का मध्य बिंदु है।
$M$ का स्थिति सदिश $\vec{AM} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\vec{AM} = \frac{(3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k})}{2}$
$\vec{AM} = \frac{(3+5)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (4+4)\hat{k}}{2}$
$\vec{AM} = \frac{8\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k}}{2} = 4\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$.
माध्यिका $AM$ की लंबाई सदिश $\vec{AM}$ का परिमाण है:
$|\vec{AM}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$|\vec{AM}| = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33}$.

(A) दिया गया है कि सदिश $x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ एक इकाई सदिश है,इसलिए इसका परिमाण $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$|x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})| = 1$.
गुणधर्म $|k\vec{a}| = |k| |\vec{a}|$ का उपयोग करने पर:
$|x| |\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}| = 1$.
सदिश $(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ का परिमाण $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|x| \sqrt{3} = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$|x| = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है कि $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(D) माना समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}$ द्वारा दिए जाते हैं।
पहला विकर्ण: $\vec{d_1} = (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) + (2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = 3\hat{i}-2\hat{j}$.
पहले विकर्ण की लंबाई: $|\vec{d_1}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.
दूसरा विकर्ण: $\vec{d_2} = (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - (2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = -\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$.
दूसरे विकर्ण की लंबाई: $|\vec{d_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+16+4} = \sqrt{21}$.
अतः,विकर्णों की लंबाई $\sqrt{13}$ और $\sqrt{21}$ है।

(D) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overrightarrow{a}| = 1$ और $|\overrightarrow{b}| = 1$ है।
हमें $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = 1$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}|^2 = |\overrightarrow{x}|^2 + |\overrightarrow{y}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$ का उपयोग करने पर:
$|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 1$।
मान रखने पर,$1^2 + 1^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 1$।
$2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 1 \Rightarrow 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = -1$।
अब,हमें $|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$ ज्ञात करना है।
$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$।
मान रखने पर,$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = 1^2 + 1^2 - (-1) = 1 + 1 + 1 = 3$।
अतः,$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{3}$।

(A) कथन $(I)$ : दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है। यदि $|\vec{a}|=0$ या $|\vec{b}|=0$ है,तो $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \times |\vec{b}| \cos \theta = 0$ या $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \times 0 \times \cos \theta = 0$ होगा। अतः,कथन $(I)$ सही है।
कथन $(II)$ : दो सदिशों का सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta \hat{n}$ के रूप में परिभाषित होता है। यदि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ है,तो $\sin \theta = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $\theta = 0$ या $\theta = \pi$। इसका मतलब है कि सदिश समानांतर या संरेख हैं,लंबवत नहीं। अतः,कथन $(II)$ गलत है।