Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Hindi

(A) माना $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ हैं,और $\vec{d_1}$ तथा $\vec{d_2}$ विकर्ण हैं।
हम जानते हैं कि $\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}$ होता है।
अतः,$\vec{a} = \frac{\vec{d_1} + \vec{d_2}}{2} = \frac{(3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}) + (-\hat{i} - 2 \hat{j} - 8 \hat{k})}{2} = \frac{2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 10 \hat{k}}{2} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
भुजा $\vec{a}$ की लंबाई $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$ है।
इसी प्रकार,$\vec{b} = \frac{\vec{d_1} - \vec{d_2}}{2} = \frac{(3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}) - (-\hat{i} - 2 \hat{j} - 8 \hat{k})}{2} = \frac{4 \hat{i} + 8 \hat{j} + 6 \hat{k}}{2} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$.
भुजा $\vec{b}$ की लंबाई $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$ है।
$\sqrt{30}$ और $\sqrt{29}$ की तुलना करने पर,छोटी भुजा $\sqrt{29}$ है।

(D) माना $\vec{AB} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{AC} = \hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$ है।
माना $M$,भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है। $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका को सदिश $\vec{AM}$ द्वारा निरूपित किया जाता है।
$\triangle ABC$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$A$ के सापेक्ष $BC$ के मध्य-बिंदु $M$ का स्थिति सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ सदिशों के औसत द्वारा दिया जाता है:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}((\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + (\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}))$
$\vec{AM} = \frac{1}{2}(2\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k})$
$\vec{AM} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
माध्यिका की लंबाई सदिश $\vec{AM}$ का परिमाण है:
$|\vec{AM}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (3)^2}$
$|\vec{AM}| = \sqrt{1 + 4 + 9}$
$|\vec{AM}| = \sqrt{14}$

(B) माना शीर्षों $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\vec{d} = \vec{a} + \vec{c} - \vec{b}$।
$L$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,अतः $\vec{l} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$।
$M$,$CD$ का मध्य-बिंदु है,अतः $\vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{c} + (\vec{a} + \vec{c} - \vec{b})}{2} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{b}}{2}$।
अब,$\vec{AL} = \vec{l} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$।
और $\vec{AM} = \vec{m} - \vec{a} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{b}}{2} - \vec{a} = \frac{2\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}}{2}$।
इनका योग करने पर,$\vec{AL} + \vec{AM} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}}{2} = \frac{3\vec{c} - 3\vec{a}}{2} = \frac{3}{2}(\vec{c} - \vec{a}) = \frac{3}{2} \vec{AC}$।
अतः,$AL + AM = \frac{3}{2} AC$।

(C) $\triangle PQR$ में,$L, M, N$ क्रमशः $PQ, QR, RP$ के मध्य बिंदु हैं।
मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार,$\overrightarrow{LM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PR}$,$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PQ}$,और $\overrightarrow{NL} = \frac{1}{2} \overrightarrow{QR}$ है।
साथ ही,$\overrightarrow{QM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{NL}$,$\overrightarrow{LN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{ML}$,$\overrightarrow{RN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{RP} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{PR} = -\overrightarrow{ML}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\overrightarrow{QM} + \overrightarrow{LN} + \overrightarrow{ML} + \overrightarrow{RN} - \overrightarrow{MN} - \overrightarrow{QL}$
$= \overrightarrow{NL} + \overrightarrow{ML} + \overrightarrow{ML} - \overrightarrow{ML} - \overrightarrow{MN} - \overrightarrow{QL}$
चूंकि $\overrightarrow{QL} = -\overrightarrow{LQ} = -\overrightarrow{MN}$,इसलिए व्यंजक का सरल रूप $\vec{0}$ है।

(B) एक समबाहु त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र,परिकेंद्र,केंद्रक और अंतःकेंद्र सभी एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं।
यह दिया गया है कि मूल बिंदु लंबकेंद्र है,इसलिए यह त्रिभुज का केंद्रक भी है।
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ शीर्षों वाले त्रिभुज का केंद्रक $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि केंद्रक मूल बिंदु है,हमारे पास है:
$\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \vec{0}$
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$
अतः,$\vec{a}+\vec{b} = -\vec{c}$.

(A) चतुर्भुज की ज्यामिति से,हमारे पास सदिश संबंध हैं:
$SQ = SP + PQ = (a-b) + a = 2a - b$
$SM = SQ + QM = (2a - b) + \frac{b}{2} = 2a - \frac{b}{2}$
$SM = \frac{1}{2}(4a - b)$
इसे $SM = m(4a - b)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $SX = \frac{4}{5}SM$,हम $SM$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करते हैं:
$SX = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2}(4a - b) = \frac{2}{5}(4a - b)$
इसे $SX = n(4a - b)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$m + n = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{5+4}{10} = \frac{9}{10}$.

(C) $\triangle PAC$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम द्वारा,$\vec{PA} + \vec{AC} = \vec{PC}$ ...$(i)$
$\triangle PBC$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम द्वारा,$\vec{PB} + \vec{BC} = \vec{PC}$ ...$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{AC} + \vec{BC} = 2\vec{PC}$
चूंकि $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\vec{AC} = -\vec{BC}$,या $\vec{AC} + \vec{BC} = 0$.
अतः,$\vec{PA} + \vec{PB} = 2\vec{PC}$.

(A) माना शीर्षों $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
माना $P, Q, R, S$ भुजाओं $AB, BC, CD, DA$ के मध्य बिंदु हैं।
तब $P = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$,$Q = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$,$R = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$,$S = \frac{\vec{d}+\vec{a}}{2}$ है।
$PR$ का मध्य बिंदु $\frac{P+R}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ है।
$SQ$ का मध्य बिंदु $\frac{S+Q}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ है।
चूंकि दोनों मध्य बिंदु समान हैं,अतः यह बिंदु $E$ है।
अतः $E$ का स्थिति सदिश $\vec{e} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ है।
इससे $4\vec{e} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}$ प्राप्त होता है।
किसी भी बिंदु $O$ के लिए,$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 4\vec{OE}$ प्राप्त होता है।
अतः $x = 4$।

(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \quad \dots(i)$
$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{AB} + \vec{AD} \quad \dots(ii)$
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\vec{AD} = \vec{BC}$.
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$\vec{AC} - \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) - (-\vec{AB} + \vec{AD})$
$\vec{AC} - \vec{BD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{AB} - \vec{BC}$
$\vec{AC} - \vec{BD} = 2\vec{AB}$

(C) त्रिभुज $ABC$ में,मान लीजिए शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
दिया गया है $\vec{u} = \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ और $\vec{v} = \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{d} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ है।
अतः,$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} - \vec{a} + \vec{c} - \vec{a}}{2} = \frac{\vec{u} + \vec{v}}{2}$।

(A) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
चूँकि $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है,इसका स्थिति सदिश $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ होता है।
इसका अर्थ है $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3\vec{g}$।
अब,सदिशों $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$ का योग है:
$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g})$
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{g}$
$= 3\vec{g} - 3\vec{g} = \vec{0}$.

(B) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{a} = 2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 5\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$,और $\vec{c} = -13\hat{i}-11\hat{j}+4\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिशों $\vec{AB}$,$\vec{BC}$,$\vec{AC}$,और $\vec{CB}$ की गणना करें:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -18\hat{i} - 12\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -15\hat{i} - 10\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{CB} = \vec{b} - \vec{c} = 18\hat{i} + 12\hat{j} - 6\hat{k}$.
अब,$\vec{AB} = \lambda \vec{BC}$ में $\lambda$ के लिए हल करें:
$3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} = \lambda (-18\hat{i} - 12\hat{j} + 6\hat{k}) = -6\lambda (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$.
अतः,$-6\lambda = 1$,जिससे $\lambda = -\frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
आगे,$\vec{AC} = \mu \vec{CB}$ में $\mu$ के लिए हल करें:
$-15\hat{i} - 10\hat{j} + 5\hat{k} = \mu (18\hat{i} + 12\hat{j} - 6\hat{k})$.
घटकों को विभाजित करने पर: $-15 = 18\mu \implies \mu = -\frac{15}{18} = -\frac{5}{6}$.
अंत में,$\lambda + \mu = -\frac{1}{6} + (-\frac{5}{6}) = -\frac{6}{6} = -1$.

(B) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ बिंदु $A$ और $B$ के स्थिति सदिश हैं।
अतः,$\overline{AB} = \bar{b} - \bar{a}$.
दिया है $\overline{AC} = 3 \overline{AB} = 3(\bar{b} - \bar{a})$.
चूंकि $\overline{AC} = \vec{c} - \vec{a}$,इसलिए $\vec{c} - \vec{a} = 3\bar{b} - 3\bar{a}$,जिसका अर्थ है $\vec{c} = 3\bar{b} - 2\bar{a}$.
दिया है $\overline{BD} = 2 \overline{BA} = 2(\bar{a} - \bar{b})$.
चूंकि $\overline{BD} = \vec{d} - \vec{b}$,इसलिए $\vec{d} - \vec{b} = 2\bar{a} - 2\bar{b}$,जिसका अर्थ है $\vec{d} = 2\bar{a} - \bar{b}$.
अब,$\overline{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (2\bar{a} - \bar{b}) - (3\bar{b} - 2\bar{a}) = 2\bar{a} - \bar{b} - 3\bar{b} + 2\bar{a} = 4\bar{a} - 4\bar{b}$.

(B) माना $\bar{u} = \bar{i} - 7\bar{j} + 2\bar{k}$ आंतरिक समद्विभाजक के अनुदिश सदिश है। इसका परिमाण $|\bar{u}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2 + 2^2} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$ है।
माना $\bar{b} = -2\bar{i} - \bar{j} + 2\bar{k}$ है। इसका परिमाण $|\bar{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = 3$ है।
$\bar{b}$ के अनुदिश इकाई सदिश $\hat{b} = \frac{-2\bar{i} - \bar{j} + 2\bar{k}}{3} = -\frac{2}{3}\bar{i} - \frac{1}{3}\bar{j} + \frac{2}{3}\bar{k}$ है।
माना $\hat{a} = x\bar{i} + y\bar{j} + z\bar{k}$ सदिश $\bar{a}$ के अनुदिश इकाई सदिश है।
आंतरिक समद्विभाजक $\hat{a} + \hat{b}$ के अनुदिश होता है। अतः,$\hat{a} + \hat{b} = k\bar{u}$ किसी अदिश $k > 0$ के लिए।
$\hat{a} = k(\bar{i} - 7\bar{j} + 2\bar{k}) - (-\frac{2}{3}\bar{i} - \frac{1}{3}\bar{j} + \frac{2}{3}\bar{k}) = (k + \frac{2}{3})\bar{i} + (-7k + \frac{1}{3})\bar{j} + (2k - \frac{2}{3})\bar{k}$ है।
चूंकि $|\hat{a}| = 1$,इसलिए $(k + \frac{2}{3})^2 + (-7k + \frac{1}{3})^2 + (2k - \frac{2}{3})^2 = 1$ है।
सरल करने पर $54k^2 - 6k = 0$ प्राप्त होता है,अतः $k = \frac{1}{9}$ ($k > 0$ के कारण)।
इसलिए $x = k + \frac{2}{3} = \frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{7}{9}$।

(A) दिए गए सदिश $\bar{a} = 2\bar{i} - 3\bar{j} + 5\bar{k}$ और $\bar{b} = -\bar{i} + 3\bar{j} + 3\bar{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $\bar{c} = \bar{a} - \bar{b}$ की गणना करें:
$\bar{c} = (2 - (-1))\bar{i} + (-3 - 3)\bar{j} + (5 - 3)\bar{k} = 3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}$.
अब,$\bar{c}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\bar{c}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$\bar{c}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{c} = \frac{\bar{c}}{|\bar{c}|} = \frac{3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}}{7}$ है।
$28$ इकाई परिमाण वाला अभीष्ट सदिश $28 \times \hat{c}$ है:
$28 \times \left( \frac{3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}}{7} \right) = 4(3\bar{i} - 6\bar{j} + 2\bar{k}) = 12\bar{i} - 24\bar{j} + 8\bar{k}$.

(B) मान लीजिए स्थिति सदिश $\vec{a} = \overline{i}-2 \overline{j}+\overline{k}$,$\vec{b} = \overline{i}+\overline{j}-2 \overline{k}$,$\vec{c} = 2 \overline{i}-\overline{j}-\overline{k}$,और $\vec{d} = \overline{i}+\overline{j}+\overline{k}$ हैं।
बिंदु $P$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है: $\vec{p} = \frac{2\vec{b} + 1\vec{a}}{2+1} = \frac{2(\overline{i}+\overline{j}-2 \overline{k}) + (\overline{i}-2 \overline{j}+\overline{k})}{3} = \frac{3\overline{i} - 3\overline{k}}{3} = \overline{i} - \overline{k}$.
बिंदु $Q$,$CD$ को $1:2$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है: $\vec{q} = \frac{1\vec{d} - 2\vec{c}}{1-2} = \frac{(\overline{i}+\overline{j}+\overline{k}) - 2(2 \overline{i}-\overline{j}-\overline{k})}{-1} = \frac{-3\overline{i} + 3\overline{j} + 3\overline{k}}{-1} = 3\overline{i} - 3\overline{j} - 3\overline{k}$.
मान लीजिए बिंदु $R$ जिसका स्थिति सदिश $\vec{r} = 5\overline{i}-6\overline{j}-5\overline{k}$ है,$PQ$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
तब $\vec{r} = \frac{k\vec{q} + 1\vec{p}}{k+1} \implies (k+1)(5\overline{i}-6\overline{j}-5\overline{k}) = k(3\overline{i}-3\overline{j}-3\overline{k}) + (\overline{i}-\overline{k})$.
घटकों की तुलना करने पर:
$x$-घटक: $5k+5 = 3k+1 \implies 2k = -4 \implies k = -2$.
अतः,अनुपात $-2:1$ है।

(A) एक सम षट्भुज $ABCDEF$ में,केंद्र $O$ इस प्रकार है कि $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}=\vec{b}$ और $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=\vec{a}$ है।
साथ ही,$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}$ और $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BA}=-\vec{a}$ है।
सदिश योग के बहुभुज नियम के अनुसार,एक बंद बहुभुज की भुजाओं के अनुदिश सदिशों का योग शून्य होता है:
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA} = 0$
चूंकि $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{FA}$,इसलिए हमारे पास है:
$\vec{a} + \vec{b} + \overrightarrow{CD} - \vec{a} + \overrightarrow{EF} - \overrightarrow{CD} = 0$
वैकल्पिक रूप से,एक सम षट्भुज के गुण का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow{FA} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BC} = \vec{a} - \vec{b}$ प्राप्त होता है।

(B) माना बिंदु $A(\alpha, 10, 13)$,$B(6, 11, 11)$ और $C(\frac{9}{2}, \beta, -8)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ आनुपातिक होने चाहिए।
$\vec{AB} = (6-\alpha)\hat{i} + (11-10)\hat{j} + (11-13)\hat{k} = (6-\alpha)\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = (\frac{9}{2}-6)\hat{i} + (\beta-11)\hat{j} + (-8-11)\hat{k} = -\frac{3}{2}\hat{i} + (\beta-11)\hat{j} - 19\hat{k}$.
संरेखता के लिए,$\frac{6-\alpha}{-3/2} = \frac{1}{\beta-11} = \frac{-2}{-19}$.
$\frac{1}{\beta-11} = \frac{2}{19}$ से,हमें $2(\beta-11) = 19 \Rightarrow 2\beta - 22 = 19 \Rightarrow 2\beta = 41 \Rightarrow 6\beta = 123$ प्राप्त होता है।
$\frac{6-\alpha}{-3/2} = \frac{2}{19}$ से,हमें $19(6-\alpha) = -3 \Rightarrow 114 - 19\alpha = -3 \Rightarrow 19\alpha = 117$ प्राप्त होता है।
अतः,$(19\alpha - 6\beta)^2 = (117 - 123)^2 = (-6)^2 = 36$।

(D) दिया गया है: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\alpha \vec{d}$ ....$(i)$
दिया गया है: $\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\beta \vec{a}$ ....(ii)
$(i)$ से,$\vec{b}+\vec{c}=\alpha \vec{d}-\vec{a}$.
इस मान को (ii) में रखने पर: $(\alpha \vec{d}-\vec{a})+\vec{d}=\beta \vec{a}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\alpha+1)\vec{d} = (\beta+1)\vec{a}$.
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,इसलिए समीकरण $(\alpha+1)\vec{d} = (\beta+1)\vec{a}$ तभी संभव है जब $\alpha+1=0$ और $\beta+1=0$ हो,अर्थात $\alpha=-1$ और $\beta=-1$.
$(i)$ में $\alpha=-1$ रखने पर: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = -\vec{d}$.
अतः,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = \vec{0}$.
इस प्रकार,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}| = |\vec{0}| = 0$.

(A) मान लीजिए $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ और $\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ क्रमशः $\vec{a}$ और $\vec{b}$ की दिशा में इकाई सदिश हैं।
अतः,$|\vec{b}| \vec{a} + |\vec{a}| \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \left( \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \right) = |\vec{a}| |\vec{b}| (\hat{a} + \hat{b})$.
चूंकि $\hat{a} + \hat{b}$ इकाई सदिशों $\hat{a}$ और $\hat{b}$ द्वारा निर्मित समचतुर्भुज का विकर्ण है,यह $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच के कोण का समद्विभाजक दर्शाता है।
इस प्रकार,$|\vec{b}| \vec{a} + |\vec{a}| \vec{b}$ एक सदिश है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के कोण समद्विभाजक के समानांतर है।

(B) हमें दिया गया है $|\vec{f}|=10, |\vec{g}|=14$ और $|\vec{f}-\vec{g}|=15$।
गुणधर्म $|\vec{f}-\vec{g}|^2 = |\vec{f}|^2 + |\vec{g}|^2 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$ का उपयोग करने पर:
$15^2 = 10^2 + 14^2 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$
$225 = 100 + 196 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$
$225 = 296 - 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$
$2(\vec{f} \cdot \vec{g}) = 296 - 225 = 71$।
अब,हमें $|\vec{f}+\vec{g}|$ ज्ञात करना है।
गुणधर्म $|\vec{f}+\vec{g}|^2 = |\vec{f}|^2 + |\vec{g}|^2 + 2(\vec{f} \cdot \vec{g})$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{f}+\vec{g}|^2 = 10^2 + 14^2 + 71$
$|\vec{f}+\vec{g}|^2 = 100 + 196 + 71 = 367$
अतः,$|\vec{f}+\vec{g}| = \sqrt{367}$।

(D) दिया गया है कि $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{3}$।
दिए गए समीकरण $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2+(\vec{b}+\vec{c}-\vec{a})^2+(\vec{c}+\vec{a}-\vec{b})^2=36$ का विस्तार करने पर:
$3(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 36$ प्राप्त होता है।
$|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2=3$ रखने पर:
$3(3+3+3) + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 36$।
$27 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 36 \Rightarrow 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 9$।
अब,$|2 \vec{a}-3 \vec{b}+2 \vec{c}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 12(\vec{b} \cdot \vec{c}) + 8(\vec{a} \cdot \vec{c})$ की गणना करने पर उत्तर $75$ प्राप्त होता है।

(D) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = -3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ हैं।
भुजाओं के लिए सदिशों की गणना:
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (3-(-2))\hat{j} + (1-3)\hat{k} = \hat{i} + 5\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (-3-2)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (-2-1)\hat{k} = -5\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (-3-1)\hat{i} + (-1-(-2))\hat{j} + (-2-3)\hat{k} = -4\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
परिमाण (Magnitude) की गणना:
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 25 + 4} = \sqrt{30}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 1 + 25} = \sqrt{42}$.
चूंकि सभी भुजाओं की लंबाई अलग-अलग है,इसलिए बिंदु एक विषमबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(D) माना शीर्षों $P, Q, R$ के स्थिति सदिश $\vec{p} = 4 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}$,$\vec{q} = 2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,और $\vec{r} = 3 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $PQ$ और $PR$ की लंबाई की गणना करें:
$PQ = |\vec{q} - \vec{p}| = |(2-4) \hat{i} + (2-3) \hat{j} + (3-6) \hat{k}| = |-2 \hat{i} - \hat{j} - 3 \hat{k}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$.
$PR = |\vec{r} - \vec{p}| = |(3-4) \hat{i} + (1-3) \hat{j} + (3-6) \hat{k}| = |-\hat{i} - 2 \hat{j} - 3 \hat{k}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$.
चूंकि $PQ = PR$,$\triangle PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज में,शीर्ष कोण $(P)$ का कोण समद्विभाजक आधार $(QR)$ पर माध्यिका भी होता है।
इसलिए,कोण $P$ के समद्विभाजक का $QR$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $A$,$QR$ का मध्य बिंदु है।
$A = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2} = \frac{(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k})}{2} = \frac{5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k}}{2} = \frac{5}{2} \hat{i} + \frac{3}{2} \hat{j} + 3 \hat{k}$.

(A) माना $\vec{r}$ बिंदु $C$ का स्थिति सदिश है।
चूंकि बिंदु $C$,$\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b} = 3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ स्थिति सदिश वाले बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n = 2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो विभाजन सूत्र के अनुसार:
$\vec{r} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} = \frac{2(3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}) + 3(2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k})}{2+3}$
$= \frac{(6 \hat{i}-2 \hat{j}-4 \hat{k}) + (6 \hat{i}-9 \hat{j}+6 \hat{k})}{5} = \frac{12 \hat{i}-11 \hat{j}+2 \hat{k}}{5} = \frac{12}{5} \hat{i}-\frac{11}{5} \hat{j}+\frac{2}{5} \hat{k}$.
अब,बिंदु $P$ जिसका स्थिति सदिश $\vec{p} = 2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ है,से $C$ की दूरी $|\vec{r} - \vec{p}|$ द्वारा दी जाती है।
$\vec{r} - \vec{p} = (\frac{12}{5}-2) \hat{i} + (-\frac{11}{5}+1) \hat{j} + (\frac{2}{5}-1) \hat{k} = \frac{2}{5} \hat{i} - \frac{6}{5} \hat{j} - \frac{3}{5} \hat{k}$.
दूरी $D = |\vec{r} - \vec{p}| = \sqrt{(\frac{2}{5})^2 + (-\frac{6}{5})^2 + (-\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{4}{25} + \frac{36}{25} + \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{7}{5}$.

(D) दिया गया है: $\vec{a}=(2x+y)\hat{i}+3\hat{j}+9\hat{k}$ और $\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}-(x-y)\hat{k}$.
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ संरेख सदिश हैं,इसलिए उनके घटक समानुपाती हैं:
$\frac{2x+y}{2} = \frac{3}{1} = \frac{9}{-(x-y)}$.
$\frac{2x+y}{2} = 3$ से,हमें $2x+y=6$ प्राप्त होता है $(i)$.
$\frac{3}{1} = \frac{9}{y-x}$ से,हमें $y-x=3$ या $y=x+3$ प्राप्त होता है $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x+(x+3)=6 \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1$.
तब $y=1+3=4$.
अंत में,$x^3+27y^3 = (1)^3 + 27(4)^3 = 1 + 27(64) = 1 + 1728 = 1729$.

(C) दिया गया है $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$।
सबसे पहले,सदिश $\vec{v} = 3 \vec{a}-2 \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{v} = 3(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})-2(\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}) = (6-2) \hat{i} + (3-6) \hat{j} + (-3+10) \hat{k} = 4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$।
चूंकि $\vec{r}$,$\vec{v}$ सदिश की दिशा में है,हम लिख सकते हैं $\vec{r} = x \vec{v} = x(4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k})$ किसी अदिश $x$ के लिए।
दिया गया है $|\vec{r}| = \sqrt{74}$,इसलिए $|x| \sqrt{4^2+(-3)^2+7^2} = \sqrt{74}$।
$|x| \sqrt{16+9+49} = \sqrt{74} \Rightarrow |x| \sqrt{74} = \sqrt{74} \Rightarrow |x| = 1$।
चूंकि $\vec{r}$ की दिशा $\vec{v}$ की दिशा के विपरीत है,इसलिए हमें $x = -1$ लेना होगा।
अतः,$\vec{r} = -1(4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}) = -4 \hat{i}+3 \hat{j}-7 \hat{k}$।

(B) माना शीर्ष $C$ का स्थिति सदिश $\vec{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
दिया है,केंद्रक $G = \hat{i} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$।
हम जानते हैं कि $G = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$,जहाँ $\vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{B} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
अतः,$3(1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}) + (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k})$।
$3\hat{i} = (4+x)\hat{i} + (5+y)\hat{j} + (-3+z)\hat{k}$।
गुणांकों की तुलना करने पर: $4+x = 3 \Rightarrow x = -1$; $5+y = 0 \Rightarrow y = -5$; $-3+z = 0 \Rightarrow z = 3$।
इस प्रकार,$\vec{C} = -\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$।
अब,$AG^2 = |\vec{G} - \vec{A}|^2 = |(1-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (0-1)\hat{k}|^2 = |-1\hat{i} - 1\hat{j} - 1\hat{k}|^2 = 1+1+1 = 3$।
$BG^2 = |\vec{G} - \vec{B}|^2 = |(1-2)\hat{i} + (0-4)\hat{j} + (0+4)\hat{k}|^2 = |-1\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}|^2 = 1+16+16 = 33$।
$CG^2 = |\vec{G} - \vec{C}|^2 = |(1+1)\hat{i} + (0+5)\hat{j} + (0-3)\hat{k}|^2 = |2\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}|^2 = 4+25+9 = 38$।
अतः,$AG^2 + BG^2 + CG^2 = 3 + 33 + 38 = 74$।

(C) दिया गया है,$\vec{a}=-2 \hat{i}+9 \hat{j}-6 \hat{k}$ और $\vec{b}=t \hat{i}-2 \hat{j}+6 \hat{k}$.
सबसे पहले,सदिशों का योग ज्ञात करें: $\vec{a}+\vec{b} = (-2+t) \hat{i} + (9-2) \hat{j} + (-6+6) \hat{k} = (t-2) \hat{i} + 7 \hat{j} + 0 \hat{k}$.
दिया गया है कि $|\vec{a}+\vec{b}|=25$,इसलिए $\sqrt{(t-2)^2 + 7^2 + 0^2} = 25$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(t-2)^2 + 49 = 625$.
$(t-2)^2 = 625 - 49 = 576$.
वर्गमूल लेने पर,$t-2 = \pm 24$.
स्थिति $1$: $t-2 = 24 \Rightarrow t = 26$.
स्थिति $2$: $t-2 = -24 \Rightarrow t = -22$.
$t$ के मानों का योग $26 + (-22) = 4$ है।

(D) दिए गए स्थिति सदिश $\overrightarrow{OA} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\overrightarrow{OB} = \hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$,और $\overrightarrow{OC} = -3\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिशों की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{53}$.
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = -4\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + (-1)^2} = \sqrt{66}$.
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = 5\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{59}$.
चूंकि $|\overrightarrow{AB}| \neq |\overrightarrow{BC}| \neq |\overrightarrow{CA}|$,तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग है।
इसलिए,$\triangle ABC$ एक विषमबाहु त्रिभुज है।

(B) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{OA} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{OB} = \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (1-2)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (2-(-1))\hat{k} = -\hat{i} - 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$ ज्ञात करते हैं।
इसके बाद,हम सदिश $\overrightarrow{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = (2-1)\hat{i} + (3-(-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + 4 \hat{j} - 3 \hat{k}$ ज्ञात करते हैं।
$\overrightarrow{BA}$ का परिमाण $|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}$ है।
$\overrightarrow{BA}$ के अनुदिश और $\overrightarrow{AB}$ की दिशा में इकाई सदिश को $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{BA}|}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,अभीष्ट इकाई सदिश $\frac{-\hat{i} - 4 \hat{j} + 3 \hat{k}}{\sqrt{26}}$ है।

(A) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{a} = -3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $\vec{b} = 4 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k}$ हैं।
चूंकि $L$,$OA$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,$L$ का स्थिति सदिश $\vec{OL} = \frac{2}{5} \vec{a} = \frac{2}{5}(-3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})$ है।
चूंकि $M$,$OB$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,$M$ का स्थिति सदिश $\vec{OM} = \frac{3}{5} \vec{b} = \frac{3}{5}(4 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k})$ है।
चूंकि $LP \parallel OB$ और $PM \parallel OA$,इसलिए $OMPL$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$P$ का स्थिति सदिश $\vec{OP} = \vec{OL} + \vec{OM}$ है।
$\vec{OP} = \frac{2}{5}(-3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}) + \frac{3}{5}(4 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k})$
$\vec{OP} = \frac{1}{5}(-6 \hat{i}-6 \hat{j}+8 \hat{k} + 12 \hat{i}-12 \hat{j}-9 \hat{k})$
$\vec{OP} = \frac{1}{5}(6 \hat{i}-18 \hat{j}-\hat{k})$.
$O$ से $P$ की दूरी $|\vec{OP}| = \frac{1}{5} \sqrt{6^2 + (-18)^2 + (-1)^2} = \frac{1}{5} \sqrt{36 + 324 + 1} = \frac{\sqrt{361}}{5} = \frac{19}{5}$ है।

(D) दिए गए सदिश $\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{b}=-5 \hat{i}+7 \hat{j}$,और $\vec{c}=3 \hat{i}+y \hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,$\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{a}-\vec{b}+\vec{c} = (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}) - (-5 \hat{i}+7 \hat{j}) + (3 \hat{i}+y \hat{j})$
$= (3+5+3) \hat{i} + (1-7+y) \hat{j} - 2 \hat{k}$
$= 11 \hat{i} + (y-6) \hat{j} - 2 \hat{k}$.
अब,परिमाण $|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{11^2 + (y-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{121 + (y-6)^2 + 4} = \sqrt{125 + (y-6)^2}$ ज्ञात करें।
दिया गया है कि $|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{141}$,इसलिए:
$\sqrt{125 + (y-6)^2} = \sqrt{141}$
$125 + (y-6)^2 = 141$
$(y-6)^2 = 141 - 125 = 16$
$y-6 = \pm 4$.
अतः,$y_1 = 6+4 = 10$ और $y_2 = 6-4 = 2$.
$|y_1-y_2| = |10-2| = 8$ होगा।

(B) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$।
सबसे पहले,$\vec{a}-\vec{b} = (1-2)\hat{i} + (2-(-3))\hat{j} + (-3-(-5))\hat{k} = -\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ की गणना करें।
इसका परिमाण $|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{1+25+4} = \sqrt{30}$ है।
परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$ है।
परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4+9+25} = \sqrt{38}$ है।
अब,विकल्पों की जाँच करें। विकल्प $B$ के लिए,$|\vec{b}|-|\vec{a}| = \sqrt{38} - \sqrt{14} \approx 6.16 - 3.74 = 2.42$ है।
चूँकि $|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{30} \approx 5.47$ है,इसलिए $5.47 > 2.42$ है।
अतः,$|\vec{a}-\vec{b}| > |\vec{b}|-|\vec{a}|$ सही है।

(A) दिए गए स्थिति सदिश $\overrightarrow{OA} = \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ और $\overrightarrow{OB} = \hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा पर किसी भी बिंदु $C$ को $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + t(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}) - (\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) = 3\hat{j} - 4\hat{k}$.
अतः,$\overrightarrow{OC} = (\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) + t(3\hat{j}-4\hat{k}) = \hat{i} + (3t-1)\hat{j} + (2-4t)\hat{k}$.
दिया गया है कि $BC = 10$,इसलिए $|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}| = 10$.
$\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (\hat{i} + (3t-1)\hat{j} + (2-4t)\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}) = (3t-3)\hat{j} + (4-4t)\hat{k}$.
$|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}|^2 = (3t-3)^2 + (4-4t)^2 = 10^2 = 100$.
$9(t-1)^2 + 16(1-t)^2 = 100 \Rightarrow 25(t-1)^2 = 100 \Rightarrow (t-1)^2 = 4$.
$t-1 = \pm 2$,इसलिए $t = 3$ या $t = -1$.
$t=3$ के लिए,$\overrightarrow{OC} = \hat{i} + (3(3)-1)\hat{j} + (2-4(3))\hat{k} = \hat{i} + 8\hat{j} - 10\hat{k}$.

(D) दिया गया है कि $\vec{a} = t \vec{b}$ जहाँ $t < 0$ एक अदिश है।
चूँकि $t$ ऋणात्मक है,सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ विपरीत दिशाओं में होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि वे विपरीत सदिश (unlike vectors) हैं।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर: $|\vec{a}| = |t \vec{b}| = |t| |\vec{b}|$.
चूँकि $t < 0$ है,$|t|$ कोई भी धनात्मक वास्तविक संख्या हो सकती है।
यदि $|t| > 1$ है,तो $|\vec{a}| > |\vec{b}|$।
यदि $|t| = 1$ है,तो $|\vec{a}| = |\vec{b}|$।
यदि $0 < |t| < 1$ है,तो $|\vec{a}| < |\vec{b}|$।
अतः,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ विपरीत सदिश हैं,और उनके परिमाणों के बीच का संबंध $|t|$ के मान पर निर्भर करता है,जो या तो $|\vec{a}| \geq |\vec{b}|$ या $|\vec{a}| < |\vec{b}|$ हो सकता है।

(C) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के कोण समद्विभाजक के अनुदिश सदिश $\vec{c} = \lambda \left( \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $\vec{a} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 5 \hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}$.
दिया है $\vec{b} = 3 \hat{i} + 7 \hat{j} - \hat{k}$,इसलिए $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 7^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$.
मान लीजिए $x = \frac{1}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{30}}$ और $y = \frac{1}{|\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{59}}$.
तब $\vec{c} = \lambda (x \vec{a} + y \vec{b}) = \lambda (x(2 \hat{i} - \hat{j} + 5 \hat{k}) + y(3 \hat{i} + 7 \hat{j} - \hat{k}))$.
घटकों को समूहित करने पर,हमें $\vec{c} = \lambda ((2x + 3y) \hat{i} + (7y - x) \hat{j} + (5x - y) \hat{k})$ प्राप्त होता है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ समद्विभाजक के अनुदिश सदिश को दर्शाता है।

(A) मान लीजिए शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं। सेक्शन फॉर्मूला का उपयोग करके,$D, E, F$ के स्थिति सदिश हैं:
$\vec{d} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{5}$,$\vec{e} = \frac{2\vec{c} + 1\vec{a}}{3}$,$\vec{f} = \frac{1\vec{a} + 3\vec{b}}{4}$.
$AD$ पर किसी भी बिंदु $P$ को $\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{d} = (1-t)\vec{a} + \frac{3t}{5}\vec{b} + \frac{2t}{5}\vec{c}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $P$,$BE$ पर भी स्थित है,$\vec{p} = (1-m)\vec{b} + m\vec{e} = \frac{m}{3}\vec{a} + (1-m)\vec{b} + \frac{2m}{3}\vec{c}$.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1-t = \frac{m}{3}$,$\frac{3t}{5} = 1-m$,$\frac{2t}{5} = \frac{2m}{3}$.
$\frac{2t}{5} = \frac{2m}{3}$ से,हमें $3t = 5m$ मिलता है,इसलिए $m = \frac{3t}{5}$.
$1-t = \frac{m}{3}$ में प्रतिस्थापित करने पर,$1-t = \frac{t}{5}$ मिलता है,इसलिए $t = \frac{5}{6}$.
तब $m = \frac{1}{2}$.
$\vec{p}$ के व्यंजक में $t = \frac{5}{6}$ रखने पर:
$\vec{p} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$.
अब,$\overrightarrow{AP} = \vec{p} - \vec{a} = \frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a}) + \frac{1}{3}(\vec{c}-\vec{a}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
इस प्रकार,$x_1 = \frac{1}{2}$ और $y_1 = \frac{1}{3}$.
अतः,$x_1 + y_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$.

(C) दिया गया है कि $P$ और $Q$ वक्र $y = 2^{x+2}$ पर स्थित हैं।
बिंदु $P$ के लिए,$\overline{OP} \cdot \hat{i} = -1$,जिसका अर्थ है कि $P$ का $x$-निर्देशांक $x_P = -1$ है।
वक्र के समीकरण में $x_P = -1$ रखने पर: $y_P = 2^{-1+2} = 2^1 = 2$.
अतः,$P = (-1, 2)$ और $\overline{OP} = -\hat{i} + 2\hat{j}$.
बिंदु $Q$ के लिए,$\overline{OQ} \cdot \hat{i} = 2$,जिसका अर्थ है कि $Q$ का $x$-निर्देशांक $x_Q = 2$ है।
वक्र के समीकरण में $x_Q = 2$ रखने पर: $y_Q = 2^{2+2} = 2^4 = 16$.
अतः,$Q = (2, 16)$ और $\overline{OQ} = 2\hat{i} + 16\hat{j}$.
अब,$\overline{OQ} - 4\overline{OP}$ की गणना करें:
$\overline{OQ} - 4\overline{OP} = (2\hat{i} + 16\hat{j}) - 4(-\hat{i} + 2\hat{j})$
$= 2\hat{i} + 16\hat{j} + 4\hat{i} - 8\hat{j}$
$= (2+4)\hat{i} + (16-8)\hat{j}$
$= 6\hat{i} + 8\hat{j}$.

(B) दिया गया समीकरण: $a+3 b+4 c=x(a-2 b+3 c)+y(a+5 b-2 c)+z(6 a+14 b+4 c)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $a+3 b+4 c=a(x+y+6 z)+b(-2 x+5 y+14 z)+c(3 x-2 y+4 z)$.
चूंकि $a, b, c$ असमतलीय सदिश हैं,इसलिए दोनों पक्षों के गुणांक समान होने चाहिए।
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$x+y+6 z=1$ ...$(i)$
$-2 x+5 y+14 z=3$ ...(ii)
$3 x-2 y+4 z=4$ ...(iii)
इन समीकरणों को हल करने पर:
$(i)$ से,$x = 1 - y - 6z$.
(ii) में मान रखने पर: $-2(1-y-6z) + 5y + 14z = 3 \implies -2 + 2y + 12z + 5y + 14z = 3 \implies 7y + 26z = 5$ ...(iv).
(iii) में मान रखने पर: $3(1-y-6z) - 2y + 4z = 4 \implies 3 - 3y - 18z - 2y + 4z = 4 \implies -5y - 14z = 1$ ...$(v)$.
(iv) और $(v)$ को हल करने पर: (iv) को $5$ से और $(v)$ को $7$ से गुणा करने पर: $35y + 130z = 25$ और $-35y - 98z = 7$.
जोड़ने पर: $32z = 32 \implies z = 1$.
$(v)$ में $z=1$ रखने पर: $-5y - 14(1) = 1 \implies -5y = 15 \implies y = -3$.
$(i)$ में $y=-3, z=1$ रखने पर: $x - 3 + 6(1) = 1 \implies x + 3 = 1 \implies x = -2$.
अतः,$x+y+z = -2 - 3 + 1 = -4$.

(D) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ संरेख होते हैं यदि किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\vec{a} = \lambda \vec{b}$ हो।
दिया गया है $\vec{a} = p\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + q\hat{j} - 3\hat{k}$।
घटकों की तुलना करने पर:
$p = \lambda(1) \implies p = \lambda$
$-2 = \lambda(q) \implies -2 = \lambda q$
$5 = \lambda(-3) \implies \lambda = -\frac{5}{3}$
$\lambda = -\frac{5}{3}$ का मान अन्य समीकरणों में रखने पर:
$p = -\frac{5}{3}$
$-2 = (-\frac{5}{3})q \implies q = -2 \times (-\frac{3}{5}) = \frac{6}{5}$
अतः,$p = -\frac{5}{3}$ और $q = \frac{6}{5}$।

(B) दिया गया है कि सदिश $a$ और $b$ संरेख हैं,इसलिए हम लिख सकते हैं $b = \lambda a$,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $|b| = |\lambda| |a|$।
सबसे पहले,सदिश $a$ का मापांक ज्ञात करते हैं:
$|a| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$।
दिया गया है कि $|b| = 21$,इसलिए मानों को समीकरण में रखने पर:
$21 = |\lambda| \times 7$।
$|\lambda| = \frac{21}{7} = 3$।
अतः,$\lambda = \pm 3$।
अब $\lambda$ का मान $b$ के समीकरण में रखने पर:
$b = \pm 3(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}) = \pm(6\hat{i} + 9\hat{j} + 18\hat{k})$।

(A) प्रतिबंध $|a + b| = |a| + |b|$ तभी सत्य होता है जब सदिश $a$ और $b$ एक ही दिशा में हों,जिसका अर्थ है कि वे संरेख हैं और उनकी दिशा समान है।
इसका तात्पर्य यह है कि किसी अदिश $k > 0$ के लिए $a = k b$ है।
दिए गए $a = \hat{i} + x \hat{j} + \hat{k}$ और $b = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के लिए,हम घटकों की तुलना करते हैं:
$\frac{1}{1} = \frac{x}{1} = \frac{1}{1}$.
इससे हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $k = 1 > 0$ है,इसलिए $x = 1$ के लिए यह शर्त संतुष्ट होती है।

(C) दिए गए समीकरण $x a + y b + z c = 0$ में सदिशों का मान रखने पर:
$x(\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + y(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) + z(8 \hat{i} + 13 \hat{j} + 9 \hat{k}) = 0$
$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ के गुणांकों को शून्य के बराबर रखने पर:
$x + 2y + 8z = 0$ $(i)$
$2x + 3y + 13z = 0$ $(ii)$
$3x + y + 9z = 0$ $(iii)$
$(i) \times 2 - (ii)$ करने पर: $(2x + 4y + 16z) - (2x + 3y + 13z) = 0 \Rightarrow y + 3z = 0 \Rightarrow y = -3z$.
$y = -3z$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$x + 2(-3z) + 8z = 0 \Rightarrow x - 6z + 8z = 0 \Rightarrow x + 2z = 0 \Rightarrow x = -2z$.
अब,$\frac{xy}{z^2}$ का मान ज्ञात करने पर:
$\frac{xy}{z^2} = \frac{(-2z)(-3z)}{z^2} = \frac{6z^2}{z^2} = 6$.

(A) मान लीजिए कि सदिश $a$ और $b$ एक समांतर चतुर्भुज $OADC$ की भुजाओं $\vec{OA}$ और $\vec{OD}$ द्वारा दर्शाए गए हैं। विकर्ण $\vec{OC} = a+b$,$a$ और $b$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है। मान लीजिए कि $a$ और $b$ के बीच का कोण $2\theta$ है। तो $a$ और $a+b$ के बीच का कोण $\theta$ है।
समांतर चतुर्भुज $OADC$ में,$OA = |a|$ और $OD = AC = |b|$ है।
$C$ से $OA$ की विस्तारित रेखा $OB$ पर एक लंब खींचकर बने त्रिभुज $\triangle ABC$ पर विचार करें।
$\triangle ABC$ में,$AB = |b| \cos 2\theta$ और $BC = |b| \sin 2\theta$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OBC$ में,$\tan \theta = \frac{BC}{OB} = \frac{|b| \sin 2\theta}{|a| + |b| \cos 2\theta}$ है।
द्वि-कोण सूत्रों $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ और $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta = \frac{|b| \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)}{|a| + |b| \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)}$
$\tan \theta = \frac{2|b| \tan \theta}{|a|(1 + \tan^2 \theta) + |b|(1 - \tan^2 \theta)}$
चूंकि $a$ और $b$ असंरेख हैं,$\theta \neq 0$,इसलिए $\tan \theta \neq 0$ है। $\tan \theta$ से विभाजित करने पर:
$1 = \frac{2|b|}{|a| + |a| \tan^2 \theta + |b| - |b| \tan^2 \theta}$
$|a| + |a| \tan^2 \theta + |b| - |b| \tan^2 \theta = 2|b|$
$|a|(1 + \tan^2 \theta) - |b|(1 + \tan^2 \theta) = 0$
$(|a| - |b|)(1 + \tan^2 \theta) = 0$
चूंकि $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \neq 0$,इसलिए $|a| - |b| = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $|a| = |b|$।

(D) दिया है,$\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OD}=\vec{d}$।
चूंकि $OA \parallel CB$ और $\frac{OA}{CB}=2$,इसलिए $\vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$।
चूंकि $OD \parallel AB$ और $\frac{OD}{AB}=\frac{1}{3}$,इसलिए $\vec{AB} = 3\vec{OD} = 3\vec{d}$।
अब,हम आवश्यक योग को सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{d}$ के रूप में व्यक्त करते हैं:
$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \vec{d} - \vec{a}$।
$\vec{OC} = \vec{OD} + \vec{DC}$।
पंचभुज की ज्यामिति से,$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + 3\vec{d} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{d}$।
साथ ही,$\vec{DC} = \vec{OC} - \vec{OD} = (\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{d}) - \vec{d} = \frac{1}{2}\vec{a} + 2\vec{d}$।
इनका योग करने पर: $\vec{AD} + \vec{OC} + \vec{DC} = (\vec{d} - \vec{a}) + (\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{d}) + (\frac{1}{2}\vec{a} + 2\vec{d})$।
$= (-\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a}) + (\vec{d} + 3\vec{d} + 2\vec{d}) = 0\vec{a} + 6\vec{d} = 6\vec{d}$।

(A) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में $D, E$ और $F$ क्रमशः $AB, AC$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
माना शीर्षों $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ हैं।
अतः,मध्य-बिंदुओं के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$\overrightarrow{D} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
$\overrightarrow{E} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$
$\overrightarrow{F} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
अब,हम सदिशों $\overrightarrow{BE}$ और $\overrightarrow{AF}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{B} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$
$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{A} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$
इन दोनों सदिशों को जोड़ने पर:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$
$= \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
चूंकि $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{DC}$

(D) एक सदिश $\vec{r} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुका होता है यदि इसके दिक्-कोज्या (direction cosines) समान हों,अर्थात $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$।
इसका अर्थ है कि दिक्-अनुपात (direction ratios) का परिमाण समान होना चाहिए,अर्थात $|a| = |b| = |c|$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $D$ के लिए,$\vec{v} = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$।
दिक्-अनुपात $a=4, b=4, c=4$ हैं।
परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ है।
दिक्-कोज्या $\left(\frac{4}{4\sqrt{3}}, \frac{4}{4\sqrt{3}}, \frac{4}{4\sqrt{3}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ हैं।
चूंकि सभी दिक्-कोज्या समान हैं,इसलिए सदिश $4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुका हुआ है।