Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Hindi

(A) बिंदु $P$ और $Q$ जिनके स्थिति सदिश $\vec{p}$ और $\vec{q}$ हैं,को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु $R$ का स्थिति सदिश विभाजन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{OR} = \frac{m\vec{q} + n\vec{p}}{m + n}$.
यहाँ $\vec{p} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$,$\vec{q} = \vec{a} + \vec{b}$,$m = 2$ और $n = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\overrightarrow{OR} = \frac{2(\vec{a} + \vec{b}) + 1(3\vec{a} - 2\vec{b})}{2 + 1}$
$\overrightarrow{OR} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{a} - 2\vec{b}}{3}$
$\overrightarrow{OR} = \frac{5\vec{a}}{3}$.

(A) बिंदुओं $P$ और $Q$ जिनके स्थिति सदिश $\vec{p}$ और $\vec{q}$ हैं,को जोड़ने वाली रेखा को $m:n$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करने वाले बिंदु $R$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{OR} = \frac{m\vec{q} - n\vec{p}}{m - n}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{p} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$,$\vec{q} = \vec{a} + \vec{b}$,$m = 2$ और $n = 1$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\overrightarrow{OR} = \frac{2(\vec{a} + \vec{b}) - 1(3\vec{a} - 2\vec{b})}{2 - 1}$
$\overrightarrow{OR} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{a} + 2\vec{b}}{1}$
$\overrightarrow{OR} = (2\vec{a} - 3\vec{a}) + (2\vec{b} + 2\vec{b})$
$\overrightarrow{OR} = 4\vec{b} - \vec{a}$.

(N/A) एक सदिश $\vec{v} = p\hat{i} + q\hat{j} + r\hat{k}$ का परिमाण सूत्र $|\vec{v}| = \sqrt{p^2 + q^2 + r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के लिए:
$|\vec{a}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}$ के लिए:
$|\vec{b}| = \sqrt{(2)^2 + (-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 49 + 9} = \sqrt{62}$.
सदिश $\vec{c} = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} - \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}$ के लिए:
$|\vec{c}| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = \sqrt{1} = 1$.

मान लीजिए $\vec{a} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ और $\vec{b} = (2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k})$ हैं।
यह देखा जा सकता है कि $\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ है।
इसी प्रकार,$\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$ है।
अतः,$|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{14}$ है और चूंकि उनके घटक भिन्न हैं,इसलिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समान परिमाण वाले दो अलग-अलग सदिश हैं।

(N/A) माना $\vec{p} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ और $\vec{q} = (2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$ है।
$\vec{p}$ की दिक्-कोसाइन (direction cosines) इस प्रकार हैं:
$l = \frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$m = \frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$n = \frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\vec{q}$ की दिक्-कोसाइन इस प्रकार हैं:
$l = \frac{2}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$m = \frac{2}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$n = \frac{2}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $\vec{p}$ और $\vec{q}$ की दिक्-कोसाइन समान हैं,इसलिए दोनों सदिशों की दिशा समान है।

(A) दो सदिश समान होते हैं यदि और केवल यदि उनके संगत घटक समान हों।
दिए गए सदिश $2 \hat{i} + 3 \hat{j}$ और $x \hat{i} + y \hat{j}$ हैं।
$\hat{i}$ और $\hat{j}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 2$
$y = 3$
अतः,अभीष्ट मान $x = 2$ और $y = 3$ हैं।

(A) प्रारंभिक बिंदु $P(2,1)$ और अंतिम बिंदु $Q(-5,7)$ वाले सदिश को $\overrightarrow{PQ}$ द्वारा दिया जा सकता है।
$\overrightarrow{PQ} = (x_2 - x_1) \hat{i} + (y_2 - y_1) \hat{j}$
$P$ और $Q$ के निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:
$\overrightarrow{PQ} = (-5 - 2) \hat{i} + (7 - 1) \hat{j}$
$\overrightarrow{PQ} = -7 \hat{i} + 6 \hat{j}$
अतः,अदिश घटक $-7$ और $6$ हैं।
सदिश घटक $-7 \hat{i}$ और $6 \hat{j}$ हैं।

(A) दिए गए सदिश $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=-2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-6 \hat{j}-7 \hat{k}$ हैं।
सदिशों का योग $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (\vec{a}_x + \vec{b}_x + \vec{c}_x)\hat{i} + (\vec{a}_y + \vec{b}_y + \vec{c}_y)\hat{j} + (\vec{a}_z + \vec{b}_z + \vec{c}_z)\hat{k}$ द्वारा दिया जाता है।
घटकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (1 - 2 + 1)\hat{i} + (-2 + 4 - 6)\hat{j} + (1 + 5 - 7)\hat{k}$.
गुणांकों की गणना करने पर:
$x$-घटक: $1 - 2 + 1 = 0$.
$y$-घटक: $-2 + 4 - 6 = -4$.
$z$-घटक: $1 + 5 - 7 = -1$.
अतः,योग $0\hat{i} - 4\hat{j} - 1\hat{k} = -4\hat{j} - \hat{k}$ है।

(A) सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a}$ को $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
सबसे पहले,सदिश $\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
अब,सदिश $\vec{a}$ को उसके परिमाण से विभाजित करें:
$\hat{a} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{j} + \frac{2}{\sqrt{6}}\hat{k}$.

(A) दिए गए बिंदु $P(1, 2, 3)$ और $Q(4, 5, 6)$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{PQ} = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}.$
$\overrightarrow{PQ}$ का परिमाण $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}.$
$\overrightarrow{PQ}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|}$ है।
$\hat{u} = \frac{3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{3\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{3}{3\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{3}{3\sqrt{3}}\hat{k} = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}.$

(A) दिए गए सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,योग $\vec{a} + \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} + \vec{b} = (2 - 1)\hat{i} + (-1 + 1)\hat{j} + (2 - 1)\hat{k} = \hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k} = \hat{i} + \hat{k}$.
अब,परिणामी सदिश $\vec{a} + \vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
$\vec{a} + \vec{b}$ की दिशा में इकाई सदिश $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है:
$\frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}$.

(A) माना $\vec{a} = 5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}$ है।
$\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{30}}$ है।
$\vec{a}$ की दिशा में $8$ इकाई परिमाण वाला सदिश $8\hat{a} = 8 \left( \frac{5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{30}} \right)$ है।
अतः,अभीष्ट सदिश $\frac{40}{\sqrt{30}}\hat{i} - \frac{8}{\sqrt{30}}\hat{j} + \frac{16}{\sqrt{30}}\hat{k}$ है।

(N/A) माना कि $\vec{a} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ और $\vec{b} = -4 \hat{i} + 6 \hat{j} - 8 \hat{k}$ है।
हम देखते हैं कि $\vec{b} = -4 \hat{i} + 6 \hat{j} - 8 \hat{k}$ है।
$-2$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\vec{b} = -2(2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k})$।
इसे $\vec{b} = -2 \vec{a}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि $\vec{b} = \lambda \vec{a}$,जहाँ $\lambda = -2$ है,अतः दोनों सदिश एक-दूसरे के अदिश गुणज हैं।
इसलिए,दिए गए सदिश संरेख हैं।

(A) माना सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ की दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ का मान $\left(\frac{a}{|\vec{a}|}, \frac{b}{|\vec{a}|}, \frac{c}{|\vec{a}|}\right)$ होता है।
मान रखने पर,हमें दिक्-कोसाइन $\left(\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}\right)$ प्राप्त होते हैं।

(A) माना $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
सदिश $\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}$ है।
सदिश $\vec{a}$ की दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ के घटकों द्वारा दी जाती है।
अतः,$l = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$m = \frac{1}{\sqrt{3}}$,और $n = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
माना $\alpha, \beta,$ और $\gamma$ वे कोण हैं जो सदिश $\vec{a}$ क्रमशः $OX, OY,$ और $OZ$ अक्षों की धनात्मक दिशाओं के साथ बनाता है।
तब,$\cos \alpha = l = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\cos \beta = m = \frac{1}{\sqrt{3}}$,और $\cos \gamma = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूँकि $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma$ है।
अतः,सदिश $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ अक्षों $OX, OY,$ और $OZ$ के साथ समान झुकाव पर है।

(A) दो बिंदुओं $P$ और $Q$ जिनके स्थिति सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं,को $m:n$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु $R$ का स्थिति सदिश ज्ञात करने का सूत्र: $\vec{r} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n}$ है।
यहाँ,$\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$m = 2$,और $n = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\vec{r} = \frac{2(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + 1(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})}{2+1}$
$\vec{r} = \frac{(-2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})}{3}$
$\vec{r} = \frac{(-2+1)\hat{i} + (2+2)\hat{j} + (2-1)\hat{k}}{3}$
$\vec{r} = \frac{-\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}}{3} = -\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k}$.

(A) दो बिंदुओं $P$ और $Q$ जिनके स्थिति सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं,को जोड़ने वाली रेखा को $m: n$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करने वाले बिंदु $R$ का स्थिति सदिश $\vec{r} = \frac{m \vec{b} - n \vec{a}}{m - n}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिए गए स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं और अनुपात $m: n = 2: 1$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\vec{r} = \frac{2(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 1(\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k})}{2 - 1}$
$= \frac{-2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k} - \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}}{1}$
$= -3 \hat{i} + 3 \hat{k}$.

(A) बिंदुओं $P(2, 3, 4)$ और $Q(4, 1, -2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु $R$ का स्थिति सदिश मध्य-बिंदु सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है: $\overrightarrow{OR} = \frac{\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ}}{2}$।
यहाँ $\overrightarrow{OP} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\overrightarrow{OQ} = 4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\overrightarrow{OR} = \frac{(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) + (4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})}{2}$
घटकों को समूहित करने पर:
$\overrightarrow{OR} = \frac{(2 + 4)\hat{i} + (3 + 1)\hat{j} + (4 - 2)\hat{k}}{2}$
$\overrightarrow{OR} = \frac{6\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}}{2}$
$\overrightarrow{OR} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$।

(B) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,त्रिभुज $ABC$ में,हमारे पास है:
$\overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BC } = \overrightarrow{ AC }$
अब प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करते हैं:
$(A) \overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BC } + \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{ AC } + \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{ AC } - \overrightarrow{ AC } = \overrightarrow{0}$। यह सत्य है।
$(B) \overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BC } - \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{ AC } - \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{ AC } + \overrightarrow{ AC } = 2\overrightarrow{ AC } \neq \overrightarrow{0}$। यह सत्य नहीं है।
$(C) \overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BC } - \overrightarrow{ AC } = \overrightarrow{ AC } - \overrightarrow{ AC } = \overrightarrow{0}$। यह सत्य है।
$(D) \overrightarrow{ AB } - \overrightarrow{ CB } + \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BC } + \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{ AC } + \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{0}$। यह सत्य है।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह $(B)$ है।

(C) यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो संरेख सदिश हैं,तो वे एक ही रेखा के समानांतर होते हैं।
$1$. परिभाषा के अनुसार,किसी अदिश $\lambda \neq 0$ के लिए $\vec{b}=\lambda \vec{a}$ होता है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$2$. यदि $\lambda = \pm 1$ है,तो $\vec{a} = \pm \vec{b}$ होता है। यह संरेखता की एक विशिष्ट स्थिति है,इसलिए विकल्प $B$ एक संभावित गुण है।
$3$. यदि $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ और $\vec{b} = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ है,तो $\vec{b} = \lambda \vec{a}$ का अर्थ है $b_1 = \lambda a_1, b_2 = \lambda a_2, b_3 = \lambda a_3$। इसका मतलब है कि $\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = \frac{b_3}{a_3} = \lambda$। अतः,घटक आनुपातिक होते हैं। विकल्प $C$ कहता है कि वे आनुपातिक नहीं हैं,जो गलत है।
$4$. संरेख सदिश समान या विपरीत दिशा में हो सकते हैं। विकल्प $D$ दावा करता है कि उनकी दिशा समान ही होनी चाहिए,जो हमेशा सत्य नहीं है।

(A) हम जानते हैं कि $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$.
अदिश गुणन का विस्तार करने पर:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$.
गुणधर्मों $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$,$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$,और $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.
दिए गए मान $|\vec{a}| = 2$,$|\vec{b}| = 3$,और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ रखने पर:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (2)^2 - 2(4) + (3)^2$.
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4 - 8 + 9$.
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 5$.
अतः,$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5}$.

(N/A) यदि $\vec{a}=\vec{0}$ या $\vec{b}=\vec{0}$ हो,तो यह असमिका स्वतः ही सत्य है। अतः,मान लीजिए कि $|\vec{a}| \neq 0$ और $|\vec{b}| \neq 0.$ तब,
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$
$= \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$
$= |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$ (चूंकि अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय है)
$\leq |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a} \cdot \vec{b}| + |\vec{b}|^2$ (चूंकि प्रत्येक $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x \leq |x|$)
$\leq |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$ (कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के अनुसार,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}||\vec{b}|$)
$= (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$

(N/A) मान लीजिए कि बिंदुओं $A$,$B$ और $C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,और $\vec{c} = 7\hat{i} - \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ की गणना करते हैं:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (1 - (-2))\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} + (3 - 5)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (7 - 1)\hat{i} + (0 - 2)\hat{j} + (-1 - 3)\hat{k} = 6\hat{i} - 2\hat{j} - 4\hat{k}$
यहाँ ध्यान दें कि $\vec{BC} = 2(3\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) = 2\vec{AB}$ है।
चूँकि $\vec{BC}$,$\vec{AB}$ का एक अदिश गुणज है और वे एक उभयनिष्ठ बिंदु $B$ साझा करते हैं,इसलिए सदिश समांतर हैं और बिंदु $A$,$B$ और $C$ संरेख हैं।

माना $\vec{a}=\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})=\frac{2}{7} \hat{i}+\frac{3}{7} \hat{j}+\frac{6}{7} \hat{k}$
$\vec{b}=\frac{1}{7}(3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k})=\frac{3}{7} \hat{i}-\frac{6}{7} \hat{j}+\frac{2}{7} \hat{k}$
$\vec{c}=\frac{1}{7}(6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=\frac{6}{7} \hat{i}+\frac{2}{7} \hat{j}-\frac{3}{7} \hat{k}$
$|\vec{a}|=\sqrt{(\frac{2}{7})^{2}+(\frac{3}{7})^{2}+(\frac{6}{7})^{2}}=\sqrt{\frac{4}{49}+\frac{9}{49}+\frac{36}{49}}=\sqrt{\frac{49}{49}}=1$
$|\vec{b}|=\sqrt{(\frac{3}{7})^{2}+(-\frac{6}{7})^{2}+(\frac{2}{7})^{2}}=\sqrt{\frac{9}{49}+\frac{36}{49}+\frac{4}{49}}=\sqrt{\frac{49}{49}}=1$
$|\vec{c}|=\sqrt{(\frac{6}{7})^{2}+(\frac{2}{7})^{2}+(-\frac{3}{7})^{2}}=\sqrt{\frac{36}{49}+\frac{4}{49}+\frac{9}{49}}=\sqrt{\frac{49}{49}}=1$
अतः,दिए गए तीनों सदिश मात्रक सदिश हैं।
$\vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{2}{7} \times \frac{3}{7}+\frac{3}{7} \times(-\frac{6}{7})+\frac{6}{7} \times \frac{2}{7}=\frac{6}{49}-\frac{18}{49}+\frac{12}{49}=0$
$\vec{b} \cdot \vec{c}=\frac{3}{7} \times \frac{6}{7}+(-\frac{6}{7}) \times \frac{2}{7}+\frac{2}{7} \times(-\frac{3}{7})=\frac{18}{49}-\frac{12}{49}-\frac{6}{49}=0$
$\vec{c} \cdot \vec{a}=\frac{6}{7} \times \frac{2}{7}+\frac{2}{7} \times \frac{3}{7}+(-\frac{3}{7}) \times \frac{6}{7}=\frac{12}{49}+\frac{6}{49}-\frac{18}{49}=0$
चूंकि प्रत्येक युग्म का अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए दिए गए तीनों सदिश परस्पर एक-दूसरे के लंबवत हैं।

(C) दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{a}=0$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$.
अदिश गुणन के गुणधर्म से,$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{a} = 0$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 0$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{a}| = 0$.
अतः,$\vec{a}$ एक शून्य सदिश है $(\vec{a} = \vec{0})$.
अब,दूसरी शर्त $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ पर विचार करें। चूंकि $\vec{a} = \vec{0}$,समीकरण $\vec{0} \cdot \vec{b} = 0$ बन जाता है।
यह समीकरण अंतरिक्ष में किसी भी सदिश $\vec{b}$ के लिए सत्य है।
इस प्रकार,$\vec{b}$ कोई भी सदिश हो सकता है।

(B) एक सदिश $\lambda \vec{a}$ इकाई सदिश होता है यदि उसका परिमाण $1$ के बराबर हो,अर्थात $|\lambda \vec{a}| = 1$।
सदिश के मापांक के गुण $|k \vec{v}| = |k| |\vec{v}|$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$|\lambda| |\vec{a}| = 1$
यह दिया गया है कि $\vec{a}$ का परिमाण $a$ है,इसलिए $|\vec{a}| = a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|\lambda| a = 1$
$a$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = \frac{1}{|\lambda|}$
अतः,$\lambda \vec{a}$ एक इकाई सदिश है यदि $a = \frac{1}{|\lambda|}$ हो।
सही उत्तर $B$ है।

(A) माना इकाई सदिश $\vec{a} = a_{1}\hat{i} + a_{2}\hat{j} + a_{3}\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{a}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\vec{a}| = 1$.
$\vec{a}$ की दिक्-कोज्याएं $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ हैं,जहां $\alpha = \frac{\pi}{3}, \beta = \frac{\pi}{4}$,और $\gamma = \theta$.
अतः,$a_{1} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,$a_{2} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,और $a_{3} = \cos \theta$.
हम जानते हैं कि $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$.
मान रखने पर: $\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + \cos^{2} \theta = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^{2} \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^{2} \theta = 1 \Rightarrow \cos^{2} \theta = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\theta$ न्यून कोण है,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{3}$.
अतः,$\vec{a}$ के घटक $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$ हैं।

(A) दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ है। इसका अर्थ है कि या तो $|\vec{a}| = 0$ या $|\vec{b}| = 0$,या $\vec{a} \perp \vec{b}$ (यदि दोनों अशून्य सदिश हैं)।
दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ है। इसका अर्थ है कि या तो $|\vec{a}| = 0$ या $|\vec{b}| = 0$,या $\vec{a} \parallel \vec{b}$ (यदि दोनों अशून्य सदिश हैं)।
चूंकि दो अशून्य सदिश एक साथ लंबवत और समानांतर नहीं हो सकते हैं,इसलिए एकमात्र संभावना यह है कि कम से कम एक सदिश शून्य सदिश होना चाहिए।
अतः,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि या तो $\vec{a} = \vec{0}$ या $\vec{b} = \vec{0}$ है।

(N/A) माना $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j}$ $XY$-समतल में एक इकाई सदिश है।
चूंकि $\vec{r}$ एक इकाई सदिश है,इसका परिमाण $|\vec{r}| = 1$ है,जिसका अर्थ है $\sqrt{x^2 + y^2} = 1$,या $x^2 + y^2 = 1$।
हम $XY$-समतल में इकाई वृत्त पर किसी भी बिंदु को प्राचल $\theta$ का उपयोग करके निरूपित कर सकते हैं,जहाँ $\theta \in [0, 2\pi)$ है।
अतः,हम $x = \cos \theta$ और $y = \sin \theta$ ले सकते हैं।
इन मानों को $\vec{r}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$
जहाँ $\theta$ वह कोण है जो सदिश धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाता है।
जैसे-जैसे $\theta$,$0$ से $2\pi$ तक बदलता है,यह व्यंजक $XY$-समतल में सभी संभावित इकाई सदिशों को उत्पन्न करता है।

(A) $XY$-समतल में $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $\theta$ कोण बनाने वाला इकाई सदिश $\vec{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है।
$\theta$ का मान रखने पर:
$\vec{r} = \cos 30^{\circ} \hat{i} + \sin 30^{\circ} \hat{j}$
चूँकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\vec{r} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}$.

बिंदुओं $P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ और $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ को जोड़ने वाला सदिश विस्थापन सदिश $\overrightarrow{PQ}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\overrightarrow{PQ} = Q \text{ का स्थिति सदिश} - P \text{ का स्थिति सदिश}$
$= (x_{2} - x_{1})\hat{i} + (y_{2} - y_{1})\hat{j} + (z_{2} - z_{1})\hat{k}$
सदिश $\overrightarrow{PQ}$ के अदिश घटक $(x_{2} - x_{1})$,$(y_{2} - y_{1})$ और $(z_{2} - z_{1})$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{PQ}$ का परिमाण $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।

(A) मान लीजिए $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है जो लड़की की प्रारंभिक स्थिति को दर्शाता है।
लड़की पश्चिम की ओर $4 \, km$ चलती है। अतः,बिंदु $A$ की स्थिति $(-4, 0)$ है,जिसे $\overrightarrow{OA} = -4 \hat{i}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
बिंदु $A$ से,वह उत्तर से $30^{\circ}$ पूर्व की दिशा में $3 \, km$ चलती है। इसका अर्थ है कि धनात्मक $y$-अक्ष (उत्तर) के साथ कोण पूर्व की ओर $30^{\circ}$ है। धनात्मक $x$-अक्ष (पूर्व) के साथ कोण $90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
विस्थापन सदिश $\overrightarrow{AB}$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\overrightarrow{AB} = 3(\cos 60^{\circ} \hat{i} + \sin 60^{\circ} \hat{j})$
$= 3(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j}) = \frac{3}{2} \hat{i} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j}$.
कुल विस्थापन $\overrightarrow{OB}$ सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}$
$= -4 \hat{i} + (\frac{3}{2} \hat{i} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j})$
$= (-4 + \frac{3}{2}) \hat{i} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j}$
$= \frac{-8+3}{2} \hat{i} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j}$
$= \frac{-5}{2} \hat{i} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j}$.
अतः,उसके प्रारंभिक बिंदु से लड़की का विस्थापन $\frac{-5}{2} \hat{i} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \hat{j}$ है।

(N/A) $\Delta ABC$ में,मान लीजिए $\overrightarrow{CB}=\vec{a}, \overrightarrow{CA}=\vec{b},$ और $\overrightarrow{AB}=\vec{c}$ (जैसा कि आकृति में दिखाया गया है)।
अब,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,हमारे पास $\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$ है।
यह स्पष्ट है कि $|\vec{a}|, |\vec{b}|,$ और $|\vec{c}|$ त्रिभुज $\Delta ABC$ की भुजाओं की लंबाई को दर्शाते हैं।
साथ ही,यह एक ज्ञात ज्यामितीय गुण है कि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होता है।
इसलिए,$|\vec{a}| < |\vec{b}| + |\vec{c}|.$
अतः,यह सत्य नहीं है कि $|\vec{a}| = |\vec{b}| + |\vec{c}|.$

(C) एक सदिश $\vec{v} = x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ इकाई सदिश होता है यदि इसका परिमाण $1$ हो,अर्थात $|\vec{v}| = 1$।
सदिश का परिमाण $|x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})| = |x| \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = |x| \sqrt{3}$ है।
परिमाण को $1$ के बराबर रखने पर,$|x| \sqrt{3} = 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $|x| = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(A) दिए गए सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ हैं।
माना $\vec{c}$ परिणामी सदिश है,इसलिए $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$.
$\vec{c} = (2+1) \hat{i} + (3-2) \hat{j} + (-1+1) \hat{k} = 3 \hat{i} + \hat{j}$.
$\vec{c}$ का परिमाण $|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ है।
$\vec{c}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{3 \hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{10}}$ है।
$\vec{c}$ के समांतर $5$ इकाई परिमाण वाला सदिश $\pm 5 \hat{c}$ द्वारा दिया जाता है।
$\pm 5 \left( \frac{3 \hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{10}} \right) = \pm \frac{5}{\sqrt{10}} (3 \hat{i} + \hat{j}) = \pm \frac{5 \sqrt{10}}{10} (3 \hat{i} + \hat{j}) = \pm \frac{\sqrt{10}}{2} (3 \hat{i} + \hat{j}) = \pm \frac{3 \sqrt{10}}{2} \hat{i} \pm \frac{\sqrt{10}}{2} \hat{j}$.

(A) दिए गए सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ हैं।
माना $\vec{v} = 2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}.$
मान रखने पर,$\vec{v} = 2(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-(2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k})+3(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}).$
विस्तार करने पर,$\vec{v} = (2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}) - (2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}) + (3\hat{i}-6\hat{j}+3\hat{k}).$
घटकों को समूहित करने पर,$\vec{v} = (2-2+3)\hat{i} + (2+1-6)\hat{j} + (2-3+3)\hat{k} = 3\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}.$
$\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+2^{2}} = \sqrt{9+9+4} = \sqrt{22}.$
$\vec{v}$ के समांतर मात्रक सदिश $\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{3\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}}{\sqrt{22}} = \frac{3}{\sqrt{22}}\hat{i} - \frac{3}{\sqrt{22}}\hat{j} + \frac{2}{\sqrt{22}}\hat{k}$ है।

(N/A) दिए गए स्थिति सदिश $\overrightarrow{OP} = 2\vec{a} + \vec{b}$ और $\overrightarrow{OQ} = \vec{a} - 3\vec{b}$ हैं।
बिंदु $R$,रेखाखंड $PQ$ को $1:2$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है। विभाजन सूत्र के अनुसार,$\overrightarrow{OR} = \frac{m\overrightarrow{OQ} - n\overrightarrow{OP}}{m-n}$ होता है।
मान रखने पर:
$\overrightarrow{OR} = \frac{1(\vec{a} - 3\vec{b}) - 2(2\vec{a} + \vec{b})}{1 - 2}$
$= \frac{\vec{a} - 3\vec{b} - 4\vec{a} - 2\vec{b}}{-1}$
$= \frac{-3\vec{a} - 5\vec{b}}{-1} = 3\vec{a} + 5\vec{b}$.
यह दर्शाने के लिए कि $P$,$RQ$ का मध्य-बिंदु है,हम $RQ$ का मध्य-बिंदु ज्ञात करते हैं:
मध्य-बिंदु $= \frac{\overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OQ}}{2} = \frac{(3\vec{a} + 5\vec{b}) + (\vec{a} - 3\vec{b})}{2}$
$= \frac{4\vec{a} + 2\vec{b}}{2} = 2\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{OP}$.
चूंकि $RQ$ का मध्य-बिंदु $P$ है,अतः $P$,रेखाखंड $RQ$ का मध्य-बिंदु है।

(A) मान लीजिए $\vec{c}$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का योगफल है।
$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) + (-\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k})$
$\vec{c} = (2-1) \hat{i} + (-1+1) \hat{j} + (2+3) \hat{k} = \hat{i} + 0 \hat{j} + 5 \hat{k} = \hat{i} + 5 \hat{k}$
अब,$\vec{c}$ का परिमाण ज्ञात कीजिए:
$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$
$\vec{c}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\hat{c} = \frac{\hat{i} + 5 \hat{k}}{\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} \hat{i} + \frac{5}{\sqrt{26}} \hat{k}$.

(A) प्रारंभिक बिंदु $P(1,3,2)$ और अंतिम बिंदु $Q(-1,0,8)$ वाला सदिश $\overrightarrow{PQ} = (-1-1)\hat{i} + (0-3)\hat{j} + (8-2)\hat{k} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
$\overrightarrow{PQ}$ की विपरीत दिशा $\overrightarrow{QP}$ की दिशा है।
$\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$।
$\overrightarrow{QP}$ का परिमाण $|\overrightarrow{QP}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
$\overrightarrow{QP}$ की दिशा में इकाई सदिश $\widehat{QP} = \frac{\overrightarrow{QP}}{|\overrightarrow{QP}|} = \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}}{7}$ है।
अतः,$\overrightarrow{QP}$ की दिशा में $11$ परिमाण वाला आवश्यक सदिश $11 \times \widehat{QP} = 11 \left( \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}}{7} \right) = \frac{22}{7}\hat{i} + \frac{33}{7}\hat{j} - \frac{66}{7}\hat{k}$ है।

(A) $(i)$ $P$ और $Q$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1:2$ के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु $R$ का स्थिति सदिश विभाजन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{OR} = \frac{m\overrightarrow{OQ} + n\overrightarrow{OP}}{m+n}$.
मान रखने पर: $\overrightarrow{OR} = \frac{1(\vec{a} - 2\vec{b}) + 2(2\vec{a} + \vec{b})}{1+2} = \frac{\vec{a} - 2\vec{b} + 4\vec{a} + 2\vec{b}}{3} = \frac{5\vec{a}}{3}$.
(ii) $P$ और $Q$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1:2$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु $R$ का स्थिति सदिश विभाजन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{OR} = \frac{m\overrightarrow{OQ} - n\overrightarrow{OP}}{m-n}$.
मान रखने पर: $\overrightarrow{OR} = \frac{1(\vec{a} - 2\vec{b}) - 2(2\vec{a} + \vec{b})}{1-2} = \frac{\vec{a} - 2\vec{b} - 4\vec{a} - 2\vec{b}}{-1} = \frac{-3\vec{a} - 4\vec{b}}{-1} = 3\vec{a} + 4\vec{b}$.

(A) मान लीजिए $\vec{c}$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का योग है।
$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{j} + \hat{k})$
$\vec{c} = 2\hat{i} + (2 - 1)\hat{j} + (1 + 1)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{c}$ का परिमाण $|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
$\vec{c}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}$ है।
$\hat{c} = \frac{2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}(2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$.

दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}.$
$(i)$ $6 \vec{b} = 6(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) = 12 \hat{i}+6 \hat{j}+12 \hat{k}.$
परिमाण $|6 \vec{b}| = \sqrt{12^2+6^2+12^2} = \sqrt{144+36+144} = \sqrt{324} = 18.$
इकाई सदिश = $\frac{6 \vec{b}}{|6 \vec{b}|} = \frac{12 \hat{i}+6 \hat{j}+12 \hat{k}}{18} = \frac{2}{3} \hat{i} + \frac{1}{3} \hat{j} + \frac{2}{3} \hat{k}.$
(ii) $2 \vec{a}-\vec{b} = 2(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) - (2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+4 \hat{k}) - (2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) = 0 \hat{i} + 1 \hat{j} + 2 \hat{k} = \hat{j} + 2 \hat{k}.$
परिमाण $|2 \vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{0^2+1^2+2^2} = \sqrt{5}.$
इकाई सदिश = $\frac{2 \vec{a}-\vec{b}}{|2 \vec{a}-\vec{b}|} = \frac{\hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \hat{j} + \frac{2}{\sqrt{5}} \hat{k}.$

(A) दिया गया है कि $P$ और $Q$ के निर्देशांक क्रमशः $(5, 0, 8)$ और $(3, 3, 2)$ हैं।
$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}$
$= (3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) - (5\hat{i} + 0\hat{j} + 8\hat{k})$
$= (3-5)\hat{i} + (3-0)\hat{j} + (2-8)\hat{k} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$
$\overrightarrow{PQ}$ का परिमाण $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
$\overrightarrow{PQ}$ की दिशा में मात्रक सदिश $\hat{PQ} = \frac{\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PQ}|} = \frac{-2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}}{7} = -\frac{2}{7}\hat{i} + \frac{3}{7}\hat{j} - \frac{6}{7}\hat{k}$ है।

(N/A) दिया गया है कि $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ और $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ है।
हम जानते हैं कि $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \vec{a} - \vec{b}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,बिंदु $C$ रेखा $BA$ पर इस प्रकार स्थित है कि $\overrightarrow{BC} = 1.5 \overrightarrow{BA}$ है।
इसलिए,$\overrightarrow{BC} = 1.5(\vec{a} - \vec{b})$ होगा।
चूंकि $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}$ होता है,इसलिए:
$\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = 1.5\vec{a} - 1.5\vec{b}$ होगा।
$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{OC} = 1.5\vec{a} - 1.5\vec{b} + \vec{b}$।
$\overrightarrow{OC} = 1.5\vec{a} - 0.5\vec{b}$।
इसे $\overrightarrow{OC} = \frac{3\vec{a} - \vec{b}}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) माना बिंदु $A(k,-10,3), B(1,-1,3)$ और $C(3,5,3)$ हैं।
बिंदुओं $A, B, C$ के संरेख होने के लिए,सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{BC}$ समांतर होने चाहिए,अर्थात किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{BC}$ होना चाहिए।
$\overrightarrow{AB} = (1-k)\hat{i} + (-1 - (-10))\hat{j} + (3-3)\hat{k} = (1-k)\hat{i} + 9\hat{j} + 0\hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = (3-1)\hat{i} + (5 - (-1))\hat{j} + (3-3)\hat{k} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 0\hat{k}$.
चूंकि $\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{BC}$,इसलिए:
$(1-k)\hat{i} + 9\hat{j} = \lambda(2\hat{i} + 6\hat{j})$.
घटकों की तुलना करने पर:
$1-k = 2\lambda$ --- $(1)$
$9 = 6\lambda$ --- $(2)$
$(2)$ से,$\lambda = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
$\lambda = \frac{3}{2}$ को $(1)$ में रखने पर:
$1-k = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.
$1-k = 3 \implies k = 1-3 = -2$.
अतः,$k$ का मान $-2$ है।

दिया गया है कि सदिश का परिमाण $|\vec{r}| = 2 \sqrt{3}$ है।
चूंकि $\vec{r}$ तीनों अक्षों के साथ समान कोण पर झुका हुआ है,इसलिए इसके दिक्-कोसाइन $l, m, n$ समान हैं,अर्थात $l = m = n$ है।
हम जानते हैं कि दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
$l = m = n$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3l^2 = 1$ है।
अतः,$l^2 = \frac{1}{3}$,इसलिए $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
चूंकि $l = m = n$ है,इकाई सदिश $\hat{r} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{i} \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{j} \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{r} = |\vec{r}| \hat{r}$ है,इसलिए $\vec{r} = 2 \sqrt{3} \left( \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{i} \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{j} \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{k} \right)$ होगा।
अतः,$\vec{r} = \pm 2 \hat{i} \pm 2 \hat{j} \pm 2 \hat{k} = \pm 2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।

(A) माना दिक अनुपात $a=2k, b=3k, c=-6k$ हैं,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
सदिश का परिमाण $|\vec{r}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 14$ दिया गया है।
$\sqrt{(2k)^2 + (3k)^2 + (-6k)^2} = 14$
$\sqrt{4k^2 + 9k^2 + 36k^2} = 14$
$\sqrt{49k^2} = 14$
$7|k| = 14 \Rightarrow |k| = 2$.
चूंकि $\vec{r}$,$x$-अक्ष के साथ न्यून कोण बनाता है,इसलिए दिक कोसाइन $l = \frac{a}{|\vec{r}|} = \frac{2k}{14} = \frac{k}{7}$ धनात्मक होना चाहिए। अतः,$k=2$.
दिक कोसाइन $l = \frac{2(2)}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$,$m = \frac{3(2)}{14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$,और $n = \frac{-6(2)}{14} = \frac{-12}{14} = -\frac{6}{7}$ हैं।
$\vec{r}$ के घटक $a = 2(2) = 4$,$b = 3(2) = 6$,और $c = -6(2) = -12$ हैं।
अतः,$\vec{r} = 4\hat{i} + 6\hat{j} - 12\hat{k}$।

(A) प्रारंभिक सदिश $\vec{v} = \sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ है। इसका परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$ है।
धनात्मक $x$-अक्ष के साथ प्रारंभिक सदिश का कोण $\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^{\circ}$ है।
इस सदिश को $45^{\circ}$ वामावर्त दिशा में घुमाने पर नया कोण $\theta' = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$ प्राप्त होता है।
नया सदिश $\vec{v}' = |\vec{v}|(\cos 75^{\circ} \hat{i} + \sin 75^{\circ} \hat{j}) = 2(\cos 75^{\circ} \hat{i} + \sin 75^{\circ} \hat{j})$ है।
अतः,$\alpha = 2 \cos 75^{\circ}$ और $\beta = 2 \sin 75^{\circ}$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $(\alpha, \beta), (0, \beta)$ और $(0,0)$ हैं। यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार $\alpha$ और ऊँचाई $\beta$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \alpha \beta = \frac{1}{2} (2 \cos 75^{\circ}) (2 \sin 75^{\circ}) = 2 \sin 75^{\circ} \cos 75^{\circ} = \sin(2 \times 75^{\circ}) = \sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

(D) चूंकि $\overrightarrow{a}_{1}$ और $\overrightarrow{a}_{2}$ संरेख हैं,इसलिए उनके घटक आनुपातिक होने चाहिए:
$\frac{x}{1} = \frac{-1}{y} = \frac{1}{z} = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
इससे हमें $x = k$,$y = -\frac{1}{k}$,और $z = \frac{1}{k}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सदिश $x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ में रखने पर,हमें $k \hat{i} - \frac{1}{k} \hat{j} + \frac{1}{k} \hat{k}$ प्राप्त होता है।
सदिशों के संरेख होने के लिए अनुपात समान रहना चाहिए। यदि हम सबसे सरल स्थिति $k=1$ लें,तो $x=1, y=-1, z=1$ प्राप्त होता है।
सदिश $\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ बन जाता है।
इस सदिश का परिमाण $\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
अतः,इकाई सदिश $\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ है।

(A) बिंदु $A, B, C$ संरेख होते हैं यदि सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ समांतर हों।
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} + (\alpha-4)\hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 2\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$.
संरेखता के लिए,घटकों का अनुपात समान होना चाहिए: $\frac{1}{2} = \frac{\alpha-4}{-6} = \frac{1}{2}$.
$\frac{\alpha-4}{-6} = \frac{1}{2}$ को हल करने पर $\alpha-4 = -3$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha = 1$.
चूंकि बिंदु $\alpha \neq 1$ के लिए असंरेख हैं,इसलिए सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $\alpha$ जिसके लिए वे असंरेख हैं,वह $\alpha = 2$ है।
अब,$BC$ का मध्य-बिंदु $M$ ज्ञात करें: $M = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{5}{2}\hat{i} + 0\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}$.
माध्यिका $AM$ की लंबाई $\vec{M} - \vec{A}$ का परिमाण है: $\vec{M} - \vec{A} = \frac{3}{2}\hat{i} - 4\hat{j} + \frac{3}{2}\hat{k}$.
$AM = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-4)^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 16 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4} + 16} = \sqrt{4.5 + 16} = \sqrt{20.5} = \frac{\sqrt{82}}{2}$.