Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Hindi

(C) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{A} = \hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,और $\vec{C} = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ हैं।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{D} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})}{2} = \frac{4 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}}{2} = 2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ है।
चूंकि $E$,$AC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{(\hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})}{2} = \frac{4 \hat{i}+6 \hat{j}+4 \hat{k}}{2} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ है।
अब,$\overrightarrow{DE} = \vec{E} - \vec{D} = (2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) - (2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) = \hat{j}$।

(B) हम जानते हैं कि $|u-v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
साथ ही,$(||u|-|v||)^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v|$.
समानता $|u-v| = ||u|-|v||$ के सत्य होने के लिए,उनके वर्ग बराबर होने चाहिए:
$|u|^2 + |v|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v|$.
यह सरल होकर $\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v|$ हो जाता है।
चूंकि $\vec{u} \cdot \vec{v} = |u||v| \cos \theta$,इसलिए $|u||v| \cos \theta = |u||v|$.
इसका अर्थ है $\cos \theta = 1$,जिसका अर्थ है $\theta = 0$.
अतः,$u$ और $v$ को एक ही दिशा में होना चाहिए।

(A) दिया गया है कि $\vec{OA}=\vec{a}$ और $\vec{OB}=\vec{b}$ है।
चूंकि $B$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए हमारे पास $\vec{OB} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{OC}}{2}$
$2\vec{b} = \vec{a} + \vec{OC}$
$\vec{OC} = 2\vec{b} - \vec{a}$.

(D) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,हमारे पास है:
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
इसी प्रकार,षट्भुज की दूसरी भुजा के लिए:
$\vec{FE} + \vec{ED} = \vec{FD}$
एक नियमित षट्भुज $ABCDEF$ में,विकर्ण $\vec{AC}$ विकर्ण $\vec{FD}$ के समांतर होता है।
इसलिए,सदिश $\vec{AB} + \vec{BC}$,$\vec{FE} + \vec{ED}$ के समांतर है।

(D) केंद्र $O$ वाले एक सम षट्भुज $ABCDEF$ में,सदिश $\vec{AO}$ केंद्र $O$ से शीर्ष $A$ तक के निर्देशित रेखाखंड को दर्शाता है।
सम षट्भुज के गुणों के अनुसार,सदिश $\vec{AO}$ सदिश $\vec{ED}$ और $\vec{BC}$ के बराबर होता है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,$\vec{BC}$ स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध नहीं है,लेकिन हम दिए गए सदिशों का विश्लेषण कर सकते हैं।
ध्यान दें कि $\vec{AO} = \vec{ED} = \vec{BC}$।
अतः,सदिश $\vec{AO}$,$\vec{ED}$ के बराबर है।

(B) मान लीजिए सदिश $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ हैं। हमें $\vec{R} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ का परिमाण ज्ञात करना है।
मान लीजिए $\vec{OB}$ $y$-अक्ष के अनुदिश है,अतः $\vec{OB} = R\hat{j}$.
तब $\vec{OA} = R(\cos 45^{\circ} \hat{i} + \sin 45^{\circ} \hat{j}) = R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})$.
और $\vec{OC} = R(\cos 45^{\circ} \hat{i} - \sin 45^{\circ} \hat{j}) = R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})$.
इन सदिशों का योग करने पर:
$\vec{R} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}) + R\hat{j} + R(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})$
$\vec{R} = R(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})\hat{i} + R(\frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}})\hat{j}$
$\vec{R} = R(\frac{2}{\sqrt{2}})\hat{i} + R\hat{j} = \sqrt{2}R\hat{i} + R\hat{j}$.
$\vec{OA}$ और $\vec{OC}$ का परिणामी सदिश $2R \cos(45^{\circ}) \hat{j} = \sqrt{2}R \hat{j}$ है।
इसमें $\vec{OB} = R \hat{j}$ जोड़ने पर,कुल परिणामी सदिश $(\sqrt{2} + 1)R \hat{j}$ प्राप्त होता है।
अतः,इसका परिमाण $(\sqrt{2} + 1)R$ है।

(D) मान लीजिए कि चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $A = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$B = 2\hat{i}+3\hat{j}$,$C = 5\hat{j}-2\hat{k}$,और $D = -\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
हम भुजाओं को दर्शाने वाले सदिशों की गणना करते हैं:
$\vec{AB} = B - A = (2\hat{i}+3\hat{j}) - (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$.
$\vec{BC} = C - B = (5\hat{j}-2\hat{k}) - (2\hat{i}+3\hat{j}) = -2\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$.
$\vec{CD} = D - C = (-\hat{j}+\hat{k}) - (5\hat{j}-2\hat{k}) = -6\hat{j}+3\hat{k}$.
$\vec{DA} = A - D = (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - (-\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$.
चूंकि भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश एक-दूसरे के समांतर नहीं हैं (अर्थात,$\vec{AB} \neq k\vec{CD}$ और $\vec{BC} \neq k\vec{DA}$),इसलिए यह आकृति समांतर चतुर्भुज या समलंब चतुर्भुज की शर्तों को पूरा नहीं करती है।
अतः,इन चार बिंदुओं द्वारा निर्मित आकृति एक सामान्य चतुर्भुज है।

(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,हमारे पास $\vec{AB} = \vec{DC}$ और $\vec{AD} = \vec{BC}$ है।
चूंकि $L$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\vec{BL} = \frac{1}{2} \vec{BC}$ है।
$\triangle ABL$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर:
$\vec{AL} = \vec{AB} + \vec{BL}$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{AL} = \vec{DC} + \frac{1}{2} \vec{BC}$
चूंकि समांतर चतुर्भुज में $\vec{BC} = \vec{AD}$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\vec{AL} = \vec{DC} + \frac{1}{2} \vec{AD}$

(C) दो सदिश $\vec{a} = a_1 \hat{i} + b_1 \hat{j} + c_1 \hat{k}$ और $\vec{b} = a_2 \hat{i} + b_2 \hat{j} + c_2 \hat{k}$ संरेख होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात किसी स्थिरांक $k$ के लिए $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$ हो।
दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} + m \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + m \hat{j} + 2 \hat{k}$ हैं।
इनके संरेख होने के लिए,$\frac{1}{1} = \frac{2}{m} = \frac{m}{2}$ होना चाहिए।
$\frac{1}{1} = \frac{2}{m}$ से,हमें $m = 2$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{1} = \frac{m}{2}$ से,हमें $m = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों शर्तें समान मान $m = 2$ देती हैं,इसलिए $m$ का केवल $1$ ऐसा मान है जिसके लिए सदिश संरेख हैं।

(A) दिया गया है कि $ABCDEF$ एक नियमित षट्भुज है जिसमें $\vec{AB} = \vec{a}$ और $\vec{BC} = \vec{b}$ है।
एक नियमित षट्भुज में,विपरीत भुजाएँ समानांतर और परिमाण में समान होती हैं। अतः,$\vec{ED} = \vec{AB} = \vec{a}$ और $\vec{FE} = \vec{BC} = \vec{b}$ है।
साथ ही,मुख्य विकर्ण $\vec{AD}$,$\vec{BC}$ के समानांतर है और इसका परिमाण $\vec{BC}$ का दोगुना है। इसलिए,$\vec{AD} = 2\vec{BC} = 2\vec{b}$ है।
$\triangle ABC$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$।
अब,$\triangle ACD$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार:
$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$
ज्ञात मान रखने पर:
$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{CD} = 2\vec{b}$
$\vec{CD} = 2\vec{b} - (\vec{a} + \vec{b})$
$\vec{CD} = 2\vec{b} - \vec{a} - \vec{b}$
$\vec{CD} = \vec{b} - \vec{a}$

(D) मान लीजिए कि नियमित षट्कोण $ABCDEF$ का केंद्र मूल बिंदु $O$ है।
प्रत्येक सदिश को मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष शीर्षों के स्थिति सदिशों के रूप में व्यक्त करते हैं।
$\vec{BE} + \vec{BC} + \vec{EF} + \vec{BA} + \vec{CF} + \vec{AF}$
$= (\vec{OE} - \vec{OB}) + (\vec{OC} - \vec{OB}) + (\vec{OF} - \vec{OE}) + (\vec{OA} - \vec{OB}) + (\vec{OF} - \vec{OC}) + (\vec{OF} - \vec{OA})$
पदों को समूहित करने पर,हम देखते हैं कि $\vec{OE} - \vec{OE} = 0$,$\vec{OC} - \vec{OC} = 0$,और $\vec{OA} - \vec{OA} = 0$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $3\vec{OF} - 3\vec{OB}$
$= 3(\vec{OF} - \vec{OB})$
$= 3\vec{BF}$.

(C) एक सम षट्भुज $ABCDEF$ में,मान लीजिए $\vec{AB} = \vec{a}$ और $\vec{BC} = \vec{b}$ है।
चूंकि यह एक सम षट्भुज है,$\vec{CD} = \vec{AF} = \vec{BC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ होगा।
साथ ही,$\vec{DE} = -\vec{AB} = -\vec{a}$ होगा।
$\triangle CDE$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर,$\vec{CE} = \vec{CD} + \vec{DE}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\vec{CE} = (\vec{b} - \vec{a}) + (-\vec{a}) = \vec{b} - 2\vec{a}$ होगा।

(B) दिया गया सदिश समीकरण: $PQ + QR = (2\lambda^2 - 5)RP$
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,हम जानते हैं कि $PQ + QR = PR$ होता है।
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $PR = (2\lambda^2 - 5)RP$
चूंकि $PR = -RP$,इसलिए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $-RP = (2\lambda^2 - 5)RP$
दोनों पक्षों को $RP$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $RP \neq 0$): $2\lambda^2 - 5 = -1$
$2\lambda^2 = 4$
$\lambda^2 = 2$
$\lambda = \pm \sqrt{2}$

(C) चूंकि $C$ रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $C$ का स्थिति सदिश $\vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $P$ से सदिशों के संदर्भ में,हमारे पास $\vec{PC} = \frac{\vec{PA} + \vec{PB}}{2}$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2\vec{PC} = \vec{PA} + \vec{PB}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हम लिख सकते हैं कि $\vec{PA} - \vec{PC} = \vec{PC} - \vec{PB}$।
अतः,सही संबंध $\vec{PA} - \vec{PC} = \vec{PC} - \vec{PB}$ है।

(A) दो सदिश $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ और $b = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ संरेख होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = k$।
दिया गया है $a = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$ और $b = 2 \hat{i} - \hat{j} + \beta \hat{k}$।
घटकों की तुलना करने पर:
$\frac{\alpha}{2} = \frac{3}{-1} = \frac{-6}{\beta}$
$\frac{\alpha}{2} = -3$ से,हमें $\alpha = -6$ प्राप्त होता है।
$\frac{3}{-1} = \frac{-6}{\beta}$ से,$-3\beta = -6$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\beta = 2$।
अतः,$\alpha = -6$ और $\beta = 2$ अभीष्ट मान हैं।

(A) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,दिए गए दिशाओं वाले त्रिभुज $ABC$ के लिए:
$(i)$ त्रिभुज नियम द्वारा,$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC} = \vec{0}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{AC} = -\vec{CA}$,इसलिए $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}$। अतः,$(i)$ सत्य है।
(ii) त्रिभुज नियम से,$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$,जिसका अर्थ है $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{AC} = \vec{0}$। अतः,(ii) सत्य है।
(iii) हमारे पास $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ है। साथ ही,$\vec{CB} = -\vec{BC}$,इसलिए $\vec{BC} = -\vec{CB}$।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $\vec{AB} - \vec{CB} = \vec{AC}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\vec{AB} - \vec{CB} - \vec{AC} = 0$,या $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA} = 0$ प्राप्त होता है। अतः,(iii) सत्य है।
(iv) $(i)$ से,$\vec{AB} + \vec{BC} = -\vec{CA} = \vec{AC}$।
तब $\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{CA} = \vec{AC} - \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{AC} = 2\vec{AC} \neq \vec{0}$। अतः,(iv) असत्य है।
इसलिए,सही क्रम $(i)$ सत्य,(ii) सत्य,(iii) सत्य,(iv) असत्य है।

(D) किसी भी सदिश $z \in R^3$ को रैखिक संयोजन $z = au + bv + cw$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,सदिशों के समूह ${u, v, w}$ को संपूर्ण सदिश समष्टि $R^3$ को विस्तृत (span) करना चाहिए।
चूंकि $R^3$ एक $3$-आयामी समष्टि है,$R^3$ को विस्तृत करने वाले किसी भी $3$ सदिशों के समूह को रैखिक रूप से स्वतंत्र होना चाहिए।
यदि सदिश रैखिक रूप से आश्रित हैं,तो वे एक समतल में या एक रेखा पर स्थित होंगे,और इस प्रकार वे $R^3$ के प्रत्येक सदिश का प्रतिनिधित्व नहीं कर पाएंगे।
इसलिए,शर्त यह है कि $u, v$ और $w$ रैखिक रूप से स्वतंत्र होने चाहिए।
चूंकि यह विकल्प मूल सूची में नहीं दिया गया था,इसलिए विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया समीकरण: $\vec{PO} + \vec{OQ} = \vec{QO} + \vec{OR}$
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\vec{PO} + \vec{OQ} = \vec{PQ}$ होता है।
साथ ही,$\vec{QO} + \vec{OR} = \vec{QR}$ होता है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\vec{PQ} = \vec{QR}$।
इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{PQ}$ सदिश $\vec{QR}$ के बराबर है।
चूंकि उनकी दिशा समान है और उनके परिमाण (magnitude) भी बराबर हैं $(|\vec{PQ}| = |\vec{QR}|)$,इसलिए बिंदु $Q$ रेखाखंड $PR$ का मध्य-बिंदु होना चाहिए।

(B) मान लीजिए $O$ सम षट्भुज $ABCDEF$ का केंद्र है। एक सम षट्भुज में,विकर्ण $AD$,$BE$ और $CF$ केंद्र $O$ से गुजरते हैं और षट्भुज की भुजा की लंबाई के दोगुने होते हैं। विशेष रूप से,$AD = 2BC$,$EB = 2FA$,और $FC = 2AB$।
सदिश योग का उपयोग करते हुए: मान लीजिए $\vec{AB} = \vec{a}$ और $\vec{BC} = \vec{b}$। तो $\vec{CD} = \vec{b} - \vec{a}$,$\vec{DE} = -\vec{a}$,$\vec{EF} = -\vec{b}$,$\vec{FA} = \vec{a} - \vec{b}$।
$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{a} + \vec{b} + (\vec{b} - \vec{a}) = 2\vec{b}$।
$\vec{EB} = \vec{ED} + \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{a} - (\vec{b} - \vec{a}) - \vec{b} = 2\vec{a} - 2\vec{b}$।
$\vec{FC} = \vec{FA} + \vec{AB} + \vec{BC} = (\vec{a} - \vec{b}) + \vec{a} + \vec{b} = 2\vec{a}$।
योग $= \vec{AD} + \vec{EB} + \vec{FC} = 2\vec{b} + 2\vec{a} - 2\vec{b} + 2\vec{a} = 4\vec{a} = 4\vec{AB}$।
दिया गया है कि $(3\lambda - 8)\vec{AB} = 4\vec{AB}$,इसलिए $3\lambda - 8 = 4$,जिससे $3\lambda = 12$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda = 4$।

(C) दो सदिशों $u$ और $v$ को समांतर कहा जाता है यदि उनकी दिशाएँ समान या विपरीत हों।
गणितीय रूप से,यह स्थिति इस कथन के बराबर है कि एक सदिश दूसरे का अदिश गुणज है,अर्थात $u = k v$,जहाँ $k$ कोई शून्येतर अदिश $k \in \mathbb{R}$ है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही कथन है।

(D) एक नियमित षट्भुज $ABCDEF$ में,केंद्र $O$ को मूल बिंदु मान लेते हैं। शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$ हैं।
नियमित षट्भुज होने के कारण,$\vec{AB} + \vec{AF} = \vec{AO}$ होता है।
इसी प्रकार,$\vec{CD} + \vec{EF} = \vec{CO}$ होता है।
अतः,$\vec{AB} + \vec{AF} + \vec{CD} + \vec{EF} = \vec{AO} + \vec{CO}$।
षट्भुज के गुणों का उपयोग करते हुए,यह योग $\vec{BC} + \vec{DE}$ के बराबर प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $|u+v|^2 = 2(|u|^2+|v|^2)$ है।
बाएँ पक्ष को $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(u \cdot v)$ गुणधर्म का उपयोग करके विस्तारित करने पर:
$|u|^2 + |v|^2 + 2(u \cdot v) = 2|u|^2 + 2|v|^2$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$|u|^2 + |v|^2 - 2(u \cdot v) = 0$
यह व्यंजक सदिशों के अंतर के वर्ग के बराबर है:
$|u - v|^2 = 0$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|u - v| = 0$
अतः,$u - v = 0$,जिसका अर्थ है कि $u = v$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(C) एक सदिश $\vec{v} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ इकाई सदिश होता है यदि उसका परिमाण $1$ हो,अर्थात $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $a, b, c \in W$,जहाँ $W = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ पूर्ण संख्याओं का समुच्चय है।
चूँकि $a^2, b^2, c^2 \ge 0$,इसलिए उनके योग का $1$ होने का एकमात्र तरीका यह है कि एक चर $1$ हो और बाकी $0$ हों।
संभावित त्रिक $(a, b, c)$ हैं: $(1, 0, 0)$,$(0, 1, 0)$,और $(0, 0, 1)$।
अतः,ऐसे कुल $3$ इकाई सदिश हैं।

(C) माना $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{t}$ क्रमशः शीर्षों $P, Q, R, S, T$ के स्थिति सदिश हैं।
दिए गए सदिशों का योग $\vec{V} = \overline{PQ} + \overline{PT} + \overline{QR} + \overline{SR} + \overline{TS} + \overline{PS}$ है।
स्थिति सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{V} = (\vec{q} - \vec{p}) + (\vec{t} - \vec{p}) + (\vec{r} - \vec{q}) + (\vec{s} - \vec{r}) + (\vec{s} - \vec{t}) + (\vec{s} - \vec{p})$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\vec{V} = (\vec{q} - \vec{q}) + (\vec{t} - \vec{t}) + (\vec{r} - \vec{r}) + (\vec{s} + \vec{s} + \vec{s}) - (\vec{p} + \vec{p} + \vec{p})$.
$\vec{V} = 3\vec{s} - 3\vec{p} = 3(\vec{s} - \vec{p})$.
चूंकि $\vec{s} - \vec{p} = \overline{PS}$,इसलिए $\vec{V} = 3\overline{PS}$ होगा।

(A) स्थिति सदिश $A, B$ और $C$ वाले तीन बिंदु संरेख होते हैं यदि सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समांतर हों,अर्थात किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{AB} = k \vec{BC}$ हो।
विकल्प $A$ के लिए,मान लीजिए $A = u-2v+3w$,$B = 2u+3v-4w$,और $C = u-7v+10w$ है।
यहाँ,$2A - B = 2(u-2v+3w) - (2u+3v-4w) = 2u-4v+6w - 2u-3v+4w = -7v+10w$ है।
इस प्रकार,$C = 2A - B$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $C - A = A - B$,अर्थात $\vec{AC} = \vec{BA}$,जो दर्शाता है कि बिंदु संरेख हैं।

(C) दिया गया सदिश $v = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ है।
सबसे पहले,सदिश $v$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|v| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
$v$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{v} = \frac{v}{|v|} = \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}}$ है।
$v$ की दिशा में $\sqrt{7}$ परिमाण वाला सदिश $\sqrt{7} \times \hat{v}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$= \sqrt{7} \times \left( \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{14}} \right) = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{14}}(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = \frac{2}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{3}{\sqrt{2}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) एक नियमित पंचभुज का आंतरिक कोण $\theta = \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n=5$ है।
अतः,$\theta = \frac{(5-2) \times 180^{\circ}}{5} = \frac{3 \times 180^{\circ}}{5} = 108^{\circ}$।
सदिश $\vec{v} = (\sin \theta) \hat{i} + (\cos \theta) \hat{j} + (\tan \theta) \hat{k}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \tan^2 \theta}$ है।
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $|\vec{v}| = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = |\sec \theta|$।
$\theta = 108^{\circ}$ रखने पर,हमें $|\sec 108^{\circ}|$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sec 108^{\circ} = \sec(180^{\circ} - 72^{\circ}) = -\sec 72^{\circ} = -\operatorname{cosec} 18^{\circ}$,इसलिए परिमाण $|-\operatorname{cosec} 18^{\circ}| = |\operatorname{cosec} 18^{\circ}|$ होगा।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) त्रिभुज $ABC$ में,यदि $A$ मूल बिंदु है,तो $B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ हैं। केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\vec{AG} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\vec{AG} = \frac{(\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})}{3}$
$\vec{AG} = \frac{6\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}}{3} = 2\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + 2\hat{k}$.
अब,परिमाण $|\vec{AG}|$ की गणना करने पर: $|\vec{AG}| = \sqrt{2^2 + (\frac{4}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{16}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{72 + 16}{9}} = \sqrt{\frac{88}{9}} = \frac{\sqrt{4 \times 22}}{3} = \frac{2}{3}\sqrt{22}$.
अतः,सही विकल्प $(a)$ है।

(D) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B,$ और $C$ के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{OA} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$
$\vec{OB} = \beta \hat{i} + \gamma \hat{j} + \alpha \hat{k}$
$\vec{OC} = \gamma \hat{i} + \alpha \hat{j} + \beta \hat{k}$
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश हैं:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (\beta - \alpha) \hat{i} + (\gamma - \beta) \hat{j} + (\alpha - \gamma) \hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (\gamma - \beta) \hat{i} + (\alpha - \gamma) \hat{j} + (\beta - \alpha) \hat{k}$
$\vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC} = (\alpha - \gamma) \hat{i} + (\beta - \alpha) \hat{j} + (\gamma - \beta) \hat{k}$
अब,इन भुजाओं के परिमाण की गणना करें:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2}$
$|\vec{BC}| = \sqrt{(\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2}$
$|\vec{CA}| = \sqrt{(\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2}$
चूँकि $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}|$ है,इसलिए बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
चूँकि $\alpha, \beta, \gamma$ भिन्न हैं,इसलिए परिमाण शून्य नहीं है।
अतः,बिंदु एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(A) मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश हैं।
चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,$D$ का स्थिति सदिश $\vec{d} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ है।
चूँकि $E$,$CA$ का मध्य-बिंदु है,$E$ का स्थिति सदिश $\vec{e} = \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2}$ है।
अब,$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a}}{2}$.
और $\vec{EB} = \vec{b} - \vec{e} = \vec{b} - \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2} = \frac{2\vec{b}-\vec{c}-\vec{a}}{2}$.
इनका योग करने पर,$\vec{AD} + \vec{EB} = \frac{\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a} + 2\vec{b}-\vec{c}-\vec{a}}{2} = \frac{3\vec{b}-3\vec{a}}{2} = \frac{3}{2}(\vec{b}-\vec{a}) = \frac{3}{2} \vec{AB}$.
अतः,$2(\vec{AD}+\vec{EB}) = 2 \times \frac{3}{2} \vec{AB} = 3 \vec{AB}$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ है।
व्यंजक $E = |\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2$ पर विचार करें।
इसका विस्तार करने पर,हमें $E = (\vec{a}^2 + \vec{b}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b}^2 + \vec{c}^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (\vec{c}^2 + \vec{a}^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{a})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$,यह $E = 6 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$ में सरल हो जाता है।
हम जानते हैं कि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$।
मान रखने पर,$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$,इसलिए $2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq -3$।
अतः,$E$ का अधिकतम मान $6 - (-3) = 9$ है।
इसलिए,$k = 9$।
अंत में,$k(2|\vec{a}|^2 + 3|\vec{b}|^2 - 4|\vec{c}|^2) = 9(2(1) + 3(1) - 4(1)) = 9(2 + 3 - 4) = 9(1) = 9$।

(D) माना बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{r}_A$ और $\vec{r}_B$ हैं।
दिया गया है $\vec{r}_A = \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}$.
बिंदु $C$ रेखाखंड $AB$ को $m:n = 2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए $C$ का स्थिति सदिश: $\vec{r}_C = \frac{m \vec{r}_B + n \vec{r}_A}{m+n}$.
मान रखने पर: $\frac{3 \bar{a}+4 \bar{b}-5 \bar{c}}{3} = \frac{2 \vec{r}_B + 1 (\bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c})}{2+1}$.
$\frac{3 \bar{a}+4 \bar{b}-5 \bar{c}}{3} = \frac{2 \vec{r}_B + \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}}{3}$.
अंशों की तुलना करने पर: $3 \bar{a}+4 \bar{b}-5 \bar{c} = 2 \vec{r}_B + \bar{a}-2 \bar{b}+3 \bar{c}$.
$2 \vec{r}_B = (3 \bar{a}-\bar{a}) + (4 \bar{b}+2 \bar{b}) + (-5 \bar{c}-3 \bar{c})$.
$2 \vec{r}_B = 2 \bar{a} + 6 \bar{b} - 8 \bar{c}$.
$\vec{r}_B = \bar{a} + 3 \bar{b} - 4 \bar{c}$.
अतः,$B$ का स्थिति सदिश $\bar{a} + 3 \bar{b} - 4 \bar{c}$ है।

(A) मान लीजिए $\bar{a}$ और $\bar{b}$ दो इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
चूंकि सदिश $\bar{v} = \alpha \bar{a} + \bar{b}$,$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए इसे $\bar{a}$ और $\bar{b}$ की दिशा में इकाई सदिशों के योग की दिशा में होना चाहिए।
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ की दिशा में इकाई सदिश स्वयं $\bar{a}$ और $\bar{b}$ हैं।
कोण समद्विभाजक सदिश $\hat{a} + \hat{b} = \bar{a} + \bar{b}$ के समानुपाती होता है।
अतः,किसी अदिश $k$ के लिए $\alpha \bar{a} + \bar{b} = k(\bar{a} + \bar{b})$ होगा।
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के गुणांकों की तुलना करने पर (चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ गैर-समानांतर हैं,वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं),हमें $\alpha = k$ और $1 = k$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha = 1$।

(B) दिया गया है $\overline{OA} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
$\overline{AB}$ के दिक अनुपात $1, -1, 2$ हैं। मान लीजिए सदिश $\overline{AB} = k(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ किसी अदिश $k$ के लिए है।
हम जानते हैं कि $|\overline{AB}| = |k| \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = |k| \sqrt{6}$.
दिया गया है $|\overline{AB}| = 2\sqrt{6}$,इसलिए $|k|\sqrt{6} = 2\sqrt{6} \implies |k| = 2$.
अतः,$\overline{AB} = 2(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ या $\overline{AB} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
चूंकि $\overline{OB} = \overline{OA} + \overline{AB}$,हमारे पास दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $\overline{OB} = (3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + (2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}) = 5\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.
तब $|\overline{OB}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35}$.
स्थिति $2$: $\overline{OB} = (3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + (-2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
तब $|\overline{OB}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
दोनों स्थितियों में,$|\overline{OB}| = \sqrt{35}$.

(C) दिया गया सदिश समीकरण:
$(3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) = x(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) + y(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}) + z(-2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})$
दोनों पक्षों में $\hat{i}, \hat{j},$ और $\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों का निम्नलिखित निकाय प्राप्त होता है:
$2x + y - 2z = 3$ $(1)$
$3x - 2y + z = -1$ $(2)$
$-x + 2y - 2z = 2$ $(3)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(2x + y - 2z) - (-x + 2y - 2z) = 3 - 2$
$3x - y = 1 \implies y = 3x - 1$
$y = 3x - 1$ को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x - 2(3x - 1) + z = -1$
$3x - 6x + 2 + z = -1 \implies z = 3x - 3$
$y$ और $z$ के मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2x + (3x - 1) - 2(3x - 3) = 3$
$2x + 3x - 1 - 6x + 6 = 3$
$-x + 5 = 3 \implies x = 2$
अब,$y$ और $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$y = 3(2) - 1 = 5$
$z = 3(2) - 3 = 3$
अतः,त्रिक $(x, y, z) = (2, 5, 3)$ है।

(C) बिंदुओं $P, Q, R, S$ के दिए गए स्थिति सदिश:
$\vec{p} = -\bar{a} + 4\bar{b} - 3\bar{c}$
$\vec{q} = 3\bar{a} + 2\bar{b} - 5\bar{c}$
$\vec{r} = -3\bar{a} + 8\bar{b} - 5\bar{c}$
$\vec{s} = -3\bar{a} + 2\bar{b} + \bar{c}$
विस्थापन सदिशों की गणना:
$\overline{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = 4\bar{a} - 2\bar{b} - 2\bar{c}$
$\overline{PR} = \vec{r} - \vec{p} = -2\bar{a} + 4\bar{b} - 2\bar{c}$
$\overline{PS} = \vec{s} - \vec{p} = -2\bar{a} - 2\bar{b} + 4\bar{c}$
$\overline{PQ} = x\overline{PR} + y\overline{PS}$ के लिए:
$4\bar{a} - 2\bar{b} - 2\bar{c} = (-2x - 2y)\bar{a} + (4x - 2y)\bar{b} + (-2x + 4y)\bar{c}$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$x + y = -2$ और $2x - y = -1$
दोनों को जोड़ने पर $3x = -3 \implies x = -1$,जिससे $y = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(x, y) = (-1, -1)$ है।

(A) माना कि बिंदुओं $P$ और $Q$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{q} = \overrightarrow{b}$ हैं।
दिया गया है कि $\overrightarrow{PR} = 5 \overrightarrow{PQ}$.
हम जानते हैं कि $\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{r} - \overrightarrow{p}$ और $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{q} - \overrightarrow{p}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\overrightarrow{r} - \overrightarrow{p} = 5(\overrightarrow{q} - \overrightarrow{p})$
$\overrightarrow{r} - \overrightarrow{a} = 5(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$
$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a} + 5\overrightarrow{b} - 5\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{r} = 5\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{a}$
अतः,$R$ का स्थिति सदिश $5\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{a}$ है।

(B) मान लीजिए कि दो बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा पर किसी भी बिंदु को विभाजन सूत्र द्वारा $\vec{r} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $t$ एक अदिश है।
यदि हम रेखाखंड के मध्य-बिंदु पर विचार करें,तो $t = \frac{1}{2}$ लेने पर।
मध्य-बिंदु का स्थिति सदिश $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) + (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})}{2} = \frac{2\hat{i}}{2} = \hat{i}$।
अतः,मध्य-बिंदु का स्थिति सदिश $\hat{i}$ है।

(A) मान लीजिए कि समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ सदिश $\vec{a} = \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ द्वारा दर्शाई गई हैं।
समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण आसन्न भुजाओं के योग द्वारा दिया जाता है,$\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$.
$\vec{d_1} = (\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k} = 4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
इस विकर्ण के समानांतर इकाई सदिश $\hat{d_1} = \frac{\vec{d_1}}{|\vec{d_1}|}$ है।
$|\vec{d_1}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16+16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
इसलिए,$\hat{d_1} = \frac{4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{4\sqrt{3}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
अतः,सही विकल्प $\frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ है।

(A) दिया गया है कि स्थिति सदिश $A = \hat{i} + x\hat{j} + 3\hat{k}$,$B = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$,और $C = y\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समानांतर होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि किसी अदिश $t$ के लिए $\vec{AB} = t\vec{BC}$ होगा।
सबसे पहले,सदिशों की गणना करें:
$\vec{AB} = (3-1)\hat{i} + (4-x)\hat{j} + (7-3)\hat{k} = 2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\vec{BC} = (y-3)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (-5-7)\hat{k} = (y-3)\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}$.
$\vec{AB} = t\vec{BC}$ को बराबर करने पर:
$2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k} = t(y-3)\hat{i} - 6t\hat{j} - 12t\hat{k}$.
$\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$4 = -12t \Rightarrow t = -\frac{1}{3}$.
$\hat{j}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$4 - x = -6t = -6(-\frac{1}{3}) = 2 \Rightarrow x = 2$.
$\hat{i}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$t(y - 3) = 2 \Rightarrow -\frac{1}{3}(y - 3) = 2 \Rightarrow y - 3 = -6 \Rightarrow y = -3$.
अतः,$(x, y) = (2, -3)$.

(D) दिया गया है कि $|\bar{a}| = 3$,$|\bar{b}| = 4$,और $|\bar{a}+\bar{b}| = 5$ है।
हम जानते हैं कि $|\bar{a}+\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$ होता है।
मान रखने पर: $5^2 = 3^2 + 4^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$।
$25 = 9 + 16 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) \implies 25 = 25 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) \implies \bar{a} \cdot \bar{b} = 0$।
इसका अर्थ है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अब,हमें $|\bar{a}-\bar{b}|$ ज्ञात करना है।
$|\bar{a}-\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$।
$|\bar{a}-\bar{b}|^2 = 3^2 + 4^2 - 2(0) = 9 + 16 = 25$।
अतः,$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{25} = 5$।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$,इसलिए हम लिख सकते हैं $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5^2 + 8^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 11^2$,जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$25 + 64 + 2(5)(8) \cos \theta = 121$.
$89 + 80 \cos \theta = 121$.
$80 \cos \theta = 121 - 89 = 32$.
$\cos \theta = \frac{32}{80} = \frac{2}{5}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1} \left(\frac{2}{5}\right)$.

(B) त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं के अनुदिश दिए गए सदिश $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$ और $\overrightarrow{BC} = 6\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (2+6)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (-6+3)\hat{k} = 8\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
भुजाओं की लंबाई इस प्रकार है:
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{8^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 1 + 9} = \sqrt{74}$.
त्रिभुज $ABC$ का परिमाप = $|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| + |\overrightarrow{AC}| = 7 + 7 + \sqrt{74} = 14 + \sqrt{74}$.

(B) सदिशों के परिमाण $|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3$ और $|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + 6^2} = 7$ हैं।
$\overrightarrow{OA}$ और $\overrightarrow{OB}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{1}{3}(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$ और $\hat{b} = \frac{1}{7}(-2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k})$ हैं।
कोण समद्विभाजक के अनुदिश सदिश $\lambda(\hat{a} + \hat{b}) = \lambda \left( \frac{\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}}{3} + \frac{-2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}}{7} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
सरल करने पर: $\lambda \left( \frac{7\hat{i} + 14\hat{j} - 14\hat{k} - 6\hat{i} - 9\hat{j} + 18\hat{k}}{21} \right) = \frac{\lambda}{21}(\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k})$।
दिया गया है कि $|\overrightarrow{OC}| = \sqrt{42}$,इसलिए $\frac{|\lambda|}{21} \sqrt{1^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{42}$।
$\frac{|\lambda|}{21} \sqrt{42} = \sqrt{42} \implies |\lambda| = 21$।
$\lambda = 21$ लेने पर,हमें $\overrightarrow{OC} = \hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ प्राप्त होता है।