Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Hindi

(B) दिया गया समीकरण: $\left(\frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{4} + \frac{a_3}{8}\right)^2 = \frac{a_1^2}{2} + \frac{a_2^2}{4} + \frac{a_3^2}{8}$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $\frac{a_1^2}{4} + \frac{a_2^2}{16} + \frac{a_3^2}{64} + \frac{a_1 a_2}{4} + \frac{a_2 a_3}{16} + \frac{a_3 a_1}{8} = \frac{a_1^2}{2} + \frac{a_2^2}{4} + \frac{a_3^2}{8}$.
हर को हटाने के लिए $64$ से गुणा करने पर: $16a_1^2 + 4a_2^2 + a_3^2 + 16a_1 a_2 + 4a_2 a_3 + 8a_3 a_1 = 32a_1^2 + 16a_2^2 + 8a_3^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $16a_1^2 + 12a_2^2 + 7a_3^2 - 16a_1 a_2 - 4a_2 a_3 - 8a_3 a_1 = 0$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $8(a_1 - a_2)^2 + (2a_2 - a_3)^2 + 2(a_3 - 2a_1)^2 + 4a_3^2 = 0$.
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए: $a_1 - a_2 = 0$,$2a_2 - a_3 = 0$,$a_3 - 2a_1 = 0$,और $a_3 = 0$.
यह दर्शाता है कि $a_1 = a_2 = a_3 = 0$.
अतः,समुच्चय $A$ में केवल एक अवयव है,जो शून्य सदिश $(0, 0, 0)$ है।

(C) दिया गया है $|\vec{v} - \hat{i}| = |\vec{v} - 2\hat{j}| = |\vec{v} - \hat{j}|$।
मान लीजिए $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j}$। बिंदु $A(1, 0)$,$B(0, 2)$,और $C(0, 1)$ हैं।
चूंकि $\vec{v}$,$A, B$,और $C$ से समान दूरी पर है,यह $\triangle ABC$ का परिकेंद्र है।
वर्ग दूरियों की तुलना करने पर:
$|\vec{v} - \hat{i}|^2 = |\vec{v} - \hat{j}|^2 \Rightarrow (x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 \Rightarrow x = y$.
$|\vec{v} - \hat{j}|^2 = |\vec{v} - 2\hat{j}|^2$ की तुलना करने पर:
$x^2 + (y-1)^2 = x^2 + (y-2)^2$
$y^2 - 2y + 1 = y^2 - 4y + 4 \Rightarrow 2y = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{2}$.
चूंकि $x = y$,इसलिए $x = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{v} = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}$।
$|\vec{v}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \sqrt{4.5} \approx 2.12$.
चूंकि $2 < 2.12 \leq 3$,इसलिए $|\vec{v}|$ अंतराल $(2, 3]$ में स्थित है।

(C) मान लीजिए शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं। मान लीजिए मूल बिंदु परिकेंद्र $O$ पर है,इसलिए $\vec{O} = \vec{0}$ है।
तब लंबकेंद्र $H$ का स्थिति सदिश $\vec{H} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ है।
हमें $\vec{HA} + \vec{HB} + \vec{HC}$ का मान ज्ञात करना है।
$\vec{HA} + \vec{HB} + \vec{HC} = (\vec{a} - \vec{H}) + (\vec{b} - \vec{H}) + (\vec{c} - \vec{H})$
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{H}$
$= \vec{H} - 3\vec{H}$
$= -2\vec{H}$
चूंकि $\vec{O} = \vec{0}$,$\vec{HO} = \vec{O} - \vec{H} = -\vec{H}$ है।
इसलिए,$-2\vec{H} = 2(-\vec{H}) = 2\vec{HO}$ है।
अतः,$\vec{HA} + \vec{HB} + \vec{HC} = 2\vec{HO}$ है।

(B) दिए गए सदिश $a = 3 \hat{i} - 4 \hat{k}$ और $b = 5 \hat{j} + 12 \hat{k}$ हैं।
सदिशों का परिमाण:
$|a| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$
$|b| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$
$a$ और $b$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{3 \hat{i} - 4 \hat{k}}{5}$ और $\hat{b} = \frac{5 \hat{j} + 12 \hat{k}}{13}$ हैं।
कोण को समद्विभाजित करने वाला सदिश $\hat{a} + \hat{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\hat{a} + \hat{b} = \frac{3 \hat{i} - 4 \hat{k}}{5} + \frac{5 \hat{j} + 12 \hat{k}}{13} = \frac{39 \hat{i} - 52 \hat{k} + 25 \hat{j} + 60 \hat{k}}{65} = \frac{39 \hat{i} + 25 \hat{j} + 8 \hat{k}}{65}$
अतः,अभीष्ट सदिश $39 \hat{i} + 25 \hat{j} + 8 \hat{k}$ है।

(A) माना बिंदु $A(\alpha, 10, 13)$,$B(6, 11, 11)$,और $C(\frac{9}{2}, \beta, -8)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समानांतर होने चाहिए।
$\vec{AB} = (6 - \alpha) \hat{i} + (11 - 10) \hat{j} + (11 - 13) \hat{k} = (6 - \alpha) \hat{i} + 1 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\vec{BC} = (\frac{9}{2} - 6) \hat{i} + (\beta - 11) \hat{j} + (-8 - 11) \hat{k} = -\frac{3}{2} \hat{i} + (\beta - 11) \hat{j} - 19 \hat{k}$.
चूंकि $\vec{AB} = k \vec{BC}$,हमारे पास है:
$\frac{6 - \alpha}{-3/2} = \frac{1}{\beta - 11} = \frac{-2}{-19} = \frac{2}{19}$.
$\frac{1}{\beta - 11} = \frac{2}{19}$ से,$2(\beta - 11) = 19 \implies 2\beta - 22 = 19 \implies 2\beta = 41$.
$\frac{6 - \alpha}{-3/2} = \frac{2}{19}$ से,$6 - \alpha = \frac{2}{19} \times (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{19} \implies \alpha = 6 + \frac{3}{19} = \frac{117}{19}$.
अब,$(19 \alpha - 6 \beta)^2 = (19 \times \frac{117}{19} - 3 \times 2\beta)^2 = (117 - 3 \times 41)^2 = (117 - 123)^2 = (-6)^2 = 36$.

(D) सामान्यतः,मान लीजिए कि $|a_1| \leq |a_2| \leq |a_3|$ है।
कथन $(A)$ के लिए:
$|\vec{a}|^2 = |a_1|^2 + |a_2|^2 + |a_3|^2 \geq |a_3|^2$.
वर्गमूल लेने पर,$|\vec{a}| \geq |a_3| = \max \{|a_1|, |a_2|, |a_3|\}$.
अतः,$(A)$ सत्य है।
कथन $(B)$ के लिए:
$|\vec{a}|^2 = |a_1|^2 + |a_2|^2 + |a_3|^2 \leq |a_3|^2 + |a_3|^2 + |a_3|^2 = 3|a_3|^2$.
वर्गमूल लेने पर,$|\vec{a}| \leq \sqrt{3} |a_3| = \sqrt{3} \max \{|a_1|, |a_2|, |a_3|\}$.
चूंकि $\sqrt{3} < 3$,इसलिए $|\vec{a}| \leq 3 \max \{|a_1|, |a_2|, |a_3|\}$ सत्य है।
अतः,$(B)$ भी सत्य है।
इसलिए,$(A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं।

(C) मान लीजिए शीर्षों $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}$ हैं।
चूंकि $E$,$AC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{e} = \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}}{2}$।
चूंकि $F$,$BD$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{f} = \frac{\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}}{2}$।
दिया गया व्यंजक: $(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DC}) = k \overrightarrow{FE}$।
सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} - (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b})) + (\overrightarrow{d} - \overrightarrow{a} - (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{d})) = k \overrightarrow{FE}$।
सरल करने पर: $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{d} - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d}) = k \overrightarrow{FE}$।
$(2\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{c} + 2\overrightarrow{d}) = k \overrightarrow{FE}$।
$2(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}) - 2(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = k \overrightarrow{FE}$।
$\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} = 2\overrightarrow{f}$ और $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{e}$ का उपयोग करने पर:
$2(2\overrightarrow{f}) - 2(2\overrightarrow{e}) = k \overrightarrow{FE}$।
$4(\overrightarrow{f} - \overrightarrow{e}) = k \overrightarrow{FE}$।
चूंकि $\overrightarrow{FE} = \overrightarrow{e} - \overrightarrow{f}$,इसलिए $4(-(\overrightarrow{e} - \overrightarrow{f})) = k \overrightarrow{FE}$।
$-4 \overrightarrow{FE} = k \overrightarrow{FE}$।
अतः,$k = -4$।

(B) शीर्ष $A(2, 2, 1)$,$B(1, 2, 2)$,और $C(2, 1, 2)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$
$CA = \sqrt{(2-2)^2 + (2-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$
चूंकि $AB = BC = CA = \sqrt{2}$,त्रिभुज समबाहु है।
एक समबाहु त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र $H$ केंद्रक $G$ के साथ संपाती होता है।
$G = \left(\frac{2+1+2}{3}, \frac{2+2+1}{3}, \frac{1+2+2}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right)$.
समबाहु त्रिभुज में,केंद्रक से किसी भी भुजा पर लंब की लंबाई,केंद्रक से उस भुजा के मध्य बिंदु तक की दूरी होती है।
भुजा $AB$ के लिए,मध्य बिंदु $D$ है $\left(\frac{2+1}{2}, \frac{2+2}{2}, \frac{1+2}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 2, \frac{3}{2}\right)$.
$l_1 = \text{दूरी } GD = \sqrt{\left(\frac{5}{3}-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{3}-2\right)^2 + \left(\frac{5}{3}-\frac{3}{2}\right)^2}$
$l_1 = \sqrt{\left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{4}{36} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{6}{36}} = \sqrt{\frac{1}{6}}$.
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,$l_1 = l_2 = l_3 = \sqrt{\frac{1}{6}}$.
अतः,$l_1^2 + l_2^2 + l_3^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(B) मान लीजिए $\vec{a} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है।
लंबाईयाँ $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ और $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4+16+16} = 6$ हैं।
कोण समद्विभाजक $OC$,$AB$ को $|\vec{a}| : |\vec{b}| = 3 : 6 = 1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$C$ का स्थिति सदिश $\vec{c} = \frac{1(\vec{b}) + 2(\vec{a})}{1+2} = \frac{(2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k}) + 2(2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})}{3} = \frac{6 \hat{i} + 8 \hat{j} + 6 \hat{k}}{3} = 2 \hat{i} + \frac{8}{3} \hat{j} + 2 \hat{k}$ है।
$OC$ की लंबाई $|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + (\frac{8}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72+64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{\sqrt{136}}{3} = \frac{2 \sqrt{34}}{3}$ है।

(B) दिया गया है $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{c} = 3\hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k}$.
अतः $\vec{b} + \vec{c} = (2+3)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (-5+\lambda)\hat{k} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + (\lambda-5)\hat{k}$.
चूंकि $\vec{r}$,$\vec{b} + \vec{c}$ की दिशा में एक इकाई सदिश है,इसलिए $\vec{r} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{|\vec{b} + \vec{c}|}$.
दिया गया है $\vec{r} \cdot \vec{a} = 3$,अतः $\frac{(\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a}}{|\vec{b} + \vec{c}|} = 3$.
$(\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a} = (5\hat{i} + 2\hat{j} + (\lambda-5)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 5(1) + 2(2) + 3(\lambda-5) = 5 + 4 + 3\lambda - 15 = 3\lambda - 6$.
$|\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{5^2 + 2^2 + (\lambda-5)^2} = \sqrt{25 + 4 + \lambda^2 - 10\lambda + 25} = \sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 54}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{3\lambda - 6}{\sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 54}} = 3$.
$3$ से भाग देने पर: $\frac{\lambda - 2}{\sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 54}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\lambda - 2)^2 = \lambda^2 - 10\lambda + 54$.
$\lambda^2 - 4\lambda + 4 = \lambda^2 - 10\lambda + 54$.
$6\lambda = 50$.
$3\lambda = 25$.

(A) आकृति से,सदिश $\vec{R}$ को $\vec{R} = \vec{Q} - \vec{P}$ द्वारा दर्शाया गया है।
बिंदु $S$,रेखाखंड $PQ$ पर स्थित है ताकि दूरी $PS = b|\vec{R}|$ हो।
इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{PS} = b\vec{R} = b(\vec{Q} - \vec{P})$ है।
$\triangle OPS$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर,हमें $\vec{S} = \vec{P} + \vec{PS}$ प्राप्त होता है।
$\vec{PS}$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\vec{S} = \vec{P} + b(\vec{Q} - \vec{P})$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,हमें $\vec{S} = \vec{P} + b\vec{Q} - b\vec{P} = (1-b)\vec{P} + b\vec{Q}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\vec{s} = 4\vec{p} + 3\vec{q} + 5\vec{r}$.
साथ ही,$\vec{s} = x(-\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}) + y(\vec{p} - \vec{q} + \vec{r}) + z(-\vec{p} - \vec{q} + \vec{r})$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,$\vec{s} = (-x + y - z)\vec{p} + (x - y - z)\vec{q} + (x + y + z)\vec{r}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ असमतलीय हैं,वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। गुणांकों की तुलना करने पर:
$-x + y - z = 4$ $(1)$
$x - y - z = 3$ $(2)$
$x + y + z = 5$ $(3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर,$2x = 8 \Rightarrow x = 4$ प्राप्त होता है।
$(3)$ में $x = 4$ रखने पर,$y + z = 1$.
$(2)$ में $x = 4$ रखने पर,$4 - y - z = 3 \Rightarrow y + z = 1$ (संगत)।
$(1)$ में $x = 4$ रखने पर,$-4 + y - z = 4 \Rightarrow y - z = 8$.
$y + z = 1$ और $y - z = 8$ को हल करने पर,$2y = 9 \Rightarrow y = 4.5$ और $2z = -7 \Rightarrow z = -3.5$ प्राप्त होता है।
अंत में,$2x + y + z = 2(4) + 4.5 - 3.5 = 8 + 1 = 9$.

(A) मान लीजिए शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं। सरलता के लिए,मान लीजिए $\vec{a} = \vec{0}$ है।
दिया गया है $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,इसलिए $\vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$।
दिया गया है $\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c} = \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}$,इसलिए $\vec{c} = -(\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) = -\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$।
केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \frac{\vec{0} + (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + (-\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k})}{3} = \frac{\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{3}$ है।
अब,$\overrightarrow{AG} = \vec{g} - \vec{a} = \frac{1}{3}(\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k})$। अतः,$|\overrightarrow{AG}|^2 = \frac{1}{9}(1^2+2^2+6^2) = \frac{41}{9}$।
$\overrightarrow{BG} = \vec{g} - \vec{b} = (\frac{1}{3}-2)\hat{i} + (\frac{2}{3}+1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -\frac{5}{3}\hat{i} + \frac{5}{3}\hat{j} + \hat{k}$। अतः,$|\overrightarrow{BG}|^2 = \frac{25}{9} + \frac{25}{9} + 1 = \frac{59}{9}$।
$\overrightarrow{CG} = \vec{g} - \vec{c} = (\frac{1}{3}+1)\hat{i} + (\frac{2}{3}-3)\hat{j} + (2-5)\hat{k} = \frac{4}{3}\hat{i} - \frac{7}{3}\hat{j} - 3\hat{k}$। अतः,$|\overrightarrow{CG}|^2 = \frac{16}{9} + \frac{49}{9} + 9 = \frac{65+81}{9} = \frac{146}{9}$।
अंत में,$6(|\overrightarrow{AG}|^2+|\overrightarrow{BG}|^2+|\overrightarrow{CG}|^2) = 6(\frac{41+59+146}{9}) = 6(\frac{246}{9}) = 6 \times \frac{82}{3} = 2 \times 82 = 164$।

(B) माना कि दो सदिश $\vec{a} = (1, -\sqrt{2})$ और $\vec{b} = (2, \sqrt{2})$ हैं।
उनका योग $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} = (1 + 2, -\sqrt{2} + \sqrt{2}) = (3, 0)$ है।
योग सदिश $\vec{s}$ का परिमाण $|\vec{s}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$ है।

(C) बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = (1, 1, 0)$ है।
बिंदु $B$ का स्थिति सदिश $\vec{b} = (0, 1, 1)$ है।
सदिश $\overrightarrow{AB}$ को सूत्र $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\overrightarrow{AB} = (0 - 1, 1 - 1, 1 - 0)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\overrightarrow{AB} = (-1, 0, 1)$।

(C) दो सदिश $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ और $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ की दिशा समान होती है यदि किसी अदिश $k > 0$ के लिए $\vec{b} = k\vec{a}$ हो।
यहाँ,$\vec{a} = (1, 1, 2)$ और $\vec{b} = (2, 1, 0)$ है।
आनुपातिकता की जाँच करने पर: $\frac{2}{1} \neq \frac{1}{1} \neq \frac{0}{2}$।
चूँकि संगत घटकों का अनुपात समान नहीं है,इसलिए सदिश समानांतर नहीं हैं।
अतः,दोनों सदिशों की दिशाएँ अलग हैं।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $ < 2, 2, 2>$ है।
समान अभिव्यक्ति खोजने के लिए हम विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं।
विकल्प $A$ के लिए: $- < -2, -2, -2>$।
वेक्टर के अंदर ऋणात्मक चिह्न को वितरित करने पर,हमें $-(-2), -(-2), -(-2) = < 2, 2, 2>$ प्राप्त होता है।
यह दी गई अभिव्यक्ति से मेल खाता है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) सदिश $\vec{a} = \langle x, y, z \rangle$ का परिमाण ज्ञात करने का सूत्र $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ है।
दिए गए सदिश $\vec{a} = \langle \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \rangle$ के लिए,घटकों को सूत्र में रखने पर:
$|\vec{a}| = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2}$
$|\vec{a}| = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$
$|\vec{a}| = \sqrt{\frac{3}{9}}$
$|\vec{a}| = \sqrt{\frac{1}{3}}$
$|\vec{a}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) मान लीजिए $\vec{a} = (2, 2, -1)$ है।
सदिश $\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ है।
$\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
मान रखने पर,$\hat{a} = \frac{1}{3}(2, 2, -1) = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) सदिश $\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया सदिश $\vec{a} = (1, 0, 0)$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$ है।
अतः,इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{(1, 0, 0)}{1} = (1, 0, 0)$ है।

(A) सदिश $\overrightarrow{AB} = (2-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
सदिश $\overrightarrow{CD} = (3-2)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (4-3)\hat{k} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$,इसलिए दोनों सदिशों की दिशा समान है।

(A) शून्य सदिश वह सदिश है जिसका परिमाण $0$ होता है।
परिभाषा के अनुसार,शून्य सदिश की दिशा अनिश्चित या स्वेच्छ होती है,जिसे अक्सर यह कहा जाता है कि इसकी कोई विशिष्ट दिशा नहीं होती है।
अतः,सही कथन यह है कि इसकी कोई दिशा नहीं होती है।

(C) बिंदुओं के निर्देशांक $P(2, 3, 1)$ और $Q(7, 15, 1)$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{PQ} = (7 - 2)\hat{i} + (15 - 3)\hat{j} + (1 - 1)\hat{k}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{PQ} = 5\hat{i} + 12\hat{j} + 0\hat{k}$।
परिमाण $|\overrightarrow{PQ}|$ की गणना $\sqrt{5^2 + 12^2 + 0^2}$ के रूप में की जाती है।
$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{25 + 144 + 0} = \sqrt{169} = 13$।

(C) माना दिया गया सदिश $\vec{a} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
अब,$\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश ज्ञात करें:
$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{3}{7}\hat{i} + \frac{6}{7}\hat{j} + \frac{2}{7}\hat{k}$.
$\vec{a}$ की दिशा में $4$ परिमाण वाला सदिश $4 \times \hat{a}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$4 \times \left(\frac{3}{7}\hat{i} + \frac{6}{7}\hat{j} + \frac{2}{7}\hat{k}\right) = \left(\frac{12}{7}, \frac{24}{7}, \frac{8}{7}\right)$.

(A) माना कि दिया गया सदिश $\vec{a} = (2, -2, 1)$ है।
सबसे पहले,$\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\frac{2}{3}, \frac{-2}{3}, \frac{1}{3}\right)$ है।
$\vec{a}$ की विपरीत दिशा में इकाई सदिश $-\hat{a} = -\left(\frac{2}{3}, \frac{-2}{3}, \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{-2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}\right)$ है।

(C) मान लीजिए $\bar{u} = \frac{\bar{x}}{|\bar{x}|}$ $\bar{x}$ की दिशा में इकाई सदिश है।
तब दिया गया व्यंजक $-k \bar{u}$ है।
चूंकि $k > 0$,$-k \bar{u}$ का परिमाण $|-k| |\bar{u}| = k \times 1 = k$ है।
ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि सदिश $\bar{u}$ की विपरीत दिशा में है,जो $\bar{x}$ की विपरीत दिशा है।
अतः,सदिश $\bar{x}$ की विपरीत दिशा में है और इसका परिमाण $k$ है।

(A) मान लीजिए बिंदुओं $P, Q, R, S, E,$ और $F$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{e},$ और $\vec{f}$ हैं।
दिया गया समीकरण: $\overrightarrow{SP} + 5\overrightarrow{SQ} + 6\overrightarrow{SR} = \overrightarrow{0}$ है।
स्थिति सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\vec{p} - \vec{s}) + 5(\vec{q} - \vec{s}) + 6(\vec{r} - \vec{s}) = \overrightarrow{0}$ प्राप्त होता है।
$\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r} - 12\vec{s} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \vec{s} = \frac{\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r}}{12}$ है।
चूंकि $E$, $PR$ का मध्य-बिंदु है, इसलिए $\vec{e} = \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2}$ है।
चूंकि $F$, $QR$ का मध्य-बिंदु है, इसलिए $\vec{f} = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2}$ है।
सदिश $\overrightarrow{EF} = \vec{f} - \vec{e} = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2} - \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{\vec{q} - \vec{p}}{2}$ है।
सदिश $\overrightarrow{ES} = \vec{s} - \vec{e} = \frac{\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r}}{12} - \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r} - 6\vec{p} - 6\vec{r}}{12} = \frac{5\vec{q} - 5\vec{p}}{12} = \frac{5}{12}(\vec{q} - \vec{p})$ है।
अतः, लंबाइयों का अनुपात $\frac{|\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{ES}|} = \frac{|\frac{1}{2}(\vec{q} - \vec{p})|}{|\frac{5}{12}(\vec{q} - \vec{p})|} = \frac{1/2}{5/12} = \frac{1}{2} \times \frac{12}{5} = \frac{6}{5} = 1.2$ है।

(B) माना $A, B, C, D, E, F$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}, \overline{e}, \overline{f}$ हैं।
$\therefore \overline{d} = \frac{\overline{b} + \overline{c}}{2}, \overline{e} = \frac{\overline{c} + \overline{a}}{2}, \overline{f} = \frac{\overline{a} + \overline{b}}{2}$.
अब,$\overline{AD} + \frac{2}{3} \overline{BE} + \frac{1}{3} \overline{CF} = (\overline{d} - \overline{a}) + \frac{2}{3}(\overline{e} - \overline{b}) + \frac{1}{3}(\overline{f} - \overline{c})$.
मान रखने पर:
$= \frac{\overline{b} + \overline{c}}{2} - \overline{a} + \frac{2}{3}\left(\frac{\overline{c} + \overline{a}}{2} - \overline{b}\right) + \frac{1}{3}\left(\frac{\overline{a} + \overline{b}}{2} - \overline{c}\right)$.
$= \frac{\overline{b} + \overline{c} - 2\overline{a}}{2} + \frac{\overline{c} + \overline{a} - 2\overline{b}}{3} + \frac{\overline{a} + \overline{b} - 2\overline{c}}{6}$.
$= \frac{3(\overline{b} + \overline{c} - 2\overline{a}) + 2(\overline{c} + \overline{a} - 2\overline{b}) + (\overline{a} + \overline{b} - 2\overline{c})}{6}$.
$= \frac{3\overline{b} + 3\overline{c} - 6\overline{a} + 2\overline{c} + 2\overline{a} - 4\overline{b} + \overline{a} + \overline{b} - 2\overline{c}}{6}$.
$= \frac{-3\overline{a} + 3\overline{c}}{6} = \frac{3(\overline{c} - \overline{a})}{6} = \frac{1}{2}(\overline{c} - \overline{a}) = \frac{1}{2} \overline{AC}$.

(D) दिया गया है कि $c = (x-2)a + b$ और $d = (2x+1)a - b$ संरेख सदिश हैं।
चूंकि $a$ और $b$ असरेख हैं,हम $c = \lambda d$ लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
$(x-2)a + b = \lambda((2x+1)a - b)$
$(x-2)a + b = \lambda(2x+1)a - \lambda b$
$a$ और $b$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$x-2 = \lambda(2x+1)$ और $1 = -\lambda$.
दूसरे समीकरण से,$\lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को पहले समीकरण में रखने पर:
$x-2 = -1(2x+1)$
$x-2 = -2x-1$
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$

(B) माना बिंदु $\vec{p} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{q} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
$m:n = 1:2$ के अनुपात में बाह्य विभाजन के लिए,स्थिति सदिश $\vec{r}$ का सूत्र है:
$\vec{r} = \frac{m\vec{q} - n\vec{p}}{m - n}$
मान रखने पर:
$\vec{r} = \frac{1(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 2(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})}{1 - 2}$
$\vec{r} = \frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} - 2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}}{-1}$
$\vec{r} = \frac{-3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}}{-1}$
$\vec{r} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$

(A) मान लीजिए $A$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है।
तब $B$ के निर्देशांक $(3, 0, 4)$ और $C$ के निर्देशांक $(5, -2, 4)$ हैं।
$A$ से जाने वाली माध्यिका भुजा $BC$ को उसके मध्य बिंदु $M$ पर मिलती है।
$BC$ के मध्य बिंदु $M$ के निर्देशांक $\left( \frac{3+5}{2}, \frac{0-2}{2}, \frac{4+4}{2} \right) = (4, -1, 4)$ हैं।
माध्यिका $AM$ की लंबाई $A(0, 0, 0)$ से $M(4, -1, 4)$ तक की दूरी है।
लंबाई $= \sqrt{(4-0)^2 + (-1-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33} \text{ इकाई}$।

(C) स्थिति सदिश $\vec{A} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{B} = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{C} = \hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}$ हैं।
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (3-2)\hat{i} + (-2-1)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$.
$\overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (1-3)\hat{i} + (4-(-2))\hat{j} + (-3-1)\hat{k} = -2\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+36+16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.
$\overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (1-2)\hat{i} + (4-1)\hat{j} + (-3-(-1))\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$.
चूंकि $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) + (-\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) = 0$,इसलिए $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AC}$ है,जिसका अर्थ है कि सदिश समानांतर हैं और बिंदु $A, B, C$ एक ही रेखा पर स्थित हैं।
अतः,बिंदु संरेख हैं।

(D) दिया गया है $|\overline{u}|=2$। मान लीजिए दिशा कोण $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
हमारे पास $\alpha = 60^{\circ}$ और $\beta = 120^{\circ}$ है।
दिक् कोज्या (direction cosines) का संबंध $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
मान रखने पर: $(\cos 60^{\circ})^2 + (\cos 120^{\circ})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
सदिश $\overline{u} = |\overline{u}|(\cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k})$ द्वारा दिया जाता है।
$\overline{u} = 2(\frac{1}{2} \hat{i} - \frac{1}{2} \hat{j} \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k})$.
अतः,$\overline{u} = \hat{i} - \hat{j} \pm \sqrt{2} \hat{k}$. विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(A) दो सदिश $\vec{a} = a_1 \hat{\imath} + a_2 \hat{\jmath} + a_3 \hat{k}$ और $\vec{b} = b_1 \hat{\imath} + b_2 \hat{\jmath} + b_3 \hat{k}$ संरेख होते हैं यदि उनके संगत घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$।
दिए गए सदिश $(2, -q, 3)$ और $(4, -5, 6)$ हैं।
अनुपातों को बराबर रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2}{4} = \frac{-q}{-5} = \frac{3}{6}$
भिन्नों को सरल करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{q}{5} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} = \frac{q}{5}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$q = \frac{5}{2}$

(C) मूल बिंदु के परितः निर्देशांक निकाय के घूर्णन के दौरान सदिश का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
अतः,घूर्णन से पहले $\vec{a}$ का परिमाण = घूर्णन के बाद $\vec{a}$ का परिमाण।
$|\vec{a}|^2 = (2p)^2 + 1^2 = (p+1)^2 + 1^2$
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 1 + 1$
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 2$
$3p^2 - 2p - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$3p^2 - 3p + p - 1 = 0$
$3p(p-1) + 1(p-1) = 0$
$(3p+1)(p-1) = 0$
अतः,$p=1$ या $p=-\frac{1}{3}$।

(C) हम जानते हैं कि $|\vec{x}-\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$.
दी गई अभिव्यक्ति का विस्तार करने पर:
$S = |\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2$
$S = ( |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} ) + ( |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} ) + ( |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{a} )$
$S = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$
दिया गया है कि $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$,इसलिए $|\vec{a}|^2=9, |\vec{b}|^2=25, |\vec{c}|^2=49$.
$S = 2(9+25+49) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 166 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 \ge 0$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \ge 0$.
इसलिए,$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \ge -(9+25+49) = -83$.
अतः,$S = 166 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \le 166 - (-83) = 249$.
इस प्रकार,यह अभिव्यक्ति $249$ से अधिक नहीं हो सकती।

(A) मान लीजिए $\hat{a} = \frac{\overline{a}}{|\overline{a}|}$ और $\hat{b} = \frac{\overline{b}}{|\overline{b}|}$ क्रमशः $\overline{OA}$ और $\overline{OB}$ की दिशा में इकाई सदिश हैं।
$\angle AOB$ का कोण समद्विभाजक इकाई सदिशों के योग की दिशा में होता है,जो $\hat{a} + \hat{b}$ है।
यह दिया गया है कि कोण समद्विभाजक के अनुदिश सदिश $x\hat{a} + y\hat{b}$ है,इसलिए किसी अदिश $k \neq 0$ के लिए $x\hat{a} + y\hat{b} = k(\hat{a} + \hat{b})$ होगा।
$\hat{a}$ और $\hat{b}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $x = k$ और $y = k$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = y$,जिसका अर्थ है कि $x - y = 0$।

(B) दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = 1$ है।
दिए गए समीकरण का विस्तार करने पर:
$|\bar{a}+\bar{b}|^2+|\bar{a}+\bar{c}|^2=8$
$(|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2+2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (|\bar{a}|^2+|\bar{c}|^2+2\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$
चूंकि $|\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2 = |\bar{c}|^2 = 1$,हमारे पास है:
$(1+1+2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (1+1+2\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$
$4 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) = 4$
$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 2$।
चूंकि दो इकाई सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए दो अदिश गुणनफलों का योग $2$ तभी संभव है जब $\bar{a} \cdot \bar{b} = 1$ और $\bar{a} \cdot \bar{c} = 1$ हो।
इसका अर्थ है कि $\bar{a} = \bar{b} = \bar{c}$ है।
अब,आवश्यक व्यंजक की गणना करने पर:
$|\bar{a}+3\bar{b}|^2+|\bar{a}+3\bar{c}|^2 = |\bar{a}+3\bar{a}|^2+|\bar{a}+3\bar{a}|^2$
$= |4\bar{a}|^2 + |4\bar{a}|^2$
$= 16|\bar{a}|^2 + 16|\bar{a}|^2$
$= 16(1) + 16(1) = 32$।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\bar{c} = 5\bar{a} + 6\bar{b}$
$(2)$ $3\bar{c} = \bar{a} - 4\bar{b}$
समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$3\bar{c} = 15\bar{a} + 18\bar{b}$
अब,इसे समीकरण $(2)$ के साथ बराबर करने पर:
$15\bar{a} + 18\bar{b} = \bar{a} - 4\bar{b}$
$14\bar{a} = -22\bar{b}$
$\bar{a} = -\frac{11}{7}\bar{b}$
चूंकि $\bar{a}$,$\bar{b}$ का एक ऋणात्मक अदिश गुणज है,इसलिए $\bar{a}$ और $\bar{b}$ संरेख हैं और विपरीत दिशाओं में हैं।
$\bar{a} = -\frac{11}{7}\bar{b}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\bar{c} = 5(-\frac{11}{7}\bar{b}) + 6\bar{b} = -\frac{55}{7}\bar{b} + \frac{42}{7}\bar{b} = -\frac{13}{7}\bar{b}$
चूंकि $\bar{c}$ भी $\bar{b}$ का एक ऋणात्मक अदिश गुणज है,इसलिए $\bar{c}$ और $\bar{b}$ विपरीत दिशाओं में हैं।
चूंकि $\bar{a} = -\frac{11}{7}\bar{b}$ और $\bar{c} = -\frac{13}{7}\bar{b}$ है,इसलिए $\bar{a} = \frac{11}{13}\bar{c}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{a}$,$\bar{c}$ का एक धनात्मक अदिश गुणज है,इसलिए $\bar{a}$ और $\bar{c}$ एक ही दिशा में हैं।
अतः,$\bar{a}$ और $\bar{c}$ एक ही दिशा में हैं,जबकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ विपरीत दिशा में हैं।

(C) दिया गया है कि $\bar{s} = 4\bar{p} + 3\bar{q} + 5\bar{r}$.
साथ ही,$\bar{s} = x(-\bar{p} + \bar{q} + \bar{r}) + y(\bar{p} - \bar{q} + \bar{r}) + z(-\bar{p} - \bar{q} + \bar{r})$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,$\bar{s} = (-x + y - z)\bar{p} + (x - y - z)\bar{q} + (x + y + z)\bar{r}$ प्राप्त होता है।
$\bar{p}, \bar{q}, \bar{r}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$-x + y - z = 4$ $(i)$
$x - y - z = 3$ $(ii)$
$x + y + z = 5$ $(iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,$2x = 8 \implies x = 4$ प्राप्त होता है।
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$-2z = 7 \implies z = -\frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
$x=4$ और $z=-\frac{7}{2}$ को $(iii)$ में रखने पर,$4 + y - \frac{7}{2} = 5 \implies y = 1 + \frac{7}{2} = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$2x + y + z = 2(4) + \frac{9}{2} - \frac{7}{2} = 8 + \frac{2}{2} = 8 + 1 = 9$.

(A) माना $\bar{v} = 2\bar{a} - \bar{b} + 3\bar{c}$ है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\bar{v} = 2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (4\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + 3(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$
$\bar{v} = (2 - 4 + 3)\hat{i} + (2 + 2 - 6)\hat{j} + (2 - 3 + 3)\hat{k}$
$\bar{v} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$
$\bar{v}$ का परिमाण $|\bar{v}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
$\bar{v}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{v} = \frac{\bar{v}}{|\bar{v}|} = \frac{1}{3}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$ है।
$6$ इकाई परिमाण वाला अभीष्ट सदिश $6 \times \hat{v} = 6 \times \frac{1}{3}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 2(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$ होगा।

(A) मान लीजिए कि बिंदुओं $P, Q$ और $R$ के स्थिति सदिश $\vec{p} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{q} = -2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{r} = -8 \hat{i}+13 \hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{QR}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (-2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) - (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) = -3 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}$.
$\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = (-8 \hat{i}+13 \hat{j}) - (-2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) = -6 \hat{i}+10 \hat{j}-2 \hat{k}$.
हम देखते हैं कि $\vec{QR} = 2(-3 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}) = 2 \vec{PQ}$.
चूंकि $\vec{QR}, \vec{PQ}$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{QR}$ समांतर हैं।
चूंकि वे एक उभयनिष्ठ बिंदु $Q$ साझा करते हैं,इसलिए बिंदु $P, Q$ और $R$ संरेख हैं।
और चूंकि $\vec{QR} = 2 \vec{PQ}$ है,इसलिए बिंदु $Q, P$ और $R$ के बीच स्थित है।

(D) माना $AD$,$\triangle ABC$ की शीर्ष $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका है।
चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए सदिश $\overline{AD}$ को सूत्र $\overline{AD} = \frac{\overline{AB} + \overline{AC}}{2}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\overline{AD} = \frac{(3 \hat{i} + 4 \hat{k}) + (5 \hat{i} - 2 \hat{j} + 4 \hat{k})}{2}$
$\overline{AD} = \frac{(3+5) \hat{i} + (-2) \hat{j} + (4+4) \hat{k}}{2}$
$\overline{AD} = \frac{8 \hat{i} - 2 \hat{j} + 8 \hat{k}}{2}$
$\overline{AD} = 4 \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}$
अब,माध्यिका की लंबाई सदिश $\overline{AD}$ का परिमाण है:
$|\overline{AD}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$|\overline{AD}| = \sqrt{16 + 1 + 16}$
$|\overline{AD}| = \sqrt{33} \text{ इकाई}$.

(A) सबसे पहले,सदिश $\vec{v} = 3 \bar{a} + \bar{b} - 2 \bar{c}$ की गणना करें।
$\vec{v} = 3(2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) - 2(4 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k})$
$\vec{v} = (6 \hat{i} - 3 \hat{j} + 3 \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) - (8 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$\vec{v} = (6 + 1 - 8) \hat{i} + (-3 + 1 + 4) \hat{j} + (3 - 2 - 2) \hat{k}$
$\vec{v} = -\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$
अब,$\vec{v}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$
$\vec{v}$ की दिशा में इकाई सदिश $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{-\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}(-\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k})$ है।

(A) मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ हैं,जहाँ $\vec{a} = 2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ है।
समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{c} = (2+1) \hat{i} + (-4-2) \hat{j} + (5-3) \hat{k} = 3 \hat{i} - 6 \hat{j} + 2 \hat{k}$ है।
$\vec{c}$ का परिमाण $|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ है।
विकर्ण $\vec{c}$ के समांतर इकाई सदिश $\hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{3 \hat{i} - 6 \hat{j} + 2 \hat{k}}{7} = \frac{3}{7} \hat{i} - \frac{6}{7} \hat{j} + \frac{2}{7} \hat{k}$ है।

(A) दिया गया है: $\overline{a} = 4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k}$,$\overline{b} = \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$,और $\overline{c} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$।
हमें संबंध $\overline{a} = m \overline{b} + n \overline{c}$ दिया गया है।
सदिशों का मान रखने पर:
$4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k} = m(\hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + n(2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k})$
$4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k} = (m + 2n) \hat{i} + (-2m + 3n) \hat{j} + (3m - 4n) \hat{k}$
दोनों पक्षों में $\hat{i}, \hat{j},$ और $\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें निम्नलिखित रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं:
$1) \ m + 2n = 4$
$2) \ -2m + 3n = 13$
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करने पर $2m + 4n = 8$ प्राप्त होता है। इसे समीकरण $(2)$ में जोड़ने पर:
$(2m + 4n) + (-2m + 3n) = 8 + 13$
$7n = 21 \Rightarrow n = 3$
$n = 3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$m + 2(3) = 4 \Rightarrow m + 6 = 4 \Rightarrow m = -2$
अतः,$m + n = -2 + 3 = 1$।

(B) दिया गया है कि $\bar{a}+2 \bar{b}$,$\bar{c}$ के साथ संरेख है,इसलिए एक शून्येतर अदिश $n$ का अस्तित्व है जिससे $\bar{a}+2 \bar{b} = n \bar{c}$। (समीकरण $1$)
इसी प्रकार,चूंकि $\bar{b}+3 \bar{c}$,$\bar{a}$ के साथ संरेख है,एक शून्येतर अदिश $m$ का अस्तित्व है जिससे $\bar{b}+3 \bar{c} = m \bar{a}$। (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से,$\bar{b} = m \bar{a} - 3 \bar{c}$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $1$ में रखने पर: $\bar{a} + 2(m \bar{a} - 3 \bar{c}) = n \bar{c}$।
इसे सरल करने पर: $\bar{a} + 2m \bar{a} - 6 \bar{c} = n \bar{c}$।
$(1 + 2m) \bar{a} = (n + 6) \bar{c}$।
चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{c}$ शून्येतर और असंरेख हैं,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए।
अतः,$1 + 2m = 0 \Rightarrow m = -\frac{1}{2}$ और $n + 6 = 0 \Rightarrow n = -6$।
$n = -6$ को समीकरण $1$ में रखने पर,हमें $\bar{a} + 2 \bar{b} = -6 \bar{c}$ प्राप्त होता है।

(C) निर्देशांक निकाय को मूल बिंदु के परितः घुमाने पर सदिश का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
मूल निकाय में सदिश $\bar{a}$ के घटक $(1, 2p)$ दिए गए हैं,अतः इसके परिमाण का वर्ग:
$|\bar{a}|^2 = 1^2 + (2p)^2 = 1 + 4p^2$
नए निकाय में,घटक $(1, p+1)$ हैं,अतः इसके परिमाण का वर्ग:
$|\bar{b}|^2 = 1^2 + (p+1)^2 = 1 + p^2 + 2p + 1 = p^2 + 2p + 2$
चूंकि $|\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2$,इसलिए:
$1 + 4p^2 = p^2 + 2p + 2$
$3p^2 - 2p - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(3p + 1)(p - 1) = 0$
अतः,$p = -\frac{1}{3}$ या $p = 1$.

(A) दिया गया है कि $|\overline{a}|=2, |\overline{b}|=3, |\overline{c}|=5$ और सदिशों के प्रत्येक युग्म के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}||\overline{b}| \cos 60^{\circ} = (2)(3)(\frac{1}{2}) = 3$.
इसी प्रकार,$\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}||\overline{c}| \cos 60^{\circ} = (3)(5)(\frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$.
और $\overline{c} \cdot \overline{a} = |\overline{c}||\overline{a}| \cos 60^{\circ} = (5)(2)(\frac{1}{2}) = 5$.
अब,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2+|\overline{b}|^2+|\overline{c}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a})$.
मान रखने पर: $|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 2(3 + \frac{15}{2} + 5)$.
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 4 + 9 + 25 + 2(\frac{6+15+10}{2}) = 38 + 31 = 69$.
अतः,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}| = \sqrt{69}$.