System of co-ordinates, Direction cosines and direction ratios, Projection Questions in Gujarati

(B) રેખાના દિક્કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે.
આપેલ દિક્કોસાઇન $\frac{a}{\sqrt{83}}, \frac{5}{\sqrt{83}}, \frac{c}{\sqrt{83}}$ છે.
તેથી,$\left(\frac{a}{\sqrt{83}}\right)^2 + \left(\frac{5}{\sqrt{83}}\right)^2 + \left(\frac{c}{\sqrt{83}}\right)^2 = 1$.
$\Rightarrow \frac{a^2}{83} + \frac{25}{83} + \frac{c^2}{83} = 1$.
$\Rightarrow a^2 + 25 + c^2 = 83$.
$\Rightarrow a^2 + c^2 = 58$ ...$(i)$.
આપેલ છે કે $c - a = 4$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $(c - a)^2 = 16$ મળે.
$c^2 + a^2 - 2ca = 16$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $a^2 + c^2 = 58$ મૂકતા:
$58 - 2ca = 16$.
$2ca = 58 - 16 = 42$.
$ca = 21$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે દિકગુણોત્તરો $(a, b, c)$ અને દિકકોસાઇન $(\ell, m, n)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = k\ell, b = km, c = kn$ છે,જ્યાં $k$ એક શૂન્યતર અચળાંક છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a^2}{b^2+c^2} = \frac{(k\ell)^2}{(km)^2+(kn)^2} = \frac{k^2\ell^2}{k^2(m^2+n^2)} = \frac{\ell^2}{m^2+n^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\ell^2 + m^2 + n^2 = 1$,તેથી $m^2 + n^2 = 1 - \ell^2$ થાય.
આમ,$\frac{a^2}{b^2+c^2} = \frac{\ell^2}{1-\ell^2}$.

(B) આપેલ સમીકરણો $2l-m+3n=0$ અને $l^2+mn-6n^2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$m=2l+3n$.
આ કિંમતને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $l^2+(2l+3n)n-6n^2=0$.
$l^2+2ln+3n^2-6n^2=0 \Rightarrow l^2+2ln-3n^2=0$.
અવયવ પાડતા $(l+3n)(l-n)=0$ મળે,તેથી $l=n$ અથવા $l=-3n$.
કિસ્સો $1$: જો $l=n$,તો $m=2(n)+3n=5n$. દિકગુણોત્તર $(n, 5n, n)$ અથવા $(1, 5, 1)$ છે. દિકકોસાઇન $(\frac{1}{\sqrt{1^2+5^2+1^2}}, \frac{5}{\sqrt{27}}, \frac{1}{\sqrt{27}}) = (\frac{1}{3\sqrt{3}}, \frac{5}{3\sqrt{3}}, \frac{1}{3\sqrt{3}})$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $l=-3n$,તો $m=2(-3n)+3n=-3n$. દિકગુણોત્તર $(-3n, -3n, n)$ અથવા $(-3, -3, 1)$ છે. દિકકોસાઇન $(\frac{-3}{\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+1^2}}, \frac{-3}{\sqrt{19}}, \frac{1}{\sqrt{19}}) = (\frac{-3}{\sqrt{19}}, \frac{-3}{\sqrt{19}}, \frac{1}{\sqrt{19}})$ છે.
આમ,$l_1=\frac{1}{3\sqrt{3}}, m_1=\frac{5}{3\sqrt{3}}$ અને $l_2=\frac{-3}{\sqrt{19}}, m_2=\frac{-3}{\sqrt{19}}$.
$|l_1 l_2|+|m_1 m_2| = |(\frac{1}{3\sqrt{3}})(\frac{-3}{\sqrt{19}})| + |(\frac{5}{3\sqrt{3}})(\frac{-3}{\sqrt{19}})| = |\frac{-1}{\sqrt{3}\sqrt{19}}| + |\frac{-5}{\sqrt{3}\sqrt{19}}| = \frac{1}{\sqrt{57}} + \frac{5}{\sqrt{57}} = \frac{6}{\sqrt{57}} = \frac{6}{\sqrt{3}\sqrt{19}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$.

(D) ધારો કે $AB$ અને $AC$ ની દિક્કોસાઇન ($DC$'s) અનુક્રમે $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ છે.
પ્રથમ,$AB$ અને $AC$ ના દિક્ગુણોત્તર ($DR$'s) શોધો:
$AB$ ના $DR's = (3-1, 1-(-2), -3-3) = (2, 3, -6)$.
$AC$ ના $DR's = (-3-1, 1-(-2), 3-3) = (-4, 3, 0)$.
હવે,દિક્ગુણોત્તરને તેમના માન વડે ભાગીને દિક્કોસાઇન શોધો:
$AB$ નું માન $= \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,$l_1 = \frac{2}{7}, m_1 = \frac{3}{7}, n_1 = \frac{-6}{7}$.
$AC$ નું માન $= \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5$.
તેથી,$l_2 = \frac{-4}{5}, m_2 = \frac{3}{5}, n_2 = 0$.
કારણ કે $\cos A = l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2$:
$\cos A = \left(\frac{2}{7}\right)\left(\frac{-4}{5}\right) + \left(\frac{3}{7}\right)\left(\frac{3}{5}\right) + \left(\frac{-6}{7}\right)(0)$
$\cos A = \frac{-8}{35} + \frac{9}{35} + 0 = \frac{1}{35}$.

(D) આપેલ છે કે $l, m, n$ એ રેખાના દિક્કોસાઇન છે,તેથી $l^2+m^2+n^2=1$ $(i)$.
આપેલ સંબંધ $l-m+n=0$ પરથી,આપણને $l=m-n$ મળે છે.
આ કિંમતને બીજા સંબંધ $lm+mn-4nl=0$ માં મૂકતા:
$(m-n)m + mn - 4n(m-n) = 0$
$m^2 - mn + mn - 4mn + 4n^2 = 0$
$m^2 - 4mn + 4n^2 = 0$
$(m-2n)^2 = 0 \Rightarrow m=2n$.
$l=m-n$ માં $m=2n$ મૂકતા,આપણને $l=2n-n=n$ મળે છે.
હવે,$l=n$ અને $m=2n$ ને નિત્યસમ $l^2+m^2+n^2=1$ માં મૂકતા:
$n^2 + (2n)^2 + n^2 = 1$
$n^2 + 4n^2 + n^2 = 1$
$6n^2 = 1 \Rightarrow n = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.
આમ,$l = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$ અને $m = \pm \frac{2}{\sqrt{6}}$.
તેથી દિક્કોસાઇન $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)$ અથવા $\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$ છે.

(C) ધારો કે રેખાના દિકકોસાઇન $(l, m, n) = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ રેખા માટે,તેના દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય છે.
આપેલ છે કે રેખા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી $\alpha = \beta = \gamma$.
તેથી,$\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$.
આ કિંમતને નિત્યસમમાં મૂકતા,આપણને $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ મળે છે.
$3 \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$.
આમ,$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,દિકકોસાઇન $(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}})$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{OP}$ ના દિકગુણોત્તરો $(a, b, c) = (1, -2, -2)$ છે.
પ્રથમ,આપણે દિકગુણોત્તરોના સદિશનું માન શોધીએ: $\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ એ દિકગુણોત્તરોને તેમના માન વડે ભાગવાથી મળે છે:
$l = \frac{1}{3}, m = \frac{-2}{3}, n = \frac{-2}{3}$.
ઉગમબિંદુથી $r = 3$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ ના યામ $(lr, mr, nr)$ દ્વારા મળે છે.
$P = (\frac{1}{3} \times 3, \frac{-2}{3} \times 3, \frac{-2}{3} \times 3) = (1, -2, -2)$.

(B) ધારો કે સદિશ $\overrightarrow{AB} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$ છે.
$XY$ સમતલ પરનો પ્રક્ષેપ $\sqrt{l^2 + m^2} = \sqrt{15}$ છે,તેથી $l^2 + m^2 = 15$ (સમીકરણ $1$).
$YZ$ સમતલ પરનો પ્રક્ષેપ $\sqrt{m^2 + n^2} = \sqrt{46}$ છે,તેથી $m^2 + n^2 = 46$ (સમીકરણ $2$).
$ZX$ સમતલ પરનો પ્રક્ષેપ $\sqrt{n^2 + l^2} = 7$ છે,તેથી $n^2 + l^2 = 49$ (સમીકરણ $3$).
ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2(l^2 + m^2 + n^2) = 15 + 46 + 49 = 110$
$l^2 + m^2 + n^2 = 55$.
$y$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ $|m|$ છે.
$m^2 = (l^2 + m^2 + n^2) - (l^2 + n^2) = 55 - 49 = 6$.
તેથી,$m = \sqrt{6}$.

(C) આપેલ છે કે,બે રેખાઓના દિકકોસાઇન $l_1 = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ અને $l_2 = (\frac{5}{13}, \frac{12}{13}, 0)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેના દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય,તેમની વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગતી રેખાના દિકગુણોત્તર $\langle l_1+l_2, m_1+m_2, n_1+n_2 \rangle$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
કિંમતો મૂકતા,દિકગુણોત્તર $\langle \frac{2}{3} + \frac{5}{13}, \frac{2}{3} + \frac{12}{13}, \frac{1}{3} + 0 \rangle$ ના પ્રમાણમાં મળે છે.
દરેક ઘટક માટે સરવાળો ગણતા:
$\frac{2}{3} + \frac{5}{13} = \frac{26+15}{39} = \frac{41}{39}$
$\frac{2}{3} + \frac{12}{13} = \frac{26+36}{39} = \frac{62}{39}$
$\frac{1}{3} + 0 = \frac{13}{39}$
આમ,દિકગુણોત્તર $\langle \frac{41}{39}, \frac{62}{39}, \frac{13}{39} \rangle$ ના પ્રમાણમાં છે.
$39$ વડે ગુણતા,આપણને દિકગુણોત્તર $\langle 41, 62, 13 \rangle$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P = (-2, 4, -5)$ અને $Q = (1, 2, 3)$ છે.
રેખાખંડ $\overrightarrow{PQ}$ ના દિકગુણોત્તર $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (1 - (-2), 2 - 4, 3 - (-5)) = (3, -2, 8)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{PQ}$ નું માન $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 4 + 64} = \sqrt{77}$ છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ મેળવવા માટે દિકગુણોત્તરને માન વડે ભાગતા:
$l = \frac{3}{\sqrt{77}}$,$m = \frac{-2}{\sqrt{77}}$,$n = \frac{8}{\sqrt{77}}$.
આમ,દિકકોસાઇન $\left(\frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}}\right)$ છે.

(B) ધન $X, Y$ અને $Z$ અક્ષ સાથે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવતી રેખાના દિકકોસાઇન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\alpha = 90^{\circ}, \beta = 135^{\circ}, \gamma = 45^{\circ}$ છે.
દિકકોસાઇન નીચે મુજબ છે:
$l = \cos 90^{\circ} = 0$
$m = \cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$n = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,દિકકોસાઇન $\left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(B) રેખાના દિકકોસાઇન $l, m, n$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ રેખા માટે,તેના દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે,એટલે કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
અહીં આપેલ દિકકોસાઇન $\left(\frac{1}{c}, \frac{1}{c}, \frac{1}{c}\right)$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\left(\frac{1}{c}\right)^2 + \left(\frac{1}{c}\right)^2 + \left(\frac{1}{c}\right)^2 = 1$
$\frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^2} = 1$
$\frac{3}{c^2} = 1$
$c^2 = 3$
$c = \pm \sqrt{3}$

(C) ધારો કે રેખા $AB$ ના દિશા ખૂણાઓ $\alpha = 45^{\circ}$,$\beta = 120^{\circ}$ અને $\gamma = \theta$ છે.
કોઈપણ રેખાના દિશા કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે,એટલે કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 120^{\circ} + \cos^2 \theta = 1$.
કારણ કે $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$,તેથી:
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
કારણ કે $\theta$ એ લઘુકોણ છે,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = 60^{\circ}$.

(C) ધારો કે રેખાના દિક્કોસાઈન $(l, m, n)$ છે. રેખાની લંબાઈ $l$ હોવાથી,યામ અક્ષો પરના પ્રક્ષેપો $l_1 = l \cdot |l|$,$l_2 = l \cdot |m|$ અને $l_3 = l \cdot |n|$ દ્વારા મળે છે.
તેમનો વર્ગ કરતા,આપણને $l_1^2 = l^2 l^2$,$l_2^2 = l^2 m^2$ અને $l_3^2 = l^2 n^2$ મળે છે.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$l_1^2 + l_2^2 + l_3^2 = l^2 (l^2 + m^2 + n^2)$ મળે છે.
દિક્કોસાઈનોના વર્ગોનો સરવાળો $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ હોવાથી,આપણને $l_1^2 + l_2^2 + l_3^2 = l^2 (1) = l^2$ મળે છે.

(D) ધારો કે જરૂરી રેખાના દિક્ગુણોત્તર $\langle a, b, c \rangle$ છે.
આ રેખા $\langle 1, -2, -2 \rangle$ અને $\langle 0, 2, 1 \rangle$ દિક્ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી:
$1(a) - 2(b) - 2(c) = 0$ (સમીકરણ $1$)
$0(a) + 2(b) + 1(c) = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ પરથી,$c = -2b$ મળે છે.
$c = -2b$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$a - 2b - 2(-2b) = 0$
$a - 2b + 4b = 0$
$a + 2b = 0 \implies a = -2b$.
જો $b = -1$ લઈએ,તો $a = 2$ અને $c = 2$ મળે.
તેથી દિક્ગુણોત્તર $\langle 2, -1, 2 \rangle$ છે.
તેનું મૂલ્ય $\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
આમ,દિક્કોસાઇન $\langle \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{2}{3} \rangle$ થાય.

(A) $X, Y$ અને $Z$-અક્ષ સાથે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવતી રેખાના દિક-કોસાઇન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 90^{\circ}, \beta = 135^{\circ}$ અને $\gamma = 45^{\circ}$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$\cos \alpha = \cos 90^{\circ} = 0$
$\cos \beta = \cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos \gamma = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,દિક-કોસાઇન $\left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(D) બે લંબ રેખાઓ જેના દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય,તેમના માટે લંબ હોવાની શરત $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$ છે.
વિધાન $4$ માં સરવાળો $1$ હોવાનું કહેવામાં આવ્યું છે,જે ખોટું છે.
તેથી,વિધાન $4$ ખોટું છે.

(C) રેખાના દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ તેના દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
અહીં આપેલ દિકકોસાઇન $\langle -\frac{9}{11}, \frac{6}{11}, -\frac{2}{11} \rangle$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકગુણોત્તર એ દિકકોસાઇનના પ્રમાણમાં રહેલી કોઈપણ સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે.
જો આપણે દિકકોસાઇનને અચળાંક $k = 11$ વડે ગુણીએ,તો આપણને દિકગુણોત્તર $\langle -9, 6, -2 \rangle$ મળે છે.
તેથી,દિકગુણોત્તર $\langle -9, 6, -2 \rangle$ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) બે રેખાઓ સમાંતર હોય જો અને માત્ર જો તેમના દિકકોસાઇન પ્રમાણમાં હોય.
આપેલ છે કે બે રેખાઓના દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ છે,તેથી સમાંતરતા માટેની શરત છે:
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}$.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે બે રેખાઓની દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ અને $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = |(\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{4})(\frac{1}{4}) + (\frac{\sqrt{3}}{4})(\frac{\sqrt{3}}{4})|$
$\cos \theta = |-\frac{3}{4} + \frac{1}{16} + \frac{3}{16}|$
$\cos \theta = |-\frac{12}{16} + \frac{4}{16}| = |-\frac{8}{16}| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\theta = 60^{\circ}$.
આમ,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.

(B) બે રેખાઓની દિકકોસાઇન $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
આ દિકકોસાઇન હોવાથી,આપણી પાસે ગુણધર્મ $a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 = 1$ અને $a_2^2 + b_2^2 + c_2^2 = 1$ છે.
બે રેખાઓ જેની દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\cos \theta = |a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|$ મળે છે.
છેદ $\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} = \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} = 1$ હોવાથી,પદાવલિ $|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|$ માં પરિણમે છે.

(D) ધારો કે રેખા ધન $x$,$y$,અને $z$-અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$,અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{3}$ અને $\beta = \frac{\pi}{4}$.
રેખાના દિકકોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,અને $n = \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\cos \gamma = \frac{1}{2}$ (કારણ કે ખૂણો ધન અક્ષ સાથે છે,તેથી $\cos \gamma > 0$).
તેથી,$\gamma = \frac{\pi}{3}$.

(D) ધારો કે $OA$ અને $OB$ ની દિશામાં એકમ સદિશો $\vec{a} = l_1 \hat{i} + m_1 \hat{j} + n_1 \hat{k}$ અને $\vec{b} = l_2 \hat{i} + m_2 \hat{j} + n_2 \hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$ થાય.
$\angle AOB$ નો આંતરિક દ્વિભાજક સદિશ $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ ની દિશામાં હોય છે.
$\vec{v} = (l_1+l_2) \hat{i} + (m_1+m_2) \hat{j} + (n_1+n_2) \hat{k}$.
$\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{(l_1+l_2)^2 + (m_1+m_2)^2 + (n_1+n_2)^2}$ છે.
$|\vec{v}|^2 = (l_1^2+m_1^2+n_1^2) + (l_2^2+m_2^2+n_2^2) + 2(l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2)$.
$l_i^2+m_i^2+n_i^2 = 1$ અને $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = \cos \theta$ હોવાથી:
$|\vec{v}|^2 = 1 + 1 + 2 \cos \theta = 2(1+\cos \theta) = 4 \cos^2 \frac{\theta}{2}$.
તેથી,$|\vec{v}| = 2 \cos \frac{\theta}{2}$.
આંતરિક દ્વિભાજકની દિકકોસાઇન એ એકમ સદિશ $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ ના ઘટકો છે,જે:
$\frac{l_1+l_2}{2 \cos \frac{\theta}{2}}, \frac{m_1+m_2}{2 \cos \frac{\theta}{2}}, \frac{n_1+n_2}{2 \cos \frac{\theta}{2}}$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$l+m+n=0$ ... $(i)$
$2lm+2ln-mn=0$ ... (ii)
$(i)$ પરથી,$m+n = -l$. આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$2l(m+n) - mn = 0$
$2l(-l) - mn = 0 \Rightarrow mn = -2l^2$ ... (iii)
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2+m^2+n^2 = 1$. વળી,$(m+n)^2 = m^2+n^2+2mn = (-l)^2 = l^2$.
તેથી,$m^2+n^2 = l^2 - 2mn = l^2 - 2(-2l^2) = 5l^2$.
$l^2+m^2+n^2 = 1$ માં મૂકતા:
$l^2 + 5l^2 = 1 \Rightarrow 6l^2 = 1 \Rightarrow l^2 = \frac{1}{6}$.
ધારો કે બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ છે.
$mn = -2l^2$ અને $m+n = -l$ પરથી,$m$ અને $n$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 + lt - 2l^2 = 0$ ના બીજ છે.
$(t+2l)(t-l) = 0 \Rightarrow t = -2l, l$.
આમ,દિક્ગુણોત્તર $(l, -2l, l)$ અને $(l, l, -2l)$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેને પ્રમાણિત કરતા,દિક્કોસાઇન $(1, -2, 1)$ અને $(1, 1, -2)$ ના પ્રમાણમાં મળે છે.
ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}} = \frac{|1-2-2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) ધારો કે રેખા $X, Y, Z$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવે છે. દિશા કોસાઇન $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\beta = \frac{\pi}{4}$ અને $\gamma = \frac{\pi}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{3} = 1$.
$\cos^2 \alpha + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1$.
$\cos^2 \alpha + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$.
$\cos^2 \alpha + \frac{3}{4} = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{4}$.
$\cos \alpha = \pm \frac{1}{2}$.
અહીં $\alpha$ ગુરુકોણ હોવાથી,$\cos \alpha$ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે જો કોઈ રેખા $X$-અક્ષ,$Y$-અક્ષ અને $Z$-અક્ષની ધન દિશા સાથે અનુક્રમે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવે,તો $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ થાય.
અહીં $\alpha = \tan^{-1} \sqrt{7}$ અને $\beta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{5}{3}}$ આપેલ છે.
$\alpha = \tan^{-1} \sqrt{7}$ માટે,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + (\sqrt{7})^2}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$\beta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{5}{3}}$ માટે,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + (\sqrt{5/3})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 5/3}} = \frac{1}{\sqrt{8/3}} = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
આ કિંમતોને નિત્યસમ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{4}{8} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = \frac{1}{2}$
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$\gamma = \frac{\pi}{4}$ અથવા $\gamma = \frac{3\pi}{4}$.

(D) આપેલ સંબંધો $l+m+n=0$ અને $lm=0$ છે.
$lm=0$ પરથી,કાં તો $l=0$ અથવા $m=0$ મળે.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$ હોય,તો $m+n=0$,તેથી $n=-m$. દિકકોસાઇન $(0, m, -m)$ છે. $l^2+m^2+n^2=1$ હોવાથી,$0^2+m^2+(-m)^2=1$,જે $2m^2=1$ આપે છે,તેથી $m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,દિકગુણોત્તર $(0, 1, -1)$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$ હોય,તો $l+n=0$,તેથી $n=-l$. દિકકોસાઇન $(l, 0, -l)$ છે. તેવી જ રીતે,$l^2+0^2+(-l)^2=1$,જે $2l^2=1$ આપે છે,તેથી $l = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,દિકગુણોત્તર $(1, 0, -1)$ મળે.
ધારો કે બે રેખાઓના દિક સદિશો $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ અને $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ છે.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) રેખાના દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $(l, m, n) = (pq, q, q)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ રેખા માટે,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(pq)^2 + q^2 + q^2 = 1$,જેનું સાદું રૂપ $p^2q^2 + 2q^2 = 1$ અથવા $q^2(p^2 + 2) = 1$ થાય છે.
વળી,દિકકોસાઇન $l = \cos(\alpha)$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ $X$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{3}$,તેથી $l = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
$l = pq$ હોવાથી,$pq = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $p^2q^2 = \frac{1}{4}$.
$p^2q^2 = \frac{1}{4}$ ને સમીકરણ $p^2q^2 + 2q^2 = 1$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{4} + 2q^2 = 1$
$2q^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$q^2 = \frac{3}{8}$.
હવે,$p^2q^2 = \frac{1}{4}$ નો ઉપયોગ કરીને $p^2$ શોધો:
$p^2(\frac{3}{8}) = \frac{1}{4}$
$p^2 = \frac{1}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{2}{3}$.
અંતે,ગુણોત્તર $p^2 : q^2 = \frac{2}{3} : \frac{3}{8} = \frac{2}{3} \times \frac{8}{3} = \frac{16}{9}$.

(B) ધારો કે રેખાના દિક્કોસાઈન $(l, m, n)$ છે.
રેખા ત્રણેય યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલી હોવાથી,રેખા દ્વારા $x, y, z$ અક્ષો સાથે બનાવેલા ખૂણા $\alpha, \beta, \gamma$ સમાન છે,એટલે કે $\alpha = \beta = \gamma$.
તેથી,દિક્કોસાઈન સમાન છે: $l = m = n$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિક્કોસાઈનના વર્ગોનો સરવાળો $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય છે.
$l = m = n$ મૂકતા,આપણને $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $3l^2 = 1$.
આમ,$l^2 = \frac{1}{3}$,તેથી $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
રેખા દ્વારા $y$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\beta$ એ $\cos \beta = m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મુખ્ય કિંમત લેતા,$\beta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $O(0, 0, 0)$ અને $P(2, 3, -1)$ છે.
રેખા $OP$ ના દિકગુણોત્તર $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (2 - 0, 3 - 0, -1 - 0) = (2, 3, -1)$ છે.
અંતર $OP = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n) = \left(\frac{a}{r}, \frac{b}{r}, \frac{c}{r}\right) = \left(\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}\right)$ થાય.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે રેખાના દિકકોસાઇન સંબંધ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ એ રેખા દ્વારા $X, Y,$ અને $Z$-અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે.
અહીં $\alpha = \frac{\pi}{3}$ અને $\beta = \frac{\pi}{4}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સંબંધમાં મૂકતા:
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \gamma = 1$
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$
કારણ કે $\gamma$ એ $0$ અને $\pi$ ની વચ્ચેનો ખૂણો છે,તેથી $\cos \gamma = \frac{1}{2}$ નો અર્થ છે $\gamma = \frac{\pi}{3}$ (અથવા $\cos \gamma = -\frac{1}{2}$ નો અર્થ છે $\gamma = \frac{2\pi}{3}$).
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.

(B) રેખા ત્રણેય યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો $\theta$ બનાવે છે,તેથી $\alpha = \beta = \gamma = \theta$ થાય.
તેથી,દિશા કોસાઇન $l = m = n = \cos \theta$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ રેખા માટે,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $3 \cos^2 \theta = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ મળે,તેથી $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
અંતે,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{2}/\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.

(B) બિંદુઓ $A(p, -4, 2)$ અને $B(3, 2, -4)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ $M$ એ $M = \left( \frac{p+3}{2}, \frac{-4+2}{2}, \frac{2-4}{2} \right) = \left( \frac{p+3}{2}, -1, -1 \right)$ દ્વારા મળે છે.
કિરણ બિંદુ $C(5, q, 1)$ અને $M\left( \frac{p+3}{2}, -1, -1 \right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેના દિકગુણોત્તરો યામોના તફાવતને પ્રમાણસર હોય છે: $\left( \frac{p+3}{2} - 5, -1 - q, -1 - 1 \right)$.
આપેલ દિકગુણોત્તરો $(2, 3, c)$ હોવાથી,આપણે સરખાવીએ:
$1) \frac{p+3}{2} - 5 = 2 \implies \frac{p+3}{2} = 7 \implies p+3 = 14 \implies p = 11$.
$2) -1 - q = 3 \implies q = -4$.
$3) -1 - 1 = c \implies c = -2$.
અંતે,$c \cdot (p + 7q) = -2 \cdot (11 + 7(-4)) = -2 \cdot (11 - 28) = -2 \cdot (-17) = 34$.

(A) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ કિરણ દ્વારા $X, Y$ અને $Z$-અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે.
કિરણના દિકકોસાઈન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
અહીં $\beta = \frac{\pi}{3}$ અને $\gamma = \frac{\pi}{4}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\cos^2 \alpha + \cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\cos^2 \alpha + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1$
$\cos^2 \alpha + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1$
$\cos^2 \alpha + \frac{3}{4} = 1$
$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
કારણ કે $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$,તેથી:
$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
તેથી,$\sin \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(B) રેખાના દિકકોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,અને $n = \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે,એટલે કે $\cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + \cos ^2 \gamma = 1$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma = (1 - \cos ^2 \alpha) + (1 - \cos ^2 \beta) + (1 - \cos ^2 \gamma)$
$= 3 - (\cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + \cos ^2 \gamma)$
$= 3 - 1 = 2$.
આમ,કિંમત $2$ છે.

(B) ધારો કે બે રેખાઓના દિશા ગુણોત્તર $\vec{a} = (2, -2, 1)$ અને $\vec{b} = (1, -2, 2)$ છે.
બે રેખાઓના દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (-2)(-2) + (1)(2)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}}$
અંશની ગણતરી:
$|2 + 4 + 2| = 8$
છેદની ગણતરી:
$\sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$
$\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$
આમ,$\cos \theta = \frac{8}{3 \times 3} = \frac{8}{9}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$.

(D) આપેલ સમીકરણો $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ અને $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$m = -2l - 2n$.
$m$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ વડે ભાગતા: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
ધારો કે $x = \frac{l}{n}$. તો $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
ધારો કે બીજ $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ અને $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ છે.
તો $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
તે જ રીતે,$l = -\frac{m+2n}{2}$ ને $(2)$ માં મૂકતા $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ મળે છે.
$n^2$ વડે ભાગતા,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
ધારો કે $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ અને $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. તો $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
બે રેખાઓ માટે જેમની દિકગુણોત્તર $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
આમ,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.