Line Questions in Hindi

(A) माना कि दो रेखाओं के दिक-अनुपात $\vec{b_1} = (1, 2, 2)$ और $\vec{b_2} = (2, 2, -1)$ हैं।
दो रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र है:
$\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$
मान रखने पर:
$\cos \theta = \left| \frac{1(2) + 2(2) + 2(-1)}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{2 + 4 - 2}{\sqrt{1 + 4 + 4} \sqrt{4 + 4 + 1}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{4}{\sqrt{9} \sqrt{9}} \right| = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$.

(A) दोनों रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b_2} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ हैं।
मान लीजिए कि रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है।
दो रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(2) + (1)(1) + (2)(-1) = 2 + 1 - 2 = 1$.
परिमाण की गणना करने पर: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ और $|\vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{|1|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{6}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$।

(D) माना $\vec{a}$ और $\vec{b}$ रेखाओं $\frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{8}$ और $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{1}$ की दिशा के सदिश हैं।
$\vec{a} = 4\hat{i} + \hat{j} + 8\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
उनका अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (4 \times 2) + (1 \times 2) + (8 \times 1) = 8 + 2 + 8 = 18$ है।
उनके परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 1 + 64} = \sqrt{81} = 9$ और $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ हैं।
माना $\theta$ रेखाओं के बीच का कोण है। तब $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{18}{9 \times 3} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$।

(B) दोनों रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{\imath} - 2\hat{\jmath} - 2\hat{k}$ और $\vec{b_2} = 3\hat{\imath} + 2\hat{\jmath} - 6\hat{k}$ हैं।
रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,डॉट प्रोडक्ट की गणना करें: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (-2)(2) + (-2)(-6) = 3 - 4 + 12 = 11$.
इसके बाद,परिमाण (magnitudes) की गणना करें: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$\cos \theta = \frac{|11|}{3 \times 7} = \frac{11}{21}$.

(D) पहली रेखा का दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
दूसरी रेखा का दिशा सदिश $\vec{b_2} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(1) + (-1)(3) + (1)(2) = 1 - 3 + 2 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(A) माना अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ हैं।
दी गई पहली रेखा के दिक्-अनुपात $(1, 2, 4)$ हैं और दूसरी रेखा के दिक्-अनुपात $(2, 2, 1)$ हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा दोनों रेखाओं के लंबवत है,इसलिए इसका दिक्-सदिश दी गई रेखाओं के दिक्-सदिशों का सदिश गुणनफल (cross product) होगा:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-8) - \hat{j}(1-8) + \hat{k}(2-4) = -6\hat{i} + 7\hat{j} - 2\hat{k}$.
अतः,दिक्-अनुपात $(-6, 7, -2)$ या $(6, -7, 2)$ के समानुपाती हैं।
रेखा $(1, 2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $\frac{x-1}{6} = \frac{y-2}{-7} = \frac{z-3}{2}$ होगा।
इसे $\frac{x-1}{6} = \frac{2-y}{7} = \frac{z-3}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) बिंदुओं $A(\vec{a})$ और $B(\vec{b})$ से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 7\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 6\hat{k}$ है।
दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{b} - \vec{a} = (1-3)\hat{i} + (-1-4)\hat{j} + (6 - (-7))\hat{k} = -2\hat{i} - 5\hat{j} + 13\hat{k}$ है।
अतः,प्राचलिक समीकरण $x = x_1 + v_x \lambda$,$y = y_1 + v_y \lambda$,$z = z_1 + v_z \lambda$ हैं।
मान रखने पर: $x = 3 - 2\lambda$,$y = 4 - 5\lambda$,$z = -7 + 13\lambda$ प्राप्त होता है।

(D) दो रेखाएँ जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे परस्पर लंब होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
दी गई पहली रेखा के दिक अनुपात $(-3, 2k, 2)$ हैं और दूसरी रेखा के दिक अनुपात $(3k, 1, -5)$ हैं।
लंब होने की शर्त लागू करने पर:
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = \frac{-10}{7}$

(D) मुख्य विचार: यदि रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ लंबवत हैं,तो $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ होता है।
दी गई रेखाएँ हैं:
$\frac{2x-4}{\lambda} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1} \Rightarrow \frac{x-2}{\lambda/2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1}$ $(i)$
और $\frac{x-1}{1} = \frac{3y-1}{\lambda} = \frac{z-2}{1} \Rightarrow \frac{x-1}{1} = \frac{y-1/3}{\lambda/3} = \frac{z-2}{1}$ (ii)
चूँकि रेखाएँ $(i)$ और (ii) लंबवत हैं,इसलिए उनके दिक-अनुपातों का डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$(\frac{\lambda}{2})(1) + (2)(\frac{\lambda}{3}) + (1)(1) = 0$
$\frac{\lambda}{2} + \frac{2\lambda}{3} + 1 = 0$
हर को हटाने के लिए $6$ से गुणा करने पर:
$3\lambda + 4\lambda + 6 = 0$
$7\lambda = -6$
$\lambda = -\frac{6}{7}$

(C) माना दी गई रेखाएँ हैं:
$L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = k_1$
$L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-\lambda}{2}=\frac{z}{1} = k_2$
$L_1$ पर कोई बिंदु $(2k_1+1, 3k_1-1, 4k_1+1)$ है और $L_2$ पर कोई बिंदु $(k_2+3, 2k_2+\lambda, k_2)$ है।
यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,तो ऐसे $k_1, k_2$ मौजूद हैं कि:
$2k_1+1 = k_2+3 \Rightarrow 2k_1 - k_2 = 2$ $(i)$
$4k_1+1 = k_2 \Rightarrow 4k_1 - k_2 = -1$ $(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$(4k_1 - k_2) - (2k_1 - k_2) = -1 - 2$
$2k_1 = -3 \Rightarrow k_1 = -\frac{3}{2}$
$k_1$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$4(-\frac{3}{2}) - k_2 = -1 \Rightarrow -6 - k_2 = -1 \Rightarrow k_2 = -5$
अब,$y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$3k_1 - 1 = 2k_2 + \lambda$
$3(-\frac{3}{2}) - 1 = 2(-5) + \lambda$
$-\frac{9}{2} - 1 = -10 + \lambda$
$-\frac{11}{2} = -10 + \lambda$
$\lambda = 10 - \frac{11}{2} = \frac{20-11}{2} = \frac{9}{2}$

(C) चूंकि बिंदु $P(6, -1, 2)$,$Q(8, -7, 2\lambda)$ और $R(5, 2, 4)$ संरेख हैं,इसलिए रेखाखंड $PQ$ और $PR$ के दिक्-अनुपात समानुपाती होने चाहिए।
$PQ$ के दिक्-अनुपात $(8-6, -7-(-1), 2\lambda-2) = (2, -6, 2\lambda-2)$ हैं।
$PR$ के दिक्-अनुपात $(5-6, 2-(-1), 4-2) = (-1, 3, 2)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए दिक्-अनुपातों का अनुपात बराबर होना चाहिए:
$\frac{2}{-1} = \frac{-6}{3} = \frac{2\lambda-2}{2}$
$-2 = -2 = \lambda-1$
अंतिम भाग की तुलना करने पर: $-2 = \lambda-1$,जिससे $\lambda = -1$ प्राप्त होता है।

(D) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_1} = (2, -2, 1)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_2} = (1, 2, 2)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$।
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (-2)(2) + (1)(2)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 - 4 + 2|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{1 + 4 + 4}}$
$\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = 0$
चूंकि $\cos \theta = 0$,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$ है।

(C) माना कि दी गई दो रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{b_1} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b_2} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा दोनों रेखाओं पर लंब है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{b}$ क्रॉस गुणनफल $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 2) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-4 + 2) = -2\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$-1$ से गुणा करके हम दिशा अनुपात $(2, 3, 2)$ ले सकते हैं।
यह रेखा बिंदु $(3, -1, 2)$ से गुजरती है।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - (-1)}{3} = \frac{z - 2}{2}$ है,जिसे सरल करने पर $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ तभी प्रतिच्छेद करती हैं जब उनके बिंदुओं के अंतर और उनके दिक अनुपातों से बने सारणिक का मान शून्य हो:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
दी गई रेखाओं $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z-0}{1}$ के लिए,$(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$ है।
दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 1)$ हैं।
सारणिक की शर्त में मान रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} 3-1 & k-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 2 & k+1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(3(1) - 4(2)) - (k+1)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$
$2(3-8) - (k+1)(2-4) - 1(4-3) = 0$
$2(-5) - (k+1)(-2) - 1(1) = 0$
$-10 + 2k + 2 - 1 = 0$
$2k - 9 = 0$
$2k = 9$
$k = \frac{9}{2}$

(B) मान लीजिए कि पहली रेखा $L_1$ पर एक सामान्य बिंदु $P(r)$ है।
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{4} = r$
$x = 2r + 1, y = 2r - 1, z = 4r + 1$
अतः,$P = (2r + 1, 2r - 1, 4r + 1)$।
चूँकि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,यह बिंदु दूसरी रेखा $L_2$ के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए: $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{2} = \frac{z}{1} = k$।
$P$ के निर्देशांकों को $L_2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2r + 1 - 3}{1} = \frac{2r - 1 - 6}{2} = \frac{4r + 1}{1}$
$\frac{2r - 2}{1} = \frac{2r - 7}{2} = 4r + 1$
पहले और तीसरे भाग को लेने पर: $2r - 2 = 4r + 1 \Rightarrow -3 = 2r \Rightarrow r = -\frac{3}{2}$।
अब,$r = -\frac{3}{2}$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(-\frac{3}{2}) + 1 = -3 + 1 = -2$
$y = 2(-\frac{3}{2}) - 1 = -3 - 1 = -4$
$z = 4(-\frac{3}{2}) + 1 = -6 + 1 = -5$
अतः,प्रतिच्छेद बिंदु $(-2, -4, -5)$ है।

(A) $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और दिक-अनुपात $(a, b, c)$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
यहाँ रेखा $(-3, 2, -5)$ से गुजरती है,इसलिए $x_1 = -3, y_1 = 2, z_1 = -5$ है।
चूंकि रेखा धनात्मक निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए दिक-कोज्याएँ $(l, m, n)$ समान होंगी,अर्थात $l = m = n$ है।
अतः,दिक-अनुपात $a = 1, b = 1, c = 1$ लिए जा सकते हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{x - (-3)}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - (-5)}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x+3}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+5}{1}$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $\frac{x-2}{3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$ हैं।
इन्हें $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (2, 4, 5)$.
दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (3, 4, 5)$ हैं।
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \frac{|\det(A)|}{\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2 + (b_1c_2-b_2c_1)^2 + (c_1a_2-c_2a_1)^2}}$
जहाँ $A = \begin{bmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$.
सारणिक का मान: $\det(A) = 1(15-16) - 2(10-12) + 2(8-9) = 1(-1) - 2(-2) + 2(-1) = -1 + 4 - 2 = 1$.
हर की गणना:
$a_1b_2-a_2b_1 = (2)(4)-(3)(3) = 8-9 = -1$.
$b_1c_2-b_2c_1 = (3)(5)-(4)(4) = 15-16 = -1$.
$c_1a_2-c_2a_1 = (4)(3)-(5)(2) = 12-10 = 2$.
हर $= \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$.
अतः,$d = \frac{1}{\sqrt{6}}$ इकाई।

(A) दी गई दो रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\vec{b_2} = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}$ हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा दोनों के लंबवत है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - 6) - \hat{j}(5 - (-9)) + \hat{k}(2 - (-6)) = 4 \hat{i} - 14 \hat{j} + 8 \hat{k}$.
यह रेखा $(1, 2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए इसका सदिश समीकरण $\bar{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + \lambda(4 \hat{i} - 14 \hat{j} + 8 \hat{k})$ है।

(A) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ हो।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (3, 2, 5)$,$(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -k)$,$(x_2, y_2, z_2) = (4, 3, 3)$,और $(a_2, b_2, c_2) = (k, 1, 2)$ है।
शर्त के अनुसार $\begin{vmatrix} 4-3 & 3-2 & 3-5 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $1(2 - (-k)) - 1(2 - (-k^2)) - 2(1 - k) = 0$.
$1(2 + k) - 1(2 + k^2) - 2 + 2k = 0$.
$2 + k - 2 - k^2 - 2 + 2k = 0$.
$-k^2 + 3k - 2 = 0$.
$k^2 - 3k + 2 = 0$.
$(k-1)(k-2) = 0$.
अतः,$k = 1$ या $k = 2$।

(A) माना $A(x_1, y_1, z_1) = (3, 4, 1)$ और $B(x_2, y_2, z_2) = (5, 1, 6)$ है।
दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x-3}{5-3} = \frac{y-4}{1-4} = \frac{z-1}{6-1}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{-3} = \frac{z-1}{5} = k$ हो जाता है।
चूंकि रेखा $xy$-समतल को काटती है,इसलिए $z$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$z = 0$ रखने पर,$\frac{0-1}{5} = k$,अतः $k = -\frac{1}{5}$।
अब,$k = -\frac{1}{5}$ का उपयोग करके $x$ और $y$ ज्ञात करें:
$x - 3 = 2k \Rightarrow x = 3 + 2(-\frac{1}{5}) = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$।
$y - 4 = -3k \Rightarrow y = 4 - 3(-\frac{1}{5}) = 4 + \frac{3}{5} = \frac{23}{5}$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{13}{5}, \frac{23}{5}, 0\right)$ है।

(B) रेखाएं $L_1$ और $L_2$ समतलीय होती हैं यदि प्रत्येक रेखा पर एक बिंदु को जोड़ने वाले सदिश और उनकी दिशा सदिशों का सारणिक शून्य हो।
दिए गए बिंदु: $P_1 = (-1, 2, 1)$ और $P_2 = (-2, -1, -1)$।
दिशा सदिश: $\vec{v_1} = (2, -1, 1)$ और $\vec{v_2} = (\alpha, 5-\alpha, 1)$।
समतलीयता के लिए शर्त:
$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -2-(-1) & -1-2 & -1-1 \\ 2 & -1 & 1 \\ \alpha & 5-\alpha & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & -3 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \alpha & 5-\alpha & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(-1 - (5-\alpha)) + 3(2 - \alpha) - 2(2(5-\alpha) - (-1)\alpha) = 0$
$-1(-6+\alpha) + 6 - 3\alpha - 2(10 - 2\alpha + \alpha) = 0$
$6 - \alpha + 6 - 3\alpha - 20 + 2\alpha = 0$
$-2\alpha - 8 = 0 \Rightarrow \alpha = -4$।
$\alpha = -4$ को $L_2$ में रखने पर:
$L_2: \frac{x+2}{-4} = \frac{y+1}{5-(-4)} = \frac{z+1}{1} \Rightarrow \frac{x+2}{-4} = \frac{y+1}{9} = \frac{z+1}{1}$।
विकल्प $(B) (2, -10, -2)$ की जाँच करने पर:
$\frac{2+2}{-4} = \frac{-10+1}{9} = \frac{-2+1}{1} \Rightarrow -1 = -1 = -1$।
अतः,रेखा $L_2$ बिंदु $(2, -10, -2)$ से होकर गुजरती है।

(B) माना कि अभीष्ट रेखा के दिक अनुपात $\langle a, b, c \rangle$ हैं।
चूंकि रेखा $\langle 1, 2, 3 \rangle$ और $\langle -3, 2, 5 \rangle$ दिक अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए:
$1a + 2b + 3c = 0$
$-3a + 2b + 5c = 0$
दिक अनुपात $\langle a, b, c \rangle$ ज्ञात करने के लिए क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करने पर:
$a = (2)(5) - (3)(2) = 10 - 6 = 4$
$b = (3)(-3) - (1)(5) = -9 - 5 = -14$
$c = (1)(2) - (2)(-3) = 2 + 6 = 8$
अतः,दिक अनुपात $\langle 4, -14, 8 \rangle$ प्राप्त होते हैं,जिसे सरल करने पर $\langle 2, -7, 4 \rangle$ मिलता है।
बिंदु $(2, 1, 3)$ से गुजरने वाली और $\langle 2, -7, 4 \rangle$ दिक अनुपात वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x-2}{2} = \frac{y-1}{-7} = \frac{z-3}{4}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{x-2}{2} = \frac{1-y}{7} = \frac{z-3}{4}$

(D) माना कि दी गई रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}=\mu$ हैं।
पहली रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ है और दूसरी रेखा पर कोई भी बिंदु $(\mu+3, 2\mu+k, \mu)$ है।
चूँकि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए कुछ $\lambda$ और $\mu$ का अस्तित्व होना चाहिए ताकि निर्देशांक समान हों:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ .... $(1)$
$3\lambda-1 = 2\mu+k \implies 3\lambda - 2\mu = k+1$ .... $(2)$
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ .... $(3)$
समीकरण $(3)$ से $(1)$ को घटाने पर,$(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2$,जिससे $2\lambda = -3$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda = \frac{-3}{2}$.
$\lambda = \frac{-3}{2}$ को $(3)$ में रखने पर,$\mu = 4(\frac{-3}{2}) + 1 = -6 + 1 = -5$ प्राप्त होता है।
अब,$\lambda = \frac{-3}{2}$ और $\mu = -5$ को $(2)$ में रखने पर:
$3(\frac{-3}{2}) - 2(-5) = k+1$
$\frac{-9}{2} + 10 = k+1$
$\frac{-9+20}{2} = k+1$
$\frac{11}{2} = k+1$
$k = \frac{11}{2} - 1 = \frac{9}{2}$.

(D) बिंदु $A(-2,-2,3)$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{v} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ के समांतर रेखा का समीकरण है:
$\frac{x+2}{-2} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-3}{-1} = \lambda$
इस रेखा पर किसी भी बिंदु को $(-2\lambda - 2, 2\lambda - 2, -\lambda + 3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि बिंदु $P$,$YOZ-$ समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x-$निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$x-$निर्देशांक को $0$ रखने पर:
$-2\lambda - 2 = 0 \Rightarrow -2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को सामान्य निर्देशांकों में रखने पर:
$x = -2(-1) - 2 = 0$
$y = 2(-1) - 2 = -4$
$z = -(-1) + 3 = 4$
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(0, -4, 4)$ हैं।

(C) रेखा के दिए गए कार्तीय समीकरण $y=2$ और $4x-3z+5=0$ हैं।
हम इन्हें $y=2$ और $4x=3z-5$ के रूप में लिख सकते हैं।
मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ प्राप्त करने के लिए $12$ से विभाजित करने पर:
$4x = 3(z - \frac{5}{3}) \implies \frac{x}{3} = \frac{z - 5/3}{4}$.
चूंकि $y=2$ एक स्थिरांक है,$y$ के लिए दिशा अनुपात $0$ है।
अतः,रेखा को $\frac{x-0}{3} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-5/3}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा बिंदु $(0, 2, 5/3)$ से गुजरती है और दिशा अनुपात $(3, 0, 4)$ है।
सदिश समीकरण $\overline{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ है,जहाँ $\vec{a} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
इसलिए,$\overline{r} = (2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 4\hat{k})$.

(D) दिया गया कार्तीय समीकरण: $3x + 1 = 6y - 2 = -z + 1$ है।
सबसे पहले,समीकरण को मानक रूप $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ में लिखें।
$3(x + \frac{1}{3}) = 6(y - \frac{1}{3}) = -(z - 1)$।
गुणांकों के लघुत्तम समापवर्त्य $(6)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x + 1/3}{1/3} = \frac{y - 1/3}{1/6} = \frac{z - 1}{-1}$।
दिक् अनुपात को सरल बनाने के लिए,हर को $6$ से गुणा करें:
$\frac{x + 1/3}{2} = \frac{y - 1/3}{1} = \frac{z - 1}{-6}$।
रेखा पर स्थित बिंदु $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1)$ है और दिशा सदिश $2 \hat{i} + \hat{j} - 6 \hat{k}$ है।
अतः,सदिश समीकरण $\overline{r} = (-\frac{1}{3} \hat{i} + \frac{1}{3} \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i} + \hat{j} - 6 \hat{k})$ है।

(D) दिए गए कार्तीय समीकरण $y=2$ और $4x-3z+5=0$ हैं।
$4x-3z+5=0$ से,हमें $4x = 3z-5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4x = 3(z - \frac{5}{3})$।
इसे $\frac{x}{3} = \frac{z - 5/3}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $y=2$,हम समीकरण को $\frac{x-0}{3} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-5/3}{4}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह रेखा बिंदु $(0, 2, 5/3)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(3, 0, 4)$ हैं।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}$ के समानांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ होता है।
यहाँ,$\vec{a} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
अतः,सदिश समीकरण $\vec{r} = (2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 4\hat{k})$ है।

(A) बिंदुओं $A(3, 5, -1)$ और $B(6, 3, -2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x-3}{6-3} = \frac{y-5}{3-5} = \frac{z-(-1)}{-2-(-1)}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x-3}{3} = \frac{y-5}{-2} = \frac{z+1}{-1} = r$ हो जाता है।
इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ को $(3r+3, -2r+5, -r-1)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
दिया गया है कि बिंदु $P$ का $y$-निर्देशांक $2$ है,इसलिए $-2r+5 = 2$ रखने पर।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $-2r = -3$ प्राप्त होता है,अर्थात $r = \frac{3}{2}$।
अब,$r = \frac{3}{2}$ का मान $z$-निर्देशांक के व्यंजक में रखने पर: $z = -r-1 = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}$।

(A) $A(2, 4, 5)$ और $B(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-4}{2-4} = \frac{z-5}{3-5} = k$
$\frac{x-2}{-1} = \frac{y-4}{-2} = \frac{z-5}{-2} = k$
इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z) = (-k+2, -2k+4, -2k+5)$ द्वारा दिए जाते हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,बिंदु $P$ का $z$-निर्देशांक $3$ है,इसलिए:
$-2k + 5 = 3$
$-2k = -2$
$k = 1$
अब $y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $k = 1$ का मान रखने पर:
$y = -2(1) + 4 = 2$.
अतः,बिंदु $P$ का $y$-निर्देशांक $2$ है।

(D) दी गई रेखाएं $\bar{r} = \bar{a}_1 + \lambda \bar{b}_1$ और $\bar{r} = \bar{a}_2 + \mu \bar{b}_2$ हैं।
यहाँ,$\bar{a}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\bar{b}_1 = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$,$\bar{a}_2 = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,और $\bar{b}_2 = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\bar{a}_2 - \bar{a}_1 = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (2-(-1))\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\bar{b}_1 \times \bar{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-3) - \hat{j}(2+3) + \hat{k}(-2-1) = -2\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\bar{b}_1 \times \bar{b}_2| = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\bar{b}_1 \times \bar{b}_2) \cdot (\bar{a}_2 - \bar{a}_1)}{|\bar{b}_1 \times \bar{b}_2|} \right| = \left| \frac{(-2\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k})}{\sqrt{38}} \right| = \left| \frac{-2 + 15 - 9}{\sqrt{38}} \right| = \frac{4}{\sqrt{38}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{19}}$ इकाई है।

(A) दी गई रेखाएं $\overline{r}=\overline{a_1}+\lambda\overline{b_1}$ और $\overline{r}=\overline{a_2}+\mu\overline{b_2}$ हैं।
यहाँ,$\overline{a_1}=2\hat{i}-\hat{j}$,$\overline{b_1}=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$ और $\overline{a_2}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\overline{b_2}=2\hat{i}+\hat{j}-5\hat{k}$ है।
सदिश $\overline{a_2}-\overline{a_1} = (\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})-(2\hat{i}-\hat{j}) = -\hat{i}+2\hat{k}$ है।
क्रॉस गुणनफल $\overline{b_1} \times \overline{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-5+3) - \hat{j}(-10+6) + \hat{k}(2-2) = -2\hat{i}+4\hat{j}$ प्राप्त होता है।
इसका परिमाण $|\overline{b_1} \times \overline{b_2}| = \sqrt{(-2)^2+4^2+0^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\overline{a_2}-\overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2})}{|\overline{b_1} \times \overline{b_2}|} \right|$ है।
$d = \left| \frac{(-\hat{i}+2\hat{k}) \cdot (-2\hat{i}+4\hat{j})}{2\sqrt{5}} \right| = \left| \frac{2+0+0}{2\sqrt{5}} \right| = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ इकाई।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-3}{-3} = \frac{y-2}{2k} = \frac{z-3}{2}$ और $L_2: \frac{x-1}{3k} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-5}$ हैं।
$L_1$ के दिक अनुपात $\vec{a_1} = (-3, 2k, 2)$ हैं।
$L_2$ के दिक अनुपात $\vec{a_2} = (3k, 1, -5)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 0$
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = -\frac{10}{7}$.

(B) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = (1, 2, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = (3, 2, 6)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
परिमाण की गणना: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{19}{3 \times 7} = \frac{19}{21}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$।

(B) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
चूंकि अभीष्ट रेखा,रेखा $\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}$ के समांतर है,इसलिए इसके दिक-अनुपात भी $(3, 5, 6)$ होंगे।
रेखा बिंदु $(1, -3, 5)$ से गुजरती है,इसलिए मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x-1}{3} = \frac{y-(-3)}{5} = \frac{z-5}{6}$
इसे सरल करने पर हमें $\frac{x-1}{3} = \frac{y+3}{5} = \frac{z-5}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और सदिश $a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ के समानांतर रेखा का कार्तीय समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$
यहाँ,बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (5, -2, 4)$ है और दिशा सदिश $3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$ है,इसलिए $(a, b, c) = (3, 2, -8)$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x - 5}{3} = \frac{y - (-2)}{2} = \frac{z - 4}{-8}$
इसे सरल करने पर:
$\frac{x - 5}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 4}{-8}$
अतः,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(B) पहली रेखा $\vec{r} = (3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) + t(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k})$ द्वारा दी गई है। दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ है और यह $P_1(3, 1, -2)$ से गुजरती है।
दूसरी रेखा $x = 4+k, y = -k, z = -4-2k$ है,जिसे $\vec{r} = (4\hat{i} - 4\hat{k}) + k(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k})$ के रूप में लिखा जा सकता है। दिशा सदिश $\vec{b_2} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ है और यह $P_2(4, 0, -4)$ से गुजरती है।
चूंकि $\vec{b_1} = \vec{b_2}$,रेखाएं समांतर हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या वे संपाती हैं,हम देखते हैं कि क्या $P_1$ दूसरी रेखा पर स्थित है। $P_1(3, 1, -2)$ को दूसरी रेखा के समीकरणों में रखने पर:
$3 = 4+k \implies k = -1$
$1 = -k \implies k = -1$
$-2 = -4-2k \implies -2 = -4-2(-1) = -4+2 = -2$
चूंकि $k = -1$ सभी समीकरणों को संतुष्ट करता है,बिंदु $P_1$ दूसरी रेखा पर स्थित है। इसलिए,रेखाएं संपाती हैं।

(D) पहली रेखा के दिक अनुपात $a_1 = 2, b_1 = 2, c_1 = 1$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $a_2 = 4, b_2 = 1, c_2 = 8$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$.
मान रखने पर: $\cos \theta = \left| \frac{(2)(4) + (2)(1) + (1)(8)}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}} \right|$.
$\cos \theta = \left| \frac{8 + 2 + 8}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{16 + 1 + 64}} \right| = \left| \frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}} \right|$.
$\cos \theta = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ के समांतर रेखा का कार्तीय समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$
यहाँ,बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (5, 2, -4)$ है और दिशा सदिश $\vec{b} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$ है,इसलिए $a=3, b=2, c=-8$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x-5}{3} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-(-4)}{-8}$
$\frac{x-5}{3} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+4}{-8}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) सबसे पहले,हम रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखते हैं।
पहली रेखा के लिए: $\frac{-(x-1)}{3} = \frac{7(y-2)}{2p} = \frac{z-3}{2} \implies \frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2p/7} = \frac{z-3}{2}$।
दिक् अनुपात $\vec{v_1} = (-3, \frac{2p}{7}, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{-7(x-1)}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{-(z-6)}{5} \implies \frac{x-1}{-3p/7} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5}$।
दिक् अनुपात $\vec{v_2} = (-\frac{3p}{7}, 1, -5)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$।
$(-3)(-\frac{3p}{7}) + (\frac{2p}{7})(1) + (2)(-5) = 0$।
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0$।
$\frac{11p}{7} = 10$।
$p = \frac{70}{11}$।

(C) दी गई रेखाएँ $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}$ और $\frac{x-2}{p} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{1}$ हैं।
पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_1} = (-3, 1, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_2} = (p, 2, 1)$ हैं।
चूँकि रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 0$
$(-3)(p) + (1)(2) + (2)(1) = 0$
$-3p + 2 + 2 = 0$
$-3p + 4 = 0$
$3p = 4$
$p = \frac{4}{3}$.

(D) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = (1, 2, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = (3, 2, 6)$ हैं।
दो रेखाओं,जिनके दिक सदिश $\vec{b_1}$ और $\vec{b_2}$ हैं,के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
परिमाण की गणना: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$\cos \theta = \frac{19}{3 \times 7} = \frac{19}{21}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$।

(B) दिया गया कार्तीय समीकरण $\frac{x-5}{3} = \frac{y+4}{7} = \frac{6-z}{2}$ है।
सबसे पहले,समीकरण को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
तीसरे पद के लिए,$\frac{6-z}{2} = \frac{-(z-6)}{2} = \frac{z-6}{-2}$।
अतः,समीकरण $\frac{x-5}{3} = \frac{y-(-4)}{7} = \frac{z-6}{-2}$ हो जाता है।
इसे मानक रूप से तुलना करने पर,बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ $(5, -4, 6)$ है और दिक अनुपात $(a, b, c)$ $(3, 7, -2)$ हैं।
बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{a} = 5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}$ है और दिशा सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + 7\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} = (5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 7\hat{j} - 2\hat{k})$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = (2, 3, 6)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = (10, 2, -11)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(10) + (3)(2) + (6)(-11) = 20 + 6 - 66 = -40$.
परिमाण की गणना: $|\vec{b_1}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{10^2 + 2^2 + (-11)^2} = \sqrt{100 + 4 + 121} = \sqrt{225} = 15$.
अतः,$\cos \theta = \frac{|-40|}{7 \times 15} = \frac{40}{105} = \frac{8}{21}$.
इसलिए,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$.

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
यहाँ दिया गया बिंदु $(2, 3, 4)$ है,इसलिए $x_1 = 2, y_1 = 3, z_1 = 4$ है।
रेखा $Y$-अक्ष के समांतर है। $Y$-अक्ष के दिक-अनुपात $(0, 1, 0)$ होते हैं।
अतः,रेखा के दिक-अनुपात $(a, b, c) = (0, 1, 0)$ होंगे।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{x-2}{0} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-4}{0}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दी गई रेखाएं $\frac{x+3}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+5}{-6}$ और $\frac{x-1}{10}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{11}$ हैं।
पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = (2, -3, -6)$ हैं और दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = (10, -2, 11)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(10) + (-3)(-2) + (-6)(11) = 20 + 6 - 66 = -40$.
परिमाण की गणना: $|\vec{b_1}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{10^2 + (-2)^2 + 11^2} = \sqrt{100 + 4 + 121} = \sqrt{225} = 15$.
इस प्रकार,$\cos \theta = \frac{|-40|}{7 \times 15} = \frac{40}{105} = \frac{8}{21}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$.

(A) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{-(x-1)}{3} = \frac{7(y-2)}{2p} = \frac{z-3}{2} \implies \frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2p/7} = \frac{z-3}{2}$.
दिक् अनुपात $\vec{v_1} = (-3, \frac{2p}{7}, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{-7(x-1)}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{-(z-6)}{5} \implies \frac{x-1}{-3p/7} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5}$.
दिक् अनुपात $\vec{v_2} = (-\frac{3p}{7}, 1, -5)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए उनके दिक् अनुपातों का डॉट प्रोडक्ट शून्य होना चाहिए: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(-\frac{3p}{7}) + (\frac{2p}{7})(1) + (2)(-5) = 0$.
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0$.
$\frac{11p}{7} = 10$.
$p = \frac{70}{11}$.

(C) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
रेखा $1$: $\frac{2x-5}{k} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z}{1}$.
पहली रेखा को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखने पर:
$\frac{2(x - 5/2)}{k} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z}{1} \implies \frac{x - 5/2}{k/2} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z}{1}$.
पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{v_1} = (k/2, -5, 1)$ हैं।
रेखा $2$: $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$.
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{v_2} = (1, 2, 3)$ हैं।
चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं,उनके दिक अनुपातों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(k/2)(1) + (-5)(2) + (1)(3) = 0$.
$k/2 - 10 + 3 = 0$.
$k/2 - 7 = 0$.
$k/2 = 7$.
$k = 14$.

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
चूंकि रेखा मूल बिंदु से गुजरती है,इसलिए $(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ है।
चूंकि रेखा $X$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसके दिक अनुपात $(1, 0, 0)$ के समानुपाती होंगे,अतः $(a, b, c) = (1, 0, 0)$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{x-0}{1} = \frac{y-0}{0} = \frac{z-0}{0}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{0}$ हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।