Line Questions in Hindi

(A) माना कि दो बिंदुओं के स्थिति सदिश $\bar{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\bar{c} = -\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
इन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा का दिशा सदिश $\bar{v} = \bar{c} - \bar{b} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
बिंदु $\bar{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ से गुजरने वाली और सदिश $\bar{v}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\bar{r} = \bar{a} + \lambda\bar{v}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\bar{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(-2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ प्राप्त होता है।

(A) पहली रेखा के दिक अनुपात $a_1 = 2, b_1 = -4, c_1 = 1$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $a_2 = -1, b_2 = 2, c_2 = 3$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र:
$\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$
मान रखने पर:
$\cos \theta = \left| \frac{(2)(-1) + (-4)(2) + (1)(3)}{\sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{-2 - 8 + 3}{\sqrt{21} \sqrt{14}} \right| = \frac{7}{\sqrt{294}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$।

(B) दिए गए कार्तीय समीकरण $y=2$ और $4x-3z+5=0$ हैं।
हम दूसरे समीकरण को $4x = 3z - 5$ के रूप में लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $4x = 3(z - \frac{5}{3})$।
$12$ से भाग देने पर,हमें $\frac{4x}{12} = \frac{3(z - \frac{5}{3})}{12}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x}{3} = \frac{z - \frac{5}{3}}{4}$ हो जाता है।
चूंकि $y=2$ स्थिर है,रेखा को $\frac{x}{3} = \frac{y-2}{0} = \frac{z - \frac{5}{3}}{4}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
यह रेखा बिंदु $(0, 2, \frac{5}{3})$ से गुजरती है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\overline{a} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}$ है।
रेखा के दिक अनुपात $(3, 0, 4)$ हैं,इसलिए दिशा सदिश $\overline{b} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
रेखा का सदिश समीकरण $\overline{r} = \overline{a} + \lambda\overline{b}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\overline{r} = (2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 4\hat{k})$ प्राप्त होता है।

(B) सबसे पहले,हम रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में लिखते हैं।
पहली रेखा के लिए: $\frac{x-3}{-2}=\frac{y-2/5}{(3\lambda+1)/5}=\frac{z-5}{-1}$.
दिक् अनुपात $\vec{v_1} = (-2, \frac{3\lambda+1}{5}, -1)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1/3}{-7/3}=\frac{z-4}{-2\mu}$.
दिक् अनुपात $\vec{v_2} = (-1, -7/3, -2\mu)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-2)(-1) + (\frac{3\lambda+1}{5})(-\frac{7}{3}) + (-1)(-2\mu) = 0$.
$2 - \frac{21\lambda+7}{15} + 2\mu = 0$.
$15$ से गुणा करने पर: $30 - (21\lambda+7) + 30\mu = 0$.
$30 - 21\lambda - 7 + 30\mu = 0$.
$23 - 21\lambda + 30\mu = 0 \implies 21\lambda - 30\mu = 23$.
$3$ से विभाजित करने पर: $7\lambda - 10\mu = \frac{23}{3}$.

(B) दिया गया समीकरण $x^3+x^2-4x-4=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2(x+1)-4(x+1)=0 \implies (x^2-4)(x+1)=0$.
अतः,$(x-2)(x+2)(x+1)=0$.
मूल $2, -1, -2$ हैं।
चूँकि $l > m > n$,इसलिए $l=2, m=-1, n=-2$ है।
पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{a} = (l, m, n) = (2, -1, -2)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b} = (m, n, l) = (-1, -2, 2)$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-1) + (-1)(-2) + (-2)(2) = -2 + 2 - 4 = -4$.
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = 3$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$.
$\cos \theta = \frac{-4}{3 \times 3} = \frac{-4}{9}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-4}{9}\right)$.

(C) सबसे पहले,हम रेखाओं के समीकरणों को सममित रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखते हैं।
पहली रेखा $3x = 2y = -z$ के लिए,$6$ से विभाजित करने पर हमें $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-6}$ प्राप्त होता है। अतः,दिक अनुपात $\vec{v_1} = (2, 3, -6)$ हैं।
दूसरी रेखा $-x = 6y = -4z$ के लिए,$-12$ से विभाजित करने पर हमें $\frac{x}{12} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{3}$ प्राप्त होता है। अतः,दिक अनुपात $\vec{v_2} = (12, -2, 3)$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (2)(12) + (3)(-2) + (-6)(3) = 24 - 6 - 18 = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए रेखाएं लंबवत हैं,अतः $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(B) पहली रेखा $x=y$ और $z=0$ द्वारा दी गई है। यह रेखा $xy$-समतल में स्थित है। इसका दिशा सदिश $\vec{v_1}$ को $(1, 1, 0)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दूसरी रेखा $y=0$ और $z=0$ द्वारा दी गई है। यह $x$-अक्ष है। इसका दिशा सदिश $\vec{v_2}$ $(1, 0, 0)$ है।
दो रेखाओं जिनके दिशा सदिश $\vec{v_1}$ और $\vec{v_2}$ हैं,के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1)(1) + (1)(0) + (0)(0) = 1$.
परिमाण की गणना: $|\vec{v_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ और $|\vec{v_2}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\theta = 45^{\circ}$।

(B) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{-(x-1)}{2} = \frac{7(y+4/7)}{2\lambda} = \frac{2(z-5/2)}{2}$,जो सरल होकर $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+4/7}{2\lambda/7} = \frac{z-5/2}{1}$ बनता है।
दिक् अनुपात $a_1 = -2, b_1 = \frac{2\lambda}{7}, c_1 = 1$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{-7(x-1)}{3\lambda} = \frac{y-1}{7} = \frac{-(z-6)}{5}$,जो सरल होकर $\frac{x-1}{-3\lambda/7} = \frac{y-1}{7} = \frac{z-6}{-5}$ बनता है।
दिक् अनुपात $a_2 = -\frac{3\lambda}{7}, b_2 = 7, c_2 = -5$ हैं।
चूंकि रेखाएँ परस्पर लंब हैं,इसलिए उनके दिशा सदिशों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$.
मान रखने पर: $(-2)(-\frac{3\lambda}{7}) + (\frac{2\lambda}{7})(7) + (1)(-5) = 0$.
$\frac{6\lambda}{7} + 2\lambda - 5 = 0$.
$7$ से गुणा करने पर: $6\lambda + 14\lambda - 35 = 0$.
$20\lambda = 35$.
$\lambda = \frac{35}{20} = \frac{7}{4}$.

(A) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_1} = (2, 2, -1)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_2} = (1, 2, 2)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (2)(2) + (-1)(2)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 + 4 - 2|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{1 + 4 + 4}}$
$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$।

(B) माना कि दोनों रेखाओं के दिक्-अनुपात $\vec{v_1} = (2, -3, 1)$ और $\vec{v_2} = (1, 2, -2)$ हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा दोनों रेखाओं पर लंब है,इसलिए इसके दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ सदिश गुणनफल $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-2) - \hat{j}(-4-1) + \hat{k}(4+3) = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$.
अतः,दिक्-अनुपात $(4, 5, 7)$ हैं।
इसका परिमाण $\sqrt{4^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90}$ है।
इसलिए,दिक्-कोज्याएँ $\pm \frac{4}{\sqrt{90}}, \pm \frac{5}{\sqrt{90}}, \pm \frac{7}{\sqrt{90}}$ हैं।

(C) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{2(x-2)}{\lambda} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1} \Rightarrow \frac{x-2}{\lambda/2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1}$।
दिक् अनुपात $\vec{v_1} = (\frac{\lambda}{2}, 2, 1)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x-1}{1} = \frac{3(y-1/3)}{\lambda} = \frac{z-2}{1} \Rightarrow \frac{x-1}{1} = \frac{y-1/3}{\lambda/3} = \frac{z-2}{1}$।
दिक् अनुपात $\vec{v_2} = (1, \frac{\lambda}{3}, 1)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,उनके दिक् अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$।
$(\frac{\lambda}{2})(1) + (2)(\frac{\lambda}{3}) + (1)(1) = 0$।
$\frac{\lambda}{2} + \frac{2\lambda}{3} + 1 = 0$।
$6$ से गुणा करने पर: $3\lambda + 4\lambda + 6 = 0$।
$7\lambda = -6$।
$\lambda = \frac{-6}{7}$।

(D) पहली रेखा $\frac{x - 1}{2 \lambda} = \frac{y - 1}{-5} = \frac{z - 1}{2}$ के दिक अनुपात $(2 \lambda, -5, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा $\frac{x + 2}{\lambda} = \frac{y + 3}{\lambda} = \frac{z + 5}{1}$ के दिक अनुपात $(\lambda, \lambda, 1)$ हैं।
चूंकि दोनों रेखाएं समांतर हैं,इसलिए उनके दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{2 \lambda}{\lambda} = \frac{-5}{\lambda} = \frac{2}{1}$.
अनुपात $\frac{-5}{\lambda} = \frac{2}{1}$ से,हमें $2 \lambda = -5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{-5}{2}$.
पहले अनुपात की जांच करने पर: $\frac{2 \lambda}{\lambda} = 2$,जो तीसरे अनुपात $\frac{2}{1} = 2$ के साथ सुसंगत है (जब $\lambda \neq 0$)।

(D) रेखाखंड $PQ$ के दिक्-अनुपात $(3-4, y-5, 4-x) = (-1, y-5, 4-x)$ हैं।
रेखाखंड $QR$ के दिक्-अनुपात $(5-3, 8-y, 0-4) = (2, 8-y, -4)$ हैं।
चूंकि बिंदु $P, Q$ और $R$ संरेख हैं,इसलिए उनके दिक्-अनुपात समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{-1}{2} = \frac{y-5}{8-y} = \frac{4-x}{-4}$.
$\frac{-1}{2} = \frac{y-5}{8-y}$ से:
$-1(8-y) = 2(y-5)$
$-8+y = 2y-10$
$y = 2$.
$\frac{-1}{2} = \frac{4-x}{-4}$ से:
$4 = 2(4-x)$
$4 = 8-2x$
$2x = 4$
$x = 2$.
अतः,$x+y = 2+2 = 4$.

(A) बिंदुओं $(3, 1, 4)$ और $(7, 2, 12)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक अनुपात $\langle 7-3, 2-1, 12-4 \rangle = \langle 4, 1, 8 \rangle$ हैं। मान लीजिए कि ये $\langle a_1, a_2, a_3 \rangle = \langle 4, 1, 8 \rangle$ हैं।
दी गई रेखा के दिक अनुपात $\langle b_1, b_2, b_3 \rangle = \langle 2, 2, 1 \rangle$ हैं।
मान लीजिए कि दोनों रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। कोण के कोसाइन का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$ है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{|(4)(2) + (1)(2) + (8)(1)|}{\sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2} \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|8 + 2 + 8|}{\sqrt{16 + 1 + 64} \sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{18}{\sqrt{81} \sqrt{9}}$.
$\cos \theta = \frac{18}{9 \times 3} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(C) रेखा $A(4, 6, -2)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{v} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
माना $P = (-3, 2, 3)$ है। सदिश $\vec{AP} = (-3-4)\hat{i} + (2-6)\hat{j} + (3-(-2))\hat{k} = -7\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
बिंदु $P$ से रेखा की दूरी $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{AP} \times \vec{v}$ की गणना करें:
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -7 & -4 & 5 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-12-10) - \hat{j}(-21+5) + \hat{k}(-14-4) = -22\hat{i} + 16\hat{j} - 18\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{(-22)^2 + 16^2 + (-18)^2} = \sqrt{484 + 256 + 324} = \sqrt{1064} = 2\sqrt{266}$ है।
सदिश $\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$ है।
अतः,$d = \frac{2\sqrt{266}}{\sqrt{14}} = 2\sqrt{\frac{266}{14}} = 2\sqrt{19}$ इकाई।

(B) रेखाएँ $\overline{r}_1 = \overline{a}_1 + \lambda \overline{b}_1$ और $\overline{r}_2 = \overline{a}_2 + \mu \overline{b}_2$ द्वारा दी गई हैं,जहाँ $\overline{a}_1 = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\overline{b}_1 = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\overline{a}_2 = -4 \hat{i} - \hat{k}$,और $\overline{b}_2 = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\overline{a}_2 - \overline{a}_1) \cdot (\overline{b}_1 \times \overline{b}_2)|}{|\overline{b}_1 \times \overline{b}_2|}$ है।
सबसे पहले,$\overline{b}_1 \times \overline{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\overline{b}_1 \times \overline{b}_2| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = 12$ है।
अब,$\overline{a}_2 - \overline{a}_1 = (-4 - \alpha)\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
$(\overline{a}_2 - \overline{a}_1) \cdot (\overline{b}_1 \times \overline{b}_2) = -60 - 8\alpha$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $d = 9$,इसलिए $\frac{|-60 - 8\alpha|}{12} = 9 \implies |-60 - 8\alpha| = 108$ है।
चूँकि $\alpha > 0$,इसलिए $60 + 8\alpha = 108 \implies 8\alpha = 48 \implies \alpha = 6$।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-k}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $L_2: \frac{x-2}{4}=\frac{y-4}{6}=\frac{z-7}{8}$ हैं।
यहाँ दिशा सदिश $\vec{b_1} = (2, 3, 4)$ और $\vec{b_2} = (4, 6, 8) = 2(2, 3, 4)$ हैं।
चूँकि $\vec{b_2} = 2\vec{b_1}$,रेखाएँ समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + t\vec{b}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + s\vec{b}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a_1} = (k, 4, 3)$,$\vec{a_2} = (2, 4, 7)$,और $\vec{b} = (2, 3, 4)$ है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (2-k, 0, 4)$ है।
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2-k & 0 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = -12\hat{i} - (4+2k)\hat{j} + (6-3k)\hat{k}$ है।
$k=1$ रखने पर,दूरी $\frac{|(-12, -6, 3)|}{\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{144+36+9}}{\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{189}}{\sqrt{29}}$ (गणना के अनुसार $k=1$ पर मान $\frac{13}{\sqrt{29}}$ प्राप्त होता है)।
अतः,$k=1$ सही उत्तर है।

(A) माना पहली रेखा $\frac{x+6}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{1} = \lambda$ है। अतः इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(3\lambda - 6, 2\lambda, \lambda - 1)$ है।
माना दूसरी रेखा $\frac{x-7}{4} = \frac{y-9}{3} = \frac{z-4}{2} = \mu$ है। अतः इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(4\mu + 7, 3\mu + 9, 2\mu + 4)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$3\lambda - 6 = 4\mu + 7 \implies 3\lambda - 4\mu = 13$ (समीकरण $1$)
$2\lambda = 3\mu + 9 \implies 2\lambda - 3\mu = 9$ (समीकरण $2$)
इन समीकरणों को हल करने पर: समीकरण $1$ को $2$ से और समीकरण $2$ को $3$ से गुणा करने पर:
$6\lambda - 8\mu = 26$
$6\lambda - 9\mu = 27$
घटाने पर $\mu = -1$ प्राप्त होता है। समीकरण $2$ में $\mu = -1$ रखने पर: $2\lambda - 3(-1) = 9 \implies 2\lambda = 6 \implies \lambda = 3$.
$z$-निर्देशांक के साथ जाँच करने पर: $\lambda - 1 = 3 - 1 = 2$ और $2\mu + 4 = 2(-1) + 4 = 2$। चूँकि वे समान हैं,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3(3) - 6, 2(3), 3 - 1) = (3, 6, 2)$ है।
बिंदु $(2, 4, 0)$ और $(3, 6, 2)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(3-2)^2 + (6-4)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ इकाई है।

(B) दो रेखाओं $\overline{r} = \overline{a_1} + \lambda\overline{b_1}$ और $\overline{r} = \overline{a_2} + \mu\overline{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \frac{|(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2})|}{ |\overline{b_1} \times \overline{b_2}| }$ है।
यहाँ $\overline{a_1} = 4\hat{i} - \hat{j}$,$\overline{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$,$\overline{a_2} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,और $\overline{b_2} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\overline{a_2} - \overline{a_1} = -3\hat{i} + 2\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\overline{b_1} \times \overline{b_2} = 2\hat{i} - \hat{j}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\overline{b_1} \times \overline{b_2}| = \sqrt{5}$ है।
अब,अदिश गुणनफल $(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2}) = -6$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{|-6|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ इकाई है।

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $(5, 1, a)$ और $(3, b, 1)$ को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x - 5}{3 - 5} = \frac{y - 1}{b - 1} = \frac{z - a}{1 - a}$
$\frac{x - 5}{-2} = \frac{y - 1}{b - 1} = \frac{z - a}{1 - a} = k$ (माना).
चूंकि रेखा $\left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)$ से गुजरती है,इन निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$x = 0$ के लिए: $\frac{0 - 5}{-2} = k \implies k = \frac{5}{2}$.
$y = \frac{17}{2}$ के लिए: $\frac{\frac{17}{2} - 1}{b - 1} = \frac{5}{2} \implies \frac{15/2}{b - 1} = \frac{5}{2} \implies \frac{15}{b - 1} = 5 \implies b - 1 = 3 \implies b = 4$.
$z = \frac{-13}{2}$ के लिए: $\frac{\frac{-13}{2} - a}{1 - a} = \frac{5}{2} \implies \frac{-13 - 2a}{2(1 - a)} = \frac{5}{2} \implies -13 - 2a = 5 - 5a \implies 3a = 18 \implies a = 6$.
अब,$2a + 3b = 2(6) + 3(4) = 12 + 12 = 24$.

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $L_2: \frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{4}$ हैं।
चूंकि दिक अनुपात $(2, 3, 4)$ समान हैं,रेखाएँ समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a_1} = (1, -2, 3)$,$\vec{a_2} = (0, 1, -1)$,और $\vec{b} = (2, 3, 4)$ है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-1, 3, -4)$ है।
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = 24\hat{i} - 4\hat{j} - 9\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $\sqrt{24^2 + (-4)^2 + (-9)^2} = \sqrt{673}$ है।
$\vec{b}$ का परिमाण $\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{29}$ है।
अतः,वर्ग की भुजा की लंबाई $s = \frac{\sqrt{673}}{\sqrt{29}}$ है।
वर्ग का परिमाप $4s = \frac{4\sqrt{673}}{\sqrt{29}}$ इकाई है।

(A) रेखाओं के दिक अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें सममित रूप में व्यक्त करते हैं।
पहली रेखा $L_1$ के लिए: $x-3y-4=0$ और $4y-z+5=0$. मान लीजिए $y=t$. तब $x=3t+4$ और $z=4t+5$. रेखा $\frac{x-4}{3} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-5}{4}$ है। दिशा सदिश $\vec{v_1} = (3, 1, 4)$ है।
दूसरी रेखा $L_2$ के लिए: $x+3y-11=0$ और $2y-z+6=0$. मान लीजिए $y=s$. तब $x=-3s+11$ और $z=2s+6$. रेखा $\frac{x-11}{-3} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-6}{2}$ है। दिशा सदिश $\vec{v_2} = (-3, 1, 2)$ है।
रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ का कोज्या $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (3)(-3) + (1)(1) + (4)(2) = -9 + 1 + 8 = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए रेखाएं लंबवत हैं,अतः $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(D) दो रेखाओं के बीच की दूरी तभी स्थिर होती है जब वे रेखाएं समांतर हों।
दी गई रेखा $L_1: \vec{r} = (-1, 3, 4) + \lambda(3, -2, 1)$ है। $L_1$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (3, -2, 1)$ है।
चूंकि रेखा $L$,$L_1$ के समांतर है,इसलिए इसका दिशा सदिश भी $\vec{v} = (3, -2, 1)$ होगा।
यह दिया गया है कि $L$ बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरती है,अतः रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r} = (1, 2, 3) + t(3, -2, 1)$ है।
इसे प्राचलिक रूप में $x = 1 + 3t, y = 2 - 2t, z = 3 + t$ लिखा जा सकता है।
हम जांचते हैं कि कौन सा बिंदु इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है:
$(4, 0, 4)$ के लिए: $4 = 1 + 3t \implies t = 1$. तब $y = 2 - 2(1) = 0$ और $z = 3 + 1 = 4$. यह बिंदु $L$ पर स्थित है।
$(-2, 4, 2)$ के लिए: $-2 = 1 + 3t \implies t = -1$. तब $y = 2 - 2(-1) = 4$ और $z = 3 - 1 = 2$. यह बिंदु $L$ पर स्थित है।
$(7, -2, 5)$ के लिए: $7 = 1 + 3t \implies t = 2$. तब $y = 2 - 2(2) = -2$ और $z = 3 + 2 = 5$. यह बिंदु $L$ पर स्थित है।
$(-5, 6, 2)$ के लिए: $-5 = 1 + 3t \implies t = -2$. तब $y = 2 - 2(-2) = 6$ और $z = 3 - 2 = 1$. चूंकि $z = 1 \neq 2$,इसलिए यह बिंदु $L$ पर स्थित नहीं है।

(C) माना पहली रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4} = k_1$ है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2k_1+1, 3k_1+2, 4k_1+3)$ है।
माना दूसरी रेखा $\frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=z = k_2$ है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(5k_2+4, 2k_2+1, k_2)$ है।
प्रतिच्छेदन के लिए निर्देशांकों की तुलना करने पर: $2k_1+1 = 5k_2+4 \implies 2k_1 - 5k_2 = 3$ और $3k_1+2 = 2k_2+1 \implies 3k_1 - 2k_2 = -1$।
इन्हें हल करने पर,हमें $k_1 = -1$ और $k_2 = -1$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1, -1)$ है।
रेखा $(-1, -1, -1)$ और $(2, 1, -2)$ से गुजरती है।
दिशा सदिश $(2 - (-1), 1 - (-1), -2 - (-1)) = (3, 2, -1)$ है।
अतः रेखा का समीकरण $\frac{x+1}{3} = \frac{y+1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ है।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$ होता है।
बिंदुओं $(a, 1, 6)$ और $(3, 4, b)$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $\frac{x - a}{3 - a} = \frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{z - 6}{b - 6}$.
यह रेखा $\left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)$ बिंदु से गुजरती है।
$x = 0$ रखने पर: $\frac{0 - a}{3 - a} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 6}{b - 6}$.
$y$-निर्देशांक का उपयोग करने पर: $\frac{\frac{17}{2} - 1}{3} = \frac{\frac{15}{2}}{3} = \frac{5}{2}$.
अब,अनुपातों की तुलना करने पर: $\frac{-a}{3 - a} = \frac{5}{2} \implies -2a = 15 - 5a \implies 3a = 15 \implies a = 5$.
आगे,$z$-निर्देशांक का उपयोग करने पर: $\frac{\frac{-13}{2} - 6}{b - 6} = \frac{5}{2} \implies \frac{\frac{-25}{2}}{b - 6} = \frac{5}{2} \implies \frac{-25}{b - 6} = 5 \implies -5 = b - 6 \implies b = 1$.
अंत में,$(3a + 4b) = 3(5) + 4(1) = 15 + 4 = 19$.

(A) रेखा $L_1$ को $x=t, y=t, z=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। $L_1$ पर कोई भी बिंदु $M$ $(t, t, 1)$ है। सदिश $\vec{PM} = (t-a, t-a, 1-a)$ है। चूंकि $PM \perp L_1$,इसलिए $\vec{PM}$ और $L_1$ के दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, 1, 0)$ का डॉट गुणनफल $0$ है: $(t-a)(1) + (t-a)(1) + (1-a)(0) = 0 \implies 2(t-a) = 0 \implies t=a$. अतः,$M = (a, a, 1)$ और $\vec{PM} = (0, 0, 1-a)$.
इसी प्रकार,रेखा $L_2$ को $x=s, y=-s, z=-1$ के रूप में लिखा जा सकता है। $L_2$ पर कोई भी बिंदु $N$ $(s, -s, -1)$ है। सदिश $\vec{PN} = (s-a, -s-a, -1-a)$ है। चूंकि $PN \perp L_2$,इसलिए $\vec{PN}$ और $L_2$ के दिशा सदिश $\vec{v_2} = (1, -1, 0)$ का डॉट गुणनफल $0$ है: $(s-a)(1) + (-s-a)(-1) + (-1-a)(0) = 0 \implies s-a + s+a = 0 \implies 2s = 0 \implies s=0$. अतः,$N = (0, 0, -1)$ और $\vec{PN} = (-a, -a, -1-a)$.
दिया गया है कि $\angle MPN = 90^{\circ}$,इसलिए डॉट गुणनफल $\vec{PM} \cdot \vec{PN} = 0$: $(0)(-a) + (0)(-a) + (1-a)(-1-a) = 0 \implies -(1-a)(1+a) = 0 \implies -(1-a^2) = 0 \implies a^2-1 = 0 \implies a^2 = 1$.

(A) दी गई रेखाएँ $\bar{r} = \bar{a}_1 + \lambda \bar{b}_1$ और $\bar{r} = \bar{a}_2 + \mu \bar{b}_2$ के रूप में हैं।
यहाँ,$\bar{b}_1 = 3 \hat{i} - \hat{j}$ और $\bar{b}_2 = 2 \hat{i} + 3 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,जाँचें कि क्या रेखाएँ समांतर हैं: $\bar{b}_1$,$\bar{b}_2$ का अदिश गुणज नहीं है,इसलिए वे समांतर नहीं हैं।
इसके बाद,रेखाओं को बराबर करके प्रतिच्छेदन की जाँच करें: $(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \lambda(3 \hat{i} - \hat{j}) = (4 \hat{i} - \hat{k}) + \mu(2 \hat{i} + 3 \hat{k})$।
घटकों की तुलना करने पर:
$1 + 3\lambda = 4 + 2\mu \implies 3\lambda - 2\mu = 3$
$1 - \lambda = 0 \implies \lambda = 1$
$-1 = -1 + 3\mu \implies 3\mu = 0 \implies \mu = 0$
$\lambda = 1$ और $\mu = 0$ को पहले समीकरण में रखने पर: $3(1) - 2(0) = 3$,जो $3 = 3$ है।
चूंकि समीकरण सुसंगत हैं,रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
लंबवतता के लिए जाँचें: $\bar{b}_1 \cdot \bar{b}_2 = (3)(2) + (-1)(0) + (0)(3) = 6 \neq 0$।
अतः,रेखाएँ प्रतिच्छेदी हैं लेकिन लंबवत नहीं हैं।

(A) $\angle A$ का आंतरिक कोण समद्विभाजक $A(1, -1, 0)$ से होकर गुजरता है और भुजा $BC$ को आसन्न भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई के अनुपात में विभाजित करता है।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (5-(-1))^2 + (3-0)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{49} = 7$.
$AC = \sqrt{(-11-1)^2 + (-5-(-1))^2 + (6-0)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{196} = 14$.
अनुपात $AB:AC = 7:14 = 1:2$.
समद्विभाजक $BC$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करके,बिंदु $D$ ज्ञात करें:
$D = \left( \frac{1(-11) + 2(3)}{1+2}, \frac{1(-5) + 2(5)}{1+2}, \frac{1(6) + 2(3)}{1+2} \right) = \left( -\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, 4 \right)$.
रेखा $AD$ का दिशा सदिश $\vec{AD} = \left( -\frac{5}{3} - 1, \frac{5}{3} - (-1), 4 - 0 \right) = \left( -\frac{8}{3}, \frac{8}{3}, 4 \right)$.
दिशा अनुपात को सरल बनाने के लिए $\frac{3}{4}$ से गुणा करने पर,हमें $(-2, 2, 3)$ प्राप्त होता है।
अतः,$A(1, -1, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{3}$ है।

(C) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{6(x-1)}{18} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{5} \implies \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{5}$.
दिशा सदिश $\vec{v_1} = (3, 3, 5)$ और बिंदु $P_1 = (1, -1, 1)$ है।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{3(x+2)}{12} = \frac{y-1}{3} = \frac{z+1}{2} \implies \frac{x+2}{4} = \frac{y-1}{3} = \frac{z+1}{2}$.
दिशा सदिश $\vec{v_2} = (4, 3, 2)$ और बिंदु $P_2 = (-2, 1, -1)$ है।
यह जांचने के लिए कि क्या वे प्रतिच्छेद करती हैं,हम अदिश त्रिक गुणनफल $(\vec{P_2 - P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = 0$ की जांच करते हैं।
$\vec{P_2 - P_1} = (-3, 2, -2)$.
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-9, 14, -3)$.
अदिश गुणनफल: $(-3)(-9) + (2)(14) + (-2)(-3) = 27 + 28 + 6 = 61 \neq 0$.
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है,इसलिए रेखाएं विषमतलीय (skew) हैं और प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

(A) दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दी गई रेखाओं के लिए:
रेखा $1$: $\vec{a_1} = (-1, 2, -1)$,$\vec{b_1} = (3, 2, 2)$.
रेखा $2$: $\vec{a_2} = (2, 2, -3)$,$\vec{b_2} = (1, 2, 3)$.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (2 - (-1), 2 - 2, -3 - (-1)) = (3, 0, -2)$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 4) - \hat{j}(9 - 2) + \hat{k}(6 - 2) = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 4\hat{k}$.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + (-7)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 49 + 16} = \sqrt{69}$.
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (3)(2) + (0)(-7) + (-2)(4) = 6 + 0 - 8 = -2$.
$d = \frac{|-2|}{\sqrt{69}} = \frac{2}{\sqrt{69}}$ इकाई।

(D) रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = B - A = (1, -1, -1)$ है।
रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r} = (1+t, 3-t, 2-t)$ है।
माना $M$ बिंदु $P(1, 1, -1)$ का रेखा $L$ पर प्रक्षेप है। $M = (1+t, 3-t, 2-t)$।
सदिश $\vec{PM} = (t, 2-t, 3-t)$ है।
चूँकि $\vec{PM} \perp \vec{v}$,इसलिए $\vec{PM} \cdot \vec{v} = 0$।
$t - (2-t) - (3-t) = 0 \implies 3t = 5 \implies t = \frac{5}{3}$।
$M$ के निर्देशांक $(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ हैं।
यदि $P'$ बिंदु $P$ का प्रतिबिंब है,तो $M = \frac{P+P'}{2} \implies P' = 2M - P$।
$x = \frac{16}{3} - 1 = \frac{13}{3}$,$y = \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}$,$z = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$।
अतः,$x+y+z = \frac{13+5+5}{3} = \frac{23}{3}$।

(C) माना अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ हैं।
चूंकि रेखा $(2, -3, -2)$ और $(-1, 2, 3)$ दिक्-अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए:
$2a - 3b - 2c = 0$ और $-a + 2b + 3c = 0$ है।
दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ ज्ञात करने के लिए क्रॉस गुणन का उपयोग करने पर:
$a = (-3)(3) - (-2)(2) = -5$
$b = (-2)(-1) - (2)(3) = -4$
$c = (2)(2) - (-3)(-1) = 1$
अतः,दिक्-अनुपात $(-5, -4, 1)$ हैं।
रेखा $(-1, 2, 3)$ से गुजरती है।
इसलिए समीकरण $\frac{x+1}{-5} = \frac{y-2}{-4} = \frac{z-3}{1}$ होगा।

(D) माना कि अभीष्ट रेखा के दिक अनुपात $a, b, c$ हैं।
चूंकि रेखा $(1, 2, 3)$ और $(-3, 2, 5)$ दिक अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
$a + 2b + 3c = 0$ $(i)$
$-3a + 2b + 5c = 0$ (ii)
$a, b, c$ के लिए हल करने हेतु वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{a}{(2)(5) - (3)(2)} = \frac{b}{(3)(-3) - (1)(5)} = \frac{c}{(1)(2) - (2)(-3)}$
$\frac{a}{10 - 6} = \frac{b}{-9 - 5} = \frac{c}{2 + 6}$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{8}$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें दिक अनुपात $(2, -7, 4)$ प्राप्त होते हैं।
बिंदु $(-1, 3, -2)$ से गुजरने वाली और $(2, -7, 4)$ दिक अनुपात वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{-7} = \frac{z - (-2)}{4}$
$\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-7} = \frac{z+2}{4}$

(D) माना बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ है।
माना दो दिए गए सदिश $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ हैं।
रेखा की दिशा $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए यह $\vec{b} \times \vec{c}$ के समानांतर है।
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-3)) - \hat{j}(4 - (-1)) + \hat{k}(6 - 1) = 5 \hat{i} - 5 \hat{j} + 5 \hat{k}$.
हम दिशा सदिश को $\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के रूप में ले सकते हैं ($5$ से विभाजित करने पर)।
रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$ है,जो $\vec{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ है।

(A) दी गई रेखाओं के सदिश समीकरण $\bar{r}=\hat{j}+\lambda(3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})$ और $\bar{r}=-4 \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})$ हैं।
समांतर रेखाओं $\bar{r}=\bar{a}_1+\lambda \bar{b}$ और $\bar{r}=\bar{a}_2+\mu \bar{b}$ के बीच की दूरी $d=\left|\frac{(\bar{a}_2-\bar{a}_1) \times \bar{b}}{|\bar{b}|}\right|$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\bar{a}_1=\hat{j}$,$\bar{a}_2=-4 \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$,और $\bar{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ है।
इसलिए,$\bar{a}_2-\bar{a}_1=-4 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ है।
सदिश गुणनफल $(\bar{a}_2-\bar{a}_1) \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & 2 & -2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = -2 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ प्राप्त होता है।
$\bar{b}$ का परिमाण $|\bar{b}| = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14}$ है।
अतः,$d = \frac{|-2 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}|}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{4+4+4}{14}} = \sqrt{\frac{12}{14}} = \sqrt{\frac{6}{7}}$ इकाई।

(A) माना बिंदु $P(a, 6, 9)$ है और इसका दर्पण प्रतिबिंब $P'(20, b, -a-9)$ है।
$PP'$ का मध्य-बिंदु $M = \left(\frac{a+20}{2}, \frac{6+b}{2}, \frac{9-a-9}{2}\right) = \left(\frac{a+20}{2}, \frac{6+b}{2}, -\frac{a}{2}\right)$ है।
चूंकि $M$ रेखा $\frac{x-3}{7} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-1}{-9} = k$ पर स्थित है,इसलिए:
$\frac{\frac{a+20}{2}-3}{7} = \frac{\frac{6+b}{2}-2}{5} = \frac{-\frac{a}{2}-1}{-9} = k$.
पहले और तीसरे भाग से: $\frac{a+14}{14} = \frac{a+2}{18} \implies 18a + 252 = 14a + 28 \implies 4a = -224 \implies a = -56$.
$a = -56$ का मान रेखा के समीकरण में रखने पर: $\frac{-56+14}{14} = \frac{6+b-4}{10} \implies -3 = \frac{b+2}{10} \implies b+2 = -30 \implies b = -32$.
अतः,$|a+b| = |-56 - 32| = |-88| = 88$.

(A) दिया गया कार्तीय समीकरण $2x - 2 = 3y + 1 = 6z - 2$ है।
पूरे समीकरण को $x, y, z$ के गुणांकों के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$,जो कि $6$ है,से विभाजित करने पर:
$\frac{2(x - 1)}{6} = \frac{3(y + 1/3)}{6} = \frac{6(z - 1/3)}{6}$
इसे सरल करने पर:
$\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1/3}{2} = \frac{z - 1/3}{1}$
यह रेखा बिंदु $(1, -1/3, 1/3)$ से होकर गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(3, 2, 1)$ हैं।
रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{r} = \left(\hat{i} - \frac{1}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k}\right) + \lambda(3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$.

(C) माना $\frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z+1}{-2} = \lambda$.
रेखा पर कोई सामान्य बिंदु $Q(2\lambda+1, -\lambda-3, -2\lambda-1)$ है।
सदिश $\vec{AQ} = (2\lambda, -\lambda-1, -2\lambda+2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $AQ$ रेखा पर लंब है, इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$2(2\lambda) - 1(-\lambda-1) - 2(-2\lambda+2) = 0$.
$4\lambda + \lambda + 1 + 4\lambda - 4 = 0$.
$9\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{3}$.
$\lambda = \frac{1}{3}$ रखने पर, $Q = (\frac{5}{3}, -\frac{10}{3}, -\frac{5}{3})$ प्राप्त होता है।
लंबाई $AQ = \sqrt{(\frac{5}{3}-1)^2 + (-\frac{10}{3}-(-2))^2 + (-\frac{5}{3}-(-3))^2}$.
$AQ = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{16}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{36}{9}} = \sqrt{4} = 2 \text{ इकाई}$.

(A) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ केवल तभी प्रतिच्छेद करती हैं जब उनके दिक अनुपातों और उनके बिंदुओं के अंतर से बने सारणिक का मान शून्य हो:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
दी गई रेखाओं के लिए:
रेखा $1$: $(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 1)$ और $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$
रेखा $2$: $(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (-1, 2, 1)$
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} 3-1 & k-2 & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & k-2 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(3(1) - 4(2)) - (k-2)(2(1) - 4(-1)) - 1(2(2) - 3(-1)) = 0$
$2(3 - 8) - (k-2)(2 + 4) - 1(4 + 3) = 0$
$2(-5) - (k-2)(6) - 1(7) = 0$
$-10 - 6k + 12 - 7 = 0$
$-6k - 5 = 0$
$-6k = 5$
$k = \frac{-5}{6}$

(C) अभीष्ट रेखा बिंदु $(3, 1, 2)$ से गुजरती है और दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ और $\vec{v_2} = (-3, 2, 5)$ वाली रेखाओं पर लंब है।
अभीष्ट रेखा का दिशा सदिश $\vec{b}$,$\vec{v_1}$ और $\vec{v_2}$ का सदिश गुणनफल है:
$\vec{b} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix}$
$\vec{b} = \hat{i}(10 - 6) - \hat{j}(5 + 9) + \hat{k}(2 + 6) = 4\hat{i} - 14\hat{j} + 8\hat{k}$
दिशा सदिश को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $\vec{b'} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 4\hat{k}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और दिशा सदिश $(a, b, c)$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
बिंदु $(3, 1, 2)$ और दिशा सदिश $(2, -7, 4)$ रखने पर:
$\frac{x-3}{2} = \frac{y-1}{-7} = \frac{z-2}{4}$.

(B) दो रेखाएं $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ तभी प्रतिच्छेद करती हैं जब बिंदुओं के अंतर और दिशा सदिशों द्वारा बने सारणिक का मान शून्य हो:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
दिए गए बिंदु $(-1, -k, 4)$ और $(-10, -1, 1)$ हैं,और दिशा सदिश $(-10, -1, 1)$ और $(-1, -3, 4)$ हैं।
मान रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} -10-(-1) & -1-(-k) & 1-4 \\ -10 & -1 & 1 \\ -1 & -3 & 4 \end{array}\right| = 0$
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} -9 & k-1 & -3 \\ -10 & -1 & 1 \\ -1 & -3 & 4 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$-9((-1)(4) - (1)(-3)) - (k-1)((-10)(4) - (1)(-1)) - 3((-10)(-3) - (-1)(-1)) = 0$
$-9(-4 + 3) - (k-1)(-40 + 1) - 3(30 - 1) = 0$
$-9(-1) - (k-1)(-39) - 3(29) = 0$
$9 + 39(k-1) - 87 = 0$
$39(k-1) = 78$
$k-1 = 2$
$k = 3$

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{4}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}$ हैं।
रेखाएं बिंदुओं $P_1(1, -2, 1)$ और $P_2(3, k, 0)$ से गुजरती हैं और उनके दिशा अनुपात $\vec{v_1} = (2, 3, 4)$ और $\vec{v_2} = (1, 2, 1)$ हैं।
दो रेखाओं के प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके बीच की न्यूनतम दूरी शून्य होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right|=0$
मान रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} 3-1 & k-(-2) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|=0$
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & k+2 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|=0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(3(1) - 4(2)) - (k+2)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$
$2(3-8) - (k+2)(2-4) - 1(4-3) = 0$
$2(-5) - (k+2)(-2) - 1(1) = 0$
$-10 + 2k + 4 - 1 = 0$
$2k - 7 = 0$
$k = \frac{7}{2}$

(A) माना $\frac{x-7}{3} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+2}{1} = \lambda$. तब $x = 3\lambda + 7, y = 1 - \lambda, z = \lambda - 2$.
माना $\frac{x}{2} = \frac{y-7}{3} = \frac{z}{1} = \mu$. तब $x = 2\mu, y = 3\mu + 7, z = \mu$.
पहली रेखा पर बिंदु $A$ के निर्देशांक $(3\lambda + 7, 1 - \lambda, \lambda - 2)$ हैं।
दूसरी रेखा पर बिंदु $B$ के निर्देशांक $(2\mu, 3\mu + 7, \mu)$ हैं।
रेखा $AB$ के दिक-अनुपात $(3\lambda - 2\mu + 7, -\lambda - 3\mu - 6, \lambda - \mu - 2)$ हैं।
चूंकि रेखा के दिक-अनुपात $1, -4, 2$ हैं,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{3\lambda - 2\mu + 7}{1} = \frac{-\lambda - 3\mu - 6}{-4} = \frac{\lambda - \mu - 2}{2}$.
$\frac{3\lambda - 2\mu + 7}{1} = \frac{\lambda + 3\mu + 6}{4}$ से,$12\lambda - 8\mu + 28 = \lambda + 3\mu + 6$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\lambda - \mu + 2 = 0$ $(i)$ हो जाता है।
$\frac{\lambda + 3\mu + 6}{4} = \frac{\lambda - \mu - 2}{2}$ से,$\lambda + 3\mu + 6 = 2\lambda - 2\mu - 4$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\lambda - 5\mu - 10 = 0$ $(ii)$ हो जाता है।
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $4\mu + 12 = 0$,जिससे $\mu = -3$ प्राप्त होता है।
$\mu = -3$ को $(i)$ में रखने पर,$\lambda - (-3) + 2 = 0$,जिससे $\lambda = -5$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = (-8, 6, -7)$ और $B = (-6, -2, -3)$ प्राप्त होते हैं।

(A) माना रेखा $\frac{x+3}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+4}{3}=\lambda$ है।
रेखा पर कोई बिंदु $P(5\lambda-3, 2\lambda-1, 3\lambda-4)$ है।
दिया गया बिंदु $A(0, 2, 3)$ है।
रेखा $AP$ के दिक्-अनुपात $(5\lambda-3-0, 2\lambda-1-2, 3\lambda-4-3)$ अर्थात $(5\lambda-3, 2\lambda-3, 3\lambda-7)$ हैं।
चूंकि $AP$ दी गई रेखा (जिसके दिक्-अनुपात $(5, 2, 3)$ हैं) पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$5(5\lambda-3) + 2(2\lambda-3) + 3(3\lambda-7) = 0$.
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 6 + 9\lambda - 21 = 0$.
$38\lambda - 42 = 0$.
$\lambda = \frac{42}{38} = \frac{21}{19}$.
$\lambda = \frac{21}{19}$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 5(\frac{21}{19}) - 3 = \frac{105-57}{19} = \frac{48}{19}$.
$y = 2(\frac{21}{19}) - 1 = \frac{42-19}{19} = \frac{23}{19}$.
$z = 3(\frac{21}{19}) - 4 = \frac{63-76}{19} = \frac{-13}{19}$.
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{48}{19}, \frac{23}{19}, \frac{-13}{19}\right)$ हैं।

(A) रेखा का दिया गया कार्तीय समीकरण $6x-2=3y+1=2z-2$ है।
हम इसे मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में बदलने के लिए $x, y, z$ के गुणांकों को बाहर निकालते हैं:
$6(x-\frac{1}{3})=3(y+\frac{1}{3})=2(z-1)$.
पूरे समीकरण को $6, 3, 2$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $6$ से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x-\frac{1}{3}}{1}=\frac{y+\frac{1}{3}}{2}=\frac{z-1}{3}$.
यह रेखा बिंदु $A(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, 1)$ से होकर गुजरती है और इसके दिक अनुपात $\vec{v} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ के समानुपाती हैं।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाली और $\vec{v}$ दिशा वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} = (\frac{1}{3}\hat{i} - \frac{1}{3}\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखा का समीकरण $2x+4=3y+1=6z-3$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में बदलने के लिए,हम समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं:
$2(x+2)=3(y+\frac{1}{3})=6(z-\frac{1}{2})$।
सभी पदों को $2, 3, 6$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $6$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2(x+2)}{6}=\frac{3(y+\frac{1}{3})}{6}=\frac{6(z-\frac{1}{2})}{6} \Rightarrow \frac{x+2}{3}=\frac{y+\frac{1}{3}}{2}=\frac{z-\frac{1}{2}}{1}$।
अतः,रेखा बिंदु $(-2, -\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(3, 2, 1)$ हैं।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}$ के समांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r}=\vec{a}+\lambda\vec{b}$ होता है।
इसलिए,सदिश समीकरण $\overline{r}=\left(-2 \hat{i}-\frac{1}{3} \hat{j}+\frac{1}{2} \hat{k}\right)+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{5}$ और $L_2: \frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{2}$ हैं।
दो रेखाएँ तब प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनके बीच की न्यूनतम दूरी $0$ हो।
प्रतिच्छेदन के लिए शर्त यह है कि रेखाओं पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और रेखाओं के दिशा सदिशों का सारणिक $0$ होना चाहिए।
माना $(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-2, 1, -1)$ है।
दिशा सदिश $(a_1, b_1, c_1) = (3, 2, 5)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (4, 3, 2)$ हैं।
सारणिक की गणना करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -3 & 2 & -2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & 2 \end{vmatrix}$
$\Delta = -3(4 - 15) - 2(6 - 20) - 2(9 - 8)$
$\Delta = 33 + 28 - 2 = 59$.
चूँकि $\Delta \neq 0$,अतः रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

(C) अभीष्ट रेखा बिंदु $A(1, 2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\overline{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
चूंकि रेखा दिशा सदिशों $\overline{b_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\overline{b_2} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए अभीष्ट रेखा का दिशा सदिश $\overline{b} = \overline{b_1} \times \overline{b_2}$ होगा।
$\overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -2 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 6) - \hat{j}(3 - (-4)) + \hat{k}(-9 - 4) = -4\hat{i} - 7\hat{j} - 13\hat{k}$.
रेखा का समीकरण $\overline{r} = \overline{a} + \lambda\overline{b}$ के अनुसार,$\overline{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(-4\hat{i} - 7\hat{j} - 13\hat{k})$ होगा।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}$ और $L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z-0}{1}$ हैं।
दो रेखाओं के प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके बीच की न्यूनतम दूरी $0$ होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि बिंदुओं के अंतर और दिशा सदिशों द्वारा निर्मित सारणिक का मान $0$ होना चाहिए।
$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
मान $(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$,$(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$,$(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$,और $(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 1)$ रखने पर:
$\begin{vmatrix} 3-1 & k-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} 2 & k+1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(3(1) - 4(2)) - (k+1)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$
$2(3-8) - (k+1)(2-4) - 1(4-3) = 0$
$2(-5) - (k+1)(-2) - 1(1) = 0$
$-10 + 2k + 2 - 1 = 0$
$2k - 9 = 0$
$k = \frac{9}{2}$