Line Questions in Hindi

(A) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2p/7}=\frac{z-3}{2}$। दिक अनुपात $\vec{v_1} = (-3, \frac{2p}{7}, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x-1}{-3p/7}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{-5}$। दिक अनुपात $\vec{v_2} = (-\frac{3p}{7}, 1, -5)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(-\frac{3p}{7}) + (\frac{2p}{7})(1) + (2)(-5) = 0$.
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0$.
$\frac{11p}{7} = 10$.
$p = \frac{70}{11}$.

(B) माना दिया गया बिंदु $P(-2, 4, -5)$ है और रेखा $L: \frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $Q(3\lambda-3, 5\lambda+4, 6\lambda-8)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (3\lambda-3 - (-2), 5\lambda+4-4, 6\lambda-8 - (-5)) = (3\lambda-1, 5\lambda, 6\lambda-3)$ है।
चूंकि $PQ$ रेखा (जिसके दिक अनुपात $(3, 5, 6)$ हैं) पर लंब है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$3(3\lambda-1) + 5(5\lambda) + 6(6\lambda-3) = 0$
$9\lambda - 3 + 25\lambda + 36\lambda - 18 = 0$
$70\lambda - 21 = 0 \implies \lambda = \frac{21}{70} = \frac{3}{10}$।
$\lambda = \frac{3}{10}$ को $\vec{PQ}$ में रखने पर:
$\vec{PQ} = (3(\frac{3}{10})-1, 5(\frac{3}{10}), 6(\frac{3}{10})-3) = (-\frac{1}{10}, \frac{15}{10}, -\frac{12}{10})$।
दूरी $PQ = \sqrt{(-\frac{1}{10})^2 + (\frac{15}{10})^2 + (-\frac{12}{10})^2} = \sqrt{\frac{1+225+144}{100}} = \sqrt{\frac{370}{100}} = \sqrt{\frac{37}{10}}$ इकाई।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{2}$ और $L_2: \vec{r}=(2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k})+\lambda(\hat{i}+2\hat{j})$ हैं।
$L_1$ पर स्थित बिंदु $A(-1, -2, -1)$ है और इसका दिशा सदिश $\vec{b_1} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$L_2$ पर स्थित बिंदु $B(2, -2, 3)$ है और इसका दिशा सदिश $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{AB} = (2 - (-1))\hat{i} + (-2 - (-2))\hat{j} + (3 - (-1))\hat{k} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-4) - \hat{j}(0-2) + \hat{k}(6-1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 4 + 25} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|(3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k})|}{3\sqrt{5}} = \frac{|-12 + 0 + 20|}{3\sqrt{5}} = \frac{8}{3\sqrt{5}}$ है।

(B) माना कि अभीष्ट रेखा के दिक अनुपात $a, b, c$ हैं।
चूँकि रेखा $(1, 2, 3)$ और $(-3, 2, 5)$ दिक अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए:
$a + 2b + 3c = 0$ --- $(i)$
$-3a + 2b + 5c = 0$ --- $(ii)$
$a, b, c$ के मान ज्ञात करने के लिए वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{a}{(2)(5) - (3)(2)} = \frac{b}{(3)(-3) - (1)(5)} = \frac{c}{(1)(2) - (2)(-3)}$
$\frac{a}{10 - 6} = \frac{b}{-9 - 5} = \frac{c}{2 + 6}$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{8}$
$2$ से भाग देने पर,हमें दिक अनुपात $(2, -7, 4)$ प्राप्त होते हैं।
यह रेखा बिंदु $(-1, 3, -2)$ से गुजरती है।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{-7} = \frac{z - (-2)}{4}$ होगा,जिसे सरल करने पर $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-7} = \frac{z+2}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा $L_1$ का समीकरण $\vec{r} = 3 \hat{i} + \lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
रेखा $L_2$ का समीकरण $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(\hat{i} + \hat{k})$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,स्थिति सदिश समान होने चाहिए:
$3 \hat{i} - \lambda \hat{i} + \lambda \hat{j} + \lambda \hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \mu \hat{i} + \mu \hat{k}$
$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\hat{j}$ के लिए: $\lambda = 1$.
$\hat{k}$ के लिए: $\lambda = \mu$,अतः $\mu = 1$.
$\hat{i}$ के लिए: $3 - \lambda = 1 + \mu \Rightarrow 3 - 1 = 1 + 1 \Rightarrow 2 = 2$,जो संगत है।
$L_1$ के समीकरण में $\lambda = 1$ रखने पर:
$\vec{r} = 3 \hat{i} + 1(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थिति सदिश $2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।

(C) बिंदुओं $P(2,1,-3)$ और $Q(-3,1,7)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक-अनुपात $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (-3-2, 1-1, 7-(-3)) = (-5, 0, 10)$ हैं।
रेखा $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z+3}{5}$ के समांतर रेखा के दिक-अनुपात $(3, 4, 5)$ हैं।
माना कि इन दो रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\theta$ है। दो रेखाओं जिनके दिक-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच के कोण का सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ है।
मान रखने पर:
$\cos \theta = \left| \frac{(-5)(3) + (0)(4) + (10)(5)}{\sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 10^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{-15 + 0 + 50}{\sqrt{25 + 100} \sqrt{9 + 16 + 25}} \right|$
$\cos \theta = \frac{35}{\sqrt{125} \sqrt{50}} = \frac{35}{5\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{35}{25\sqrt{10}} = \frac{7}{5\sqrt{10}}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{7}{5 \sqrt{10}}\right)$।

(A) माना रेखा पर किसी बिंदु $P$ के निर्देशांक $(3\lambda + 6, 2\lambda + 7, -2\lambda + 7)$ हैं।
दिया गया बिंदु $A(1, 2, 3)$ है।
रेखा $AP$ के दिक अनुपात $(3\lambda + 6 - 1, 2\lambda + 7 - 2, -2\lambda + 7 - 3) = (3\lambda + 5, 2\lambda + 5, -2\lambda + 4)$ हैं।
चूँकि $AP$ दी गई रेखा (जिसके दिक अनुपात $(3, 2, -2)$ हैं) पर लंब है,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$3(3\lambda + 5) + 2(2\lambda + 5) - 2(-2\lambda + 4) = 0$
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0$
$17\lambda + 17 = 0$
$\lambda = -1$
$\lambda = -1$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$P = (3(-1) + 6, 2(-1) + 7, -2(-1) + 7) = (3, 5, 9)$।

(A) दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3)$,$(x_2, y_2, z_2) = (2, 4, 5)$,$\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \lambda\hat{k}$,और $\vec{b_2} = 1\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
$\vec{r_2}-\vec{r_1} = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & \lambda \\ 1 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-4\lambda) - \hat{j}(10-\lambda) + \hat{k}(8-3) = (15-4\lambda)\hat{i} + (\lambda-10)\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल $(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = 1(15-4\lambda) + 2(\lambda-10) + 2(5) = 15-4\lambda+2\lambda-20+10 = 5-2\lambda$ है।
परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(15-4\lambda)^2 + (\lambda-10)^2 + 5^2} = \sqrt{225-120\lambda+16\lambda^2 + \lambda^2-20\lambda+100 + 25} = \sqrt{17\lambda^2-140\lambda+350}$ है।
दिया गया है कि $d = \frac{1}{\sqrt{3}}$,अतः $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{|5-2\lambda|}{\sqrt{17\lambda^2-140\lambda+350}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{3} = \frac{(5-2\lambda)^2}{17\lambda^2-140\lambda+350} \Rightarrow 17\lambda^2-140\lambda+350 = 3(25-20\lambda+4\lambda^2) = 75-60\lambda+12\lambda^2$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $5\lambda^2-80\lambda+275 = 0 \Rightarrow \lambda^2-16\lambda+55 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(\lambda-5)(\lambda-11) = 0$,अतः $\lambda = 5$ या $\lambda = 11$ है।
$\lambda$ के संभावित मानों का योग $5+11 = 16$ है।

(D) माना $\frac{x-6}{3} = \frac{y-7}{2} = \frac{z-7}{-2} = \lambda$.
रेखा पर कोई भी बिंदु $P(3\lambda+6, 2\lambda+7, -2\lambda+7)$ है।
माना $A = (1, 2, 3)$ है।
रेखा $AP$ के दिक अनुपात $(3\lambda+6-1, 2\lambda+7-2, -2\lambda+7-3)$ अर्थात $(3\lambda+5, 2\lambda+5, -2\lambda+4)$ हैं।
चूंकि $AP$ दी गई रेखा पर लंब है, इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$3(3\lambda+5) + 2(2\lambda+5) - 2(-2\lambda+4) = 0$.
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0$.
$17\lambda + 17 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर, $P = (3(-1)+6, 2(-1)+7, -2(-1)+7) = (3, 5, 9)$ प्राप्त होता है।
लंब $AP$ की लंबाई $A(1, 2, 3)$ और $P(3, 5, 9)$ के बीच की दूरी है:
$AP = \sqrt{(3-1)^2 + (5-2)^2 + (9-3)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \text{ इकाई}$.

(C) दो रेखाओं के प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके बीच की न्यूनतम दूरी $0$ होनी चाहिए। दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ के प्रतिच्छेदन की शर्त सारणिक द्वारा दी जाती है: $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(x_1, y_1, z_1) = (k, -1, 1)$,$(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (3, \frac{9}{2}, 0)$,$(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 1)$.
सारणिक इस प्रकार होगा: $\left|\begin{array}{ccc} 3-k & \frac{9}{2}-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 3-k & \frac{11}{2} & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $(3-k)(3-8) - \frac{11}{2}(2-4) - 1(4-3) = 0$.
$\Rightarrow (3-k)(-5) - \frac{11}{2}(-2) - 1(1) = 0$.
$\Rightarrow -15 + 5k + 11 - 1 = 0$.
$\Rightarrow 5k - 5 = 0$.
$\Rightarrow 5k = 5$.
$\Rightarrow k = 1$.

(D) दोनों रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) की गणना करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
इसके बाद,परिमाण (magnitudes) की गणना करें: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$\cos \theta = \frac{19}{3 \times 7} = \frac{19}{21}$.
इस प्रकार,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$.

(C) दी गई रेखाएँ $x = -y, z = 0$ और $x = 0, z = 0$ हैं।
हम इन रेखाओं को सममित रूप में लिख सकते हैं:
रेखा $1$: $\frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{0}$,अतः दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, -1, 0)$ है।
रेखा $2$: $\frac{x}{0} = \frac{y}{1} = \frac{z}{0}$,अतः दिशा सदिश $\vec{v_2} = (0, 1, 0)$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \left| \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1)(0) + (-1)(1) + (0)(0) = -1$.
परिमाण की गणना: $|\vec{v_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ और $|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.
अतः,$\cos \theta = \left| \frac{-1}{\sqrt{2} \times 1} \right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$.

(A) माना कि $yz$-समतल बिंदुओं $A(3, 5, -7)$ और $B(-2, 1, 8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
चूंकि बिंदु $yz$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{\lambda(-2) + 1(3)}{\lambda + 1} = 0$
$-2\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$.
अतः,अनुपात $3 : 2$ है।
अब,$3 : 2$ अनुपात का उपयोग करके $y$ और $z$ निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$y = \frac{3(1) + 2(5)}{3 + 2} = \frac{3 + 10}{5} = \frac{13}{5}$
$z = \frac{3(8) + 2(-7)}{3 + 2} = \frac{24 - 14}{5} = \frac{10}{5} = 2$
इसलिए,अभीष्ट बिंदु $\left(0, \frac{13}{5}, 2\right)$ है।

(C) माना दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ हैं।
चूंकि रेखा दोनों सदिशों के लंबवत है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-1-2) + \hat{k}(1+4) = 1\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
रेखा बिंदु $(-3, 0, 1)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(1, 3, 5)$ हैं।
कार्तीय समीकरण $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x - (-3)}{1} = \frac{y - 0}{3} = \frac{z - 1}{5}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{x+3}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z-1}{5}$ मिलता है।

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ और $L_2: \vec{r} = (0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}) + \mu(2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ हैं।
यहाँ,$\vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{a_2} = 0$,और $\vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$।
अब,$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 6) - \hat{j}(-1 + 6) + \hat{k}(2 + 4) = -8\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}$।
इसका परिमाण $|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}| = \sqrt{(-8)^2 + (-5)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 25 + 36} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ है।
$\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ है।
अतः,दूरी $d = \frac{5\sqrt{5}}{3}$ इकाई है।

(B) माना कि $yz$-समतल बिंदुओं $(a, 1, 6)$ और $(3, 4, b)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु है:
$\left(\frac{3\lambda + a}{\lambda + 1}, \frac{4\lambda + 1}{\lambda + 1}, \frac{b\lambda + 6}{\lambda + 1}\right) = \left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$1) \frac{3\lambda + a}{\lambda + 1} = 0 \Rightarrow 3\lambda + a = 0 \Rightarrow a = -3\lambda$.
$2) \frac{4\lambda + 1}{\lambda + 1} = \frac{17}{2} \Rightarrow 8\lambda + 2 = 17\lambda + 17 \Rightarrow -9\lambda = 15 \Rightarrow \lambda = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3}$.
$\lambda = -\frac{5}{3}$ को $a = -3\lambda$ में रखने पर:
$a = -3\left(-\frac{5}{3}\right) = 5$.
$3) \frac{b\lambda + 6}{\lambda + 1} = -\frac{13}{2} \Rightarrow \frac{b(-\frac{5}{3}) + 6}{-\frac{5}{3} + 1} = -\frac{13}{2} \Rightarrow \frac{-\frac{5b}{3} + 6}{-\frac{2}{3}} = -\frac{13}{2}$.
दोनों पक्षों को $-\frac{2}{3}$ से गुणा करने पर:
$-\frac{5b}{3} + 6 = \left(-\frac{13}{2}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{13}{3}$.
$-\frac{5b}{3} = \frac{13}{3} - 6 = \frac{13 - 18}{3} = -\frac{5}{3}$.
$b = 1$.
अतः,$a = 5$ और $b = 1$ है।

(A) दोनों रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{b_1} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (2)(1) + (-2)(2) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए कोण $\theta = \cos^{-1}(0) = 90^{\circ}$ है।

(A) रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $\frac{x-(-2)}{3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{5}$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि रेखा बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (-2, 4, 5)$ से गुजरती है।
दिक् अनुपात $(a, b, c)$ का मान $(3, 2, 5)$ है।
एक बिंदु जिसका स्थिति सदिश $\vec{a}$ है और जो सदिश $\vec{b}$ के समानांतर है,उस रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ होता है।
यहाँ,$\vec{a} = -2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$ और $\vec{b} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}$ है।
अतः,रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = (-2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) + \lambda(3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k})$ है।

(NONE) दी गई रेखाएं समांतर हैं क्योंकि उनके दिक अनुपात समान हैं: $(2, -1, 2)$।
मान लीजिए रेखाएं $L_1: \vec{r} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} + \lambda(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ और $L_2: \vec{r} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k} + \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ हैं।
यहाँ,$\vec{a_1} = (0, 0, 0)$,$\vec{a_2} = (1, 1, 2)$,और $\vec{b} = (2, -1, 2)$ है।
दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (1-0)\hat{i} + (1-0)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$।
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-2)) - \hat{j}(2 - 4) + \hat{k}(-1 - 2) = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$।
परिमाण $|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$।
परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$।
अतः,$d = \frac{\sqrt{29}}{3}$ इकाई है।

(B) माना कि दी गई रेखा $\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}=\lambda$ है।
इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु को $M(5\lambda-3, 2\lambda+1, 3\lambda-4)$ के रूप में लिया जा सकता है।
माना $P$ बिंदु $(0,2,3)$ है। सदिश $\vec{PM} = (5\lambda-3-0, 2\lambda+1-2, 3\lambda-4-3) = (5\lambda-3, 2\lambda-1, 3\lambda-7)$ है।
चूंकि $PM$ रेखा पर लंब है,इसलिए $\vec{PM}$ और रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = (5, 2, 3)$ का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$5(5\lambda-3) + 2(2\lambda-1) + 3(3\lambda-7) = 0$
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$
$38\lambda - 38 = 0$
$\lambda = 1$।
$M$ के निर्देशांकों में $\lambda = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 5(1)-3 = 2$
$y = 2(1)+1 = 3$
$z = 3(1)-4 = -1$
अतः,लंब का पाद $(2,3,-1)$ है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,हम उनके बीच की न्यूनतम दूरी ($S$.$D$.) की गणना करते हैं। रेखाएँ $\vec{r_1} = (1, -1, 1) + \lambda(3, 2, 5)$ और $\vec{r_2} = (-2, 1, -1) + \mu(4, 3, -2)$ द्वारा दी गई हैं।
न्यूनतम दूरी का सूत्र $S.D. = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right|$ है।
यहाँ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-2-1, 1-(-1), -1-1) = (-3, 2, -2)$.
सदिश गुणनफल $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-15) - \hat{j}(-6-20) + \hat{k}(9-8) = -19\hat{i} + 26\hat{j} + 1\hat{k}$.
अब,$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (-3)(-19) + (2)(26) + (-2)(1) = 57 + 52 - 2 = 107$.
चूँकि न्यूनतम दूरी $\frac{107}{\sqrt{(-19)^2 + 26^2 + 1^2}} = \frac{107}{\sqrt{361 + 676 + 1}} = \frac{107}{\sqrt{1038}} \neq 0$ है,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

(B) माना दी गई रेखा $\frac{x+3}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+4}{3} = \lambda$ है।
इस रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $P = (5\lambda - 3, 2\lambda + 1, 3\lambda - 4)$ है।
माना $A = (0, 2, 3)$ दिया गया बिंदु है। रेखा $AP$ के दिक्-अनुपात $(5\lambda - 3, 2\lambda - 1, 3\lambda - 7)$ हैं।
चूंकि $AP$ दी गई रेखा (जिसके दिक्-अनुपात $(5, 2, 3)$ हैं) पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$5(5\lambda - 3) + 2(2\lambda - 1) + 3(3\lambda - 7) = 0$.
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$.
$38\lambda - 38 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
लंबपाद $P = (5(1) - 3, 2(1) + 1, 3(1) - 4) = (2, 3, -1)$ प्राप्त होता है।
लंब की लंबाई $AP = \sqrt{(2-0)^2 + (3-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21}$ इकाई।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $(3, 1, 2)$ और $(-1, 2, 1)$ को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x-3}{-1-3} = \frac{y-1}{2-1} = \frac{z-2}{1-2}$
$\frac{x-3}{-4} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{-1}$

(D) रेखाएं $\vec{r_1} = (3, 8, 3) + \lambda(3, -1, 1)$ और $\vec{r_2} = (-3, -7, 6) + \mu(-3, 2, 4)$ द्वारा दी गई हैं।
दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-3-3, -7-8, 6-3) = (-6, -15, 3)$.
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-2) - \hat{j}(12+3) + \hat{k}(6-3) = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-6)^2 + (-15)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 225 + 9} = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$.
डॉट प्रोडक्ट $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (-6)(-6) + (-15)(-15) + (3)(3) = 36 + 225 + 9 = 270$.
अतः,$d = \frac{|270|}{3\sqrt{30}} = \frac{270}{3\sqrt{30}} = \frac{90}{\sqrt{30}} = 3\sqrt{30}$ इकाई।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1} = \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $A(3, 4, -7)$ और $B(1, -1, 6)$ का मान रखने पर:
$\frac{x-3}{1-3} = \frac{y-4}{-1-4} = \frac{z-(-7)}{6-(-7)} = \lambda$
$\frac{x-3}{-2} = \frac{y-4}{-5} = \frac{z+7}{13} = \lambda$
इससे,हमें प्राचलिक समीकरण प्राप्त होते हैं:
$x - 3 = -2\lambda \implies x = 3 - 2\lambda$
$y - 4 = -5\lambda \implies y = 4 - 5\lambda$
$z + 7 = 13\lambda \implies z = -7 + 13\lambda$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से होकर जाने वाली रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदु $A(2, 2, 1)$ और $B(1, 3, 0)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-2}{3-2} = \frac{z-1}{0-1}$
$\frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{-1}$.

(D) दो समांतर रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}$ के बीच की दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a}_1 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{a}_2 = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,और $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (1-2)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -\hat{i} + \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-1) - \hat{j}(2-2) + \hat{k}(-1-0) = -\hat{i} - \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ है।
अतः,$d = \frac{\sqrt{2}}{3}$ इकाई।

(A) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{\frac{2\lambda}{7}}=\frac{z-3}{2}$। दिक अनुपात $\vec{v_1} = (-3, \frac{2\lambda}{7}, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x-1}{-\frac{3\lambda}{7}}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{5}$। दिक अनुपात $\vec{v_2} = (-\frac{3\lambda}{7}, 1, 5)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ परस्पर लंब हैं,इसलिए उनके दिक सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$।
$(-3)(-\frac{3\lambda}{7}) + (\frac{2\lambda}{7})(1) + (2)(5) = 0$।
$\frac{9\lambda}{7} + \frac{2\lambda}{7} + 10 = 0$।
$\frac{11\lambda}{7} = -10$।
$\lambda = -\frac{70}{11}$।

(A) मान लीजिए कि अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात $a, b, c$ हैं।
चूंकि रेखा $\vec{v}_1 = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{v}_2 = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ दिशा सदिशों वाली रेखाओं के लंबवत है,इसलिए:
$2a - 2b + c = 0$ ... $(1)$
$a - 2b + 2c = 0$ ... $(2)$
दिक्-अनुपात $(a, b, c) = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ ज्ञात करने के लिए क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करते हुए:
$\frac{a}{(-2)(2) - (1)(-2)} = \frac{b}{(1)(1) - (2)(2)} = \frac{c}{(2)(-2) - (-2)(1)}$
$\frac{a}{-4 + 2} = \frac{b}{1 - 4} = \frac{c}{-4 + 2}$
$\frac{a}{-2} = \frac{b}{-3} = \frac{c}{-2}$
अतः,दिक्-अनुपात $(2, 3, 2)$ के समानुपाती हैं।
बिंदु $(3, -1, 2)$ से गुजरने वाली और $(2, 3, 2)$ दिक्-अनुपात वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - (-1)}{3} = \frac{z - 2}{2}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{2}$

(A) माना बिंदु $P = (2, -1, 5)$ है। रेखा का समीकरण $\vec{r} = (11, -2, -8) + \lambda(10, -4, -11)$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $Q = (10\lambda + 11, -4\lambda - 2, -11\lambda - 8)$ है।
रेखा $PQ$ के दिक-अनुपात $(10\lambda + 11 - 2, -4\lambda - 2 + 1, -11\lambda - 8 - 5) = (10\lambda + 9, -4\lambda - 1, -11\lambda - 13)$ हैं।
चूंकि $PQ$ दी गई रेखा पर लंब है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$10(10\lambda + 9) - 4(-4\lambda - 1) - 11(-11\lambda - 13) = 0$.
$100\lambda + 90 + 16\lambda + 4 + 121\lambda + 143 = 0$.
$237\lambda + 237 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $Q$ में रखने पर,$Q = (10(-1) + 11, -4(-1) - 2, -11(-1) - 8) = (1, 2, 3)$ प्राप्त होता है।
लंब $PQ$ की लंबाई $\sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - (-1))^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$ इकाई है।

(D) माना दी गई रेखाएँ हैं:
$L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda \implies x = 2\lambda+1, y = 3\lambda-1, z = 4\lambda+1$
$L_2: \frac{x-2}{1}=\frac{y+m}{2}=\frac{z-2}{1} = \mu \implies x = \mu+2, y = 2\mu-m, z = \mu+2$
चूँकि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए दोनों रेखाओं पर एक उभयनिष्ठ बिंदु $(x, y, z)$ स्थित है।
$x$ और $z$ निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$2\lambda+1 = \mu+2 \implies 2\lambda - \mu = 1$ $(1)$
$4\lambda+1 = \mu+2 \implies 4\lambda - \mu = 1$ $(2)$
$(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर,हमें $2\lambda = 0 \implies \lambda = 0$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 0$ को $(1)$ में रखने पर,हमें $-\mu = 1 \implies \mu = -1$ प्राप्त होता है।
अब,$y$ निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$3\lambda - 1 = 2\mu - m$
$\lambda = 0$ और $\mu = -1$ रखने पर:
$3(0) - 1 = 2(-1) - m$
$-1 = -2 - m$
$m = -2 + 1 = -1$.

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-2}{2} = \frac{y-4}{5} = \frac{z-1}{2}$ और $L_2: \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{5} = \frac{z+3}{2}$ हैं।
यहाँ $\vec{a}_1 = 2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{a}_2 = \hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ लें।
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = -\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ लें।
$\vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & 2 \\ -1 & -5 & -4 \end{vmatrix} = -10\hat{i} + 10\hat{j} - 10\hat{k}$।
इसका परिमाण $\sqrt{(-10)^2 + 10^2 + (-10)^2} = \sqrt{300}$ है।
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{38}$।
अतः,दूरी $= \frac{|\vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)|}{|\vec{b}|} = \sqrt{\frac{300}{38}}$ इकाई।

(A) दो बिंदुओं,जिनके स्थिति सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं,से होकर जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a})$ होता है।
यहाँ,बिंदुओं $P(1, 2, 3)$ और $Q(2, 3, 4)$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} - \vec{a} = (2 - 1)\hat{i} + (3 - 2)\hat{j} + (4 - 3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
अतः,रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।

(D) माना दिया गया बिंदु $P(2, -1, 5)$ है और रेखा $\vec{r} = (11 \hat{i} - 2 \hat{j} - 8 \hat{k}) + \lambda(10 \hat{i} - 4 \hat{j} - 11 \hat{k})$ है।
रेखा पर किसी भी बिंदु $M$ को $(10\lambda + 11, -4\lambda - 2, -11\lambda - 8)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
रेखा $PM$ के दिक अनुपात $(10\lambda + 11 - 2, -4\lambda - 2 - (-1), -11\lambda - 8 - 5) = (10\lambda + 9, -4\lambda - 1, -11\lambda - 13)$ हैं।
चूंकि $PM$ दी गई रेखा पर लंब है,इसलिए $PM$ के दिक अनुपात और रेखा के सदिश $(10, -4, -11)$ का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$10(10\lambda + 9) - 4(-4\lambda - 1) - 11(-11\lambda - 13) = 0$.
$100\lambda + 90 + 16\lambda + 4 + 121\lambda + 143 = 0$.
$237\lambda + 237 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$M$ के निर्देशांकों में $\lambda = -1$ रखने पर:
$M = (10(-1) + 11, -4(-1) - 2, -11(-1) - 8) = (1, 2, 3)$.

(A) माना कि दी गई रेखा $\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-2}=\lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\lambda-2, 2\lambda+1, -2\lambda-1)$ के रूप में होगा।
इस बिंदु की $A(-2, 1, -1)$ से दूरी $12$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(\lambda-2 - (-2))^2 + (2\lambda+1 - 1)^2 + (-2\lambda-1 - (-1))^2} = 12$.
$\sqrt{\lambda^2 + (2\lambda)^2 + (-2\lambda)^2} = 12$.
$\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda^2 + 4\lambda^2} = 12$.
$\sqrt{9\lambda^2} = 12$.
$3|\lambda| = 12$,अतः $\lambda = \pm 4$.
$\lambda = 4$ के लिए,बिंदु $(4-2, 2(4)+1, -2(4)-1) = (2, 9, -9)$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -4$ के लिए,बिंदु $(-4-2, 2(-4)+1, -2(-4)-1) = (-6, -7, 7)$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(2, 9, -9)$ और $(-6, -7, 7)$ हैं।

(A) रेखा बिंदुओं $A(3, 4, -7)$ और $B(1, -1, 6)$ से होकर गुजरती है।
सबसे पहले,दिशा सदिश $\vec{v} = B - A = (1 - 3, -1 - 4, 6 - (-7)) = (-2, -5, 13)$ ज्ञात करें।
$(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिशा सदिश वाली रेखा के प्राचलिक समीकरण $x = x_1 + a\lambda, y = y_1 + b\lambda, z = z_1 + c\lambda$ होते हैं।
बिंदु $A(3, 4, -7)$ और दिशा सदिश $(-2, -5, 13)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 3 - 2\lambda$
$y = 4 - 5\lambda$
$z = -7 + 13\lambda$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया कार्तीय समीकरण $x-1 = 2y+3 = 3-z$ है।
इस समीकरण को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखने पर:
$\frac{x-1}{1} = \frac{y - (-3/2)}{1/2} = \frac{z-3}{-1}$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा पर स्थित बिंदु $A(1, -3/2, 3)$ है और दिक अनुपात $(1, 1/2, -1)$ हैं।
दिक अनुपातों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $(2, 1, -2)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}$ के समांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} = (\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x+3}{2}=\frac{2y-3}{5}; z=-1$ है।
सबसे पहले,समीकरण को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
$\frac{x+3}{2}=\frac{2(y-3/2)}{5}; z=-1$
$\frac{x-(-3)}{2}=\frac{y-3/2}{5/2}; z=-1$।
यह रेखा बिंदु $(-3, 3/2, -1)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(2, 5/2, 0)$ के समानुपाती हैं।
दिक अनुपात को $2$ से गुणा करने पर,हमें $(4, 5, 0)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}$ के समानांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r}=\vec{a}+\lambda\vec{b}$ होता है।
यहाँ,$\vec{a}=-3\hat{i}+\frac{3}{2}\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}=4\hat{i}+5\hat{j}$ है।
अतः,सदिश समीकरण $\vec{r}=\left(-3\hat{i}+\frac{3}{2}\hat{j}-\hat{k}\right)+\lambda(4\hat{i}+5\hat{j})$ है।

(C) दी गई रेखाएँ $\frac{1-x}{2}=\frac{y-8}{\lambda}=\frac{z-5}{2}$ और $\frac{x-11}{5}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{1}$ हैं।
पहली रेखा को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में लिखने पर:
$\frac{x-1}{-2}=\frac{y-8}{\lambda}=\frac{z-5}{2}$.
पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{v_1} = (-2, \lambda, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{v_2} = (5, 3, 1)$ हैं।
चूँकि रेखाएँ परस्पर लंब हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होगा:
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$
$(-2)(5) + (\lambda)(3) + (2)(1) = 0$
$-10 + 3\lambda + 2 = 0$
$3\lambda - 8 = 0$
$3\lambda = 8$
$\lambda = \frac{8}{3}$.

(D) $XOZ$ समतल वह समतल है जहाँ $y = 0$ होता है। $XOZ$ समतल का अभिलंब सदिश $y$-अक्ष के समानांतर होता है,जिसे सदिश $\vec{n} = (0, 1, 0)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $XOZ$ समतल के लंबवत है,इसलिए यह अभिलंब सदिश $\vec{n} = (0, 1, 0)$ के समानांतर होनी चाहिए।
रेखा बिंदु $(2, 3, -4)$ से गुजरती है।
रेखा के सममित रूप का उपयोग करते हुए,$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = \lambda$,जहाँ $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, -4)$ और दिशा अनुपात $(a, b, c) = (0, 1, 0)$ हैं।
अतः,समीकरण $\frac{x - 2}{0} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 4}{0} = \lambda$ होगा।
इसका अर्थ है कि $x - 2 = 0 \implies x = 2$,$z + 4 = 0 \implies z = -4$,और $y - 3 = \lambda \implies y = 3 + \lambda$ है।
इसलिए,रेखा का समीकरण $x = 2, \quad y = 3 + \lambda, \quad z = -4$ है।

(C) दी गई रेखाएं $\ell_{1}: \bar{r} = (\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) + t(-\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})$ और $\ell_{2}: \bar{r} = (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + p(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})$ हैं।
यहाँ,$\bar{a}_{1} = \hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$,$\bar{b}_{1} = -\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$,$\bar{a}_{2} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,और $\bar{b}_{2} = \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\bar{a}_{2}-\bar{a}_{1} = (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) - (\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) = \hat{j}-2\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+4) - \hat{j}(-2+2) + \hat{k}(-2-1) = 6\hat{i} - 3\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2}) \cdot (\bar{a}_{2}-\bar{a}_{1})}{|\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2}|} \right| = \left| \frac{(6\hat{i}-3\hat{k}) \cdot (\hat{j}-2\hat{k})}{3\sqrt{5}} \right| = \left| \frac{6}{3\sqrt{5}} \right| = \frac{2}{\sqrt{5}}$ इकाई है।

(B) दी गई रेखा का समीकरण $3x + 4 = 4y - 1 = 1 - 4z$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखने के लिए $x, y, z$ के गुणांकों से विभाजित करने पर:
$\frac{x + 4/3}{1/3} = \frac{y - 1/4}{1/4} = \frac{z - 1/4}{-1/4}$ प्राप्त होता है।
हरों को $12$ से गुणा करने पर,दिशा अनुपात $(a, b, c) = (4, 3, -3)$ प्राप्त होते हैं।
बिंदु $(2, 4, 6)$ से गुजरने वाली और $(4, 3, -3)$ दिशा अनुपात वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x-2}{4} = \frac{y-4}{3} = \frac{z-6}{-3}$ है।

(C) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{x-1}{5} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-3}{-\lambda}$। दिशा अनुपात $\vec{v_1} = (5, 3, -\lambda)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x+1}{4} = \frac{y-1/3}{-5} = \frac{z+1}{1}$। दिशा अनुपात $\vec{v_2} = (4, -5, 1)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए उनके दिशा अनुपातों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$।
$5(4) + 3(-5) + (-\lambda)(1) = 0$।
$20 - 15 - \lambda = 0$।
$5 - \lambda = 0$।
अतः,$\lambda = 5$।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda$ और $L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1} = \mu$ हैं।
$L_1$ पर कोई भी बिंदु $P(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ है और $L_2$ पर कोई भी बिंदु $Q(\mu+3, 2\mu+k, \mu)$ है।
रेखाओं के प्रतिच्छेद करने के लिए,ऐसे $\lambda$ और $\mu$ होने चाहिए कि $P=Q$ हो।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ $(i)$
$3\lambda-1 = 2\mu+k \implies 3\lambda - 2\mu = k+1$ (ii)
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ (iii)
(iii) में से $(i)$ घटाने पर: $(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2 \implies 2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$।
$\lambda = -\frac{3}{2}$ को $(i)$ में रखने पर: $2(-\frac{3}{2}) - \mu = 2 \implies -3 - \mu = 2 \implies \mu = -5$।
अब $\lambda = -\frac{3}{2}$ और $\mu = -5$ को (ii) में रखने पर: $3(-\frac{3}{2}) - 2(-5) = k+1 \implies -\frac{9}{2} + 10 = k+1 \implies k = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$।

(D) दोनों रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} + 2 \hat{j} + m \hat{k}$ और $\vec{b_2} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 6 \hat{k}$ हैं।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए उनके दिशा सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = 0$.
$(1)(2) + (2)(1) + (m)(6) = 0$.
$2 + 2 + 6m = 0$.
$4 + 6m = 0$.
$6m = -4$.
$m = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3}$.

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदु $(3, 4, -7)$ और $(6, -1, 1)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x-3}{6-3} = \frac{y-4}{-1-4} = \frac{z-(-7)}{1-(-7)}$
$\frac{x-3}{3} = \frac{y-4}{-5} = \frac{z+7}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना कि $Q$ बिंदु $P(0,2,3)$ से दी गई रेखा पर डाले गए लंब का पाद है।
दी गई रेखा $\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}=\lambda$ पर किसी बिंदु के निर्देशांक $Q(5\lambda-3, 2\lambda+1, 3\lambda-4)$ हैं।
रेखा $PQ$ के दिक अनुपात $(5\lambda-3-0, 2\lambda+1-2, 3\lambda-4-3)$ अर्थात $(5\lambda-3, 2\lambda-1, 3\lambda-7)$ हैं।
दी गई रेखा के दिक अनुपात $(5, 2, 3)$ हैं।
चूंकि $PQ$ रेखा पर लंब है,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$5(5\lambda-3) + 2(2\lambda-1) + 3(3\lambda-7) = 0$
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$
$38\lambda - 38 = 0$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$Q = (5(1)-3, 2(1)+1, 3(1)-4) = (2, 3, -1)$.
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(C) सबसे पहले,हम रेखाओं के समीकरणों को सममित रूप $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ में लिखते हैं।
पहली रेखा $1+x = 2y = -12z$ के लिए,हमारे पास $\frac{x+1}{1} = \frac{y}{1/2} = \frac{z}{-1/12}$ है। यहाँ,बिंदु $P_1 = (-1, 0, 0)$ और दिशा सदिश $\vec{b_1} = (1, 1/2, -1/12)$ है।
दूसरी रेखा $x = y+2 = 6z-6$ के लिए,हमारे पास $\frac{x}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1/6}$ है। यहाँ,बिंदु $P_2 = (0, -2, 1)$ और दिशा सदिश $\vec{b_2} = (1, 1, 1/6)$ है।
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{||\vec{b_1} \times \vec{b_2}||}$ है।
सदिश $\vec{P_2} - \vec{P_1} = (0 - (-1), -2 - 0, 1 - 0) = (1, -2, 1)$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1/2 & -1/12 \\ 1 & 1 & 1/6 \end{vmatrix} = \hat{i}(\frac{1}{12} + \frac{1}{12}) - \hat{j}(\frac{1}{6} + \frac{1}{12}) + \hat{k}(1 - 1/2) = (1/6, -1/4, 1/2)$ है।
परिमाण $||\vec{b_1} \times \vec{b_2}|| = \sqrt{(1/6)^2 + (-1/4)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/36 + 1/16 + 1/4} = \sqrt{\frac{4+9+36}{144}} = \sqrt{49/144} = 7/12$ है।
डॉट प्रोडक्ट $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (1)(1/6) + (-2)(-1/4) + (1)(1/2) = 1/6 + 1/2 + 1/2 = 7/6$ है।
अतः,$d = \frac{|7/6|}{7/12} = \frac{7}{6} \times \frac{12}{7} = 2$ इकाई।

(B) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = (4, 1, 8)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = (2, 2, 1)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ है।
मान रखने पर:
$\cos \theta = \left| \frac{4(2) + 1(2) + 8(1)}{\sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2} \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{8 + 2 + 8}{\sqrt{16 + 1 + 64} \sqrt{4 + 4 + 1}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{18}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{9}} \right| = \frac{18}{9 \cdot 3} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.