Line Questions in Hindi

(D) माना बिंदु $P$ $(5, 1, 3)$ है।
रेखा बिंदु $Q(3, 7, 1)$ से होकर गुजरती है और सदिश $\vec{v} = \hat{j} + \hat{k}$ के समानांतर है।
सदिश $\vec{PQ} = (3-5)\hat{i} + (7-1)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = -2\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
बिंदु से रेखा की दूरी $d = \frac{|\vec{PQ} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{PQ} \times \vec{v}$ की गणना करें:
$\vec{PQ} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 6 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-2)) - \hat{j}(-2 - 0) + \hat{k}(-2 - 0) = 8\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{PQ} \times \vec{v}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4 + 4} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ है।
सदिश $\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
अतः,$d = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$।

(D) दिया गया है कि रेखा $L_1$,$\vec{a}_1 = 2 \hat{i}-\hat{k}$ से गुजरती है और $\vec{b}_1 = 3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ के समानांतर है।
रेखा $L_2$,$\vec{a}_2 = 2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ से गुजरती है और $\vec{b}_2 = \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ के समानांतर है।
दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र है: $d = \frac{|(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ की गणना करें:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 + 4) - \hat{j}(3 - 2) + \hat{k}(-6 + 1) = 3 \hat{i} - \hat{j} - 5 \hat{k}$।
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$ है।
इसके बाद,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) - (2 \hat{i} - \hat{k}) = \hat{j} - 2 \hat{k}$ की गणना करें।
अब,अदिश गुणनफल की गणना करें: $(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = (3 \hat{i} - \hat{j} - 5 \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} + 1 \hat{j} - 2 \hat{k}) = (3)(0) + (-1)(1) + (-5)(-2) = 0 - 1 + 10 = 9$।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{|9|}{\sqrt{35}} = \frac{9}{\sqrt{35}}$ है।

(D) रेखाखंड $\overline{AB}$ के दिक अनुपात $(4-2, 5-3, 7-4) = (2, 2, 3)$ हैं।
रेखाखंड $\overline{CD}$ के दिक अनुपात $(4-2, -4-(-6), k-3) = (2, 2, k-3)$ हैं।
चूंकि रेखा $\overline{AB}$,$\overline{CD}$ के समांतर है,इसलिए उनके दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए।
अतः,$\frac{2}{2} = \frac{2}{2} = \frac{3}{k-3}$।
इसका अर्थ है कि $1 = \frac{3}{k-3}$।
$k$ के लिए हल करने पर,हमें $k-3 = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $k = 6$।

(B) बिंदुओं $(k, 2, 3)$ और $(1, 1, 2)$ को मिलाने वाली रेखा के दिक अनुपात $(1-k, 1-2, 2-3)$ अर्थात $(1-k, -1, -1)$ हैं।
बिंदुओं $(5, 4, -1)$ और $(3, 2, -3)$ को मिलाने वाली रेखा के दिक अनुपात $(3-5, 2-4, -3-(-1))$ अर्थात $(-2, -2, -2)$ हैं।
चूंकि दोनों रेखाएं समांतर हैं,इसलिए उनके दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{1-k}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{-1}{-2}$
समीकरण $\frac{1-k}{-2} = \frac{1}{2}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$1-k = -1$
$k = 2$
अतः,$k$ का मान $2$ है।

(A) मान लीजिए कि रेखाओं के दिक्कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं।
दिए गए समीकरण $al + bm + cn = 0$ और $fmn + gnl + hlm = 0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = -\frac{bm + cn}{a}$। इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$fmn + gn(-\frac{bm + cn}{a}) + hm(-\frac{bm + cn}{a}) = 0$
$afmn - bgnm - cgn^2 - bhm^2 - chmn = 0$
$bhm^2 + (ch + bg - af)mn + cgn^2 = 0$
$n^2$ से विभाजित करने पर,हमें $bh(\frac{m}{n})^2 + (ch + bg - af)(\frac{m}{n}) + cg = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों का गुणनफल $\frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = \frac{cg}{bh}$ है।
इसी प्रकार,$m$ को विलुप्त करने पर,हमें $ah(\frac{l}{n})^2 + (ch + af - bg)(\frac{l}{n}) + cf = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{cf}{ah}$।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$।
$n_1 n_2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} + \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनफलों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{cf}{ah} + \frac{cg}{bh} + 1 = 0$।
$c$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया कार्तीय समीकरण $2x - 3 = 3y + 1 = 5 - 6z$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ में लिखने के लिए,हम $x, y, z$ के गुणांकों से विभाजित करते हैं:
$2(x - \frac{3}{2}) = 3(y + \frac{1}{3}) = -6(z - \frac{5}{6})$।
$6$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x - 3/2}{3} = \frac{y + 1/3}{2} = \frac{z - 5/6}{-1}$ प्राप्त होता है।
इस रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ है।
बिंदु $\vec{a} = 7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 0 \hat{k}$ से गुजरने वाली और $\vec{v}$ के समानांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$ होता है।
अतः,$\vec{r} = (7 \hat{i} - 5 \hat{j}) + \lambda(3 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k})$।

(D) माना $A = (9, 13, 15)$,$B = (12, 21, 10)$,और $P = (5, 7, 3)$ है। माना $Q(x, y, z)$ रेखा $AB$ पर $P$ से डाले गए लंब का पाद है।
रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(12 - 9, 21 - 13, 10 - 15) = (3, 8, -5)$ हैं।
रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x - 9}{3} = \frac{y - 13}{8} = \frac{z - 15}{-5} = \lambda$ है।
रेखा $AB$ पर कोई भी बिंदु $Q = (3\lambda + 9, 8\lambda + 13, -5\lambda + 15)$ के रूप में होगा।
$PQ$ के दिक अनुपात $(3\lambda + 9 - 5, 8\lambda + 13 - 7, -5\lambda + 15 - 3) = (3\lambda + 4, 8\lambda + 6, -5\lambda + 12)$ हैं।
चूंकि $PQ \perp AB$,उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$3(3\lambda + 4) + 8(8\lambda + 6) - 5(-5\lambda + 12) = 0$
$9\lambda + 12 + 64\lambda + 48 + 25\lambda - 60 = 0$
$98\lambda = 0 \implies \lambda = 0$.
$\lambda = 0$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर,$Q = (9, 13, 15)$ प्राप्त होता है।
अतः,लंब का पाद $(9, 13, 15)$ है,जो विकल्प $D$ के अनुरूप है।

(D) मान लीजिए कि अभीष्ट रेखा के दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं।
यह रेखा बिंदु $P(-1, 3, -2)$ से गुजरती है।
दी गई रेखाओं के दिक अनुपात $\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ और $\vec{v_2} = (-3, 2, 5)$ हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा दोनों दी गई रेखाओं पर लंब है,इसलिए इसका दिक सदिश $\vec{v} = (a, b, c)$,$\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ के समांतर होगा।
$\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - 6) - \hat{j}(5 - (-9)) + \hat{k}(2 - (-6)) = 4\hat{i} - 14\hat{j} + 8\hat{k}$.
$2$ से विभाजित करने पर,हमें दिक अनुपात $(2, -7, 4)$ प्राप्त होते हैं।
बिंदु $(-1, 3, -2)$ से गुजरने वाली और $(2, -7, 4)$ दिक अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{-7} = \frac{z - (-2)}{4}$ होगा,जिसे सरल करने पर $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-7} = \frac{z+2}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ है। पहली रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(1+2\lambda, 2+3\lambda, -1+4\lambda)$ हैं और दूसरी रेखा पर निर्देशांक $(-1+\mu, -3+2\mu, 7-\mu)$ हैं।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1+2\lambda = -1+\mu \implies 2\lambda - \mu = -2$ ... $(i)$
$2+3\lambda = -3+2\mu \implies 3\lambda - 2\mu = -5$ ... $(ii)$
$-1+4\lambda = 7-\mu \implies 4\lambda + \mu = 8$ ... $(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$(2\lambda - \mu) + (4\lambda + \mu) = -2 + 8$
$6\lambda = 6 \implies \lambda = 1$
समीकरण $(i)$ में $\lambda = 1$ रखने पर:
$2(1) - \mu = -2 \implies \mu = 4$
इन मानों को समीकरण $(ii)$ में जाँचने पर:
$3(1) - 2(4) = 3 - 8 = -5$,जो सही है।
पहली रेखा के समीकरण में $\lambda = 1$ रखने पर:
$r = (\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}) + 1(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = 3 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $3 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}$ है।

(A) दो विषम तलीय रेखाओं $r=a+tb$ और $r=c+sd$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र है: $\text{न्यूनतम दूरी} = \left| \frac{(c-a) \cdot (b \times d)}{|b \times d|} \right|$।
दी गई रेखाएँ $r=(6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})+t(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $r=(-4 \hat{i}-\hat{k})+s(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})$ हैं।
यहाँ,$a=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$,$b=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$,$c=-4 \hat{i}-\hat{k}$,और $d=3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,$c-a = (-4 \hat{i}-\hat{k}) - (6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) = -10 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $b \times d = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4+4) - \hat{j}(-2-6) + \hat{k}(-2+6) = 8 \hat{i}+8 \hat{j}+4 \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|b \times d| = \sqrt{8^2+8^2+4^2} = \sqrt{64+64+16} = \sqrt{144} = 12$ है।
अदिश गुणनफल $(c-a) \cdot (b \times d) = (-10 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}) \cdot (8 \hat{i}+8 \hat{j}+4 \hat{k}) = -80 - 16 - 12 = -108$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $\left| \frac{-108}{12} \right| = |-9| = 9$ है।

(C) माना कि पहली रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ है।
चूँकि रेखाओं का एक उभयनिष्ठ बिंदु है,यह बिंदु दूसरी रेखा के समीकरण $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}$ को संतुष्ट करेगा।
निर्देशांकों को दूसरी रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\frac{2\lambda+1-3}{1} = \frac{3\lambda-1-k}{2} = \frac{4\lambda+1}{1}$.
पहले और तीसरे भाग की तुलना करने पर:
$2\lambda-2 = 4\lambda+1
\Rightarrow -3 = 2\lambda
\Rightarrow \lambda = -\frac{3}{2}$.
अब,पहले और दूसरे भाग की तुलना करने पर:
$\frac{2\lambda-2}{1} = \frac{3\lambda-1-k}{2}$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ रखने पर:
$2(-\frac{3}{2})-2 = \frac{3(-\frac{3}{2})-1-k}{2}
\Rightarrow -3-2 = \frac{-\frac{9}{2}-1-k}{2}
\Rightarrow -5 = \frac{-\frac{11}{2}-k}{2}
\Rightarrow -10 = -\frac{11}{2}-k
\Rightarrow k = -\frac{11}{2} + 10 = \frac{9}{2}$.

(D) माना बिंदु $P(3, -2, 1)$ है। रेखा बिंदुओं $A(1, -3, 5)$ और $B(2, 1, -4)$ से होकर गुजरती है।
सदिश $\vec{a} = \vec{i} - 3\vec{j} + 5\vec{k}$ और रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{AB} = \vec{i} + 4\vec{j} - 9\vec{k}$ है।
माना $\vec{p} = 3\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$ है। सदिश $\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a} = 2\vec{i} + \vec{j} - 4\vec{k}$ है।
लंबवत दूरी $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ द्वारा दी जाती है।
$\vec{AP} \times \vec{v} = 7\vec{i} + 14\vec{j} + 7\vec{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{294} = 7\sqrt{6}$ है।
दिशा सदिश का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ है।
दूरी $d = \frac{7\sqrt{6}}{7\sqrt{2}} = \sqrt{3}$ है।

(A) दो विषम रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a_1} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{a_2} = \hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -2\hat{i} - 11\hat{j} + 0\hat{k}$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{35}$.
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = -35$.
अतः,$d = \frac{|-35|}{\sqrt{35}} = \sqrt{35}$.

(C) एक बिंदु $\vec{a} = x_1 \bar{i} + y_1 \bar{j} + z_1 \bar{k}$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b} = a \bar{i} + b \bar{j} + c \bar{k}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया बिंदु $(1, -2, 1)$ है,इसलिए $x_1 = 1, y_1 = -2, z_1 = 1$ है।
दिया गया समानांतर सदिश $\bar{i} + \bar{j} + 3 \bar{k}$ है,इसलिए $a = 1, b = 1, c = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें $\frac{x-1}{1} = \frac{y-(-2)}{1} = \frac{z-1}{3}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{3}$ हो जाता है।

(A) मान लीजिए कि दो रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ हैं। रेखा $L_1$ का समीकरण $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ है,जहाँ $\vec{a}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
रेखा $L_2$ का समीकरण $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ है,जहाँ $\vec{a}_2 = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{b}_2 = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ की गणना करें।
इसके बाद,$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-16) - \hat{j}(10-12) + \hat{k}(8-9) = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ की गणना करें।
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$ है।
अब,अदिश गुणनफल $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (1)(-1) + (2)(2) + (2)(-1) = 1$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{|1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ है।

(D) माना बिंदु $P(2,3,-1)$ और $Q(3,5,-3)$ हैं। रेखा $PQ$ के दिक अनुपात $(3-2, 5-3, -3-(-1)) = (1, 2, -2)$ हैं।
माना बिंदु $A(1,2,3)$ और $B(\alpha, \beta, \gamma)$ हैं। रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(\alpha-1, \beta-2, \gamma-3)$ हैं।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$1(\alpha-1) + 2(\beta-2) - 2(\gamma-3) = 0$
$\alpha - 1 + 2\beta - 4 - 2\gamma + 6 = 0$
$\alpha + 2\beta - 2\gamma + 1 = 0$.
अब,हम विकल्पों की जांच करते हैं:
विकल्प $D(3,5,7)$ के लिए: $3 + 2(5) - 2(7) + 1 = 3 + 10 - 14 + 1 = 0$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(1, 8, 4)$,$B(0, -11, 4)$ और $C(2, -3, 1)$ हैं।
सबसे पहले,$B(0, -11, 4)$ और $C(2, -3, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण ज्ञात कीजिए।
$BC$ के दिक अनुपात $(2-0, -3-(-11), 1-4) = (2, 8, -3)$ हैं।
रेखा $BC$ का समीकरण $\frac{x-0}{2} = \frac{y+11}{8} = \frac{z-4}{-3} = \lambda$ है।
रेखा $BC$ पर स्थित किसी भी बिंदु $D$ को $(2\lambda, 8\lambda - 11, -3\lambda + 4)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
चूंकि $AD \perp BC$,सदिश $\vec{AD}$ और $BC$ के दिक सदिश का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।
सदिश $\vec{AD} = (2\lambda - 1, 8\lambda - 11 - 8, -3\lambda + 4 - 4) = (2\lambda - 1, 8\lambda - 19, -3\lambda)$ है।
$BC$ का दिक सदिश $\vec{v} = (2, 8, -3)$ है।
$\vec{AD} \cdot \vec{v} = 0$ रखने पर:
$2(2\lambda - 1) + 8(8\lambda - 19) + (-3)(-3\lambda) = 0$
$4\lambda - 2 + 64\lambda - 152 + 9\lambda = 0$
$77\lambda - 154 = 0$
$77\lambda = 154 \implies \lambda = 2$.
$D$ के निर्देशांकों में $\lambda = 2$ रखने पर:
$D = (2(2), 8(2) - 11, -3(2) + 4) = (4, 16 - 11, -6 + 4) = (4, 5, -2)$.

(B) माना चार बिंदुओं $P, Q, R$ और $S$ के निर्देशांक क्रमशः $(3, -4, 5), (0, 0, 4), (-4, 5, 1)$ और $(-3, 4, 3)$ हैं।
बिंदुओं $(3, -4, 5)$ और $(0, 0, 4)$ से गुजरने वाली रेखा $PQ$ का समीकरण:
$\frac{x-3}{0-3} = \frac{y+4}{0+4} = \frac{z-5}{4-5} = r_1$
$\Rightarrow \frac{x-3}{-3} = \frac{y+4}{4} = \frac{z-5}{-1} = r_1$
बिंदुओं $(-4, 5, 1)$ और $(-3, 4, 3)$ से गुजरने वाली रेखा $RS$ का समीकरण:
$\frac{x+4}{-3+4} = \frac{y-5}{4-5} = \frac{z-1}{3-1} = r_2$
$\Rightarrow \frac{x+4}{1} = \frac{y-5}{-1} = \frac{z-1}{2} = r_2$
रेखा $PQ$ पर एक सामान्य बिंदु $(-3r_1+3, 4r_1-4, -r_1+5)$ है और रेखा $RS$ पर एक सामान्य बिंदु $(r_2-4, -r_2+5, 2r_2+1)$ है।
चूंकि रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं,निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$-3r_1+3 = r_2-4 \Rightarrow 3r_1+r_2 = 7$ (समीकरण $i$)
$4r_1-4 = -r_2+5 \Rightarrow 4r_1+r_2 = 9$ (समीकरण $ii$)
समीकरण $ii$ से समीकरण $i$ को घटाने पर:
$(4r_1+r_2) - (3r_1+r_2) = 9 - 7 \Rightarrow r_1 = 2$
$r_1 = 2$ का मान समीकरण $i$ में रखने पर:
$3(2) + r_2 = 7 \Rightarrow r_2 = 1$
$r_2 = 1$ का मान रेखा $RS$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 1-4 = -3, y = -1+5 = 4, z = 2(1)+1 = 3$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-3, 4, 3)$ है,जो $-3i+4j+3k$ को दर्शाता है।

(C) दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ के समतलीय होने की शर्त $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ है।
दी गई रेखाओं के लिए,$(x_1, y_1, z_1) = (3, 2, 1)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (2, 3, 2)$ है।
दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, \lambda)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (3, 2, 3)$ हैं।
सदिश $\vec{AB} = (2-3, 3-2, 2-1) = (-1, 1, 1)$ है।
सारणिक में इन मानों को रखने पर:
$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & \lambda \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $-1(9-2\lambda) - 1(6-3\lambda) + 1(4-9) = 0$.
$-9 + 2\lambda - 6 + 3\lambda - 5 = 0 \Rightarrow 5\lambda - 20 = 0 \Rightarrow \lambda = 4$.
अब,हमें $\sin ^{-1}(\sin 4) + \cos ^{-1}(\cos 4)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $4$ रेडियन तीसरे चतुर्थांश में है $(\pi < 4 < \frac{3\pi}{2})$,हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों का उपयोग करते हैं:
$\sin ^{-1}(\sin 4) = \sin ^{-1}(\sin(\pi - 4)) = \pi - 4$.
$\cos ^{-1}(\cos 4) = \cos ^{-1}(\cos(2\pi - 4)) = 2\pi - 4$.
योग करने पर: $(\pi - 4) + (2\pi - 4) = 3\pi - 8$.

(A) माना कि $yz$-समतल बिंदुओं $A(2, 3, 4)$ और $B(-3, 5, -4)$ को जोड़ने वाली रेखा को $\lambda : 1$ के अनुपात में बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $M$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$M = \left( \frac{-3\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{5\lambda + 3}{\lambda + 1}, \frac{-4\lambda + 4}{\lambda + 1} \right)$.
चूंकि बिंदु $M$,$yz$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा।
अतः,$\frac{-3\lambda + 2}{\lambda + 1} = 0$,जिसका अर्थ है $-3\lambda + 2 = 0$,यानी $\lambda = \frac{2}{3}$.
अब $\lambda = \frac{2}{3}$ का मान $M$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$y = \frac{5(2/3) + 3}{(2/3) + 1} = \frac{10/3 + 9/3}{5/3} = \frac{19}{5}$.
$z = \frac{-4(2/3) + 4}{(2/3) + 1} = \frac{-8/3 + 12/3}{5/3} = \frac{4}{5}$.
इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(0, \frac{19}{5}, \frac{4}{5}\right)$ है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) रेखा $L_1$ बिंदुओं $A(1, 1, 0)$ और $B(-1, 0, 1)$ से गुजरती है। $L_1$ का दिशा सदिश $\vec{v_1} = B - A = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
$L_1$ का समीकरण $\vec{r} = (1-2s, 1-s, s)$ है।
रेखा $L_2$ बिंदु $C(0, 1, 2)$ से गुजरती है और $\vec{v_2} = (1, 1, 1)$ के समानांतर है।
$L_2$ का समीकरण $\vec{r} = (t, 1+t, 2+t)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$(1-2s, 1-s, s) = (t, 1+t, 2+t)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $1-2s = t$,$1-s = 1+t$,$s = 2+t$ प्राप्त होता है।
$1-s = 1+t$ से,$s = -t$ मिलता है।
$s = -t$ को $s = 2+t$ में रखने पर: $-t = 2+t \implies 2t = -2 \implies t = -1$ प्राप्त होता है।
अतः $s = 1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु: $x = -1$,$y = 0$,$z = 1$ है।
इस प्रकार,$(y-x) = 0 - (-1) = 1$ है।
चूंकि $z = 1$ है,इसलिए $(y-x) = z$ है।

(A) $A(1, -2, 1)$ और $B(2, -1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1} = K$ है।
रेखा $AB$ पर स्थित कोई भी बिंदु $D(\alpha, \beta, \gamma) = (K+1, K-2, K+1)$ के रूप में होगा।
रेखा $AB$ के दिक अनुपात $\langle 1, 1, 1 \rangle$ हैं।
सदिश $\vec{CD} = (\alpha-1, \beta-2, \gamma-3) = (K, K-4, K-2)$ है।
चूंकि $CD \perp AB$,इसलिए $\vec{CD}$ और रेखा $AB$ के दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$1(K) + 1(K-4) + 1(K-2) = 0$.
$3K - 6 = 0 \Rightarrow K = 2$.
$K=2$ रखने पर,$\alpha = 3, \beta = 0, \gamma = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 3^2 + 0^2 + 3^2 = 18$.

(B) चूंकि बिंदु $A, B, C, D$ संरेख हैं,वे $D(-5, 6, 1)$ से गुजरने वाली एक ही रेखा पर स्थित हैं।
रेखा के दिक अनुपात $(p, q, r)$ मान लीजिए। रेखा का समीकरण $\frac{x+5}{p} = \frac{y-6}{q} = \frac{z-1}{r} = k$ है।
बिंदु $A(-2, 4, a)$ के लिए: $\frac{3}{p} = \frac{-2}{q} = \frac{a-1}{r}$।
बिंदु $B(1, b, 3)$ के लिए: $\frac{6}{p} = \frac{b-6}{q} = \frac{2}{r}$।
बिंदु $C(c, 0, 4)$ के लिए: $\frac{c+5}{p} = \frac{-6}{q} = \frac{3}{r}$।
गणना करने पर $c=4, b=2, a=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b+c = 2+2+4 = 8$।

(B) माना $G_1$,$\triangle ABD$ का केंद्रक है। इसके निर्देशांक $\left(\frac{1+3-1}{3}, \frac{2+7+0}{3}, \frac{3-2-1}{3}\right) = (1, 3, 0)$ हैं।
माना $G_2$,$\triangle ACD$ का केंद्रक है। इसके निर्देशांक $\left(\frac{1+6-1}{3}, \frac{2+7+0}{3}, \frac{3+7-1}{3}\right) = (2, 3, 3)$ हैं।
स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$ है।
$\vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = \hat{i} + 3\hat{k}$ है।
अतः,$\vec{r} = (\hat{i} + 3\hat{j}) + t(\hat{i} + 3\hat{k}) = (1+t)\hat{i} + 3\hat{j} + 3t\hat{k}$।

(B) माना $AD$ शीर्ष $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका है। चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $D$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$D = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{2+3}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = \left(3, \frac{5}{2}, 3\right)$
$A(1, 1, 2)$ और $D(3, 5/2, 3)$ से होकर जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{d} - \vec{a})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{d} = 3\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + t((3-1)\hat{i} + (\frac{5}{2}-1)\hat{j} + (3-2)\hat{k})$
$\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + t(2\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} + \hat{k})$
$\vec{r} = (1+2t)\hat{i} + (1+\frac{3}{2}t)\hat{j} + (2+t)\hat{k}$

(D) मान लीजिए $D$ भुजा $AC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$D = \left( \frac{\alpha + 1}{2}, \frac{5 + 0}{2}, \frac{\beta - 3}{2} \right) = \left( \frac{\alpha + 1}{2}, \frac{5}{2}, \frac{\beta - 3}{2} \right)$
सदिश $\vec{BD}$ इस प्रकार है:
$\vec{BD} = \left( \frac{\alpha + 1}{2} - (-2) \right) \hat{i} + \left( \frac{5}{2} - 1 \right) \hat{j} + \left( \frac{\beta - 3}{2} - 6 \right) \hat{k}$
$\vec{BD} = \left( \frac{\alpha + 5}{2} \right) \hat{i} + \left( \frac{3}{2} \right) \hat{j} + \left( \frac{\beta - 15}{2} \right) \hat{k}$
चूंकि माध्यिका $\vec{BD}$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान झुकाव पर है,इसलिए इसके दिक-अनुपात परिमाण में समान होने चाहिए:
$\left| \frac{\alpha + 5}{2} \right| = \left| \frac{3}{2} \right| = \left| \frac{\beta - 15}{2} \right|$
दिक-अनुपातों के लिए धनात्मक मान लेने पर:
$\frac{\alpha + 5}{2} = \frac{3}{2} \implies \alpha + 5 = 3 \implies \alpha = -2$
$\frac{\beta - 15}{2} = \frac{3}{2} \implies \beta - 15 = 3 \implies \beta = 18$
अतः,$\alpha + \beta = -2 + 18 = 16$.

(A) मान लीजिए कि दो रेखाओं के अनुदिश सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = \sqrt{3}\hat{i} - \sqrt{3}\hat{j} + 0\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिशों के परिमाण की गणना करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 3 + 0} = \sqrt{6}$.
चूंकि परिमाण समान हैं $(|\vec{a}| = |\vec{b}|)$,कोण समद्विभाजक के दिक अनुपात सदिश $\vec{a} + \vec{b}$ या $\vec{a} - \vec{b}$ के घटकों द्वारा दिए जाते हैं।
$\vec{a} + \vec{b} = (1 + \sqrt{3})\hat{i} + (1 - \sqrt{3})\hat{j} + (2 + 0)\hat{k}$ की गणना करने पर।
अतः,दिक अनुपात $(1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}, 2)$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(A) दी गई रेखाएं $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ के रूप में हैं।
पहली रेखा के लिए,दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$ है।
दूसरी रेखा के लिए,दिशा सदिश $\vec{b_2} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(1) + (4)(2) + (3)(-3) = 1 + 8 - 9 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखाओं के बीच का कोण $\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ है।

(D) मान लीजिए बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ है।
रेखा $L$,$A$ से गुजरती है और $\vec{v} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$ के समानांतर है।
रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v} = (\alpha + 2\lambda) \hat{i} + (\beta + \lambda) \hat{j} + (\gamma - 2\lambda) \hat{k}$ है।
बिंदु $P$ जिसका स्थिति सदिश $\vec{p} = -7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}$ है,$L$ पर स्थित है,इसलिए $\vec{p} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$।
अतः,$\vec{p} - \vec{a} = \lambda \vec{v}$,जिसका अर्थ है $\overline{AP} = \lambda (2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k})$।
दिया गया है कि $|\overline{AP}| = 12$,इसलिए $|\lambda| |2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}| = 12$।
चूंकि $|2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$,हमें $|\lambda| \times 3 = 12$ प्राप्त होता है,इसलिए $|\lambda| = 4$,जिसका अर्थ है $\lambda = \pm 4$।
चूंकि $\vec{a} = \vec{p} - \lambda \vec{v}$,$\lambda = 4$ के लिए:
$\vec{a} = (-7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}) - 4(2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) = (-7-8) \hat{i} + (-5-4) \hat{j} + (11+8) \hat{k} = -15 \hat{i} - 9 \hat{j} + 19 \hat{k}$।
$\lambda = -4$ के लिए:
$\vec{a} = (-7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}) + 4(2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) = (-7+8) \hat{i} + (-5+4) \hat{j} + (11-8) \hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$-15 \hat{i} - 9 \hat{j} + 19 \hat{k}$ विकल्प $D$ है।

(D) दो विषम रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + t\vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + s\vec{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ है।
यहाँ $\vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b_1} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{a_2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$,और $\vec{b_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-6) - \hat{j}(1-4) + \hat{k}(3-6) = -3\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ निकालें।
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ होगा।
अब,अदिश गुणनफल $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-3\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}) = -9 + 9 - 9 = -9$ होगा।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{|-9|}{3\sqrt{3}} = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ प्राप्त होती है।

(D) $YZ$ समतल $(x=0)$ $AB$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु का $x$-निर्देशांक $\frac{2(3) + 3(\alpha)}{2+3} = 0$ है,जिससे $6 + 3\alpha = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = -2$।
$ZX$ समतल $(y=0)$ $AB$ को $4:5$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु का $y$-निर्देशांक $\frac{4(\beta) + 5(4)}{4+5} = 0$ है,जिससे $4\beta + 20 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\beta = -5$।
हमें वह बिंदु $C$ ज्ञात करना है जो $\overline{AB}$ को $\alpha : \beta = -2 : -5$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है,जो कि $2:5$ के बाह्य अनुपात के बराबर है।
बाह्य विभाजन का सूत्र $\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m-n}, \frac{my_2 - ny_1}{m-n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m-n}\right)$ है।
$A(-2, 4, 7)$,$B(3, -5, 8)$,$m=2$,और $n=5$ रखने पर:
$x = \frac{2(3) - 5(-2)}{2-5} = \frac{6+10}{-3} = -\frac{16}{3}$.
$y = \frac{2(-5) - 5(4)}{2-5} = \frac{-10-20}{-3} = \frac{-30}{-3} = 10$.
$z = \frac{2(8) - 5(7)}{2-5} = \frac{16-35}{-3} = \frac{-19}{-3} = \frac{19}{3}$.
अतः,बिंदु $C$ $\left(-\frac{16}{3}, 10, \frac{19}{3}\right)$ है।

(B) माना $P(2, 3, 4)$ रेखाखंड $AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक $\left(\frac{6k+3}{k+1}, \frac{-17k-2}{k+1}, \frac{-4k+2}{k+1}\right)$ हैं।
$x$-निर्देशांक की तुलना करने पर: $\frac{6k+3}{k+1} = 2 \Rightarrow 6k+3 = 2k+2 \Rightarrow 4k = -1 \Rightarrow k = -\frac{1}{4}$.
हार्मोनिक संयुग्मी $Q$,$AB$ को $\frac{1}{4}:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$Q$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर $(\lambda = \frac{1}{4})$:
$Q = \left(\frac{\frac{1}{4}(6) + 1(3)}{\frac{1}{4}+1}, \frac{\frac{1}{4}(-17) + 1(-2)}{\frac{1}{4}+1}, \frac{\frac{1}{4}(-4) + 1(2)}{\frac{1}{4}+1}\right) = \left(\frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5}\right)$.
अतः,$\alpha = \frac{18}{5}$,$\beta = -5$,और $\gamma = \frac{4}{5}$.
इसलिए,$\alpha + \beta + \gamma = \frac{18}{5} - 5 + \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$.

(C) त्रिभुज के दिए गए शीर्ष $A(2,3,-1), B(4,1,0)$ और $C(-1,-1,11)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(4-2)^2 + (1-3)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.
$AC = \sqrt{(-1-2)^2 + (-1-3)^2 + (11+1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle BAC$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को कोण बनाने वाली भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{13}$.
विभाजन सूत्र का उपयोग करके,$D$ के निर्देशांक हैं:
$D = \left( \frac{3(-1) + 13(4)}{3+13}, \frac{3(-1) + 13(1)}{3+13}, \frac{3(11) + 13(0)}{3+13} \right) = \left( \frac{-3+52}{16}, \frac{-3+13}{16}, \frac{33+0}{16} \right) = \left( \frac{49}{16}, \frac{10}{16}, \frac{33}{16} \right)$.
$AD$ के दिक अनुपात सदिश $\vec{AD} = D - A$ द्वारा दिए जाते हैं:
$\vec{AD} = \left( \frac{49}{16} - 2, \frac{10}{16} - 3, \frac{33}{16} - (-1) \right) = \left( \frac{49-32}{16}, \frac{10-48}{16}, \frac{33+16}{16} \right) = \left( \frac{17}{16}, \frac{-38}{16}, \frac{49}{16} \right)$.
चूँकि दिक अनुपातों को एक स्थिरांक से गुणा किया जा सकता है,$16$ से गुणा करने पर $(17, -38, 49)$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) $(0, -1, 0)$ से गुजरने वाली और $(1, 1, 1)$ दिक्-अनुपात वाली रेखा $L_1$ का समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{1} = \lambda$ है।
अतः,बिंदु $A$ के निर्देशांक $(\lambda, \lambda-1, \lambda)$ हैं।
रेखाखंड $AB$,$A(\lambda, \lambda-1, \lambda)$ और $B(1, 1, 1)$ को जोड़ता है।
रेखा $AB$ के दिक्-अनुपात $(\lambda-1, \lambda-2, \lambda-1)$ हैं।
चूंकि इस रेखा के दिक्-अनुपात $2, 1, 2$ के समानुपाती दिए गए हैं,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\lambda-1}{2} = \frac{\lambda-2}{1} = \frac{\lambda-1}{2}$.
$\frac{\lambda-1}{2} = \lambda-2$ से,$\lambda-1 = 2\lambda-4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = 3$।
$A$ के निर्देशांकों में $\lambda = 3$ रखने पर,हमें $x = 3$,$y = 3-1 = 2$,और $z = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y+z = 3+2+3 = 8$।

(C) रेखा $AB$ के दिक्-अनुपात (DRs) $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (4-3, 6-4, 3-5) = (1, 2, -2)$ हैं।
रेखा $DC$ के दिक्-अनुपात (DRs) $(x_4-x_3, y_4-y_3, z_4-z_3) = (1-(-1), 0-2, 5-4) = (2, -2, 1)$ हैं।
माना रेखाओं $AB$ और $DC$ के बीच का कोण $\theta$ है।
$\cos \theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (2)(-2) + (-2)(1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|2 - 4 - 2|}{\sqrt{1 + 4 + 4} \sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$.

(C) दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = -(m+n)$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$।
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$।
$2m^2 + 2mn = 0 \Rightarrow 2m(m+n) = 0$।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $m=0$। तब $l = -n$। दिक् अनुपात $(-1, 0, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: $m = -n$। तब $l = 0$। दिक् अनुपात $(0, -1, 1)$ हैं।
मान लीजिए कि दो रेखाएँ सदिशों $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{b} = -\hat{j} + \hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(B) दो रेखाओं $\overline{r} = \overline{a_1} + t\overline{b_1}$ और $\overline{r} = \overline{a_2} + s\overline{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \frac{|(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2})|}{||\overline{b_1} \times \overline{b_2}||}$ है।
यहाँ,$\overline{a_1} = 3\bar{i} - 5\bar{j} + 2\bar{k}$,$\overline{b_1} = 4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}$,$\overline{a_2} = \bar{i} + 2\bar{j} - 4\bar{k}$,और $\overline{b_2} = 6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k}$ है।
सबसे पहले,$\overline{a_2} - \overline{a_1} = -2\bar{i} + 7\bar{j} - 6\bar{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\overline{b_1} \times \overline{b_2} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ 6 & 3 & -2 \end{vmatrix} = -3\bar{i} + 2\bar{j} - 6\bar{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $||\overline{b_1} \times \overline{b_2}|| = \sqrt{9 + 4 + 36} = 7$ है।
अदिश गुणनफल $(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2}) = 6 + 14 + 36 = 56$ है।
अतः,$d = \frac{56}{7} = 8$।

(B) सबसे पहले,दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (5-3)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$.
$AC = \sqrt{(-2-0)^2 + (0-3)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle A$ का समद्विभाजक भुजा $BC$ को $AB:AC = 3:7$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$D$ के निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं:
$D = \left( \frac{3(-2) + 7(1)}{3+7}, \frac{3(0) + 7(5)}{3+7}, \frac{3(-2) + 7(6)}{3+7} \right) = \left( \frac{-6+7}{10}, \frac{0+35}{10}, \frac{-6+42}{10} \right) = \left( \frac{1}{10}, \frac{35}{10}, \frac{36}{10} \right) = (0.1, 3.5, 3.6)$.
अब,$AD$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AD = \sqrt{(0.1-0)^2 + (3.5-3)^2 + (3.6-4)^2} = \sqrt{(0.1)^2 + (0.5)^2 + (-0.4)^2} = \sqrt{0.01 + 0.25 + 0.16} = \sqrt{0.42} = \sqrt{\frac{42}{100}} = \frac{\sqrt{42}}{10}$.

(B) रेखा बिंदुओं $A(2, -1, 1)$ और $B(1, 1, -2)$ से होकर गुजरती है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (1-2, 1-(-1), -2-1) = (-1, 2, -3)$ है।
रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-1}{-3} = k$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma) = (2-k, -1+2k, 1-3k)$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\vec{PQ} = (\alpha - (-1), \beta - 2, \gamma - (-1)) = (3-k, -3+2k, 2-3k)$ रेखा की दिशा $\vec{v} = (-1, 2, -3)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0 \implies -1(3-k) + 2(-3+2k) - 3(2-3k) = 0$.
$-3 + k - 6 + 4k - 6 + 9k = 0 \implies 14k - 15 = 0 \implies k = \frac{15}{14}$.
$k$ का मान रखने पर: $\alpha = 2 - \frac{15}{14} = \frac{13}{14}$,$\beta = -1 + 2(\frac{15}{14}) = \frac{16}{14}$,$\gamma = 1 - 3(\frac{15}{14}) = -\frac{31}{14}$.
$\alpha + \beta + \gamma = \frac{13+16-31}{14} = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7}$.