Line Questions in Hindi

(B) दो रेखाएँ जिनके दिक-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे परस्पर लंब होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
दी गई रेखाएँ $\frac{x-5}{7}=\frac{y-5}{k}=\frac{z-2}{1}$ और $\frac{x}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{3}$ हैं।
पहली रेखा के दिक-अनुपात $(7, k, 1)$ हैं और दूसरी रेखा के दिक-अनुपात $(1, 2, 3)$ हैं।
चूँकि रेखाएँ लंब हैं,इसलिए:
$(7)(1) + (k)(2) + (1)(3) = 0$
$7 + 2k + 3 = 0$
$10 + 2k = 0$
$2k = -10$
$k = -5$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $(2, -3, 1)$ और $(3, -4, -5)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x-2}{3-2} = \frac{y-(-3)}{-4-(-3)} = \frac{z-1}{-5-1}$
$\frac{x-2}{1} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-1}{-6} = k$ (माना).
बिंदु $(0, a, b)$ के रेखा पर स्थित होने के लिए,$x = 0$ रखने पर:
$\frac{0-2}{1} = k \implies k = -2$.
अब,$k = -2$ का उपयोग करके $a$ और $b$ ज्ञात करें:
$\frac{a+3}{-1} = -2 \implies a+3 = 2 \implies a = -1$.
$\frac{b-1}{-6} = -2 \implies b-1 = 12 \implies b = 13$.
अतः,$a+b = -1 + 13 = 12$.

(C) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
रेखा $1$: $\frac{x-2}{2} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z-1}{2}$. दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
रेखा $2$: $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-3}{-3}$. दिशा सदिश $\vec{v_2} = 2\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (2)(2) + (-3)(1) + (2)(-3) = 4 - 3 - 6 = -5$.
$|\vec{v_1}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$.
$|\vec{v_2}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$.
$\cos \theta = \frac{|-5|}{\sqrt{17} \sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{238}}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{238} = \frac{213}{238}$ का उपयोग करते हुए।
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{213}{238}}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{213}{238}}\right)$।

(A) दी गई रेखाएँ $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2k}=\frac{z-3}{2}$ और $\frac{x-1}{3k}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{-5}$ हैं।
पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = -3\hat{i} + 2k\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = 3k\hat{i} + 1\hat{j} - 5\hat{k}$ हैं।
चूंकि रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा,अर्थात $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = 0$.
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$.
$-9k + 2k - 10 = 0$.
$-7k - 10 = 0$.
$-7k = 10$.
$k = -\frac{10}{7}$.
अतः,$k$ का मान $-\frac{10}{7}$ है।

(B) माना कि अभीष्ट रेखा बिंदु $P(0,1,2)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं।
रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{a} = \frac{y-1}{b} = \frac{z-2}{c}$ है।
दी गई रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{-2}$ है,जिसके दिक अनुपात $(2, 3, -2)$ हैं।
चूंकि दोनों रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$2a + 3b - 2c = 0$.
विकल्पों की जांच करने पर:
विकल्प $C$ के लिए: दिक अनुपात $(3, 4, 3)$ हैं।
$2(3) + 3(4) - 2(3) = 6 + 12 - 6 = 12 \neq 0$.
विकल्प $B$ के लिए: दिक अनुपात $(-3, 4, 3)$ हैं।
$2(-3) + 3(4) - 2(3) = -6 + 12 - 6 = 0$.
अतः,रेखा $\frac{x}{-3} = \frac{y-1}{4} = \frac{z-2}{3}$ दी गई रेखा के लंबवत है।

(C) माना बिंदु $P(3, -1, 11)$ से रेखा पर खींचे गए लंब का पाद $L$ है।
चूँकि $L$ रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4} = t$ पर स्थित है,इसलिए $L$ के निर्देशांक $(2t, 3t+2, 4t+3)$ हैं।
रेखा $PL$ के दिक अनुपात $(2t-3, 3t+2-(-1), 4t+3-11)$ अर्थात $(2t-3, 3t+3, 4t-8)$ हैं।
चूँकि $PL$ रेखा $(2, 3, 4)$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$2(2t-3) + 3(3t+3) + 4(4t-8) = 0$.
$4t - 6 + 9t + 9 + 16t - 32 = 0$.
$29t - 29 = 0 \implies t = 1$.
$t=1$ रखने पर,$L$ के निर्देशांक $(2, 5, 7)$ प्राप्त होते हैं।
लंब $PL$ की लंबाई $P(3, -1, 11)$ और $L(2, 5, 7)$ के बीच की दूरी है:
$PL = \sqrt{(2-3)^2 + (5-(-1))^2 + (7-11)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 36 + 16} = \sqrt{53}$.

(D) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = \langle 3, 5, 4 \rangle$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = \langle 1, 4, 2 \rangle$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $\langle a_1, b_1, c_1 \rangle$ और $\langle a_2, b_2, c_2 \rangle$ हैं,के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ है।
मान रखने पर:
$\cos \theta = \left| \frac{(3)(1) + (5)(4) + (4)(2)}{\sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{3 + 20 + 8}{\sqrt{9 + 25 + 16} \sqrt{1 + 16 + 4}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{31}{\sqrt{50} \sqrt{21}} \right| = \frac{31}{5 \sqrt{2} \sqrt{21}} = \frac{31}{5 \sqrt{42}}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{31}{5 \sqrt{42}} \right)$.
चूंकि यह मान दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) दिए गए बिंदु $A(-3, 4, 11)$ और $B(1, -2, 7)$ हैं।
रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (1 - (-3), -2 - 4, 7 - 11) = (4, -6, -4)$ हैं।
$-2$ से विभाजित करने पर,हमें सरल दिक अनुपात $(-2, 3, 2)$ प्राप्त होते हैं।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और दिक अनुपात $(a, b, c)$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ होता है।
बिंदु $(-3, 4, 11)$ और दिक अनुपात $(-2, 3, 2)$ रखने पर,हमें $\frac{x - (-3)}{-2} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z - 11}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x + 3}{-2} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z - 11}{2}$ है।

(A) माना दी गई रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{2} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई बिंदु $A = (2\lambda + 1, \lambda + 2, 2\lambda + 3)$ है।
सदिश $\vec{PA} = (2\lambda + 1 - 1)\hat{i} + (\lambda + 2 - 2)\hat{j} + (2\lambda + 3 - 1)\hat{k} = 2\lambda\hat{i} + \lambda\hat{j} + (2\lambda + 2)\hat{k}$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
चूँकि $\vec{PA}$ रेखा के लंबवत है,इसलिए $\vec{PA} \cdot \vec{v} = 0$।
$(2\lambda)(2) + (\lambda)(1) + (2\lambda + 2)(2) = 0$।
$4\lambda + \lambda + 4\lambda + 4 = 0 \implies 9\lambda = -4 \implies \lambda = -\frac{4}{9}$।
$\lambda = -\frac{4}{9}$ को $A$ में रखने पर,$A = (2(-\frac{4}{9}) + 1, -\frac{4}{9} + 2, 2(-\frac{4}{9}) + 3) = (\frac{1}{9}, \frac{14}{9}, \frac{19}{9})$।
दूरी $PA = \sqrt{(\frac{1}{9} - 1)^2 + (\frac{14}{9} - 2)^2 + (\frac{19}{9} - 1)^2} = \sqrt{(-\frac{8}{9})^2 + (-\frac{4}{9})^2 + (\frac{10}{9})^2}$।
$PA = \sqrt{\frac{64 + 16 + 100}{81}} = \sqrt{\frac{180}{81}} = \sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$।

(A) माना दी गई रेखा $ \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} = \lambda $ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $ R $ को $ R(\lambda, 1+2\lambda, 2+3\lambda) $ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $ P $ बिंदु $ (1,6,3) $ है। सदिश $ \vec{PR} $ का मान $ (\lambda-1, 2\lambda-5, 3\lambda-1) $ है।
चूंकि $ PR $ रेखा के लंबवत है जिसके दिक अनुपात $ (1,2,3) $ हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$ 1(\lambda-1) + 2(2\lambda-5) + 3(3\lambda-1) = 0 $
$ \lambda - 1 + 4\lambda - 10 + 9\lambda - 3 = 0 $
$ 14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1 $.
$ R $ में $ \lambda = 1 $ रखने पर,हमें $ R(1, 3, 5) $ प्राप्त होता है।
चूंकि $ R $,$ PQ $ का मध्य बिंदु है,जहाँ $ Q(x_1, y_1, z_1) $ बिंदु $ P $ का प्रतिबिंब है,
$ \frac{x_1+1}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = 1 $
$ \frac{y_1+6}{2} = 3 \Rightarrow y_1 = 0 $
$ \frac{z_1+3}{2} = 5 \Rightarrow z_1 = 7 $.
अतः,प्रतिबिंब $ Q $ का मान $ (1,0,7) $ है।

(C) दी गई रेखाएँ $2x = 3y = -z$ और $6x = -y = -4z$ हैं।
सबसे पहले,हम समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखते हैं।
पहली रेखा $2x = 3y = -z$ के लिए,$6$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-6}$ प्राप्त होता है। अतः,दिक अनुपात $\vec{v_1} = (3, 2, -6)$ हैं।
दूसरी रेखा $6x = -y = -4z$ के लिए,$12$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x}{2} = \frac{y}{-12} = \frac{z}{-3}$ प्राप्त होता है। अतः,दिक अनुपात $\vec{v_2} = (2, -12, -3)$ हैं।
दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनके दिक सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(3)(2) + (2)(-12) + (-6)(-3) = 6 - 24 + 18 = 0$।
चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(B) माना दिया गया बिंदु $A(1, 2, -4)$ है और रेखा $\frac{x-3}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z+5}{6} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $P(2\lambda+3, 3\lambda+3, 6\lambda-5)$ है।
रेखा $AP$ के दिक अनुपात $(2\lambda+3-1, 3\lambda+3-2, 6\lambda-5-(-4))$ अर्थात $(2\lambda+2, 3\lambda+1, 6\lambda-1)$ हैं।
चूंकि $AP$ दी गई रेखा (दिक अनुपात $2, 3, 6$) पर लंब है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$2(2\lambda+2) + 3(3\lambda+1) + 6(6\lambda-1) = 0$
$4\lambda + 4 + 9\lambda + 3 + 36\lambda - 6 = 0$
$49\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{49}$.
दूरी $AP$ का वर्ग $AP^2 = (2\lambda+2)^2 + (3\lambda+1)^2 + (6\lambda-1)^2$ है।
$\lambda = -\frac{1}{49}$ रखने पर:
$AP^2 = 49\lambda^2 + 2\lambda + 6 = 49(-\frac{1}{49})^2 + 2(-\frac{1}{49}) + 6$
$AP^2 = \frac{1}{49} - \frac{2}{49} + 6 = 6 - \frac{1}{49} = \frac{294-1}{49} = \frac{293}{49}$.
अतः,$AP = \sqrt{\frac{293}{49}} = \frac{\sqrt{293}}{7}$.

(B) दी गई रेखा: $\frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6} = \lambda$ $(1)$
बिंदु $P(-2, 4, -5)$.
रेखा पर कोई भी बिंदु $Q(3\lambda - 3, 5\lambda + 4, 6\lambda - 8)$ है।
रेखा $PQ$ के दिक्-अनुपात $(3\lambda - 3 - (-2), 5\lambda + 4 - 4, 6\lambda - 8 - (-5)) = (3\lambda - 1, 5\lambda, 6\lambda - 3)$ हैं।
चूंकि $PQ$ दी गई रेखा (जिसके दिक्-अनुपात $(3, 5, 6)$ हैं) पर लंब है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$3(3\lambda - 1) + 5(5\lambda) + 6(6\lambda - 3) = 0$
$9\lambda - 3 + 25\lambda + 36\lambda - 18 = 0$
$70\lambda - 21 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{21}{70} = \frac{3}{10}$.
$\lambda = \frac{3}{10}$ को $Q$ में रखने पर,$Q\left(-\frac{21}{10}, \frac{55}{10}, -\frac{62}{10}\right)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = \sqrt{(-\frac{21}{10} + 2)^2 + (\frac{55}{10} - 4)^2 + (-\frac{62}{10} + 5)^2}$
$PQ = \sqrt{(-\frac{1}{10})^2 + (\frac{15}{10})^2 + (-\frac{12}{10})^2} = \sqrt{\frac{1 + 225 + 144}{100}} = \sqrt{\frac{370}{100}} = \sqrt{\frac{37}{10}}$.

(C) बिंदुओं $(k, 3, 4)$ और $(4, 7, 8)$ को मिलाने वाली रेखा के दिक अनुपात $(4-k, 4, 4)$ हैं।
बिंदुओं $(-1, -2, 1)$ और $(1, 2, l)$ को मिलाने वाली रेखा के दिक अनुपात $(2, 4, l-1)$ हैं।
चूंकि रेखाएं समांतर हैं,इसलिए उनके दिक अनुपात समानुपाती होंगे:
$\frac{4-k}{2} = \frac{4}{4} = \frac{4}{l-1}$.
$\frac{4-k}{2} = 1$ से,हमें $4-k = 2$ प्राप्त होता है,अतः $k = 2$.
$1 = \frac{4}{l-1}$ से,हमें $l-1 = 4$ प्राप्त होता है,अतः $l = 5$.
इसलिए,$k + l = 2 + 5 = 7$.

(C) माना रेखा $A(0, 2, 4)$ और $B(3, 0, 1)$ से होकर गुजरती है। रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(3-0, 0-2, 1-4) = (3, -2, -3)$ हैं।
रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x-0}{3} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-4}{-3} = k$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $C$,$(3k, -2k+2, -3k+4)$ है।
चूंकि $PC$,$AB$ पर लंबवत है,$PC$ के दिक अनुपात $(3k+1, -2k+1, -3k+4)$ हैं।
$PC$ और $AB$ के दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$3(3k+1) + (-2)(-2k+1) + (-3)(-3k+4) = 0$
$9k + 3 + 4k - 2 + 9k - 12 = 0$
$22k - 11 = 0 \Rightarrow k = \frac{1}{2}$.
$C$ के निर्देशांक $(\frac{3}{2}, 1, \frac{5}{2})$ हैं।
लंबवत दूरी $PC = \sqrt{(\frac{3}{2} - (-1))^2 + (1-1)^2 + (\frac{5}{2} - 0)^2} = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + 0^2 + (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{50}{4}} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.

(A) बिंदुओं $B(4, 7, 1)$ और $C(3, 5, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-4}{-1} = \frac{y-7}{-2} = \frac{z-1}{2} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई बिंदु $P(-\lambda+4, -2\lambda+7, 2\lambda+1)$ है।
चूंकि $AP$ रेखा पर लंब है,इसलिए $\vec{AP} \cdot \vec{v} = 0$,जहाँ $\vec{v} = (-1, -2, 2)$ है।
हल करने पर $\lambda = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $P$ के निर्देशांक $\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3}\right)$ हैं।

(A) रेखा $AB$ का समीकरण: $\frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{-2} = \lambda$.
रेखा $CD$ का समीकरण: $\frac{x-2}{-2} = \frac{y+5}{8} = \frac{z-3}{-1} = \mu$.
दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए $\lambda = -0.2$ और $\mu = 0.6$ प्राप्त होता है।
अतः प्रतिच्छेदन बिंदु $P = (0.8, -0.2, 2.4)$ है।
$a+b+c = 0.8 - 0.2 + 2.4 = 3$.

(D) दिया गया है कि बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ है।
रेखा सदिश $\vec{v} = 2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ के समांतर है।
रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}} = \frac{2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}}{3}$ है।
चूंकि $P$ रेखा पर स्थित है और $|AP|=18$ है,इसलिए सदिश $\vec{AP} = \pm 18 \hat{u} = \pm 18 \left( \frac{2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}}{3} \right) = \pm 6(2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}) = \pm (12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k})$ होगा।
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$P$ का स्थिति सदिश $\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP}$ है।
स्थिति $1$: $\vec{OP} = (\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}) + (12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k}) = 13 \hat{i}+5 \hat{j}-9 \hat{k}$.
स्थिति $2$: $\vec{OP} = (\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}) - (12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k}) = -11 \hat{i}-7 \hat{j}+15 \hat{k}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$13 \hat{i}+5 \hat{j}-9 \hat{k}$ विकल्प में मौजूद है।

(C) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ है। रेखा $l_1$ पर कोई भी बिंदु $(1+t, -6+2t, 2+t)$ द्वारा दिया जाता है।
रेखा $l_2$ पर कोई भी बिंदु $(2u, 4+u, 1+2u)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$1+t = 2u$ $(i)$
$-6+2t = 4+u$ $(ii)$
$2+t = 1+2u$ $(iii)$
$(i)$ से,$t = 2u - 1$. इस मान को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-6 + 2(2u - 1) = 4 + u$
$-6 + 4u - 2 = 4 + u$
$3u = 12 \Rightarrow u = 4$.
$u = 4$ को $t = 2u - 1$ में रखने पर,हमें $t = 2(4) - 1 = 7$ प्राप्त होता है।
अब,$l_1$ में $t = 7$ का उपयोग करके बिंदु $P$ ज्ञात करें:
$P = (1+7, -6+2(7), 2+7) = (8, 8, 9)$.

(C) $P$ से गुजरने वाली रेखा $L_1: \vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + s(\hat{i} + \hat{j})$ है।
$Q$ से गुजरने वाली रेखा $L_2: \vec{r} = (-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(\hat{j} - \hat{k})$ है।
$L_1$ और $L_2$ को काटने वाली रेखा $L_3: \vec{r} = \vec{r}_0 + u(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ है।
चूंकि $L_3$,$L_1$ को $L$ पर काटती है,$L = (1+s, -1+s, -1) = (x_0+u, y_0-u, z_0+u)$।
चूंकि $L_3$,$L_2$ को $M$ पर काटती है,$M = (-1, 1+t, 1-t) = (x_0+v, y_0-v, z_0+v)$।
समीकरणों को हल करने पर,हमें $M = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = (3\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}) - (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$।

(A) माना कि बिंदु $B$ रेखाखंड $AC$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$B$ के निर्देशांक हैं:
$B = \left( \frac{\lambda(x_1 + kl) + 1(x_1)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(y_1 + km) + 1(y_1)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(z_1 + kn) + 1(z_1)}{\lambda + 1} \right)$.
इसे दिए गए $B = (x_1 + 4kl, y_1 + 4km, z_1 + 4kn)$ के साथ तुलना करने पर,$x$-निर्देशांकों को बराबर करने पर:
$x_1 + 4kl = \frac{\lambda x_1 + \lambda kl + x_1}{\lambda + 1} = \frac{x_1(\lambda + 1) + \lambda kl}{\lambda + 1} = x_1 + \frac{\lambda kl}{\lambda + 1}$.
दोनों पक्षों से $x_1$ घटाने पर:
$4kl = \frac{\lambda kl}{\lambda + 1}$.
चूंकि $k > 0$ और $l \neq 0$,$kl$ से विभाजित करने पर:
$4 = \frac{\lambda}{\lambda + 1}$.
$4(\lambda + 1) = \lambda \implies 4\lambda + 4 = \lambda \implies 3\lambda = -4 \implies \lambda = -\frac{4}{3}$.
अतः,अनुपात $-4:3$ या $4:-3$ है।
इसलिए,बिंदु $B$ रेखाखंड $AC$ को $4:3$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।

(C) माना शीर्ष $A(2,1,5)$,$B(3,2,3)$ और $C(4,0,4)$ हैं।
सबसे पहले,$A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें। $BC$ के दिक अनुपात $(4-3, 0-2, 4-3) = (1, -2, 1)$ हैं।
माना $P$,$A$ से $BC$ पर लंब का पाद है। $P$,$BC$ पर स्थित है,इसलिए $P = (3+k, 2-2k, 3+k)$ किसी $k$ के लिए।
सदिश $AP = (3+k-2, 2-2k-1, 3+k-5) = (k+1, 1-2k, k-2)$ है।
चूँकि $AP \perp BC$,उनका अदिश गुणनफल $(k+1)(1) + (1-2k)(-2) + (k-2)(1) = 0$ होगा।
$k+1 - 2 + 4k + k - 2 = 0 \Rightarrow 6k - 3 = 0 \Rightarrow k = 1/2$।
अतः,$P = (3.5, 1, 3.5)$। सदिश $AP = (1.5, 0, -1.5)$,जो $(1, 0, -1)$ के समांतर है।
शीर्षलंब $AP$ का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-5}{-1}$ है।
अब,$B$ से $AC$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें। $AC$ के दिक अनुपात $(4-2, 0-1, 4-5) = (2, -1, -1)$ हैं।
माना $Q$,$B$ से $AC$ पर लंब का पाद है। $Q$,$AC$ पर स्थित है,इसलिए $Q = (2+2m, 1-m, 5-m)$ किसी $m$ के लिए।
सदिश $BQ = (2+2m-3, 1-m-2, 5-m-3) = (2m-1, -m-1, 2-m)$ है।
चूँकि $BQ \perp AC$,$(2m-1)(2) + (-m-1)(-1) + (2-m)(-1) = 0$ होगा।
$4m - 2 + m + 1 - 2 + m = 0 \Rightarrow 6m - 3 = 0 \Rightarrow m = 1/2$।
अतः,$Q = (3, 0.5, 4.5)$। सदिश $BQ = (0, -1.5, 1.5)$,जो $(0, -1, 1)$ के समांतर है।
शीर्षलंब $BQ$ का समीकरण $\frac{x-3}{0} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1}$ है।
दोनों शीर्षलंबों के समीकरणों को हल करने पर: $AP$ से $y=1$,और $BQ$ से $\frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1} \Rightarrow 1-2 = -(z-3) \Rightarrow -1 = -z+3 \Rightarrow z=4$। $BQ$ से $x=3$ प्राप्त होता है,इसलिए लंबकेंद्र $(3,1,4)$ है।

(D) मान लीजिए कि $YZ$-समतल बिंदुओं $A(2, 4, 5)$ और $B(3, 5, -4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{3k+2}{k+1}, \frac{5k+4}{k+1}, \frac{-4k+5}{k+1} \right)$ हैं।
चूंकि यह बिंदु $YZ$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक शून्य होना चाहिए।
अतः,$\frac{3k+2}{k+1} = 0$,जिसका अर्थ है $3k + 2 = 0$,या $k = -\frac{2}{3}$।
अनुपात $k:1$ का मान $-\frac{2}{3}:1$ है,जो $-2:3$ के बराबर है। ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि विभाजन बाह्य है।
इस प्रकार,$YZ$-समतल रेखाखंड को $2:3$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।

(B) मान लीजिए कि $XZ$-समतल,$A(-2, 3, 4)$ और $B(1, 2, 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में बिंदु $P$ पर विभाजित करता है।
चूंकि बिंदु $P$,$XZ$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ होगा।
विभाजन सूत्र के अनुसार $P$ के निर्देशांक:
$P = \left( \frac{k(1) + 1(-2)}{k+1}, \frac{k(2) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(3) + 1(4)}{k+1} \right)$.
$y$-निर्देशांक को $0$ रखने पर:
$\frac{2k + 3}{k+1} = 0 \implies 2k + 3 = 0 \implies k = -\frac{3}{2}$.
अब,$k = -\frac{3}{2}$ का मान $x$ और $z$ निर्देशांकों में रखने पर:
$x = \frac{-\frac{3}{2}(1) - 2}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-\frac{7}{2}}{-\frac{1}{2}} = 7$.
$z = \frac{-\frac{3}{2}(3) + 4}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-\frac{9}{2} + 4}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}} = 1$.
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(7, 0, 1)$ हैं।

(C) मान लीजिए बिंदु $A(1, -2, -3)$ और $B(2, 0, 0)$ हैं। सदिश $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (0-(-2))\hat{j} + (0-(-3))\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
कोई भी बिंदु $P(x, y, z)$,$A$ और $B$ के साथ संरेख होगा यदि सदिश $\vec{AP}$,$\vec{AB}$ का एक अदिश गुणज हो।
मान लीजिए $P = (0, -4, -6)$ है। तब $\vec{AP} = (0-1)\hat{i} + (-4-(-2))\hat{j} + (-6-(-3))\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ होगा।
चूंकि $\vec{AP} = -1(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = -1\vec{AB}$,इसलिए सदिश $\vec{AP}$,$\vec{AB}$ का एक अदिश गुणज है।
अतः,बिंदु $(0, -4, -6)$,$(1, -2, -3)$ और $(2, 0, 0)$ के साथ संरेख है।

(C) शीर्ष $A(1,2,3), B(2,3,-1), C(3,-1,-2)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (-1-2)^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{4+9+25} = \sqrt{38}$.
$\angle A$ का आंतरिक समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को $AB:AC = 3\sqrt{2} : \sqrt{38} = 3 : \sqrt{19}$ के अनुपात में विभाजित करता है।
समद्विभाजक के दिक अनुपात ज्ञात करने के लिए,$AB$ और $AC$ की दिशा में इकाई सदिशों का योग करने पर,हमें $(1, 4, 1)$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए संबंध $l+m-n=0$ और $lm-2mn+nl=0$ हैं।
पहले संबंध से,$n=l+m$।
इस मान को दूसरे संबंध में रखने पर: $lm-2m(l+m)+(l+m)l=0$।
$lm-2ml-2m^2+l^2+lm=0$।
$l^2-2m^2=0$,जो देता है $l^2=2m^2$,इसलिए $l=\pm \sqrt{2}m$।
स्थिति $1$: यदि $l=\sqrt{2}m$ है,तो $n=l+m=(\sqrt{2}+1)m$। दिक् अनुपात $(\sqrt{2}m, m, (\sqrt{2}+1)m)$ हैं,इसलिए सदिश $\vec{a_1} = \sqrt{2}\hat{i} + \hat{j} + (\sqrt{2}+1)\hat{k}$ है।
स्थिति $2$: यदि $l=-\sqrt{2}m$ है,तो $n=l+m=(1-\sqrt{2})m$। दिक् अनुपात $(-\sqrt{2}m, m, (1-\sqrt{2})m)$ हैं,इसलिए सदिश $\vec{a_2} = -\sqrt{2}\hat{i} + \hat{j} + (1-\sqrt{2})\hat{k}$ है।
अब,$\cos \theta = \frac{|\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}|}{|\vec{a_1}| |\vec{a_2}|}$।
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (1)(1) + (\sqrt{2}+1)(1-\sqrt{2}) = -2 + 1 + (1-2) = -2$।
$|\vec{a_1}|^2 = 2 + 1 + (\sqrt{2}+1)^2 = 3 + 2 + 1 + 2\sqrt{2} = 6+2\sqrt{2}$।
$|\vec{a_2}|^2 = 2 + 1 + (1-\sqrt{2})^2 = 3 + 1 + 2 - 2\sqrt{2} = 6-2\sqrt{2}$।
$|\vec{a_1}| |\vec{a_2}| = \sqrt{(6+2\sqrt{2})(6-2\sqrt{2})} = \sqrt{36-8} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$।
$\cos \theta = \frac{|-2|}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$।

(B) दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $mn-2lm-2nl=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = -(m+n)$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$mn - 2(-(m+n))m - 2(-(m+n))n = 0$
$mn + 2m^2 + 2mn + 2mn + 2n^2 = 0$
$2m^2 + 5mn + 2n^2 = 0$
$(2m+n)(m+2n) = 0$।
स्थिति $1$: $n = -2m$। $l+m+n=0$ में रखने पर,$l+m-2m=0 \Rightarrow l=m$। अतः,दिक् अनुपात $(1, 1, -2)$ हैं।
स्थिति $2$: $m = -2n$। $l+m+n=0$ में रखने पर,$l-2n+n=0 \Rightarrow l=n$। अतः,दिक् अनुपात $(1, -2, 1)$ हैं।
माना दिक् अनुपात $\vec{a} = (1, 1, -2)$ और $\vec{b} = (1, -2, 1)$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (1)(-2) + (-2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2} \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(B) बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1) = (4, 3, -5)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-2, 1, -8)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ इस प्रकार हैं:
$a = 4 - (-2) = 6$
$b = 3 - 1 = 2$
$c = -5 - (-8) = 3$
अतः,बिंदु $P(a, 3b, 2c)$ का मान $P(6, 3(2), 2(3)) = P(6, 6, 6)$ होगा।
अब,बिंदु $P(6, 6, 6)$ को दिए गए विकल्पों में जाँचने पर:
विकल्प $B$ के लिए: $x+y-2z = 6+6-2(6) = 12-12 = 0$ है।
चूँकि बिंदु समीकरण $x+y-2z=0$ को संतुष्ट करता है,अतः बिंदु $P$ इस समतल पर स्थित है।

(A) दिए गए शीर्ष $A(-1, 2, -3), B(5, 0, -6), C(0, 4, -1)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(-1-5)^2 + (2-0)^2 + (-3+6)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
$AC = \sqrt{(-1-0)^2 + (2-4)^2 + (-3+1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle BAC$ का आंतरिक समद्विभाजक $BC$ को $AB:AC = 7:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
मान लीजिए $D$,$BC$ पर एक बिंदु है जो इसे $7:3$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$D = \left( \frac{7(0) + 3(5)}{7+3}, \frac{7(4) + 3(0)}{7+3}, \frac{7(-1) + 3(-6)}{7+3} \right) = \left( \frac{15}{10}, \frac{28}{10}, \frac{-25}{10} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{14}{5}, -\frac{5}{2} \right)$.
सदिश $\vec{AD} = D - A = \left( \frac{3}{2} - (-1), \frac{14}{5} - 2, -\frac{5}{2} - (-3) \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{4}{5}, \frac{1}{2} \right)$.
दिक्-कोसाइन ज्ञात करने के लिए,$\vec{AD}$ का मानकीकरण करें:
$|\vec{AD}| = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{4}{5})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{16}{25} + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{714}}{10}$.
दिक्-कोसाइन $\frac{25}{\sqrt{714}}, \frac{8}{\sqrt{714}}, \frac{5}{\sqrt{714}}$ हैं।

(A) रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(q-7, -2-p, 5-2)$ हैं,जो सरल होकर $(q-7, -2-p, 3)$ हो जाते हैं।
रेखा $CD$ के दिक अनुपात $(-6-2, -15-(-3), 11-5)$ हैं,जो सरल होकर $(-8, -12, 6)$ हो जाते हैं।
चूंकि रेखाएं $AB$ और $CD$ समांतर हैं,इसलिए उनके दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{q-7}{-8} = \frac{-2-p}{-12} = \frac{3}{6}$.
अनुपात $\frac{3}{6}$ को सरल करने पर,हमें $\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{q-7}{-8} = \frac{1}{2}$ को हल करने पर:
$q-7 = -4 \Rightarrow q = 3$.
$\frac{-2-p}{-12} = \frac{1}{2}$ को हल करने पर:
$-2-p = -6 \Rightarrow p = 4$.
अतः,$p^2 + q^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को मिलाने वाली रेखा के दिक अनुपात $\langle x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \rangle$ द्वारा दिए जाते हैं।
रेखा $AB$ के लिए,जहाँ $A(4,1,2)$ और $B(0, k, 1)$ है,दिक अनुपात $\langle 0-4, k-1, 1-2 \rangle = \langle -4, k-1, -1 \rangle$ हैं।
रेखा $CD$ के लिए,जहाँ $C(-2,1,1)$ और $D(4,2,5)$ है,दिक अनुपात $\langle 4-(-2), 2-1, 5-1 \rangle = \langle 6, 1, 4 \rangle$ हैं।
चूंकि रेखाएं $AB$ और $CD$ एक-दूसरे पर लंब हैं,इसलिए उनके संगत दिक अनुपातों के गुणनफल का योग शून्य होना चाहिए:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$
$(-4)(6) + (k-1)(1) + (-1)(4) = 0$
$-24 + k - 1 - 4 = 0$
$k - 29 = 0$
$k = 29$.

(A) दिए गए समीकरण $3lm - 4ln + mn = 0$ ... $(i)$ और $l + 2m + 3n = 0$ ... $(ii)$ हैं।
$(ii)$ से,$l = -2m - 3n$ प्राप्त होता है।
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(-2m - 3n)m - 4(-2m - 3n)n + mn = 0$
$-6m^2 - 9mn + 8mn + 12n^2 + mn = 0$
$-6m^2 + 12n^2 = 0 \Rightarrow m^2 = 2n^2 \Rightarrow m = \pm \sqrt{2}n$.
माना दिक्-अनुपात $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं।
$m_1 = \sqrt{2}n_1$ के लिए,$l_1 = -2(\sqrt{2}n_1) - 3n_1 = -(2\sqrt{2} + 3)n_1$.
$m_2 = -\sqrt{2}n_2$ के लिए,$l_2 = -2(-\sqrt{2}n_2) - 3n_2 = (2\sqrt{2} - 3)n_2$.
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{|l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
अंश की गणना: $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = [-(2\sqrt{2} + 3)n_1][(2\sqrt{2} - 3)n_2] + [\sqrt{2}n_1][-\sqrt{2}n_2] + n_1n_2$
$= [-(8 - 9)n_1n_2] - 2n_1n_2 + n_1n_2 = n_1n_2 - 2n_1n_2 + n_1n_2 = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) बिंदुओं $A(2, 3, -1)$ और $B(3, 5, -3)$ को मिलाने वाली रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (3 - 2, 5 - 3, -3 - (-1)) = (1, 2, -2)$ हैं।
बिंदुओं $C(1, 2, 3)$ और $D(3, y, 7)$ को मिलाने वाली रेखा $CD$ के दिक अनुपात $(3 - 1, y - 2, 7 - 3) = (2, y - 2, 4)$ हैं।
चूंकि रेखाएं $AB$ और $CD$ परस्पर लंब हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$
$(1)(2) + (2)(y - 2) + (-2)(4) = 0$
$2 + 2y - 4 - 8 = 0$
$2y - 10 = 0$
$2y = 10$
$y = 5$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) पहली रेखा के दिक् अनुपात $a_1 = 2, b_1 = 2, c_1 = 1$ हैं।
बिंदुओं $(3, 1, 4)$ और $(7, 2, 12)$ को जोड़ने वाली दूसरी रेखा के दिक् अनुपात $(7-3, 2-1, 12-4) = (4, 1, 8)$ हैं।
मान लीजिए दूसरी रेखा के दिक् अनुपात $a_2 = 4, b_2 = 1, c_2 = 8$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|2 \times 4 + 2 \times 1 + 1 \times 8|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}}$
$\cos \theta = \frac{|8 + 2 + 8|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{16 + 1 + 64}}$
$\cos \theta = \frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}} = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$।

(D) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम दोनों रेखा समीकरणों की तुलना करते हैं:
$(1+t) \overline{i} + (-6+2t) \overline{j} + (2+t) \overline{k} = (2s) \overline{i} + (4+s) \overline{j} + (1+2s) \overline{k}$
घटकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1) 1+t = 2s$
$2) -6+2t = 4+s \implies 2t-s = 10$
$3) 2+t = 1+2s \implies t-2s = -1$
समीकरण $(1)$ से,$t = 2s-1$. इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2(2s-1) - s = 10 \implies 4s-2-s = 10 \implies 3s = 12 \implies s = 4$.
अब,$t$ ज्ञात करें: $t = 2(4)-1 = 7$.
समीकरण $(3)$ के साथ जाँच करें: $7 - 2(4) = 7-8 = -1$. यह सुसंगत है।
दूसरी रेखा के समीकरण में $s=4$ रखने पर:
$\overline{r} = (0 \overline{i} + 4 \overline{j} + 1 \overline{k}) + 4(2 \overline{i} + 1 \overline{j} + 2 \overline{k}) = 8 \overline{i} + 8 \overline{j} + 9 \overline{k}$.

(D) दो रेखाओं $\overline{r}=\overline{a}+t \overline{b}$ और $\overline{r}=\overline{p}+s \overline{q}$ के समतलीय होने की शर्त $(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q}) = 0$ है। चूँकि कथन में दिया गया है कि अदिश त्रिक गुणनफल $0$ के बराबर नहीं है,इसलिए रेखाएं विषमतलीय (skew) हैं,समतलीय नहीं। अतः,कथन $(A)$ असत्य है।
दो विषमतलीय रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q})|}{|\bar{b} \times \bar{q}|}$ है।
इसका अर्थ है कि $|(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q})| = d \times |\bar{b} \times \bar{q}|$। अतः,कारण $(R)$ सत्य है।

(C) मान लीजिए $M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $M$ के निर्देशांक $(\frac{-1+\lambda}{2}, \frac{3+5}{2}, \frac{2+\mu}{2}) = (\frac{\lambda-1}{2}, 4, \frac{\mu+2}{2})$ हैं।
$A$ से गुजरने वाली माध्यिका रेखाखंड $AM$ है। $AM$ के दिक्-अनुपात $(\frac{\lambda-1}{2} - 2, 4 - 3, \frac{\mu+2}{2} - 5) = (\frac{\lambda-5}{2}, 1, \frac{\mu-8}{2})$ हैं।
चूंकि माध्यिका निर्देशांक अक्षों के साथ समान झुकाव रखती है,इसलिए दिक्-अनुपात समान होने चाहिए,अर्थात $\frac{\lambda-5}{2} = 1 = \frac{\mu-8}{2}$।
$\frac{\lambda-5}{2} = 1$ से,हमें $\lambda - 5 = 2$ मिलता है,अतः $\lambda = 7$।
$\frac{\mu-8}{2} = 1$ से,हमें $\mu - 8 = 2$ मिलता है,अतः $\mu = 10$।
अब विकल्पों की जाँच करने पर,$\lambda = 7$ और $\mu = 10$ रखने पर:
विकल्प $C: 10(7) - 7(10) = 70 - 70 = 0$।
अतः,$10 \lambda - 7 \mu = 0$ सही संबंध है।

(C) दी गई रेखाएं $\vec{r}=\vec{a}_1+t \vec{b}_1$ और $\vec{r}=\vec{a}_2+s \vec{b}_2$ हैं,जहाँ $\vec{a}_1 = -\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{b}_1 = 3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{a}_2 = 7 \hat{i}+4 \hat{k}$,और $\vec{b}_2 = \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-4) - \hat{j}(6+2) + \hat{k}(-6+2) = -8 \hat{i}-8 \hat{j}-4 \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-8)^2+(-8)^2+(-4)^2} = \sqrt{64+64+16} = \sqrt{144} = 12$ है।
इसके बाद,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (7 \hat{i}+4 \hat{k}) - (-\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}) = 8 \hat{i}+2 \hat{j}+7 \hat{k}$ ज्ञात करें।
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \left| \frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ है।
$d = \left| \frac{(-8 \hat{i}-8 \hat{j}-4 \hat{k}) \cdot (8 \hat{i}+2 \hat{j}+7 \hat{k})}{12} \right| = \left| \frac{-64-16-28}{12} \right| = \left| \frac{-108}{12} \right| = 9$.

(A) दो विषमतलीय रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + t\vec{b}_1$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + s\vec{b}_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \left| \frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ है।
यहाँ $\vec{a}_1 = 2\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b}_1 = \hat{i} + 2\hat{k}$ और $\vec{a}_2 = -2\hat{i} + \hat{k}$,$\vec{b}_2 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}$ है।
अब,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = -4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ज्ञात करें।
अदिश गुणनफल $(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = (2)(-4) + (3)(1) + (-1)(1) = -6$ होता है।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{-6}{\sqrt{14}} \right| = \frac{6}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ है।

(B) बिंदुओं $(5, 1, a)$ और $(3, b, 1)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-5}{5-3} = \frac{y-1}{1-b} = \frac{z-a}{a-1} = \lambda$ है।
चूंकि यह रेखा $(0, 17/2, -13/2)$ से होकर गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{0-5}{2} = \lambda \implies \lambda = -5/2$.
अब,$y$-निर्देशांक भाग की तुलना करने पर:
$\frac{17/2 - 1}{1-b} = -5/2 \implies \frac{15/2}{1-b} = -5/2 \implies \frac{15}{1-b} = -5 \implies 1-b = -3 \implies b = 4$.
अब,$z$-निर्देशांक भाग की तुलना करने पर:
$\frac{-13/2 - a}{a-1} = -5/2 \implies -13 - 2a = -5(a-1) \implies -13 - 2a = -5a + 5 \implies 3a = 18 \implies a = 6$.
अतः,$a+b = 6+4 = 10$.

(D) माना $D(h, k, l)$ रेखा $BC$ पर लंब $AD$ का पाद है। रेखा $BC$ के दिक्-अनुपात $(2-0, -3-(-11), 1-4) = (2, 8, -3)$ हैं।
बिंदु $C(2, -3, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण $\frac{x-2}{2} = \frac{y+3}{8} = \frac{z-1}{-3} = \lambda$ है।
$BC$ पर कोई भी बिंदु $D(2\lambda+2, 8\lambda-3, -3\lambda+1)$ है।
सदिश $\vec{AD} = (2\lambda+2-1, 8\lambda-3-8, -3\lambda+1-4) = (2\lambda+1, 8\lambda-11, -3\lambda-3)$ है।
चूँकि $AD \perp BC$,इसलिए $\vec{AD}$ और $BC$ के दिक्-सदिश $(2, 8, -3)$ का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$2(2\lambda+1) + 8(8\lambda-11) - 3(-3\lambda-3) = 0$
$4\lambda + 2 + 64\lambda - 88 + 9\lambda + 9 = 0$
$77\lambda - 77 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$D$ के निर्देशांकों में $\lambda = 1$ रखने पर:
$h = 2(1)+2 = 4$
$k = 8(1)-3 = 5$
$l = -3(1)+1 = -2$
अतः,$D$ के निर्देशांक $(4, 5, -2)$ हैं।

(C) दिए गए बिंदु $A(3,-1,11)$,$B(0,2,3)$ और $C(4,8,11)$ हैं।
सबसे पहले,$B(0,2,3)$ और $C(4,8,11)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण ज्ञात करें।
रेखा $BC$ के दिक अनुपात $(4-0, 8-2, 11-3) = (4, 6, 8)$ हैं।
रेखा $BC$ का समीकरण $\frac{x-0}{4} = \frac{y-2}{6} = \frac{z-3}{8} = r$ है।
रेखा $BC$ पर किसी भी बिंदु $P$ को $(4r, 6r+2, 8r+3)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
चूँकि $AP$,$BC$ पर लंब है,इसलिए $AP$ और $BC$ के दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$AP$ के दिक अनुपात $(4r-3, 6r+2-(-1), 8r+3-11) = (4r-3, 6r+3, 8r-8)$ हैं।
चूँकि $AP \perp BC$,इसलिए $4(4r-3) + 6(6r+3) + 8(8r-8) = 0$ है।
$16r - 12 + 36r + 18 + 64r - 64 = 0$ है।
$116r - 58 = 0 \Rightarrow r = \frac{58}{116} = \frac{1}{2}$ है।
$r = \frac{1}{2}$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $P = (4(\frac{1}{2}), 6(\frac{1}{2})+2, 8(\frac{1}{2})+3) = (2, 3+2, 4+3) = (2, 5, 7)$ प्राप्त होता है।
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(2, 5, 7)$ हैं।

(A) बिंदुओं $P(2, -3, 4)$ और $Q(8, 0, 10)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x-2}{8-2} = \frac{y+3}{0+3} = \frac{z-4}{10-4} = \lambda$
$\frac{x-2}{6} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6} = \lambda$
इस रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(6\lambda + 2, 3\lambda - 3, 6\lambda + 4)$ होंगे।
चूंकि बिंदु $R(4, y, z)$ इस रेखा पर स्थित है,इसलिए $x$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$6\lambda + 2 = 4 \Rightarrow 6\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{3}$.
अब,$y$ और $z$ का मान ज्ञात करने पर:
$y = 3(\frac{1}{3}) - 3 = 1 - 3 = -2$
$z = 6(\frac{1}{3}) + 4 = 2 + 4 = 6$
अतः,$R$ के निर्देशांक $(4, -2, 6)$ हैं।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $R(4, -2, 6)$ की दूरी:
$d = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \times 14} = 2\sqrt{14}$.

(D) दी गई रेखाएँ $\vec{r} = 2 \vec{b} + t(6 \vec{c} - \vec{a})$ और $\vec{r} = \vec{a} + s(\vec{b} - 3 \vec{c})$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,स्थिति सदिश समान होने चाहिए:
$2 \vec{b} + 6t \vec{c} - t \vec{a} = \vec{a} + s \vec{b} - 3s \vec{c}$.
$\vec{a}, \vec{b}, \text{ और } \vec{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\vec{a}$ के लिए: $-t = 1 \implies t = -1$.
$\vec{b}$ के लिए: $2 = s$.
$\vec{c}$ के लिए: $6t = -3s \implies 6(-1) = -3(2) \implies -6 = -6$,जो सुसंगत है।
$t = -1$ को पहले समीकरण में रखने पर:
$\vec{r} = 2 \vec{b} - 1(6 \vec{c} - \vec{a}) = 2 \vec{b} - 6 \vec{c} + \vec{a} = \vec{a} + 2 \vec{b} - 6 \vec{c}$.

(B) माना बिंदु $P$ रेखाखंड $QR$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। $Q$ के निर्देशांक $(2, 2, 1)$ और $R$ के $(5, 2, -2)$ हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ का $x$-निर्देशांक $x = \frac{5\lambda + 2}{\lambda + 1}$ है।
दिया गया है कि $x = 4$,अतः $4 = \frac{5\lambda + 2}{\lambda + 1} \Rightarrow 4\lambda + 4 = 5\lambda + 2 \Rightarrow \lambda = 2$.
अब,$P$ का $y$-निर्देशांक ज्ञात करते हैं: $y = \frac{2\lambda + 2}{\lambda + 1} = \frac{2(2) + 2}{2 + 1} = \frac{6}{3} = 2$.
इसके बाद,$P$ का $z$-निर्देशांक ज्ञात करते हैं: $z = \frac{-2\lambda + 1}{\lambda + 1} = \frac{-2(2) + 1}{2 + 1} = \frac{-3}{3} = -1$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $y = 2$ और $z = -1$ है। अतः,$y = -2(z)$.
इसलिए,$P$ का $y$-निर्देशांक $-2(P \text{ का } z\text{-निर्देशांक})$ है।