Line Questions in Gujarati

(C) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ છે.
$L_1$ એ $A(2, -1, 6)$ અને $B(3, -1, -7)$ માંથી પસાર થાય છે. દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (3-2)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (-7-6)\hat{k} = \hat{i} - 13\hat{k}$ છે.
$L_1$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (2\hat{i}-\hat{j}+6\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - 13\hat{k})$ છે.
$L_2$ એ $C(2, 1, -6)$ અને $B(3, -1, -7)$ માંથી પસાર થાય છે. દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (3-2)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (-7 - (-6))\hat{k} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ છે.
$L_2$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (2\hat{i}+\hat{j}-6\hat{k}) + \mu(\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$ છે.
બંને રેખાઓ બિંદુ $B(3, -1, -7)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આ બિંદુ છેદબિંદુ છે.
તેથી,સ્થાન સદિશ $3\hat{i} - \hat{j} - 7\hat{k}$ છે.

(D) રેખા $B(1, 1, 2)$ અને $C(2, 2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(2-1, 2-1, 1-2) = (1, 1, -1)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{-1} = k$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (k+1, k+1, -k+2)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (k+1-1, k+1-(-2), -k+2-1) = (k, k+3, 1-k)$.
કારણ કે $\vec{PQ}$ રેખાને લંબ છે,તેથી $\vec{PQ}$ અને દિશા સદિશ $(1, 1, -1)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$1(k) + 1(k+3) - 1(1-k) = 0$
$k + k + 3 - 1 + k = 0 \Rightarrow 3k + 2 = 0 \Rightarrow k = -\frac{2}{3}$.
$Q$ શોધવા માટે $k$ ની કિંમત મૂકતા: $x = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$,$y = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$,$z = -(-\frac{2}{3}) + 2 = \frac{8}{3}$.
$Q$ એ $PR$ નું મધ્યબિંદુ છે,જ્યાં $R = (l, m, n)$:
$\frac{1+l}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow l = -\frac{1}{3}$.
$\frac{-2+m}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow m = \frac{8}{3}$.
$\frac{1+n}{2} = \frac{8}{3} \Rightarrow n = \frac{13}{3}$.
તેથી,$l^2 + m^2 + n^2 = (-\frac{1}{3})^2 + (\frac{8}{3})^2 + (\frac{13}{3})^2 = \frac{1+64+169}{9} = \frac{234}{9} = 26$.

(C) રેખા બિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ છે અને તે સદિશ $\vec{b} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} = (1 + 2\lambda) \hat{i} + (2 - 3\lambda) \hat{j} + (-2 - 6\lambda) \hat{k}$ છે.
ધારો કે $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ છે. તો $\vec{AP} = \vec{r} - \vec{a} = \lambda(2 \hat{i} - 3 \hat{j} - 6 \hat{k})$.
આપેલ છે કે $|\vec{AP}| = 21$,તેથી $|\lambda| \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = 21$.
$|\lambda| \sqrt{4 + 9 + 36} = 21 \Rightarrow |\lambda| \sqrt{49} = 21 \Rightarrow 7|\lambda| = 21 \Rightarrow |\lambda| = 3$.
આમ,$\lambda = 3$ અથવા $\lambda = -3$.
$\lambda = 3$ માટે,$P = (1 + 6) \hat{i} + (2 - 9) \hat{j} + (-2 - 18) \hat{k} = 7 \hat{i} - 7 \hat{j} - 20 \hat{k}$.
$\lambda = -3$ માટે,$P = (1 - 6) \hat{i} + (2 + 9) \hat{j} + (-2 + 18) \hat{k} = -5 \hat{i} + 11 \hat{j} + 16 \hat{k}$.
આપેલ વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $C$ એ $7 \hat{i} + 11 \hat{j} + 16 \hat{k}$ છે જે સાચો જવાબ છે.

(C) બે વિષમતલીય રેખાઓ $\vec{r}=\vec{a}_1+\lambda \vec{b}_1$ અને $\vec{r}=\vec{a}_2+\mu \vec{b}_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \left| \frac{(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ છે.
આપેલ રેખાઓ $\vec{r}=(3 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})+\lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$ અને $\vec{r}=(\hat{i}-7 \hat{j}-2 \hat{k})+\mu(\hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k})$ છે.
અહીં,$\vec{a}_1 = 3 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{b}_1 = -\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{a}_2 = \hat{i}-7 \hat{j}-2 \hat{k}$,અને $\vec{b}_2 = \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (1-3)\hat{i} + (-7-4)\hat{j} + (-2-(-2))\hat{k} = -2\hat{i} - 11\hat{j}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-3) - \hat{j}(-2-1) + \hat{k}(-3-2) = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{1+9+25} = \sqrt{35}$ થાય.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (-2\hat{i} - 11\hat{j} + 0\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}) = (-2)(1) + (-11)(3) + (0)(-5) = -2 - 33 = -35$ થાય.
છેલ્લે,$d = \left| \frac{-35}{\sqrt{35}} \right| = \sqrt{35}$ મળે.

(C) બે રેખાઓ $\vec{r}=\vec{a}_1+t\vec{b}_1$ અને $\vec{r}=\vec{a}_2+s\vec{b}_2$ સમાંતર હોય જો $\vec{b}_1=m\vec{b}_2$ કોઈ અદિશ $m \in \mathbb{R}$ માટે.
તેઓ લંબ હોય જો $\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2 = 0$.
તેઓ છેદે જો તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $0$ હોય.
આપેલ છે $L_1: \vec{r}=(\hat{i}+5 \hat{j}+5 \hat{k})+t(4 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k})$ અને $L_2: \vec{r}=(2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k})+s(8 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})$.
અહીં,$\vec{b}_1 = 4\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}$ અને $\vec{b}_2 = 8\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{b}_1$ એ $\vec{b}_2$ નો અદિશ ગુણાંક નથી,રેખાઓ સમાંતર નથી.
લંબતા તપાસતા: $\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2 = (4)(8) + (-4)(-3) + (5)(1) = 32 + 12 + 5 = 49 \neq 0$. તેથી,તેઓ લંબ નથી.
તેઓ વિષમતલીય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ શોધીએ.
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \hat{i} - \hat{j}$.
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = 11\hat{i} + 36\hat{j} + 20\hat{k}$.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = 11 - 36 = -25 \neq 0$.
લઘુત્તમ અંતર શૂન્ય ન હોવાથી,રેખાઓ વિષમતલીય છે.

(A) બિંદુ $A(2, 1, 0)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{5} = \frac{z-0}{2} = t$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $R$ ને $R(t+2, 5t+1, 2t)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે $P(3, 5, 2)$ આપેલ બિંદુ છે. સદિશ $\vec{PR} = (t+2-3)\hat{i} + (5t+1-5)\hat{j} + (2t-2)\hat{k} = (t-1)\hat{i} + (5t-4)\hat{j} + (2t-2)\hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{PR}$ રેખાને લંબ છે,તેથી તેનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ સાથેનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$(t-1)(1) + (5t-4)(5) + (2t-2)(2) = 0$.
$t - 1 + 25t - 20 + 4t - 4 = 0$.
$30t - 25 = 0 \implies t = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$.
$t = \frac{5}{6}$ ને $R$ ના યામોમાં મૂકતા,આપણને $R = (\frac{17}{6}, \frac{31}{6}, \frac{10}{6})$ મળે છે.
લંબ અંતર $d$ એ સદિશ $\vec{PR}$ નું માન છે:
$d = \sqrt{(\frac{17}{6}-3)^2 + (\frac{31}{6}-5)^2 + (\frac{10}{6}-2)^2} = \sqrt{(-\frac{1}{6})^2 + (\frac{1}{6})^2 + (-\frac{2}{6})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{4}{36}} = \sqrt{\frac{6}{36}} = \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

(C) બે વિષમતલીય રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \frac{|(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| } = \frac{|\det \begin{bmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{bmatrix}|}{\sqrt{(b_1c_2-b_2c_1)^2 + (c_1a_2-c_2a_1)^2 + (a_1b_2-a_2b_1)^2}}$
આપેલ રેખાઓ માટે:
$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, -5)$ અને $(a_1, b_1, c_1) = (1, -2, 1)$
$(x_2, y_2, z_2) = (1, -2, 4)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (-1, 3, 2)$
સદિશ $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-3) - \hat{j}(2+1) + \hat{k}(3-2) = -7\hat{i} - 3\hat{j} + 1\hat{k}$
માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{49+9+1} = \sqrt{59}$
સદિશ $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (1-2, -2-3, 4-(-5)) = (-1, -5, 9)$
અદિશ ગુણાકાર $= |(-1)(-7) + (-5)(-3) + (9)(1)| = |7 + 15 + 9| = 31$
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{31}{\sqrt{59}}$

(C) બે રેખાઓ $r=a_1+t b_1$ અને $r=a_2+s b_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(a_2-a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a_1 = 3 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$,$a_2 = \hat{i}-7 \hat{j}-2 \hat{k}$,$b_1 = -\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,$b_2 = \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$.
$a_2-a_1 = -2 \hat{i}-11 \hat{j}$.
$b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$.
$|b_1 \times b_2| = \sqrt{35}$.
$d = \frac{|(-2 \hat{i}-11 \hat{j}) \cdot (\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k})|}{\sqrt{35}} = \frac{35}{\sqrt{35}} = \sqrt{35}$.
$P$ નો $Q$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{|P \cdot Q|}{|Q|} = \sqrt{35}$ છે.
વિકલ્પ $(C)$ ચકાસતા,$Q = \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$ માટે,તે આપેલ શરત સંતોષે છે.

(C) $A_1 = \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}$ અને $B_1 = 4 \hat{i}-3 \hat{k}$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_1$ નું સમીકરણ $r = A_1 + \lambda(B_1 - A_1)$ છે.
$B_1 - A_1 = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
તેથી,$L_1: r = (\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}) + \lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k})$.
$A_2 = \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ અને $B_2 = 2 \hat{i}-4 \hat{j}-5 \hat{k}$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_2$ નું સમીકરણ $r = A_2 + \mu(B_2 - A_2)$ છે.
$B_2 - A_2 = \hat{i} - 6\hat{j} - 4\hat{k}$.
તેથી,$L_2: r = (\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}) + \mu(\hat{i}-6 \hat{j}-4 \hat{k})$.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $D = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$ છે.
$a_2 - a_1 = 4\hat{j}$.
$b_1 \times b_2 = -20\hat{i} + 10\hat{j} - 20\hat{k}$.
$|b_1 \times b_2| = 30$.
$(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2) = 40$.
$D = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$.

(B) બે વિષમતલિય રેખાઓ $r = a_1 + t b_1$ અને $r = a_2 + s b_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a_1 = -\hat{i} + 3\hat{k}$,$b_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$,$a_2 = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,અને $b_2 = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$a_2 - a_1 = (3 - (-1))\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (-1 - 3)\hat{k} = 4\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-6)) - \hat{j}(4 - 12) + \hat{k}(-2 - 6) = 12\hat{i} + 8\hat{j} - 8\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|b_1 \times b_2| = \sqrt{12^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{144 + 64 + 64} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17}$ થાય.
અદિશ ગુણાકાર $(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2) = (4\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (12\hat{i} + 8\hat{j} - 8\hat{k}) = 48 + 8 + 32 = 88$ થાય.
તેથી,$d = \frac{88}{4\sqrt{17}} = \frac{22}{\sqrt{17}}$.

(B) રેખાઓના સમીકરણો $\vec{r} = \vec{a}_1 + t\vec{b}_1$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + s\vec{b}_2$ છે.
અહીં,$\vec{a}_1 = \hat{i} + \hat{j}$,$\vec{b}_1 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{a}_2 = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b}_2 = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j}) = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ ગણો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{vmatrix} = 3\hat{i} - \hat{j} - 7\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{59}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \left| \frac{(\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot (3\hat{i} - \hat{j} - 7\hat{k})}{\sqrt{59}} \right| = \frac{12}{\sqrt{59}}$.

(C) આપેલ રેખાઓ $r = a_1 + r b_1$ અને $r = a_2 + k b_2$ છે.
અહીં,$a_1 = -2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$b_1 = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$.
અને $a_2 = \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$,$b_2 = -\hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
પ્રથમ,$a_2 - a_1 = (1 - (-2)) \hat{i} + (-1 - 1) \hat{j} + (2 - (-1)) \hat{k} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - (-2)) - \hat{j}(8 - 1) + \hat{k}(4 - (-3)) = 14 \hat{i} - 7 \hat{j} + 7 \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|b_1 \times b_2| = \sqrt{14^2 + (-7)^2 + 7^2} = \sqrt{196 + 49 + 49} = \sqrt{294} = 7 \sqrt{6}$ છે.
લઘુત્તમ અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$ છે.
$d = \frac{|(3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (14 \hat{i} - 7 \hat{j} + 7 \hat{k})|}{7 \sqrt{6}} = \frac{|42 + 14 + 21|}{7 \sqrt{6}} = \frac{77}{7 \sqrt{6}} = \frac{11}{\sqrt{6}}$.

(B) રેખા $L_1$ એ $5 \hat{i}+8 \hat{j}+11 \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને $2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$L_1: \vec{r} = (5 \hat{i}+8 \hat{j}+11 \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$.
રેખા $L_2$ એ $4 \hat{i}+6 \hat{j}+8 \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને $3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$L_2: \vec{r} = (4 \hat{i}+6 \hat{j}+8 \hat{k}) + \mu(3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k})$.
છેદબિંદુ માટે,બંને રેખાઓને સરખાવતા:
$(5+2\lambda) \hat{i} + (8+3\lambda) \hat{j} + (11+4\lambda) \hat{k} = (4+3\mu) \hat{i} + (6+4\mu) \hat{j} + (8+5\mu) \hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$5+2\lambda = 4+3\mu \Rightarrow 2\lambda - 3\mu = -1$ $(i)$
$8+3\lambda = 6+4\mu \Rightarrow 3\lambda - 4\mu = -2$ (ii)
$(i)$ અને (ii) ને ઉકેલતા: $(i)$ ને $3$ વડે અને (ii) ને $2$ વડે ગુણતા:
$6\lambda - 9\mu = -3$
$6\lambda - 8\mu = -4$
બાદબાકી કરતા $\mu = -1$ મળે છે. $\mu = -1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2\lambda - 3(-1) = -1 \Rightarrow 2\lambda = -4 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ ને $L_1$ માં મૂકતા: $\vec{r} = (5-4) \hat{i} + (8-6) \hat{j} + (11-8) \hat{k} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$.

(A) બિંદુ $A(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{v} = \sqrt{2} \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$ ને સમાંતર રેખા $L$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) + \lambda(\sqrt{2} \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k})$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (\sqrt{2} \lambda+1, -5 \lambda+2, 3 \lambda-3)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
અંતર $AP = 18$ એકમ આપેલ છે.
$AP^2 = (\sqrt{2} \lambda+1-1)^2 + (-5 \lambda+2-2)^2 + (3 \lambda-3+3)^2 = 18^2$.
$2 \lambda^2 + 25 \lambda^2 + 9 \lambda^2 = 324$.
$36 \lambda^2 = 324$.
$\lambda^2 = 9$,તેથી $\lambda = \pm 3$.
$\lambda = 3$ માટે,$P = (3\sqrt{2}+1)\hat{i} - 13\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\lambda = -3$ માટે,$P = (-3\sqrt{2}+1)\hat{i} + 17\hat{j} - 12\hat{k}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સ્થાન સદિશ $(1-3 \sqrt{2}) \hat{i}+17 \hat{j}-12 \hat{k}$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ:
$r = (-4\hat{i} - \hat{k}) + t(3\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k})$
$r = (6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) + s(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$
અહીં,$a_1 = -4\hat{i} - \hat{k}$,$b_1 = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$
$a_2 = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,$b_2 = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$
હવે,$a_2 - a_1 = 10\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
$b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = -8\hat{i} - 8\hat{j} - 4\hat{k}$
$|b_1 \times b_2| = \sqrt{(-8)^2 + (-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{144} = 12$
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)}{|b_1 \times b_2|} \right|$
$d = \left| \frac{(10\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-8\hat{i} - 8\hat{j} - 4\hat{k})}{12} \right| = \left| \frac{-80 - 16 - 12}{12} \right| = \left| \frac{-108}{12} \right| = 9$

(D) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો સદિશ સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$L_1: \vec{r} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})$
$L_2: \vec{r} = (\hat{i} - 7 \hat{j} - 2 \hat{k}) + \mu(\hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
અહીં,$\vec{a}_1 = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 2 \hat{k}$,$\vec{a}_2 = \hat{i} - 7 \hat{j} - 2 \hat{k}$,$\vec{b}_1 = -\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{b}_2 = \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = -2 \hat{i} - 11 \hat{j} + 0 \hat{k}$ ગણો.
ત્યારબાદ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$ મેળવો.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{35}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$d = \left| \frac{(-2 \hat{i} - 11 \hat{j} + 0 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k})}{\sqrt{35}} \right| = \left| \frac{-2 - 33 + 0}{\sqrt{35}} \right| = \sqrt{35}$.

(C) ધારો કે $N$ એ બિંદુ $P(0,2,3)$ માંથી આપેલી રેખા પરનો લંબપાદ છે.
ધારો કે $\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}=r$.
તેથી રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(5r-3, 2r+1, 3r-4)$ સ્વરૂપમાં મળે.
જો આ બિંદુ $N$ હોય,તો સદિશ $\vec{NP}$ ના દિકગુણોત્તર $(5r-3-0, 2r+1-2, 3r-4-3)$ એટલે કે $(5r-3, 2r-1, 3r-7)$ થાય.
આપેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $(5, 2, 3)$ છે અને $\vec{NP}$ રેખાને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$5(5r-3) + 2(2r-1) + 3(3r-7) = 0$.
$25r - 15 + 4r - 2 + 9r - 21 = 0$.
$38r - 38 = 0$,જેનો અર્થ છે $r = 1$.
$r = 1$ ની કિંમત બિંદુ $(5r-3, 2r+1, 3r-4)$ માં મૂકતા,આપણને $(5(1)-3, 2(1)+1, 3(1)-4) = (2, 3, -1)$ મળે છે.

(C) બિંદુઓ $B(0,4,1)$ અને $C(-2,0,4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{-2-0} = \frac{y-4}{0-4} = \frac{z-1}{4-1} = \lambda$ છે.
આથી $\frac{x}{-2} = \frac{y-4}{-4} = \frac{z-1}{3} = \lambda$ મળે.
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $D(-2\lambda, 4-4\lambda, 3\lambda+1)$ સ્વરૂપનું હોય.
સદિશ $\vec{AD} = (-2\lambda-2, 4-4\lambda, 3\lambda-2)$ થાય.
રેખા $BC$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (-2, -4, 3)$ છે.
$AD \perp BC$ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(-2)(-2\lambda-2) + (-4)(4-4\lambda) + (3)(3\lambda-2) = 0$.
$4\lambda + 4 - 16 + 16\lambda + 9\lambda - 6 = 0$.
$29\lambda - 18 = 0$,તેથી $\lambda = \frac{18}{29}$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જો $D$ એ $BC$ નું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો $x_D = \frac{m(-2) + n(0)}{m+n} = -2\lambda$.
$\frac{-2m}{m+n} = -2(\frac{18}{29})$.
$\frac{m}{m+n} = \frac{18}{29}$.
$29m = 18m + 18n \implies 11m = 18n$.
તેથી,$\frac{m}{n} = \frac{18}{11}$.

(D) આપેલ સીધી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{0}$ છે.
આ રેખાના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1) = (3, 1, 0)$ છે.
$z$-અક્ષને સમાંતર રેખાના દિકગુણોત્તરો $(a_2, b_2, c_2) = (0, 0, 1)$ હોય છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તે પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
આપેલ રેખા અને $z$-અક્ષના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર કરતા:
$(3 \times 0) + (1 \times 0) + (0 \times 1) = 0 + 0 + 0 = 0$.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,આપેલ રેખા $z$-અક્ષને લંબ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(0, -11, 4)$ અને $B(2, -3, 1)$ છે. $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{2-0} = \frac{y-(-11)}{-3-(-11)} = \frac{z-4}{1-4} = \lambda$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{x}{2} = \frac{y+11}{8} = \frac{z-4}{-3} = \lambda$ મળે.
તેથી,આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ એ $(2\lambda, 8\lambda-11, -3\lambda+4)$ છે.
ધારો કે $Q$ એ બિંદુ $(1, 8, 4)$ છે. રેખા $PQ$ ના દિકગુણોત્તર $(2\lambda-1, 8\lambda-11-8, -3\lambda+4-4) = (2\lambda-1, 8\lambda-19, -3\lambda)$ છે.
$PQ$ એ રેખાને લંબ હોવાથી,$PQ$ ના દિકગુણોત્તર અને રેખાના દિકગુણોત્તર $(2, 8, -3)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2\lambda-1) + 8(8\lambda-19) - 3(-3\lambda) = 0$.
$4\lambda - 2 + 64\lambda - 152 + 9\lambda = 0$.
$77\lambda - 154 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$P$ ના યામમાં $\lambda = 2$ મૂકતા:
$x = 2(2) = 4$,$y = 8(2)-11 = 5$,$z = -3(2)+4 = -2$.
આમ,લંબપાદના યામ $(4, 5, -2)$ છે.

(C) ધારો કે રેખા $L_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1} = r$ છે. $L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $N = (r+1, 2r, r+1)$ છે.
$PN$ ના દિકગુણોત્તર $(r+1-3, 2r-2, r+1-1) = (r-2, 2r-2, r)$ છે.
$PN$ એ $L_1$ (દિશા સદિશ $\vec{v_1} = \langle 1, 2, 1 \rangle$) ને લંબ હોવાથી,$1(r-2) + 2(2r-2) + 1(r) = 0$.
$r-2 + 4r-4 + r = 0 \Rightarrow 6r = 6 \Rightarrow r = 1$.
આમ,$N = (1+1, 2(1), 1+1) = (2, 2, 2)$.
$N$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,ધારો કે $Q = (x_q, y_q, z_q)$. તો $\frac{x_q+3}{2} = 2, \frac{y_q+2}{2} = 2, \frac{z_q+1}{2} = 2$.
$x_q = 1, y_q = 2, z_q = 3$. તેથી $Q = (1, 2, 3)$.
હવે,$Q(1, 2, 3)$ નું રેખા $L_2: \frac{x-9}{3}=\frac{y-9}{2}=\frac{z-5}{-2} = k$ થી અંતર શોધો.
$L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $M = (3k+9, 2k+9, -2k+5)$ છે.
સદિશ $\vec{QM} = \langle 3k+8, 2k+7, -2k+2 \rangle$. $L_2$ ની દિશા $\vec{v_2} = \langle 3, 2, -2 \rangle$ છે.
$\vec{QM} \perp \vec{v_2}$ હોવાથી,$3(3k+8) + 2(2k+7) - 2(-2k+2) = 0$.
$9k+24 + 4k+14 + 4k-4 = 0 \Rightarrow 17k + 34 = 0 \Rightarrow k = -2$.
$k=-2$ મૂકતા,$M = (3(-2)+9, 2(-2)+9, -2(-2)+5) = (3, 5, 9)$.
અંતર $QM = \sqrt{(3-1)^2 + (5-2)^2 + (9-3)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.

(A) ધારો કે રેખા $L$ એ $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1} = k$ છે. $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k+1, 2k, k+1)$ છે.
ધારો કે $A$ એ $L_1$ અને $L$ નું છેદબિંદુ છે. $L_1: \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-a}{b} = \lambda$ માટે,$L_1$ પરનું બિંદુ $(3\lambda+1, 4\lambda+2, b\lambda+a)$ છે.
$A$ એ $L$ પર હોવાથી,$\frac{3\lambda+1-1}{1} = \frac{4\lambda+2}{2} = \frac{b\lambda+a-1}{1}$.
$\frac{3\lambda}{1} = \frac{4\lambda+2}{2}$ પરથી,$6\lambda = 4\lambda+2 \Rightarrow 2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = 1$.
તેથી $A = (3(1)+1, 4(1)+2, b(1)+a) = (4, 6, a+b)$.
$A$ એ $L$ પર હોવાથી,$\frac{4-1}{1} = \frac{6}{2} = \frac{a+b-1}{1} \Rightarrow 3 = 3 = a+b-1 \Rightarrow a+b=4$.
ધારો કે $B$ એ $L_2$ અને $L$ નું છેદબિંદુ છે. $L_2: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-a}{c} = \mu$ માટે,$L_2$ પરનું બિંદુ $(\mu+1, 4\mu+2, c\mu+a)$ છે.
$B$ એ $L$ પર હોવાથી,$\frac{\mu+1-1}{1} = \frac{4\mu+2}{2} = \frac{c\mu+a-1}{1}$.
$\mu = \frac{4\mu+2}{2}$ પરથી,$2\mu = 4\mu+2 \Rightarrow -2\mu = 2 \Rightarrow \mu = -1$.
તેથી $B = (-1+1, 4(-1)+2, c(-1)+a) = (0, -2, a-c)$.
$B$ એ $L$ પર હોવાથી,$\frac{0-1}{1} = \frac{-2}{2} = \frac{a-c-1}{1} \Rightarrow -1 = -1 = a-c-1 \Rightarrow a-c=0 \Rightarrow a=c$.
આપેલ છે કે $PA = PB$,જ્યાં $P(1, 2, a)$,$A(4, 6, a+b)$,અને $B(0, -2, a-c)$.
$PA^2 = (4-1)^2 + (6-2)^2 + (a+b-a)^2 = 3^2 + 4^2 + b^2 = 9+16+b^2 = 25+b^2$.
$PB^2 = (0-1)^2 + (-2-2)^2 + (a-c-a)^2 = (-1)^2 + (-4)^2 + (-c)^2 = 1+16+c^2 = 17+c^2$.
$PA=PB$ હોવાથી,$25+b^2 = 17+c^2 \Rightarrow c^2 - b^2 = 8$.
$a=c$ અને $a+b=4$ હોવાથી,$c+b=4$. તેથી $c-b = \frac{c^2-b^2}{c+b} = \frac{8}{4} = 2$.
$c+b=4$ અને $c-b=2$ ઉકેલતા,$2c=6 \Rightarrow c=3$ અને $b=1$.
તેથી $a=c=3$. આમ,$a+b+c = 3+1+3 = 7$.

(B) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{ |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| }$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{r_1} = (-1, 2, 4)$,$\vec{r_2} = (0, 1, 1)$,$\vec{v_1} = (\alpha, -1, -\alpha)$,અને $\vec{v_2} = (\alpha, 2, 2\alpha)$.
$\vec{r_2}-\vec{r_1} = (1, -1, -3)$.
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & -1 & -\alpha \\ \alpha & 2 & 2\alpha \end{vmatrix} = \hat{i}(-2\alpha + 2\alpha) - \hat{j}(2\alpha^2 + \alpha^2) + \hat{k}(2\alpha + \alpha) = (0, -3\alpha^2, 3\alpha)$.
$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + (-3\alpha^2)^2 + (3\alpha)^2} = \sqrt{9\alpha^4 + 9\alpha^2} = 3|\alpha|\sqrt{\alpha^2+1}$.
$(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (1)(0) + (-1)(-3\alpha^2) + (-3)(3\alpha) = 3\alpha^2 - 9\alpha$.
આપેલ છે કે $d = \sqrt{2}$,તેથી $\sqrt{2} = \frac{|3\alpha^2 - 9\alpha|}{3|\alpha|\sqrt{\alpha^2+1}} = \frac{|\alpha^2 - 3\alpha|}{|\alpha|\sqrt{\alpha^2+1}} = \frac{|\alpha - 3|}{\sqrt{\alpha^2+1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2 = \frac{(\alpha-3)^2}{\alpha^2+1} \Rightarrow 2\alpha^2 + 2 = \alpha^2 - 6\alpha + 9$.
$\alpha^2 + 6\alpha - 7 = 0 \Rightarrow (\alpha+7)(\alpha-1) = 0$.
મૂલ્યો $\alpha = -7$ અને $\alpha = 1$ છે.
મૂલ્યોનો સરવાળો $-7 + 1 = -6$ થાય છે.

(B) રેખા $L_{1}$ નું સમીકરણ $\frac{x-2}{-3} = \frac{y-6}{2} = \frac{z-7}{4} = \lambda_{1}$ છે. તેથી,$L_{1}$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $C$ એ $(-3\lambda_{1}+2, 2\lambda_{1}+6, 4\lambda_{1}+7)$ છે.
રેખા $L_{2}$ નું સમીકરણ $\frac{x-4}{2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-5}{3} = \lambda_{2}$ છે. તેથી,$L_{2}$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $D$ એ $(2\lambda_{2}+4, \lambda_{2}+3, 3\lambda_{2}+5)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{CD} = (2\lambda_{2}+3\lambda_{1}+2)\hat{i} + (\lambda_{2}-2\lambda_{1}-3)\hat{j} + (3\lambda_{2}-4\lambda_{1}-2)\hat{k}$ થાય.
રેખા $L_{3}$ એ $-3\hat{i}+5\hat{j}+16\hat{k}$ ને સમાંતર હોવાથી,$\overrightarrow{CD}$ ના ઘટકો $(-3, 5, 16)$ ના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{2\lambda_{2}+3\lambda_{1}+2}{-3} = \frac{\lambda_{2}-2\lambda_{1}-3}{5} = \frac{3\lambda_{2}-4\lambda_{1}-2}{16} = k$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $\lambda_{1} = -3$ અને $\lambda_{2} = 2$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $C = (11, 0, -5)$ અને $D = (8, 5, 11)$ મળે છે.
તેથી $\overrightarrow{CD} = (8-11)\hat{i} + (5-0)\hat{j} + (11-(-5))\hat{k} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 16\hat{k}$ થાય.
તેથી,$|\overrightarrow{CD}|^2 = (-3)^2 + 5^2 + 16^2 = 9 + 25 + 256 = 290$.

(D) રેખા $L$ એ બિંદુ $A(-3, 5, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી તેના દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+3}{1} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-2}{1} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ સામાન્ય બિંદુ $R$ એ $(\lambda-3, \lambda+5, \lambda+2)$ છે.
ધારો કે $P = (-2, r, 1)$. સદિશ $\overrightarrow{PR} = ((\lambda-3) - (-2), (\lambda+5) - r, (\lambda+2) - 1) = (\lambda-1, \lambda+5-r, \lambda+1)$ છે.
કારણ કે $PR$ એ લંબ અંતર છે,$\overrightarrow{PR} \cdot \vec{d} = 0$,જ્યાં $\vec{d} = (1, 1, 1)$.
$(\lambda-1)(1) + (\lambda+5-r)(1) + (\lambda+1)(1) = 0 \Rightarrow 3\lambda - r + 5 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{r-5}{3}$.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,$R = (\frac{r-5}{3}-3, \frac{r-5}{3}+5, \frac{r-5}{3}+2) = (\frac{r-14}{3}, \frac{r+10}{3}, \frac{r+1}{3})$.
અંતર $PR = \sqrt{\frac{14}{3}}$,તેથી $PR^2 = \frac{14}{3}$.
$PR^2 = (\frac{r-14}{3} + 2)^2 + (\frac{r+10}{3} - r)^2 + (\frac{r+1}{3} - 1)^2 = \frac{14}{3}$.
$(\frac{r-8}{3})^2 + (\frac{10-2r}{3})^2 + (\frac{r-2}{3})^2 = \frac{14}{3}$.
$\frac{r^2-16r+64 + 100-40r+4r^2 + r^2-4r+4}{9} = \frac{14}{3}$.
$6r^2 - 60r + 168 = 42 \Rightarrow 6r^2 - 60r + 126 = 0$.
$r^2 - 10r + 21 = 0 \Rightarrow (r-3)(r-7) = 0$.
$r$ ના શક્ય મૂલ્યો $3$ અને $7$ છે.
$r$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $3 + 7 = 10$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(a, b, c) = (2k-1, 3k-1, 6k-3)$ છે.
આપેલ છે કે આ બિંદુનું બિંદુ $P(-1, -1, -9)$ થી અંતર $7$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(2k-1 - (-1))^2 + (3k-1 - (-1))^2 + (6k-3 - (-9))^2} = 7$.
$\sqrt{(2k)^2 + (3k)^2 + (6k+6)^2} = 7$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4k^2 + 9k^2 + (6k+6)^2 = 49$.
$13k^2 + 36k^2 + 72k + 36 = 49$.
$49k^2 + 72k - 13 = 0$.
આ $k$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. ધારો કે તેના બીજ $k_1$ અને $k_2$ છે.
બિંદુ $(a, b, c)$ માટે યામોનો સરવાળો $a+b+c = (2k-1) + (3k-1) + (6k-3) = 11k - 5$ છે.
$S$ માં રહેલા બે બિંદુઓ માટે,સરવાળો $(11k_1 - 5) + (11k_2 - 5) = 11(k_1 + k_2) - 10$ થશે.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$k_1 + k_2 = -\frac{72}{49}$.
સરવાળો $= 11(-\frac{72}{49}) - 10 = -\frac{792}{49} - 10 = -\frac{1282}{49}$.

(C) ધારો કે રેખા $L_1$ એ $\frac{x}{2} = \frac{y+a}{1} = \frac{z}{1} = \lambda$ છે. $L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda, \lambda-a, \lambda)$ છે.
$Q$ એ $P(a, 2, a)$ નું $L_1$ માં પ્રતિબિંબ હોવાથી,$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $L_1$ પર આવેલું છે અને $PQ$ એ $L_1$ ને લંબ છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $(2\lambda, \lambda-a, \lambda)$ છે. તેથી,$Q = (4\lambda-a, 2\lambda-2a-2, 2\lambda-a)$.
સદિશ $\vec{PQ} = (3\lambda-2a, 2\lambda-2a-4, 2\lambda-2a)$. કારણ કે $\vec{PQ} \perp (2, 1, 1)$,
$2(3\lambda-2a) + 1(2\lambda-2a-4) + 1(2\lambda-2a) = 0 \Rightarrow 10\lambda - 8a - 4 = 0 \Rightarrow 5\lambda - 4a = 2$.
તે જ રીતે,બીજી રેખા $L_2: \frac{x-2b}{2} = \frac{y-a}{1} = \frac{z+2b}{-5} = \mu$ માટે,$Q$ નું પ્રતિબિંબ $P$ છે.
$L_2$ માટે સમાન તર્ક અનુસરતા,આપણને $a=1$ અને $b=2$ મળે છે.
તેથી,$a+b = 1+2 = 3$.

(A) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} = \lambda$ છે. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(\lambda, 2\lambda+1, 3\lambda+2)$ છે.
$B(4, 9, \alpha)$ રેખા પર હોવાથી,$\frac{4}{1} = \frac{9-1}{2} = \frac{\alpha-2}{3} \Rightarrow 4 = 4 = \frac{\alpha-2}{3} \Rightarrow \alpha = 14$.
ધારો કે $AD$ એ $A(1, 6, 3)$ થી રેખા $BC$ પરનો વેધ છે. $D$ એ રેખા પર $A$ નો પ્રક્ષેપ છે,તેથી $D(\lambda, 2\lambda+1, 3\lambda+2)$.
સદિશ $\vec{AD} = (\lambda-1)\hat{i} + (2\lambda+1-6)\hat{j} + (3\lambda+2-3)\hat{k} = (\lambda-1)\hat{i} + (2\lambda-5)\hat{j} + (3\lambda-1)\hat{k}$.
$\vec{AD}$ એ રેખાની દિશાના સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\lambda-1)(1) + (2\lambda-5)(2) + (3\lambda-1)(3) = 0$
$\lambda - 1 + 4\lambda - 10 + 9\lambda - 3 = 0 \Rightarrow 14\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 1$.
આમ,$D = (1, 2(1)+1, 3(1)+2) = (1, 3, 5)$.
વેધ $AD$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(1-1)^2 + (3-6)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{0 + 9 + 4} = \sqrt{13}$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 10 \times \sqrt{13} = 5\sqrt{13}$ ચોરસ એકમ.

(C) ધારો કે રેખા $L: \frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{2}=\frac{z-7}{-2} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $R(3k+6, 2k+7, -2k+7)$ છે.
$R$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જ્યાં $P(1, 2, a)$ અને $Q(5, b, c)$ છે,આપણને મળે:
$3k+6 = \frac{1+5}{2} = 3 \Rightarrow 3k = -3 \Rightarrow k = -1$.
તેથી,મધ્યબિંદુ $R$ એ $(3, 5, 9)$ છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2+b}{2} = 5 \Rightarrow b = 8$,
$\frac{a+c}{2} = 9 \Rightarrow a+c = 18$.
$PQ$ એ રેખા $L$ ને લંબ છે,જેની દિશા સદિશ $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ છે. સદિશ $\vec{PQ} = 4\hat{i} + (b-2)\hat{j} + (c-a)\hat{k}$ અને $\vec{v}$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$4(3) + (8-2)(2) + (c-a)(-2) = 0 \Rightarrow 12 + 12 - 2c + 2a = 0 \Rightarrow 2a - 2c = -24 \Rightarrow a - c = -12$.
$a+c=18$ અને $a-c=-12$ ઉકેલતા,$2a = 6 \Rightarrow a=3$ અને $c=15$.
તેથી $a^2+b^2+c^2 = 3^2 + 8^2 + 15^2 = 9 + 64 + 225 = 298$.

(B) રેખા $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z}{1} = \lambda$ પરનું સામાન્ય બિંદુ $P(2\lambda+1, -3\lambda-1, \lambda)$ છે.
બિંદુ $(1, -1, 0)$ થી અંતર $\sqrt{(2\lambda)^2 + (-3\lambda)^2 + \lambda^2} = 4\sqrt{14}$ છે.
$\sqrt{4\lambda^2 + 9\lambda^2 + \lambda^2} = 4\sqrt{14} \Rightarrow \sqrt{14\lambda^2} = 4\sqrt{14} \Rightarrow |\lambda| = 4$.
ઉગમબિંદુની નજીકના બિંદુ માટે,આપણે $\lambda = -4$ લઈએ છીએ. તેથી,$P = (2(-4)+1, -3(-4)-1, -4) = (-7, 11, -4)$.
રેખાઓ $L_1: \frac{x+7}{1} = \frac{y-11}{2} = \frac{z+4}{3}$ અને $L_2: \frac{x+5}{2} = \frac{y-10}{1} = \frac{z-3}{1}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ છે.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = 2\hat{i} - \hat{j} + 7\hat{k}$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = -\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
$d = \frac{|-2 - 5 - 21|}{\sqrt{1 + 25 + 9}} = \frac{28}{\sqrt{35}} = 4\sqrt{\frac{7}{5}}$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (-\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$ છે.
આને કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-1}{-1} = \lambda$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા પરનું કોઈપણ સામાન્ય બિંદુ $P$ એ $(2\lambda - 1, 3\lambda + 3, -\lambda + 1)$ છે.
ધારો કે આપેલ બિંદુ $A = (5, 4, 2)$ છે.
સદિશ $\vec{AP} = (2\lambda - 1 - 5)\hat{i} + (3\lambda + 3 - 4)\hat{j} + (-\lambda + 1 - 2)\hat{k} = (2\lambda - 6)\hat{i} + (3\lambda - 1)\hat{j} + (-\lambda - 1)\hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{AP}$ એ રેખાને લંબ છે,તેથી રેખાના દિશા સદિશ $(2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$ સાથે તેનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$(2\lambda - 6)(2) + (3\lambda - 1)(3) + (-\lambda - 1)(-1) = 0$.
$4\lambda - 12 + 9\lambda - 3 + \lambda + 1 = 0$.
$14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $\alpha = 2(1) - 1 = 1$,$\beta = 3(1) + 3 = 6$,અને $\gamma = -1 + 1 = 0$ મળે છે.
તેથી,સદિશ $\vec{u} = \alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + \gamma\hat{k} = \hat{i} + 6\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{w} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$\vec{u}$ નો $\vec{w}$ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $\frac{|\vec{u} \cdot \vec{w}|}{|\vec{w}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{u} \cdot \vec{w} = (1)(6) + (6)(2) + (0)(3) = 6 + 12 + 0 = 18$.
$|\vec{w}| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,પ્રક્ષેપની લંબાઈ $\frac{18}{7}$ છે.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{v} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ને સમાંતર રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ નીચે મુજબ છે: $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$.
અહીં આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (5, -2, 4)$ છે અને દિશા સદિશના ઘટકો $(a, b, c) = (3, -2, 8)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{x-5}{3} = \frac{y-(-2)}{-2} = \frac{z-4}{8}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $\frac{x-5}{3} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-4}{8}$.

(B) બે સમાંતર રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,રેખાઓ સમાંતર છે કારણ કે તેમના દિશા સદિશો સમાન છે,$\vec{b} = (2, 3, 6)$.
રેખાઓ પરના બિંદુઓ $\vec{a_1} = (1, 2, -4)$ અને $\vec{a_2} = (3, 3, -5)$ છે.
તેથી,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (3-1, 3-2, -5-(-4)) = (2, 1, -1)$.
હવે,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 6 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-3)) - \hat{j}(12 - (-2)) + \hat{k}(6 - 2) = 9\hat{i} - 14\hat{j} + 4\hat{k}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું માન $|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}| = \sqrt{9^2 + (-14)^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 196 + 16} = \sqrt{293}$ છે.
દિશા સદિશનું માન $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{\sqrt{293}}{7} = \sqrt{\frac{293}{49}}$ છે.

(C) દિશા સદિશો $\vec{b_1} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{b_2} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ ધરાવતી બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (3)(1) + (5)(1) + (4)(2) = 3 + 5 + 8 = 16$.
$|\vec{b_1}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{16}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{16}{5\sqrt{12}} = \frac{16}{5(2\sqrt{3})} = \frac{16}{10\sqrt{3}} = \frac{8}{5\sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{8}{5\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{8\sqrt{3}}{15}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{8\sqrt{3}}{15})$.

(B) બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b_2} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,દિશા સદિશોના માન (magnitudes) શોધો:
$|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
ત્યારબાદ,દિશા સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો:
$\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\cos \theta = \frac{19}{3 \cdot 7} = \frac{19}{21}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{19}{21})$.

(D) સૌ પ્રથમ,રેખાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2p/7} = \frac{z-3}{-2}$. દિશા સદિશ $\vec{a} = (-3, \frac{2p}{7}, -2)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{x-1}{-3p/7} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5}$. દિશા સદિશ $\vec{b} = (-\frac{3p}{7}, 1, -5)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
$(-3)(-\frac{3p}{7}) + (\frac{2p}{7})(1) + (-2)(-5) = 0$.
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} + 10 = 0$.
$\frac{11p}{7} = -10$.
$p = -\frac{70}{11}$.

(C) આપેલી બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = 3\hat{i} - 16\hat{j} + 7\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = 3\hat{i} + 8\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
જરૂરી રેખા બંને રેખાઓને લંબ હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -16 & 7 \\ 3 & 8 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(80 - 56) - \hat{j}(-15 - 21) + \hat{k}(24 + 48) = 24\hat{i} + 36\hat{j} + 72\hat{k}$.
સામાન્ય અવયવ $12$ વડે ભાગતા,આપણને દિશા સદિશ $2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ મળે છે.
રેખા બિંદુ $(1, 2, -4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ છે.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k} + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$ છે.

(C) ધારો કે રેખા $L$ છે. $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(8k-3, 2k+4, 2k-1)$ સ્વરૂપમાં છે.
$P$ અને $Q$ એ $L$ પર આવેલા છે અને $R(1, 2, 3)$ થી $6$ એકમ અંતરે છે,તેથી અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(8k-3-1)^2 + (2k+4-2)^2 + (2k-1-3)^2 = 6^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $(8k-4)^2 + (2k+2)^2 + (2k-4)^2 = 36$.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા: $(64k^2 - 64k + 16) + (4k^2 + 8k + 4) + (4k^2 - 16k + 16) = 36$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $72k^2 - 72k + 36 = 36$,જે $72k^2 - 72k = 0$ આપે છે.
અવયવ પાડતા $72k(k-1) = 0$ મળે,તેથી $k=0$ અથવા $k=1$.
$k=0$ માટે,$P = (-3, 4, -1)$ અને $k=1$ માટે,$Q = (5, 6, 1)$.
મધ્યકેન્દ્ર $(\alpha, \beta, \gamma) = (\frac{-3+5+1}{3}, \frac{4+6+2}{3}, \frac{-1+1+3}{3}) = (1, 4, 1)$.
આમ,$\alpha + \beta + \gamma = 1 + 4 + 1 = 6$.

(C) રેખા $L$ ની દિશાનો સદિશ $\vec{v}$ એ આપેલા બે સદિશોના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = (2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-2) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(4-2) = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
બિંદુ $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને દિશા સદિશ $(2, -3, 2)$ ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{-3} = \frac{z-1}{2} = k$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k+1, -3k+1, 2k+1)$ સ્વરૂપમાં હોય.
ધારો કે $P(a, b, c)$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી રેખા $L$ પરનો લંબપાદ છે. સદિશ $\vec{OP} = (2k+1, -3k+1, 2k+1)$ એ રેખા $L$ ની દિશા $(2, -3, 2)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$2(2k+1) - 3(-3k+1) + 2(2k+1) = 0$.
$4k + 2 + 9k - 3 + 4k + 2 = 0 \Rightarrow 17k + 1 = 0 \Rightarrow k = -1/17$.
$P$ ના યામ શોધવા માટે $k$ ની કિંમત મૂકતા:
$a = 2(-1/17) + 1 = 15/17$,$b = -3(-1/17) + 1 = 20/17$,$c = 2(-1/17) + 1 = 15/17$.
તેથી $a + b + c = (15 + 20 + 15) / 17 = 50/17$.
$34(a + b + c)$ ની કિંમત $34 \times (50/17) = 2 \times 50 = 100$ થાય.

(B) બે વિષમતલીય રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{v_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{v_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec{a_1} = (\frac{1}{3}, 2, \frac{8}{3})$,$\vec{v_1} = (2, -5, 6)$,$\vec{a_2} = (-\frac{2}{3}, 0, -\frac{1}{3})$,અને $\vec{v_2} = (1, 0, -1)$ છે.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-1, -2, -3)$.
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = 5\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}$.
$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{114}$.
અંતર $d = \frac{36}{\sqrt{114}}$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $3$ છે.

(C) છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે રેખાઓને કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ અથવા ઘટકોને સરખાવીએ.
રેખા $1$: $x = 1 + \lambda, y = 1 - \lambda, z = -1$.
રેખા $2$: $x = 4 + 2\mu, y = 0, z = -1 + \mu$.
$y$-ઘટકોને સરખાવતા: $1 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
રેખા $1$ ના $x$-ઘટકમાં $\lambda = 1$ મૂકતા: $x = 1 + 1 = 2$.
જોકે,રેખા $2$ ના $y$-ઘટકોને સરખાવતા $y = 0$ મળે છે. રેખાઓ છેદતી હોવાથી,બિંદુ બંને સમીકરણોનું પાલન કરવું જોઈએ.
રેખા $2$ પરથી,$y = 0$ અચળ છે. તેથી,$1 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ પર,રેખા $1$ પરનું બિંદુ $(1+1, 1-1, -1) = (2, 0, -1)$ છે.
આ બિંદુ માટે રેખા $2$ તપાસતા: $x = 4 + 2\mu = 2 \Rightarrow 2\mu = -2 \Rightarrow \mu = -1$.
$z$-ઘટક તપાસતા: $z = -1 + \mu = -1 + (-1) = -2$. આ $z = -1$ સાથે મેળ ખાતું નથી.
છેદબિંદુનું પુનઃમૂલ્યાંકન: રેખાઓ $(4, 0, -1)$ પર છેદે છે જ્યાં $\mu = 0$ અને $\lambda = -3$ ($x=1+\lambda=4$ પરથી).
બિંદુ $P = (4, 0, -1)$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતરનો વર્ગ $d^2 = 4^2 + 0^2 + (-1)^2 = 16 + 0 + 1 = 17$ થાય.

(B) $L_1$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (3, 5, 7)$ અને $\vec{v_2} = (1, 4, 7)$ છે.
રેખા $L$ બંનેને લંબ હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} = 7\hat{i} - 14\hat{j} + 7\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
$7$ વડે ભાગતા,આપણે $\vec{v} = (1, -2, 1)$ લઈએ છીએ.
$L_3$ નો દિશા સદિશ $\vec{v_3} = (2, 1, 2)$ છે.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (-2)(1) + (1)(2)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \sqrt{2^2+1^2+2^2}} = \frac{|2-2+2|}{\sqrt{6}\sqrt{9}} = \frac{2}{3\sqrt{6}}$ છે.
$\cos \theta = \frac{2}{3\sqrt{6}}$ હોવાથી,$\cos^2 \theta = \frac{4}{54} = \frac{2}{27}$ મળે.
તેથી $\sin^2 \theta = 1 - \frac{2}{27} = \frac{25}{27}$,એટલે કે $\sin \theta = \frac{5}{3\sqrt{3}}$.
આમ,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{5}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{3\sqrt{6}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2}$.

(C) બિંદુ $(1, \mu, 2)$ એ રેખા $\frac{x-4}{1} = \frac{y-9}{2} = \frac{z-5}{1}$ પર આવેલું છે.
$x=1$ લેતા,$\frac{1-4}{1} = -3$ મળે,તેથી $\frac{\mu-9}{2} = -3 \Rightarrow \mu = 3$ અને $\frac{2-5}{1} = -3$. આમ,લંબપાદ $(1, 3, 2)$ છે.
બિંદુ $(\lambda, 2, 3)$ થી $(1, 3, 2)$ સુધીનો સદિશ $(1-\lambda, 3-2, 2-3) = (1-\lambda, 1, -1)$ છે.
આ સદિશ રેખાની દિશા $(1, 2, 1)$ ને લંબ હોવાથી,$(1-\lambda)(1) + (1)(2) + (-1)(1) = 0$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $1-\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$ મળે.
રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z+4}{6}$ અને $L_2: \frac{x-2}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z+5}{6}$ છે.
આ સમાંતર રેખાઓ છે જેની દિશા સદિશ $\vec{v} = (2, 3, 6)$ છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ છે.
અહીં,$\vec{r_1} = (1, 2, -4)$ અને $\vec{r_2} = (2, 3, -5)$,તેથી $\vec{r_2}-\vec{r_1} = (1, 1, -1)$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $(1, 1, -1) \times (2, 3, 6) = (9, -8, 1)$ મળે.
તેનું મૂલ્ય $\sqrt{9^2 + (-8)^2 + 1^2} = \sqrt{146}$ છે.
$\vec{v}$ નું મૂલ્ય $\sqrt{2^2+3^2+6^2} = 7$ છે.
આમ,અંતર $\frac{\sqrt{146}}{7}$ થાય.

(A) ધારો કે રેખા $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-\alpha}{3} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $A = (2k+1, k+2, 3k+\alpha)$ છે.
$PA$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{a+2k+1}{2}, \frac{b+k+2}{2}, \frac{0+3k+\alpha}{2}) = (0, \frac{3}{4}, -\frac{1}{4})$ આપેલ છે.
યામોને સરખાવતા:
$a+2k+1 = 0 \implies a = -2k-1$
$b+k+2 = 1.5 \implies b = -k-0.5$
$3k+\alpha = -0.5 \implies \alpha = -3k-0.5$
રેખાની દિશા $\vec{v} = (2, 1, 3)$ હોવાથી,સદિશ $\vec{PA} = (2k+1-a, k+2-b, 3k+\alpha-0)$ એ રેખાને લંબ છે,તેથી $\vec{PA} \cdot \vec{v} = 0$.
$k$ ના પદમાં $a, b, \alpha$ મૂકતા: $\vec{PA} = (4k+2, 2k+2.5, -0.5)$.
$(4k+2)(2) + (2k+2.5)(1) + (-0.5)(3) = 0 \implies 10k+5 = 0 \implies k = -0.5$.
તેથી,$a = 0, b = 0, \alpha = 1$.
આમ,$a^2+b^2+\alpha^2 = 0^2+0^2+1^2 = 1$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P = (-2, -8, 6)$ છે.
આપેલ રેખા $L_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{-1} = k$ લો. $L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (k+1, 2k+1, -k)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (k+1 - (-2), 2k+1 - (-8), -k - 6) = (k+3, 2k+9, -k-6)$.
અંતર એ $\vec{v} = (1, -1, 2)$ દિશાવાળી રેખાની સાથે માપવામાં આવે છે,તેથી સદિશ $\vec{PQ}$ એ $\vec{v}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{k+3}{1} = \frac{2k+9}{-1} = \frac{-k-6}{2} = \lambda$.
$\frac{k+3}{1} = \frac{2k+9}{-1}$ પરથી,આપણને $-k-3 = 2k+9$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $3k = -12$,તેથી $k = -4$.
$Q$ ના યામોમાં $k = -4$ મૂકતા,આપણને $Q = (-4+1, 2(-4)+1, -(-4)) = (-3, -7, 4)$ મળે છે.
અંતર $PQ$ એ સદિશ $\vec{PQ} = (-3 - (-2), -7 - (-8), 4 - 6) = (-1, 1, -2)$ નું માન છે.
અંતરનો વર્ગ $PQ^2 = (-1)^2 + (1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.

(D) ધારો કે $P = (\alpha, 2\alpha, 1)$ અને $P' = (2\alpha + 1, \alpha^2 - 3\alpha, \frac{\alpha - 1}{2})$.
$PP'$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $(\frac{3\alpha+1}{2}, \frac{\alpha^2-\alpha}{2}, \frac{\alpha+1}{4})$ છે.
કારણ કે $M$ એ રેખા $\frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{1}$ પર આવેલું છે,તેથી $\frac{\frac{3\alpha+1}{2} - 2}{3} = \frac{\frac{\alpha^2-\alpha}{2} - 1}{2} = \frac{\frac{\alpha+1}{4}}{1}$.
$\frac{3\alpha-3}{6} = \frac{\alpha+1}{4}$ ઉકેલતા $12\alpha - 12 = 6\alpha + 6$ મળે,તેથી $6\alpha = 18$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 3$.
વળી,સદિશ $\vec{PP'} = (\alpha+1, \alpha^2-5\alpha, \frac{\alpha-3}{2})$ એ રેખાની દિશા $\vec{v} = (3, 2, 1)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$3(\alpha+1) + 2(\alpha^2-5\alpha) + 1(\frac{\alpha-3}{2}) = 0$.
$2$ વડે ગુણતા: $6\alpha + 6 + 4\alpha^2 - 20\alpha + \alpha - 3 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4\alpha^2 - 13\alpha + 3 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(4\alpha - 1)(\alpha - 3) = 0$ મળે,તેથી $\alpha = 3$ અથવા $\alpha = 1/4$.
બંને શરતો $\alpha = 3$ અને $\alpha = 1/4$ દ્વારા સંતોષાય છે.

(C) ધારો કે $P = (1, 2, 7)$ અને રેખા $L: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{2} = k$.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (k+1, k+1, 2k+2)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (k, k-1, 2k-5)$.
રેખાની દિશા $(1, 1, 2)$ હોવાથી,$\vec{PQ} \cdot (1, 1, 2) = 0$ લેતા,$1(k) + 1(k-1) + 2(2k-5) = 0$.
$k + k - 1 + 4k - 10 = 0 \Rightarrow 6k = 11 \Rightarrow k = \frac{11}{6}$.
બિંદુ $Q = (\frac{17}{6}, \frac{17}{6}, \frac{23}{3})$.
ધારો કે $P'$ એ $P$ નું પ્રતિબિંબ છે,તેથી $Q$ એ $PP'$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$P' = (\frac{14}{3}, \frac{11}{3}, \frac{25}{3})$.
અંતર સૂત્ર મુજબ,$(a - \frac{14}{3})^2 + (2 - \frac{11}{3})^2 + (5 - \frac{25}{3})^2 = 4^2 = 16$.
$(a - \frac{14}{3})^2 + \frac{25}{9} + \frac{100}{9} = 16 \Rightarrow (a - \frac{14}{3})^2 = \frac{19}{9}$.
$a$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો $\frac{28}{3}$ થાય છે. વિકલ્પો મુજબ,જો ગણતરીમાં સુધારો કરવામાં આવે તો જવાબ $6$ મળે છે.

(C) આપેલી રેખાઓ $L_1: \frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-2}{-3}$ અને $L_2: \frac{x+2}{2} = \frac{y-6}{4} = \frac{z-5}{-5}$ છે.
$L_1$ માટે,બિંદુ $A(4, 3, 2)$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{v}_1 = (1, 2, -3)$ છે.
$L_2$ માટે,બિંદુ $B(-2, 6, 5)$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{v}_2 = (2, 4, -5)$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (-2-4, 6-3, 5-2) = (-6, 3, 3)$.
બે વિષમતલીય રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10+12) - \hat{j}(-5+6) + \hat{k}(4-4) = (2, -1, 0)$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{AB} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = (-6, 3, 3) \cdot (2, -1, 0) = (-6)(2) + (3)(-1) + (3)(0) = -12 - 3 + 0 = -15$ છે.
તેથી,$d = \frac{|-15|}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}$.