Line Questions in Gujarati

(B) બે રેખાઓ જેના દિક-ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તે પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
આપેલ રેખાઓ $\frac{x-5}{7}=\frac{y-5}{k}=\frac{z-2}{1}$ અને $\frac{x}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{3}$ છે.
પ્રથમ રેખાના દિક-ગુણોત્તર $(7, k, 1)$ છે અને બીજી રેખાના દિક-ગુણોત્તર $(1, 2, 3)$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવાથી:
$(7)(1) + (k)(2) + (1)(3) = 0$
$7 + 2k + 3 = 0$
$10 + 2k = 0$
$2k = -10$
$k = -5$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(2, -3, 1)$ અને $(3, -4, -5)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x-2}{3-2} = \frac{y-(-3)}{-4-(-3)} = \frac{z-1}{-5-1}$
$\frac{x-2}{1} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-1}{-6} = k$ (ધારો).
બિંદુ $(0, a, b)$ રેખા પર હોવાથી,$x = 0$ લેતા:
$\frac{0-2}{1} = k \implies k = -2$.
હવે,$k = -2$ નો ઉપયોગ કરીને $a$ અને $b$ શોધો:
$\frac{a+3}{-1} = -2 \implies a+3 = 2 \implies a = -1$.
$\frac{b-1}{-6} = -2 \implies b-1 = 12 \implies b = 13$.
તેથી,$a+b = -1 + 13 = 12$.

(C) પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
રેખા $1$: $\frac{x-2}{2} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z-1}{2}$. દિશા સદિશ $\vec{v_1} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
રેખા $2$: $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-3}{-3}$. દિશા સદિશ $\vec{v_2} = 2\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (2)(2) + (-3)(1) + (2)(-3) = 4 - 3 - 6 = -5$.
$|\vec{v_1}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$.
$|\vec{v_2}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$.
$\cos \theta = \frac{|-5|}{\sqrt{17} \sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{238}}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{238} = \frac{213}{238}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આમ,$\sin \theta = \sqrt{\frac{213}{238}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{213}{238}}\right)$.

(A) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2k}=\frac{z-3}{2}$ અને $\frac{x-1}{3k}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{-5}$ છે.
પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_1} = -3\hat{i} + 2k\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_2} = 3k\hat{i} + 1\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = 0$.
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$.
$-9k + 2k - 10 = 0$.
$-7k - 10 = 0$.
$-7k = 10$.
$k = -\frac{10}{7}$.
આમ,$k$ ની કિંમત $-\frac{10}{7}$ છે.

(B) ધારો કે માંગેલ રેખા બિંદુ $P(0,1,2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{a} = \frac{y-1}{b} = \frac{z-2}{c}$ છે.
આપેલ રેખા $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{-2}$ છે,જેના દિકગુણોત્તર $(2, 3, -2)$ છે.
બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2a + 3b - 2c = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $C$ માટે: દિકગુણોત્તર $(3, 4, 3)$ છે.
$2(3) + 3(4) - 2(3) = 6 + 12 - 6 = 12 \neq 0$.
વિકલ્પ $B$ માટે: દિકગુણોત્તર $(-3, 4, 3)$ છે.
$2(-3) + 3(4) - 2(3) = -6 + 12 - 6 = 0$.
આમ,રેખા $\frac{x}{-3} = \frac{y-1}{4} = \frac{z-2}{3}$ એ આપેલ રેખાને લંબ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(3, -1, 11)$ માંથી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $L$ છે.
રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4} = t$ પર $L$ આવેલું હોવાથી,$L$ ના યામ $(2t, 3t+2, 4t+3)$ થાય.
રેખા $PL$ ના દિકગુણોત્તર $(2t-3, 3t+2-(-1), 4t+3-11)$ એટલે કે $(2t-3, 3t+3, 4t-8)$ છે.
$PL$ એ રેખા $(2, 3, 4)$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2t-3) + 3(3t+3) + 4(4t-8) = 0$.
$4t - 6 + 9t + 9 + 16t - 32 = 0$.
$29t - 29 = 0 \implies t = 1$.
$t=1$ મુકતા,$L$ ના યામ $(2, 5, 7)$ મળે.
લંબ $PL$ ની લંબાઈ એ $P(3, -1, 11)$ અને $L(2, 5, 7)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$PL = \sqrt{(2-3)^2 + (5-(-1))^2 + (7-11)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 36 + 16} = \sqrt{53}$.

(D) પ્રથમ રેખાના દિશા ગુણોત્તર $\vec{b_1} = \langle 3, 5, 4 \rangle$ છે.
બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $\vec{b_2} = \langle 1, 4, 2 \rangle$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિશા ગુણોત્તર $\langle a_1, b_1, c_1 \rangle$ અને $\langle a_2, b_2, c_2 \rangle$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \left| \frac{(3)(1) + (5)(4) + (4)(2)}{\sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{3 + 20 + 8}{\sqrt{9 + 25 + 16} \sqrt{1 + 16 + 4}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{31}{\sqrt{50} \sqrt{21}} \right| = \frac{31}{5 \sqrt{2} \sqrt{21}} = \frac{31}{5 \sqrt{42}}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{31}{5 \sqrt{42}} \right)$.
આ કિંમત આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ બિંદુઓ $A(-3, 4, 11)$ અને $B(1, -2, 7)$ છે.
રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (1 - (-3), -2 - 4, 7 - 11) = (4, -6, -4)$ છે.
તેને $-2$ વડે ભાગતા,આપણને સાદું રૂપ $(-2, 3, 2)$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે.
બિંદુ $(-3, 4, 11)$ અને દિકગુણોત્તર $(-2, 3, 2)$ મૂકતા,આપણને $\frac{x - (-3)}{-2} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z - 11}{2}$ મળે છે.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x + 3}{-2} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z - 11}{2}$ છે.

(A) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{2} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $A = (2\lambda + 1, \lambda + 2, 2\lambda + 3)$ છે.
સદિશ $\vec{PA} = (2\lambda + 1 - 1)\hat{i} + (\lambda + 2 - 2)\hat{j} + (2\lambda + 3 - 1)\hat{k} = 2\lambda\hat{i} + \lambda\hat{j} + (2\lambda + 2)\hat{k}$.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
$\vec{PA}$ એ રેખાને લંબ હોવાથી,$\vec{PA} \cdot \vec{v} = 0$.
$(2\lambda)(2) + (\lambda)(1) + (2\lambda + 2)(2) = 0$.
$4\lambda + \lambda + 4\lambda + 4 = 0 \implies 9\lambda = -4 \implies \lambda = -\frac{4}{9}$.
$\lambda = -\frac{4}{9}$ ને $A$ માં મૂકતા,$A = (2(-\frac{4}{9}) + 1, -\frac{4}{9} + 2, 2(-\frac{4}{9}) + 3) = (\frac{1}{9}, \frac{14}{9}, \frac{19}{9})$.
અંતર $PA = \sqrt{(\frac{1}{9} - 1)^2 + (\frac{14}{9} - 2)^2 + (\frac{19}{9} - 1)^2} = \sqrt{(-\frac{8}{9})^2 + (-\frac{4}{9})^2 + (\frac{10}{9})^2}$.
$PA = \sqrt{\frac{64 + 16 + 100}{81}} = \sqrt{\frac{180}{81}} = \sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$.

(A) ધારો કે આપેલી રેખા $ \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} = \lambda $ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $ R $ એ $ R(\lambda, 1+2\lambda, 2+3\lambda) $ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ધારો કે $ P $ એ બિંદુ $ (1,6,3) $ છે. સદિશ $ \vec{PR} $ એ $ (\lambda-1, 2\lambda-5, 3\lambda-1) $ છે.
કારણ કે $ PR $ એ $ (1,2,3) $ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે:
$ 1(\lambda-1) + 2(2\lambda-5) + 3(3\lambda-1) = 0 $
$ \lambda - 1 + 4\lambda - 10 + 9\lambda - 3 = 0 $
$ 14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1 $.
$ R $ માં $ \lambda = 1 $ મૂકતા,આપણને $ R(1, 3, 5) $ મળે છે.
$ R $ એ $ PQ $ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જ્યાં $ Q(x_1, y_1, z_1) $ એ $ P $ નું પ્રતિબિંબ છે,
$ \frac{x_1+1}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = 1 $
$ \frac{y_1+6}{2} = 3 \Rightarrow y_1 = 0 $
$ \frac{z_1+3}{2} = 5 \Rightarrow z_1 = 7 $.
આમ,પ્રતિબિંબ $ Q $ એ $ (1,0,7) $ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $2x = 3y = -z$ અને $6x = -y = -4z$ છે.
પ્રથમ,આપણે સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખીએ.
પ્રથમ રેખા $2x = 3y = -z$ માટે,$6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-6}$ મળે છે. તેથી,દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (3, 2, -6)$ છે.
બીજી રેખા $6x = -y = -4z$ માટે,$12$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{2} = \frac{y}{-12} = \frac{z}{-3}$ મળે છે. તેથી,દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (2, -12, -3)$ છે.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય જો તેમના દિશા સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(3)(2) + (2)(-12) + (-6)(-3) = 6 - 24 + 18 = 0$.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ બિંદુ $A(1, 2, -4)$ છે અને રેખા $\frac{x-3}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z+5}{6} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2\lambda+3, 3\lambda+3, 6\lambda-5)$ છે.
રેખા $AP$ ના દિકગુણોત્તર $(2\lambda+3-1, 3\lambda+3-2, 6\lambda-5-(-4))$ એટલે કે $(2\lambda+2, 3\lambda+1, 6\lambda-1)$ છે.
કારણ કે $AP$ એ આપેલ રેખા (દિકગુણોત્તર $2, 3, 6$) ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2\lambda+2) + 3(3\lambda+1) + 6(6\lambda-1) = 0$
$4\lambda + 4 + 9\lambda + 3 + 36\lambda - 6 = 0$
$49\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{49}$.
અંતર $AP$ નો વર્ગ $AP^2 = (2\lambda+2)^2 + (3\lambda+1)^2 + (6\lambda-1)^2$ છે.
$\lambda = -\frac{1}{49}$ મૂકતા:
$AP^2 = 49\lambda^2 + 2\lambda + 6 = 49(-\frac{1}{49})^2 + 2(-\frac{1}{49}) + 6$
$AP^2 = \frac{1}{49} - \frac{2}{49} + 6 = 6 - \frac{1}{49} = \frac{294-1}{49} = \frac{293}{49}$.
તેથી,$AP = \sqrt{\frac{293}{49}} = \frac{\sqrt{293}}{7}$.

(B) આપેલ રેખા: $\frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6} = \lambda$ $(1)$
બિંદુ $P(-2, 4, -5)$.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(3\lambda - 3, 5\lambda + 4, 6\lambda - 8)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિક્-ગુણોત્તર $(3\lambda - 3 - (-2), 5\lambda + 4 - 4, 6\lambda - 8 - (-5)) = (3\lambda - 1, 5\lambda, 6\lambda - 3)$ છે.
કારણ કે $PQ$ એ આપેલ રેખા (જેના દિક્-ગુણોત્તર $(3, 5, 6)$ છે) ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda - 1) + 5(5\lambda) + 6(6\lambda - 3) = 0$
$9\lambda - 3 + 25\lambda + 36\lambda - 18 = 0$
$70\lambda - 21 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{21}{70} = \frac{3}{10}$.
$\lambda = \frac{3}{10}$ ને $Q$ માં મૂકતા,$Q\left(-\frac{21}{10}, \frac{55}{10}, -\frac{62}{10}\right)$ મળે.
અંતર $PQ = \sqrt{(-\frac{21}{10} + 2)^2 + (\frac{55}{10} - 4)^2 + (-\frac{62}{10} + 5)^2}$
$PQ = \sqrt{(-\frac{1}{10})^2 + (\frac{15}{10})^2 + (-\frac{12}{10})^2} = \sqrt{\frac{1 + 225 + 144}{100}} = \sqrt{\frac{370}{100}} = \sqrt{\frac{37}{10}}$.

(C) બિંદુઓ $(k, 3, 4)$ અને $(4, 7, 8)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(4-k, 4, 4)$ છે.
બિંદુઓ $(-1, -2, 1)$ અને $(1, 2, l)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(2, 4, l-1)$ છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોય:
$\frac{4-k}{2} = \frac{4}{4} = \frac{4}{l-1}$.
$\frac{4-k}{2} = 1$ પરથી,$4-k = 2$,તેથી $k = 2$.
$1 = \frac{4}{l-1}$ પરથી,$l-1 = 4$,તેથી $l = 5$.
તેથી,$k + l = 2 + 5 = 7$.

(C) ધારો કે રેખા $A(0, 2, 4)$ અને $B(3, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $AB$ ના દિશા ગુણોત્તર $(3-0, 0-2, 1-4) = (3, -2, -3)$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x-0}{3} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-4}{-3} = k$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $C$ એ $(3k, -2k+2, -3k+4)$ છે.
$PC$ એ $AB$ ને લંબ હોવાથી,$PC$ ના દિશા ગુણોત્તર $(3k+1, -2k+1, -3k+4)$ છે.
$PC$ અને $AB$ ના દિશા ગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3k+1) + (-2)(-2k+1) + (-3)(-3k+4) = 0$
$9k + 3 + 4k - 2 + 9k - 12 = 0$
$22k - 11 = 0 \Rightarrow k = \frac{1}{2}$.
$C$ ના યામ $(\frac{3}{2}, 1, \frac{5}{2})$ છે.
લંબ અંતર $PC = \sqrt{(\frac{3}{2} - (-1))^2 + (1-1)^2 + (\frac{5}{2} - 0)^2} = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + 0^2 + (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{50}{4}} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.

(A) બિંદુઓ $B(4, 7, 1)$ અને $C(3, 5, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-4}{-1} = \frac{y-7}{-2} = \frac{z-1}{2} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈ પણ બિંદુ $P(-\lambda+4, -2\lambda+7, 2\lambda+1)$ છે.
$AP$ રેખાને લંબ હોવાથી,$\vec{AP} \cdot \vec{v} = 0$ થાય,જ્યાં $\vec{v} = (-1, -2, 2)$.
ગણતરી કરતા $\lambda = \frac{7}{3}$ મળે છે.
તેથી $P$ ના યામ $\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3}\right)$ મળે છે.

(A) રેખા $AB$ નું સમીકરણ: $\frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{-2} = \lambda$.
રેખા $CD$ નું સમીકરણ: $\frac{x-2}{-2} = \frac{y+5}{8} = \frac{z-3}{-1} = \mu$.
બંને રેખાઓના છેદબિંદુ માટે $\lambda = -0.2$ અને $\mu = 0.6$ મળે છે.
તેથી છેદબિંદુ $P = (0.8, -0.2, 2.4)$ છે.
$a+b+c = 0.8 - 0.2 + 2.4 = 3$.

(D) આપેલ છે કે બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ છે.
રેખા સદિશ $\vec{v} = 2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}} = \frac{2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}}{3}$ છે.
જેহেতু $P$ રેખા પર છે અને $|AP|=18$ છે,તેથી સદિશ $\vec{AP} = \pm 18 \hat{u} = \pm 18 \left( \frac{2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}}{3} \right) = \pm 6(2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}) = \pm (12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k})$ થાય.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP}$ છે.
કિસ્સો $1$: $\vec{OP} = (\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}) + (12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k}) = 13 \hat{i}+5 \hat{j}-9 \hat{k}$.
કિસ્સો $2$: $\vec{OP} = (\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}) - (12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k}) = -11 \hat{i}-7 \hat{j}+15 \hat{k}$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$13 \hat{i}+5 \hat{j}-9 \hat{k}$ વિકલ્પમાં ઉપલબ્ધ છે.

(C) ધારો કે છેદબિંદુ $P$ છે. રેખા $l_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(1+t, -6+2t, 2+t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખા $l_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2u, 4+u, 1+2u)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છેદબિંદુ માટે,આપણે યામોને સરખાવીએ છીએ:
$1+t = 2u$ $(i)$
$-6+2t = 4+u$ $(ii)$
$2+t = 1+2u$ $(iii)$
$(i)$ પરથી,$t = 2u - 1$. આ કિંમતને $(ii)$ માં મૂકતા:
$-6 + 2(2u - 1) = 4 + u$
$-6 + 4u - 2 = 4 + u$
$3u = 12 \Rightarrow u = 4$.
$u = 4$ ને $t = 2u - 1$ માં મૂકતા,આપણને $t = 2(4) - 1 = 7$ મળે છે.
હવે,$l_1$ માં $t = 7$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુ $P$ શોધો:
$P = (1+7, -6+2(7), 2+7) = (8, 8, 9)$.

(C) $P$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_1: \vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + s(\hat{i} + \hat{j})$ છે.
$Q$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_2: \vec{r} = (-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(\hat{j} - \hat{k})$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ ને છેદતી રેખા $L_3: \vec{r} = \vec{r}_0 + u(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ છે.
$L_3$ એ $L_1$ ને $L$ પર છેદે છે,તેથી $L = (1+s, -1+s, -1) = (x_0+u, y_0-u, z_0+u)$.
$L_3$ એ $L_2$ ને $M$ પર છેદે છે,તેથી $M = (-1, 1+t, 1-t) = (x_0+v, y_0-v, z_0+v)$.
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $M = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$ મળે છે.
તેથી,$\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = (3\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}) - (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $B$ એ રેખાખંડ $AC$ નું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$B = \left( \frac{\lambda(x_1 + kl) + 1(x_1)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(y_1 + km) + 1(y_1)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(z_1 + kn) + 1(z_1)}{\lambda + 1} \right)$.
આને આપેલા $B = (x_1 + 4kl, y_1 + 4km, z_1 + 4kn)$ સાથે સરખાવતા,$x$-યામને સરખાવતા:
$x_1 + 4kl = \frac{\lambda x_1 + \lambda kl + x_1}{\lambda + 1} = \frac{x_1(\lambda + 1) + \lambda kl}{\lambda + 1} = x_1 + \frac{\lambda kl}{\lambda + 1}$.
બંને બાજુથી $x_1$ બાદ કરતા:
$4kl = \frac{\lambda kl}{\lambda + 1}$.
$k > 0$ હોવાથી અને $l \neq 0$ લેતા,$kl$ વડે ભાગતા:
$4 = \frac{\lambda}{\lambda + 1}$.
$4(\lambda + 1) = \lambda \implies 4\lambda + 4 = \lambda \implies 3\lambda = -4 \implies \lambda = -\frac{4}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $-4:3$ અથવા $4:-3$ છે.
તેથી,બિંદુ $B$ એ રેખાખંડ $AC$ નું $4:3$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2,1,5)$,$B(3,2,3)$ અને $C(4,0,4)$ છે.
પ્રથમ,$A$ માંથી $BC$ પરના વેધનું સમીકરણ શોધો. $BC$ ના દિકગુણોત્તર $(4-3, 0-2, 4-3) = (1, -2, 1)$ છે.
ધારો કે $P$ એ $A$ માંથી $BC$ પરના લંબનો લંબપાદ છે. $P$ એ $BC$ પર આવેલું છે,તેથી $P = (3+k, 2-2k, 3+k)$ કોઈ $k$ માટે.
સદિશ $AP = (3+k-2, 2-2k-1, 3+k-5) = (k+1, 1-2k, k-2)$.
$AP \perp BC$ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર $(k+1)(1) + (1-2k)(-2) + (k-2)(1) = 0$ થાય.
$k+1 - 2 + 4k + k - 2 = 0 \Rightarrow 6k - 3 = 0 \Rightarrow k = 1/2$.
આમ,$P = (3.5, 1, 3.5)$. સદિશ $AP = (1.5, 0, -1.5)$,જે $(1, 0, -1)$ ને સમાંતર છે.
વેધ $AP$ નું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-5}{-1}$ છે.
હવે,$B$ માંથી $AC$ પરના વેધનું સમીકરણ શોધો. $AC$ ના દિકગુણોત્તર $(4-2, 0-1, 4-5) = (2, -1, -1)$ છે.
ધારો કે $Q$ એ $B$ માંથી $AC$ પરના લંબનો લંબપાદ છે. $Q$ એ $AC$ પર આવેલું છે,તેથી $Q = (2+2m, 1-m, 5-m)$ કોઈ $m$ માટે.
સદિશ $BQ = (2+2m-3, 1-m-2, 5-m-3) = (2m-1, -m-1, 2-m)$.
$BQ \perp AC$ હોવાથી,$(2m-1)(2) + (-m-1)(-1) + (2-m)(-1) = 0$.
$4m - 2 + m + 1 - 2 + m = 0 \Rightarrow 6m - 3 = 0 \Rightarrow m = 1/2$.
આમ,$Q = (3, 0.5, 4.5)$. સદિશ $BQ = (0, -1.5, 1.5)$,જે $(0, -1, 1)$ ને સમાંતર છે.
વેધ $BQ$ નું સમીકરણ $\frac{x-3}{0} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1}$ છે.
બંને વેધના સમીકરણો ઉકેલતા: $AP$ પરથી $y=1$,અને $BQ$ પરથી $\frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{1} \Rightarrow 1-2 = -(z-3) \Rightarrow -1 = -z+3 \Rightarrow z=4$. $BQ$ પરથી $x=3$ મળે છે,તેથી લંબકેન્દ્ર $(3,1,4)$ છે.

(D) ધારો કે $YZ$-સમતલ બિંદુઓ $A(2, 4, 5)$ અને $B(3, 5, -4)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન કરતા બિંદુના યામ $\left( \frac{3k+2}{k+1}, \frac{5k+4}{k+1}, \frac{-4k+5}{k+1} \right)$ મળે છે.
આ બિંદુ $YZ$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{3k+2}{k+1} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $3k + 2 = 0$,અથવા $k = -\frac{2}{3}$.
ગુણોત્તર $k:1$ એ $-\frac{2}{3}:1$ છે,જે $-2:3$ ને સમાન છે. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિભાજન બહિર્વિભાજન છે.
આમ,$YZ$-સમતલ રેખાખંડનું $2:3$ ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે.

(B) ધારો કે $XZ$-સમતલ,$A(-2, 3, 4)$ અને $B(1, 2, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં બિંદુ $P$ આગળ વિભાજન કરે છે.
બિંદુ $P$ એ $XZ$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $0$ થશે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ $P$ ના યામ:
$P = \left( \frac{k(1) + 1(-2)}{k+1}, \frac{k(2) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(3) + 1(4)}{k+1} \right)$.
$y$-યામને $0$ લેતા:
$\frac{2k + 3}{k+1} = 0 \implies 2k + 3 = 0 \implies k = -\frac{3}{2}$.
હવે,$k = -\frac{3}{2}$ ની કિંમત $x$ અને $z$ યામમાં મૂકતા:
$x = \frac{-\frac{3}{2}(1) - 2}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-\frac{7}{2}}{-\frac{1}{2}} = 7$.
$z = \frac{-\frac{3}{2}(3) + 4}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-\frac{9}{2} + 4}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}} = 1$.
આમ,બિંદુના યામ $(7, 0, 1)$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, -2, -3)$ અને $B(2, 0, 0)$ છે. સદિશ $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (0-(-2))\hat{j} + (0-(-3))\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $P(x, y, z)$ એ $A$ અને $B$ સાથે સમરેખ હોય જો સદિશ $\vec{AP}$ એ $\vec{AB}$ નો અદિશ ગુણાંક હોય.
ધારો કે $P = (0, -4, -6)$. તો $\vec{AP} = (0-1)\hat{i} + (-4-(-2))\hat{j} + (-6-(-3))\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ થાય.
અહીં $\vec{AP} = -1(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = -1\vec{AB}$ હોવાથી,સદિશ $\vec{AP}$ એ $\vec{AB}$ નો અદિશ ગુણાંક છે.
તેથી,બિંદુ $(0, -4, -6)$ એ $(1, -2, -3)$ અને $(2, 0, 0)$ સાથે સમરેખ છે.

(C) શિરોબિંદુઓ $A(1,2,3), B(2,3,-1), C(3,-1,-2)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (-1-2)^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{4+9+25} = \sqrt{38}$.
$\angle A$ નો આંતરિક દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને $AB:AC = 3\sqrt{2} : \sqrt{38} = 3 : \sqrt{19}$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
દ્વિભાજકની દિશાના ગુણોત્તર શોધવા માટે,$AB$ અને $AC$ ની દિશામાં એકમ સદિશોનો સરવાળો લેતા,આપણને $(1, 4, 1)$ મળે છે.

(B) આપેલ સંબંધો $l+m-n=0$ અને $lm-2mn+nl=0$ છે.
પ્રથમ સંબંધ પરથી,$n=l+m$.
આ કિંમત બીજા સંબંધમાં મૂકતા: $lm-2m(l+m)+(l+m)l=0$.
$lm-2ml-2m^2+l^2+lm=0$.
$l^2-2m^2=0$,જે આપે છે $l^2=2m^2$,તેથી $l=\pm \sqrt{2}m$.
કિસ્સો $1$: જો $l=\sqrt{2}m$ હોય,તો $n=l+m=(\sqrt{2}+1)m$. દિકગુણોત્તર $(\sqrt{2}m, m, (\sqrt{2}+1)m)$ છે,તેથી સદિશ $\vec{a_1} = \sqrt{2}\hat{i} + \hat{j} + (\sqrt{2}+1)\hat{k}$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $l=-\sqrt{2}m$ હોય,તો $n=l+m=(1-\sqrt{2})m$. દિકગુણોત્તર $(-\sqrt{2}m, m, (1-\sqrt{2})m)$ છે,તેથી સદિશ $\vec{a_2} = -\sqrt{2}\hat{i} + \hat{j} + (1-\sqrt{2})\hat{k}$ છે.
હવે,$\cos \theta = \frac{|\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}|}{|\vec{a_1}| |\vec{a_2}|}$.
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (1)(1) + (\sqrt{2}+1)(1-\sqrt{2}) = -2 + 1 + (1-2) = -2$.
$|\vec{a_1}|^2 = 2 + 1 + (\sqrt{2}+1)^2 = 3 + 2 + 1 + 2\sqrt{2} = 6+2\sqrt{2}$.
$|\vec{a_2}|^2 = 2 + 1 + (1-\sqrt{2})^2 = 3 + 1 + 2 - 2\sqrt{2} = 6-2\sqrt{2}$.
$|\vec{a_1}| |\vec{a_2}| = \sqrt{(6+2\sqrt{2})(6-2\sqrt{2})} = \sqrt{36-8} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.
$\cos \theta = \frac{|-2|}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$.

(B) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $mn-2lm-2nl=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = -(m+n)$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$mn - 2(-(m+n))m - 2(-(m+n))n = 0$
$mn + 2m^2 + 2mn + 2mn + 2n^2 = 0$
$2m^2 + 5mn + 2n^2 = 0$
$(2m+n)(m+2n) = 0$.
કિસ્સો $1$: $n = -2m$. $l+m+n=0$ માં મૂકતા,$l+m-2m=0 \Rightarrow l=m$. તેથી,દિકગુણોત્તર $(1, 1, -2)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $m = -2n$. $l+m+n=0$ માં મૂકતા,$l-2n+n=0 \Rightarrow l=n$. તેથી,દિકગુણોત્તર $(1, -2, 1)$ મળે છે.
ધારો કે દિકગુણોત્તર $\vec{a} = (1, 1, -2)$ અને $\vec{b} = (1, -2, 1)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (1)(-2) + (-2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2} \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) $(x_1, y_1, z_1) = (4, 3, -5)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (-2, 1, -8)$ બિંદુઓને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તરો $(a, b, c)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = 4 - (-2) = 6$
$b = 3 - 1 = 2$
$c = -5 - (-8) = 3$
તેથી,બિંદુ $P(a, 3b, 2c)$ એ $P(6, 3(2), 2(3)) = P(6, 6, 6)$ થશે.
હવે,બિંદુ $P(6, 6, 6)$ ને આપેલા વિકલ્પોમાં ચકાસતા:
વિકલ્પ $B$ માટે: $x+y-2z = 6+6-2(6) = 12-12 = 0$.
આમ,બિંદુ $P$ એ સમતલ $x+y-2z=0$ પર આવેલું છે.

(A) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(-1, 2, -3), B(5, 0, -6), C(0, 4, -1)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(-1-5)^2 + (2-0)^2 + (-3+6)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
$AC = \sqrt{(-1-0)^2 + (2-4)^2 + (-3+1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle BAC$ નો આંતરિક દ્વિભાજક $BC$ ને $AB:AC = 7:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
ધારો કે $D$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે જે તેને $7:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$D = \left( \frac{7(0) + 3(5)}{7+3}, \frac{7(4) + 3(0)}{7+3}, \frac{7(-1) + 3(-6)}{7+3} \right) = \left( \frac{15}{10}, \frac{28}{10}, \frac{-25}{10} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{14}{5}, -\frac{5}{2} \right)$.
સદિશ $\vec{AD} = D - A = \left( \frac{3}{2} - (-1), \frac{14}{5} - 2, -\frac{5}{2} - (-3) \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{4}{5}, \frac{1}{2} \right)$.
દિશાના કોસાઇન શોધવા માટે,$\vec{AD}$ નું નોર્મલાઇઝેશન કરો:
$|\vec{AD}| = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{4}{5})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{16}{25} + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{714}}{10}$.
દિશાના કોસાઇન $\frac{25}{\sqrt{714}}, \frac{8}{\sqrt{714}}, \frac{5}{\sqrt{714}}$ છે.

(A) રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(q-7, -2-p, 5-2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(q-7, -2-p, 3)$ થાય છે.
રેખા $CD$ ના દિકગુણોત્તર $(-6-2, -15-(-3), 11-5)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(-8, -12, 6)$ થાય છે.
રેખાઓ $AB$ અને $CD$ સમાંતર હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{q-7}{-8} = \frac{-2-p}{-12} = \frac{3}{6}$.
ગુણોત્તર $\frac{3}{6}$ નું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{1}{2}$ મળે છે.
$\frac{q-7}{-8} = \frac{1}{2}$ લેતા:
$q-7 = -4 \Rightarrow q = 3$.
$\frac{-2-p}{-12} = \frac{1}{2}$ લેતા:
$-2-p = -6 \Rightarrow p = 4$.
તેથી,$p^2 + q^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $\langle x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \rangle$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A(4,1,2)$ અને $B(0, k, 1)$ રેખા $AB$ માટે,દિકગુણોત્તર $\langle 0-4, k-1, 1-2 \rangle = \langle -4, k-1, -1 \rangle$ છે.
$C(-2,1,1)$ અને $D(4,2,5)$ રેખા $CD$ માટે,દિકગુણોત્તર $\langle 4-(-2), 2-1, 5-1 \rangle = \langle 6, 1, 4 \rangle$ છે.
રેખાઓ $AB$ અને $CD$ એકબીજાને લંબ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ દિકગુણોત્તરના ગુણાકારનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$
$(-4)(6) + (k-1)(1) + (-1)(4) = 0$
$-24 + k - 1 - 4 = 0$
$k - 29 = 0$
$k = 29$.

(A) આપેલ સમીકરણો $3lm - 4ln + mn = 0$ ... $(i)$ અને $l + 2m + 3n = 0$ ... $(ii)$ છે.
$(ii)$ પરથી,$l = -2m - 3n$ મળે.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$3(-2m - 3n)m - 4(-2m - 3n)n + mn = 0$
$-6m^2 - 9mn + 8mn + 12n^2 + mn = 0$
$-6m^2 + 12n^2 = 0 \Rightarrow m^2 = 2n^2 \Rightarrow m = \pm \sqrt{2}n$.
ધારો કે દિકગુણોત્તરો $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ છે.
$m_1 = \sqrt{2}n_1$ માટે,$l_1 = -2(\sqrt{2}n_1) - 3n_1 = -(2\sqrt{2} + 3)n_1$.
$m_2 = -\sqrt{2}n_2$ માટે,$l_2 = -2(-\sqrt{2}n_2) - 3n_2 = (2\sqrt{2} - 3)n_2$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
અંશની ગણતરી: $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = [-(2\sqrt{2} + 3)n_1][(2\sqrt{2} - 3)n_2] + [\sqrt{2}n_1][-\sqrt{2}n_2] + n_1n_2$
$= [-(8 - 9)n_1n_2] - 2n_1n_2 + n_1n_2 = n_1n_2 - 2n_1n_2 + n_1n_2 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) બિંદુઓ $A(2, 3, -1)$ અને $B(3, 5, -3)$ ને જોડતી રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તરો $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (3 - 2, 5 - 3, -3 - (-1)) = (1, 2, -2)$ છે.
બિંદુઓ $C(1, 2, 3)$ અને $D(3, y, 7)$ ને જોડતી રેખા $CD$ ના દિકગુણોત્તરો $(3 - 1, y - 2, 7 - 3) = (2, y - 2, 4)$ છે.
રેખાઓ $AB$ અને $CD$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$
$(1)(2) + (2)(y - 2) + (-2)(4) = 0$
$2 + 2y - 4 - 8 = 0$
$2y - 10 = 0$
$2y = 10$
$y = 5$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) પ્રથમ રેખાના દિશા ગુણોત્તર $a_1 = 2, b_1 = 2, c_1 = 1$ છે.
બિંદુઓ $(3, 1, 4)$ અને $(7, 2, 12)$ ને જોડતી બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(7-3, 2-1, 12-4) = (4, 1, 8)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $a_2 = 4, b_2 = 1, c_2 = 8$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|2 \times 4 + 2 \times 1 + 1 \times 8|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}}$
$\cos \theta = \frac{|8 + 2 + 8|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{16 + 1 + 64}}$
$\cos \theta = \frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}} = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(D) છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે બંને રેખાઓના સમીકરણોને સરખાવીએ:
$(1+t) \overline{i} + (-6+2t) \overline{j} + (2+t) \overline{k} = (2s) \overline{i} + (4+s) \overline{j} + (1+2s) \overline{k}$
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$1) 1+t = 2s$
$2) -6+2t = 4+s \implies 2t-s = 10$
$3) 2+t = 1+2s \implies t-2s = -1$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$t = 2s-1$. આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(2s-1) - s = 10 \implies 4s-2-s = 10 \implies 3s = 12 \implies s = 4$.
હવે,$t$ શોધો: $t = 2(4)-1 = 7$.
સમીકરણ $(3)$ સાથે ચકાસો: $7 - 2(4) = 7-8 = -1$. આ સુસંગત છે.
બીજા રેખાના સમીકરણમાં $s=4$ મૂકતા:
$\overline{r} = (0 \overline{i} + 4 \overline{j} + 1 \overline{k}) + 4(2 \overline{i} + 1 \overline{j} + 2 \overline{k}) = 8 \overline{i} + 8 \overline{j} + 9 \overline{k}$.

(D) બે રેખાઓ $\overline{r}=\overline{a}+t \overline{b}$ અને $\overline{r}=\overline{p}+s \overline{q}$ સમતલીય હોવાની શરત $(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q}) = 0$ છે. કારણ કે વિધાનમાં જણાવેલ છે કે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $0$ નથી,તેથી રેખાઓ વિષમતલીય છે,સમતલીય નથી. આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
બે વિષમતલીય રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ એ $d = \frac{|(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q})|}{|\bar{b} \times \bar{q}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $|(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q})| = d \times |\bar{b} \times \bar{q}|$. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.

(C) ધારો કે $M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $M$ ના યામ $(\frac{-1+\lambda}{2}, \frac{3+5}{2}, \frac{2+\mu}{2}) = (\frac{\lambda-1}{2}, 4, \frac{\mu+2}{2})$ છે.
$A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા એ રેખાખંડ $AM$ છે. $AM$ ના દિકગુણોત્તર $(\frac{\lambda-1}{2} - 2, 4 - 3, \frac{\mu+2}{2} - 5) = (\frac{\lambda-5}{2}, 1, \frac{\mu-8}{2})$ છે.
મધ્યગા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવતી હોવાથી,દિકગુણોત્તર સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\frac{\lambda-5}{2} = 1 = \frac{\mu-8}{2}$.
$\frac{\lambda-5}{2} = 1$ પરથી,$\lambda - 5 = 2$,તેથી $\lambda = 7$.
$\frac{\mu-8}{2} = 1$ પરથી,$\mu - 8 = 2$,તેથી $\mu = 10$.
હવે વિકલ્પો તપાસતા,$\lambda = 7$ અને $\mu = 10$ મૂકતા:
વિકલ્પ $C: 10(7) - 7(10) = 70 - 70 = 0$.
આમ,$10 \lambda - 7 \mu = 0$ એ સાચો સંબંધ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $\vec{r}=\vec{a}_1+t \vec{b}_1$ અને $\vec{r}=\vec{a}_2+s \vec{b}_2$ છે,જ્યાં $\vec{a}_1 = -\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{b}_1 = 3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{a}_2 = 7 \hat{i}+4 \hat{k}$,અને $\vec{b}_2 = \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-4) - \hat{j}(6+2) + \hat{k}(-6+2) = -8 \hat{i}-8 \hat{j}-4 \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-8)^2+(-8)^2+(-4)^2} = \sqrt{64+64+16} = \sqrt{144} = 12$ છે.
ત્યારબાદ,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (7 \hat{i}+4 \hat{k}) - (-\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}) = 8 \hat{i}+2 \hat{j}+7 \hat{k}$ શોધો.
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \left| \frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ છે.
$d = \left| \frac{(-8 \hat{i}-8 \hat{j}-4 \hat{k}) \cdot (8 \hat{i}+2 \hat{j}+7 \hat{k})}{12} \right| = \left| \frac{-64-16-28}{12} \right| = \left| \frac{-108}{12} \right| = 9$.

(A) બે વિષમતલિય રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + t\vec{b}_1$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + s\vec{b}_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \left| \frac{(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$ છે.
અહીં $\vec{a}_1 = 2\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b}_1 = \hat{i} + 2\hat{k}$ અને $\vec{a}_2 = -2\hat{i} + \hat{k}$,$\vec{b}_2 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}$ છે.
હવે,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = -4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ શોધો.
અદિશ ગુણાકાર $(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = (2)(-4) + (3)(1) + (-1)(1) = -6$ થાય.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{-6}{\sqrt{14}} \right| = \frac{6}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ છે.

(B) બિંદુઓ $(5, 1, a)$ અને $(3, b, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-5}{5-3} = \frac{y-1}{1-b} = \frac{z-a}{a-1} = \lambda$ છે.
આ રેખા $(0, 17/2, -13/2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{0-5}{2} = \lambda \implies \lambda = -5/2$.
હવે,$y$-યામના ભાગને સરખાવતા:
$\frac{17/2 - 1}{1-b} = -5/2 \implies \frac{15/2}{1-b} = -5/2 \implies \frac{15}{1-b} = -5 \implies 1-b = -3 \implies b = 4$.
હવે,$z$-યામના ભાગને સરખાવતા:
$\frac{-13/2 - a}{a-1} = -5/2 \implies -13 - 2a = -5(a-1) \implies -13 - 2a = -5a + 5 \implies 3a = 18 \implies a = 6$.
તેથી,$a+b = 6+4 = 10$.

(D) ધારો કે $D(h, k, l)$ એ $BC$ પરના લંબ $AD$ નો લંબપાદ છે. રેખા $BC$ ના દિકગુણોત્તર $(2-0, -3-(-11), 1-4) = (2, 8, -3)$ છે.
બિંદુ $C(2, -3, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ $\frac{x-2}{2} = \frac{y+3}{8} = \frac{z-1}{-3} = \lambda$ છે.
$BC$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $D(2\lambda+2, 8\lambda-3, -3\lambda+1)$ છે.
સદિશ $\vec{AD} = (2\lambda+2-1, 8\lambda-3-8, -3\lambda+1-4) = (2\lambda+1, 8\lambda-11, -3\lambda-3)$ છે.
કારણ કે $AD \perp BC$,તેથી $\vec{AD}$ અને $BC$ ના દિક સદિશ $(2, 8, -3)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2\lambda+1) + 8(8\lambda-11) - 3(-3\lambda-3) = 0$
$4\lambda + 2 + 64\lambda - 88 + 9\lambda + 9 = 0$
$77\lambda - 77 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$D$ ના યામમાં $\lambda = 1$ મૂકતા:
$h = 2(1)+2 = 4$
$k = 8(1)-3 = 5$
$l = -3(1)+1 = -2$
આમ,$D$ ના યામ $(4, 5, -2)$ છે.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(3,-1,11)$,$B(0,2,3)$ અને $C(4,8,11)$ છે.
પ્રથમ,$B(0,2,3)$ અને $C(4,8,11)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ મેળવો.
રેખા $BC$ ના દિકગુણોત્તરો $(4-0, 8-2, 11-3) = (4, 6, 8)$ છે.
રેખા $BC$ નું સમીકરણ $\frac{x-0}{4} = \frac{y-2}{6} = \frac{z-3}{8} = r$ છે.
રેખા $BC$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ ને $(4r, 6r+2, 8r+3)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$AP$ એ $BC$ ને લંબ હોવાથી,$AP$ અને $BC$ ના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$AP$ ના દિકગુણોત્તરો $(4r-3, 6r+2-(-1), 8r+3-11) = (4r-3, 6r+3, 8r-8)$ છે.
$AP \perp BC$ હોવાથી,$4(4r-3) + 6(6r+3) + 8(8r-8) = 0$.
$16r - 12 + 36r + 18 + 64r - 64 = 0$.
$116r - 58 = 0 \Rightarrow r = \frac{58}{116} = \frac{1}{2}$.
$r = \frac{1}{2}$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $P = (4(\frac{1}{2}), 6(\frac{1}{2})+2, 8(\frac{1}{2})+3) = (2, 3+2, 4+3) = (2, 5, 7)$ મળે છે.
આમ,લંબપાદના યામ $(2, 5, 7)$ છે.

(A) બિંદુઓ $P(2, -3, 4)$ અને $Q(8, 0, 10)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x-2}{8-2} = \frac{y+3}{0+3} = \frac{z-4}{10-4} = \lambda$
$\frac{x-2}{6} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6} = \lambda$
આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(6\lambda + 2, 3\lambda - 3, 6\lambda + 4)$ થાય.
બિંદુ $R(4, y, z)$ આ રેખા પર હોવાથી,$x$-યામને સરખાવતા:
$6\lambda + 2 = 4 \Rightarrow 6\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{3}$.
હવે,$y$ અને $z$ ની કિંમત મેળવતા:
$y = 3(\frac{1}{3}) - 3 = 1 - 3 = -2$
$z = 6(\frac{1}{3}) + 4 = 2 + 4 = 6$
તેથી,$R$ ના યામ $(4, -2, 6)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $R(4, -2, 6)$ નું અંતર:
$d = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \times 14} = 2\sqrt{14}$.

(D) આપેલ રેખાઓ $\vec{r} = 2 \vec{b} + t(6 \vec{c} - \vec{a})$ અને $\vec{r} = \vec{a} + s(\vec{b} - 3 \vec{c})$ છે.
છેદબિંદુ માટે,સ્થાન સદિશો સમાન હોવા જોઈએ:
$2 \vec{b} + 6t \vec{c} - t \vec{a} = \vec{a} + s \vec{b} - 3s \vec{c}$.
$\vec{a}, \vec{b}, \text{ અને } \vec{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\vec{a}$ માટે: $-t = 1 \implies t = -1$.
$\vec{b}$ માટે: $2 = s$.
$\vec{c}$ માટે: $6t = -3s \implies 6(-1) = -3(2) \implies -6 = -6$,જે સુસંગત છે.
$t = -1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{r} = 2 \vec{b} - 1(6 \vec{c} - \vec{a}) = 2 \vec{b} - 6 \vec{c} + \vec{a} = \vec{a} + 2 \vec{b} - 6 \vec{c}$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $QR$ ને $\lambda : 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. $Q$ ના યામ $(2, 2, 1)$ અને $R$ ના યામ $(5, 2, -2)$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ નો $x$-યામ $x = \frac{5\lambda + 2}{\lambda + 1}$ મળે.
આપેલ છે કે $x = 4$,તેથી $4 = \frac{5\lambda + 2}{\lambda + 1} \Rightarrow 4\lambda + 4 = 5\lambda + 2 \Rightarrow \lambda = 2$.
હવે,$P$ નો $y$-યામ શોધીએ: $y = \frac{2\lambda + 2}{\lambda + 1} = \frac{2(2) + 2}{2 + 1} = \frac{6}{3} = 2$.
ત્યારબાદ,$P$ નો $z$-યામ શોધીએ: $z = \frac{-2\lambda + 1}{\lambda + 1} = \frac{-2(2) + 1}{2 + 1} = \frac{-3}{3} = -1$.
યામોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $y = 2$ અને $z = -1$. આમ,$y = -2(z)$.
તેથી,$P$ નો $y$-યામ એ $-2(P \text{ નો } z\text{-યામ})$ છે.