Line Questions in Gujarati

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(5, 1, 3)$ છે.
રેખા બિંદુ $Q(3, 7, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{v} = \hat{j} + \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (3-5)\hat{i} + (7-1)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = -2\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
બિંદુથી રેખાનું અંતર $d = \frac{|\vec{PQ} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સૌ પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{PQ} \times \vec{v}$ શોધો:
$\vec{PQ} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 6 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-2)) - \hat{j}(-2 - 0) + \hat{k}(-2 - 0) = 8\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{PQ} \times \vec{v}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4 + 4} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ છે.
સદિશ $\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
તેથી,$d = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$.

(D) આપેલ છે કે રેખા $L_1$ એ $\vec{a}_1 = 2 \hat{i}-\hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{b}_1 = 3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
રેખા $L_2$ એ $\vec{a}_2 = 2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{b}_2 = \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
બે વિષમતલીય રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \frac{|(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ શોધો:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 + 4) - \hat{j}(3 - 2) + \hat{k}(-6 + 1) = 3 \hat{i} - \hat{j} - 5 \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$ છે.
હવે,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) - (2 \hat{i} - \hat{k}) = \hat{j} - 2 \hat{k}$ શોધો.
હવે,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) \cdot (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = (3 \hat{i} - \hat{j} - 5 \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} + 1 \hat{j} - 2 \hat{k}) = (3)(0) + (-1)(1) + (-5)(-2) = 0 - 1 + 10 = 9$.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|9|}{\sqrt{35}} = \frac{9}{\sqrt{35}}$ થાય.

(D) રેખાખંડ $\overline{AB}$ ના દિકગુણોત્તરો $(4-2, 5-3, 7-4) = (2, 2, 3)$ છે.
રેખાખંડ $\overline{CD}$ ના દિકગુણોત્તરો $(4-2, -4-(-6), k-3) = (2, 2, k-3)$ છે.
કારણ કે રેખા $\overline{AB}$ એ $\overline{CD}$ ને સમાંતર છે,તેથી તેમના દિકગુણોત્તરો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
તેથી,$\frac{2}{2} = \frac{2}{2} = \frac{3}{k-3}$.
આનો અર્થ એ છે કે $1 = \frac{3}{k-3}$.
$k$ માટે ઉકેલતા,આપણને $k-3 = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = 6$.

(B) બિંદુઓ $(k, 2, 3)$ અને $(1, 1, 2)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(1-k, 1-2, 2-3)$ એટલે કે $(1-k, -1, -1)$ છે.
બિંદુઓ $(5, 4, -1)$ અને $(3, 2, -3)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(3-5, 2-4, -3-(-1))$ એટલે કે $(-2, -2, -2)$ છે.
બે રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{1-k}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{-1}{-2}$
સમીકરણ $\frac{1-k}{-2} = \frac{1}{2}$ પરથી,આપણને મળે છે:
$1-k = -1$
$k = 2$
આમ,$k$ ની કિંમત $2$ છે.

(A) ધારો કે રેખાઓના દિક્કોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ છે.
આપેલ સમીકરણો $al + bm + cn = 0$ અને $fmn + gnl + hlm = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = -\frac{bm + cn}{a}$. આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$fmn + gn(-\frac{bm + cn}{a}) + hm(-\frac{bm + cn}{a}) = 0$
$afmn - bgnm - cgn^2 - bhm^2 - chmn = 0$
$bhm^2 + (ch + bg - af)mn + cgn^2 = 0$
$n^2$ વડે ભાગતા,આપણને $bh(\frac{m}{n})^2 + (ch + bg - af)(\frac{m}{n}) + cg = 0$ મળે છે.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = \frac{cg}{bh}$ થાય છે.
તે જ રીતે,$m$ નો લોપ કરતા,આપણને $ah(\frac{l}{n})^2 + (ch + af - bg)(\frac{l}{n}) + cf = 0$ મળે છે,તેથી $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{cf}{ah}$.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$.
$n_1 n_2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} + \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} + 1 = 0$ મળે છે.
ગુણાકારની કિંમતો મૂકતા: $\frac{cf}{ah} + \frac{cg}{bh} + 1 = 0$.
$c$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c} = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ કાર્તેઝિયન સમીકરણ $2x - 3 = 3y + 1 = 5 - 6z$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ માં લખવા માટે,આપણે $x, y, z$ ના સહગુણકો વડે ભાગાકાર કરીશું:
$2(x - \frac{3}{2}) = 3(y + \frac{1}{3}) = -6(z - \frac{5}{6})$.
$6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x - 3/2}{3} = \frac{y + 1/3}{2} = \frac{z - 5/6}{-1}$ મળે છે.
આ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ છે.
બિંદુ $\vec{a} = 7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 0 \hat{k}$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{v}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$ છે.
તેથી,$\vec{r} = (7 \hat{i} - 5 \hat{j}) + \lambda(3 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k})$.

(D) ધારો કે $A = (9, 13, 15)$,$B = (12, 21, 10)$,અને $P = (5, 7, 3)$. ધારો કે $Q(x, y, z)$ એ $P$ માંથી રેખા $AB$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તરો $(12 - 9, 21 - 13, 10 - 15) = (3, 8, -5)$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x - 9}{3} = \frac{y - 13}{8} = \frac{z - 15}{-5} = \lambda$ છે.
રેખા $AB$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (3\lambda + 9, 8\lambda + 13, -5\lambda + 15)$ સ્વરૂપમાં મળે.
$PQ$ ના દિકગુણોત્તરો $(3\lambda + 9 - 5, 8\lambda + 13 - 7, -5\lambda + 15 - 3) = (3\lambda + 4, 8\lambda + 6, -5\lambda + 12)$ છે.
$PQ \perp AB$ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda + 4) + 8(8\lambda + 6) - 5(-5\lambda + 12) = 0$
$9\lambda + 12 + 64\lambda + 48 + 25\lambda - 60 = 0$
$98\lambda = 0 \implies \lambda = 0$.
$\lambda = 0$ ને $Q$ ના યામમાં મૂકતા,$Q = (9, 13, 15)$ મળે.
આમ,લંબનો લંબપાદ $(9, 13, 15)$ છે,જે વિકલ્પ $D$ દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે માંગેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ છે.
આ રેખા બિંદુ $P(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
આપેલી રેખાઓના દિકગુણોત્તર $\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ અને $\vec{v_2} = (-3, 2, 5)$ છે.
માંગેલ રેખા બંને આપેલી રેખાઓને લંબ હોવાથી,તેનો દિક સદિશ $\vec{v} = (a, b, c)$ એ $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ ને સમાંતર હશે.
$\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - 6) - \hat{j}(5 - (-9)) + \hat{k}(2 - (-6)) = 4\hat{i} - 14\hat{j} + 8\hat{k}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને દિકગુણોત્તર $(2, -7, 4)$ મળે છે.
બિંદુ $(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થતી અને $(2, -7, 4)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{-7} = \frac{z - (-2)}{4}$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-7} = \frac{z+2}{4}$ છે.

(A) ધારો કે છેદબિંદુ $P$ છે. પ્રથમ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(1+2\lambda, 2+3\lambda, -1+4\lambda)$ છે અને બીજી રેખા પરના યામ $(-1+\mu, -3+2\mu, 7-\mu)$ છે.
યામને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$1+2\lambda = -1+\mu \implies 2\lambda - \mu = -2$ ... $(i)$
$2+3\lambda = -3+2\mu \implies 3\lambda - 2\mu = -5$ ... $(ii)$
$-1+4\lambda = 7-\mu \implies 4\lambda + \mu = 8$ ... $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(2\lambda - \mu) + (4\lambda + \mu) = -2 + 8$
$6\lambda = 6 \implies \lambda = 1$
સમીકરણ $(i)$ માં $\lambda = 1$ મૂકતા:
$2(1) - \mu = -2 \implies \mu = 4$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(ii)$ માં ચકાસતા:
$3(1) - 2(4) = 3 - 8 = -5$,જે સાચું છે.
પ્રથમ રેખાના સમીકરણમાં $\lambda = 1$ મૂકતા:
$r = (\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}) + 1(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = 3 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}$.
આમ,છેદબિંદુ $3 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}$ છે.

(A) બે વિષમતલીય રેખાઓ $r=a+tb$ અને $r=c+sd$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધવાનું સૂત્ર: $\text{લઘુત્તમ અંતર} = \left| \frac{(c-a) \cdot (b \times d)}{|b \times d|} \right|$ છે.
આપેલ રેખાઓ $r=(6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})+t(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ અને $r=(-4 \hat{i}-\hat{k})+s(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})$ છે.
અહીં,$a=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$,$b=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$,$c=-4 \hat{i}-\hat{k}$,અને $d=3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,$c-a = (-4 \hat{i}-\hat{k}) - (6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) = -10 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $b \times d = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4+4) - \hat{j}(-2-6) + \hat{k}(-2+6) = 8 \hat{i}+8 \hat{j}+4 \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|b \times d| = \sqrt{8^2+8^2+4^2} = \sqrt{64+64+16} = \sqrt{144} = 12$ થાય.
અદિશ ગુણાકાર $(c-a) \cdot (b \times d) = (-10 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}) \cdot (8 \hat{i}+8 \hat{j}+4 \hat{k}) = -80 - 16 - 12 = -108$ થાય.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $\left| \frac{-108}{12} \right| = |-9| = 9$ મળે.

(C) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ છે.
રેખાઓ સામાન્ય બિંદુ ધરાવતી હોવાથી,આ બિંદુ બીજી રેખાના સમીકરણ $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}$ નું સમાધાન કરશે.
યામોને બીજી રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{2\lambda+1-3}{1} = \frac{3\lambda-1-k}{2} = \frac{4\lambda+1}{1}$.
પ્રથમ અને ત્રીજા ભાગને સરખાવતા:
$2\lambda-2 = 4\lambda+1
\Rightarrow -3 = 2\lambda
\Rightarrow \lambda = -\frac{3}{2}$.
હવે,પ્રથમ અને બીજા ભાગને સરખાવતા:
$\frac{2\lambda-2}{1} = \frac{3\lambda-1-k}{2}$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ મૂકતા:
$2(-\frac{3}{2})-2 = \frac{3(-\frac{3}{2})-1-k}{2}
\Rightarrow -3-2 = \frac{-\frac{9}{2}-1-k}{2}
\Rightarrow -5 = \frac{-\frac{11}{2}-k}{2}
\Rightarrow -10 = -\frac{11}{2}-k
\Rightarrow k = -\frac{11}{2} + 10 = \frac{9}{2}$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(3, -2, 1)$ છે. રેખા બિંદુઓ $A(1, -3, 5)$ અને $B(2, 1, -4)$ માંથી પસાર થાય છે.
સદિશ $\vec{a} = \vec{i} - 3\vec{j} + 5\vec{k}$ અને રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{AB} = \vec{i} + 4\vec{j} - 9\vec{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{p} = 3\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$. સદિશ $\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a} = 2\vec{i} + \vec{j} - 4\vec{k}$.
લંબ અંતર $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AP} \times \vec{v} = 7\vec{i} + 14\vec{j} + 7\vec{k}$.
તેનું માન $|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{294} = 7\sqrt{6}$.
રેખાના દિશા સદિશનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$.
અંતર $d = \frac{7\sqrt{6}}{7\sqrt{2}} = \sqrt{3}$.

(A) બે વિષમતલીય રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec{a_1} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{a_2} = \hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -2\hat{i} - 11\hat{j} + 0\hat{k}$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{35}$.
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = -35$.
તેથી,$d = \frac{|-35|}{\sqrt{35}} = \sqrt{35}$.

(C) બિંદુ $\vec{a} = x_1 \bar{i} + y_1 \bar{j} + z_1 \bar{k}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b} = a \bar{i} + b \bar{j} + c \bar{k}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(1, -2, 1)$ છે,તેથી $x_1 = 1, y_1 = -2, z_1 = 1$.
આપેલ સમાંતર સદિશ $\bar{i} + \bar{j} + 3 \bar{k}$ છે,તેથી $a = 1, b = 1, c = 3$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x-1}{1} = \frac{y-(-2)}{1} = \frac{z-1}{3}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{3}$ થાય છે.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ છે. રેખા $L_1$ નું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ છે,જ્યાં $\vec{a}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
રેખા $L_2$ નું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ છે,જ્યાં $\vec{a}_2 = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $\vec{b}_2 = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$.
બે વિષમતલીય રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-16) - \hat{j}(10-12) + \hat{k}(8-9) = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$ છે.
હવે,ડોટ ગુણાકાર $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (1)(-1) + (2)(2) + (2)(-1) = 1$.
આમ,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ થાય.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $P(2,3,-1)$ અને $Q(3,5,-3)$ છે. રેખા $PQ$ ના દિકગુણોત્તર $(3-2, 5-3, -3-(-1)) = (1, 2, -2)$ છે.
ધારો કે બિંદુઓ $A(1,2,3)$ અને $B(\alpha, \beta, \gamma)$ છે. રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(\alpha-1, \beta-2, \gamma-3)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$1(\alpha-1) + 2(\beta-2) - 2(\gamma-3) = 0$
$\alpha - 1 + 2\beta - 4 - 2\gamma + 6 = 0$
$\alpha + 2\beta - 2\gamma + 1 = 0$.
હવે,આપણે વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $D(3,5,7)$ માટે: $3 + 2(5) - 2(7) + 1 = 3 + 10 - 14 + 1 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(1, 8, 4)$,$B(0, -11, 4)$ અને $C(2, -3, 1)$ છે.
પ્રથમ,$B(0, -11, 4)$ અને $C(2, -3, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ મેળવો.
$BC$ ના દિશા ગુણોત્તર $(2-0, -3-(-11), 1-4) = (2, 8, -3)$ છે.
રેખા $BC$ નું સમીકરણ $\frac{x-0}{2} = \frac{y+11}{8} = \frac{z-4}{-3} = \lambda$ છે.
રેખા $BC$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $D$ ને $(2\lambda, 8\lambda - 11, -3\lambda + 4)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
કારણ કે $AD \perp BC$,સદિશ $\vec{AD}$ અને $BC$ ના દિશા સદિશનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સદિશ $\vec{AD} = (2\lambda - 1, 8\lambda - 11 - 8, -3\lambda + 4 - 4) = (2\lambda - 1, 8\lambda - 19, -3\lambda)$.
$BC$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (2, 8, -3)$ છે.
$\vec{AD} \cdot \vec{v} = 0$ લેતા:
$2(2\lambda - 1) + 8(8\lambda - 19) + (-3)(-3\lambda) = 0$
$4\lambda - 2 + 64\lambda - 152 + 9\lambda = 0$
$77\lambda - 154 = 0$
$77\lambda = 154 \implies \lambda = 2$.
$D$ ના યામમાં $\lambda = 2$ મૂકતા:
$D = (2(2), 8(2) - 11, -3(2) + 4) = (4, 16 - 11, -6 + 4) = (4, 5, -2)$.

(B) ધારો કે ચાર બિંદુઓ $P, Q, R$ અને $S$ ના યામ અનુક્રમે $(3, -4, 5), (0, 0, 4), (-4, 5, 1)$ અને $(-3, 4, 3)$ છે.
બિંદુઓ $(3, -4, 5)$ અને $(0, 0, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ:
$\frac{x-3}{0-3} = \frac{y+4}{0+4} = \frac{z-5}{4-5} = r_1$
$\Rightarrow \frac{x-3}{-3} = \frac{y+4}{4} = \frac{z-5}{-1} = r_1$
બિંદુઓ $(-4, 5, 1)$ અને $(-3, 4, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $RS$ નું સમીકરણ:
$\frac{x+4}{-3+4} = \frac{y-5}{4-5} = \frac{z-1}{3-1} = r_2$
$\Rightarrow \frac{x+4}{1} = \frac{y-5}{-1} = \frac{z-1}{2} = r_2$
રેખા $PQ$ પરનું સામાન્ય બિંદુ $(-3r_1+3, 4r_1-4, -r_1+5)$ અને રેખા $RS$ પરનું સામાન્ય બિંદુ $(r_2-4, -r_2+5, 2r_2+1)$ છે.
બંને રેખાઓ છેદતી હોવાથી,યામ સરખાવતા:
$-3r_1+3 = r_2-4 \Rightarrow 3r_1+r_2 = 7$ (સમીકરણ $i$)
$4r_1-4 = -r_2+5 \Rightarrow 4r_1+r_2 = 9$ (સમીકરણ $ii$)
સમીકરણ $ii$ માંથી સમીકરણ $i$ બાદ કરતા:
$(4r_1+r_2) - (3r_1+r_2) = 9 - 7 \Rightarrow r_1 = 2$
$r_1 = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $i$ માં મૂકતા:
$3(2) + r_2 = 7 \Rightarrow r_2 = 1$
$r_2 = 1$ ની કિંમત રેખા $RS$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 1-4 = -3, y = -1+5 = 4, z = 2(1)+1 = 3$
આમ,છેદબિંદુ $(-3, 4, 3)$ છે,જે $-3i+4j+3k$ દર્શાવે છે.

(C) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોવાની શરત $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ છે.
આપેલ રેખાઓ માટે,$(x_1, y_1, z_1) = (3, 2, 1)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (2, 3, 2)$ છે.
દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, \lambda)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (3, 2, 3)$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (2-3, 3-2, 2-1) = (-1, 1, 1)$ છે.
નિશ્ચાયકમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & \lambda \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $-1(9-2\lambda) - 1(6-3\lambda) + 1(4-9) = 0$.
$-9 + 2\lambda - 6 + 3\lambda - 5 = 0 \Rightarrow 5\lambda - 20 = 0 \Rightarrow \lambda = 4$.
હવે,આપણે $\sin ^{-1}(\sin 4) + \cos ^{-1}(\cos 4)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$4$ રેડિયન ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી $(\pi < 4 < \frac{3\pi}{2})$,આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીશું:
$\sin ^{-1}(\sin 4) = \sin ^{-1}(\sin(\pi - 4)) = \pi - 4$.
$\cos ^{-1}(\cos 4) = \cos ^{-1}(\cos(2\pi - 4)) = 2\pi - 4$.
સરવાળો કરતા: $(\pi - 4) + (2\pi - 4) = 3\pi - 8$.

(A) ધારો કે $yz$-સમતલ બિંદુઓ $A(2, 3, 4)$ અને $B(-3, 5, -4)$ ને જોડતી રેખાને $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં બિંદુ $M$ પર છેદે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $M$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$M = \left( \frac{-3\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{5\lambda + 3}{\lambda + 1}, \frac{-4\lambda + 4}{\lambda + 1} \right)$.
બિંદુ $M$ એ $yz$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થાય.
તેથી,$\frac{-3\lambda + 2}{\lambda + 1} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $-3\lambda + 2 = 0$,એટલે કે $\lambda = \frac{2}{3}$.
હવે $\lambda = \frac{2}{3}$ ની કિંમત $M$ ના યામમાં મૂકતા:
$y = \frac{5(2/3) + 3}{(2/3) + 1} = \frac{10/3 + 9/3}{5/3} = \frac{19}{5}$.
$z = \frac{-4(2/3) + 4}{(2/3) + 1} = \frac{-8/3 + 12/3}{5/3} = \frac{4}{5}$.
આમ,છેદબિંદુ $\left(0, \frac{19}{5}, \frac{4}{5}\right)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) રેખા $L_1$ એ $A(1, 1, 0)$ અને $B(-1, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. $L_1$ નો દિશા સદિશ $\vec{v_1} = B - A = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$L_1$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (1-2s, 1-s, s)$ છે.
રેખા $L_2$ એ $C(0, 1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{v_2} = (1, 1, 1)$ ને સમાંતર છે.
$L_2$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (t, 1+t, 2+t)$ છે.
છેદબિંદુ માટે,$(1-2s, 1-s, s) = (t, 1+t, 2+t)$.
યામ સરખાવતા: $1-2s = t$,$1-s = 1+t$,$s = 2+t$.
$1-s = 1+t$ પરથી,$s = -t$ મળે છે.
$s = -t$ ને $s = 2+t$ માં મૂકતા: $-t = 2+t \implies 2t = -2 \implies t = -1$.
તેથી $s = 1$.
છેદબિંદુ: $x = -1$,$y = 0$,$z = 1$.
આમ,$(y-x) = 0 - (-1) = 1$.
$z = 1$ હોવાથી,$(y-x) = z$.

(A) $A(1, -2, 1)$ અને $B(2, -1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1} = K$ છે.
રેખા $AB$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $D(\alpha, \beta, \gamma) = (K+1, K-2, K+1)$ સ્વરૂપમાં મળે.
રેખા $AB$ ના દિક્ગુણોત્તરો $\langle 1, 1, 1 \rangle$ છે.
સદિશ $\vec{CD} = (\alpha-1, \beta-2, \gamma-3) = (K, K-4, K-2)$ થાય.
$CD \perp AB$ હોવાથી,$\vec{CD}$ અને રેખા $AB$ ના દિક્ગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$1(K) + 1(K-4) + 1(K-2) = 0$.
$3K - 6 = 0 \Rightarrow K = 2$.
$K=2$ મૂકતા,$\alpha = 3, \beta = 0, \gamma = 3$ મળે.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 3^2 + 0^2 + 3^2 = 18$.

(B) બિંદુઓ $A, B, C, D$ સમરેખ હોવાથી,તેઓ $D(-5, 6, 1)$ માંથી પસાર થતી એક જ રેખા પર આવેલા છે.
રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(p, q, r)$ ધારો. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+5}{p} = \frac{y-6}{q} = \frac{z-1}{r} = k$ છે.
બિંદુ $A(-2, 4, a)$ માટે: $\frac{3}{p} = \frac{-2}{q} = \frac{a-1}{r}$.
બિંદુ $B(1, b, 3)$ માટે: $\frac{6}{p} = \frac{b-6}{q} = \frac{2}{r}$.
બિંદુ $C(c, 0, 4)$ માટે: $\frac{c+5}{p} = \frac{-6}{q} = \frac{3}{r}$.
ગણતરી કરતા $c=4, b=2, a=2$ મળે છે.
તેથી,$a+b+c = 2+2+4 = 8$.

(B) ધારો કે $G_1$ એ $\triangle ABD$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. તેના યામ $\left(\frac{1+3-1}{3}, \frac{2+7+0}{3}, \frac{3-2-1}{3}\right) = (1, 3, 0)$ છે.
ધારો કે $G_2$ એ $\triangle ACD$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. તેના યામ $\left(\frac{1+6-1}{3}, \frac{2+7+0}{3}, \frac{3+7-1}{3}\right) = (2, 3, 3)$ છે.
સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$ છે.
$\vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = \hat{i} + 3\hat{k}$.
તેથી,$\vec{r} = (\hat{i} + 3\hat{j}) + t(\hat{i} + 3\hat{k}) = (1+t)\hat{i} + 3\hat{j} + 3t\hat{k}$.

(B) ધારો કે $AD$ એ શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા છે. $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$D$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$D = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{2+3}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = \left(3, \frac{5}{2}, 3\right)$
$A(1, 1, 2)$ અને $D(3, 5/2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{d} - \vec{a})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{d} = 3\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + t((3-1)\hat{i} + (\frac{5}{2}-1)\hat{j} + (3-2)\hat{k})$
$\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + t(2\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} + \hat{k})$
$\vec{r} = (1+2t)\hat{i} + (1+\frac{3}{2}t)\hat{j} + (2+t)\hat{k}$

(D) ધારો કે $D$ એ બાજુ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$D = \left( \frac{\alpha + 1}{2}, \frac{5 + 0}{2}, \frac{\beta - 3}{2} \right) = \left( \frac{\alpha + 1}{2}, \frac{5}{2}, \frac{\beta - 3}{2} \right)$
સદિશ $\vec{BD}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{BD} = \left( \frac{\alpha + 1}{2} - (-2) \right) \hat{i} + \left( \frac{5}{2} - 1 \right) \hat{j} + \left( \frac{\beta - 3}{2} - 6 \right) \hat{k}$
$\vec{BD} = \left( \frac{\alpha + 5}{2} \right) \hat{i} + \left( \frac{3}{2} \right) \hat{j} + \left( \frac{\beta - 15}{2} \right) \hat{k}$
જેহেতু મધ્યગા $\vec{BD}$ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલી છે,તેથી તેના દિકગુણોત્તરોનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ:
$\left| \frac{\alpha + 5}{2} \right| = \left| \frac{3}{2} \right| = \left| \frac{\beta - 15}{2} \right|$
દિકગુણોત્તરો માટે ધન કિંમત લેતા:
$\frac{\alpha + 5}{2} = \frac{3}{2} \implies \alpha + 5 = 3 \implies \alpha = -2$
$\frac{\beta - 15}{2} = \frac{3}{2} \implies \beta - 15 = 3 \implies \beta = 18$
તેથી,$\alpha + \beta = -2 + 18 = 16$.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ સાથેના સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = \sqrt{3}\hat{i} - \sqrt{3}\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશોના માનની ગણતરી કરો:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 3 + 0} = \sqrt{6}$.
કારણ કે માન સમાન છે $(|\vec{a}| = |\vec{b}|)$,ખૂણાના દ્વિભાજકના દિશા ગુણોત્તર સદિશ $\vec{a} + \vec{b}$ અથવા $\vec{a} - \vec{b}$ ના ઘટકો દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{a} + \vec{b} = (1 + \sqrt{3})\hat{i} + (1 - \sqrt{3})\hat{j} + (2 + 0)\hat{k}$ ની ગણતરી કરતા.
આમ,દિશા ગુણોત્તર $(1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}, 2)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ સ્વરૂપમાં છે.
પ્રથમ રેખા માટે,દિશા સદિશ $\vec{b_1} = \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
બીજી રેખા માટે,દિશા સદિશ $\vec{b_2} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(1) + (4)(2) + (3)(-3) = 1 + 8 - 9 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ છે.
રેખા $L$ એ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{v} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v} = (\alpha + 2\lambda) \hat{i} + (\beta + \lambda) \hat{j} + (\gamma - 2\lambda) \hat{k}$ છે.
બિંદુ $P$ જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = -7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}$ છે તે $L$ પર આવેલું છે,તેથી $\vec{p} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$.
આમ,$\vec{p} - \vec{a} = \lambda \vec{v}$,જેનો અર્થ છે કે $\overline{AP} = \lambda (2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k})$.
આપેલ છે કે $|\overline{AP}| = 12$,તેથી $|\lambda| |2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}| = 12$.
કારણ કે $|2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$,આપણને $|\lambda| \times 3 = 12$ મળે છે,તેથી $|\lambda| = 4$,એટલે કે $\lambda = \pm 4$.
કારણ કે $\vec{a} = \vec{p} - \lambda \vec{v}$,$\lambda = 4$ માટે:
$\vec{a} = (-7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}) - 4(2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) = (-7-8) \hat{i} + (-5-4) \hat{j} + (11+8) \hat{k} = -15 \hat{i} - 9 \hat{j} + 19 \hat{k}$.
$\lambda = -4$ માટે:
$\vec{a} = (-7 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}) + 4(2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) = (-7+8) \hat{i} + (-5+4) \hat{j} + (11-8) \hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$-15 \hat{i} - 9 \hat{j} + 19 \hat{k}$ એ વિકલ્પ $D$ છે.

(D) બે વિષમતલિય રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + t\vec{b_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + s\vec{b_2}$ વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ છે.
અહીં $\vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b_1} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{a_2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$,અને $\vec{b_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ મેળવો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-6) - \hat{j}(1-4) + \hat{k}(3-6) = -3\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ થાય.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-3\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}) = -9 + 9 - 9 = -9$ થાય.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|-9|}{3\sqrt{3}} = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ મળે.

(D) $YZ$ સમતલ $(x=0)$ એ $AB$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુનો $x$-યામ $\frac{2(3) + 3(\alpha)}{2+3} = 0$ થાય,જે આપણને $6 + 3\alpha = 0$ આપે છે,તેથી $\alpha = -2$.
$ZX$ સમતલ $(y=0)$ એ $AB$ નું $4:5$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુનો $y$-યામ $\frac{4(\beta) + 5(4)}{4+5} = 0$ થાય,જે આપણને $4\beta + 20 = 0$ આપે છે,તેથી $\beta = -5$.
આપણે બિંદુ $C$ શોધવાનું છે જે $\overline{AB}$ નું $\alpha : \beta = -2 : -5$ એટલે કે $2:5$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
બહારની તરફ વિભાજન માટેનું સૂત્ર $\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m-n}, \frac{my_2 - ny_1}{m-n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m-n}\right)$ છે.
$A(-2, 4, 7)$,$B(3, -5, 8)$,$m=2$,અને $n=5$ મૂકતા:
$x = \frac{2(3) - 5(-2)}{2-5} = \frac{6+10}{-3} = -\frac{16}{3}$.
$y = \frac{2(-5) - 5(4)}{2-5} = \frac{-10-20}{-3} = \frac{-30}{-3} = 10$.
$z = \frac{2(8) - 5(7)}{2-5} = \frac{16-35}{-3} = \frac{-19}{-3} = \frac{19}{3}$.
તેથી,બિંદુ $C$ એ $\left(-\frac{16}{3}, 10, \frac{19}{3}\right)$ છે.

(B) ધારો કે $P(2, 3, 4)$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ $\left(\frac{6k+3}{k+1}, \frac{-17k-2}{k+1}, \frac{-4k+2}{k+1}\right)$ મળે છે.
$x$-યામને સરખાવતા: $\frac{6k+3}{k+1} = 2 \Rightarrow 6k+3 = 2k+2 \Rightarrow 4k = -1 \Rightarrow k = -\frac{1}{4}$.
હાર્મોનિક કોન્જુગેટ $Q$ એ $AB$ ને $\frac{1}{4}:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$Q$ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(\lambda = \frac{1}{4})$:
$Q = \left(\frac{\frac{1}{4}(6) + 1(3)}{\frac{1}{4}+1}, \frac{\frac{1}{4}(-17) + 1(-2)}{\frac{1}{4}+1}, \frac{\frac{1}{4}(-4) + 1(2)}{\frac{1}{4}+1}\right) = \left(\frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5}\right)$.
આમ,$\alpha = \frac{18}{5}$,$\beta = -5$,અને $\gamma = \frac{4}{5}$.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = \frac{18}{5} - 5 + \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$.

(C) ત્રિકોણના આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(2,3,-1), B(4,1,0)$ અને $C(-1,-1,11)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(4-2)^2 + (1-3)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.
$AC = \sqrt{(-1-2)^2 + (-1-3)^2 + (11+1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13$.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle BAC$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને ખૂણો બનાવતી બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{13}$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D$ ના યામ:
$D = \left( \frac{3(-1) + 13(4)}{3+13}, \frac{3(-1) + 13(1)}{3+13}, \frac{3(11) + 13(0)}{3+13} \right) = \left( \frac{-3+52}{16}, \frac{-3+13}{16}, \frac{33+0}{16} \right) = \left( \frac{49}{16}, \frac{10}{16}, \frac{33}{16} \right)$.
$AD$ ના દિશા ગુણોત્તર સદિશ $\vec{AD} = D - A$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{AD} = \left( \frac{49}{16} - 2, \frac{10}{16} - 3, \frac{33}{16} - (-1) \right) = \left( \frac{49-32}{16}, \frac{10-48}{16}, \frac{33+16}{16} \right) = \left( \frac{17}{16}, \frac{-38}{16}, \frac{49}{16} \right)$.
દિશા ગુણોત્તરને અચળાંક વડે ગુણી શકાય છે,તેથી $16$ વડે ગુણતા $(17, -38, 49)$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) $(0, -1, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $(1, 1, 1)$ દિક-ગુણોત્તર ધરાવતી રેખા $L_1$ નું સમીકરણ $\frac{x}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{1} = \lambda$ છે.
તેથી,બિંદુ $A$ ના યામ $(\lambda, \lambda-1, \lambda)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ એ $A(\lambda, \lambda-1, \lambda)$ અને $B(1, 1, 1)$ ને જોડે છે.
રેખા $AB$ ના દિક-ગુણોત્તર $(\lambda-1, \lambda-2, \lambda-1)$ છે.
આ રેખાના દિક-ગુણોત્તર $2, 1, 2$ ના પ્રમાણમાં આપેલા હોવાથી,આપણને મળે:
$\frac{\lambda-1}{2} = \frac{\lambda-2}{1} = \frac{\lambda-1}{2}$.
$\frac{\lambda-1}{2} = \lambda-2$ પરથી,$\lambda-1 = 2\lambda-4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 3$.
$A$ ના યામમાં $\lambda = 3$ મૂકતા,આપણને $x = 3$,$y = 3-1 = 2$,અને $z = 3$ મળે છે.
તેથી,$x+y+z = 3+2+3 = 8$.

(C) રેખા $AB$ ના દિક્-ગુણોત્તર (DRs) $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (4-3, 6-4, 3-5) = (1, 2, -2)$ છે.
રેખા $DC$ ના દિક્-ગુણોત્તર (DRs) $(x_4-x_3, y_4-y_3, z_4-z_3) = (1-(-1), 0-2, 5-4) = (2, -2, 1)$ છે.
ધારો કે રેખાઓ $AB$ અને $DC$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\cos \theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (2)(-2) + (-2)(1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|2 - 4 - 2|}{\sqrt{1 + 4 + 4} \sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $l^2+m^2-n^2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = -(m+n)$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$.
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$.
$2m^2 + 2mn = 0 \Rightarrow 2m(m+n) = 0$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $m=0$. તો $l = -n$. દિક્ગુણોત્તર $(-1, 0, 1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $m = -n$. તો $l = 0$. દિક્ગુણોત્તર $(0, -1, 1)$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓ સદિશ $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = -\hat{j} + \hat{k}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) બે રેખાઓ $\overline{r} = \overline{a_1} + t\overline{b_1}$ અને $\overline{r} = \overline{a_2} + s\overline{b_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2})|}{||\overline{b_1} \times \overline{b_2}||}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\overline{a_1} = 3\bar{i} - 5\bar{j} + 2\bar{k}$,$\overline{b_1} = 4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}$,$\overline{a_2} = \bar{i} + 2\bar{j} - 4\bar{k}$,અને $\overline{b_2} = 6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k}$ છે.
પ્રથમ,$\overline{a_2} - \overline{a_1} = -2\bar{i} + 7\bar{j} - 6\bar{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\overline{b_1} \times \overline{b_2} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ 6 & 3 & -2 \end{vmatrix} = -3\bar{i} + 2\bar{j} - 6\bar{k}$ શોધો.
તેનું માન $||\overline{b_1} \times \overline{b_2}|| = \sqrt{9 + 4 + 36} = 7$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2}) = 6 + 14 + 36 = 56$ છે.
તેથી,$d = \frac{56}{7} = 8$.

(B) પ્રથમ,અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (5-3)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$.
$AC = \sqrt{(-2-0)^2 + (0-3)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.
ખૂણા દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle A$ નો દ્વિભાજક બાજુ $BC$ ને $AB:AC = 3:7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
આમ,$D$ ના યામ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$D = \left( \frac{3(-2) + 7(1)}{3+7}, \frac{3(0) + 7(5)}{3+7}, \frac{3(-2) + 7(6)}{3+7} \right) = \left( \frac{-6+7}{10}, \frac{0+35}{10}, \frac{-6+42}{10} \right) = \left( \frac{1}{10}, \frac{35}{10}, \frac{36}{10} \right) = (0.1, 3.5, 3.6)$.
હવે,$AD$ ની લંબાઈ શોધો:
$AD = \sqrt{(0.1-0)^2 + (3.5-3)^2 + (3.6-4)^2} = \sqrt{(0.1)^2 + (0.5)^2 + (-0.4)^2} = \sqrt{0.01 + 0.25 + 0.16} = \sqrt{0.42} = \sqrt{\frac{42}{100}} = \frac{\sqrt{42}}{10}$.

(B) રેખા બિંદુઓ $A(2, -1, 1)$ અને $B(1, 1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1-2, 1-(-1), -2-1) = (-1, 2, -3)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-1}{-3} = k$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma) = (2-k, -1+2k, 1-3k)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (\alpha - (-1), \beta - 2, \gamma - (-1)) = (3-k, -3+2k, 2-3k)$ એ રેખાની દિશા $\vec{v} = (-1, 2, -3)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0 \implies -1(3-k) + 2(-3+2k) - 3(2-3k) = 0$.
$-3 + k - 6 + 4k - 6 + 9k = 0 \implies 14k - 15 = 0 \implies k = \frac{15}{14}$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\alpha = 2 - \frac{15}{14} = \frac{13}{14}$,$\beta = -1 + 2(\frac{15}{14}) = \frac{16}{14}$,$\gamma = 1 - 3(\frac{15}{14}) = -\frac{31}{14}$.
$\alpha + \beta + \gamma = \frac{13+16-31}{14} = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7}$.