Types of Relations Questions in Hindi

(B) समुच्चय $A$ को $A = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ के रूप में दिया गया है।
$R$,$A$ पर एक ऐसा संबंध है जिसमें $b, a$ से पूर्णतः विभाज्य है।
हम उन क्रमित युग्मों $(a, b)$ को सूचीबद्ध करते हैं जहाँ $a, b$ को विभाजित करता है:
$(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (6, 6)$।
$R$ का प्रांत (domain),$R$ में मौजूद सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय है।
प्रांत $= \{1, 2, 3, 4, 6\}$।

(A) संबंध $R$ को $R = \{(a, b) : a, b \in A, b, a \text{ से पूर्णतः विभाज्य है}\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
प्रत्येक $a \in A$ के लिए,हम जाँचते हैं कि कौन सा $b \in A$ इस शर्त को पूरा करता है:
$a = 1$ के लिए: $b \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$ (क्योंकि $1$ इन सभी संख्याओं को विभाजित करता है)।
$a = 2$ के लिए: $b \in \{2, 4, 6\}$।
$a = 3$ के लिए: $b \in \{3, 6\}$।
$a = 4$ के लिए: $b \in \{4\}$।
$a = 6$ के लिए: $b \in \{6\}$।
सभी द्वितीय अवयवों का समुच्चय (परिसर) उन सभी $b$ मानों का समुच्चय है जो $R$ के क्रमित युग्मों में दिखाई देते हैं।
परिसर $= \{1, 2, 3, 4, 6\}$।

(D) $1$. स्वतुल्यता: चूँकि प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है,इसलिए सभी $A \in P(X)$ के लिए $A \subset A$ होता है। अतः,सभी $A \in P(X)$ के लिए $ARA$ सत्य है,इसलिए $R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $R$ के सममित होने के लिए,$ARB$ से $BRA$ का तात्पर्य होना चाहिए। यहाँ,$ARB$ का अर्थ $A \subset B$ है। इससे यह तात्पर्य नहीं निकलता कि $B \subset A$ है। उदाहरण के लिए,यदि $X = \{1, 2, 3\}$,$A = \{1\}$,और $B = \{1, 2\}$ लें,तो $A \subset B$ ($ARB$ सत्य है),लेकिन $B \not\subset A$ ($BRA$ असत्य है)। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: यदि $ARB$ और $BRC$ है,तो $A \subset B$ और $B \subset C$ है। उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार,इससे $A \subset C$ प्राप्त होता है,इसलिए $ARC$ सत्य है। अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: चूँकि $R$ सममित नहीं है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध नहीं है।

(D) दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ है।
समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,इसमें $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ का होना आवश्यक है।
संबंध $R$ के सममित होने के लिए,यदि $(1, 2) \in R$ है,तो $(2, 1) \in R$ होना चाहिए। यदि $(1, 3) \in R$ है,तो $(3, 1) \in R$ होना चाहिए।
अतः,$(1, 2)$ और $(1, 3)$ को समाहित करने वाला सबसे छोटा स्वतुल्य और सममित संबंध $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)\}$ है।
अब,संक्रामकता की जाँच करें: $(2, 1) \in R$ और $(1, 3) \in R$ है,इसलिए संक्रामकता के लिए $(2, 3) \in R$ होना चाहिए। साथ ही,$(3, 1) \in R$ और $(1, 2) \in R$ है,इसलिए $(3, 2) \in R$ होना चाहिए।
यदि हम $R$ में $(2, 3)$ और $(3, 2)$ जोड़ते हैं,तो संबंध $A$ पर सार्वत्रिक संबंध बन जाता है,जो संक्रामक है।
इसलिए,केवल एक ही संबंध है जो दी गई शर्तों को पूरा करता है,जो संक्रामक नहीं है क्योंकि $(2, 1) \in R$ और $(1, 3) \in R$ है लेकिन $(2, 3) \notin R$ है।
अतः,ऐसे संबंधों की कुल संख्या $1$ है।
सही उत्तर $D$ है।

(A) दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ है।
एक तुल्यता संबंध को स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
सबसे पहले,स्वतुल्यता के लिए,संबंध में $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ होने चाहिए।
चूंकि संबंध में $(1, 2)$ शामिल है,सममितता के नियम के अनुसार इसमें $(2, 1)$ भी होना चाहिए।
अतः,$(1, 2)$ को समाहित करने वाला सबसे छोटा तुल्यता संबंध $R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ है।
अब,अन्य अवयवों को जोड़ने पर विचार करें। यदि हम $(2, 3)$ जोड़ते हैं,तो सममितता के लिए $(3, 2)$ जोड़ना होगा। संक्रामकता के लिए,चूंकि $(1, 2) \in R$ और $(2, 3) \in R$,इसलिए $(1, 3) \in R$ होना चाहिए। सममितता के अनुसार,$(3, 1) \in R$ भी होना चाहिए। इन सबको जोड़ने पर हमें सार्वत्रिक संबंध $R_2 = A \times A$ प्राप्त होता है,जिसमें सभी $9$ अवयव शामिल हैं।
इस प्रकार,$(1, 2)$ को समाहित करने वाले कुल $2$ तुल्यता संबंध हैं: $R_1$ और $R_2$.
सही उत्तर $A$ है।

(N/A) यह दर्शाने के लिए कि सभी $a \in Q$ के लिए $(a, a) \in R$ है,हम संबंध $R$ की परिभाषा की जाँच करते हैं।
परिभाषा के अनुसार,$(a, b) \in R$ यदि $a - b \in Z$ है।
युग्म $(a, a)$ के लिए,हमारे पास $a - a = 0$ है।
चूँकि $0$ एक पूर्णांक है $(0 \in Z)$,इसलिए सभी $a \in Q$ के लिए $(a, a) \in R$ सिद्ध होता है।

(N/A) दिया गया है कि $(a, b) \in R$,संबंध की परिभाषा के अनुसार,हमारे पास $a - b \in Z$ है।
चूंकि $Z$ पूर्णांकों का समुच्चय है,यदि $x \in Z$,तो $-x \in Z$।
इसलिए,$-(a - b) = b - a \in Z$।
चूंकि $b - a \in Z$,संबंध की परिभाषा के अनुसार,हमारे पास $(b, a) \in R$ है।

(N/A) दिया गया है कि $(a, b) \in R$,इसका अर्थ है $a - b \in Z$।
दिया गया है कि $(b, c) \in R$,इसका अर्थ है $b - c \in Z$।
हमें यह जांचना है कि क्या $(a, c) \in R$,जिसके लिए $a - c \in Z$ होना आवश्यक है।
$a - c = (a - b) + (b - c)$ लें।
चूंकि दो पूर्णांकों का योग हमेशा एक पूर्णांक होता है,इसलिए $(a - b) + (b - c) \in Z$।
अतः,$a - c \in Z$,जिसका अर्थ है कि $(a, c) \in R$।

(B) संबंध $R = \{(a, b) : a, b \in N \text{ और } a = b^2\}$ के रूप में परिभाषित है।
सभी $a \in N$ के लिए कथन $(a, a) \in R$ को सत्य होने के लिए,प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $a \in N$ के लिए शर्त $a = a^2$ का पालन होना चाहिए।
$a = 2$ लें। चूँकि $2 \in N$,हम जाँचते हैं कि क्या $(2, 2) \in R$ है।
यहाँ,$a = 2$ और $b = 2$ है। शर्त $a = b^2$ का मान $2 = 2^2$ हो जाता है,जो $2 = 4$ है।
चूँकि $2 \neq 4$,इसलिए $(2, 2) \notin R$ है।
अतः,सभी $a \in N$ के लिए $(a, a) \in R$ कथन असत्य है।

(N/A) संबंध $R = \{(a, b) : a, b \in N \text{ और } a = b^2\}$ के रूप में परिभाषित है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ का तात्पर्य $(a, c) \in R$ है,हम प्रति-उदाहरण का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $a = 16, b = 4, c = 2$ है।
चूँकि $16 = 4^2$,इसलिए $(16, 4) \in R$ है।
चूँकि $4 = 2^2$,इसलिए $(4, 2) \in R$ है।
अब,हम जाँचते हैं कि क्या $(16, 2) \in R$ है।
$(16, 2)$ के $R$ में होने के लिए,इसे $a = b^2$ को संतुष्ट करना चाहिए,जिसका अर्थ है $16 = 2^2$।
चूँकि $16 \neq 4$,इसलिए $(16, 2) \notin R$ है।
अतः,यह कथन असत्य है।

(D) एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ का अर्थ है $(a, c) \in R$.
$R_{1}$ के लिए: मान लीजिए $a = 2 + \sqrt{3}$,$b = 2 - \sqrt{3}$,और $c = 1 + 2\sqrt{3}$.
तब $a^{2} + b^{2} = (7 + 4\sqrt{3}) + (7 - 4\sqrt{3}) = 14 \in \mathbb{Q}$. अतः $(a, b) \in R_{1}$.
साथ ही $b^{2} + c^{2} = (7 - 4\sqrt{3}) + (13 + 4\sqrt{3}) = 20 \in \mathbb{Q}$. अतः $(b, c) \in R_{1}$.
लेकिन $a^{2} + c^{2} = (7 + 4\sqrt{3}) + (13 + 4\sqrt{3}) = 20 + 8\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$.
इस प्रकार,$(a, c) \notin R_{1}$,इसलिए $R_{1}$ संक्रामक नहीं है.
$R_{2}$ के लिए: यदि हम $a^{2} = 1$,$b^{2} = \sqrt{3}$,और $c^{2} = 2$ लें,तो $a^{2} + b^{2} \notin \mathbb{Q}$ और $b^{2} + c^{2} \notin \mathbb{Q}$,लेकिन $a^{2} + c^{2} = 3 \in \mathbb{Q}$.
इस प्रकार,$(a, c) \notin R_{2}$,इसलिए $R_{2}$ संक्रामक नहीं है.
अतः,न तो $R_{1}$ और न ही $R_{2}$ संक्रामक है।

(D) दिया गया समुच्चय $A = \{2, 3, 4, 5, \ldots, 30\}$ है।
तुल्यता संबंध $(a, b) \simeq (c, d)$ यदि और केवल यदि $ad = bc$ द्वारा परिभाषित है।
हमें उन क्रमित युग्मों $(c, d)$ की संख्या ज्ञात करनी है जो $(c, d) \simeq (4, 3)$ को संतुष्ट करते हैं।
परिभाषा का उपयोग करते हुए,हमें $c \times 3 = d \times 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{c}{d} = \frac{4}{3}$।
इसका अर्थ है कि $c = 4k$ और $d = 3k$ किसी स्थिरांक $k$ के लिए,जहाँ $c, d \in A$ है।
चूंकि $c, d \in \{2, 3, \ldots, 30\}$,हम $k$ के लिए संभावित मानों की जाँच करते हैं:
$k=1$ के लिए: $(c, d) = (4, 3)$
$k=2$ के लिए: $(c, d) = (8, 6)$
$k=3$ के लिए: $(c, d) = (12, 9)$
$k=4$ के लिए: $(c, d) = (16, 12)$
$k=5$ के लिए: $(c, d) = (20, 15)$
$k=6$ के लिए: $(c, d) = (24, 18)$
$k=7$ के लिए: $(c, d) = (28, 21)$
$k=8$ के लिए: $(c, d) = (32, 24)$,जो संभव नहीं है क्योंकि $32 \notin A$ है।
अतः,संभावित क्रमित युग्म $(4, 3), (8, 6), (12, 9), (16, 12), (20, 15), (24, 18), (28, 21)$ हैं।
ऐसे क्रमित युग्मों की कुल संख्या $7$ है।

(C) संबंध $R$ को $A R B \iff B = P A P^{-1}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $P$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी आव्यूह $A$ के लिए,हम $P = I$ (तत्समक आव्यूह) चुन सकते हैं। तब $I A I^{-1} = I A I = A$ होता है। अतः,$A R A$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $A R B$ है। तो किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $P$ के लिए $B = P A P^{-1}$ है। हम $A = P^{-1} B P$ लिख सकते हैं। मान लीजिए $Q = P^{-1}$ है। चूंकि $P$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $Q$ भी व्युत्क्रमणीय है। तब $A = Q B Q^{-1}$ है। अतः,$B R A$ सत्य है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $A R B$ और $B R C$ है। तो कुछ व्युत्क्रमणीय आव्यूहों $P$ और $Q$ के लिए $B = P A P^{-1}$ और $C = Q B Q^{-1}$ है। दूसरे समीकरण में $B$ का मान रखने पर,$C = Q (P A P^{-1}) Q^{-1} = (Q P) A (P^{-1} Q^{-1}) = (Q P) A (Q P)^{-1}$ प्राप्त होता है। चूंकि दो व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का गुणनफल $Q P$ भी व्युत्क्रमणीय होता है,इसलिए $A R C$ सत्य है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(D) संबंध $R$ को उन सभी बिंदुओं $(P, Q)$ के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ मूलबिंदु से $P$ की दूरी,मूलबिंदु से $Q$ की दूरी के बराबर है।
किसी बिंदु $(x_0, y_0)$ का तुल्यता वर्ग उन सभी बिंदुओं $(x, y)$ का समुच्चय है जिनके लिए मूलबिंदु से $(x, y)$ की दूरी,मूलबिंदु से $(x_0, y_0)$ की दूरी के बराबर है।
बिंदु $(1, -1)$ की मूलबिंदु $(0, 0)$ से दूरी $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ है।
इसलिए,$(1, -1)$ का तुल्यता वर्ग उन सभी बिंदुओं $(x, y)$ से बना है जिनके लिए $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^2 + y^2 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,तुल्यता वर्ग समुच्चय $S = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 = 2\}$ है।

(B) सबसे पहले,समुच्चय $A \cap B$ ज्ञात करें:
$A = \{(x, y) \in Z \times Z : (x-2)^{2} + y^{2} \leq 4\}$
$B = \{(x, y) \in Z \times Z : x^{2} + y^{2} \leq 4\}$
दोनों असमिकाओं को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक बिंदु $(x, y)$ हैं: $(1, 0), (1, 1), (1, -1), (2, 0), (0, 0)$।
अतः,$n(A \cap B) = 5$।
इसके बाद,समुच्चय $A \cap C$ ज्ञात करें:
$A = \{(x, y) \in Z \times Z : (x-2)^{2} + y^{2} \leq 4\}$
$C = \{(x, y) \in Z \times Z : (x-2)^{2} + (y-2)^{2} \leq 4\}$
दोनों असमिकाओं को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक बिंदु $(x, y)$ हैं: $(2, 0), (2, 1), (2, 2), (1, 1), (3, 1)$।
अतः,$n(A \cap C) = 5$।
$A \cap B$ से $A \cap C$ तक संबंधों की कुल संख्या $2^{n(A \cap B) \times n(A \cap C)} = 2^{5 \times 5} = 2^{25}$ द्वारा दी जाती है।
इसे $2^{p}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p = 25$ प्राप्त होता है।

(B) प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$A$: $0 < |x| - |y| \leq 1$ के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $|x| > |y|$ है। यह सममित नहीं है क्योंकि $(y, x) \notin R$ है। यह संक्रामक भी नहीं है क्योंकि $(3, 2) \in R$ और $(2, 1) \in R$ है,लेकिन $(3, 1) \notin R$ क्योंकि $|3| - |1| = 2 > 1$ है। यह कथन सही है।
$B$: $0 < |x - y| \leq 1$ के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $|x - y| = |y - x|$ है,इसलिए यह सममित है। हालाँकि,यह संक्रामक नहीं है। उदाहरण के लिए,$(1, 1.6) \in R$ और $(1.6, 2.2) \in R$ है,लेकिन $|1 - 2.2| = 1.2 > 1$ होने के कारण $(1, 2.2) \notin R$ है। अतः,यह संक्रामक नहीं है। यह कथन गलत है।
$C$: $|x| - |y| \leq 1$ के लिए,यह स्वतुल्य है क्योंकि $|x| - |x| = 0 \leq 1$ है। यह सममित नहीं है क्योंकि $|2| - |0| = 2 \not\leq 1$ है। यह कथन सही है।
$D$: $|x - y| \leq 1$ के लिए,यह स्वतुल्य है क्योंकि $|x - x| = 0 \leq 1$ है। यह सममित है क्योंकि $|x - y| = |y - x|$ है। यह कथन सही है।
इसलिए,गलत कथन $B$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^{3}-3x^{2}y-xy^{2}+3y^{3}=0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$x^{2}(x-3y) - y^{2}(x-3y) = 0$
$(x^{2}-y^{2})(x-3y) = 0$
$(x-y)(x+y)(x-3y) = 0$
इसका अर्थ है $x=y$ या $x=-y$ या $x=3y$।
चूंकि $x, y \in N$,$x=-y$ संभव नहीं है क्योंकि $x, y > 0$ है।
अतः,संबंध $R = \{(x, y) \in N \times N : x=y \text{ या } x=3y\}$ है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in N$ के लिए,$(x, x) \in R$ क्योंकि $x=x$ सत्य है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $(3, 1) \in R$ पर विचार करें क्योंकि $3=3(1)$ है। हालाँकि,$(1, 3) \notin R$ क्योंकि $1 \neq 3$ और $1 \neq 3(3)=9$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: $(9, 3) \in R$ (क्योंकि $9=3(3)$) और $(3, 1) \in R$ (क्योंकि $3=3(1)$) पर विचार करें। $R$ के संक्रामक होने के लिए,$(9, 1)$ को $R$ में होना चाहिए। लेकिन $9 \neq 1$ और $9 \neq 3(1)=3$ है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,$R$ स्वतुल्य है लेकिन न तो सममित और न ही संक्रामक है।

(B) $R_{1} = \{(a, b) \in N \times N : |a - b| \leq 13\}$ के लिए:
$(i)$ स्वतुल्य: $|a - a| = 0 \leq 13$,इसलिए $(a, a) \in R_{1}$। यह स्वतुल्य है।
(ii) सममित: यदि $|a - b| \leq 13$ है,तो $|b - a| = |-(a - b)| = |a - b| \leq 13$। इसलिए $(b, a) \in R_{1}$। यह सममित है।
(iii) संक्रामक: मान लीजिए $(1, 10) \in R_{1}$ और $(10, 20) \in R_{1}$। यहाँ $|1 - 10| = 9 \leq 13$ और $|10 - 20| = 10 \leq 13$ है। हालाँकि,$|1 - 20| = 19 \not\leq 13$ है। अतः,$(1, 20) \notin R_{1}$। $R_{1}$ संक्रामक नहीं है,इसलिए यह तुल्यता संबंध नहीं है।
$R_{2} = \{(a, b) \in N \times N : |a - b| \neq 13\}$ के लिए:
$(i)$ स्वतुल्य: $|a - a| = 0 \neq 13$। इसलिए $(a, a) \in R_{2}$। यह स्वतुल्य है।
(ii) सममित: यदि $|a - b| \neq 13$ है,तो $|b - a| = |a - b| \neq 13$। इसलिए $(b, a) \in R_{2}$। यह सममित है।
(iii) संक्रामक: मान लीजिए $(1, 2) \in R_{2}$ और $(2, 14) \in R_{2}$। यहाँ $|1 - 2| = 1 \neq 13$ और $|2 - 14| = 12 \neq 13$ है। लेकिन $|1 - 14| = 13$,इसलिए $(1, 14) \notin R_{2}$। अतः,$R_{2}$ संक्रामक नहीं है,इसलिए यह तुल्यता संबंध नहीं है।
इसलिए,न तो $R_{1}$ और न ही $R_{2}$ एक तुल्यता संबंध है।

(D) समुच्चय $S = \{1, 2, \ldots, 50\}$ है। $S$ में अभाज्य संख्याएँ $p = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ (कुल $15$ अभाज्य संख्याएँ) हैं।
$R_{1}$ के लिए,हमें $p^{n} \leq 50$ चाहिए जहाँ $n \geq 0$:
- $p=2$ के लिए: $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}, 2^{5} \leq 50$ ($6$ अवयव)।
- $p=3$ के लिए: $3^{0}, 3^{1}, 3^{2}, 3^{3} \leq 50$ ($4$ अवयव)।
- $p=5$ के लिए: $5^{0}, 5^{1}, 5^{2} \leq 50$ ($3$ अवयव)।
- $p=7$ के लिए: $7^{0}, 7^{1}, 7^{2} \leq 50$ ($3$ अवयव)।
- $p \in \{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ ($11$ अभाज्य संख्याएँ) के लिए: $p^{0}, p^{1} \leq 50$ (प्रत्येक के लिए $2$ अवयव,कुल $11 \times 2 = 22$ अवयव)।
$R_{1}$ में कुल अवयव = $6 + 4 + 3 + 3 + 22 = 38$.
$R_{2}$ के लिए,$n=0$ या $n=1$ है:
- प्रत्येक $15$ अभाज्य संख्याओं के लिए,हमारे पास $(p, p^{0})$ और $(p, p^{1})$ हैं।
$R_{2}$ में कुल अवयव = $15 \times 2 = 30$.
$R_{1} - R_{2}$ में वे अवयव हैं जहाँ $n \geq 2$:
- $p=2$: $(2, 2^{2}), (2, 2^{3}), (2, 2^{4}), (2, 2^{5})$ ($4$ अवयव)।
- $p=3$: $(3, 3^{2}), (3, 3^{3})$ ($2$ अवयव)।
- $p=5$: $(5, 5^{2})$ ($1$ अवयव)।
- $p=7$: $(7, 7^{2})$ ($1$ अवयव)।
$R_{1} - R_{2}$ में कुल अवयव = $4 + 2 + 1 + 1 = 8$.

(D) संबंध $R$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि $(x, y) \in R$ यदि और केवल यदि $x$ और $y$ एक ही उपसमुच्चय $A_{i}$ में हैं।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in A$ के लिए,$x$ किसी $A_{i}$ में होता है। चूँकि $x \in A_{i} \iff x \in A_{i}$,इसलिए $(x, x) \in R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(x, y) \in R$ है,तो $x$ और $y$ एक ही $A_{i}$ में हैं। इसका अर्थ है कि $y$ और $x$ भी एक ही $A_{i}$ में हैं,इसलिए $(y, x) \in R$ है। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $x, y \in A_{i}$ और $y, z \in A_{j}$ है। चूँकि $i \neq j$ के लिए $A_{i} \cap A_{j} = \phi$ है,इसलिए $i = j$ होना चाहिए। अतः,$x, z \in A_{i}$,जिसका अर्थ है कि $(x, z) \in R$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(D) $R_{1}$ के लिए: $a R_{1} b \iff ab \geq 0$.
$1$. स्वतुल्य: प्रत्येक $a \in \mathbb{R}$ के लिए $a \cdot a = a^{2} \geq 0$ होता है। अतः,$R_{1}$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $ab \geq 0$ है,तो $ba \geq 0$ होगा। अतः,$R_{1}$ सममित है।
$3$. संक्रामक: मान लीजिए $a=2, b=0, c=-2$ है। तो $ab = 2 \cdot 0 = 0 \geq 0$ और $bc = 0 \cdot (-2) = 0 \geq 0$ है। लेकिन $ac = 2 \cdot (-2) = -4 < 0$ है। अतः,$R_{1}$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,$R_{1}$ एक तुल्यता संबंध नहीं है।
$R_{2}$ के लिए: $a R_{2} b \iff a \geq b$.
$1$. स्वतुल्य: प्रत्येक $a \in \mathbb{R}$ के लिए $a \geq a$ सत्य है। अतः,$R_{2}$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $a \geq b$ है,तो इसका अर्थ यह नहीं है कि $b \geq a$ (उदाहरण के लिए,$2 \geq 1$ लेकिन $1 \ngeq 2$)। अतः,$R_{2}$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: यदि $a \geq b$ और $b \geq c$ है,तो $a \geq c$ होगा। अतः,$R_{2}$ संक्रामक है।
चूंकि $R_{2}$ सममित नहीं है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध नहीं है।
अतः,न तो $R_{1}$ और न ही $R_{2}$ एक तुल्यता संबंध है।

(D) $R$ को स्वतुल्य (reflexive) होने के लिए,सभी $x \in N$ के लिए $xRx$ सत्य होना चाहिए।
$3x + \alpha x = (3 + \alpha)x, 7$ का एक गुणज होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $(3 + \alpha), 7$ का एक गुणज होना चाहिए,इसलिए $3 + \alpha = 7k \Rightarrow \alpha = 7k - 3 = 7(k-1) + 4$।
अतः,जब $\alpha$ को $7$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $4$ प्राप्त होता है।
$R$ को सममित (symmetric) होने के लिए,$xRy \Rightarrow yRx$।
$3x + \alpha y = 7n_1$ और $3y + \alpha x = 7n_2$।
इनको घटाने पर,$(3 - \alpha)(x - y) = 7(n_1 - n_2)$। यह स्थिति तब संतुष्ट होती है यदि $3 + \alpha, 7$ का एक गुणज हो।
$R$ को संक्रामक (transitive) होने के लिए,$xRy$ और $yRz \Rightarrow xRz$।
$3x + \alpha y = 7n_1$ और $3y + \alpha z = 7n_2$।
पहले समीकरण से,$\alpha y = 7n_1 - 3x$। दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर: $3y + \alpha z = 7n_2$।
$y$ को विलुप्त करने पर,हम पाते हैं कि संबंध संक्रामक है यदि $3 + \alpha, 7$ का एक गुणज हो।
इसलिए,$R$ के तुल्यता संबंध होने की शर्त यह है कि जब $\alpha$ को $7$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $4$ प्राप्त होता है।

(B) संबंध $R$ को $R = \{(a, b) : a \in \{1, 2, \ldots, 60\}, b = pq, p, q \geq 3, p, q \text{ अभाज्य संख्याएँ}, b \leq 60\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $a$,$1$ से $60$ तक कोई भी मान ले सकता है,इसलिए $a$ के लिए $60$ विकल्प हैं।
हमें $b = pq$ के लिए संभावित मान ज्ञात करने की आवश्यकता है ताकि $b \leq 60$ और $p, q \geq 3$ अभाज्य संख्याएँ हों।
स्थिति $1$: $p = 3$. तो $b = 3q$. चूँकि $b \leq 60$,$3q \leq 60 \implies q \leq 20$. $q \geq 3$ वाली अभाज्य संख्याएँ $3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ हैं। कुल $7$ मान हैं।
स्थिति $2$: $p = 5$. तो $b = 5q$. चूँकि $b \leq 60$,$5q \leq 60 \implies q \leq 12$. $q \geq 5$ वाली अभाज्य संख्याएँ $5, 7, 11$ हैं। कुल $3$ मान हैं।
स्थिति $3$: $p = 7$. तो $b = 7q$. चूँकि $b \leq 60$,$7q \leq 60 \implies q \leq 8.57$. $q \geq 7$ वाली अभाज्य संख्या $7$ है। कुल $1$ मान है।
स्थिति $4$: $p = 11$. तो $b = 11q$. चूँकि $b \leq 60$,$11q \leq 60 \implies q \leq 5.45$. ऐसी कोई अभाज्य संख्या $q \geq 11$ नहीं है जो इसे संतुष्ट करे।
$b$ के लिए कुल मान = $7 + 3 + 1 = 11$.
चूंकि $a$ के $60$ विकल्प हैं और $b$ के $11$ विकल्प हैं,इसलिए $R$ में अवयवों की कुल संख्या $60 \times 11 = 660$ है।

(D) मान लीजिए $n(A) = 10$ है। $A$ से $A$ तक संबंधों की कुल संख्या $2^{n^2} = 2^{100}$ है।
किसी संबंध के स्वतुल्य होने के लिए,$(a, a)$ के रूप के सभी $10$ अवयव संबंध में होने चाहिए।
$A \times A$ में $100 - 10 = 90$ शेष अवयव हैं जो या तो मौजूद हो सकते हैं या नहीं।
अतः,स्वतुल्य संबंधों की कुल संख्या $2^{90}$ है।
किसी संबंध के सममित होने के लिए,यदि $(a, b)$ मौजूद है,तो सभी $a \neq b$ के लिए $(b, a)$ भी मौजूद होना चाहिए।
$\{(a, b), (b, a)\}$ के रूप के ऐसे $45$ जोड़े हैं।
स्वतुल्य और सममित संबंध के लिए,$10$ विकर्ण अवयव $(a, a)$ मौजूद होने चाहिए,और $45$ जोड़ों में से प्रत्येक के लिए,हमारे पास $2$ विकल्प हैं (या तो दोनों मौजूद हैं या दोनों अनुपस्थित हैं)।
अतः,स्वतुल्य और सममित संबंधों की संख्या $2^{45}$ है।
स्वतुल्य लेकिन सममित नहीं होने वाले संबंधों की संख्या,कुल स्वतुल्य संबंधों में से स्वतुल्य और सममित संबंधों की संख्या को घटाने पर प्राप्त होती है।
आवश्यक संख्या $= 2^{90} - 2^{45}$.

(A) संबंध $aRb \iff a \mid b^2$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $a, b \in \mathbb{N}$ है।
$I.$ स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{N}$ के लिए,$a^2$ हमेशा $a$ से विभाज्य होता है (क्योंकि $a^2/a = a \in \mathbb{N}$)। अतः,सभी $a \in \mathbb{N}$ के लिए $(a, a) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$II.$ सममितता: $R$ के सममित होने के लिए $aRb \implies bRa$ होना चाहिए। मान लीजिए $a=2$ और $b=6$ है। यहाँ $2 \mid 6^2$ $(2 \mid 36)$ सत्य है,इसलिए $(2, 6) \in R$ है। लेकिन $6 \mid 2^2$ $(6 \mid 4)$ असत्य है। इसलिए,$R$ सममित नहीं है।
$III.$ संक्रामकता: $R$ के संक्रामक होने के लिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ होना चाहिए। मान लीजिए $a=8, b=4, c=2$ है।
$(8, 4) \in R$ क्योंकि $8 \mid 4^2$ $(8 \mid 16)$।
$(4, 2) \in R$ क्योंकि $4 \mid 2^2$ $(4 \mid 4)$।
$(8, 2)$ के लिए जाँचें: $8 \mid 2^2$ $(8 \mid 4)$ असत्य है। इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।
अतः,केवल $I$ संतुष्ट होता है।

(D) स्वतुल्यता: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $a \in \mathbb{Z}$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए।
इसके लिए $\operatorname{gcd}(a, a) = |a| = 1$ और $2a \neq a$ होना आवश्यक है। यह सभी $a \in \mathbb{Z}$ के लिए सत्य नहीं है (जैसे,$a=2$),इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
सममितता: $R$ के सममित होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए।
मान लीजिए $a=2, b=1$ है। $\operatorname{gcd}(2, 1) = 1$ और $2(2) = 4 \neq 1$,इसलिए $(2, 1) \in R$ है।
हालाँकि,$(1, 2)$ के लिए,$\operatorname{gcd}(1, 2) = 1$ लेकिन $2(1) = 2 = b$ है। चूँकि शर्त $2a \neq b$ का उल्लंघन होता है,इसलिए $(1, 2) \notin R$ है।
अतः,$R$ सममित नहीं है।
संक्रामकता: $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए।
मान लीजिए $a=14, b=19, c=21$ है।
$\operatorname{gcd}(14, 19) = 1$ और $2(14) = 28 \neq 19$,इसलिए $(14, 19) \in R$ है।
$\operatorname{gcd}(19, 21) = 1$ और $2(19) = 38 \neq 21$,इसलिए $(19, 21) \in R$ है।
हालाँकि,$\operatorname{gcd}(14, 21) = 7 \neq 1$,इसलिए $(14, 21) \notin R$ है।
अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: $R$ न तो सममित है और न ही संक्रामक है।

(D) समुच्चय $A = \{a, b, c, d\}$ पर एक संबंध $R$ को तुल्यता संबंध होने के लिए,इसे स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
$1$. स्वतुल्यता: सभी $x \in A$ के लिए,$(x, x) \in R$ होना चाहिए। अतः,हमें $(a, a), (b, b), (c, c), (d, d)$ जोड़ना होगा। ($4$ तत्व)
$2$. सममितता: यदि $(x, y) \in R$,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए। दिए गए $(a, b), (b, c), (b, d) \in R$ के लिए,हमें $(b, a), (c, b), (d, b)$ जोड़ना होगा। ($3$ तत्व)
$3$. संक्रामकता: यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$,तो $(x, z) \in R$ होना चाहिए।
$(a, b)$ और $(b, c)$ से,$(a, c)$ जोड़ें।
$(a, b)$ और $(b, d)$ से,$(a, d)$ जोड़ें।
$(c, b)$ और $(b, d)$ से,$(c, d)$ जोड़ें।
$(d, b)$ और $(b, c)$ से,$(d, c)$ जोड़ें।
$(a, c)$ और $(a, d)$ की सममितता के कारण $(c, a)$ और $(d, a)$ जोड़ें। ($2$ तत्व)
पूर्ण संबंध $R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (b, d), (d, b), (a, c), (c, a), (a, d), (d, a), (c, d), (d, c)\}$ है।
कुल तत्व = $16$. दिए गए तत्व = $3$. जोड़े जाने वाले तत्व = $16 - 3 = 13$.

(D) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in N$ के लिए,$2a + 3a = 5a$,जो $5$ का एक गुणज है। अतः,सभी $a \in N$ के लिए $a R a$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $a R b$,तो किसी पूर्णांक $k$ के लिए $2a + 3b = 5k$ है।
हमें यह जांचना है कि क्या $b R a$ सत्य है,अर्थात क्या $2b + 3a$,$5$ का गुणज है।
ध्यान दें कि $(2a + 3b) + (2b + 3a) = 5a + 5b = 5(a + b)$ है।
चूंकि $2a + 3b = 5k$,इसलिए $2b + 3a = 5(a + b) - 5k = 5(a + b - k)$ है।
चूंकि $a, b, k$ पूर्णांक हैं,$5(a + b - k)$ $5$ का एक गुणज है। अतः,$b R a$ सत्य है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $a R b$ और $b R c$ है।
तो कुछ पूर्णांकों $k_1, k_2$ के लिए $2a + 3b = 5k_1$ और $2b + 3c = 5k_2$ है।
हमें यह जांचना है कि क्या $a R c$ सत्य है,अर्थात क्या $2a + 3c$,$5$ का गुणज है।
$2a + 3b = 5k_1$ से,$2a = 5k_1 - 3b$ है।
$2b + 3c = 5k_2$ से,$3c = 5k_2 - 2b$ है।
इन दोनों को जोड़ने पर,$2a + 3c = 5k_1 + 5k_2 - 5b = 5(k_1 + k_2 - b)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $k_1, k_2, b$ पूर्णांक हैं,$2a + 3c$ $5$ का एक गुणज है। अतः,$a R c$ सत्य है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(B) दिया गया है $R = \{(a, b), (b, c)\}$ समुच्चय $A = \{a, b, c\}$ पर।
$R$ के सममित होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए।
सममितता के लिए जोड़े जाने वाले तत्व:
चूंकि $(a, b) \in R$,हमें $(b, a)$ जोड़ना होगा।
चूंकि $(b, c) \in R$,हमें $(c, b)$ जोड़ना होगा।
अब $R = \{(a, b), (b, a), (b, c), (c, b)\}$।
$R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$,तो $(x, z) \in R$ होना चाहिए।
$(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ का उपयोग करके,हमें $(a, c)$ जोड़ना होगा।
चूंकि $(a, c) \in R$,सममितता के लिए हमें $(c, a)$ जोड़ना होगा।
अब $R = \{(a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)\}$।
संक्रामकता की पुनः जाँच करने पर:
$(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R \Rightarrow (a, a) \in R$।
$(b, c) \in R$ और $(c, b) \in R \Rightarrow (b, b) \in R$।
$(a, c) \in R$ और $(c, a) \in R \Rightarrow (c, c) \in R$।
इन्हें जोड़ने पर,$R = \{(a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a), (a, a), (b, b), (c, c)\}$।
जोड़े गए तत्व $(b, a), (c, b), (a, c), (c, a), (a, a), (b, b), (c, c)$ हैं।
कुल जोड़े गए तत्वों की संख्या $= 7$।

(D) संबंध $(a, b) R (c, d) \iff ad(b-c) = bc(a-d)$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्य: $(a, b) R (a, b)$ के लिए,$ab(b-a) = ba(a-b)$ होना चाहिए। यह $ab(b-a) = -ab(b-a)$ में बदल जाता है,जो केवल $ab(b-a) = 0$ होने पर ही सत्य है। चूंकि $a, b \in N$,यह सभी $(a, b)$ के लिए सत्य नहीं है। अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममित: यदि $(a, b) R (c, d)$,तो $ad(b-c) = bc(a-d) \Rightarrow \frac{1}{c} - \frac{1}{d} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$। यह शर्त सममित है क्योंकि $(a, b)$ और $(c, d)$ को बदलने पर समान परिणाम मिलता है। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: शर्त $\frac{1}{c} - \frac{1}{b} = \frac{1}{d} - \frac{1}{a}$ संक्रामकता को दर्शाती है। इस प्रकार,$R$ सममित और संक्रामक है लेकिन स्वतुल्य नहीं है।

(B) संबंध $T = \{(a, b) : a^2 - b^2 \in Z\}$ के लिए:
यदि $(a, b) \in T$ है,तो $a^2 - b^2 = k$ किसी पूर्णांक $k \in Z$ के लिए।
तब $b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2) = -k$,जो भी एक पूर्णांक है।
अतः,$(b, a) \in T$,इसलिए $T$ सममित है।
संबंध $S = \{(a, b) : a, b \in R - \{0\}, 2 + \frac{a}{b} > 0\}$ के लिए:
यदि $(a, b) \in S$ है,तो $2 + \frac{a}{b} > 0 \Rightarrow \frac{a}{b} > -2$।
सममितता के लिए,$(b, a) \in S$ होना चाहिए,अर्थात $2 + \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow \frac{b}{a} > -2$।
यदि हम $a = 1, b = -0.4$ लेते हैं,तो $2 + \frac{1}{-0.4} = 2 - 2.5 = -0.5 < 0$,इसलिए $(1, -0.4) \notin S$।
अतः,$S$ सममित नहीं है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(A) स्वतुल्यता के लिए जाँच:
किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,$3a - 3a + \sqrt{7} = \sqrt{7}$। चूँकि $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए $(a, a) \in R$। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
सममितता के लिए जाँच:
मान लीजिए $(a, b) \in R$। तो $3a - 3b + \sqrt{7} = I_1$,जहाँ $I_1$ एक अपरिमेय संख्या है।
सममितता के लिए,हमें $(b, a) \in R$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है कि $3b - 3a + \sqrt{7}$ अपरिमेय होना चाहिए।
ध्यान दें कि $3b - 3a + \sqrt{7} = -(3a - 3b - \sqrt{7}) = -(I_1 - 2\sqrt{7}) = 2\sqrt{7} - I_1$।
यदि हम $a = \frac{\sqrt{7}}{3}$ और $b = 0$ लेते हैं,तो $3(\frac{\sqrt{7}}{3}) - 3(0) + \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$ (अपरिमेय),इसलिए $(a, b) \in R$।
हालाँकि,$(b, a)$ के लिए,हमारे पास $3(0) - 3(\frac{\sqrt{7}}{3}) + \sqrt{7} = 0$ है,जो परिमेय है। इसलिए,$(b, a) \notin R$। $R$ सममित नहीं है।
संक्रामकता के लिए जाँच:
मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$। तो $3a - 3b + \sqrt{7} = I_1$ और $3b - 3c + \sqrt{7} = I_2$,जहाँ $I_1, I_2$ अपरिमेय हैं।
संक्रामकता के लिए,$(a, c) \in R$ का अर्थ है कि $3a - 3c + \sqrt{7}$ अपरिमेय होना चाहिए।
दोनों संबंधों को जोड़ने पर: $(3a - 3b + \sqrt{7}) + (3b - 3c + \sqrt{7}) = 3a - 3c + 2\sqrt{7} = I_1 + I_2$।
अतः,$3a - 3c + \sqrt{7} = I_1 + I_2 - \sqrt{7}$।
यदि हम $a = \frac{\sqrt{7}}{3}, b = 1, c = \frac{2\sqrt{7}}{3}$ लेते हैं,तो $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$,लेकिन $3a - 3c + \sqrt{7} = 3(\frac{\sqrt{7}}{3}) - 3(\frac{2\sqrt{7}}{3}) + \sqrt{7} = \sqrt{7} - 2\sqrt{7} + \sqrt{7} = 0$,जो परिमेय है। इसलिए,$(a, c) \notin R$। $R$ संक्रामक नहीं है।

(A) संबंध $R_1$ के लिए: शर्त $(A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) = \varnothing$ सममित अंतर $A \Delta B = \varnothing$ की परिभाषा है,जिसका अर्थ है $A = B$। चूंकि $A = B$ एक तुल्यता संबंध है (स्वतुल्य,सममित और संक्रामक),इसलिए $R_1$ एक तुल्यता संबंध है।
संबंध $R_2$ के लिए: शर्त $A \cup B^c = B \cup A^c$ का विश्लेषण समुच्चय गुणों का उपयोग करके किया जा सकता है।
$A \cup B^c = B \cup A^c \iff (A \cup B^c) \cap (A \cap B) = (B \cup A^c) \cap (A \cap B) \iff A = B$.
वेन आरेख के क्षेत्रों का उपयोग करते हुए जहाँ $a, b, c, d$ अलग-अलग क्षेत्रों को दर्शाते हैं: $A = a \cup c$ और $B = b \cup c$।
$A \cup B^c = (a \cup c) \cup (a \cup d) = a \cup c \cup d$।
$B \cup A^c = (b \cup c) \cup (b \cup d) = b \cup c \cup d$।
इन्हें बराबर करने पर $a \cup c \cup d = b \cup c \cup d$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = b$। चूंकि $a$ और $b$ क्रमशः $A$ और $B$ के लिए अद्वितीय क्षेत्र हैं,$a = b = \varnothing$ का अर्थ है $A = B$। इस प्रकार,$R_2$ भी एक तुल्यता संबंध है।
अतः,$R_1$ और $R_2$ दोनों तुल्यता संबंध हैं।

(B) समुच्चय $A = \{0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$ है। विषम संख्याओं की संख्या $3$ $(\{3, 7, 9\})$ है और सम संख्याओं की संख्या $5$ $(\{0, 4, 6, 8, 10\})$ है।
संबंध $R$ में वे युग्म $(x, y)$ हैं जहाँ $x - y$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है या $x - y = 2$ है।
$1$. वे युग्म जहाँ $x - y$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है: चूँकि $x - y$ विषम है,एक संख्या विषम और दूसरी सम होनी चाहिए। ऐसे $3 \times 5 = 15$ युग्म हैं जहाँ $x > y$ है।
$2$. वे युग्म जहाँ $x - y = 2$ है: ये युग्म $(6, 4), (8, 6), (10, 8), (9, 7)$ हैं। ऐसे $4$ युग्म हैं जहाँ $x > y$ है।
$R$ में $x > y$ वाले कुल युग्म $15 + 4 = 19$ हैं।
$R$ को सममित बनाने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x)$ भी $R$ में होना चाहिए। चूँकि सभी $19$ युग्म वर्तमान में $x > y$ को संतुष्ट करते हैं,इसलिए उनके सममित युग्म $(y, x)$ जहाँ $y < x$ है,वर्तमान में $R$ में नहीं हैं।
अतः,$R$ को सममित बनाने के लिए हमें $19$ अवयव जोड़ने होंगे।

(D) दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ और $R = \{(x, y) \in A \times A : x + y = 7\}$.
$R$ के अवयवों को सूचीबद्ध करने पर: $R = \{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}$.
$1$. स्वतुल्य: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $x \in A$ के लिए $(x, x) \in R$ होना चाहिए। चूंकि $(1, 1) \notin R$,इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममित: $R$ के सममित होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए। चूंकि $(1, 6) \in R$ और $(6, 1) \in R$ है,$(2, 5) \in R$ और $(5, 2) \in R$ है,आदि,इसलिए $R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $(x, z) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(1, 6) \in R$ और $(6, 1) \in R$ है,लेकिन $(1, 1) \notin R$ है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,$R$ सममित है लेकिन न तो स्वतुल्य है और न ही संक्रामक।

(A) हमें $A = \{2, 3, 4\}$ और $B = \{8, 9, 12\}$ दिया गया है।
हमें उन युग्मों $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$ की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ $a_1, b_2$ को विभाजित करता है और $a_2, b_1$ को विभाजित करता है,जहाँ $a_1, a_2 \in A$ और $b_1, b_2 \in B$ हैं।
मान लीजिए $S, A \times B$ के उन युग्मों $(a, b)$ का समुच्चय है जहाँ $a, b$ को विभाजित करता है।
$a = 2$ के लिए,$b \in \{8, 12\}$ ($2$ युग्म: $(2, 8), (2, 12)$)।
$a = 3$ के लिए,$b \in \{9, 12\}$ ($2$ युग्म: $(3, 9), (3, 12)$)।
$a = 4$ के लिए,$b \in \{8, 12\}$ ($2$ युग्म: $(4, 8), (4, 12)$)।
इस प्रकार,$S$ में कुल $2 + 2 + 2 = 6$ ऐसे युग्म हैं।
संबंध $R$ उन युग्मों $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$ का समुच्चय है जहाँ $(a_1, b_2) \in S$ और $(a_2, b_1) \in S$ है।
चूंकि युग्म $(a_1, b_2)$ के लिए $6$ विकल्प हैं और युग्म $(a_2, b_1)$ के लिए भी $6$ विकल्प हैं,इसलिए $R$ में अवयवों की कुल संख्या $6 \times 6 = 36$ है।

(B) माना समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ है।
एक संबंध $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,इसमें $(1,1), (2,2), (3,3)$ का होना आवश्यक है।
दिया गया है कि $(1,2) \in R$ और $(2,3) \in R$,इसलिए $R$ के संक्रामक होने के लिए,इसमें $(1,3)$ होना चाहिए क्योंकि $(1,2) \in R$ और $(2,3) \in R \implies (1,3) \in R$।
अतः,इन तत्वों को शामिल करने वाला न्यूनतम संबंध $R_0 = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3), (1,3)\}$ है।
यह संबंध $R_0$ स्वतुल्य और संक्रामक है। यह सममित नहीं है क्योंकि $(1,2) \in R_0$ लेकिन $(2,1) \notin R_0$।
यदि हम $R_0$ में कोई अन्य तत्व जोड़ते हैं,जैसे कि $(2,1)$,तो संबंध $(1,2)$ और $(2,1)$ के संबंध में सममित हो जाता है। यदि हम $(3,2)$ जोड़ते हैं,तो यह $(2,3)$ और $(3,2)$ के संबंध में सममित हो जाता है।
इसलिए,ऐसा केवल $1$ ही संबंध संभव है,जो स्वयं $R_0$ है।

(C) दिया गया है $A = \{-4, -3, -2, 0, 1, 3, 4\}$.
सबसे पहले,हम $b = |a|$ या $b^2 = a + 1$ शर्तों के आधार पर $R$ के तत्व ज्ञात करते हैं:
$b = |a|$ के लिए: $(-4, 4), (-3, 3), (-2, 2), (0, 0), (1, 1), (3, 3), (4, 4)$। ध्यान दें कि $(-2, 2)$ $A \times A$ में नहीं है क्योंकि $2 \notin A$। अतः,हमारे पास $(-4, 4), (-3, 3), (0, 0), (1, 1), (3, 3), (4, 4)$ हैं।
$b^2 = a + 1$ के लिए: यदि $a = -4, b^2 = -3$ (नहीं); $a = -3, b^2 = -2$ (नहीं); $a = -2, b^2 = -1$ (नहीं); $a = 0, b^2 = 1 \Rightarrow b = 1, -1$ (केवल $1 \in A$); $a = 1, b^2 = 2$ (नहीं); $a = 3, b^2 = 4 \Rightarrow b = 2, -2$ (नहीं); $a = 4, b^2 = 5$ (नहीं)।
इस प्रकार,$R = \{(-4, 4), (-3, 3), (0, 0), (1, 1), (3, 3), (4, 4), (0, 1)\}$।
$R$ को स्वतुल्य बनाने के लिए,प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए। लुप्त तत्व: $(-4, -4), (-3, -3), (-2, -2)$। ($3$ तत्व)।
अब $R' = R \cup \{(-4, -4), (-3, -3), (-2, -2)\} = \{(-4, 4), (-3, 3), (0, 0), (1, 1), (3, 3), (4, 4), (0, 1), (-4, -4), (-3, -3), (-2, -2)\}$।
$R'$ को सममित बनाने के लिए,यदि $(a, b) \in R'$,तो $(b, a) \in R'$ होना चाहिए।
जोड़ने के लिए जोड़े: $(4, -4), (3, -3), (1, 0)$। ($3$ तत्व)।
कुल जोड़े गए तत्व = $3 + 3 = 6$।

(A) दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4\}$। संबंध $R$,$A \times A$ पर इस प्रकार परिभाषित है कि $2a + 3b = 4c + 5d$,जहाँ $a, b, c, d \in A$ है।
माना $S_1 = 2a + 3b$ और $S_2 = 4c + 5d$ है।
$a, b \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $S_1$ के संभावित मान:
यदि $a=1: 2+3=5, 2+6=8, 2+9=11, 2+12=14$
यदि $a=2: 4+3=7, 4+6=10, 4+9=13, 4+12=16$
यदि $a=3: 6+3=9, 6+6=12, 6+9=15, 6+12=18$
यदि $a=4: 8+3=11, 8+6=14, 8+9=17, 8+12=20$
$c, d \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $S_2$ के संभावित मान:
यदि $c=1: 4+5=9, 4+10=14, 4+15=19, 4+20=24$
यदि $c=2: 8+5=13, 8+10=18, 8+15=23, 8+20=28$
यदि $c=3: 12+5=17, 12+10=22, 12+15=27, 12+20=32$
यदि $c=4: 16+5=21, 16+10=26, 16+15=31, 16+20=36$
हम उभयनिष्ठ मान $\alpha = S_1 = S_2$ देखते हैं:
$\alpha = 9$ के लिए: $(a,b)=(3,1)$ और $(c,d)=(1,1) \implies ((3,1),(1,1))$
$\alpha = 13$ के लिए: $(a,b)=(2,3)$ और $(c,d)=(2,1) \implies ((2,3),(2,1))$
$\alpha = 14$ के लिए: $(a,b)=(1,4)$ और $(c,d)=(1,2) \implies ((1,4),(1,2))$
$\alpha = 14$ के लिए: $(a,b)=(4,2)$ और $(c,d)=(1,2) \implies ((4,2),(1,2))$
$\alpha = 17$ के लिए: $(a,b)=(4,3)$ और $(c,d)=(3,1) \implies ((4,3),(3,1))$
$\alpha = 18$ के लिए: $(a,b)=(3,4)$ और $(c,d)=(2,2) \implies ((3,4),(2,2))$
कुल अवयवों की संख्या $6$ है।

(D) मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ है।
संबंध $R = \{(A, B) : A \cap B \neq \phi; A, B \in M\}$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्यता: एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $A \in M$ के लिए $(A, A) \in R$ हो। इसके लिए $A \cap A \neq \phi$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $A \neq \phi$। चूंकि रिक्त समुच्चय $\phi$,$S$ का एक उपसमुच्चय है और $\phi \cap \phi = \phi$ होता है,इसलिए $A = \phi$ के लिए $A \cap A \neq \phi$ की शर्त पूरी नहीं होती है। अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: एक संबंध $R$ सममित होता है यदि $(A, B) \in R \implies (B, A) \in R$ हो। यदि $A \cap B \neq \phi$ है,तो $B \cap A \neq \phi$ होगा क्योंकि सर्वनिष्ठ (intersection) क्रमविनिमेय होता है। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(A, B) \in R$ और $(B, C) \in R \implies (A, C) \in R$ हो। मान लीजिए $S = \{1, 2, 3\}$ है। मान लीजिए $A = \{1, 2\}$,$B = \{2, 3\}$,और $C = \{3\}$ है। यहाँ,$A \cap B = \{2\} \neq \phi$ और $B \cap C = \{3\} \neq \phi$ है। हालाँकि,$A \cap C = \phi$ है। चूँकि $A \cap C = \phi$ है,इसलिए $(A, C) \in R$ की शर्त पूरी नहीं होती है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,यह संबंध केवल सममित है।

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $(a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ के लिए,$ab - ba = 0$ होता है,जो $5$ से विभाज्य है। अतः,$(a, b) R (a, b)$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $(a, b) R (c, d)$ है। तो किसी पूर्णांक $k$ के लिए $ad - bc = 5k$ है। यह दर्शाता है कि $bc - ad = 5(-k)$,जो भी $5$ से विभाज्य है। अतः,$(c, d) R (a, b)$ सत्य है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: $(3, 1) R (10, 5)$ पर विचार करें क्योंकि $3(5) - 1(10) = 5$,जो $5$ से विभाज्य है। साथ ही,$(10, 5) R (1, 1)$ क्योंकि $10(1) - 5(1) = 5$,जो $5$ से विभाज्य है। हालाँकि,$(3, 1)$ और $(1, 1)$ के लिए,$3(1) - 1(1) = 2$ होता है,जो $5$ से विभाज्य नहीं है। अतः,$(3, 1)$,$(1, 1)$ से संबंधित नहीं है। इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।

(A) $R$ को एक तुल्यता संबंध होने के लिए,इसे स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
$1$. स्वतुल्यता: चूंकि समुच्चय $\{1, 2, 3, 4\}$ है,$R$ में $\{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)\}$ होना चाहिए।
$2$. सममितता: दिया गया है कि $\{(1, 2), (1, 3)\} \subset R$,इसलिए सममितता के अनुसार,$R$ में $\{(2, 1), (3, 1)\}$ भी होना चाहिए।
$3$. संक्रामकता: चूंकि $(2, 1) \in R$ और $(1, 3) \in R$,संक्रामकता के अनुसार,$(2, 3) \in R$ होगा। सममितता के अनुसार,$(3, 2) \in R$ भी $R$ में होना चाहिए।
इन सबको मिलाने पर,समुच्चय $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)\}$ प्राप्त होता है।
अवयवों की गणना करने पर,$R$ में कुल $10$ अवयव हैं।

(C) माना $n$ समुच्चय में अवयवों की संख्या है। यहाँ,$n = 4$ है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय पर कुल सममित संबंधों की संख्या $2^{\frac{n(n+1)}{2}}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 4$ के लिए,सममित संबंधों की संख्या $2^{\frac{4(5)}{2}} = 2^{10} = 1024$ है।
वे सममित संबंध जो स्वतुल्य भी हैं,उनकी संख्या $2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 4$ के लिए,सममित और स्वतुल्य संबंधों की संख्या $2^{\frac{4(3)}{2}} = 2^6 = 64$ है।
स्वतुल्य न होने वाले सममित संबंधों की संख्या,कुल सममित संबंधों में से स्वतुल्य और सममित संबंधों की संख्या को घटाने पर प्राप्त होती है।
स्वतुल्य न होने वाले सममित संबंधों की संख्या $= 2^{10} - 2^6 = 1024 - 64 = 960$.

(A) एक तुल्यता संबंध $S$ को स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
दिया गया है $R = \{(1, 2), (2, 3), (1, 4)\}$.
$1$. स्वतुल्यता: $S$ में $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$ होने चाहिए।
$2$. सममितता: चूंकि $(1, 2) \in S$,इसलिए $(2, 1) \in S$। चूंकि $(2, 3) \in S$,इसलिए $(3, 2) \in S$। चूंकि $(1, 4) \in S$,इसलिए $(4, 1) \in S$।
$3$. संक्रामकता: चूंकि $(1, 2) \in S$ और $(2, 3) \in S$,इसलिए $(1, 3) \in S$। सममितता के अनुसार $(3, 1) \in S$।
यहाँ सभी अवयव एक ही तुल्यता वर्ग में हैं,इसलिए $S = A \times A$।
अतः,अवयवों की संख्या $n = 4 \times 4 = 16$।

(B) संबंध $R$ को $(x, y) \in R \iff 2x = 3y$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसका अर्थ है $y = \frac{2}{3}x$।
चूंकि $x, y \in \{1, 2, \ldots, 100\}$,$x$ को $3$ का गुणज होना चाहिए।
मान लीजिए $x = 3k$,तो $y = 2k$।
$1 \le 2k \le 100$ के लिए,$k \le 50$।
$1 \le 3k \le 100$ के लिए,$k \le 33$।
अतः,$k$ का मान $1$ से $33$ तक हो सकता है।
$R$ के तत्व $\{(3, 2), (6, 4), (9, 6), \ldots, (99, 66)\}$ हैं।
$R$ में तत्वों की संख्या $n(R) = 33$ है।
$R_1$ के सममित संबंध होने के लिए ताकि $R \subset R_1$,प्रत्येक $(x, y) \in R$ के लिए,$(y, x)$ भी $R_1$ में होना चाहिए।
चूंकि $R$ सममित नहीं है (उदाहरण के लिए,$(3, 2) \in R$ लेकिन $(2, 3) \notin R$),हमें सभी $(y, x)$ युग्मों को $R_1$ में शामिल करना होगा।
अतः,$R_1 = R \cup R^{-1} = \{(3, 2), (6, 4), \ldots, (99, 66), (2, 3), (4, 6), \ldots, (66, 99)\}$।
$R_1$ में तत्वों की संख्या $n = n(R) + n(R^{-1}) = 33 + 33 = 66$ है।

(B) समुच्चय $A = \{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ है।
$R_1 = \{(a, b) : b, a \text{ से विभाज्य है}\}$। $R_1$ में अवयवों की संख्या प्रत्येक $a \in A$ के लिए $20$ तक के गुणजों की संख्या का योग है।
$a=1$ के लिए,$20$ गुणज हैं। $a=2$ के लिए,$10$ गुणज हैं। $a=3$ के लिए,$6$ गुणज हैं। $a=4$ के लिए,$5$ गुणज हैं। $a=5$ के लिए,$4$ गुणज हैं। $a=6$ के लिए,$3$ गुणज हैं। $a=7, 8, 9, 10$ के लिए,प्रत्येक के $2$ गुणज हैं। $a=11, 12, \ldots, 20$ के लिए,प्रत्येक का $1$ गुणज है।
$n(R_1) = 20 + 10 + 6 + 5 + 4 + 3 + (4 \times 2) + (10 \times 1) = 66$.
$R_1 \cap R_2 = \{(a, b) : b = ka \text{ और } a = mb\} = \{(a, b) : a = b\}$.
अतः,$R_1 \cap R_2 = \{(1, 1), (2, 2), \ldots, (20, 20)\}$.
$n(R_1 \cap R_2) = 20$.
$n(R_1 - R_2) = n(R_1) - n(R_1 \cap R_2) = 66 - 20 = 46$.

(B) संबंध $R_1$ के लिए: $a R_1 b \Leftrightarrow a^2+b^2=1$ जहाँ $a, b \in R$.
$1$. स्वतुल्यता: यदि $a=0.5$ है,तो $a^2+a^2 = 0.25+0.25 = 0.5 \neq 1$. अतः,$R_1$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: यदि $a^2+b^2=1$,तो $b^2+a^2=1$,इसलिए $b R_1 a$. $R_1$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $a R_1 b$ और $b R_1 c$,तो $a^2+b^2=1$ और $b^2+c^2=1$. यह $a^2+c^2=1$ को सिद्ध नहीं करता है। उदाहरण के लिए,$a=1, b=0, c=1$. $1^2+0^2=1$ और $0^2+1^2=1$,लेकिन $1^2+1^2=2 \neq 1$. अतः,$R_1$ संक्रामक नहीं है।
संबंध $R_2$ के लिए: $(a, b) R_2 (c, d) \Leftrightarrow a+d=b+c$ जहाँ $(a, b), (c, d) \in N \times N$.
$1$. स्वतुल्यता: $a+b=b+a$ सत्य है,इसलिए $(a, b) R_2 (a, b)$.
$2$. सममितता: यदि $a+d=b+c$,तो $c+b=d+a$,इसलिए $(c, d) R_2 (a, b)$.
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) R_2 (c, d)$ और $(c, d) R_2 (e, f)$,तो $a+d=b+c$ और $c+f=d+e$. इन दोनों को जोड़ने पर,$a+d+c+f = b+c+d+e \Rightarrow a+f=b+e$. अतः,$(a, b) R_2 (e, f)$.
चूंकि $R_2$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
अतः,केवल $R_2$ एक तुल्यता संबंध है।

(B) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $(x, y) \in N \times N$ के लिए,$x \leq x$ या $y \leq y$ सत्य है। अतः,$((x, y), (x, y)) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $((1, 1), (2, 3)) \in R$ है क्योंकि $1 \leq 2$ सत्य है। लेकिन $((2, 3), (1, 1)) \notin R$ है क्योंकि $2 \leq 1$ और $3 \leq 1$ दोनों असत्य हैं। इसलिए,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $A = (2, 4)$,$B = (3, 3)$,और $C = (1, 3)$ है।
$(A, B) \in R$ क्योंकि $2 \leq 3$ सत्य है।
$(B, C) \in R$ क्योंकि $3 \leq 3$ सत्य है।
लेकिन $(A, C) = ((2, 4), (1, 3))$ के लिए,$2 \leq 1$ असत्य है और $4 \leq 3$ भी असत्य है। अतः,$(A, C) \notin R$ है। इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।
अतः,केवल कथन $(I)$ सही है।

(D) दिया गया समुच्चय $X = \{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ है।
$R_1 = \{(x, y) : 2x - 3y = 2\}$ के लिए,हम क्रमित युग्म $(x, y)$ ज्ञात करते हैं जहाँ $x, y \in X$:
यदि $y = 2, x = 4$; यदि $y = 4, x = 7$; यदि $y = 6, x = 10$; यदि $y = 8, x = 13$; यदि $y = 10, x = 16$; यदि $y = 12, x = 19$।
अतः,$R_1 = \{(4, 2), (7, 4), (10, 6), (13, 8), (16, 10), (19, 12)\}$।
यहाँ $6$ तत्व हैं और कोई भी $(a, a)$ के रूप में नहीं है,इसलिए $R_1$ को सममित बनाने के लिए प्रत्येक युग्म का उल्टा जोड़ना होगा,यानी $6$ तत्व जोड़ने होंगे।
अतः,$M = 6$।
$R_2 = \{(x, y) : -5x + 4y = 0\}$ के लिए,जिसका अर्थ है $4y = 5x$ या $y = \frac{5}{4}x$,हम क्रमित युग्म $(x, y)$ ज्ञात करते हैं जहाँ $x, y \in X$:
यदि $x = 4, y = 5$; यदि $x = 8, y = 10$; यदि $x = 12, y = 15$; यदि $x = 16, y = 20$।
अतः,$R_2 = \{(4, 5), (8, 10), (12, 15), (16, 20)\}$।
यहाँ $4$ तत्व हैं और कोई भी $(a, a)$ के रूप में नहीं है,इसलिए $R_2$ को सममित बनाने के लिए प्रत्येक युग्म का उल्टा जोड़ना होगा,यानी $4$ तत्व जोड़ने होंगे।
अतः,$N = 4$।
इसलिए,$M + N = 6 + 4 = 10$।

(C) दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ और संबंध $R$ जो $4x \leq 5y$ द्वारा परिभाषित है।
सबसे पहले,हम उन अवयवों $(x, y)$ को सूचीबद्ध करते हैं जिनके लिए $4x \leq 5y$ है:
$x=1$ के लिए: $4 \leq 5y \implies y \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ($5$ अवयव)
$x=2$ के लिए: $8 \leq 5y \implies y \in \{2, 3, 4, 5\}$ ($4$ अवयव)
$x=3$ के लिए: $12 \leq 5y \implies y \in \{3, 4, 5\}$ ($3$ अवयव)
$x=4$ के लिए: $16 \leq 5y \implies y \in \{4, 5\}$ ($2$ अवयव)
$x=5$ के लिए: $20 \leq 5y \implies y \in \{4, 5\}$ ($2$ अवयव)
कुल अवयव $m = 5 + 4 + 3 + 2 + 2 = 16$.
$R$ को सममित बनाने के लिए,प्रत्येक $(x, y) \in R$ जहाँ $x \neq y$ है,के लिए $(y, x) \in R$ होना चाहिए।
$R$ में वे अवयव जहाँ $x \neq y$ है,वे हैं: $(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 4)$।
ऐसी $11$ जोड़ियाँ हैं।
हम जाँचते हैं कि इनमें से कौन सी जोड़ियाँ $(y, x)$ पहले से $R$ में नहीं हैं:
$(2, 1) \notin R$,$(3, 1) \notin R$,$(4, 1) \notin R$,$(5, 1) \notin R$,$(3, 2) \notin R$,$(4, 2) \notin R$,$(5, 2) \notin R$,$(4, 3) \notin R$,$(5, 3) \notin R$।
ध्यान दें कि $(5, 4) \in R$ और $(4, 5) \in R$,इसलिए यह जोड़ी पहले से ही सममित है।
जोड़े जाने वाले अवयव $\{(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (4, 3), (5, 3)\}$ हैं।
अतः,$n = 9$।
इसलिए,$m + n = 16 + 9 = 25$।