Types of Relations Questions in Hindi

(C) $A \times B$ पर संबंध $R$ के लिए,$(a, b) R (c, d)$ तब सत्य है यदि $3ad - 7bc$ सम है।
$1$. स्वतुल्यता: जाँचें कि क्या $(a, b) R (a, b)$ सत्य है।
$3ab - 7ba = 3ab - 7ab = -4ab$। चूँकि $-4ab$ किसी भी $a \in A, b \in B$ के लिए हमेशा सम होता है,इसलिए संबंध स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) R (c, d)$ सत्य है,तो $3ad - 7bc$ सम है।
हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या $(c, d) R (a, b)$ सत्य है,अर्थात क्या $3cb - 7da$ सम है।
ध्यान दें कि $3cb - 7da = -(3ad - 7bc)$। यदि $3ad - 7bc$ सम है,तो $-(3ad - 7bc)$ भी सम होगा। अतः,संबंध सममित है।
$3$. संक्रामकता: जाँचें कि क्या $(a, b) R (c, d)$ और $(c, d) R (e, f)$ का अर्थ $(a, b) R (e, f)$ है।
मान लीजिए $(a, b) = (3, 4)$,$(c, d) = (6, 4)$,और $(e, f) = (3, 1)$ है।
$(3, 4) R (6, 4)$ के लिए: $3(3)(4) - 7(4)(6) = 36 - 168 = -132$ (सम)।
$(6, 4) R (3, 1)$ के लिए: $3(6)(1) - 7(4)(3) = 18 - 84 = -66$ (सम)।
$(3, 4) R (3, 1)$ के लिए: $3(3)(1) - 7(4)(3) = 9 - 84 = -75$ (विषम)।
चूँकि $(3, 4) R (6, 4)$ और $(6, 4) R (3, 1)$ सत्य हैं,लेकिन $(3, 4) R (3, 1)$ असत्य है,इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है।
अतः,संबंध स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है।

(B) संबंध $R$,$A \times B$ पर इस प्रकार परिभाषित है कि $(a_1, b_1) R (a_2, b_2)$ यदि $a_1 + a_2 = b_1 + b_2$ हो,जहाँ $a_1, a_2 \in A$ और $b_1, b_2 \in B$ है।
शर्त $a_1 + a_2 = b_1 + b_2$ को $a_1 - b_1 = b_2 - a_2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $S = \{a - b : a \in A, b \in B\}$ है।
अंतर $a - b$ के संभावित मान:
$2-4 = -2, 2-5 = -3, 2-6 = -4, 2-8 = -6$
$3-4 = -1, 3-5 = -2, 3-6 = -3, 3-8 = -5$
$6-4 = 2, 6-5 = 1, 6-6 = 0, 6-8 = -2$
$7-4 = 3, 7-5 = 2, 7-6 = 1, 7-8 = -1$
प्रत्येक अंतर $k = a - b$ की आवृत्ति:
$k = -6: 1$ (युग्म $(2,8)$)
$k = -5: 1$ (युग्म $(3,8)$)
$k = -4: 1$ (युग्म $(2,6)$)
$k = -3: 2$ (युग्म $(2,5), (3,6)$)
$k = -2: 3$ (युग्म $(2,4), (3,5), (6,8)$)
$k = -1: 2$ (युग्म $(3,4), (7,8)$)
$k = 0: 1$ (युग्म $(6,6)$)
$k = 1: 2$ (युग्म $(6,5), (7,6)$)
$k = 2: 2$ (युग्म $(6,4), (7,5)$)
$k = 3: 1$ (युग्म $(7,4)$)
$R$ में अवयवों की संख्या इन आवृत्तियों के वर्गों का योग है: $1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2 = 30$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $25$ है।

(C) समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध समुच्चय $A$ के विभाजन के अनुरूप होता है। $n$ अवयवों वाले समुच्चय पर तुल्यता संबंधों की संख्या बेल संख्या $B_n$ द्वारा दी जाती है।
समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ के लिए,अवयवों की संख्या $n = 3$ है।
$\{1, 2, 3\}$ के विभाजन इस प्रकार हैं:
$1$. $\{\{1\}, \{2\}, \{3\}\}$ (तत्समक संबंध $R = \{(1,1), (2,2), (3,3)\}$ के अनुरूप)
$2$. $\{\{1, 2\}, \{3\}\}$ (संबंध $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}$ के अनुरूप)
$3$. $\{\{1, 3\}, \{2\}\}$ (संबंध $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,3), (3,1)\}$ के अनुरूप)
$4$. $\{\{2, 3\}, \{1\}\}$ (संबंध $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)\}$ के अनुरूप)
$5$. $\{\{1, 2, 3\}\}$ (सार्वत्रिक संबंध $R = A \times A$ के अनुरूप)
अतः,कुल $5$ संभावित तुल्यता संबंध हैं। चूंकि ये सभी अरिक्त हैं,इसलिए कुल संख्या $5$ है।

(A) मान लीजिए $R$,$A = \{1, 2, 3\}$ पर एक संबंध है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य है,इसलिए $(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$.
दिया गया है कि $(1, 2) \in R$ और $(2, 3) \in R$,संक्रामकता के नियम से $(1, 3) \in R$ होगा।
अतः,$R$ में कम से कम समुच्चय $S = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)\}$ होना चाहिए।
यह समुच्चय $S$ पहले से ही स्वतुल्य और संक्रामक है। यह सममित नहीं है क्योंकि $(1, 2) \in S$ लेकिन $(2, 1) \notin S$ है।
हम $A \times A \setminus S = \{(2, 1), (3, 2), (3, 1)\}$ से अन्य अवयव जोड़ सकते हैं।
संक्रामकता बनाए रखते हुए और यह सुनिश्चित करते हुए कि संबंध सममित न हो,हमें कुल $3$ ऐसे संबंध प्राप्त होते हैं।

(D) किसी समुच्चय $A$ पर संबंध $R$ को तुल्यता संबंध होने के लिए उसे स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और $R = \{(1,2), (2,3), (3,3)\}$.
$1$. स्वतुल्यता: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)$ का $R$ में होना आवश्यक है। चूंकि $(3,3)$ पहले से मौजूद है,हमें $(1,1), (2,2), (4,4)$ जोड़ने होंगे।
$2$. सममितता: चूंकि $(1,2) \in R$,हमें $(2,1)$ जोड़ना होगा। चूंकि $(2,3) \in R$,हमें $(3,2)$ जोड़ना होगा।
$3$. संक्रामकता: चूंकि $(1,2) \in R$ और $(2,3) \in R$,इसलिए $(1,3) \in R$ होना चाहिए। चूंकि $(1,3) \in R$,सममितता के लिए हमें $(3,1)$ जोड़ना होगा।
अब,जोड़े गए तत्वों के साथ संक्रामकता की जांच करने पर: $(2,1) \in R$ और $(1,3) \in R \implies (2,3) \in R$ (पहले से मौजूद है)। $(3,2) \in R$ और $(2,1) \in R \implies (3,1) \in R$ (पहले से जोड़ा जा चुका है)। $(1,2) \in R$ और $(2,1) \in R \implies (1,1) \in R$ (पहले से जोड़ा जा चुका है)।
अतः,जोड़े गए कुल तत्व $(1,1), (2,2), (4,4), (2,1), (3,2), (1,3), (3,1)$ हैं।
कुल जोड़े गए तत्वों की संख्या = $7$.

(B) कथन-$I$:
स्वतुल्य: $(a_1, b_1) R (a_1, b_1) \Rightarrow b_1 = b_1$,जो सत्य है।
सममित: यदि $(a_1, b_1) R (a_2, b_2)$,तो $b_1 = b_2$,जिसका अर्थ है $b_2 = b_1$,इसलिए $(a_2, b_2) R (a_1, b_1)$ सत्य है।
संक्रामक: यदि $(a_1, b_1) R (a_2, b_2)$ और $(a_2, b_2) R (a_3, b_3)$,तो $b_1 = b_2$ और $b_2 = b_3$,जिसका अर्थ है $b_1 = b_3$,इसलिए $(a_1, b_1) R (a_3, b_3)$ सत्य है।
चूंकि संबंध स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है। अतः,कथन-$I$ सही है।
कथन-$II$: समुच्चय $S = \{(x, y) \in X : (x, y) R (a, b)\} = \{(x, y) \in X : y = b\}$। यह एक क्षैतिज रेखा $y = b$ को दर्शाता है,जो $x$-अक्ष के समांतर है,न कि रेखा $y = x$ के। अतः,कथन-$II$ गलत है।

(C) दिया गया संबंध $R = \{(x, y) : x, y \in \mathbb{Z} \text{ और } x + y \text{ सम है} \}$ है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in \mathbb{Z}$ के लिए,$x + x = 2x$,जो हमेशा एक सम पूर्णांक होता है। अतः,सभी $x \in \mathbb{Z}$ के लिए $(x, x) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(x, y) \in R$ है,तो $x + y$ सम है। चूँकि $x + y = y + x$,इसलिए $y + x$ भी सम है। अतः,$(y, x) \in R$ है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $x + y$ सम है और $y + z$ सम है। दो सम संख्याओं का योग सम होता है,इसलिए $(x + y) + (y + z) = x + z + 2y$ सम है। चूँकि $2y$ सम है,इसलिए $x + z$ भी सम होगा। अतः,$(x, z) \in R$ है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूँकि संबंध स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(A) अंतराल $[0, \frac{\pi}{2})$ पर संबंध $xRy \iff \sec^2 x - \tan^2 y = 1$ दिया गया है।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $x \in [0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या $xRx$ सत्य है।
$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,जो एक मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है।
अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $xRy$ है,तो $\sec^2 x - \tan^2 y = 1$.
सर्वसमिका $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,$(1 + \tan^2 x) - \tan^2 y = 1 \implies \tan^2 x = \tan^2 y$.
तब $\sec^2 y - \tan^2 x = (1 + \tan^2 y) - \tan^2 x = 1 + \tan^2 x - \tan^2 x = 1$.
अतः,$yRx$ सत्य है,इसलिए $R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $xRy$ और $yRz$ है,तो $\sec^2 x - \tan^2 y = 1$ और $\sec^2 y - \tan^2 z = 1$.
पहले से,$\tan^2 x = \tan^2 y$. दूसरे से,$\sec^2 y = 1 + \tan^2 z$.
$\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ को दूसरे समीकरण में रखने पर: $1 + \tan^2 y - \tan^2 z = 1 \implies \tan^2 y = \tan^2 z$.
चूँकि $\tan^2 x = \tan^2 y$ और $\tan^2 y = \tan^2 z$,इसलिए $\tan^2 x = \tan^2 z$.
तब $\sec^2 x - \tan^2 z = (1 + \tan^2 x) - \tan^2 z = 1 + 0 = 1$.
अतः,$xRz$ सत्य है,इसलिए $R$ संक्रामक है।
चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(B) $R = \{(f, g) : f(0) = g(1) \text{ और } f(1) = g(0)\}$
$1.$ स्वतुल्य: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $f \in A$ के लिए $(f, f) \in R$ होना चाहिए। इसका अर्थ है $f(0) = f(1)$ और $f(1) = f(0)$। चूंकि यह सभी फलनों $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ के लिए सत्य नहीं है (उदाहरण के लिए,$f(x) = x$ लें),इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2.$ सममित: यदि $(f, g) \in R$,तो $f(0) = g(1)$ और $f(1) = g(0)$। हमें यह जांचना है कि क्या $(g, f) \in R$ है। इसके लिए $g(0) = f(1)$ और $g(1) = f(0)$ होना आवश्यक है। ये शर्तें $(f, g) \in R$ की परिभाषा के समान ही हैं। अतः,$R$ सममित है।
$3.$ संक्रामक: यदि $(f, g) \in R$ और $(g, h) \in R$,तो $f(0) = g(1)$,$f(1) = g(0)$,$g(0) = h(1)$,और $g(1) = h(0)$। $R$ के संक्रामक होने के लिए,हमें $(f, h) \in R$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $f(0) = h(1)$ और $f(1) = h(0)$। दी गई शर्तों से,$f(0) = g(1) = h(0)$ और $f(1) = g(0) = h(1)$। इसका अर्थ यह नहीं है कि $f(0) = h(1)$ और $f(1) = h(0)$ हमेशा सत्य हो। उदाहरण के लिए,यदि $f(0)=1, f(1)=2, g(0)=2, g(1)=1, h(0)=1, h(1)=2$ हो,तो $(f, g) \in R$ और $(g, h) \in R$ सत्य है,लेकिन $(f, h) \in R$ के लिए $f(0)=h(1) \Rightarrow 1=2$ होना चाहिए,जो गलत है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।

(D) दिया गया है $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$। शर्त $0 \leq x^2 + 2y \leq 4$ है,जिसका अर्थ है $-\frac{x^2}{2} \leq y \leq 2 - \frac{x^2}{2}$।
प्रत्येक $x \in A$ के लिए,हम शर्त को पूरा करने वाले $y \in A$ ज्ञात करते हैं:
यदि $x = -3, x^2 = 9$: $-4.5 \leq y \leq -2.5 \Rightarrow y = -3$। युग्म: $(-3, -3)$।
यदि $x = -2, x^2 = 4$: $-2 \leq y \leq 0 \Rightarrow y = -2, -1, 0$। युग्म: $(-2, -2), (-2, -1), (-2, 0)$।
यदि $x = -1, x^2 = 1$: $-0.5 \leq y \leq 1.5 \Rightarrow y = 0, 1$। युग्म: $(-1, 0), (-1, 1)$।
यदि $x = 0, x^2 = 0$: $0 \leq y \leq 2 \Rightarrow y = 0, 1, 2$। युग्म: $(0, 0), (0, 1), (0, 2)$।
यदि $x = 1, x^2 = 1$: $-0.5 \leq y \leq 1.5 \Rightarrow y = 0, 1$। युग्म: $(1, 0), (1, 1)$।
यदि $x = 2, x^2 = 4$: $-2 \leq y \leq 0 \Rightarrow y = -2, -1, 0$। युग्म: $(2, -2), (2, -1), (2, 0)$।
यदि $x = 3, x^2 = 9$: $-4.5 \leq y \leq -2.5 \Rightarrow y = -3$। युग्म: $(3, -3)$।
समुच्चय $R = \{(-3, -3), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-1, 0), (-1, 1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (2, -2), (2, -1), (2, 0), (3, -3)\}$।
तत्वों की गणना करने पर,$l = 15$।
$R$ को स्वतुल्य बनाने के लिए,इसमें प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a)$ होना चाहिए। लुप्त तत्व $(-1, -1), (2, 2), (3, 3)$ हैं।
अतः,$m = 3$ तत्वों को जोड़ने की आवश्यकता है।
इसलिए,$l + m = 15 + 3 = 18$।

(A) दिया गया समुच्चय $A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ है।
संबंध $R$ को $x R y \iff y = \max \{x, 1\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$R$ के तत्वों की गणना:
$x = -2$ के लिए,$y = \max \{-2, 1\} = 1 \implies (-2, 1) \in R$.
$x = -1$ के लिए,$y = \max \{-1, 1\} = 1 \implies (-1, 1) \in R$.
$x = 0$ के लिए,$y = \max \{0, 1\} = 1 \implies (0, 1) \in R$.
$x = 1$ के लिए,$y = \max \{1, 1\} = 1 \implies (1, 1) \in R$.
$x = 2$ के लिए,$y = \max \{2, 1\} = 2 \implies (2, 2) \in R$.
$x = 3$ के लिए,$y = \max \{3, 1\} = 3 \implies (3, 3) \in R$.
अतः,$R = \{(-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$.
इस प्रकार,$l = 6$.
$R$ को स्वतुल्य बनाने के लिए,सभी $x \in A$ के लिए $(x, x) \in R$ होना चाहिए। वर्तमान में,$R$ में $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ हैं। हमें $(-2, -2), (-1, -1), (0, 0)$ जोड़ने की आवश्यकता है। अतः,$m = 3$.
$R$ को सममित बनाने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए। $R$ में मौजूद जोड़े $(-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 3)$ हैं।
सममितता के लिए $(1, -2), (1, -1), (1, 0)$ जोड़ने होंगे। अतः,$n = 3$.
इसलिए,$l + m + n = 6 + 3 + 3 = 12$.

(B) संबंध $R$,$A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ पर $2x - y \in \{0, 1\}$ द्वारा परिभाषित है।
स्थिति $1$: $2x - y = 0 \implies y = 2x$.
$x = -1$ के लिए $y = -2$; $x = 0$ के लिए $y = 0$; $x = 1$ के लिए $y = 2$.
युग्म: $(-1, -2), (0, 0), (1, 2)$.
स्थिति $2$: $2x - y = 1 \implies y = 2x - 1$.
$x = -1$ के लिए $y = -3$; $x = 0$ के लिए $y = -1$; $x = 1$ के लिए $y = 1$; $x = 2$ के लिए $y = 3$.
युग्म: $(-1, -3), (0, -1), (1, 1), (2, 3)$.
अतः,$R = \{(-1, -2), (0, 0), (1, 2), (-1, -3), (0, -1), (1, 1), (2, 3)\}$.
तत्वों की संख्या $l = 7$.
$R$ को स्वतुल्य बनाने के लिए,सभी $x \in A$ के लिए $(x, x) \in R$ होना चाहिए। वर्तमान में,केवल $(0, 0)$ और $(1, 1)$ मौजूद हैं। हमें $(-3, -3), (-2, -2), (-1, -1), (2, 2), (3, 3)$ जोड़ने की आवश्यकता है। इसलिए,$m = 5$.
$R$ को सममित बनाने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x)$ भी $R$ में होना चाहिए। तत्व $(-1, -2), (1, 2), (-1, -3), (0, -1), (2, 3)$ हैं। इनके व्युत्क्रम $(-2, -1), (2, 1), (-3, -1), (-1, 0), (3, 2)$ हैं। इनमें से कोई भी $R$ में नहीं है। इसलिए,हमें $5$ तत्व जोड़ने की आवश्यकता है। इसलिए,$n = 5$.
अतः,$l + m + n = 7 + 5 + 5 = 17$.

(B) समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ है। संबंध $R$ के स्वतुल्य होने के लिए इसमें $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ का होना आवश्यक है।
दिया गया है कि $(1, 2) \in R$ है। संक्रामकता बनाए रखने के लिए,यदि हम अन्य अवयव जोड़ते हैं,तो संक्रामक गुण बना रहना चाहिए।
चूंकि $R$ को स्वतुल्य और संक्रामक होना चाहिए लेकिन सममित नहीं,और $(1, 2) \in R$ है लेकिन $(2, 1) \notin R$ (सममितता से बचने के लिए),हम अधिकतम $6$ अवयवों वाले संबंधों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. यदि $R$ में $4$ अवयव हैं: $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2)\}$। यह स्वतुल्य और संक्रामक है,सममित नहीं है। ($1$ तरीका)
$2$. यदि $R$ में $5$ अवयव हैं: हम ${(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2)}$ में से एक अवयव जोड़ते हैं। $(1, 2)$ के साथ संक्रामकता बनाए रखने के लिए,$(2, 3)$ जोड़ने पर $(1, 3)$ मिलता है,और $(3, 1)$ जोड़ने पर $(3, 2)$ मिलता है।
संभावित समुच्चय: ${(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)}$ और ${(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (3, 1), (3, 2)}$। ($2$ तरीके)
$3$. यदि $R$ में $6$ अवयव हैं: हम दो अवयव जोड़ते हैं। संक्रामकता और स्वतुल्यता बनाए रखते हुए और सममितता से बचते हुए $3$ अलग समुच्चय मिलते हैं।
कुल संबंधों की संख्या $= 1 + 2 + 3 = 6$।

(C) समुच्चय $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है। संबंध $R$ को $(x, y) \in R$ यदि $\max\{x, y\} \in \{3, 4\}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
हम उन युग्मों $(x, y)$ को सूचीबद्ध करते हैं जिनके लिए $\max\{x, y\} = 3$ या $\max\{x, y\} = 4$ है:
$\max\{x, y\} = 3$ के लिए,युग्म $(0, 3), (3, 0), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3)$ हैं।
$\max\{x, y\} = 4$ के लिए,युग्म $(0, 4), (4, 0), (1, 4), (4, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 4)$ हैं।
अतः,$R = \{(0, 3), (3, 0), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (0, 4), (4, 0), (1, 4), (4, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 4)\}$.
$R$ में अवयवों की कुल संख्या $16$ है। इसलिए,$(S_1)$ गलत है।
स्वतुल्यता के लिए: $(0, 0) \notin R$ क्योंकि $\max\{0, 0\} = 0 \notin \{3, 4\}$। अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
सममितता के लिए: यदि $(x, y) \in R$ है,तो $\max\{x, y\} \in \{3, 4\}$। चूंकि $\max\{x, y\} = \max\{y, x\}$,इसलिए $(y, x) \in R$। अतः,$R$ सममित है।
संक्रामकता के लिए: $(0, 3) \in R$ और $(3, 1) \in R$,लेकिन $(0, 1) \notin R$ क्योंकि $\max\{0, 1\} = 1 \notin \{3, 4\}$। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,केवल $(S_2)$ सही है।

(C) $n$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,इसमें सभी $n$ विकर्ण अवयव $(x, x)$ होने चाहिए,जहाँ $x \in A$। यहाँ,समुच्चय $\{a, b, c, d, e, f\}$ है,जिसमें $n = 6$ अवयव हैं। अतः,$R$ में $6$ अवयव होने चाहिए: $(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (f, f)$।
चूँकि $R$ सममित है,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x) \in R$ होगा। शेष $n^2 - n = 36 - 6 = 30$ अवयव विकर्ण के बाहर हैं। ये $30$ अवयव $\{(x, y), (y, x)\}$ रूप के $15$ जोड़े बनाते हैं,जहाँ $x \neq y$ है।
हमें दिया गया है कि $R$ में ठीक $10$ अवयव हैं। चूँकि $6$ विकर्ण अवयव पहले से ही शामिल हैं,हमें विकर्ण के बाहर के जोड़ों में से $10 - 6 = 4$ अतिरिक्त अवयव चुनने होंगे। चूँकि संबंध सममित होना चाहिए,यदि हम $(x, y)$ चुनते हैं,तो हमें $(y, x)$ भी चुनना होगा। इसलिए,हमें $15$ उपलब्ध जोड़ों में से $2$ जोड़े चुनने होंगे।
$15$ में से $2$ जोड़े चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${}^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ द्वारा प्राप्त होती है।

(B) समुच्चय $A = \{a, b, c\}$ पर संबंध $R$ के गुणों को निर्धारित करने के लिए:
$1$. स्वतुल्यता: एक संबंध के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $x \in A$ के लिए $(x, x) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(a, a), (b, b), (c, c) \in R$ है,इसलिए $R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: एक संबंध के सममित होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(a, c) \in R$ है लेकिन $(c, a) \notin R$ है। इसलिए,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: एक संबंध के संक्रामक होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $(x, z) \in R$ होना चाहिए। यहाँ युग्म $(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)$ हैं। $(a, c) \in R$ और $(c, c) \in R$ की जाँच करने पर,हमें $(a, c) \in R$ प्राप्त होता है। संक्रामकता की सभी शर्तें पूरी होती हैं। अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: यह संबंध स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है। सही विकल्प $B$ है।

(B) माना समुच्चय $A = \{\pi, \pi^2, \pi^3\}$ है।
$1$. स्वतुल्यता: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(\pi, \pi) \in R$,$(\pi^2, \pi^2) \in R$,और $(\pi^3, \pi^3) \in R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $R$ के सममित होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए। हमारे पास $(\pi, \pi^2) \in R$ है,लेकिन $(\pi^2, \pi) \notin R$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। हमारे पास $(\pi, \pi^2) \in R$ और $(\pi^2, \pi^3) \in R$ है। संक्रामकता के लिए,$(\pi, \pi^3)$ का $R$ में होना आवश्यक है। हालाँकि,$(\pi, \pi^3) \notin R$ है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: $R$ स्वतुल्य है लेकिन न तो सममित है और न ही संक्रामक।

(D) समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ है।
यदि समुच्चय $A$ के प्रत्येक $a$ के लिए $(a, a) \in R$ है,तो संबंध $R$ स्वतुल्य कहलाता है। यहाँ,$(1,1), (2,2), (3,3) \in R$ है,इसलिए $R$ स्वतुल्य है।
यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ है,तो संबंध $R$ सममित कहलाता है। यहाँ,सभी युग्म $(a, a)$ के रूप में हैं,इसलिए यह शर्त पूरी होती है। अतः,$R$ सममित है।
यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ है,तो संबंध $R$ संक्रामक कहलाता है। यहाँ,यह शर्त पूरी होती है। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) समुच्चय $A = \{3, 4, 5\}$ पर संबंध $S$ के स्वतुल्य होने के लिए,प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in S$ होना चाहिए। यहाँ,$(5, 5) \notin S$ है,इसलिए यह स्वतुल्य नहीं है।
$S$ के सममित होने के लिए,यदि $(a, b) \in S$ है,तो $(b, a) \in S$ होना चाहिए। यहाँ $(3, 3)$ और $(4, 4)$ $S$ में हैं,और उनके उल्टे भी $S$ में हैं। अतः,यह सममित है।
$S$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(a, b) \in S$ और $(b, c) \in S$ है,तो $(a, c) \in S$ होना चाहिए। $(3, 3)$ और $(3, 3)$ के लिए,$(3, 3) \in S$ है। इसी प्रकार $(4, 4)$ के लिए। अतः,यह संक्रामक है।
इसलिए,यह संबंध सममित और संक्रामक है लेकिन स्वतुल्य नहीं है।

(A) $1$. स्वतुल्यता: यदि प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in S$ हो,तो संबंध $S$ स्वतुल्य कहलाता है। यहाँ,$(1, 1) \notin S$ है,इसलिए $S$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in S \implies (b, a) \in S$ हो,तो संबंध $S$ सममित कहलाता है। यहाँ,$(1, 2) \in S$ और $(2, 1) \in S$ है,लेकिन $(2, 3) \in S$ होने के बावजूद $(3, 2) \notin S$ है। इसलिए,संबंध सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in S$ और $(b, c) \in S \implies (a, c) \in S$ हो,तो संबंध $S$ संक्रामक कहलाता है। यहाँ,$(1, 2) \in S$ और $(2, 3) \in S$ है,लेकिन $(1, 3) \notin S$ है। इसलिए,संबंध संक्रामक नहीं है।
$4$. निष्कर्ष: $S$ न तो स्वतुल्य है,न सममित है,और न ही संक्रामक है। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) $1$. स्वतुल्य: एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $a \in \mathbb{R}$ के लिए $(a, a) \in R$ हो। यहाँ,किसी भी वास्तविक संख्या $a$ के लिए $a < a$ असत्य है। अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममित: एक संबंध $R$ सममित होता है यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ हो। यदि $a < b$ है,तो इसका अर्थ यह नहीं है कि $b < a$ होगा। उदाहरण के लिए,$1 < 2$ सत्य है,लेकिन $2 < 1$ असत्य है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ हो। यदि $a < b$ और $b < c$ है,तो असमिका के गुणधर्म के अनुसार $a < c$ होगा। अतः,$R$ संक्रामक है।
इसलिए,$R$ संक्रामक है लेकिन स्वतुल्य और सममित नहीं है।

(C) $A = \{1, 2, 3\}$ पर एक संबंध $R$ के लिए,यदि वह $(1, 2)$ युक्त एक तुल्यता संबंध है,तो उसे स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
स्वतुल्य होने के कारण,$(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$.
चूंकि इसमें $(1, 2)$ है और यह सममित है,इसलिए $(2, 1) \in R$.
अब हमारे पास $R_0 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ है। यह एक तुल्यता संबंध है।
तुल्यता बनाए रखते हुए अधिक तत्वों को जोड़ने के लिए,हमें $A$ के विभाजनों पर विचार करना होगा। $R_0$ के अनुरूप विभाजन $\{\{1, 2\}, \{3\}\}$ है।
$A$ का एकमात्र अन्य विभाजन जिसमें उपसमुच्चय $\{1, 2\}$ शामिल है,वह तुच्छ विभाजन $\{\{1, 2, 3\}\}$ है।
विभाजन $\{\{1, 2, 3\}\}$ के अनुरूप तुल्यता संबंध सार्वत्रिक संबंध $A \times A$ है,जिसमें $(1, 2)$ शामिल है।
अतः,ऐसे $2$ तुल्यता संबंध हैं: $\{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ और $A \times A$।

(D) दिया गया समुच्चय $A = \{a, b, c\}$ और संबंध $R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)\}$ है।
$1$. स्वतुल्यता: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,$(a, a), (b, b), (c, c)$ का $R$ में होना आवश्यक है। चूंकि ये सभी मौजूद हैं,इसलिए $R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $R$ के सममित होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R$ है। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $(x, z) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R$ है,और $(a, a) \in R$ है। साथ ही $(b, a) \in R$ और $(a, b) \in R$ है,और $(b, b) \in R$ है। सभी शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए $R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(B) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध होता है यदि वह स्वतुल्य,सममित और संक्रामक हो।
$1$. स्वतुल्य: प्रत्येक $a \in A$ के लिए,$(a, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$ है,इसलिए यह स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए। चूँकि सभी अवयव $(a, a)$ के रूप में हैं,उन्हें बदलने पर समान युग्म प्राप्त होता है,इसलिए यह सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। इस संबंध के लिए,यह शर्त पूरी होती है क्योंकि यहाँ कोई अलग $(a, b)$ और $(b, c)$ युग्म नहीं हैं जिनके लिए किसी अन्य $(a, c)$ की आवश्यकता हो।
अतः,$R$ तीनों गुणों को संतुष्ट करता है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(D) दिया गया संबंध $S = \{(a, b) : a < b^2\}$ है।
$1$. स्वतुल्यता के लिए: क्या $(a, a) \in S$ है? अर्थात क्या $a < a^2$ है? यदि हम $a = 0.5$ लें,तो $0.5 < (0.5)^2 = 0.25$ प्राप्त होता है,जो कि असत्य है। अतः,यह स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता के लिए: क्या $(a, b) \in S \implies (b, a) \in S$ है? मान लीजिए $(1, 2) \in S$ क्योंकि $1 < 2^2 = 4$ सत्य है। परंतु $(2, 1) \notin S$ क्योंकि $2 < 1^2 = 1$ असत्य है। अतः,यह सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता के लिए: क्या $(a, b) \in S$ और $(b, c) \in S \implies (a, c) \in S$ है? मान लीजिए $(3, 2) \in S$ $(3 < 4)$ और $(2, 1.5) \in S$ $(2 < 2.25)$। परंतु $(3, 1.5) \notin S$ क्योंकि $3 < (1.5)^2 = 2.25$ असत्य है। अतः,यह संक्रामक नहीं है।
इस प्रकार,यह संबंध न तो स्वतुल्य है,न सममित है और न ही संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध नहीं है।

(A) पूर्णांकों $x, y \in Z$ के लिए शर्त $|x - y| < 1$ का अर्थ है कि $|x - y| = 0$,क्योंकि दो पूर्णांकों के बीच का अंतर हमेशा एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होता है।
अतः,$|x - y| = 0 \implies x = y$.
इसलिए,$S = \{(x, x) : x \in Z\}$,जो $Z$ पर तत्समक संबंध है।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $x \in Z$ के लिए,$|x - x| = 0 < 1$,इसलिए $(x, x) \in S$. अतः,$S$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $(x, y) \in S$,तो $x = y$,जिसका अर्थ है कि $y = x$,इसलिए $(y, x) \in S$. अतः,$S$ सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $(x, y) \in S$ और $(y, z) \in S$,तो $x = y$ और $y = z$,जिसका अर्थ है कि $x = z$,इसलिए $(x, z) \in S$. अतः,$S$ संक्रामक है।
चूंकि $S$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(A) दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और संबंध $x R y$ यदि $x, y$ को विभाजित करता है।
संबंध $R$ इस प्रकार है: $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)\}$.
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $x \in A$ के लिए,$x, x$ को विभाजित करता है (अर्थात $x/x = 1$),इसलिए $(x, x) \in R$. अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: $R$ के सममित होने के लिए,$(x, y) \in R$ का अर्थ $(y, x) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(1, 2) \in R$ है लेकिन $(2, 1) \notin R$. अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $x, y$ को विभाजित करता है और $y, z$ को विभाजित करता है। इसका अर्थ है कि $x, z$ को विभाजित करता है,इसलिए $(x, z) \in R$. अतः,$R$ संक्रामक है।
इसलिए,$R$ स्वतुल्य और संक्रामक है।

(C) $A = \{a, b, c\}$ पर एक तुल्यता संबंध $R$ को स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए। चूँकि $(b, c) \in R$ और $R$ सममित है,इसलिए $(c, b) \in R$। स्वतुल्यता के लिए,$(a, a), (b, b), (c, c) \in R$।
संक्रामकता के लिए,चूँकि $(b, c) \in R$ और $(c, b) \in R$,इसलिए $(b, b) \in R$ और $(c, c) \in R$ होना चाहिए (जो सत्य है)।
स्थिति $1$: यदि $a$ केवल स्वयं से संबंधित है,तो $R_1 = \{(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)\}$। यह एक तुल्यता संबंध है।
स्थिति $2$: यदि $a$,$b$ और $c$ से संबंधित है,तो सममितता और संक्रामकता के द्वारा,$a$ को सभी तत्वों से संबंधित होना चाहिए। $R_2 = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)\}$। यह सार्वत्रिक संबंध है,जो एक तुल्यता संबंध भी है।
अतः,ऐसे $2$ तुल्यता संबंध संभव हैं।

(C) $(3, 2)$ का तुल्यता वर्ग उन सभी युग्मों $(x, y) \in A \times A$ से बना है जिनके लिए $(x, y) R (3, 2)$ सत्य है।
इसका अर्थ है $2x = 3y$,या $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$।
चूँकि $x, y \in \{2, 3, \ldots, 18\}$ है,हम $(3, 2)$ के ऐसे गुणज ढूँढते हैं जिनमें दोनों घटक $\le 18$ हों:
$(x, y) = (3, 2)$
$(x, y) = (6, 4)$
$(x, y) = (9, 6)$
$(x, y) = (12, 8)$
$(x, y) = (15, 10)$
$(x, y) = (18, 12)$
इनकी गणना करने पर,हमें $6$ क्रमित युग्म प्राप्त होते हैं।

(B) एक सेट $A$ पर तुल्यता संबंध $R$ को स्वतुल्य,सममित और संक्रामक गुणों को संतुष्ट करना चाहिए।
$n$ तत्वों वाले सेट $A$ के लिए,स्वतुल्य गुण के अनुसार प्रत्येक तत्व $a \in A$ के लिए,क्रमित युग्म $(a, a)$ का $R$ में होना आवश्यक है।
चूंकि सेट में $6$ तत्व हैं,इसलिए $R$ में कम से कम $(a_1, a_1), (a_2, a_2), (a_3, a_3), (a_4, a_4), (a_5, a_5),$ और $(a_6, a_6)$ जैसे $6$ युग्म होने चाहिए।
अतः,आवश्यक क्रमित युग्मों की न्यूनतम संख्या $6$ है।

(C) माना $A = \{1, 2, 3\}$ है।
$R$ के स्वतुल्य होने के लिए,प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए। चूंकि $(2, 2) \notin R$ और $(3, 3) \notin R$ है,इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$R$ के सममित होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(1, 1) \in R$ के लिए $(1, 1) \in R$ सत्य है। अतः,$R$ सममित है।
$R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। यहाँ केवल एक अवयव $(1, 1)$ है,इसलिए यह शर्त रिक्त रूप से सत्य है। अतः,$R$ संक्रामक है।
इसलिए,$R$ सममित और संक्रामक है।

(D) दिया गया है $a R b \Leftrightarrow |a-b| \leq 1$.
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in S$ के लिए,$|a-a| = 0 \leq 1$. अतः,$a R a$ सत्य है। $R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $a R b$ है,तो $|a-b| \leq 1$. चूंकि $|a-b| = |b-a|$,इसलिए $|b-a| \leq 1$,जिसका अर्थ है कि $b R a$ सत्य है। $R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: $a = 1, b = 2, c = 3$ लें।
$|a-b| = |1-2| = 1 \leq 1$ (सत्य,अतः $a R b$)।
$|b-c| = |2-3| = 1 \leq 1$ (सत्य,अतः $b R c$)।
लेकिन $|a-c| = |1-3| = 2 > 1$ (असत्य,अतः $a, c$ से संबंधित नहीं है)।
अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: $R$ स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है।

(C) संबंध $a^2-4ab+3b^2=0$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या $a \ p \ a$ है। $b=a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^2-4a(a)+3a^2 = a^2-4a^2+3a^2 = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $0=0$ है,इसलिए संबंध स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: जाँचें कि क्या $a \ p \ b \implies b \ p \ a$ है। यदि $a^2-4ab+3b^2=0$,तो $(a-b)(a-3b)=0$,अतः $a=b$ या $a=3b$ है। यदि $a=3b$ है,तो $b=a/3$ होगा। सममितता के लिए,हमें $b^2-4ba+3a^2=0$ की आवश्यकता है। $a=3b$ रखने पर,हमें $b^2-4b(3b)+3(3b)^2 = b^2-12b^2+27b^2 = 16b^2 \neq 0$ प्राप्त होता है (जब तक कि $b=0$ न हो)। अतः,यह सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: जाँचें कि क्या $a \ p \ b$ और $b \ p \ c \implies a \ p \ c$ है। यदि $a=3b$ और $b=3c$ है,तो $a=9c$ होगा। $a \ p \ c$ के लिए,हमें $a^2-4ac+3c^2=0$ की आवश्यकता है। $a=9c$ रखने पर,हमें $(9c)^2-4(9c)c+3c^2 = 81c^2-36c^2+3c^2 = 48c^2 \neq 0$ प्राप्त होता है। अतः,यह संक्रामक नहीं है।
इसलिए,संबंध केवल स्वतुल्य है।

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$x p x$ का अर्थ है $x-x+\sqrt{2} = \sqrt{2}$। चूंकि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए $x p x$ सभी $x$ के लिए सत्य है। अतः,$p$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $x p y$ है,तो $x-y+\sqrt{2}$ अपरिमेय है। सममितता के लिए,हम जांचते हैं कि क्या $y p x$ सत्य है,जिसका अर्थ है $y-x+\sqrt{2}$ अपरिमेय है। मान लीजिए $x=\sqrt{2}$ और $y=0$। तो $x-y+\sqrt{2} = \sqrt{2}-0+\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ (अपरिमेय)। लेकिन $y-x+\sqrt{2} = 0-\sqrt{2}+\sqrt{2} = 0$ (परिमेय)। इसलिए,संबंध सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: यदि $x p y$ और $y p z$ है,तो $x-y+\sqrt{2} = i_1$ और $y-z+\sqrt{2} = i_2$,जहाँ $i_1, i_2$ अपरिमेय हैं। इन्हें जोड़ने पर,$x-z+2\sqrt{2} = i_1+i_2$ प्राप्त होता है। यह गारंटी नहीं देता कि $x-z+\sqrt{2}$ अपरिमेय है। इसलिए,संबंध संक्रामक नहीं है। अतः,दिया गया संबंध केवल स्वतुल्य है।

(B) समुच्चय $X$ पर एक संबंध $\rho$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in \rho$ और $(b, c) \in \rho$ का तात्पर्य है कि $(a, c) \in \rho$।
दो संक्रामक संबंधों $\rho_1$ और $\rho_2$ के प्रतिच्छेदन पर विचार करें।
मान लीजिए $(a, b) \in \rho_1 \cap \rho_2$ और $(b, c) \in \rho_1 \cap \rho_2$ है।
इसका अर्थ है कि $(a, b) \in \rho_1$ और $(b, c) \in \rho_1$,और चूंकि $\rho_1$ संक्रामक है,इसलिए $(a, c) \in \rho_1$।
इसी प्रकार,$(a, b) \in \rho_2$ और $(b, c) \in \rho_2$,और चूंकि $\rho_2$ संक्रामक है,इसलिए $(a, c) \in \rho_2$।
अतः,$(a, c) \in \rho_1 \cap \rho_2$।
इस प्रकार,दो संक्रामक संबंधों का प्रतिच्छेदन हमेशा एक संक्रामक संबंध होता है।

(D) एक तुल्यता संबंध को स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
$1$. $R^{-1}$ के लिए: चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए $R^{-1}$ भी स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होता है। अतः,$R^{-1}$ एक तुल्यता संबंध है।
$2$. $R \cap R^1$ के लिए: दो तुल्यता संबंधों का सर्वनिष्ठ (intersection) हमेशा एक तुल्यता संबंध होता है।
$3$. $R \cup R^1$ के लिए: दो तुल्यता संबंधों का संघ (union) हमेशा संक्रामक होना आवश्यक नहीं है,इसलिए यह हमेशा एक तुल्यता संबंध नहीं होता है।
अतः,$R^{-1}$ और $R \cap R^1$ दोनों तुल्यता संबंध हैं।

(B) एक तुल्यता संबंध को स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
$1$. स्वतुल्यता: चूंकि $R$ और $S$ तुल्यता संबंध हैं,इसलिए सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ और $(a, a) \in S$ है। अतः,$(a, a) \in R \cap S$ है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R \cap S$,तो $(a, b) \in R$ और $(a, b) \in S$ है। चूंकि $R$ और $S$ सममित हैं,इसलिए $(b, a) \in R$ और $(b, a) \in S$,अतः $(b, a) \in R \cap S$ है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R \cap S$ और $(b, c) \in R \cap S$,तो $(a, b), (b, c) \in R$ और $(a, b), (b, c) \in S$ है। चूंकि $R$ और $S$ संक्रामक हैं,इसलिए $(a, c) \in R$ और $(a, c) \in S$,अतः $(a, c) \in R \cap S$ है।
अतः,$R \cap S$ एक तुल्यता संबंध है।

(B) किसी संबंध को तुल्यता संबंध होने के लिए,उसे स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
$1$. $S = \{(x, y) : y = x + 1, 0 < x < 2\}$ का विश्लेषण:
- स्वतुल्यता: $S$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $x \in R$ के लिए $(x, x) \in S$ होना चाहिए। इसके लिए $x = x + 1$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $0 = 1$,जो एक विरोधाभास है। अतः,$S$ स्वतुल्य नहीं है।
- सममितता: $S$ के सममित होने के लिए,यदि $(x, y) \in S$,तो $(y, x) \in S$ होना चाहिए। यदि $(x, y) \in S$,तो $y = x + 1$ है। $(y, x) \in S$ के लिए,हमें $x = y + 1$ चाहिए। $y$ का मान रखने पर,$x = (x + 1) + 1 = x + 2$ प्राप्त होता है,जो असंभव है। अतः,$S$ सममित नहीं है।
- चूंकि $S$ न तो स्वतुल्य है और न ही सममित,यह एक तुल्यता संबंध नहीं है।
$2$. $T = \{(x, y) : (x - y) \in \mathbb{Z}\}$ का विश्लेषण:
- स्वतुल्यता: $(x - x) = 0$,जो एक पूर्णांक है। अतः,$(x, x) \in T$.
- सममितता: यदि $(x, y) \in T$,तो $(x - y) = k$ जहाँ $k \in \mathbb{Z}$। तब $(y - x) = -k$,जो भी एक पूर्णांक है। अतः,$(y, x) \in T$.
- संक्रामकता: यदि $(x, y) \in T$ और $(y, z) \in T$,तो $(x - y) = k_1$ और $(y - z) = k_2$ जहाँ $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$। इन्हें जोड़ने पर,$(x - z) = k_1 + k_2$,जो एक पूर्णांक है। अतः,$(x, z) \in T$.
- चूंकि $T$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,यह एक तुल्यता संबंध है।
अतः,$T$ $R$ पर एक तुल्यता संबंध है लेकिन $S$ नहीं है।

(B) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,$a-a = 0$ है। चूँकि $0$ मान्य है,इसलिए सभी $a$ के लिए $a \rho a$ सत्य है। अतः,$\rho$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $a \rho b$ है,तो $a-b = 0$ या $a-b$ अपरिमेय है। यदि $a-b=0$,तो $b-a=0$ होगा। यदि $a-b$ अपरिमेय है,तो $b-a = -(a-b)$ भी अपरिमेय होगा। अतः,$b \rho a$ सत्य है। इस प्रकार,$\rho$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $a = 2 + \sqrt{2}$,$b = 2$,और $c = \sqrt{2}$ है।
यहाँ $a-b = (2+\sqrt{2}) - 2 = \sqrt{2}$ (अपरिमेय),इसलिए $a \rho b$ है।
और $b-c = 2 - \sqrt{2}$ (अपरिमेय),इसलिए $b \rho c$ है।
हालाँकि,$a-c = (2+\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 2$ (परिमेय और अशून्य),इसलिए $a \rho c$ असत्य है।
अतः,$\rho$ संक्रामक नहीं है।

(B) एक तुल्यता संबंध को स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
$1$. सर्वनिष्ठ: यदि $\rho_{1}$ और $\rho_{2}$ तुल्यता संबंध हैं,तो $\rho_{1} \cap \rho_{2}$ हमेशा स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होता है। अतः,$\rho_{1} \cap \rho_{2}$ एक तुल्यता संबंध है।
$2$. सम्मिलन: सम्मिलन $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ हमेशा स्वतुल्य और सममित होता है,लेकिन यह आवश्यक रूप से संक्रामक नहीं होता है। उदाहरण के लिए,मान लीजिए $S = \{1, 2, 3\}$ है। मान लीजिए $\rho_{1} = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}$ और $\rho_{2} = \{(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)\}$ है। तो $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ में $(1,2)$ और $(2,3)$ शामिल हैं,लेकिन $(1,3)$ शामिल नहीं है,इसलिए यह संक्रामक नहीं है।
अतः,$\rho_{1} \cap \rho_{2}$ एक तुल्यता संबंध है,लेकिन $\rho_{1} \cup \rho_{2}$ आवश्यक रूप से तुल्यता संबंध नहीं है।

(D) स्वतुल्यता: किसी भी $a \in R$ के लिए,$1 + a \cdot a = 1 + a^{2}$ है। चूँकि $a^{2} \ge 0$,इसलिए $1 + a^{2} \ge 1 > 0$ है। अतः,सभी $a \in R$ के लिए $(a, a) \in R_{1}$ है। इसलिए,$R_{1}$ स्वतुल्य है।
सममितता: यदि $(a, b) \in R_{1}$ है,तो $1 + ab > 0$ है। चूँकि $ab = ba$,इसलिए $1 + ba > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $(b, a) \in R_{1}$ है। इसलिए,$R_{1}$ सममित है।
संक्रामकता: $a = 1$,$b = 1/2$,और $c = -1$ लें। हमारे पास $1 + (1)(1/2) = 1.5 > 0$ है,इसलिए $(1, 1/2) \in R_{1}$ है। साथ ही,$1 + (1/2)(-1) = 0.5 > 0$ है,इसलिए $(1/2, -1) \in R_{1}$ है। हालाँकि,$1 + (1)(-1) = 0$,जो $> 0$ नहीं है। अतः,$(1, -1) \notin R_{1}$ है। इसलिए,$R_{1}$ संक्रामक नहीं है।

(C) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in R$ के लिए,$x - x = 0$ है। चूँकि $0$ मान्य है,इसलिए $x \rho x$ सत्य है। अतः,$\rho$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $x \rho y$ है,तो $x - y$ शून्य या अपरिमेय है। चूँकि $y - x = -(x - y)$ है,यदि $x - y$ शून्य है,तो $y - x$ भी शून्य है। यदि $x - y$ अपरिमेय है,तो $y - x$ भी अपरिमेय है। अतः,$y \rho x$ सत्य है। $\rho$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $x = 1 + \sqrt{2}$,$y = 1$,और $z = \sqrt{2}$ है। यहाँ $x - y = \sqrt{2}$ (अपरिमेय) और $y - z = 1 - \sqrt{2}$ (अपरिमेय) है। लेकिन $x - z = 1$ (परिमेय,जो शून्य नहीं है)। अतः $x \rho y$ और $y \rho z$ सत्य हैं,लेकिन $x \rho z$ सत्य नहीं है। इसलिए,$\rho$ संक्रामक नहीं है।

(D) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ पर संबंध $\rho$ को $x \rho y \iff x > |y|$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
$1$. स्वतुल्य गुण के लिए:
जाँचें कि क्या सभी $x \in R$ के लिए $x \rho x$ सत्य है।
$x \rho x \iff x > |x|$.
यह सभी $x \leq 0$ के लिए असत्य है (उदाहरण के लिए,यदि $x = -1$ है,तो $-1 > |-1| = 1$ असत्य है)।
अतः,$\rho$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममित गुण के लिए:
जाँचें कि क्या $x \rho y \implies y \rho x$ सत्य है।
$x \rho y \implies x > |y|$.
$y \rho x \implies y > |x|$.
यदि हम $x = 2$ और $y = 1$ लें,तो $2 > |1|$ सत्य है,लेकिन $1 > |2|$ असत्य है।
अतः,$\rho$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक गुण के लिए:
जाँचें कि क्या $x \rho y$ और $y \rho z \implies x \rho z$ सत्य है।
$x \rho y \implies x > |y|$.
$y \rho z \implies y > |z|$.
चूंकि $y > |z|$,हमारे पास $|y| \geq y > |z|$ है,इसलिए $|y| > |z|$।
चूंकि $x > |y|$ और $|y| > |z|$,असमिका के संक्रामक गुण के अनुसार,$x > |z|$।
इसलिए,$x \rho z$ सत्य है।
अतः,$\rho$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: $x > |y|$ द्वारा परिभाषित संबंध $\rho$ संक्रामक है लेकिन न तो स्वतुल्य है और न ही सममित।

(D) दिया गया संबंध $\rho = \{(x, y) \in N \times N : 2x + y = 41\}$ है।
$1$. स्वतुल्य: यदि $\rho$ स्वतुल्य है,तो प्रत्येक $x \in N$ के लिए $(x, x) \in \rho$ होना चाहिए। अतः $2x + x = 41 \Rightarrow 3x = 41 \Rightarrow x = \frac{41}{3} \notin N$। अतः,$\rho$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममित: यदि $\rho$ सममित है,तो यदि $(x, y) \in \rho$ है,तो $(y, x) \in \rho$ होना चाहिए। यदि $(x, y) = (1, 39) \in \rho$ (क्योंकि $2(1) + 39 = 41$),तो $(y, x) = (39, 1)$ होना चाहिए। लेकिन $2(39) + 1 = 79 \neq 41$। अतः,$(39, 1) \notin \rho$। इसलिए,$\rho$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: यदि $(x, y) \in \rho$ और $(y, z) \in \rho$ है,तो $(x, z) \in \rho$ होना चाहिए। मान लीजिए $x=11, y=19, z=3$। यहाँ $(11, 19) \in \rho$ और $(19, 3) \in \rho$ है। लेकिन $(11, 3) \notin \rho$ क्योंकि $2(11) + 3 = 25 \neq 41$। अतः,$\rho$ संक्रामक नहीं है।

(D) प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$x^2 \geq 0$ होता है।
$\therefore (x, x) \in P$.
अतः,$P$ स्वतुल्य है।
अब,मान लीजिए $(x, y) \in P$.
$\Rightarrow xy \geq 0$.
$\Rightarrow yx \geq 0$.
$\therefore (y, x) \in P$.
अतः,$P$ सममित है।
पुनः,विचार करें कि $(-1, 0) \in P$ क्योंकि $(-1)(0) = 0 \geq 0$,और $(0, 2) \in P$ क्योंकि $(0)(2) = 0 \geq 0$ है।
हालाँकि,$(-1, 2) \notin P$ क्योंकि $(-1)(2) = -2 < 0$ है।
इसलिए,$P$ संक्रामक नहीं है।
इस प्रकार,संबंध $P$ स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है।

(B) हमारे पास $x \rho y \iff x-y \in \{0\} \cup \mathbb{I}$ है,जहाँ $\mathbb{I}$ अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in R$ के लिए,$x-x = 0$ है। चूँकि $0$ शून्य है,इसलिए $(x, x) \in \rho$ है। अतः,$\rho$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(x, y) \in \rho$,तो $x-y$ शून्य या अपरिमेय है। तब $y-x = -(x-y)$ भी शून्य या अपरिमेय ही होगा। अतः,$(y, x) \in \rho$ है। इसलिए,$\rho$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: $x = 2, y = \sqrt{3}, z = 4$ लें।
$(x, y) = (2, \sqrt{3}) \in \rho$ क्योंकि $2-\sqrt{3}$ अपरिमेय है।
$(y, z) = (\sqrt{3}, 4) \in \rho$ क्योंकि $\sqrt{3}-4$ अपरिमेय है।
हालाँकि,$(x, z) = (2, 4) \notin \rho$ क्योंकि $2-4 = -2$,जो एक परिमेय संख्या है (शून्य या अपरिमेय नहीं)।
इसलिए,$\rho$ संक्रामक नहीं है।

(C) दिया गया है कि $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ और $S = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1)\}$.
$R \cup S = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)\}$.
$1$. स्वतुल्यता: चूंकि $(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R \cup S$,इसलिए यह स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: चूंकि $(1, 2) \in R \cup S \implies (2, 1) \in R \cup S$ और $(1, 3) \in R \cup S \implies (3, 1) \in R \cup S$,इसलिए यह सममित है।
$3$. संक्रामकता: हमारे पास $(2, 1) \in R \cup S$ और $(1, 3) \in R \cup S$ है। यदि यह संक्रामक होता,तो $(2, 3)$ को $R \cup S$ में होना चाहिए था। हालाँकि,$(2, 3) \notin R \cup S$ है। अतः,यह संक्रामक नहीं है।
इसलिए,$R \cup S$ स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है।

(C) स्वतुल्यता के लिए: किसी भी $a \in R$ के लिए,हमारे पास $1 + a^2 > 0$ है। अतः,$(a, a) \in \rho$। इसलिए,$\rho$ स्वतुल्य है।
सममितता के लिए: यदि $(a, b) \in \rho$ है,तो $1 + ab > 0$। चूँकि $ab = ba$,हमारे पास $1 + ba > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $(b, a) \in \rho$। इसलिए,$\rho$ सममित है।
संक्रामकता के लिए: $a = 1$,$b = -0.5$,और $c = -9$ लें।
$(a, b)$ की जाँच करें: $1 + (1)(-0.5) = 0.5 > 0$,इसलिए $(1, -0.5) \in \rho$।
$(b, c)$ की जाँच करें: $1 + (-0.5)(-9) = 1 + 4.5 = 5.5 > 0$,इसलिए $(-0.5, -9) \in \rho$।
$(a, c)$ की जाँच करें: $1 + (1)(-9) = 1 - 9 = -8 < 0$,इसलिए $(1, -9) \notin \rho$।
चूँकि $(1, -0.5) \in \rho$ और $(-0.5, -9) \in \rho$ है लेकिन $(1, -9) \notin \rho$ है,इसलिए यह संबंध संक्रामक नहीं है।
अतः,$\rho$ स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है।

(C) स्वतुल्यता: $x \in Z$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या $(x, x) \in R$ है।
$x + 2x = 3x$,जो $3$ से विभाज्य है।
अतः,$xRx$ सभी $x \in Z$ के लिए सत्य है,इसलिए $R$ स्वतुल्य है।
सममितता: मान लीजिए $(x, y) \in R$,जिसका अर्थ है कि $x + 2y = 3\lambda$ किसी पूर्णांक $\lambda$ के लिए।
तब $x = 3\lambda - 2y$।
हम $y + 2x$ की जाँच करते हैं:
$y + 2x = y + 2(3\lambda - 2y) = y + 6\lambda - 4y = 6\lambda - 3y = 3(2\lambda - y)$।
चूँकि $3(2\lambda - y)$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए $(y, x) \in R$।
अतः,$R$ सममित है।
संक्रामकता: मान लीजिए $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$।
तब $x + 2y = 3\lambda$ और $y + 2z = 3\mu$ किन्हीं पूर्णांकों $\lambda, \mu$ के लिए।
दोनों को जोड़ने पर: $(x + 2y) + (y + 2z) = 3\lambda + 3\mu \Rightarrow x + 3y + 2z = 3(\lambda + \mu)$।
$x + 2z = 3(\lambda + \mu) - 3y = 3(\lambda + \mu - y)$।
चूँकि $x + 2z$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए $(x, z) \in R$।
अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(C) यहाँ संबंध $\rho$ को $x \rho y \iff xy > 0$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$(i)$ स्वतुल्य: यदि $\rho$ स्वतुल्य है,तो प्रत्येक $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x \rho x$ सत्य होना चाहिए। इसका अर्थ है $x \cdot x > 0$,या $x^2 > 0$। यह $x = 0$ के लिए असत्य है क्योंकि $0^2 = 0 \ngtr 0$। अतः,$\rho$ स्वतुल्य नहीं है।
(ii) सममित: यदि $x \rho y$ है,तो $xy > 0$ होगा। गुणा के क्रमविनिमेय नियम के अनुसार $yx > 0$ होगा,जिसका अर्थ है $y \rho x$। अतः,$\rho$ सममित है।
(iii) संक्रामक: मान लीजिए $x \rho y$ और $y \rho z$ है। तो $xy > 0$ और $yz > 0$ होगा। यहाँ $y \neq 0$ होना चाहिए (क्योंकि $xy > 0$),इसलिए $y^2 > 0$ होगा। असमिकाओं का गुणा करने पर,हमें $(xy)(yz) > 0$ प्राप्त होता है,जो $y^2(xz) > 0$ में सरल हो जाता है। चूँकि $y^2 > 0$,इसलिए $xz > 0$ होना चाहिए। अतः,$x \rho z$ है। इसलिए,$\rho$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: संबंध सममित और संक्रामक है।