Types of Relations Questions in Hindi

(D) $(a, b), (c, d) \in N \times N$ के लिए,संबंध $(a, b) R (c, d) \iff ad(b + c) = bc(a + d)$ द्वारा परिभाषित है।
$1.$ स्वतुल्य: किसी भी $(a, b) \in N \times N$ के लिए,हमारे पास $ab(b + a) = ba(a + b)$ है। यह दर्शाता है कि $(a, b) R (a, b)$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2.$ सममित: मान लीजिए $(a, b) R (c, d)$ है। तो $ad(b + c) = bc(a + d)$ है। इसे $cb(d + a) = da(c + b)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो दर्शाता है कि $(c, d) R (a, b)$ है। अतः,$R$ सममित है।
$3.$ संक्रमक: मान लीजिए $(a, b) R (c, d)$ और $(c, d) R (e, f)$ है। तो $ad(b + c) = bc(a + d)$ और $cf(d + e) = de(c + f)$ है।
क्रमशः $abcd$ और $cdef$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{b+c}{bc} = \frac{a+d}{ad} \implies \frac{1}{c} + \frac{1}{b} = \frac{1}{d} + \frac{1}{a} \implies \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{c} - \frac{1}{d}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\frac{1}{c} - \frac{1}{d} = \frac{1}{e} - \frac{1}{f}$ है।
अतः,$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{e} - \frac{1}{f} \implies \frac{1}{a} + \frac{1}{f} = \frac{1}{e} + \frac{1}{b} \implies \frac{a+f}{af} = \frac{e+b}{eb} \implies eb(a+f) = af(e+b)$ है।
यह दर्शाता है कि $(a, b) R (e, f)$ है। अतः,$R$ संक्रमक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रमक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(A) किसी भी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$x - x + \sqrt{2} = \sqrt{2}$,जो एक अपरिमेय संख्या है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $xRx$ सत्य है,इसलिए $R$ स्वतुल्य है।
$R$ सममित नहीं है क्योंकि यदि $x = \sqrt{2}$ और $y = 1$ लें,तो $x - y + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 1$ जो अपरिमेय है,इसलिए $\sqrt{2}R1$ सत्य है। लेकिन $y - x + \sqrt{2} = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 1$ जो एक परिमेय संख्या है,इसलिए $1R\sqrt{2}$ असत्य है।
$R$ संक्रामक नहीं है क्योंकि यदि $x = \sqrt{2}, y = 1, z = 2\sqrt{2}$ लें,तो $xRy$ सत्य है और $yRz$ सत्य है,लेकिन $xRz$ असत्य है क्योंकि $x - z + \sqrt{2} = 0$ जो परिमेय है।

(A) माना $A = \{1, 2, 3\}$ है। $R = \{(1, 2)\}$ और $S = \{(2, 3)\}$ पर विचार करें। $R$ और $S$ दोनों $A$ पर संक्रामक संबंध हैं क्योंकि इनमें कोई भी ऐसा युग्म $(a, b)$ और $(b, c)$ नहीं है जिसके लिए $(a, c)$ अनुपस्थित हो।
अब,$R \cup S = \{(1, 2), (2, 3)\}$ है।
$R \cup S$ के संक्रामक होने के लिए,चूंकि $(1, 2) \in R \cup S$ और $(2, 3) \in R \cup S$ है,इसलिए $(1, 3) \in R \cup S$ होना चाहिए। हालाँकि,$(1, 3) \notin R \cup S$ है।
अतः,$R \cup S$ आवश्यक रूप से संक्रामक नहीं है। इसलिए,कथन '$R$ तथा $S$ संक्रामक हैं $\implies R \cup S$ संक्रामक है' असत्य है।

(A) दिया गया है कि $R$,समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में एक संबंध है,जिसे $R: A \to B$ के रूप में दर्शाया गया है।
दिया गया है कि $S$,समुच्चय $B$ से समुच्चय $C$ में एक संबंध है,जिसे $S: B \to C$ के रूप में दर्शाया गया है।
संबंधों का संयोजन $S \circ R$,$R$ के प्रांत (domain) से $S$ के सह-प्रांत (codomain) तक के संबंध के रूप में परिभाषित होता है।
अतः,$S \circ R$,समुच्चय $A$ से समुच्चय $C$ में एक संबंध है,जिसे $(S \circ R): A \to C$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(A) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ स्वतुल्य है यदि प्रत्येक अवयव $a \in A$ के लिए,क्रमित युग्म $(a, a) \in R$ हो।
चूंकि समुच्चय $A$ में $n$ अवयव हैं,इसलिए स्वतुल्य गुण को संतुष्ट करने के लिए $R$ में $(a, a)$ रूप के कम से कम $n$ क्रमित युग्म होने चाहिए।
ये $n$ युग्म $(a_1, a_1), (a_2, a_2), \dots, (a_n, a_n)$ हैं।
अतः,$R$ में क्रमित युग्मों की संख्या $m$ का मान $n$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
इस प्रकार,$m \ge n$।

(D) संबंध $R = \{(x, y) : x, y \in A \text{ और } |x^2 - y^2| < 16\}$ के रूप में परिभाषित है।
हम दिए गए विकल्पों की जांच करते हैं कि क्या सभी युग्म शर्त $|x^2 - y^2| < 16$ को संतुष्ट करते हैं।
विकल्प $A$ के लिए:
$|1^2 - 1^2| = 0 < 16$ (सत्य)
$|2^2 - 1^2| = 3 < 16$ (सत्य)
$|3^2 - 1^2| = 8 < 16$ (सत्य)
$|4^2 - 1^2| = 15 < 16$ (सत्य)
$|2^2 - 3^2| = 5 < 16$ (सत्य)
विकल्प $A$ के सभी युग्म शर्त को संतुष्ट करते हैं। हालांकि,$R$ समुच्चय $A \times A$ का एक उपसमुच्चय है और इसमें कई अन्य युग्म भी शामिल हैं (जैसे $(1, 2), (5, 5)$)। चूंकि कोई भी विकल्प पूर्ण संबंध $R$ को नहीं दर्शाता है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) परिभाषा के अनुसार,समुच्चय $A$ पर तत्समक संबंध $I$ को $I = \{(a, a) : a \in A\}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $R, A$ पर एक संक्रामक संबंध है,इसका मतलब यह नहीं है कि $R$ में $I$ का होना आवश्यक है या $R, I$ के भीतर समाहित है।
उदाहरण के लिए,यदि $A = \{1, 2\}$ है,तो मान लीजिए $R = \{(1, 1), (2, 2), (1, 2)\}$। यहाँ,$R$ संक्रामक है और $I = \{(1, 1), (2, 2)\}$। इस स्थिति में,$I \subset R$ है।
हालाँकि,यदि $R = \{(1, 1)\}$ है,तो $R$ संक्रामक है,लेकिन $I \not\subset R$ और $R \not\subset I$ है।
चूंकि संक्रामकता के अलावा $R$ के लिए कोई विशिष्ट शर्त (जैसे स्वतुल्यता या सममितता) नहीं दी गई है,इसलिए विकल्प $R \subset I$,$I \subset R$,या $R = I$ में से कोई भी सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है।
अतः,सही उत्तर $D$ है।

(D) $1$. स्वतुल्य: समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ हो। यहाँ,$(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) \in R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: एक संबंध $R$ सममित होता है यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ हो।
- $(1, 2) \in R$ और $(2, 1) \in R$ है।
- $(3, 1) \in R$ और $(1, 3) \in R$ है।
- अन्य सभी अवयव $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$ स्वयं के साथ सममित हैं। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ हो।
- $(3, 1) \in R$ और $(1, 2) \in R$ लें। $R$ के संक्रामक होने के लिए,$(3, 2)$ का $R$ में होना आवश्यक है। लेकिन,$(3, 2) \notin R$ है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,$R$ स्वतुल्य और सममित दोनों है।

(B) माना $A$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। संबंध $R$ को $m R n$ के रूप में परिभाषित किया गया है यदि $m, n$ का गुणज है,अर्थात $m = kn$,जहाँ $k \in \mathbb{N}$ है।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $m \in A$ के लिए,$m = 1 \times m$,इसलिए $m, m$ का गुणज है। अतः,$(m, m) \in R$ है। संबंध स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $(m, n) \in R$ है,तो $m = kn$ है। इसका अर्थ यह नहीं है कि $n = k'm$ होगा जब $m \neq n$ हो। उदाहरण के लिए,$4, 2$ का गुणज है,लेकिन $2, 4$ का गुणज नहीं है। अतः,संबंध सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: यदि $(m, n) \in R$ और $(n, p) \in R$ है,तो $m = kn$ और $n = lp$ होगा,जहाँ $k, l \in \mathbb{N}$ है। $n$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$m = k(lp) = (kl)p$ प्राप्त होता है। चूँकि $kl \in \mathbb{N}$ है,इसलिए $m, p$ का गुणज है। अतः,$(m, p) \in R$ है। संबंध संक्रामक है।
अतः,यह संबंध स्वतुल्य और संक्रामक है।

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in N$ के लिए,$a, a$ से विभाज्य है। अतः,सभी $a \in N$ के लिए $aRa$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $aRb$ है। इसका अर्थ है कि $b, a$ से विभाज्य है। उदाहरण के लिए,$1R2$ सत्य है क्योंकि $2, 1$ से विभाज्य है,लेकिन $2R1$ सत्य नहीं है क्योंकि $1, 2$ से विभाज्य नहीं है। इसलिए,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $aRb$ और $bRc$ है। इसका अर्थ है कि $b = ka$ और $c = mb$ जहाँ $k, m \in N$ हैं। तब $c = m(ka) = (mk)a$ होगा। चूँकि $mk$ एक पूर्णांक है,इसलिए $c, a$ से विभाज्य है। अतः,$aRc$ सत्य है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: $R$ स्वतुल्य और संक्रामक है,परंतु सममित नहीं है।

(B) परिभाषा के अनुसार,समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ सममित (Symmetric) होता है यदि और केवल यदि सभी $a, b \in A$ के लिए $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ हो।
यह स्थिति कथन $R = R^{-1}$ के समतुल्य है।
चूंकि प्रश्न में दिया गया है कि $R = R^{-1}$,यह सीधे सममित संबंध की परिभाषा को संतुष्ट करता है।
अतः,$R$ एक सममित संबंध है।

(C) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ सममित कहलाता है यदि सभी $x, y \in A$ के लिए $(x, y) \in R \implies (y, x) \in R$ हो। यहाँ,$R = \{(a, a)\}$ है। चूँकि $(a, a) \in R$,इसलिए इसका उल्टा $(a, a)$ भी $R$ में है। अतः,$R$ सममित है।
समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ प्रति-सममित कहलाता है यदि सभी $x, y \in A$ के लिए $(x, y) \in R$ और $(y, x) \in R \implies x = y$ हो। यहाँ,$(a, a) \in R$ और $(a, a) \in R$ से $a = a$ प्राप्त होता है,जो सत्य है। अतः,$R$ प्रति-सममित है।
इसलिए,$R$ सममित और प्रति-सममित दोनों है।

(B) माना $P(A)$ पर परिभाषित संबंध $R$ इस प्रकार है कि $X R Y$ यदि और केवल यदि $X \subseteq Y$,जहाँ $X, Y \in P(A)$ है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $X \in P(A)$ के लिए,$X \subseteq X$ हमेशा सत्य है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. प्रति-सममितता: यदि $X \subseteq Y$ और $Y \subseteq X$ है,तो समुच्चय की समानता की परिभाषा के अनुसार $X = Y$ होता है। अतः,$R$ प्रति-सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $X \subseteq Y$ और $Y \subseteq Z$ है,तो $X \subseteq Z$ होता है। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूँकि यह संबंध स्वतुल्य,प्रति-सममित और संक्रामक है,यह एक आंशिक क्रम संबंध है,न कि तुल्यता संबंध। इसलिए,यह संबंध प्रति-सममित है।

(A) परिभाषा के अनुसार,समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ को प्रति-सममित कहा जाता है यदि सभी $a, b \in A$ के लिए,$(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R$ का तात्पर्य $a = b$ है।
इसका अर्थ यह है कि यदि दो भिन्न अवयव $a$ और $b$ हैं जहाँ $a \neq b$,तो $(a, b)$ और $(b, a)$ दोनों का एक साथ $R$ में होना असंभव है।
अतः,प्रति-सममितता के लिए शर्त $a = b$ है।

(C) दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ और संबंध $R = \{(x, y) | x, y \in A, x < y\}$ है।
$1$. स्वतुल्य: एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $x \in A$ के लिए $(x, x) \in R$ हो। यहाँ,$x < x$ कभी सत्य नहीं है,इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममित: एक संबंध $R$ सममित होता है यदि $(x, y) \in R \implies (y, x) \in R$ हो। यहाँ,$(1, 2) \in R$ क्योंकि $1 < 2$,लेकिन $(2, 1) \notin R$ क्योंकि $2 \not< 1$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R \implies (x, z) \in R$ हो। यदि $x < y$ और $y < z$ है,तो असमिका के गुणधर्म के अनुसार $x < z$ होगा। अतः,$(x, z) \in R$ है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।

(C) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ स्वतुल्य कहलाता है यदि प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ हो। यहाँ $A = \{1, 2, 3, 4\}$ है। $R$ के स्वतुल्य होने के लिए $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$ का $R$ में होना आवश्यक है। चूँकि $(1, 1) \notin R$,इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
संबंध $R$ सममित कहलाता है यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ हो। यहाँ $(1, 2) \in R$ है,लेकिन $(2, 1) \notin R$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
संबंध $R$ संक्रामक कहलाता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ हो। यहाँ $(1, 2) \in R$ और $(2, 2) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $(1, 2)$ का $R$ में होना आवश्यक है,जो कि सत्य है। अन्य युग्मों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि सभी $(a, b), (b, c) \in R$ के लिए,$(a, c) \in R$ की शर्त पूरी होती है। अतः,$R$ संक्रामक है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) समुच्चय $A$ पर एक रिक्त संबंध $\phi$ को $\phi = \emptyset \subseteq A \times A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$1$. स्वतुल्यता के लिए,प्रत्येक $a \in A$ के लिए,$(a, a) \in \phi$ होना चाहिए। चूँकि $\phi$ रिक्त है,इसमें कोई अवयव नहीं है,इसलिए यह स्वतुल्य नहीं है (जब तक कि $A = \emptyset$ न हो)।
$2$. सममितता के लिए,यदि $(a, b) \in \phi$ है,तो $(b, a) \in \phi$ होना चाहिए। चूँकि $\phi$ में कोई अवयव नहीं है,इसलिए शर्त $(a, b) \in \phi \implies (b, a) \in \phi$ रिक्त रूप से (vacuously) सत्य है। अतः,यह सममित है।
$3$. संक्रमकता के लिए,यदि $(a, b) \in \phi$ और $(b, c) \in \phi$ है,तो $(a, c) \in \phi$ होना चाहिए। चूँकि $\phi$ में कोई अवयव नहीं है,इसलिए यह शर्त भी रिक्त रूप से सत्य है। अतः,यह संक्रमक है।
अतः,रिक्त संबंध सममित और संक्रमक होता है।

(B) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in R$ के लिए,हम जानते हैं कि $a \ge a$ हमेशा सत्य है। अतः,सभी $a \in R$ के लिए $(a, a) \in R_1$ है। इसलिए,$R_1$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R_1$ है,तो $a \ge b$ है। इसका अर्थ यह नहीं है कि $b \ge a$ भी सत्य हो (उदाहरण के लिए,$2 \ge 1$ सत्य है,लेकिन $1 \ge 2$ असत्य है)। अतः,$R_1$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R_1$ और $(b, c) \in R_1$ है,तो $a \ge b$ और $b \ge c$ है। असमिका के संक्रामक गुणधर्म के अनुसार,$a \ge c$ होगा। अतः,$(a, c) \in R_1$ है। इसलिए,$R_1$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: $R_1$ स्वतुल्य और संक्रामक है,परंतु सममित नहीं है।

(D) समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध को स्वतुल्य (reflexive),सममित (symmetric) और संक्रामक (transitive) होना चाहिए।
संबंध के स्वतुल्य होने के लिए,प्रत्येक $x \in A$ के लिए,$(x, x)$ संबंध में होना चाहिए।
यहाँ,$A = \{p, q, r\}$ है। अतः,$(p, p), (q, q),$ और $(r, r)$ सभी संबंध में होने चाहिए।
$1$. $R_1$ में,$(q, q)$ और $(r, r)$ अनुपस्थित हैं। अतः,$R_1$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. $R_2$ में,$(p, p)$ अनुपस्थित है। अतः,$R_2$ स्वतुल्य नहीं है।
$3$. $R_3$ में,$(p, p), (q, q), (r, r)$ मौजूद हैं,लेकिन यह सममित नहीं है क्योंकि $(p, q) \in R_3$ है लेकिन $(q, p) \notin R_3$ है।
चूंकि दिए गए कोई भी संबंध तुल्यता संबंध की शर्तों को पूरा नहीं करते हैं,इसलिए इनमें से कोई भी तुल्यता संबंध नहीं है।

(A) एक संबंध $R$ तुल्यता संबंध होता है यदि वह स्वतुल्य (reflexive),सममित (symmetric) और संक्रामक (transitive) हो।
$1$. $R_1$ के लिए: $a \, R_1 \, b \Leftrightarrow |a| = |b|$।
- स्वतुल्य: $|a| = |a|$ सभी $a$ के लिए सत्य है,अतः $a \, R_1 \, a$।
- सममित: यदि $|a| = |b|$ है,तो $|b| = |a|$ होगा,अतः $b \, R_1 \, a$।
- संक्रामक: यदि $|a| = |b|$ और $|b| = |c|$ है,तो $|a| = |c|$ होगा,अतः $a \, R_1 \, c$।
चूँकि $R_1$ तीनों गुणों को संतुष्ट करता है,यह एक तुल्यता संबंध है।
$2$. $R_2$ $(a \ge b)$ सममित नहीं है (उदाहरण के लिए,$2 \ge 1$ लेकिन $1 \not\ge 2$)।
$3$. $R_3$ ($a, b$ से विभाज्य है) सममित नहीं है (उदाहरण के लिए,$4, 2$ से विभाज्य है,लेकिन $2, 4$ से विभाज्य नहीं है)।
$4$. $R_4$ $(a < b)$ स्वतुल्य नहीं है $(a \not< a)$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध $R$ तीन गुणों को संतुष्ट करता है:
$1$. स्वतुल्यता: सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R$,तो $(b, a) \in R$।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$,तो $(a, c) \in R$।
अब,$R^{-1} = \{(b, a) : (a, b) \in R\}$ पर विचार करें।
$1$. स्वतुल्यता: चूंकि $(a, a) \in R$,इसलिए $(a, a) \in R^{-1}$। अतः,$R^{-1}$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R^{-1}$,तो $(b, a) \in R$। चूंकि $R$ सममित है,$(a, b) \in R$,जिसका अर्थ है कि $(b, a) \in R^{-1}$। अतः,$R^{-1}$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R^{-1}$ और $(b, c) \in R^{-1}$,तो $(b, a) \in R$ और $(c, b) \in R$। चूंकि $R$ संक्रामक है,$(c, a) \in R$,जिसका अर्थ है कि $(a, c) \in R^{-1}$। अतः,$R^{-1}$ संक्रामक है।
चूंकि $R^{-1}$ तीनों गुणों को संतुष्ट करता है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(B) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ पर संबंध $R$,$nm \ge 0$ द्वारा परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $n \in \mathbb{R}$ के लिए,$n \cdot n = n^2 \ge 0$ होता है। अतः,$(n, n) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $(n, m) \in R$,तो $nm \ge 0$ है। चूँकि $nm = mn$,इसलिए $mn \ge 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $(m, n) \in R$ है। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: मान लीजिए $(n, m) \in R$ और $(m, p) \in R$ है। इसका अर्थ है $nm \ge 0$ और $mp \ge 0$ है। यदि हम $n=1, m=0, p=-1$ लें,तो $1 \cdot 0 = 0 \ge 0$ और $0 \cdot (-1) = 0 \ge 0$ है,लेकिन $n \cdot p = 1 \cdot (-1) = -1 < 0$ है। चूँकि $(1, 0) \in R$ और $(0, -1) \in R$ है लेकिन $(1, -1) \notin R$,इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है।
अतः,$R$ स्वतुल्य और सममित है।

(D) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ को तुल्यता संबंध कहा जाता है यदि वह निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करता है:
$1$. स्वतुल्य (Reflexive): सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए।
$2$. सममित (Symmetric): यदि $(a, b) \in R$ है,तो सभी $a, b \in A$ के लिए $(b, a) \in R$ होना चाहिए।
$3$. संक्रामक (Transitive): यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो सभी $a, b, c \in A$ के लिए $(a, c) \in R$ होना चाहिए।
चूंकि एक तुल्यता संबंध को इन तीनों शर्तों को पूरा करना आवश्यक है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) माना $R$ पूर्णांकों के समुच्चय $\mathbb{Z}$ पर परिभाषित एक संबंध है जहाँ $aRb$ यदि और केवल यदि $a \equiv b \pmod{m}$,जिसका अर्थ है कि $a - b$,$m$ से विभाज्य है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{Z}$ के लिए,$a - a = 0$,जो $m$ से विभाज्य है। अतः,$aRa$ सत्य है।
$2$. सममितता: यदि $aRb$,तो $a - b = km$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए। तब $b - a = -(km) = (-k)m$। चूँकि $-k$ एक पूर्णांक है,इसलिए $bRa$ सत्य है।
$3$. संक्रमकता: यदि $aRb$ और $bRc$,तो $a - b = km$ और $b - c = lm$ किन्हीं पूर्णांकों $k, l$ के लिए। इन्हें जोड़ने पर,$a - c = (k + l)m$। चूँकि $k + l$ एक पूर्णांक है,इसलिए $aRc$ सत्य है।
चूँकि यह संबंध स्वतुल्य,सममित और संक्रमक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(B) समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध को तीन गुणों को संतुष्ट करना चाहिए: स्वतुल्यता,सममितता और संक्रामकता।
$1$. स्वतुल्यता: चूंकि $R$ और $S$ तुल्यता संबंध हैं,इसलिए सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ और $(a, a) \in S$ है। अतः,$(a, a) \in R \cap S$,इसलिए $R \cap S$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R \cap S$,तो $(a, b) \in R$ और $(a, b) \in S$ है। चूंकि $R$ और $S$ सममित हैं,इसलिए $(b, a) \in R$ और $(b, a) \in S$ है। अतः,$(b, a) \in R \cap S$,इसलिए $R \cap S$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R \cap S$ और $(b, c) \in R \cap S$,तो $(a, b) \in R, (b, c) \in R$ और $(a, b) \in S, (b, c) \in S$ है। चूंकि $R$ और $S$ संक्रामक हैं,इसलिए $(a, c) \in R$ और $(a, c) \in S$ है। अतः,$(a, c) \in R \cap S$,इसलिए $R \cap S$ संक्रामक है।
अतः,$R \cap S$,$A$ पर एक तुल्यता संबंध है।

(D) $1$. सममित: यदि $R$ और $S$ सममित हैं,तो $(x, y) \in R \implies (y, x) \in R$ और $(x, y) \in S \implies (y, x) \in S$. यदि $(x, y) \in R \cup S$ है,तो $(x, y) \in R$ या $(x, y) \in S$. अतः $(y, x) \in R$ या $(y, x) \in S$,जिसका अर्थ है कि $(y, x) \in R \cup S$. अतः $R \cup S$ सममित है।
$2$. संक्रामक: यदि $R$ और $S$ संक्रामक हैं,तो माना $(x, y) \in R \cap S$ और $(y, z) \in R \cap S$. तब $(x, y) \in R, (y, z) \in R \implies (x, z) \in R$ (चूंकि $R$ संक्रामक है)। इसी प्रकार,$(x, y) \in S, (y, z) \in S \implies (x, z) \in S$ (चूंकि $S$ संक्रामक है)। अतः $(x, z) \in R \cap S$. अतः $R \cap S$ संक्रामक है।
$3$. स्वतुल्य: यदि $R$ और $S$ समुच्चय $A$ पर स्वतुल्य हैं,तो प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ और $(a, a) \in S$. अतः प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R \cap S$. अतः $R \cap S$ स्वतुल्य है।
अतः,सभी कथन सत्य हैं।

(B) दिया गया है $S = \{(2, 1), (3, 2), (2, 3)\}$।
सबसे पहले,$S$ में प्रत्येक क्रमित युग्म के तत्वों को बदलकर प्रतिलोम संबंध $S^{-1}$ ज्ञात करें:
$S^{-1} = \{(1, 2), (2, 3), (3, 2)\}$।
अब,हमें संयोजन $R \circ S^{-1}$ ज्ञात करना है।
संयोजन $R \circ S^{-1}$ में ऐसे युग्म $(x, z)$ शामिल हैं जिनके लिए एक ऐसा $y$ मौजूद है कि $(x, y) \in S^{-1}$ और $(y, z) \in R$ हो।
$1$. $(1, 2) \in S^{-1}$ के लिए,हम $R$ में $2$ से शुरू होने वाले युग्म देखते हैं। हमारे पास $(2, 2) \in R$ है। अतः,$(1, 2) \in R \circ S^{-1}$।
$2$. $(2, 3) \in S^{-1}$ के लिए,हम $R$ में $3$ से शुरू होने वाले युग्म देखते हैं। हमारे पास $(3, 2) \in R$ है। अतः,$(2, 2) \in R \circ S^{-1}$।
$3$. $(3, 2) \in S^{-1}$ के लिए,हम $R$ में $2$ से शुरू होने वाले युग्म देखते हैं। हमारे पास $(2, 2) \in R$ है। अतः,$(3, 2) \in R \circ S^{-1}$।
इन सबको मिलाने पर,$R \circ S^{-1} = \{(1, 2), (2, 2), (3, 2)\}$।

(D) दिया गया संबंध $R = \{(x, y) | x, y \in N, 2x + y = 41\}$ है।
$R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $x \in N$ के लिए $(x, x) \in R$ होना चाहिए। इसका अर्थ है $2x + x = 41$,जिससे $3x = 41$,जो $x = 41/3 \notin N$ देता है। अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$R$ के सममित होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए। मान लीजिए $(1, 39) \in R$ क्योंकि $2(1) + 39 = 41$ है। हालाँकि,$(39, 1) \notin R$ क्योंकि $2(39) + 1 = 79 \neq 41$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $(x, z) \in R$ होना चाहिए। मान लीजिए $(1, 39) \in R$ और $(39, z) \in R$ है। $(39, z) \in R$ के लिए,$2(39) + z = 41$,जो $z = 41 - 78 = -37 \notin N$ देता है। चूँकि ऐसा कोई $z \in N$ मौजूद नहीं है,इसलिए संक्रामकता की शर्त पूरी नहीं होती है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
अतः,$R$ इनमें से कोई नहीं है।

(B) समुच्चय $L$ पर एक संबंध $R$ को $\alpha R \beta$ के रूप में परिभाषित किया गया है यदि और केवल यदि $\alpha \perp \beta$ (रेखा $\alpha$,रेखा $\beta$ पर लंब है)।
$1$. स्वतुल्यता: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $\alpha \in L$ के लिए $\alpha R \alpha$ सत्य होना चाहिए। इसका अर्थ है $\alpha \perp \alpha$। चूंकि कोई भी रेखा स्वयं पर लंब नहीं हो सकती,इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: $R$ के सममित होने के लिए,यदि $\alpha R \beta$ है,तो $\beta R \alpha$ सत्य होना चाहिए। यदि $\alpha \perp \beta$ है,तो स्पष्ट रूप से $\beta \perp \alpha$ भी होगा। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $\alpha R \beta$ और $\beta R \gamma$ है,तो $\alpha R \gamma$ सत्य होना चाहिए। यदि $\alpha \perp \beta$ और $\beta \perp \gamma$ है,तो $\alpha$,$\gamma$ के समांतर है $(\alpha \parallel \gamma)$,लंब नहीं। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,संबंध $R$ सममित है।

(D) समरूपता $(a \sim b)$ द्वारा परिभाषित संबंध $R$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए:
$1$. स्वतुल्य: प्रत्येक त्रिभुज $a$ स्वयं के समरूप होता है $(a \sim a)$। अतः,$aRa$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि त्रिभुज $a$,त्रिभुज $b$ के समरूप है $(a \sim b)$,तो त्रिभुज $b$ भी त्रिभुज $a$ के समरूप होता है $(b \sim a)$। अतः,$aRb \implies bRa$। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि त्रिभुज $a$,त्रिभुज $b$ के समरूप है $(a \sim b)$ और त्रिभुज $b$,त्रिभुज $c$ के समरूप है $(b \sim c)$,तो त्रिभुज $a$,त्रिभुज $c$ के समरूप होता है $(a \sim c)$। अतः,$aRb$ और $bRc \implies aRc$। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूंकि संबंध $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(B) माना $R$ तल में बिंदुओं के समुच्चय पर परिभाषित संबंध है ताकि $(P, Q) \in R$ यदि और केवल यदि $OP = OQ$ हो।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी बिंदु $P$ के लिए,$OP = OP$ हमेशा सत्य है। अतः,सभी $P$ के लिए $(P, P) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(P, Q) \in R$ है,तो $OP = OQ$,जिसका अर्थ है $OQ = OP$। अतः,$(Q, P) \in R$ है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(P, Q) \in R$ और $(Q, S) \in R$ है,तो $OP = OQ$ और $OQ = OS$ है। यह दर्शाता है कि $OP = OS$ है। अतः,$(P, S) \in R$ है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूँकि संबंध स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(D) एक संबंध $r$ तुल्यता संबंध होता है यदि वह स्वतुल्य,सममित और संक्रामक हो।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $(a, b) \in N \times N$ के लिए,$a + b = b + a$ होता है। अतः,$(a, b)r(a, b)$ सत्य है। इसलिए,$r$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $(a, b)r(c, d)$ है,तो $a + d = b + c$ होता है। इसका अर्थ है $c + b = d + a$,जिसका अर्थ है $(c, d)r(a, b)$। इसलिए,$r$ सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $(a, b)r(c, d)$ और $(c, d)r(e, f)$ है,तो $a + d = b + c$ और $c + f = d + e$ होता है। इन समीकरणों को जोड़ने पर: $a + d + c + f = b + c + d + e$। सरल करने पर $a + f = b + e$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(a, b)r(e, f)$। इसलिए,$r$ संक्रामक है।
चूँकि $r$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(D) $1$. स्वतुल्यता: कोई भी रेखा $l_1$ हमेशा स्वयं के समांतर होती है,इसलिए $(l_1, l_1) in R$। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $l_1$,$l_2$ के समांतर है,तो $l_2$ भी $l_1$ के समांतर होगी। इसलिए,यदि $(l_1, l_2) in R$ है,तो $(l_2, l_1) in R$ होगा। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $l_1$,$l_2$ के समांतर है और $l_2$,$l_3$ के समांतर है,तो $l_1$,$l_3$ के समांतर होगी। इसलिए,यदि $(l_1, l_2) in R$ और $(l_2, l_3) in R$ है,तो $(l_1, l_3) in R$ होगा। अतः,$R$ संक्रामक है।
इस प्रकार,संबंध $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक तीनों है।

(D) $1$. स्वतुल्यता: प्रत्येक $a \in Z$ के लिए,$a - a = 0$ होता है। चूंकि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $n | 0$ सत्य है,इसलिए $aRa$ होता है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $aRb$ है,तो $n | (a - b)$,जिसका अर्थ है कि किसी पूर्णांक $k$ के लिए $a - b = nk$ है। तब $b - a = -(a - b) = n(-k)$,जो दर्शाता है कि $n | (b - a)$ है। अतः,$bRa$ होता है,और $R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $aRb$ और $bRc$ है,तो $n | (a - b)$ और $n | (b - c)$ होता है। इसका अर्थ है कि कुछ पूर्णांकों $k_1, k_2$ के लिए $a - b = nk_1$ और $b - c = nk_2$ है। इन समीकरणों को जोड़ने पर,$(a - b) + (b - c) = a - c = n(k_1 + k_2)$ प्राप्त होता है। चूंकि $n | (a - c)$ है,इसलिए $aRc$ होता है,और $R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक तीनों है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है। अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in N$ के लिए,$x$ के भाजकों में कम से कम $1$ और $x$ स्वयं शामिल हैं (क्योंकि $x > 100$)। अतः,$x$ और $x$ के कम से कम दो उभयनिष्ठ भाजक ($1$ और $x$) हैं। इसलिए,$(x, x) \in R$. $R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(x, y) \in R$ है,तो $x$ और $y$ के कम से कम दो उभयनिष्ठ भाजक हैं। इसका अर्थ है कि $y$ और $x$ के भी कम से कम दो उभयनिष्ठ भाजक हैं। इसलिए,$(y, x) \in R$. $R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $x, y$ के कम से कम दो भाजक समान हैं और $y, z$ के कम से कम दो भाजक समान हैं। उदाहरण के लिए,$x = 105 (3 \times 5 \times 7), y = 110 (2 \times 5 \times 11), z = 143 (11 \times 13)$ लें। $(105, 110)$ के उभयनिष्ठ भाजक ${1, 5}$ हैं। $(110, 143)$ के उभयनिष्ठ भाजक ${1, 11}$ हैं। लेकिन $(105, 143)$ के उभयनिष्ठ भाजक केवल ${1}$ हैं। अतः,$(105, 143) \notin R$. इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।

(B) स्वतुल्य: एक संबंध $r$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $a \in R$ के लिए $(a, a) \in r$ हो। इसका अर्थ है कि सभी $a \in R$ के लिए $a \cdot a = a^2$ एक अपरिमेय संख्या होनी चाहिए। यदि $a = 1$ लें,तो $a^2 = 1$ होता है,जो परिमेय है। अतः,$r$ स्वतुल्य नहीं है।
सममित: एक संबंध $r$ सममित होता है यदि $(a, b) \in r \implies (b, a) \in r$ हो। यदि $ab$ एक अपरिमेय संख्या है,तो $ba$ भी एक अपरिमेय संख्या होगी क्योंकि $R$ में गुणन क्रमविनिमेय होता है। अतः,$r$ सममित है।
संक्रामक: एक संबंध $r$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in r$ और $(b, c) \in r \implies (a, c) \in r$ हो। मान लीजिए $a = 1, b = \sqrt{2}, c = 2$ है। यहाँ,$ab = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ (अपरिमेय) और $bc = \sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2}$ (अपरिमेय) है। लेकिन,$ac = 1 \cdot 2 = 2$,जो एक परिमेय संख्या है। अतः,$(1, \sqrt{2}) \in r$ और $(\sqrt{2}, 2) \in r$ है,लेकिन $(1, 2) \notin r$ है। इसलिए,$r$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: संबंध $r$ केवल सममित है।

(C) समुच्चय $A = \{3, 6, 9, 12\}$ पर एक संबंध $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(3, 3) \notin R$,इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$R$ के सममित होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए। हमारे पास $(6, 12) \in R$ और $(12, 6) \in R$ है। अन्य सभी तत्व जैसे $(6, 6), (9, 9), (12, 12)$ स्वयं के साथ सममित हैं। अतः,$R$ सममित है।
$R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। युग्मों की जाँच करने पर: $(6, 12) \in R$ और $(12, 6) \in R \implies (6, 6) \in R$। $(12, 6) \in R$ और $(6, 12) \in R \implies (12, 12) \in R$। सभी शर्तें पूरी होती हैं। अतः,$R$ संक्रामक है।
इसलिए,$R$ सममित और संक्रामक है लेकिन स्वतुल्य नहीं है।

(D) $n$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ के लिए,कुल सममित संबंधों की संख्या $2^{n(n+1)/2}$ होती है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए कुल सममित संबंधों की संख्या $2^{3(4)/2} = 2^6 = 64$ है।
एक सममित संबंध में यदि $(a, b)$ है,तो $(b, a)$ का होना आवश्यक है।
युग्म $(1, 2)$ और $(2, 1)$ पहले से ही संबंध में शामिल हैं।
शेष युग्मों को चुनना बाकी है: $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ (जो $3$ विकर्ण अवयव हैं) और युग्म ${(1, 3), (3, 1)}$ तथा ${(2, 3), (3, 2)}$ (जो $2$ गैर-विकर्ण युग्म हैं)।
प्रत्येक $3$ विकर्ण अवयव उपस्थित या अनुपस्थित हो सकते हैं ($2^3$ तरीके)।
प्रत्येक $2$ गैर-विकर्ण युग्म उपस्थित या अनुपस्थित हो सकते हैं ($2^2$ तरीके)।
$(1, 2)$ और $(2, 1)$ वाले कुल सममित संबंधों की संख्या $= 2^3 \times 2^2 = 8 \times 4 = 32$.

(A) संबंध $R = \{ (a, b) : 1 + ab > 0 \}$ है।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $a \in S$ के लिए,$(a, a) \in R$ यदि $1 + a^2 > 0$ हो। चूंकि सभी वास्तविक $a$ के लिए $a^2 \ge 0$ है,इसलिए $1 + a^2 \ge 1 > 0$। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $(a, b) \in R$ है,तो $1 + ab > 0$। चूंकि $ab = ba$,इसलिए $1 + ba > 0$,जिसका अर्थ है कि $(b, a) \in R$। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। मान लीजिए $a = -8, b = -2, c = 0.25$।
$1 + ab = 1 + (-8)(-2) = 17 > 0$.
$1 + bc = 1 + (-2)(0.25) = 1 - 0.5 = 0.5 > 0$.
हालाँकि,$1 + ac = 1 + (-8)(0.25) = 1 - 2 = -1$,जो $> 0$ नहीं है।
इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: यह संबंध स्वतुल्य और सममित है,लेकिन संक्रामक नहीं है।

(A) $n$ अवयवों वाले समुच्चय पर तुल्यता संबंधों की संख्या उस समुच्चय के विभाजनों की संख्या के बराबर होती है,जिसे बेल संख्या $B_n$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 4$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ के लिए,तुल्यता संबंधों की संख्या बेल संख्या $B_4$ है।
बेल संख्याएँ पुनरावृत्ति संबंध $B_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k$ द्वारा परिभाषित होती हैं।
पहली कुछ बेल संख्याओं की गणना करने पर:
$B_0 = 1$
$B_1 = 1$
$B_2 = \binom{1}{0}B_0 + \binom{1}{1}B_1 = 1(1) + 1(1) = 2$
$B_3 = \binom{2}{0}B_0 + \binom{2}{1}B_1 + \binom{2}{2}B_2 = 1(1) + 2(1) + 1(2) = 5$
$B_4 = \binom{3}{0}B_0 + \binom{3}{1}B_1 + \binom{3}{2}B_2 + \binom{3}{3}B_3 = 1(1) + 3(1) + 3(2) + 1(5) = 1 + 3 + 6 + 5 = 15$.
अतः,$N = 15$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$14 \leq 15 \leq 20$ सत्य है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी आव्यूह $A \in M$ के लिए,$AA = AA$ सत्य है। अतः,$(A, A) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(A, B) \in R$ है,तो $AB = BA$ है। इसका अर्थ है $BA = AB$,जिसका अर्थ है कि $(B, A) \in R$ है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(A, B) \in R$ और $(B, C) \in R$ है। इसका अर्थ है $AB = BA$ और $BC = CB$ है। क्या $AC = CA$ होगा? आव्यूह गुणन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता है। उदाहरण के लिए,यदि $A$ एक विकर्ण आव्यूह है,$B$ एक ऐसा आव्यूह है जो $A$ के साथ क्रमविनिमेय है,और $C$ एक ऐसा आव्यूह है जो $B$ के साथ क्रमविनिमेय है,तो यह आवश्यक नहीं है कि $A$ और $C$ भी क्रमविनिमेय हों। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।

(D) संबंध $R$ को $R = \{(a, b) \mid a, b \text{ को विभाजित करता है}, a \in A, b \in B\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
हम प्रत्येक अवयव $a \in A$ के लिए जाँच करते हैं कि वह $B$ के किस अवयव $b$ को विभाजित करता है:
$a = 2$ के लिए: $2$,$6$ और $10$ को विभाजित करता है,इसलिए $(2, 6) \in R$ और $(2, 10) \in R$ है।
$a = 3$ के लिए: $3$,$3$ और $6$ को विभाजित करता है,इसलिए $(3, 3) \in R$ और $(3, 6) \in R$ है।
$a = 4$ के लिए: $4$,$B$ के किसी भी अवयव को विभाजित नहीं करता है।
$a = 5$ के लिए: $5$,$10$ को विभाजित करता है,इसलिए $(5, 10) \in R$ है।
अतः,$R = \{(2, 6), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (5, 10)\}$ है।
प्रतिलोम संबंध $R^{-1}$ को $R^{-1} = \{(b, a) \mid (a, b) \in R\}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,$R^{-1} = \{(6, 2), (10, 2), (3, 3), (6, 3), (10, 5)\}$ है।
$R^{-1}$ में अवयवों की संख्या $R$ में अवयवों की संख्या के बराबर है,जो कि $5$ है।

(B) कार्तीय गुणन $A \times A$ में कुल अवयवों की संख्या $n(A \times A) = m \times m = m^2$ है।
$A$ पर एक संबंध $R$ के स्वतुल्य (reflexive) होने के लिए,इसमें $A$ के प्रत्येक $a$ के लिए $(a, a)$ रूप के सभी अवयव होने चाहिए।
चूंकि ऐसे $m$ अवयव हैं,इसलिए ये $m$ अवयव $R$ में अनिवार्य रूप से होने चाहिए।
$A \times A$ में शेष बचे अवयवों की संख्या $m^2 - m$ है।
इन शेष $m^2 - m$ अवयवों में से प्रत्येक अवयव $R$ में हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।
इसलिए,शेष अवयवों को चुनने के कुल तरीकों की संख्या $2^{m^2 - m}$ है।

(B) $R$ पर संबंध $r$ इस प्रकार परिभाषित है: $r = \{(a,b) \in R \times R \mid a - b + \sqrt{3} \in R \setminus Q \}$.
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in R$ के लिए,$aRa \iff a - a + \sqrt{3} = \sqrt{3}$. चूंकि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए सभी $a \in R$ के लिए $aRa$ सत्य है। अतः,$r$ स्वतुल्य है.
$2$. सममितता: $r$ के सममित होने के लिए,$aRb \implies bRa$ होना चाहिए। मान लीजिए $a = \sqrt{3}$ और $b = 0$. तब $a - b + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 0 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$,जो अपरिमेय है। इसलिए,$(\sqrt{3}, 0) \in r$. हालाँकि,$b - a + \sqrt{3} = 0 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 0$,जो एक परिमेय संख्या है। इसलिए,$(0, \sqrt{3}) \notin r$. अतः,$r$ सममित नहीं है.
$3$. संक्रामकता: $r$ के संक्रामक होने के लिए,$aRb$ और $bRc \implies aRc$ होना चाहिए। मान लीजिए $a = \sqrt{3}$,$b = 0$,और $c = 2\sqrt{3}$.
$aRb \implies \sqrt{3} - 0 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ (अपरिमेय).
$bRc \implies 0 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = -\sqrt{3}$ (अपरिमेय).
$aRc \implies \sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 0$ (परिमेय).
चूंकि $aRc$ अपरिमेय नहीं है,इसलिए $r$ संक्रामक नहीं है.
अतः,$r$ केवल स्वतुल्य है.

(B) $n$ अवयवों वाले समुच्चय पर कुल स्वतुल्य संबंधों की संख्या का सूत्र $2^{n^{2}-n}$ है।
यहाँ,अवयवों की संख्या $n = 3$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
स्वतुल्य संबंधों की संख्या $= 2^{3^{2}-3}$
$= 2^{9-3}$
$= 2^{6}$.

(A) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ स्वतुल्य (reflexive) कहलाता है यदि सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ हो।
दिए गए समुच्चय $A$ में $m$ अवयव हैं,इसलिए कार्तीय गुणन $A \times A$ में $m^2$ अवयव होते हैं।
संबंध को स्वतुल्य होने के लिए,इसमें $(1, 1), (2, 2), \dots, (m, m)$ रूप के सभी $m$ विकर्ण अवयव होने चाहिए।
$A \times A$ में शेष अवयवों की संख्या $m^2 - m$ है।
इन $m^2 - m$ अवयवों में से प्रत्येक अवयव संबंध में उपस्थित हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।
अतः,स्वतुल्य संबंधों की कुल संख्या $2^{m^2 - m}$ है।

(D) एक संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध होता है यदि वह स्वतुल्य,सममित और संक्रामक हो।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी घर $x \in H$ के लिए,$x$ स्वयं के समान दिशा में मुख किए हुए है। अतः,सभी $x \in H$ के लिए $(x, x) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(x, y) \in R$,तो $x$ और $y$ एक ही दिशा में मुख किए हुए हैं। इसका अर्थ है कि $y$ और $x$ भी एक ही दिशा में मुख किए हुए हैं। अतः,$(y, x) \in R$ है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$,तो $x$ और $y$ एक ही दिशा में मुख किए हुए हैं,और $y$ और $z$ एक ही दिशा में मुख किए हुए हैं। इसका अर्थ है कि $x$ और $z$ एक ही दिशा में मुख किए हुए हैं। अतः,$(x, z) \in R$ है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(B) संबंध को $a R b \iff \log_2(a/b) = k$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$। इसका अर्थ है $a/b = 2^k$,या $a = b \cdot 2^k$ किसी अ-ऋणात्मक पूर्णांक $k$ के लिए।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $a \in I$ के लिए,$a/a = 1 = 2^0$। चूंकि $0$ एक अ-ऋणात्मक पूर्णांक है,इसलिए $(a, a) \in R$। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: मान लीजिए $(2, 1) \in R$ क्योंकि $\log_2(2/1) = 1$,जो एक अ-ऋणात्मक पूर्णांक है। हालाँकि,$(1, 2) \notin R$ क्योंकि $\log_2(1/2) = -1$,जो एक अ-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$। तो $a = b \cdot 2^{k_1}$ और $b = c \cdot 2^{k_2}$ कुछ अ-ऋणात्मक पूर्णांकों $k_1, k_2$ के लिए। $b$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a = (c \cdot 2^{k_2}) \cdot 2^{k_1} = c \cdot 2^{k_1+k_2}$ प्राप्त होता है। चूंकि $k_1+k_2$ एक अ-ऋणात्मक पूर्णांक है,इसलिए $(a, c) \in R$। अतः,$R$ संक्रामक है।
अतः,$R$ स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है।