Types of Relations Questions in Hindi

(D) समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होता है।
$1$. स्वतुल्य: सभी $a \in A$ के लिए,$(a, a) \in R$. चूंकि $(a, a) \in R$,इसलिए $(a, a) \in R^{-1}$,अतः $R^{-1}$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $(a, b) \in R$,तो $(b, a) \in R$. $R^{-1}$ के लिए,यदि $(a, b) \in R^{-1}$,तो $(b, a) \in R$. चूंकि $R$ सममित है,$(a, b) \in R$,इसलिए $(b, a) \in R^{-1}$. अतः $R^{-1}$ सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$,तो $(a, c) \in R$. $R^{-1}$ के लिए,यदि $(a, b) \in R^{-1}$ और $(b, c) \in R^{-1}$,तो $(b, a) \in R$ और $(c, b) \in R$. चूंकि $R$ संक्रामक है,$(c, a) \in R$,जो यह दर्शाता है कि $(a, c) \in R^{-1}$. अतः $R^{-1}$ संक्रामक है।
चूंकि $R^{-1}$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,यह एक तुल्यता संबंध है। इसलिए,यह कहना गलत है कि $R^{-1}$ इनमें से कुछ नहीं है।

(D) $1$. संक्रामकता: यदि $R_1$ और $R_2$ संक्रामक हैं,तो $R_1 \cap R_2$ संक्रामक होता है। यह कथन सत्य है।
$2$. स्वतुल्यता: यदि $R_1$ और $R_2$ स्वतुल्य हैं,तो $R_1 \cup R_2$ स्वतुल्य होता है। यह कथन सत्य है।
$3$. सममितता: यदि $R_1$ और $R_2$ सममित हैं,तो $R_1 \cap R_2$ सममित होता है। यह कथन सत्य है।
$4$. तुल्यता संबंध: यदि $R_1$ और $R_2$ तुल्यता संबंध हैं,तो उनका संघ $R_1 \cup R_2$ आवश्यक रूप से तुल्यता संबंध नहीं होता है क्योंकि यह संक्रामकता के गुण को पूरा नहीं कर सकता है। उदाहरण के लिए,मान लीजिए $A = \{1, 2, 3\}$ है। $R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ और $R_2 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3), (3, 2)\}$ दोनों तुल्यता संबंध हैं। लेकिन $R_1 \cup R_2 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)\}$ है। यहाँ,$(1, 2) \in R_1 \cup R_2$ और $(2, 3) \in R_1 \cup R_2$,लेकिन $(1, 3) \notin R_1 \cup R_2$ है। अतः,यह संक्रामक नहीं है। इसलिए,विकल्प $D$ में दिया गया कथन गलत है।

(C) संबंध $R$ प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ पर $R = \{(x, y) \in N \times N : 3x + 3y = 10\}$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्यता के लिए: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए सभी $x \in N$ के लिए $(x, x) \in R$ होना चाहिए। इसका अर्थ है $3x + 3x = 10$,यानी $6x = 10$,जिससे $x = 5/3$ प्राप्त होता है। चूँकि $5/3 \notin N$,इसलिए संबंध स्वतुल्य नहीं है। कथन-$2$ $F$ है।
$2$. सममितता के लिए: $R$ के सममित होने के लिए यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए। यदि $3x + 3y = 10$ है,तो $3y + 3x = 10$ भी होगा। अतः,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x) \in R$ होगा। $N \times N$ में ऐसे कोई अवयव नहीं हैं जो $3x + 3y = 10$ को संतुष्ट करते हों,इसलिए $R$ रिक्त समुच्चय $\phi$ है। रिक्त संबंध हमेशा सममित होता है। कथन-$1$ $T$ है।
$3$. संक्रामकता के लिए: $R$ के संक्रामक होने के लिए यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $(x, z) \in R$ होना चाहिए। चूँकि $R = \phi$ है,इसलिए ऐसी कोई जोड़ी $(x, y)$ और $(y, z)$ नहीं है जो इस शर्त का उल्लंघन करे। अतः,संक्रामकता की शर्त रिक्त रूप से संतुष्ट होती है। कथन-$3$ $T$ है।
अतः,सही क्रम $TFT$ है।

(A) सबसे पहले,सममितता की जाँच करें:
$R_1$ के लिए: $(c, a) \in R_1$ और $(a, c) \in R_1$ है। हालाँकि,$(b, c) \in R_1$ है लेकिन $(c, b) \notin R_1$ है। अतः,$R_1$ सममित नहीं है।
$R_2$ के लिए: $(a, b) \in R_2$ और $(b, a) \in R_2$ है। $(a, c) \in R_2$ और $(c, a) \in R_2$ है। $(c, a) \in R_2$ और $(a, c) \in R_2$ है। अतः,$R_2$ सममित है।
इसके बाद,संक्रामकता की जाँच करें:
$R_1$ के लिए: $(b, c) \in R_1$ और $(c, a) \in R_1$ है,लेकिन $(b, a) \notin R_1$ है। अतः,$R_1$ संक्रामक नहीं है।
$R_2$ के लिए: $(b, a) \in R_2$ और $(a, c) \in R_2$ है,लेकिन $(b, c) \notin R_2$ है। अतः,$R_2$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: $R_2$ सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है,और $R_1$ न तो सममित है और न ही संक्रामक है।

(C) $N$ पर दिए गए संबंध हैं:
$R_1 = \{(x,y) \in N \times N : 2x + y = 10\}$
$R_2 = \{(x,y) \in N \times N : x + 2y = 10\}$
$R_1$ के लिए,$y = 10 - 2x$ को $x, y \in N$ के लिए हल करने पर:
यदि $x=1, y=8$; यदि $x=2, y=6$; यदि $x=3, y=4$; यदि $x=4, y=2$.
अतः,$R_1 = \{(1,8), (2,6), (3,4), (4,2)\}$.
$R_1$ का परिसर $\{2, 4, 6, 8\}$ है। अतः,विकल्प $D$ गलत है।
$R_1$ सममित नहीं है क्योंकि $(1,8) \in R_1$ लेकिन $(8,1) \notin R_1$.
$R_1$ संक्रामक नहीं है क्योंकि $(3,4) \in R_1$ और $(4,2) \in R_1$,लेकिन $(3,2) \notin R_1$.
$R_2$ के लिए,$x = 10 - 2y$ को $x, y \in N$ के लिए हल करने पर:
यदि $y=1, x=8$; यदि $y=2, x=6$; यदि $y=3, x=4$; यदि $y=4, x=2$.
अतः,$R_2 = \{(8,1), (6,2), (4,3), (2,4)\}$.
$R_2$ का परिसर $\{1, 2, 3, 4\}$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।
$R_2$ सममित नहीं है क्योंकि $(8,1) \in R_2$ लेकिन $(1,8) \notin R_2$.
$R_2$ संक्रामक नहीं है क्योंकि $(4,3) \in R_2$ और $(3,y) \notin R_2$ (क्योंकि $R_2$ में $x=3$ के लिए कोई $y$ मौजूद नहीं है)।

(D) संबंध को $P = \{(a,b) : \sec^2 a - \tan^2 b = 1\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$1$. स्वतुल्य: यदि $P$ स्वतुल्य है,तो सभी $a \in \mathbb{R}$ के लिए $(a,a) \in P$ होना चाहिए।
$b=a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sec^2 a - \tan^2 a = 1$ प्राप्त होता है,जो कि मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan^2 a - \tan^2 a = 1$ है। अतः,$1=1$ सभी $a$ के लिए सत्य है। इसलिए,$P$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $P$ सममित है,तो यदि $(a,b) \in P$,तो $(b,a) \in P$ होना चाहिए।
यदि $(a,b) \in P$,तो $\sec^2 a - \tan^2 b = 1$ है।
हम जाँचते हैं कि क्या $\sec^2 b - \tan^2 a = 1$ है।
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करते हुए,$\sec^2 b - \tan^2 a = (1 + \tan^2 b) - (\sec^2 a - 1) = 2 + \tan^2 b - \sec^2 a = 2 - (\sec^2 a - \tan^2 b) = 2 - 1 = 1$ है।
अतः,$(b,a) \in P$ है। इसलिए,$P$ सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $P$ संक्रामक है,तो यदि $(a,b) \in P$ और $(b,c) \in P$,तो $(a,c) \in P$ होना चाहिए।
दिया गया है कि $\sec^2 a - \tan^2 b = 1$ और $\sec^2 b - \tan^2 c = 1$ है।
हमें जाँच करनी है कि क्या $\sec^2 a - \tan^2 c = 1$ है।
पहले समीकरण से,$\sec^2 a = 1 + \tan^2 b$ है। दूसरे से,$\tan^2 c = \sec^2 b - 1$ है।
तब $\sec^2 a - \tan^2 c = (1 + \tan^2 b) - (\sec^2 b - 1) = 2 + \tan^2 b - \sec^2 b = 2 - 1 = 1$ है।
अतः,$(a,c) \in P$ है। इसलिए,$P$ संक्रामक है।
चूँकि $P$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(D) दिया गया समुच्चय $A = \{3, 5, 9, 12\}$ और संबंध $R = \{(3, 3), (5, 5), (9, 9), (12, 12), (5, 12), (3, 9), (3, 12), (3, 5)\}$ है।
$1$. स्वतुल्यता: यदि $R$ स्वतुल्य है,तो प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(3, 3), (5, 5), (9, 9), (12, 12) \in R$ है,इसलिए संबंध स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $R$ सममित है,तो यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(3, 5) \in R$ है,लेकिन $(5, 3) \notin R$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: यदि $R$ संक्रामक है,तो यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। युग्मों की जाँच करने पर: $(3, 5) \in R$ और $(5, 12) \in R$ के लिए $(3, 12) \in R$ होना चाहिए,जो मौजूद है। अन्य सभी युग्मों के लिए भी यह गुण संतुष्ट होता है। अतः,$R$ संक्रामक है।
इसलिए,$R$ स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है।

(A) दिया गया है $R = \{(x,y) : x,y \in N \text{ और } x^2 - 4xy + 3y^2 = 0\}$.
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 4xy + 3y^2 = (x - y)(x - 3y) = 0$.
इसका अर्थ है $x = y$ या $x = 3y$.
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in N$ के लिए,$x = x$ सत्य है,इसलिए $(x,x) \in R$. अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $(3,1) \in R$ क्योंकि $3 = 3(1)$। हालाँकि,$(1,3) \notin R$ क्योंकि $1 \neq 3$ और $1 \neq 3(3)$। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(a,b) \in R$ और $(b,c) \in R$। तो $(a=b \text{ या } a=3b)$ और $(b=c \text{ या } b=3c)$।
यदि हम $(9,3) \in R$ और $(3,1) \in R$ लें,तो $a=9, b=3, c=1$। यहाँ $a=9c$ होता है। चूँकि $9 \neq 1$ और $9 \neq 3(1)$,इसलिए $(9,1) \notin R$। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: $R$ केवल स्वतुल्य है।

(B) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ सममित होता है यदि सभी $a, b \in A$ के लिए $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ हो।
सबसे पहले,हम समुच्चय $A$ के अवयवों की पहचान करते हैं: $A = \{3, 4, 6, 8, 9\}\text{।}$ अवयवों की संख्या $n = 5$ है।
$A \times A$ में क्रमित युग्मों की कुल संख्या $n^2 = 5^2 = 25$ है।
इन $25$ युग्मों को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है:
$1$. $(a, a)$ के रूप के युग्म: ऐसे $n = 5$ युग्म हैं: $(3, 3), (4, 4), (6, 6), (8, 8), (9, 9)\text{।}$
$2$. $(a, b)$ के रूप के युग्म जहाँ $a \neq b$: ऐसे $n^2 - n = 25 - 5 = 20$ युग्म हैं।
एक सममित संबंध के लिए,यदि $(a, b)$ शामिल है,तो $(b, a)$ को भी शामिल किया जाना चाहिए। ये $20$ युग्म $\{(a, b), (b, a)\}$ के रूप के $10$ युग्म बनाते हैं।
प्रत्येक $5$ विकर्ण युग्मों $(a, a)$ के लिए,हमारे पास $2$ विकल्प हैं (शामिल करें या न करें)।
$\{(a, b), (b, a)\}$ के रूप के प्रत्येक $10$ युग्मों के लिए,हमारे पास $2$ विकल्प हैं (दोनों को शामिल करें या दोनों को बाहर रखें)।
अतः,सममित संबंधों की कुल संख्या $2^5 \times 2^{10} = 2^{5+10} = 2^{15}$ है।

(N/A) चूंकि स्कूल लड़कों का स्कूल है,इसलिए स्कूल का कोई भी छात्र स्कूल के किसी अन्य छात्र की बहन नहीं हो सकता है।
अतः,$R = \phi$,जो दर्शाता है कि $R$ एक रिक्त संबंध है।
यह भी स्पष्ट है कि स्कूल के किन्हीं भी दो छात्रों की ऊंचाइयों का अंतर $3 \text{ मीटर}$ से कम ही होगा (क्योंकि मनुष्य की अधिकतम ऊंचाई सामान्यतः $3 \text{ मीटर}$ से कम होती है)।
यह दर्शाता है कि $R^{\prime} = A \times A$,जो कि एक सार्वत्रिक संबंध है।

$R$ स्वतुल्य है,क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के सर्वांगसम होता है।
इसके अतिरिक्त,$(T_1, T_2) \in R \implies T_1, T_2 \text{ के सर्वांगसम है} \implies T_2, T_1 \text{ के सर्वांगसम है} \implies (T_2, T_1) \in R$.
अतः,$R$ सममित है।
इसके अलावा,$(T_1, T_2) \in R$ और $(T_2, T_3) \in R \implies T_1, T_2 \text{ के सर्वांगसम है}$ और $T_2, T_3 \text{ के सर्वांगसम है} \implies T_1, T_3 \text{ के सर्वांगसम है} \implies (T_1, T_3) \in R$.
इसलिए,$R$ एक तुल्यता संबंध है।

(N/A) $R$ स्वतुल्य नहीं है,क्योंकि एक रेखा $L_{1}$ स्वयं पर लंब नहीं हो सकती,अर्थात,$(L_{1}, L_{1}) \notin R$ है।
$R$ सममित है क्योंकि $(L_{1}, L_{2}) \in R$
$\Rightarrow L_{1}, L_{2} \text{ पर लंब है}$
$\Rightarrow L_{2}, L_{1} \text{ पर लंब है}$
$\Rightarrow (L_{2}, L_{1}) \in R$
$R$ संक्रामक नहीं है। वास्तव में,यदि $L_{1}, L_{2}$ पर लंब है और $L_{2}, L_{3}$ पर लंब है,तो $L_{1}$ कभी भी $L_{3}$ पर लंब नहीं हो सकता। वास्तव में,$L_{1}, L_{3}$ के समांतर है,अर्थात,$(L_{1}, L_{2}) \in R, (L_{2}, L_{3}) \in R$ लेकिन $(L_{1}, L_{3}) \notin R$ है।

(N/A) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ हो। यहाँ,$A = \{1, 2, 3\}$ है। चूँकि $(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$ है,इसलिए संबंध $R$ स्वतुल्य है।
एक संबंध $R$ सममित होता है यदि $(a, b) \in R$ का तात्पर्य है कि $(b, a) \in R$ हो। यहाँ,$(1, 2) \in R$ है,लेकिन $(2, 1) \notin R$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ का तात्पर्य है कि $(a, c) \in R$ हो। यहाँ,$(1, 2) \in R$ और $(2, 3) \in R$ है,लेकिन $(1, 3) \notin R$ है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।

(N/A) एक संबंध $R$ तुल्यता संबंध होता है यदि वह स्वतुल्य,सममित और संक्रामक हो।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $a \in Z$ के लिए,$a - a = 0$ है। चूँकि $2, 0$ को विभाजित करता है,इसलिए $(a, a) \in R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: मान लीजिए $(a, b) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $2, a - b$ को विभाजित करता है,इसलिए $a - b = 2k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए। तब $b - a = -(a - b) = -2k = 2(-k)$ है। चूँकि $-k$ एक पूर्णांक है,इसलिए $2, b - a$ को विभाजित करता है। अतः $(b, a) \in R$,इसलिए $R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $a - b = 2k_1$ और $b - c = 2k_2$ किन्हीं पूर्णांकों $k_1, k_2$ के लिए। इन्हें जोड़ने पर,$(a - b) + (b - c) = 2k_1 + 2k_2$,जो सरल होकर $a - c = 2(k_1 + k_2)$ हो जाता है। चूँकि $k_1 + k_2$ एक पूर्णांक है,इसलिए $2, a - c$ को विभाजित करता है। अतः $(a, c) \in R$,इसलिए $R$ संक्रामक है।
चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in A$ के लिए,$a$ या तो विषम है या सम है। अतः,$(a, a) \in R$। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R$ है,तो $a$ और $b$ दोनों विषम या दोनों सम हैं। इसका अर्थ है कि $b$ और $a$ भी दोनों विषम या दोनों सम हैं,इसलिए $(b, a) \in R$। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $a, b$ समान प्रकृति के हैं और $b, c$ समान प्रकृति के हैं। अतः,$a$ और $c$ भी समान प्रकृति के हैं,इसलिए $(a, c) \in R$। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
$4$. उपसमुच्चय विश्लेषण: $\{1, 3, 5, 7\}$ के सभी अवयव विषम हैं,इसलिए इस समुच्चय का कोई भी युग्म $(a, b)$ शर्त को पूरा करता है,जिसका अर्थ है कि वे संबंधित हैं। इसी प्रकार,$\{2, 4, 6\}$ के सभी अवयव सम हैं,इसलिए वे एक-दूसरे से संबंधित हैं। हालाँकि,एक विषम संख्या और एक सम संख्या संबंधित नहीं हो सकती हैं,इसलिए $\{1, 3, 5, 7\}$ का कोई भी अवयव $\{2, 4, 6\}$ के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं है।

(N/A) दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, 3, \ldots, 13, 14\}$ और संबंध $R = \{(x, y) : 3x - y = 0\}$ है।
हम शर्त को $y = 3x$ के रूप में लिख सकते हैं। $x, y \in A$ के लिए,क्रमित युग्म $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
$R = \{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)\}$.
$1$. स्वतुल्य: एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ हो। यहाँ,$(1, 1) \notin R$ है क्योंकि $3(1) - 1 = 2 \neq 0$। अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममित: एक संबंध $R$ सममित होता है यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ हो। यहाँ,$(1, 3) \in R$ है,लेकिन $(3, 1) \notin R$ है क्योंकि $3(3) - 1 = 8 \neq 0$। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ हो। यहाँ,$(1, 3) \in R$ और $(3, 9) \in R$ है,लेकिन $(1, 9) \notin R$ है क्योंकि $3(1) - 9 = -6 \neq 0$। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: संबंध $R$ न तो स्वतुल्य है,न ही सममित है,और न ही संक्रामक है।

(D) $R = \{(x, y) : y = x + 5 \text{ और } x < 4\} = \{(1, 6), (2, 7), (3, 8)\}$
$1$. स्वतुल्यता: यदि $R$ स्वतुल्य है,तो प्रत्येक $a \in N$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए। चूँकि $(1, 1) \notin R$,इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: यदि $R$ सममित है,तो यदि $(a, b) \in R$,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(1, 6) \in R$ है,लेकिन $(6, 1) \notin R$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: यदि $R$ संक्रामक है,तो यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $R$ में ऐसी कोई जोड़ी $(a, b)$ और $(b, c)$ नहीं है जो इस शर्त का उल्लंघन करे,लेकिन संक्रामकता की परिभाषा के अनुसार यह संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: $R$ न तो स्वतुल्य है,न ही सममित है,और न ही संक्रामक है।

(N/A) $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
$R = \{(x, y) : y, x \text{ से विभाज्य है}\}$
$1.$ स्वतुल्यता:
चूंकि कोई भी संख्या $x$ स्वयं से विभाज्य होती है,इसलिए सभी $x \in A$ के लिए $(x, x) \in R$ है।
अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2.$ सममितता:
यहाँ $(2, 4) \in R$ है क्योंकि $4, 2$ से विभाज्य है।
परंतु,$(4, 2) \notin R$ है क्योंकि $2, 4$ से विभाज्य नहीं है।
अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3.$ संक्रामकता:
मान लीजिए $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $y, x$ से विभाज्य है और $z, y$ से विभाज्य है।
यदि $y = kx$ और $z = my$ है,तो $z = m(kx) = (mk)x$ होगा।
इस प्रकार,$z, x$ से विभाज्य है,इसलिए $(x, z) \in R$ है।
अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: $R$ स्वतुल्य और संक्रामक है परंतु सममित नहीं है।

दिया गया है $R = \{(x, y) : x - y \text{ एक पूर्णांक है}\}$ जहाँ $x, y \in Z$.
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $x \in Z$ के लिए,$x - x = 0$,जो एक पूर्णांक है। अतः,$(x, x) \in R$। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: मान लीजिए $(x, y) \in R$। तब $x - y$ एक पूर्णांक है। इसका अर्थ है कि $-(x - y) = y - x$ भी एक पूर्णांक है। अतः,$(y, x) \in R$। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: मान लीजिए $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$। तब $x - y$ और $y - z$ पूर्णांक हैं। उनका योग $(x - y) + (y - z) = x - z$ भी एक पूर्णांक है। अतः,$(x, z) \in R$। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है।

(N/A) $R = \{(x, y): x \text{ तथा } y \text{ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं}\}$
$1. \text{स्वतुल्यता:}$
किसी भी व्यक्ति $x \in A$ के लिए,$x$ स्वयं के साथ ही एक ही स्थान पर कार्य करता है। अतः,सभी $x \in A$ के लिए $(x, x) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2. \text{सममिता:}$
माना $(x, y) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $x$ और $y$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं। परिणामस्वरूप,$y$ और $x$ भी एक ही स्थान पर कार्य करते हैं। अतः,$(y, x) \in R$ है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3. \text{संक्रामकता:}$
माना $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $x$ और $y$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं,और $y$ और $z$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $x$ और $z$ भी एक ही स्थान पर कार्य करते हैं। अतः,$(x, z) \in R$ है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: संबंध $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है।

(A) $R = \{(x, y) : x \text{ तथा } y \text{ एक ही स्थान पर रहते हैं}\}$
$1.$ स्वतुल्य: किसी भी मनुष्य $x \in A$ के लिए,$x$ स्वयं के साथ ही एक ही स्थान पर रहता है। अतः,$(x, x) \in R$। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2.$ सममित: मान लीजिए $(x, y) \in R$। इसका अर्थ है कि $x$ और $y$ एक ही स्थान पर रहते हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $y$ और $x$ भी एक ही स्थान पर रहते हैं। अतः,$(y, x) \in R$। इसलिए,$R$ सममित है।
$3.$ संक्रामक: मान लीजिए $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$। इसका अर्थ है कि $x$ और $y$ एक ही स्थान पर रहते हैं,और $y$ और $z$ एक ही स्थान पर रहते हैं। परिणामस्वरूप,$x$ और $z$ भी एक ही स्थान पर रहते हैं। अतः,$(x, z) \in R$। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: संबंध $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है।

(D) $R = \{(x, y) : x, y \text{ से ठीक } 7 \, cm \text{ लंबा है}\}$
$1$. स्वतुल्यता:
$(x, x) \notin R$ क्योंकि कोई भी मनुष्य $x$ स्वयं से $7 \, cm$ लंबा नहीं हो सकता है।
अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता:
माना $(x, y) \in R$। इसका अर्थ है कि $x, y$ से $7 \, cm$ लंबा है।
तब $y, x$ से $7 \, cm$ छोटा होगा,जिसका अर्थ है कि $(y, x) \notin R$।
अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता:
माना $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$।
इसका अर्थ है कि $x = y + 7$ और $y = z + 7$।
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = (z + 7) + 7 = z + 14$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x, z$ से $14 \, cm$ लंबा है,इसलिए $(x, z) \notin R$।
अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: संबंध $R$ न तो स्वतुल्य है,न ही सममित है,और न ही संक्रामक है।

(NONE) दिया गया संबंध $R = \{(x, y) : x, y \text{ की पत्नी है}\}$.
$1$. स्वतुल्यता:
किसी भी मनुष्य $x \in A$ के लिए,$x$ स्वयं की पत्नी नहीं हो सकती। अतः,किसी भी $x \in A$ के लिए $(x, x) \notin R$.
इसलिए,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता:
माना $(x, y) \in R$। इसका अर्थ है कि $x, y$ की पत्नी है। इसका मतलब है कि $y, x$ का पति होना चाहिए। चूंकि $y$ एक पति है,इसलिए $y, x$ की पत्नी नहीं हो सकता। अतः,$(y, x) \notin R$.
इसलिए,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता:
माना $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$। इसका अर्थ है कि $x, y$ की पत्नी है और $y, z$ की पत्नी है। यदि $y, z$ की पत्नी है,तो $y$ को स्त्री होना चाहिए। लेकिन यदि $x, y$ की पत्नी है,तो $y$ को पुरुष होना चाहिए। यह एक विरोधाभास है। अतः,$(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ की स्थिति कभी भी एक साथ संतुष्ट नहीं हो सकती। इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: $R$ न तो स्वतुल्य है,न सममित है और न ही संक्रामक है।

(NONE) $R = \{(x, y): x, y \text{ के पिता हैं\}}$
$(x, x) \notin R$ क्योंकि कोई भी व्यक्ति स्वयं का पिता नहीं हो सकता है।
अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
अब,मान लीजिए $(x, y) \in R$ है।
इसका अर्थ है कि $x, y$ के पिता हैं।
तब $y, x$ के पिता नहीं हो सकते (क्योंकि $y, x$ की संतान है)।
अतः,$(y, x) \notin R$ है।
इस प्रकार,$R$ सममित नहीं है।
अब,मान लीजिए $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है।
इसका अर्थ है कि $x, y$ के पिता हैं और $y, z$ के पिता हैं।
तब $x, z$ के दादा होंगे,न कि पिता।
अतः,$(x, z) \notin R$ है।
इस प्रकार,$R$ संक्रामक नहीं है।
अतः,$R$ न तो स्वतुल्य है,न सममित है और न ही संक्रामक है।

(N/A) $(i)$ स्वतुल्य: एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $a \in \mathbb{R}$ के लिए $(a, a) \in R$ हो।
माना $a = \frac{1}{2}$। चूँकि $\frac{1}{2} > (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$,इसलिए $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \notin R$ है।
अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$(ii)$ सममित: एक संबंध $R$ सममित होता है यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ हो।
माना $(1, 4) \in R$ क्योंकि $1 \leq 4^2 = 16$ है। लेकिन $4 \not\leq 1^2 = 1$,इसलिए $(4, 1) \notin R$ है।
अतः,$R$ सममित नहीं है।
$(iii)$ संक्रामक: एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ हो।
माना $(3, 2) \in R$ (क्योंकि $3 \leq 2^2 = 4$) और $(2, 1.5) \in R$ (क्योंकि $2 \leq 1.5^2 = 2.25$)।
लेकिन $3 \not\leq 1.5^2 = 2.25$,इसलिए $(3, 1.5) \notin R$ है।
अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: संबंध $R$ न तो स्वतुल्य है,न ही सममित है और न ही संक्रामक है।

(D) माना $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
संबंध $R$ समुच्चय $A$ पर इस प्रकार परिभाषित है: $R = \{(a, b) : b = a + 1\}$।
$\therefore R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)\}$।
यदि $R$ स्वतुल्य है,तो प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए। परंतु,$(1, 1) \notin R$,$(2, 2) \notin R$ आदि।
$\therefore R$ स्वतुल्य नहीं है।
यदि $R$ सममित है,तो यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(1, 2) \in R$ है,लेकिन $(2, 1) \notin R$ है।
$\therefore R$ सममित नहीं है।
यदि $R$ संक्रामक है,तो यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(1, 2) \in R$ और $(2, 3) \in R$ है,लेकिन $(1, 3) \notin R$ है।
$\therefore R$ संक्रामक नहीं है।
अतः,$R$ न तो स्वतुल्य है,न सममित है और न ही संक्रामक है।

(N/A) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ पर संबंध $R = \{(a, b) : a \leq b\}$ दिया गया है।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,हम जानते हैं कि $a \leq a$ हमेशा सत्य है। इसलिए,सभी $a \in \mathbb{R}$ के लिए $(a, a) \in R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: मान लीजिए $(2, 4) \in R$ क्योंकि $2 \leq 4$ है। हालाँकि,$(4, 2) \notin R$ क्योंकि $4 \not\leq 2$ है। चूँकि $(a, b) \in R$ होने पर $(b, a) \in R$ होना आवश्यक नहीं है,इसलिए यह संबंध सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $a \leq b$ और $b \leq c$ है। असमिका के संक्रामक गुणधर्म के अनुसार,$a \leq c$ होता है। इसलिए,$(a, c) \in R$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: संबंध $R$ स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है।

(D) संबंध $R = \{(a, b) : a \leq b^3\}$ द्वारा परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्यता: यदि प्रत्येक $a \in \mathbb{R}$ के लिए $(a, a) \in R$ हो,तो संबंध स्वतुल्य है।
माना $a = \frac{1}{2}$. चूँकि $\frac{1}{2} > (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$,इसलिए $a \leq a^3$ की शर्त पूरी नहीं होती है।
अतः,$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \notin R$. इसलिए,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R$ होने पर $(b, a) \in R$ हो,तो संबंध सममित है।
माना $(1, 2) \in R$ क्योंकि $1 \leq 2^3 = 8$.
लेकिन $(2, 1)$ के लिए,$2 \not\leq 1^3 = 1$. अतः,$(2, 1) \notin R$.
इसलिए,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ होने पर $(a, c) \in R$ हो,तो संबंध संक्रामक है।
माना $(3, \frac{3}{2})$ और $(\frac{3}{2}, \frac{6}{5}) \in R$.
यहाँ $3 \leq (\frac{3}{2})^3 = 3.375$ (सत्य) और $\frac{3}{2} \leq (\frac{6}{5})^3 = 1.728$ (सत्य)।
लेकिन $(3, \frac{6}{5})$ के लिए,$3 \not\leq (\frac{6}{5})^3 = 1.728$.
अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: संबंध $R$ न तो स्वतुल्य है,न ही सममित है,और न ही संक्रामक है।

(N/A) माना $A = \{1, 2, 3\}$ है।
$A$ पर एक संबंध $R = \{(1, 2), (2, 1)\}$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्यता: यदि $R$ स्वतुल्य है,तो प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(1, 1), (2, 2), (3, 3) \notin R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: यदि $R$ सममित है,तो यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(1, 2) \in R$ और $(2, 1) \in R$ है,इसलिए यह शर्त पूरी होती है। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $R$ संक्रामक है,तो यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(1, 2) \in R$ और $(2, 1) \in R$ है,लेकिन $(1, 1) \notin R$ है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
अतः,$R$ सममित है किंतु न तो स्वतुल्य है और न ही संक्रामक है।

(N/A) समुच्चय $A$ कॉलेज के पुस्तकालय की सभी पुस्तकों का समुच्चय है।
$R = \{(x, y) : x \text{ और } y \text{ के पृष्ठों की संख्या समान है} \}$
$1.$ स्वतुल्य: किसी भी पुस्तक $x \in A$ के लिए,$x$ में पृष्ठों की संख्या स्वयं के समान ही होती है। अतः,सभी $x \in A$ के लिए $(x, x) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2.$ सममित: मान लीजिए $(x, y) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $x$ और $y$ के पृष्ठों की संख्या समान है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $y$ और $x$ के पृष्ठों की संख्या भी समान है। अतः,$(y, x) \in R$ है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3.$ संक्रामक: मान लीजिए $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $x$ और $y$ के पृष्ठों की संख्या समान है,और $y$ और $z$ के पृष्ठों की संख्या समान है। परिणामस्वरूप,$x$ और $z$ के पृष्ठों की संख्या भी समान होगी। अतः,$(x, z) \in R$ है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(N/A) $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ और $R = \{(a, b) : |a - b| \text{ सम है}\}$.
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in A$ के लिए,$|a - a| = 0$,जो सम है। अतः,$(a, a) \in R$। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $(a, b) \in R$। तो $|a - b|$ सम है। चूंकि $|a - b| = |b - a|$,इसलिए $|b - a|$ भी सम है। अतः,$(b, a) \in R$। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$। तो $|a - b|$ सम है और $|b - c|$ सम है। मान लीजिए $|a - b| = 2k$ और $|b - c| = 2m$ किन्हीं पूर्णांकों $k, m$ के लिए। तो $(a - c) = (a - b) + (b - c) = \pm 2k \pm 2m = 2(\pm k \pm m)$,जो सम है। अतः,$|a - c|$ सम है,इसलिए $(a, c) \in R$। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,यह एक तुल्यता संबंध है।
उपसमुच्चयों के लिए: $\{1, 3, 5\}$ के सभी अवयव विषम हैं। किन्हीं दो विषम संख्याओं का अंतर हमेशा सम होता है,इसलिए वे सभी संबंधित हैं। $\{2, 4\}$ के सभी अवयव सम हैं। किन्हीं दो सम संख्याओं का अंतर हमेशा सम होता है,इसलिए वे सभी संबंधित हैं। हालाँकि,एक विषम और एक सम संख्या का अंतर हमेशा विषम होता है,इसलिए $\{1, 3, 5\}$ का कोई भी अवयव $\{2, 4\}$ के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं है।

(A) समुच्चय $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ है।
$R = \{(a, b) : |a - b| \text{, } 4 \text{ का एक गुणज है}\}$.
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $a \in A$ के लिए,$|a - a| = 0$,जो $4$ का गुणज है। अतः,$(a, a) \in R$। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: मान लीजिए $(a, b) \in R$। तब $|a - b|$,$4$ का एक गुणज है। चूँकि $|a - b| = |-(b - a)| = |b - a|$,इसलिए $|b - a|$ भी $4$ का एक गुणज है। अतः,$(b, a) \in R$। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$। तब $|a - b| = 4k_1$ और $|b - c| = 4k_2$ किन्हीं पूर्णांकों $k_1, k_2$ के लिए। तब $(a - b) = \pm 4k_1$ और $(b - c) = \pm 4k_2$। इन्हें जोड़ने पर,$(a - c) = (a - b) + (b - c) = \pm 4k_1 \pm 4k_2 = 4(\pm k_1 \pm k_2)$,जो $4$ का एक गुणज है। अतः,$(a, c) \in R$। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,यह एक तुल्यता संबंध है।
$1$ से संबंधित अवयवों का समुच्चय $\{x \in A : |x - 1| \text{, } 4 \text{ का एक गुणज है}\}$ है।
$|x - 1| \in \{0, 4, 8, 12, \dots\}$।
यदि $|x - 1| = 0$,तो $x = 1$।
यदि $|x - 1| = 4$,तो $x - 1 = 4$ या $x - 1 = -4$,इसलिए $x = 5$ या $x = -3$ ($A$ में नहीं है)।
यदि $|x - 1| = 8$,तो $x - 1 = 8$ या $x - 1 = -8$,इसलिए $x = 9$ या $x = -7$ ($A$ में नहीं है)।
अतः,$1$ से संबंधित अवयवों का समुच्चय $\{1, 5, 9\}$ है।

(A) संबंध $R = \{(a, b) : a = b\}$ समुच्चय $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ पर परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी अवयव $a \in A$ के लिए,$(a, a) \in R$ क्योंकि $a = a$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $(a, b) \in R.$ इसका अर्थ है $a = b,$ जो यह दर्शाता है कि $b = a.$ अतः,$(b, a) \in R.$ इस प्रकार,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R.$ इसका अर्थ है $a = b$ और $b = c.$ परिणामस्वरूप,$a = c,$ जिसका अर्थ है कि $(a, c) \in R.$ इस प्रकार,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
$1$ से संबंधित सभी अवयवों का समुच्चय उन सभी $x \in A$ का समुच्चय है जिनके लिए $(x, 1) \in R.$ चूंकि $x = 1,$ इसलिए केवल एक ही अवयव $1$ प्राप्त होता है। अतः,अभीष्ट समुच्चय $\{1\}$ है।

(A) माना $A = \{5, 6, 7\}$ है।
समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R = \{(5, 6), (6, 5)\}$ परिभाषित कीजिए।
$1$. स्वतुल्यता: यदि प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ हो,तो संबंध $R$ स्वतुल्य कहलाता है। यहाँ $(5, 5) \notin R$,$(6, 6) \notin R$ और $(7, 7) \notin R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R$ हो और उससे $(b, a) \in R$ प्राप्त हो,तो संबंध $R$ सममित कहलाता है। यहाँ $(5, 6) \in R$ है और उसका उल्टा $(6, 5) \in R$ है। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ हो और उससे $(a, c) \in R$ प्राप्त हो,तो संबंध $R$ संक्रामक कहलाता है। यहाँ $(5, 6) \in R$ और $(6, 5) \in R$ है,लेकिन $(5, 5) \notin R$ है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: समुच्चय $A$ पर संबंध $R = \{(5, 6), (6, 5)\}$ सममित है लेकिन न तो स्वतुल्य है और न ही संक्रामक है।

(N/A) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ पर परिभाषित संबंध $R$ पर विचार करें:
$R = \{(a, b) : a < b \}$
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,$(a, a) \notin R$ क्योंकि $a$ स्वयं से छोटा नहीं हो सकता। अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: $(1, 2) \in R$ पर विचार करें क्योंकि $1 < 2$ है। हालाँकि,$2 \not< 1$,इसलिए $(2, 1) \notin R$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $a < b$ और $b < c$ है। असमानता के संक्रामक गुण के अनुसार,$a < c$ है। इसलिए,$(a, c) \in R$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: संबंध $R = \{(a, b) : a < b \}$ संक्रामक है लेकिन न तो स्वतुल्य है और न ही सममित है।

(N/A) माना $A = \{4, 6, 8\}$ है।
$A$ पर एक संबंध $R$ इस प्रकार परिभाषित करें:
$R = \{(4, 4), (6, 6), (8, 8), (4, 6), (6, 4), (6, 8), (8, 6)\}$.
$1$. स्वतुल्य: प्रत्येक $a \in A$ के लिए,$(a, a) \in R$ होना चाहिए। चूंकि $(4, 4), (6, 6), (8, 8) \in R$ है,इसलिए संबंध स्वतुल्य है।
$2$. सममित: प्रत्येक $(a, b) \in R$ के लिए,$(b, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(4, 6) \in R$ और $(6, 4) \in R$ है,तथा $(6, 8) \in R$ और $(8, 6) \in R$ है। अतः,संबंध सममित है।
$3$. संक्रामक नहीं: यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ हो,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(4, 6) \in R$ और $(6, 8) \in R$ है,लेकिन $(4, 8) \notin R$ है। इसलिए,यह संबंध संक्रामक नहीं है।
अतः,संबंध $R$ स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है।

(N/A) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ पर एक संबंध $R$ को इस प्रकार परिभाषित करें:
$R = \{(a, b) : a^3 \geq b^3\}$
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,$a^3 = a^3$,इसलिए $(a, a) \in R$. अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $(2, 1) \in R$ क्योंकि $2^3 = 8 \geq 1^3 = 1$. हालाँकि,$(1, 2) \notin R$ क्योंकि $1^3 = 1 < 2^3 = 8$. अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$.
इसका अर्थ है कि $a^3 \geq b^3$ और $b^3 \geq c^3$.
असमिका के संक्रामक गुणधर्म के अनुसार,$a^3 \geq c^3$.
इसलिए,$(a, c) \in R$. अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: संबंध $R$ स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है।

(N/A) माना $A = \{1, 2, 3\}$ और संबंध $R = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}$ है।
$1$. स्वतुल्यता: यदि $R$ स्वतुल्य है,तो $(3, 3) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(3, 3) \notin R$,इसलिए संबंध $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(1, 2) \in R$ और $(2, 1) \in R$ है,साथ ही $(1, 1)$ और $(2, 2)$ के लिए भी यह शर्त पूरी होती है। अतः $R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। यहाँ सभी संभावित युग्मों के लिए यह शर्त पूरी होती है। अतः $R$ संक्रामक है।

(N/A) $R = \{(P, Q) : \text{बिंदु } P \text{ की मूलबिंदु से दूरी, बिंदु } Q \text{ की मूलबिंदु से दूरी के समान है}\}$.
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी बिंदु $P \in A$ के लिए,$P$ की मूलबिंदु से दूरी,$P$ की मूलबिंदु से दूरी के बराबर होती है। अतः,$(P, P) \in R$. इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $(P, Q) \in R$. इसका अर्थ है कि $P$ की मूलबिंदु से दूरी,$Q$ की मूलबिंदु से दूरी के समान है। यह दर्शाता है कि $Q$ की मूलबिंदु से दूरी,$P$ की मूलबिंदु से दूरी के समान है। अतः,$(Q, P) \in R$. इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(P, Q) \in R$ और $(Q, S) \in R$. इसका अर्थ है कि $P$ की मूलबिंदु से दूरी,$Q$ की मूलबिंदु से दूरी के बराबर है,और $Q$ की मूलबिंदु से दूरी,$S$ की मूलबिंदु से दूरी के बराबर है। परिणामस्वरूप,$P$ की मूलबिंदु से दूरी,$S$ की मूलबिंदु से दूरी के बराबर है। अतः,$(P, S) \in R$. इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
दूसरे भाग के लिए,$P \neq (0, 0)$ से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय उन सभी बिंदुओं $Q$ से बना है जिनकी मूलबिंदु से दूरी,$P$ की मूलबिंदु से दूरी के बराबर है। मान लीजिए $OP = k$. तो ऐसे सभी बिंदु $Q$ मूलबिंदु से $k$ की स्थिर दूरी पर स्थित हैं। यह मूलबिंदु को केंद्र और $k$ त्रिज्या वाले वृत्त की परिभाषा है,जो $P$ से होकर गुजरता है।

(A) संबंध $R = \{(T_{1}, T_{2}) : T_{1}, T_{2} \text{ के समरूप है}\}$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्यता: प्रत्येक त्रिभुज $T_{1}$ स्वयं के समरूप होता है। इसलिए,$(T_{1}, T_{1}) \in R$. अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(T_{1}, T_{2}) \in R$,तो $T_{1}, T_{2}$ के समरूप है। इसका अर्थ है कि $T_{2}, T_{1}$ के समरूप है। इसलिए,$(T_{2}, T_{1}) \in R$. अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(T_{1}, T_{2}) \in R$ और $(T_{2}, T_{3}) \in R$,तो $T_{1}, T_{2}$ के समरूप है और $T_{2}, T_{3}$ के समरूप है। इसका अर्थ है कि $T_{1}, T_{3}$ के समरूप है। इसलिए,$(T_{1}, T_{3}) \in R$. अतः,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
त्रिभुजों के लिए:
$T_{1}$ (भुजाएँ $3, 4, 5$) और $T_{3}$ (भुजाएँ $6, 8, 10$) के लिए:
$\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
चूंकि संगत भुजाओं का अनुपात समान है,इसलिए $T_{1}, T_{3}$ के समरूप है।
अतः,$T_{1}$ और $T_{3}$ संबंधित हैं।

(A) संबंध $R = \{(P_{1}, P_{2}) : P_{1} \text{ और } P_{2} \text{ की भुजाओं की संख्या समान है}\}$ के रूप में परिभाषित है।
$1.$ स्वतुल्यता: किसी भी बहुभुज $P_{1} \in A$ के लिए,$(P_{1}, P_{1}) \in R$ क्योंकि $P_{1}$ की भुजाओं की संख्या स्वयं के समान ही होती है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2.$ सममितता: मान लीजिए $(P_{1}, P_{2}) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $P_{1}$ और $P_{2}$ की भुजाओं की संख्या समान है। परिणामस्वरूप,$P_{2}$ और $P_{1}$ की भुजाओं की संख्या भी समान होगी,इसलिए $(P_{2}, P_{1}) \in R$ है। अतः,$R$ सममित है।
$3.$ संक्रामकता: मान लीजिए $(P_{1}, P_{2}) \in R$ और $(P_{2}, P_{3}) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $P_{1}$ और $P_{2}$ की भुजाओं की संख्या समान है,और $P_{2}$ और $P_{3}$ की भुजाओं की संख्या समान है। इसलिए,$P_{1}$ और $P_{3}$ की भुजाओं की संख्या भी समान होगी,अतः $(P_{1}, P_{3}) \in R$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
समकोण त्रिभुज $T$ से संबंधित $A$ के सभी अवयवों का समुच्चय उन सभी बहुभुजों से बना है जिनकी भुजाओं की संख्या $T$ के समान है। चूंकि $T$ में $3$ भुजाएँ हैं,इसलिए यह समुच्चय $A$ में स्थित सभी त्रिभुजों का समूह है।

(D) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी रेखा $L_1 \in L$ के लिए,$L_1$ स्वयं के समांतर होती है। अतः,$(L_1, L_1) \in R$। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $(L_1, L_2) \in R$। इसका अर्थ है कि $L_1, L_2$ के समांतर है। चूंकि $L_1 \parallel L_2$ का अर्थ $L_2 \parallel L_1$ है,इसलिए $(L_2, L_1) \in R$। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(L_1, L_2) \in R$ और $(L_2, L_3) \in R$। इसका अर्थ है कि $L_1 \parallel L_2$ और $L_2 \parallel L_3$। चूंकि $L_1 \parallel L_2$ और $L_2 \parallel L_3$ का अर्थ $L_1 \parallel L_3$ है,इसलिए $(L_1, L_3) \in R$। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
$4$. रेखाओं का समुच्चय: $y = 2x + 4$ से संबंधित सभी रेखाओं का समुच्चय उन सभी रेखाओं से बना है जो इसके समांतर हैं। समांतर रेखाओं की ढाल समान होती है। $y = 2x + 4$ की ढाल $m = 2$ है। अतः,इसके समांतर कोई भी रेखा $y = 2x + c$ के रूप में होगी,जहाँ $c \in \mathbb{R}$।

(B) समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4\}$ पर संबंध $R = \{(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)\}$ दिया गया है।
$1$. स्वतुल्यता: यदि प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ है,तो $R$ स्वतुल्य है। यहाँ $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) \in R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R$ होने पर $(b, a) \in R$ हो,तो $R$ सममित है। यहाँ $(1, 2) \in R$ है,लेकिन $(2, 1) \notin R$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ होने पर $(a, c) \in R$ हो,तो $R$ संक्रामक है। सभी युग्मों की जाँच करने पर,यह शर्त पूरी होती है। अतः,$R$ संक्रामक है।
अतः,$R$ स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है। सही उत्तर $B$ है।

(C) संबंध $R = \{(a, b) : a = b - 2, b > 6\}$ के रूप में परिभाषित है।
किसी क्रमित युग्म $(a, b)$ के $R$ में होने के लिए,उसे दो शर्तों को पूरा करना होगा: $a = b - 2$ और $b > 6$।
विकल्प $A$ की जाँच करें: $(2, 4)$। यहाँ $b = 4$,जो $6$ से बड़ा नहीं है। अतः,$(2, 4) \notin R$।
विकल्प $B$ की जाँच करें: $(3, 8)$। यहाँ $b = 8 > 6$ है। लेकिन,$a = b - 2 = 8 - 2 = 6$ है। चूँकि $3 \neq 6$,इसलिए $(3, 8) \notin R$।
विकल्प $C$ की जाँच करें: $(6, 8)$। यहाँ $b = 8 > 6$ है। साथ ही,$a = b - 2 = 8 - 2 = 6$ है। चूँकि $6 = 6$,इसलिए $(6, 8) \in R$।
विकल्प $D$ की जाँच करें: $(8, 7)$। यहाँ $b = 7 > 6$ है। लेकिन,$a = b - 2 = 7 - 2 = 5$ है। चूँकि $8 \neq 5$,इसलिए $(8, 7) \notin R$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(N/A) चूँकि $R_{1}$ और $R_{2}$ तुल्यता संबंध हैं,इसलिए सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R_{1}$ और $(a, a) \in R_{2}$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R_{1} \cap R_{2}$ है,जो दर्शाता है कि $R_{1} \cap R_{2}$ स्वतुल्य है।
इसके अलावा,यदि $(a, b) \in R_{1} \cap R_{2}$ है,तो $(a, b) \in R_{1}$ और $(a, b) \in R_{2}$ है।
चूँकि $R_{1}$ और $R_{2}$ सममित हैं,इसलिए $(b, a) \in R_{1}$ और $(b, a) \in R_{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $(b, a) \in R_{1} \cap R_{2}$ है। अतः,$R_{1} \cap R_{2}$ सममित है।
अंत में,यदि $(a, b) \in R_{1} \cap R_{2}$ और $(b, c) \in R_{1} \cap R_{2}$ है,तो $(a, b) \in R_{1}, (b, c) \in R_{1}$ और $(a, b) \in R_{2}, (b, c) \in R_{2}$ है।
चूँकि $R_{1}$ और $R_{2}$ संक्रामक हैं,इसलिए $(a, c) \in R_{1}$ और $(a, c) \in R_{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $(a, c) \in R_{1} \cap R_{2}$ है।
यह दर्शाता है कि $R_{1} \cap R_{2}$ संक्रामक है।
चूँकि $R_{1} \cap R_{2}$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $(x, y) \in A$ के लिए,हमारे पास $xy = yx$ है,जो यह दर्शाता है कि $(x, y) R (x, y)$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(x, y) R (u, v)$ है,तो $xv = yu$ है। इसका अर्थ है $uy = vx$,जो $(u, v) R (x, y)$ के बराबर है। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(x, y) R (u, v)$ और $(u, v) R (a, b)$ है। तब $xv = yu$ और $ub = va$ है। $xv = yu$ से,हमें $\frac{x}{y} = \frac{u}{v}$ प्राप्त होता है,और $ub = va$ से,हमें $\frac{u}{v} = \frac{a}{b}$ प्राप्त होता है। इसलिए,$\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$,जो यह दर्शाता है कि $xb = ya$ है। अतः,$(x, y) R (a, b)$ है,और $R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(N/A) समुच्चय $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ को $3$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर तीन उपसमुच्चयों में विभाजित किया गया है: $S_{1} = \{1, 4, 7\}$,$S_{2} = \{2, 5, 8\}$,और $S_{3} = \{3, 6, 9\}$।
किसी भी $x, y \in X$ के लिए,$x - y, 3$ से विभाज्य है यदि और केवल यदि $x$ और $y$ एक ही उपसमुच्चय $S_{i}$ (जहाँ $i \in \{1, 2, 3\}$) में स्थित हों।
यदि $(x, y) \in R_{1}$ है,तो $x - y, 3$ का एक गुणज है,जिसका अर्थ है कि $x$ और $y$ को $3$ से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है। अतः,$\{x, y\} \subset S_{1}$ या $\{x, y\} \subset S_{2}$ या $\{x, y\} \subset S_{3}$,जिसका अर्थ है कि $(x, y) \in R_{2}$। अतः,$R_{1} \subset R_{2}$।
इसके विपरीत,यदि $(x, y) \in R_{2}$ है,तो $\{x, y\}$,$S_{1}$,$S_{2}$,या $S_{3}$ का एक उपसमुच्चय है। इन सभी स्थितियों में,अंतर $x - y, 3$ का एक गुणज है,इसलिए $(x, y) \in R_{1}$। अतः,$R_{2} \subset R_{1}$।
चूंकि $R_{1} \subset R_{2}$ और $R_{2} \subset R_{1}$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $R_{1} = R_{2}$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $R$ एक तुल्यता संबंध है,हमें यह जाँचना होगा कि क्या यह स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है।
$1$. स्वतुल्य: प्रत्येक $a \in X$ के लिए,हमारे पास $f(a) = f(a)$ है,जिसका अर्थ है $(a, a) \in R$. अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: मान लीजिए $(a, b) \in R$. तब $f(a) = f(b)$,जिसका अर्थ है $f(b) = f(a)$. इसलिए,$(b, a) \in R$. अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$. तब $f(a) = f(b)$ और $f(b) = f(c)$. समानता के संक्रामक गुण के अनुसार,$f(a) = f(c)$,जिसका अर्थ है $(a, c) \in R$. अतः,$R$ संक्रामक है।
चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(C) मान लीजिए $A = \{1, 2, 3\}$ है। $A$ पर एक संबंध $R$ स्वतुल्य है यदि $(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$ हो।
दिया गया है कि $R$ में $(1, 2)$ और $(2, 3)$ शामिल हैं,इसलिए संक्रामकता के नियम से इसमें $(1, 3)$ भी होना चाहिए।
अतः,$(1, 2)$ और $(2, 3)$ युक्त सबसे छोटा स्वतुल्य और संक्रामक संबंध $R_0 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)\}$ है।
यह संबंध $R_0$ सममित नहीं है क्योंकि $(2, 1) \notin R_0$ है।
हम $R_0$ में अन्य अवयव जोड़ सकते हैं जो स्वतुल्यता और संक्रामकता को बनाए रखते हैं:
$1$. $R_1 = R_0 \cup \{(2, 1)\}$: यह स्वतुल्य और संक्रामक है,लेकिन सममित नहीं है।
$2$. $R_2 = R_0 \cup \{(3, 2)\}$: यह स्वतुल्य और संक्रामक है,लेकिन सममित नहीं है।
$3$. $R_3 = R_0 \cup \{(2, 1), (3, 2), (3, 1)\}$: यह भी स्वतुल्य और संक्रामक है,लेकिन सममित नहीं है।
इस प्रकार,कुल $3$ ऐसे संबंध प्राप्त होते हैं।

(B) माना $A = \{1, 2, 3\}$ है। एक तुल्यता संबंध $R$ को स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
चूंकि $R$ में $(1, 2)$ और $(2, 1)$ शामिल हैं,इसलिए सममितता के कारण $(1, 1)$ और $(2, 2)$ का होना आवश्यक है और स्वतुल्यता के लिए $(3, 3)$ को शामिल करना होगा।
अतः,$(1, 2)$ और $(2, 1)$ को समाहित करने वाला सबसे छोटा तुल्यता संबंध $R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ है।
एक अन्य तुल्यता संबंध बनाने के लिए,हमें संक्रामकता बनाए रखते हुए नए अवयव जोड़ने होंगे। यदि हम $(2, 3)$ जोड़ते हैं,तो सममितता के लिए $(3, 2)$ जोड़ना होगा। संक्रामकता के लिए,चूंकि $(1, 2) \in R$ और $(2, 3) \in R$,इसलिए $(1, 3) \in R$ होना चाहिए। सममितता के लिए $(3, 1) \in R$ भी होना चाहिए।
इन अवयवों को जोड़ने पर हमें सार्वत्रिक संबंध $R_2 = A \times A = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)\}$ प्राप्त होता है।
अतः,ऐसे कुल $2$ तुल्यता संबंध हैं।