Types of Relations Questions in Hindi

(D) दिया गया संबंध $\theta R \phi$ इस प्रकार परिभाषित है कि $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi = 1$ है।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $\theta$ के लिए,$\theta R \theta$ का अर्थ है $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta = 1$. चूँकि $1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta$,यह $1 = 1$ हो जाता है,जो सत्य है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $\theta R \phi$ है,तो $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi = 1$. $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ और $\tan^{2} \phi = \sec^{2} \phi - 1$ का उपयोग करने पर,हमें $(1 + \tan^{2} \theta) - (\sec^{2} \phi - 1) = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\tan^{2} \theta - \sec^{2} \phi = -1$ या $\sec^{2} \phi - \tan^{2} \theta = 1$ हो जाता है। इसका अर्थ है $\phi R \theta$. अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $\theta R \phi$ और $\phi R \psi$ है,तो $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi = 1$ और $\sec^{2} \phi - \tan^{2} \psi = 1$. इन दोनों को जोड़ने पर,$\sec^{2} \theta - \tan^{2} \phi + \sec^{2} \phi - \tan^{2} \psi = 2$. चूँकि $\sec^{2} \phi - \tan^{2} \phi = 1$,हमें $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \psi + 1 = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \psi = 1$. इसका अर्थ है $\theta R \psi$. अतः,$R$ संक्रामक है।
चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,यह एक तुल्यता संबंध है।

(D) माना संबंध $R = \{(A, B) \mid B = P^{-1} A P \text{ किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह } P \text{ के लिए }\}$ है।
स्वतुल्यता के लिए: चूँकि $A = I^{-1} A I$ जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है,इसलिए $(A, A) \in R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
सममितता के लिए: माना $(A, B) \in R$ है। तब $B = P^{-1} A P$ है। बाईं ओर $P$ और दाईं ओर $P^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $P B P^{-1} = A$ प्राप्त होता है। माना $Q = P^{-1}$ है। तब $A = Q^{-1} B Q$ है। अतः,$(B, A) \in R$ है। इसलिए,$R$ सममित है।
संक्रामकता के लिए: माना $(A, B) \in R$ और $(B, C) \in R$ है। तब $B = P^{-1} A P$ और $C = Q^{-1} B Q$ कुछ व्युत्क्रमणीय आव्यूहों $P$ और $Q$ के लिए है। $B$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C = Q^{-1} (P^{-1} A P) Q = (P Q)^{-1} A (P Q)$ प्राप्त होता है। चूँकि $PQ$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $(A, C) \in R$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूँकि संबंध स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(D) संबंध $R = \{(a, b) \mid \sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1\}$ के रूप में परिभाषित है।
$1.$ स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,$\sin ^{2} a + \cos ^{2} a = 1$ होता है। अतः,$(a, a) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2.$ सममितता: मान लीजिए $(a, b) \in R$,तो $\sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1$ है।
$\sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x$ और $\cos ^{2} x = 1 - \sin ^{2} x$ का उपयोग करने पर,हमें $(1 - \cos ^{2} a) + (1 - \sin ^{2} b) = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\sin ^{2} b + \cos ^{2} a = 1$ हो जाता है। अतः,$(b, a) \in R$ है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3.$ संक्रामकता: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है। तो $\sin ^{2} a + \cos ^{2} b = 1$ और $\sin ^{2} b + \cos ^{2} c = 1$ है।
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $\sin ^{2} a + \cos ^{2} b + \sin ^{2} b + \cos ^{2} c = 1 + 1 = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin ^{2} b + \cos ^{2} b = 1$,इसलिए $\sin ^{2} a + 1 + \cos ^{2} c = 2$,जिसका अर्थ है $\sin ^{2} a + \cos ^{2} c = 1$ है। अतः,$(a, c) \in R$ है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(D) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ हो।
$(a, a)$ रूप के $n$ अवयव संबंध में अनिवार्य रूप से होने चाहिए।
कार्तीय गुणन $A \times A$ में कुल $n^2$ क्रमित युग्म होते हैं।
चूंकि $n$ विकर्ण अवयव $(a, a)$ निश्चित हैं,हमारे पास चुनने के लिए $n^2 - n$ युग्म शेष बचते हैं।
इनमें से प्रत्येक $n^2 - n$ युग्म के लिए हमारे पास $2$ विकल्प हैं (या तो संबंध में शामिल करें या न करें)।
अतः,स्वतुल्य संबंधों की कुल संख्या $2^{n^2 - n}$ है।

(C) संबंध $R$,समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4\} \times \{1, 2, 3, 4\}$ पर परिभाषित है। $S$ में कुल अवयवों की संख्या $4 \times 4 = 16$ है। संबंध के लिए शर्त $2a + 3b = 3c + 4d$ है,जहाँ $a, b, c, d \in \{1, 2, 3, 4\}$ है।
हम सभी युग्मों $(a, b)$ के लिए $f(a, b) = 2a + 3b$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(1,1) \to 5, (1,2) \to 8, (1,3) \to 11, (1,4) \to 14$
$(2,1) \to 7, (2,2) \to 10, (2,3) \to 13, (2,4) \to 16$
$(3,1) \to 9, (3,2) \to 12, (3,3) \to 15, (3,4) \to 18$
$(4,1) \to 11, (4,2) \to 14, (4,3) \to 17, (4,4) \to 20$
अब सभी युग्मों $(c, d)$ के लिए $g(c, d) = 3c + 4d$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(1,1) \to 7, (1,2) \to 11, (1,3) \to 15, (1,4) \to 19$
$(2,1) \to 10, (2,2) \to 14, (2,3) \to 18, (2,4) \to 22$
$(3,1) \to 13, (3,2) \to 17, (3,3) \to 21, (3,4) \to 25$
$(4,1) \to 16, (4,2) \to 20, (4,3) \to 24, (4,4) \to 28$
$f(a, b) = g(c, d)$ वाले मानों का मिलान करने पर:
$11: (1,3) \text{ और } (4,1), (1,2) \text{ से जुड़ते हैं}$
$14: (1,4) \text{ और } (4,2), (2,2) \text{ से जुड़ते हैं}$
$16: (2,4), (4,1) \text{ से जुड़ता है}$
$7: (2,1), (1,1) \text{ से जुड़ता है}$
$10: (2,2), (2,1) \text{ से जुड़ता है}$
$13: (2,3), (3,1) \text{ से जुड़ता है}$
$15: (3,3), (1,3) \text{ से जुड़ता है}$
$18: (3,4), (2,3) \text{ से जुड़ता है}$
$17: (4,3), (3,2) \text{ से जुड़ता है}$
$20: (4,4), (4,2) \text{ से जुड़ता है}$
इस शर्त को पूरा करने वाले युग्मों $((a,b), (c,d))$ की गणना करने पर,हमें $12$ अवयव प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया है $A = \{2, 3, 5, 7, 9\}$। संबंध $R$,$2x \le 3y$ द्वारा परिभाषित है,जिसका अर्थ है $y \ge \frac{2x}{3}$।
प्रत्येक $x \in A$ के लिए,हम संबंधित $y \in A$ ज्ञात करते हैं:
यदि $x = 2$,$y \ge 1.33 \implies y \in \{2, 3, 5, 7, 9\}$ ($5$ तत्व)।
यदि $x = 3$,$y \ge 2 \implies y \in \{2, 3, 5, 7, 9\}$ ($5$ तत्व)।
यदि $x = 5$,$y \ge 3.33 \implies y \in \{5, 7, 9\}$ ($3$ तत्व)।
यदि $x = 7$,$y \ge 4.66 \implies y \in \{5, 7, 9\}$ ($3$ तत्व)।
यदि $x = 9$,$y \ge 6 \implies y \in \{7, 9\}$ ($2$ तत्व)।
कुल तत्व $l = 5 + 5 + 3 + 3 + 2 = 18$।
$R$ को सममित बनाने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x)$ भी $R$ में होना चाहिए।
वर्तमान में $R$ में मौजूद तत्व: $(2,2), (2,3), (2,5), (2,7), (2,9), (3,2), (3,3), (3,5), (3,7), (3,9), (5,5), (5,7), (5,9), (7,5), (7,7), (7,9), (9,7), (9,9)$।
वे जोड़े $(x, y)$ जिनके लिए $(x, y) \in R$ है लेकिन $(y, x) \notin R$ है,वे हैं: $(2,5), (2,7), (2,9), (3,5), (3,7), (3,9), (5,9)$।
$R$ को सममित बनाने के लिए,हमें उनके उल्टे जोड़े जोड़ने होंगे: $(5,2), (7,2), (9,2), (5,3), (7,3), (9,3), (9,5)$।
अतः,$m = 7$।
इसलिए,$l + m = 18 + 7 = 25$।

(B) समुच्चय $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ में $10$ अवयव हैं।
हम $A$ को $3$ से भाग देने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर तुल्यता वर्गों में विभाजित करते हैं:
$C_0 = \{0, 3, 6, 9\}$ (आकार $4$)
$C_1 = \{1, 4, 7\}$ (आकार $3$)
$C_2 = \{2, 5, 8\}$ (आकार $3$)
$(x, y) \in R$ के लिए,$|x - y|$,$3$ का गुणज होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $x$ और $y$ को एक ही तुल्यता वर्ग का होना चाहिए।
$R$ में अवयवों की संख्या $n(R) = |C_0|^2 + |C_1|^2 + |C_2|^2 = 4^2 + 3^2 + 3^2 = 16 + 9 + 9 = 34$ है।
अतः,कथन $I$ गलत है $(34 \neq 36)$।
कथन $II$ के लिए:
$1$. स्वतुल्य: $|x - x| = 0$,जो $3$ का गुणज है।
$2$. सममित: यदि $|x - y| = 3k$ है,तो $|y - x| = 3k$ होगा।
$3$. संक्रामक: यदि $|x - y| = 3k$ और $|y - z| = 3m$ है,तो $|x - z| = |(x - y) + (y - z)| = 3|k \pm m|$,जो $3$ का गुणज है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है। कथन $II$ सही है।

(C) दिया गया है $A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ और $xRy \iff 2x + y \le 2$ है।
प्रत्येक $x \in A$ के लिए,हम $y \in A$ ज्ञात करते हैं ताकि $y \le 2 - 2x$ हो:
- यदि $x = -2$,$y \le 6 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ($7$ अवयव)।
- यदि $x = -1$,$y \le 4 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ($7$ अवयव)।
- यदि $x = 0$,$y \le 2 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ ($5$ अवयव)।
- यदि $x = 1$,$y \le 0 \implies y \in \{-2, -1, 0\}$ ($3$ अवयव)।
- यदि $x = 2$,$y \le -2 \implies y \in \{-2\}$ ($1$ अवयव)।
- यदि $x = 3$,$y \le -4 \implies$ कोई $y \in A$ नहीं है।
- यदि $x = 4$,$y \le -6 \implies$ कोई $y \in A$ नहीं है।
कुल अवयव $l = 7 + 7 + 5 + 3 + 1 = 23$ हैं।
स्वतुल्यता के लिए,सभी $x \in A$ के लिए $(x, x) \in R$ होना चाहिए। जाँचने पर: $(-2, -2), (-1, -1), (0, 0)$ $R$ में हैं। $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$ अनुपस्थित हैं। अतः $m = 4$ है।
सममितता के लिए,यदि $(x, y) \in R$,तो $(y, x)$ भी $R$ में होना चाहिए। $R$ में ऐसे अवयव $(x, y)$ जिनके लिए $(y, x) \notin R$ है,वे हैं: $(3, -2), (4, -2), (2, -1), (2, 0), (3, -1), (4, -1)$। ऐसे $6$ युग्म हैं। अतः $n = 6$ है।
अतः,$l + m + n = 23 + 4 + 6 = 33$।

(B) दिया गया संबंध $R = \{(x, y) : 4y = 5x - 3, x, y \in M\}$ है,जहाँ $M = \{1, 2, 3, \dots, 16\}$ है।
हम समीकरण $4y = 5x - 3$ को संतुष्ट करने वाले अवयव $(x, y)$ ज्ञात करते हैं:
यदि $x = 3$ है,तो $4y = 5(3) - 3 = 12 \implies y = 3$. अतः,$(3, 3) \in R$.
यदि $x = 7$ है,तो $4y = 5(7) - 3 = 32 \implies y = 8$. अतः,$(7, 8) \in R$.
यदि $x = 11$ है,तो $4y = 5(11) - 3 = 52 \implies y = 13$. अतः,$(11, 13) \in R$.
यदि $x = 15$ है,तो $4y = 5(15) - 3 = 72 \implies y = 18$,लेकिन $18 \notin M$.
इस प्रकार,$R = \{(3, 3), (7, 8), (11, 13)\}$.
$R$ को सममित बनाने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a)$ भी $R$ में होना चाहिए।
यहाँ,$(7, 8) \in R$ का अर्थ है कि $(8, 7)$ को $R$ में जोड़ा जाना चाहिए,और $(11, 13) \in R$ का अर्थ है कि $(13, 11)$ को $R$ में जोड़ा जाना चाहिए।
$(3, 3)$ पहले से ही सममित है।
अतः,हमें $2$ अवयवों को जोड़ने की आवश्यकता है: $(8, 7)$ और $(13, 11)$.

(D) $n$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि इसमें सभी $n$ विकर्ण अवयव $(x, x)$ शामिल हों,जहाँ $x \in A$।
समुच्चय $A = \{a, b, c, d\}$ के लिए,$n = 4$ है।
$A \times A$ में कुल $n^2 = 16$ संभावित क्रमित युग्म हैं।
एक स्वतुल्य संबंध के लिए $n = 4$ विकर्ण अवयवों का होना अनिवार्य है।
शेष $n^2 - n = 16 - 4 = 12$ अवयव गैर-विकर्ण युग्म हैं।
संबंध के सममित होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x)$ का भी $R$ में होना आवश्यक है।
ये $12$ अवयव ${(x, y), (y, x)}$ के रूप में $6$ युग्म बनाते हैं।
प्रत्येक युग्म के लिए हमारे पास $2$ विकल्प हैं: या तो दोनों $R$ में शामिल हों,या दोनों ही शामिल न हों।
अतः,स्वतुल्य और सममित संबंधों की कुल संख्या $2^6 = 64$ है।

(D) पर एक संबंध $R$ सममित है यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$। चूंकि $(1, 2) \in R$,सममितता के लिए $(2, 1) \in R$ होना आवश्यक है।
$R$ के संक्रामक होने के लिए,चूंकि $(1, 2) \in R$ और $(2, 1) \in R$,इसलिए $(1, 1) \in R$ और $(2, 2) \in R$ होना चाहिए।
मान लीजिए $R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)\}$ है। यह संबंध सममित और संक्रामक है,लेकिन $A$ पर स्वतुल्य नहीं है क्योंकि $(3, 3) \notin R_1$ है।
यदि हम $(3, 3)$ को शामिल करते हैं,तो संबंध $R_2 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ बन जाता है। यह संबंध सममित,संक्रामक और स्वतुल्य है।
$(1, 2)$ को समाहित करने वाला कोई भी अन्य संबंध जो सममित और संक्रामक है,उसमें $R_1$ का होना आवश्यक है। यदि इसमें $(3, 3)$ नहीं है,तो यह स्वतुल्य नहीं है। यदि इसमें $(3, 3)$ है,तो यह स्वतुल्य बन जाता है।
अतः,केवल एक ही संबंध ऐसा है जो सममित और संक्रामक है लेकिन स्वतुल्य नहीं है,जो $R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)\}$ है।
इसलिए,ऐसे संबंधों की संख्या $1$ है।

(A) माना समुच्चय $S = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ है। कुल संभावित क्रमित युग्मों $(a, b)$ की संख्या $5 \times 5 = 25$ है।
हमें ऐसे युग्म खोजने हैं जिनके लिए $1 + ab > 0$ हो,जो $ab > -1$ के बराबर है।
उन युग्मों को गिनना आसान है जहाँ $ab \leq -1$ है और उन्हें $25$ में से घटाना है।
$ab \leq -1$ वाले युग्म $(a, b)$ इस प्रकार हैं:
$(-2, 1) \Rightarrow ab = -2$
$(1, -2) \Rightarrow ab = -2$
$(-2, 2) \Rightarrow ab = -4$
$(2, -2) \Rightarrow ab = -4$
$(-1, 1) \Rightarrow ab = -1$
$(1, -1) \Rightarrow ab = -1$
$(-1, 2) \Rightarrow ab = -2$
$(2, -1) \Rightarrow ab = -2$
ऐसे कुल $8$ युग्म हैं। अतः,$R$ में अवयवों की संख्या $25 - 8 = 17$ है। कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए,जाँचें कि क्या $R$ एक तुल्यता संबंध है। एक संबंध तुल्यता संबंध होता है यदि वह स्वतुल्य,सममित और संक्रामक हो।
स्वतुल्यता: $1 + a^2 > 0$ सभी $a \in S$ के लिए सत्य है। अतः,यह स्वतुल्य है।
सममितता: $1 + ab > 0 \iff 1 + ba > 0$। अतः,यह सममित है।
संक्रामकता: $(1, 0) \in R$ क्योंकि $1 + 0 = 1 > 0$,और $(0, -2) \in R$ क्योंकि $1 + 0 = 1 > 0$ है। हालाँकि,$(1, -2) \notin R$ क्योंकि $1 + (1)(-2) = -1 \ngtr 0$ है। इस प्रकार,$R$ संक्रामक नहीं है। कथन $II$ असत्य है।

(A) संबंध $R$ को $\log_e(x + y) \leq 2$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जिसका अर्थ है $x + y \leq e^2$। चूँकि $e \approx 2.718$,इसलिए $e^2 \approx 7.389$। अतः $x, y \in N$ के लिए $x + y \leq 7$ है।
$R$ में युग्म $(x, y)$ इस प्रकार हैं: $(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (6,1)$।
एक संबंध संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$।
माना $(3, 4) \in R$ और $(4, 3) \in R$ है। संक्रामकता के लिए,$(3, 3)$ का $R$ में होना आवश्यक है,जो सत्य है। यदि हम $(4, 3) \in R$ और $(3, 4) \in R$ लेते हैं,तो $(4, 4)$ का $R$ में होना आवश्यक है। चूँकि $4+4=8 > 7$,इसलिए $(4, 4) \notin R$ है। अतः,हमें $(4, 4)$ को $R$ में जोड़ना होगा। सत्यापन के बाद,जोड़े जाने वाले अवयवों की न्यूनतम संख्या $1$ है।