मान लीजिए f : X rightarrow Y एक फलन है जैसे क | vedclass

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Question

(B) $f(x)$ का प्रांत $x-2 \ge 0$ और $4-x \ge 0$ द्वारा निर्धारित होता है,जो $x \in [2,4]$ देता है।परिसर ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = \sqrt{x-2} +

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$[3,4]$ और $[\sqrt{2},2]$

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(B) $f(x)$ का प्रांत $x-2 \ge 0$ और $4-x \ge 0$ द्वारा निर्धारित होता है,जो $x \in [2,4]$ देता है।परिसर ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = \sqrt{x-2} + \sqrt{4-x}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 = (x-2) + (4-x) + 2\sqrt{(x-2)(4-x)} = 2 + 2\sqrt{-x^2+6x-8}$।पद $-x^2+6x-8$ का अधिकतम मान $x=3$ पर $1$ है। अतः,$y^2 \in [2, 4]$,जिसका अर्थ है $y \in [\sqrt{2}, 2]$।$f(x)$ को एकैकी होने के लिए,फलन को एकदिष्ट (monotonic) होना चाहिए। फलन $f(x)$ अंतराल $[2,3]$ पर वर्धमान और $[3,4]$ पर ह्रासमान है।इसलिए,$f(x)$ अंतराल $[2,3]$ या $[3,4]$ पर एकैकी है।दोनों अंतरालों $[2,3]$ और $[3,4]$ पर,फलन का परिसर $[\sqrt{2}, 2]$ है।अतः,$f(x)$ के एकैकी और आच्छादक दोनों होने के लिए,$X$ का मान $[2,3]$ या $[3,4]$ हो सकता है,और $Y$ का मान $[\sqrt{2}, 2]$ होना चाहिए।विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

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$f(x) = \log \left( \left( \frac{2x^2 - 3}{x} \right) + \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)$ है

मान लीजिए $f: N \to N$,$f(x) = x^2 + x + 1$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $x \in N$ है। तो $f$ है:

मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। $f: A \to A$ ऐसे एकैकी (one-one) फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $f(1) \ge 3, f(3) \le 4$ और $f(2) + f(3) = 5$ हो।

ऐसे $f: Z \rightarrow Z$ द्विआधारी (bijective) फलनों की संख्या क्या है जिनके लिए $f(x+y)=f(x)+f(y)$ सभी $x, y \in Z$ के लिए सत्य है?

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