निम्नलिखित में से कौन सा फलन एकैकी (injective | vedclass

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Question

(A) एक फलन $f: A 	o B$ एकैकी (injective) होता है यदि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो। यह आच्छादक (surjective) होता है यदि इसका परिसर इसके सह-

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$f : N 	o N$,$f(x) = 2x + 3$

Vedclass · Answer

(A) एक फलन $f: A 	o B$ एकैकी (injective) होता है यदि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो। यह आच्छादक (surjective) होता है यदि इसका परिसर इसके सह-प्रांत के बराबर हो।विकल्प $A$ के लिए: $f: N 	o N$,$f(x) = 2x + 3$.एकैकी: $2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \implies 2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2$। अतः,यह एकैकी है।आच्छादक: $y \in N$ के लिए,$2x + 3 = y \implies x = \frac{y-3}{2}$। यदि $y=4$ हो,तो $x = 0.5 
otin N$। अतः,यह आच्छादक नहीं है।विकल्प $B$ के लिए: $f: R 	o R$,$f(x) = \frac{4x+3}{5}$। यह एक रैखिक फलन है,जो एकैकी और आच्छादक (bijective) दोनों है।विकल्प $C$ के लिए: $f(x) = x^3 - x$। $f(0) = 0$,$f(1) = 0$,$f(-1) = 0$। चूँकि $f(0) = f(1)$,यह एकैकी नहीं है।विकल्प $D$ के लिए: $f(x) = \ln(|x| + 1)$। $f(1) = \ln(2)$,$f(-1) = \ln(2)$। चूँकि $f(1) = f(-1)$,यह एकैकी नहीं है।अतः,सही विकल्प $A$ है।

निम्नलिखित में से कौन सा फलन एकैकी (injective) है लेकिन आच्छादक (surjective) नहीं है?

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यदि $R$ सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है,तो $f(x) = [x]$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R \to R$ क्या है?

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