मान लीजिए f: N to N,f(x) = x^2 + x + 1 द्वारा | vedclass

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Question

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ एकैकी (one-one) है,मान लीजिए $x, y \in N$ इस प्रकार हैं कि $f(x) = f(y)$ है।$x^2 + x + 1 = y^2 + y + 1$$x^2 - y^2 + x

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एकैकी लेकिन आच्छादक नहीं

Vedclass · Answer

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ एकैकी (one-one) है,मान लीजिए $x, y \in N$ इस प्रकार हैं कि $f(x) = f(y)$ है।$x^2 + x + 1 = y^2 + y + 1$$x^2 - y^2 + x - y = 0$$(x - y)(x + y) + (x - y) = 0$$(x - y)(x + y + 1) = 0$चूँकि $x, y \in N$ है,इसलिए $x + y + 1 > 0$ होगा,अतः हमारे पास $x - y = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x = y$। इस प्रकार,$f$ एकैकी है।यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ आच्छादक (onto) है,हम $f$ के परिसर (range) को देखते हैं। $x = 1$ के लिए,$f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$ है। $x = 2$ के लिए,$f(2) = 2^2 + 2 + 1 = 7$ है। चूँकि $f(x) = x^2 + x + 1$ है,$x \in N$ के लिए न्यूनतम मान $3$ है। $1, 2, 4, 5, 6$ जैसे मान परिसर में नहीं हैं। इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।अतः,$f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

मान लीजिए $f: N \to N$,$f(x) = x^2 + x + 1$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $x \in N$ है। तो $f$ है:

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जब $0 \leq x \leq 1$ हो,तो $f(x) = |x| + |x - 1|$ किस प्रकार का फलन है?

यदि समुच्चय $x$ में $7$ अवयव हैं और समुच्चय $y$ में $8$ अवयव हैं,तो $x$ से $y$ तक के आच्छादक फलनों (bijections) की संख्या क्या है?

ऐसे आच्छादक (bijective) फलनों $f : \{1, 3, 5, 7, \ldots, 99\} \rightarrow \{2, 4, 6, 8, \ldots, 100\}$ की संख्या ज्ञात कीजिए,जिनके लिए $f(3) \geq f(9) \geq f(15) \geq f(21) \geq \ldots \geq f(99)$ हो।

समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ से स्वयं पर सभी एकैकी (one-one) फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

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