$f: Z \rightarrow Z$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = x^{3}$ ની એક-એક (injectivity) અને વ્યાપ્ત (surjectivity) ચકાસો.

ધારો કે $R$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{\{x\}}{1+[x]^2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે,અને $\{x\} = x-[x]$ છે. નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$I.$ $f$ નો વિસ્તાર એક સંવૃત અંતરાલ છે.
$II.$ $f$ એ $R$ પર સતત છે.
$III.$ $f$ એ $R$ પર એક-એક વિધેય છે.

વિધેય $f: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow \mathbb{R}$ ને $f(x) = \sin x$ અને $g: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow \mathbb{R}$ ને $g(x) = \cos x$ તરીકે લો. સાબિત કરો કે $f$ અને $g$ એક-એક વિધેય છે,પરંતુ $f + g$ એક-એક વિધેય નથી.

ધારો કે $A$ અને $B$ એ $\mathbb{R}$ માં અરિક્ત ગણો છે અને $f : A \to B$ એક એક-વ્યાપ્ત (bijective) વિધેય છે.
વિધાન $1$ : $f$ એક વ્યાપ્ત (onto) વિધેય છે.
વિધાન $2$ : એવું વિધેય $g : B \to A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f \circ g = I_B$ થાય.

જો $f: N \rightarrow Z$ એ $f(n)=\begin{cases} 2 & \text{જો } n=3k, k \in Z \\ 10 & \text{જો } n=3k+1, k \in Z \\ 0 & \text{જો } n=3k+2, k \in Z \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $\{n \in N: f(n)>2\}$ બરાબર શું થાય?

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f: R \rightarrow R$ એ એક સતત વિધેય છે. ધારો કે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે $|f(x) - f(y)| \geq |x - y|$ છે. તો,