Mix Examples of Relation and Function Questions in Hindi

(C) दिया गया समीकरण $2{e^{\left| x \right|}}{\tan ^{ - 1}}\left| x \right| = 1$ है।
इसे $2{\tan ^{ - 1}}\left| x \right| = \frac{1}{{{e^{\left| x \right|}}}}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है,जो $2{\tan ^{ - 1}}\left| x \right| = {e^{ - \left| x \right|}}$ के बराबर है।
मान लीजिए $f(x) = 2{\tan ^{ - 1}}\left| x \right|$ और $g(x) = {e^{ - \left| x \right|}}$ है।
दोनों फलन $f(x)$ और $g(x)$ सम फलन हैं,जिसका अर्थ है कि वे $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं।
$x \ge 0$ के लिए,$f(x) = 2{\tan ^{ - 1}}x$ एक निरंतर वर्धमान फलन है जो $f(0) = 0$ से शुरू होता है और $x \to \infty$ होने पर $\pi$ की ओर अग्रसर होता है।
$x \ge 0$ के लिए,$g(x) = {e^{ - x}}$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है जो $g(0) = 1$ से शुरू होता है और $x \to \infty$ होने पर $0$ की ओर अग्रसर होता है।
चूंकि $x > 0$ के लिए $f(x)$ वर्धमान है और $g(x)$ ह्रासमान है,और $f(0) < g(0)$ ($0 < 1$ होने के कारण) जबकि $\lim_{x \to \infty} f(x) > \lim_{x \to \infty} g(x)$ ($\pi > 0$ होने के कारण),इसलिए $x > 0$ के लिए ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु होना चाहिए।
सममिति के कारण,$x < 0$ के लिए भी ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।
अतः,कुल $2$ हल हैं।

(C) $f(x)$ को एक सम फलन होने के लिए,$f(x) = f(-x)$ होना चाहिए।
$f(-x) = -Ax^3 + Bx - \tan x \cdot \text{sgn}(x)$ प्राप्त होता है।
$f(x) = f(-x)$ के लिए $2Ax^3 - 2Bx = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $A = 0$ और $B = 0$।
$A = 0 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{2}$।
$B = 0 \Rightarrow \tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$।
$\alpha \in [-\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ के लिए,उभयनिष्ठ मान $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ और $\alpha = -\frac{7\pi}{6}$ हैं।
अतः,कुल $2$ मान प्राप्त होते हैं।

(D) फलन $g(x) = ||x + 2| - 3|$ है।
सापेक्ष निम्निष्ठ और उच्चिष्ठ ज्ञात करने के लिए,हम $g(x)$ के ग्राफ का विश्लेषण करते हैं।
आंतरिक फलन $f(x) = |x + 2| - 3$ का मान $x = -2$ पर न्यूनतम $-3$ होता है।
मापांक फलन $g(x) = |f(x)|$,$f(x)$ के ऋणात्मक भाग को $x$-अक्ष के सापेक्ष परावर्तित करता है।
अतः,$g(x)$ के सापेक्ष निम्निष्ठ $x = -5$ और $x = 1$ पर प्राप्त होते हैं (जहाँ मान $0$ है)। इसलिए $a = 2$ है।
$x = -2$ पर सापेक्ष उच्चिष्ठ $3$ प्राप्त होता है। इसलिए $b = 1$ है।
$g(x)$ के शून्यक $|x + 2| - 3 = 0$ को हल करने पर प्राप्त होते हैं,जो $x = 1$ और $x = -5$ हैं।
शून्यकों का गुणनफल $c = 1 \times (-5) = -5$ है।
अब,$(a + 2b - c) = 2 + 2(1) - (-5) = 2 + 2 + 5 = 9$।

(C) दिया गया है कि $f'(x) > 0$,इसलिए $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
दिया गया है कि $g'(x) < 0$,इसलिए $g(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
माना $u = |x| - 1$ और $v = |x| + 1$ है। स्पष्ट है कि $u < v$ है।
चूंकि $f$ वर्धमान है,इसलिए $f(u) < f(v)$ होगा।
चूंकि $g$ ह्रासमान है,इसलिए $g(f(u)) > g(f(v))$ होगा,जिसका अर्थ है $g(f(|x| - 1)) > g(f(|x| + 1))$। अतः विकल्प $A$ गलत है।
चूंकि $f$ वर्धमान है,इसलिए $f(f(u)) < f(f(v))$ होगा,जिसका अर्थ है $f(f(|x| - 1)) < f(f(|x| + 1))$। अतः विकल्प $B$ गलत है।
चूंकि $g$ ह्रासमान है,इसलिए $g(u) > g(v)$ होगा। पुनः $g$ लागू करने पर (जो कि ह्रासमान है),$g(g(u)) < g(g(v))$ होगा।
इसलिए,$g(g(|x| - 1)) < g(g(|x| + 1))$। यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(D) प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $\sqrt{x^2} = |x|$ के लिए,वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार,$\sqrt{x^2}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है और $x$ के निरपेक्ष मान के बराबर होता है। यह सही है।
$2$. $x^{x+1} = x \cdot x^x$ के लिए,घातांक के नियमों का उपयोग करते हुए,$x^1 \cdot x^x = x^{1+x} = x^{x+1}$। यह सही है।
$3$. $\frac{|x|}{x}$ के लिए,यदि $x > 0$ है,तो $|x| = x$,इसलिए $\frac{x}{x} = 1$। यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$,इसलिए $\frac{-x}{x} = -1$। यह सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $D$ है।

(A) हमें $f(x) = \sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}$ दिया गया है।
चूँकि $x > 0$,$\sqrt{x^2 + x} > 0$ है। साथ ही,$\alpha \in (0, \pi/2)$ के लिए $\tan^2 \alpha > 0$ है।
दो धनात्मक पदों $a$ और $b$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करने पर,$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ या $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ प्राप्त होता है।
माना $a = \sqrt{x^2 + x}$ और $b = \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}$ है।
अतः $f(x) = a + b \geq 2\sqrt{a \cdot b}$ है।
$f(x) \geq 2\sqrt{\sqrt{x^2 + x} \cdot \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}}$.
$f(x) \geq 2\sqrt{\tan^2 \alpha}$.
चूँकि $\alpha \in (0, \pi/2)$,$\tan \alpha > 0$ है,इसलिए $\sqrt{\tan^2 \alpha} = \tan \alpha$ होगा।
अतः,$f(x) \geq 2 \tan \alpha$।

(D) दिया गया फलन $f(x) = - \frac{|x|^3 + |x|}{1 + x^2}$ है।
सबसे पहले,$f(-x)$ का मूल्यांकन करके समरूपता की जाँच करें:
$f(-x) = - \frac{|-x|^3 + |-x|}{1 + (-x)^2} = - \frac{|x|^3 + |x|}{1 + x^2} = f(x)$.
चूँकि $f(-x) = f(x)$,यह फलन एक सम फलन (even function) है,जिसका अर्थ है कि ग्राफ $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
इसके बाद,$f(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करें:
किसी भी $x \in R$ के लिए,$|x| \ge 0$ और $x^2 \ge 0$,इसलिए $|x|^3 + |x| \ge 0$ और $1 + x^2 > 0$ है।
चूँकि भिन्न के सामने एक ऋणात्मक चिह्न है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x) \le 0$ है।
चूँकि सभी $x$ के लिए $f(x) \le 0$ है,फलन का ग्राफ कभी भी पहले या दूसरे चतुर्थांश (जहाँ $y > 0$ होता है) में प्रवेश नहीं करता है।
चूँकि फलन सभी $x \in R$ के लिए परिभाषित है और $f(x) \le 0$ है,इसलिए ग्राफ पूरी तरह से तीसरे और चौथे चतुर्थांश में स्थित है।

(C) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A(0, 0)$,$B(x, g(x))$ और $C$ हैं।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,भुजा की लंबाई $a$,$A$ और $B$ के बीच की दूरी है।
$a = \sqrt{(x-0)^2 + (g(x)-0)^2} = \sqrt{x^2 + g(x)^2}$.
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4}$ दिया गया है,इसलिए हमारे पास $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ है।
इसका अर्थ है कि $a^2 = 1$.
$a^2$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 + g(x)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$g(x)$ के लिए हल करने पर,हमें $g(x)^2 = 1 - x^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$g(x) = \pm \sqrt{1 - x^2}$.

(A) दिया गया है $f(x) = \sin x + \tan x + \operatorname{sgn}(x^2 - 6x + 10)$.
सबसे पहले,पद $x^2 - 6x + 10$ का विश्लेषण करें। इसे $(x-3)^2 + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $(x-3)^2 \ge 0$ है,इसलिए $(x-3)^2 + 1 \ge 1$ होता है।
चूंकि साइनम फलन का तर्क हमेशा धनात्मक है,इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\operatorname{sgn}(x^2 - 6x + 10) = 1$ है।
इस प्रकार,फलन $f(x) = \sin x + \tan x + 1$ में सरल हो जाता है।
$\sin x$ का आवर्तकाल $2\pi$ है और $\tan x$ का आवर्तकाल $\pi$ है।
आवर्ती फलनों के योग का मूल आवर्तकाल उनके व्यक्तिगत आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
$\text{LCM}(2\pi, \pi) = 2\pi$.
अतः,फलन $2\pi$ आवर्तकाल वाला एक आवर्ती फलन है।

(D) दिया गया है कि $f(x) = -1 + |x - 2|$ और $g(x) = 1 - |x|$ है।
हमें $fog(x) = f(g(x))$ के लिए असतत बिंदुओं को ज्ञात करना है।
$fog(x) = f(1 - |x|) = -1 + |(1 - |x|) - 2|$
$= -1 + |- |x| - 1|$
$= -1 + |-(|x| + 1)|$
चूंकि $|-a| = |a|$,इसलिए $|-(|x| + 1)| = ||x| + 1|$ होगा।
चूंकि $|x| \ge 0$,इसलिए $|x| + 1$ हमेशा धनात्मक है,अतः $||x| + 1| = |x| + 1$ होगा।
इस प्रकार,$fog(x) = -1 + |x| + 1 = |x|$ प्राप्त होता है।
फलन $y = |x|$ एक मानक मापांक फलन (absolute value function) है,जो सभी वास्तविक संख्याओं $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत (continuous) है।
इसलिए,ऐसा कोई बिंदु नहीं है जहाँ $fog$ असतत हो।
अतः,उन सभी बिंदुओं का समुच्चय जहाँ $fog$ असतत है,एक रिक्त समुच्चय है।

(A) दिया गया है $f(x) = \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$.
फलन में $x$ को $\frac{2x}{1+x^2}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$f\left( \frac{2x}{1+x^2} \right) = \log_e \left( \frac{1 - \frac{2x}{1+x^2}}{1 + \frac{2x}{1+x^2}} \right)$
$= \log_e \left( \frac{\frac{1+x^2-2x}{1+x^2}}{\frac{1+x^2+2x}{1+x^2}} \right)$
$= \log_e \left( \frac{1+x^2-2x}{1+x^2+2x} \right)$
$= \log_e \left( \frac{(1-x)^2}{(1+x)^2} \right)$
$= \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^2$
$= 2 \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$
$= 2f(x)$.

(B) हम जानते हैं कि किसी भी फलन $f(x)$ को एक सम फलन $f_1(x)$ और एक विषम फलन $f_2(x)$ के योग के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$f_1(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{a^x + a^{-x}}{2}$
$f_2(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{a^x - a^{-x}}{2}$
अब,हम $f_1(x + y) + f_1(x - y)$ की गणना करते हैं:
$f_1(x + y) + f_1(x - y) = \frac{a^{x+y} + a^{-(x+y)}}{2} + \frac{a^{x-y} + a^{-(x-y)}}{2}$
$= \frac{1}{2} [a^x a^y + a^{-x} a^{-y} + a^x a^{-y} + a^{-x} a^y]$
$= \frac{1}{2} [a^x(a^y + a^{-y}) + a^{-x}(a^y + a^{-y})]$
$= \frac{1}{2} (a^x + a^{-x})(a^y + a^{-y})$
$= 2 \left( \frac{a^x + a^{-x}}{2} \right) \left( \frac{a^y + a^{-y}}{2} \right)$
$= 2 f_1(x) f_1(y)$

(D) दिया गया है $f(x) = x^2$ और $S = [0, 4]$।
सबसे पहले,$g(S) = \{x \in R : x^2 \in [0, 4]\} = \{x \in R : x^2 \leq 4\} = [-2, 2]$ ज्ञात करें।
अब,$f(g(S)) = f([-2, 2]) = [0, 4] = S$ का मूल्यांकन करें।
$f(S) = f([0, 4]) = [0, 16]$ का मूल्यांकन करें।
विकल्प $A$ की जाँच करें: $f(g(S)) = [0, 4]$ और $f(S) = [0, 16]$,इसलिए $f(g(S)) \neq f(S)$। यह सत्य है।
विकल्प $B$ की जाँच करें: $f(g(S)) = [0, 4] = S$। यह सत्य है।
विकल्प $C$ की जाँच करें: $g(f(S)) = g([0, 16]) = \{x \in R : x^2 \in [0, 16]\} = [-4, 4]$। चूँकि $[-4, 4] \neq [0, 4]$,इसलिए $g(f(S)) \neq S$। यह सत्य है।
विकल्प $D$ की जाँच करें: $g(f(S)) = [-4, 4]$ और $g(S) = [-2, 2]$। अतः,$g(f(S)) \neq g(S)$। इसलिए,कथन $g(f(S)) = g(S)$ सत्य नहीं है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^{2}$ और $g(x) = 2x + 1$.
$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = x^{2} + 2x + 1$.
$(f-g)(x) = f(x) - g(x) = x^{2} - (2x + 1) = x^{2} - 2x - 1$.
$(fg)(x) = f(x) \cdot g(x) = x^{2}(2x + 1) = 2x^{3} + x^{2}$.
$(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^{2}}{2x + 1}$,जहाँ $g(x) \neq 0$,अर्थात $2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}$.

दिया गया है $f(x) = \sqrt{x}$ और $g(x) = x$,जहाँ $x \ge 0$ है।
$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = \sqrt{x} + x$.
$(f-g)(x) = f(x) - g(x) = \sqrt{x} - x$.
$(fg)(x) = f(x) \cdot g(x) = \sqrt{x} \cdot x = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^1 = x^{\frac{3}{2}}$.
$(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x}}{x} = x^{\frac{1}{2} - 1} = x^{-\frac{1}{2}}$,जहाँ $x > 0$ है।

दो फलन $f$ और $g$ समान कहलाते हैं यदि सभी $a \in A$ के लिए $f(a) = g(a)$ हो।
$x = -1$ के लिए:
$f(-1) = (-1)^{2} - (-1) = 1 + 1 = 2$
$g(-1) = 2\left|-1 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left|-\frac{3}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2$
अतः,$f(-1) = g(-1)$ है।
$x = 0$ के लिए:
$f(0) = (0)^{2} - 0 = 0$
$g(0) = 2\left|0 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$
अतः,$f(0) = g(0)$ है।
$x = 1$ के लिए:
$f(1) = (1)^{2} - 1 = 0$
$g(1) = 2\left|1 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$
अतः,$f(1) = g(1)$ है।
$x = 2$ के लिए:
$f(2) = (2)^{2} - 2 = 4 - 2 = 2$
$g(2) = 2\left|2 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2$
अतः,$f(2) = g(2)$ है।
चूंकि सभी $a \in A$ के लिए $f(a) = g(a)$ है,इसलिए फलन $f$ और $g$ समान हैं।

$f, g: R \rightarrow R$ को $f(x) = x + 1$ और $g(x) = 2x - 3$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = (x + 1) + (2x - 3) = 3x - 2$.
$(f-g)(x) = f(x) - g(x) = (x + 1) - (2x - 3) = x + 1 - 2x + 3 = -x + 4$.
$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$,जहाँ $g(x) \neq 0$.
$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x + 1}{2x - 3}$,जहाँ $2x - 3 \neq 0$,जिसका अर्थ है कि $x \neq \frac{3}{2}$.

(B) समुच्चय $C$ उन सभी फलनों $f: A \rightarrow B$ से बना है जिनमें $2 \in f(A)$ है और $f$ एकैकी नहीं है।
$A$ से $B$ तक के कुल फलन जिनमें $2 \in f(A)$ है,की गणना इस प्रकार है: (कुल फलन) - (वे फलन जिनमें $2 \notin f(A)$ है)।
कुल फलन = $4^3 = 64$।
वे फलन जिनमें $2 \notin f(A)$ है = $3^3 = 27$।
अतः,वे फलन जिनमें $2 \in f(A)$ है = $64 - 27 = 37$।
अब,हम $37$ में से उन एकैकी फलनों की संख्या घटाएंगे जिनमें $2 \in f(A)$ है।
$A$ से $B$ तक के एकैकी फलनों की संख्या $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ है।
इन $24$ एकैकी फलनों में से कितने फलनों के परिसर (range) में $2$ शामिल है?
कुल एकैकी फलन = $24$।
वे एकैकी फलन जिनमें $2 \notin f(A)$ है = $^3P_3 = 3 \times 2 \times 1 = 6$।
अतः,वे एकैकी फलन जिनमें $2 \in f(A)$ है = $24 - 6 = 18$।
इसलिए,उन फलनों की संख्या जो एकैकी नहीं हैं और जिनमें $2 \in f(A)$ है,$37 - 18 = 19$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $af(x)+\alpha f\left(\frac{1}{x}\right)=bx+\frac{\beta}{x} \quad .....(1)$
समीकरण $(1)$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$af\left(\frac{1}{x}\right)+\alpha f(x)=b\left(\frac{1}{x}\right)+\beta x \quad .....(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(a+\alpha)f(x)+(a+\alpha)f\left(\frac{1}{x}\right) = bx+\frac{\beta}{x}+\frac{b}{x}+\beta x$
$(a+\alpha)\left[f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right] = (b+\beta)x + (b+\beta)\frac{1}{x}$
$(a+\alpha)\left[f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right] = (b+\beta)\left(x+\frac{1}{x}\right)$
अब,व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)}{x+\frac{1}{x}} = \frac{b+\beta}{a+\alpha}$
दिया गया है कि $a+\alpha=1$ और $b+\beta=2$,इन मानों को रखने पर:
$\frac{f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)}{x+\frac{1}{x}} = \frac{2}{1} = 2$

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{5^{x}}{5^{x} + \sqrt{5}}$.
ध्यान दें कि $f(1-x) = \frac{5^{1-x}}{5^{1-x} + \sqrt{5}} = \frac{5/5^{x}}{5/5^{x} + \sqrt{5}} = \frac{5}{5 + \sqrt{5} \cdot 5^{x}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 5^{x}}$.
अतः,$f(x) + f(1-x) = \frac{5^{x} + \sqrt{5}}{5^{x} + \sqrt{5}} = 1$.
श्रेणी में $x = \frac{1}{20}$ से $x = \frac{39}{20}$ तक $39$ पद हैं।
$f(x) + f(1-x) = 1$ का उपयोग करते हुए,$f\left(\frac{k}{20}\right) + f\left(\frac{20-k}{20}\right) = 1$.
$k=1$ से $19$ तक योग करने पर,हमें $19$ जोड़े मिलते हैं जिनका योग $1$ है,और मध्य पद $f\left(\frac{20}{20}\right) = f(1) = \frac{5}{5+\sqrt{5}}$ है।
योग $= 19 + f(1) = 19 + \frac{5}{5+\sqrt{5}} = 19 + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1} = \frac{20\sqrt{5}+19}{\sqrt{5}+1}$.

(A) दिया गया है $f(k) = \begin{cases} k+1, & \text{यदि } k \text{ विषम है} \\ k, & \text{यदि } k \text{ सम है} \end{cases}$।
हमें शर्त $g(f(k)) = f(k)$ सभी $k \in A$ के लिए दी गई है।
यदि $k$ सम है,तो $f(k) = k$। अतः,$g(f(k)) = g(k) = f(k) = k$। इसलिए,सभी सम $k \in \{2, 4, 6, 8, 10\}$ के लिए $g(k) = k$ होगा।
यदि $k$ विषम है,तो $f(k) = k+1$। अतः,$g(f(k)) = g(k+1) = f(k) = k+1$। चूंकि $k+1$ हमेशा एक सम संख्या है,यह पुष्टि करता है कि $g$ सम संख्याओं को स्वयं से ही प्रतिचित्रित करता है,जिसे हमने पहले ही स्थापित कर लिया है।
विषम $k \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ के लिए,शर्त $g(f(k)) = f(k)$ का $g(k)$ के मान पर कोई प्रतिबंध नहीं है।
चूंकि $g: A \rightarrow A$,प्रत्येक $5$ विषम मानों के लिए,$g(k)$ समुच्चय $A$ के $10$ तत्वों में से कोई भी हो सकता है।
इसलिए,ऐसे फलनों $g$ की कुल संख्या $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^{5}$ है।

(D) दिया गया है $f(m \cdot n) = f(m) \cdot f(n)$ सभी $m, n \in S$ के लिए जहाँ $m \cdot n \in S$ है।
$1$. $m=1$ रखने पर,$f(n) = f(1) \cdot f(n)$,जिसका अर्थ है $f(1) = 1$.
$2$. $f(2), f(3), f(5), f(7)$ के मान फलन को निर्धारित करते हैं क्योंकि $f(4) = f(2 \cdot 2) = f(2)^2$ और $f(6) = f(2 \cdot 3) = f(2) \cdot f(3)$.
$3$. स्थिति $1$: $f(2) = 1$. तब $f(4) = 1^2 = 1$ और $f(6) = 1 \cdot f(3) = f(3)$.
$f(3)$ का मान $S$ में से कुछ भी हो सकता है ($7$ विकल्प),$f(5)$ का मान $S$ में से कुछ भी हो सकता है ($7$ विकल्प),और $f(7)$ का मान $S$ में से कुछ भी हो सकता है ($7$ विकल्प)।
फलनों की संख्या = $1 \times 1 \times 7 \times 1 \times 7 \times 7 = 343$.
$4$. स्थिति $2$: $f(2) = 2$. तब $f(4) = 2^2 = 4 \in S$ (मान्य) और $f(6) = 2 \cdot f(3)$.
$f(6) \in S$ के लिए,$2 \cdot f(3) \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ होना चाहिए।
$f(3)$ के लिए संभावित मान $1, 2, 3$ हैं (क्योंकि $2 \cdot 1=2, 2 \cdot 2=4, 2 \cdot 3=6$,सभी $S$ में हैं)।
$f(5)$ का मान $S$ में से कुछ भी हो सकता है ($7$ विकल्प),$f(7)$ का मान $S$ में से कुछ भी हो सकता है ($7$ विकल्प)।
फलनों की संख्या = $1 \times 3 \times 7 \times 7 = 147$.
$5$. स्थिति $3$: $f(2) = 3$. तब $f(4) = 3^2 = 9 \notin S$ (अमान्य)।
कुल फलनों की संख्या = $343 + 147 = 490$.

(A) दिया गया है $f(x) = \log_{e}(x^{2}+1) - e^{-x} + 1$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{2x}{x^{2}+1} + e^{-x}$.
सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है,अतः $f$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
दिया गया है $g(x) = \frac{1-2e^{2x}}{e^{x}} = e^{-x} - 2e^{x}$.
अवकलन करने पर,$g'(x) = -e^{-x} - 2e^{x} < 0$ सभी $x \in R$ के लिए।
अतः,$g$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
असमिका $f(g(\frac{(\alpha-1)^{2}}{3})) > f(g(\alpha-\frac{5}{3}))$ दी गई है।
चूंकि $f$ वर्धमान है,इसलिए $g(\frac{(\alpha-1)^{2}}{3}) > g(\alpha-\frac{5}{3})$ होगा।
चूंकि $g$ ह्रासमान है,इसलिए $\frac{(\alpha-1)^{2}}{3} < \alpha - \frac{5}{3}$ होगा।
सरल करने पर,$(\alpha-1)^{2} < 3\alpha - 5$.
$\alpha^{2} - 5\alpha + 6 < 0$.
$(\alpha-2)(\alpha-3) < 0$.
अतः,$\alpha \in (2, 3)$।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e}$.
$f(x) + f(1-x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e} + \frac{2e^{2(1-x)}}{e^{2(1-x)} + e}$ पर विचार करें।
दूसरे पद के अंश और हर को $e^{2x}$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{2e^{2-2x} \cdot e^{2x}}{e^{2-2x} \cdot e^{2x} + e \cdot e^{2x}} = \frac{2e^2}{e^2 + e^{2x+1}} = \frac{2e^2}{e^2 + e \cdot e^{2x}} = \frac{2e}{e + e^{2x}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) + f(1-x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e} + \frac{2e}{e^{2x} + e} = \frac{2(e^{2x} + e)}{e^{2x} + e} = 2$.
योग $S = \sum_{k=1}^{99} f\left(\frac{k}{100}\right)$ है।
पदों को युग्मित करने पर $f\left(\frac{k}{100}\right) + f\left(1 - \frac{k}{100}\right) = f\left(\frac{k}{100}\right) + f\left(\frac{100-k}{100}\right) = 2$.
ऐसे $49$ युग्म हैं ($k=1$ से $49$ तक) और मध्य पद $f\left(\frac{50}{100}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)$ है।
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2e^{2(1/2)}}{e^{2(1/2)} + e} = \frac{2e}{e + e} = 1$.
इसलिए,$S = 49 \times 2 + 1 = 98 + 1 = 99$.

(B) $(f \circ g)(x)$ के लिए असततता के बिंदुओं को खोजने के लिए,हम उन बिंदुओं की जाँच करते हैं जहाँ $g(x)$ असतत है,जहाँ $f(u)$ असतत है (जहाँ $u = g(x)$),और जहाँ $g(x)$ का मान उस बिंदु के बराबर है जहाँ $f$ असतत है।
$1$. $g(x)$,$x=0$ पर असतत है क्योंकि $\lim_{x \to 0^-} g(x) = 1$ और $g(0) = 0$. अतः,$x=0$ $(f \circ g)$ के लिए असततता का बिंदु है।
$2$. $f(u)$,$u=0$ पर असतत है।
$3$. हम $g(x) = 0$ की जाँच करते हैं। $x \geq 0$ के लिए,$(x-1)^2 - 1 = 0 \implies x=0$ या $x=2$.
$4$. $x=2$ पर: $\lim_{x \to 2^+} (f \circ g)(x) = 1$ और $\lim_{x \to 2^-} (f \circ g)(x) = 0$. अतः,$x=2$ असततता का बिंदु है।
$5$. $x=0$ पर: $\lim_{x \to 0^-} (f \circ g)(x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} (f \circ g)(x) = 1$. अतः,$x=0$ असततता का बिंदु है।
इस प्रकार,फलन $x=0$ और $x=2$ पर असतत है। कुल दो बिंदु हैं।

(A) मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4\}$ है। शर्त $f(a, b) = f(b, a) \geq a$ यह दर्शाती है कि:
$a=4$ के लिए,$f(4, b) = f(b, 4) \geq 4$. सह-प्रांत $S$ होने के कारण,सभी $b \in S$ के लिए $f(4, b) = 4$ होगा।
$a=3$ के लिए,$f(3, b) = f(b, 3) \geq 3$. अतः $f(3, 3) \in \{3, 4\}$ और $f(3, 4) = f(4, 3) = 4$.
$a=2$ के लिए,$f(2, b) = f(b, 2) \geq 2$. अतः $f(2, 2) \in \{2, 3, 4\}$,$f(2, 3) = f(3, 2) \in \{3, 4\}$,और $f(2, 4) = f(4, 2) = 4$.
$a=1$ के लिए,$f(1, b) = f(b, 1) \geq 1$. अतः $f(1, 1) \in \{1, 2, 3, 4\}$,$f(1, 2) = f(2, 1) \in \{2, 3, 4\}$,$f(1, 3) = f(3, 1) \in \{3, 4\}$,और $f(1, 4) = f(4, 1) = 4$.
फलन को आच्छादक (onto) होने के लिए,परिसर $\{1, 2, 3, 4\}$ होना चाहिए।
गणना करने पर,आच्छादक फलनों की कुल संख्या $37$ प्राप्त होती है।

(A) माना $A = \{x, y\}$ है। समुच्चय $A \times A = \{(x, x), (x, y), (y, x), (y, y)\}$ है।
$A$ पर संबंधों की कुल संख्या $2^{|A \times A|} = 2^4 = 16$ है।
एक संबंध $R$ सममित और संक्रामक होता है यदि और केवल यदि वह $A$ के किसी उपसमुच्चय $S$ पर एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) हो।
ऐसे संबंध जो सममित और संक्रामक दोनों हैं,वे हैं:
$1$. रिक्त संबंध: $\phi$
$2$. संबंध: $\{(x, x)\}$
$3$. संबंध: $\{(y, y)\}$
$4$. संबंध: $\{(x, x), (y, y)\}$
$5$. संबंध: $\{(x, x), (y, y), (x, y), (y, x)\}$
कुल $5$ ऐसे संबंध हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{5}{16}$ है।

(D) दिया गया है $f(x)=(c+1) x^{2}+(1-c^{2}) x+2 k$ $(1)$
दिया गया है $f(x+y)=f(x)+f(y)-x y$ सभी $x, y \in R$ के लिए।
$x=0, y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)+f(0)-0 \Rightarrow f(0)=0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(0)=2k$,इसलिए $2k=0 \Rightarrow k=0$.
अब,$f(x+y)=f(x)+f(y)-x y$.
$y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x+y)=f'(y)-x$ प्राप्त होता है।
$y=0$ रखने पर,$f'(x)=f'(0)-x$.
समाकलन करने पर,$f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+f'(0) x+C$.
चूँकि $f(0)=0$,इसलिए $C=0$.
अतः,$f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+f'(0) x$.
$(1)$ के साथ तुलना करने पर,$c+1=-\frac{1}{2} \Rightarrow c=-\frac{3}{2}$.
साथ ही,$f'(0)=1-c^{2}=1-(-\frac{3}{2})^{2}=1-\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$.
अतः,$f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{5}{4} x$.
हमें $|2 \sum_{x=1}^{20} f(x)| = |2 \sum_{x=1}^{20} (-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{5}{4} x)| = |-\sum_{x=1}^{20} x^{2} - \frac{5}{2} \sum_{x=1}^{20} x|$ ज्ञात करना है।
$n=20$ के लिए $\sum_{x=1}^{n} x^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{x=1}^{n} x = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{x=1}^{20} x^{2} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 2870$.
$\sum_{x=1}^{20} x = \frac{20 \times 21}{2} = 210$.
मान $= |-(2870) - \frac{5}{2}(210)| = |-(2870 + 525)| = |-3395| = 3395$.

(B) माना प्रांत $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और सह-प्रांत $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
चूंकि $f(1) + f(2) = f(3)$,इसलिए $f(3)$ का मान कम से कम $1 + 1 = 2$ होना चाहिए। साथ ही,$f(3) \in B$,इसलिए $f(3) \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$।
$f(3)$ के प्रत्येक मान के लिए,$f(4)$ का मान $B$ के $6$ तत्वों में से कोई भी हो सकता है।
स्थिति $1$: $f(3) = 2$. संभावित युग्म $(f(1), f(2))$ $(1, 1)$ हैं। कुल $= 1 \times 6 = 6$ फलन।
स्थिति $2$: $f(3) = 3$. संभावित युग्म $(f(1), f(2))$ $(1, 2), (2, 1)$ हैं। कुल $= 2 \times 6 = 12$ फलन।
स्थिति $3$: $f(3) = 4$. संभावित युग्म $(f(1), f(2))$ $(1, 3), (3, 1), (2, 2)$ हैं। कुल $= 3 \times 6 = 18$ फलन।
स्थिति $4$: $f(3) = 5$. संभावित युग्म $(f(1), f(2))$ $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$ हैं। कुल $= 4 \times 6 = 24$ फलन।
स्थिति $5$: $f(3) = 6$. संभावित युग्म $(f(1), f(2))$ $(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)$ हैं। कुल $= 5 \times 6 = 30$ फलन।
कुल फलनों की संख्या $= 6 + 12 + 18 + 24 + 30 = 90$।

(A) दिया गया है $f(x) = \alpha x^5 + \beta x^3 + \gamma x$ जहाँ $\alpha, \beta, \gamma > 0$ है। चूँकि $f'(x) = 5\alpha x^4 + 3\beta x^2 + \gamma > 0$ है,इसलिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है और इसका प्रतिलोम संभव है।
$g(f(x)) = x$ दिया है,अतः $f(g(y)) = y$ होगा।
हमें $f(g(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(a_i)))$ का मान ज्ञात करना है।
$f(g(y)) = y$ के कारण,यह व्यंजक $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(a_i)$ में बदल जाता है।
समांतर श्रेणी का माध्य शून्य होने के कारण,$\sum_{i=1}^{n} a_i = 0$ है।
$f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $\sum_{i=1}^{n} f(a_i) = 0$ होगा।
अतः,अंतिम उत्तर $0$ है।

(C) दिया गया है $f(\theta) = \sin(\cos \theta)$.
$f'(\theta) = -\cos(\cos \theta) \cdot \sin \theta$.
चूँकि $\theta \in [0, \pi]$ के लिए $\cos(\cos \theta) > 0$ और $\sin \theta \geq 0$ है,इसलिए $f'(\theta) \leq 0$ है।
अतः,$f(\theta)$ एक ह्रासमान फलन है।
$a = f(0) = \sin(1)$ और $b = f(\pi) = \sin(-1) = -\sin(1)$ है।
दिया गया है $g(\theta) = \cos(\sin \theta)$.
$g'(\theta) = -\sin(\sin \theta) \cdot \cos \theta$.
$\theta \in [0, \pi/2)$ के लिए,$\cos \theta > 0$ और $\sin(\sin \theta) > 0$ है,इसलिए $g'(\theta) < 0$ (ह्रासमान)।
$\theta \in (\pi/2, \pi]$ के लिए,$\cos \theta < 0$ और $\sin(\sin \theta) > 0$ है,इसलिए $g'(\theta) > 0$ (वर्धमान)।
$c = \max\{g(0), g(\pi)\} = \cos(0) = 1$ है।
$d = g(\pi/2) = \cos(1)$ है।
चूँकि $0 < 1 < \pi/2$ है,इसलिए $\sin(1) < 1$ और $\cos(1) > 0$ है।
मानों की तुलना करने पर: $b = -\sin(1) \approx -0.84$,$d = \cos(1) \approx 0.54$,$a = \sin(1) \approx 0.84$,$c = 1$ है।
अतः,$b < d < a < c$ है।

(D) दिया गया है कि $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ एक एकैकी और सतत फलन है जो $-1 < f(0) < f(1) < 1$ को संतुष्ट करता है।
चूंकि $f$,$[0,1]$ पर सतत और एकैकी है,इसलिए इसे सख्ती से वर्धमान (strictly increasing) होना चाहिए।
$f$ का परिसर $[f(0), f(1)]$ है,जो $(-1, 1)$ का एक उपसमुच्चय है।
हमें ऐसे फलनों $g:[-1,1] \rightarrow [0,1]$ को खोजना है ताकि सभी $x \in [0,1]$ के लिए $(g \circ f)(x) = x$ हो।
इसका अर्थ है कि किसी भी $y \in [f(0), f(1)]$ के लिए,$g(y) = f^{-1}(y)$ होगा।
हालाँकि,$y \in [-1, 1] \setminus [f(0), f(1)]$ के लिए,फलन $g(y)$ का मान $[0, 1]$ में कुछ भी हो सकता है क्योंकि इन मानों के लिए $g$ पर कोई प्रतिबंध नहीं है।
चूंकि समुच्चय $[-1, 1] \setminus [f(0), f(1)]$ रिक्त नहीं है और इसमें अनंत बिंदु हैं,इसलिए हम इस समुच्चय के लिए $g(y)$ को अनंत तरीकों से परिभाषित कर सकते हैं।
अतः,ऐसे अनंत फलन $g$ मौजूद हैं।

(C) दिया गया है कि $P(\sin^2 x) = P(\cos^2 x)$ जहाँ $x \in [0, \pi/2)$ है।
मान लीजिए $t = \sin^2 x$ है। तब $\cos^2 x = 1 - t$ होगा। चूँकि $x \in [0, \pi/2)$,इसलिए $t \in [0, 1)$ है।
अतः,सभी $t \in [0, 1)$ के लिए $P(t) = P(1 - t)$ है। चूँकि $P$ एक बहुपद है,इसलिए सभी $t \in \mathbb{R}$ के लिए $P(t) = P(1 - t)$ होगा।
मान लीजिए $u = t - 1/2$ है। तब $t = u + 1/2$ और $1 - t = 1/2 - u$ होगा।
शर्त $P(u + 1/2) = P(1/2 - u)$ बन जाती है।
मान लीजिए $Q(u) = P(u + 1/2)$ है। तब $Q(u) = Q(-u)$,जिसका अर्थ है कि $Q(u)$,$u$ का एक सम फलन है।
चूँकि $Q(u)$ एक सम बहुपद है,इसे $u^2$ के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$u = x - 1/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(x) = Q(x - 1/2)$ प्राप्त होता है,जो $(x - 1/2)^2$ में एक बहुपद है,या समान रूप से $(2x - 1)^2$ में एक बहुपद है। यह कथन $II$ की पुष्टि करता है।
चूँकि $Q(u)$ एक सम बहुपद है,इसकी घात सम होनी चाहिए। अतः,$P(x)$ एक सम घात का बहुपद होना चाहिए। यह कथन $III$ की पुष्टि करता है।
कथन $I$ गलत है क्योंकि $P(x) = P(1-x)$ का अर्थ यह नहीं है कि $P(x) = P(-x)$ (उदाहरण के लिए,$P(x) = x(1-x)$ शर्त को पूरा करता है लेकिन यह सम फलन नहीं है)।
इसलिए,केवल $II$ और $III$ सही हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = x + \frac{1}{8} \sin(2 \pi x)$,$x \in [0, 1]$ के लिए।
ग्राफ से,हम देखते हैं कि $x \in (0, 1/2)$ के लिए $f(x) > x$,$x \in (1/2, 1)$ के लिए $f(x) < x$,और $x = 0, 1/2, 1$ पर $f(x) = x$ है।
$x \in (0, 1/2)$ के लिए,अनुक्रम $f_n(x)$ सख्ती से बढ़ रहा है और $1/2$ से ऊपर परिबद्ध है,इसलिए $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 1/2$ है।
$x \in (1/2, 1)$ के लिए,अनुक्रम $f_n(x)$ सख्ती से घट रहा है और $1/2$ से नीचे परिबद्ध है,इसलिए $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 1/2$ है।
$x = 0$ के लिए,सभी $n$ के लिए $f_n(0) = 0$,इसलिए सीमा $0$ है।
$x = 1$ के लिए,सभी $n$ के लिए $f_n(1) = 1$,इसलिए सीमा $1$ है।
$x = 1/2$ के लिए,सभी $n$ के लिए $f_n(1/2) = 1/2$,इसलिए सीमा $1/2$ है।
अतः,सभी $x \in (0, 1)$ के लिए सीमा $1/2$ है। चूंकि ऐसे अनंत $x$ हैं,इसलिए कथन $II$ सत्य है।
कथन $I$ और $III$ गलत हैं क्योंकि सीमा केवल $x=0$ पर $0$ और $x=1$ पर $1$ है।
कथन $IV$ गलत है क्योंकि सभी $x \in [0, 1]$ के लिए सीमा का अस्तित्व है।
इसलिए,केवल कथन $II$ सत्य है।

(D) दिया गया है $f(x) = [x] \sin(\pi x)$।
$1$. अवकलनीयता: $f(x)$ एक स्टेप फंक्शन और त्रिकोणमितीय फलन का गुणनफल है। यह सभी पूर्णांकों $n \in \mathbb{Z}$ (सिवाय $n=0$) पर असतत है। चूंकि अवकलनीयता के लिए निरंतरता आवश्यक है,इसलिए $f(x)$,$\mathbb{R}$ पर अवकलनीय नहीं है।
$2$. सममिति: $f(-x) = [-x] \sin(-\pi x) = -[-x] \sin(\pi x)$। चूंकि $x \notin \mathbb{Z}$ के लिए $[-x] = -[x] - 1$,इसलिए $f(-x) = ([x] + 1) \sin(\pi x) \neq f(x)$। अतः,यह $x=0$ के सापेक्ष सममित नहीं है।
$3$. समाकलन: $\int_{-3}^{3} [x] \sin(\pi x) \, dx = \sum_{k=-3}^{2} \int_{k}^{k+1} k \sin(\pi x) \, dx = \sum_{k=-3}^{2} k \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_{k}^{k+1} = \sum_{k=-3}^{2} \frac{k}{\pi} ((-1)^k - (-1)^{k+1}) = \sum_{k=-3}^{2} \frac{2k(-1)^k}{\pi} = \frac{2}{\pi} [3 - 2 + 1 - 0 - 1 + 2] = \frac{6}{\pi} \neq 0$।
$4$. मूल: किसी भी $\alpha$ के लिए,फलन $f(x)$ उन मानों के बीच दोलन करता है जो $[x]$ द्वारा निर्धारित होते हैं। चूंकि $\sin(\pi x)$ आवर्ती है और $[x]$ पूर्णांक मान लेता है,इसलिए फलन $f(x)$ अनंत बार $\alpha$ मान प्राप्त करेगा। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) दिया गया है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) \leq 100$ और $f(1/2) = 100$,इसलिए $x = 1/2$ पर $f(x)$ का अधिकतम मान है।
बहुपद $f(x)$ के लिए,यदि यह ऊपर से परिबद्ध है तो इसका अग्रणी गुणांक ऋणात्मक होना चाहिए।
कथन $(A)$ सत्य है क्योंकि यदि अग्रणी गुणांक धनात्मक होता,तो $x \to \infty$ के लिए $f(x) \to \infty$ हो जाता।
कथन $(C)$ आवश्यक रूप से सत्य नहीं है क्योंकि $f(x)$ अन्य बिंदुओं पर भी $100$ मान प्राप्त कर सकता है (उदाहरण के लिए $f(x) = -(x-1/2)^2(x-k)^2 + 100$)। अतः,$x \neq 1/2$ के लिए $f(x) = 100$ संभव है।

(D) दिया गया है $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$।
सबसे पहले,जाँचें कि क्या $f$ एकैकी है: $f(0) = 1$ और $f(1) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1$। चूँकि $f(0) = f(1)$,इसलिए $f$ एकैकी नहीं है।
अब,जाँचें कि क्या $f$ केवल धनात्मक मान लेता है:
स्थिति $1$: यदि $x \leq 0$ है,तो $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$। चूँकि $x^{12} \geq 0$,$-x^9 \geq 0$,$x^4 \geq 0$,और $-x \geq 0$ है,इसलिए $f(x) \geq 1 > 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: यदि $x > 1$ है,तो $f(x) = x^9(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + 1$। चूँकि $x > 1$ है,इसलिए $x^3 - 1 > 0$ है,अतः $f(x) > 1 > 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $3$: यदि $0 < x < 1$ है,तो $f(x) = (1 - x) + x^4(1 - x^5) + x^{12}$। चूँकि $0 < x < 1$ है,इसलिए $1 - x > 0$,$1 - x^5 > 0$,और $x^{12} > 0$ है,अतः $f(x) > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) > 0$ है,इसलिए $f$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है। अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(A) सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $a = (n+1)^{1/3}$ और $b = n^{1/3}$ है।
तब $f_n = a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = \frac{1}{(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}}$ है।
चूंकि $n < n+1$,हमारे पास $n^{2/3} < (n+1)^{2/3}$ है।
अतः,$3n^{2/3} < (n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3} < 3(n+1)^{2/3}$ है।
व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{1}{3(n+1)^{2/3}} < f_n < \frac{1}{3n^{2/3}}$ प्राप्त होता है।
$n$ को $n+1$ से बदलने पर,हमें $\frac{1}{3(n+2)^{2/3}} < f_{n+1} < \frac{1}{3(n+1)^{2/3}}$ प्राप्त होता है।
इन असमिकाओं को मिलाने पर,हमारे पास सभी $n \in N$ के लिए $f_{n+1} < \frac{1}{3(n+1)^{2/3}} < f_n$ है।
इसलिए,$A = N$ है।

(B) मान लीजिए कि $n$ ऑपरेशनों के बाद जार $J_1$ में तरल $X, Y, Z$ की मात्रा $x_n, y_n, z_n$ है।
शुरुआत में,$J_1$ में $100 \, ml$ $X$,$J_2$ में $100 \, ml$ $Y$,और $J_3$ में $100 \, ml$ $Z$ है।
एक ऑपरेशन के बाद,$J_1$ की संरचना बदल जाती है क्योंकि तरल बाहर निकाला जाता है और वापस लाया जाता है।
$n=4$ ऑपरेशनों के बाद,$X$ की मात्रा सबसे अधिक रहती है क्योंकि यह $J_1$ में शुरू हुआ था और केवल आंशिक रूप से हटाया गया था और आंशिक रूप से वापस लाया गया था।
$J_1$ में $Z$ की मात्रा बढ़ जाती है क्योंकि यह प्रत्येक ऑपरेशन के तीसरे चरण में $J_3$ से $J_1$ में स्थानांतरित हो जाता है।
$J_1$ में $Y$ की मात्रा सबसे कम है क्योंकि इसे $J_1$ तक पहुँचने से पहले $J_2$ और $J_3$ से गुजरना पड़ता है।
इस प्रकार,$J_1$ में मात्रा $x > z > y$ संबंध को संतुष्ट करती है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}$.
$f(x) + f(1-x) = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{4^{1-x}}{4^{1-x} + 2}$ पर विचार करें।
$= \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{4/4^x}{4/4^x + 2} = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{4}{4 + 2 \cdot 4^x} = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{2}{2 + 4^x} = \frac{4^x + 2}{4^x + 2} = 1$.
अतः,$f(x) + f(1-x) = 1$.
दिया गया योग $S = \sum_{k=1}^{2022} f\left(\frac{k}{2023}\right)$ है।
यहाँ कुल $2022$ पद हैं,इसलिए हम उन्हें $f\left(\frac{k}{2023}\right) + f\left(1 - \frac{k}{2023}\right) = 1$ के रूप में जोड़ सकते हैं।
ऐसी जोड़ियों की संख्या $\frac{2022}{2} = 1011$ है।
इसलिए,योग $1011 \times 1 = 1011$ होगा।

(B) मान लीजिए $h(x) = (fog)(x)$ है।
दिया गया है $h^{-1}(x) = \left(\frac{x-7}{2}\right)^{1/3}$।
$h(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = \left(\frac{x-7}{2}\right)^{1/3}$ है। तब $y^3 = \frac{x-7}{2}$,जिसका अर्थ है $x = 2y^3 + 7$। अतः,$h(x) = 2x^3 + 7$ है।
हमारे पास $(fog)(x) = f(g(x)) = a(x^b + c) - 3 = ax^b + ac - 3$ है।
$ax^b + ac - 3 = 2x^3 + 7$ की तुलना करने पर,हमें $a=2$,$b=3$,और $ac-3=7$ प्राप्त होता है,इसलिए $ac=10$ है। चूँकि $a=2$ है,इसलिए $c=5$ है।
अब,$(fog)(ac) = (fog)(10) = 2(10)^3 + 7 = 2000 + 7 = 2007$ है।
आगे,$(gof)(x) = g(f(x)) = g(ax-3) = (ax-3)^b + c = (2x-3)^3 + 5$ है।
इसलिए $(gof)(b) = (gof)(3) = (2(3)-3)^3 + 5 = (3)^3 + 5 = 27 + 5 = 32$ है।
अंत में,$(fog)(ac) + (gof)(b) = 2007 + 32 = 2039$ है।

(D) $x \geq 2$ के लिए दिया गया है,योग $S_x = \sum_{k=1}^{x} k f(k) = x(x+1) f(x)$.
$x+1$ के लिए,$S_{x+1} = S_x + (x+1) f(x+1) = (x+1)(x+2) f(x+1)$.
समीकरण में $S_x = x(x+1) f(x)$ रखने पर:
$x(x+1) f(x) + (x+1) f(x+1) = (x+1)(x+2) f(x+1)$.
$(x+1)$ से भाग देने पर (चूंकि $x \geq 2$):
$x f(x) + f(x+1) = (x+2) f(x+1)$.
$x f(x) = (x+1) f(x+1)$.
यह दर्शाता है कि $n \geq 2$ के लिए $n f(n)$ एक स्थिरांक है।
$x=2$ के लिए,$f(1) + 2 f(2) = 2(3) f(2) \Rightarrow 1 + 2 f(2) = 6 f(2) \Rightarrow 4 f(2) = 1 \Rightarrow f(2) = \frac{1}{4}$.
अतः,सभी $n \geq 2$ के लिए $n f(n) = 2 f(2) = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$n \geq 2$ के लिए $f(n) = \frac{1}{2n}$.
अतः,$f(2022) = \frac{1}{2 \times 2022} = \frac{1}{4044}$ और $f(2028) = \frac{1}{2 \times 2028} = \frac{1}{4056}$.
अंत में,$\frac{1}{f(2022)} + \frac{1}{f(2028)} = 4044 + 4056 = 8100$.

(A) हमें $\lim_{x \rightarrow 1} g(h(x-1))$ का मान ज्ञात करना है। मान लीजिए $t = x-1$ है। जैसे ही $x \rightarrow 1$,$t \rightarrow 0$ होता है। अतः,हम $\lim_{t \rightarrow 0} g(h(t))$ का मूल्यांकन करेंगे।
$h(t) = 2[t] - f(t)$.
$t \rightarrow 0^-$ के लिए,$[t] = -1$ और $f(t) = \frac{t}{|t|} = -1$ है। अतः,$h(t) = 2(-1) - (-1) = -2 + 1 = -1$ है।
तब,$\lim_{t \rightarrow 0^-} g(h(t)) = g(-1) = 1$ है।
$t \rightarrow 0^+$ के लिए,$[t] = 0$ और $f(t) = \frac{t}{|t|} = 1$ है। अतः,$h(t) = 2(0) - 1 = -1$ है।
तब,$\lim_{t \rightarrow 0^+} g(h(t)) = g(-1) = 1$ है।
चूँकि बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा समान हैं,इसलिए सीमा का मान $1$ है।

(B) दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 5, 8, 9\}$। शर्त है $f(m \cdot n) = f(m) \cdot f(n)$ जब $m, n, m \cdot n \in A$ हो।
$1$. $m=1, n=1$ के लिए: $f(1) = f(1) \cdot f(1) \implies f(1) = 1$ (चूंकि $f(1) \in A$ और $f(1) \neq 0$)।
$2$. $m=3, n=3$ के लिए: $f(9) = f(3) \cdot f(3) = (f(3))^2$। चूंकि $f(9) \in A$,$(f(3))^2$ को $A$ में होना चाहिए। $f(3)$ के लिए संभावित मान $1$ (चूंकि $1^2=1 \in A$) या $3$ (चूंकि $3^2=9 \in A$) हैं।
$3$. $f(2), f(5), f(8)$ के लिए कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं है,इसलिए वे $A$ के किसी भी $6$ तत्वों को ले सकते हैं।
कुल फलन = ($f(3)$ के लिए विकल्प) $\times$ ($f(2)$ के लिए विकल्प) $\times$ ($f(5)$ के लिए विकल्प) $\times$ ($f(8)$ के लिए विकल्प)
$= 2 \times 6 \times 6 \times 6 = 432$।

(B) संबंध $R$,समुच्चय $A \times B$ पर परिभाषित है। $A \times B$ में कुल अवयवों की संख्या $|A| \times |B| = 5 \times 5 = 25$ है।
$R$ का एक अवयव $A \times B$ से लिए गए अवयवों का एक क्रमित युग्म है,जैसे कि $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$,ताकि $a_1 \leq b_2$ और $b_1 \leq a_2$ हो।
मान लीजिए $S_1 = \{(a_1, b_2) \in A \times B : a_1 \leq b_2\}$।
$a_1 = 1$ के लिए,$b_2 \in \{2, 4, 5, 8, 10\}$ ($5$ विकल्प)।
$a_1 = 3$ के लिए,$b_2 \in \{4, 5, 8, 10\}$ ($4$ विकल्प)।
$a_1 = 4$ के लिए,$b_2 \in \{4, 5, 8, 10\}$ ($4$ विकल्प)।
$a_1 = 6$ के लिए,$b_2 \in \{8, 10\}$ ($2$ विकल्प)।
$a_1 = 9$ के लिए,$b_2 \in \{10\}$ ($1$ विकल्प)।
$a_1 \leq b_2$ के लिए कुल तरीके $5 + 4 + 4 + 2 + 1 = 16$ हैं।
मान लीजिए $S_2 = \{(b_1, a_2) \in B \times A : b_1 \leq a_2\}$।
$b_1 = 2$ के लिए,$a_2 \in \{3, 4, 6, 9\}$ ($4$ विकल्प)।
$b_1 = 4$ के लिए,$a_2 \in \{4, 6, 9\}$ ($3$ विकल्प)।
$b_1 = 5$ के लिए,$a_2 \in \{6, 9\}$ ($2$ विकल्प)।
$b_1 = 8$ के लिए,$a_2 \in \{9\}$ ($1$ विकल्प)।
$b_1 = 10$ के लिए,$a_2 \in \emptyset$ ($0$ विकल्प)।
$b_1 \leq a_2$ के लिए कुल तरीके $4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10$ हैं।
$R$ में अवयवों की संख्या प्रत्येक शर्त को पूरा करने के तरीकों का गुणनफल है: $16 \times 10 = 160$।

(A) दी गई शर्त $f(1) + f(2) = f(4) - 1$ को $f(1) + f(2) + 1 = f(4)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सह-प्रांत $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है,इसलिए $f(4)$ का अधिकतम मान $6$ है।
अतः,$f(1) + f(2) + 1 \leq 6$,जिसका अर्थ है $f(1) + f(2) \leq 5$।
हम $f(1)$ और $f(2)$ के लिए संभावित मानों का विश्लेषण करते हैं जहाँ $f(1), f(2) \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$:
स्थिति $(i)$: यदि $f(1) = 1$,तो $f(2) \in \{1, 2, 3, 4\}$,कुल $4$ जोड़े।
स्थिति $(ii)$: यदि $f(1) = 2$,तो $f(2) \in \{1, 2, 3\}$,कुल $3$ जोड़े।
स्थिति $(iii)$: यदि $f(1) = 3$,तो $f(2) \in \{1, 2\}$,कुल $2$ जोड़े।
स्थिति $(iv)$: यदि $f(1) = 4$,तो $f(2) = 1$,कुल $1$ जोड़ा।
$(f(1), f(2))$ के लिए कुल जोड़े $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ हैं।
प्रत्येक जोड़े के लिए,$f(4)$ का मान $f(1) + f(2) + 1$ के रूप में अद्वितीय रूप से निर्धारित होता है।
चूंकि $f(3)$ और $f(5)$ $B$ से कोई भी मान ले सकते हैं ($6$ तत्व),इसलिए $f(3)$ और $f(5)$ को चुनने के $6 \times 6 = 36$ तरीके हैं।
फलनों की कुल संख्या $= 10 \times 6 \times 6 = 360$।

(B) माना $f(x) = x|x-1| + |x+2|$ है। समीकरण $f(x) = -a$ है।
हम अंतरालों पर विचार करके फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं:
स्थिति $1$: $x < -2$ के लिए,$f(x) = -x^2 - 2$ है। जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$ है। $x = -2$ पर,$f(-2) = -6$ है।
स्थिति $2$: $-2 \le x < 1$ के लिए,$f(x) = -x^2 + 2x + 2$ है। $x = -2$ पर,$f(-2) = -6$ है। $x = 1$ पर,$f(1) = 3$ है।
स्थिति $3$: $x \ge 1$ के लिए,$f(x) = x^2 + 2$ है। $x = 1$ पर,$f(1) = 3$ है। जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ है।
फलन $f(x)$ अपने डोमेन पर निरंतर वर्धमान है। $f(x)$ का परिसर $(-\infty, \infty)$ है।
समीकरण $f(x) = -a$ का ठीक एक वास्तविक मूल होने के लिए,$-a$ कोई भी वास्तविक मान हो सकता है। अतः,$a \in (-\infty, \infty)$।

(D) दिया गया है $f(x) = 4\sqrt{2}x^3 - 3\sqrt{2}x - 1$,अंतराल $[\frac{1}{2}, 1]$ पर।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 12\sqrt{2}x^2 - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}(4x^2 - 1)$.
$x \in [\frac{1}{2}, 1]$ के लिए,$4x^2 \geq 1$,इसलिए $f'(x) \geq 0$. अतः,$f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
अंत बिंदुओं का मूल्यांकन करें: $f(\frac{1}{2}) = 4\sqrt{2}(\frac{1}{8}) - 3\sqrt{2}(\frac{1}{2}) - 1 = -\sqrt{2} - 1 < 0$.
$f(1) = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 1 = \sqrt{2} - 1 > 0$.
चूंकि $f(\frac{1}{2}) < 0$ और $f(1) > 0$,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$[\frac{1}{2}, 1]$ में ठीक एक मूल है। इसलिए,$(I)$ सही है।
$(II)$ के लिए,$f(x) = 0$ रखें: $\sqrt{2}(4x^3 - 3x) = 1 \Rightarrow 4x^3 - 3x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
माना $x = \cos \theta$. तब $\cos(3\theta) = \cos(\frac{\pi}{4})$.
$3\theta = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{12}$.
अतः,$x = \cos \frac{\pi}{12}$ एक मूल है। इसलिए,$(II)$ सही है।
अतः,$(I)$ और $(II)$ दोनों सही हैं।

(A) दिया गया है $f(x) = e^{x^3-3x+1}$ जहाँ $x \in (-\infty, -1]$ है।
अवकलन करने पर: $f'(x) = e^{x^3-3x+1} \cdot (3x^2-3) = 3e^{x^3-3x+1}(x-1)(x+1)$.
$x \in (-\infty, -1]$ के लिए,$x+1 \leq 0$ और $x-1 < 0$,इसलिए $(x-1)(x+1) \geq 0$.
अतः,$f'(x) \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ अंतराल $(-\infty, -1]$ पर एक वर्धमान फलन है।
चूँकि $f$ एकैकी और आच्छादक है,इसका परिसर $(a, b]$ है।
$a = \lim_{x \to -\infty} f(x) = e^{-\infty} = 0$.
$b = f(-1) = e^{(-1)^3 - 3(-1) + 1} = e^{-1+3+1} = e^3$.
इसलिए,$a=0$ और $b=e^3$.
बिंदु $P$ है $(2b+4, a+2) = (2e^3+4, 0+2) = (2e^3+4, 2)$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ की रेखा $Ax+By+C=0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ होती है।
यहाँ,रेखा $x + e^{-3}y - 4 = 0$ है,इसलिए $A=1, B=e^{-3}, C=-4$.
$d = \frac{|1(2e^3+4) + e^{-3}(2) - 4|}{\sqrt{1^2 + (e^{-3})^2}} = \frac{|2e^3+4+2e^{-3}-4|}{\sqrt{1+e^{-6}}} = \frac{2e^3+2e^{-3}}{\sqrt{1+e^{-6}}}$.
$d = \frac{2e^{-3}(e^6+1)}{\sqrt{\frac{e^6+1}{e^6}}} = \frac{2e^{-3}(e^6+1)}{\frac{\sqrt{e^6+1}}{e^3}} = 2\sqrt{e^6+1}$.

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x-1, & x \text{ सम है} \\ 2x, & x \text{ विषम है} \end{cases}$।
हमें $f(f(f(a))) = 21$ दिया गया है।
स्थिति $1$: यदि $a$ सम है,तो $f(a) = a-1$ (जो विषम है)। तब $f(f(a)) = 2(a-1) = 2a-2$ (जो सम है)। तब $f(f(f(a))) = (2a-2)-1 = 2a-3$। $2a-3 = 21$ रखने पर,हमें $2a = 24$ मिलता है,इसलिए $a = 12$।
स्थिति $2$: यदि $a$ विषम है,तो $f(a) = 2a$ (जो सम है)। तब $f(f(a)) = 2a-1$ (जो विषम है)। तब $f(f(f(a))) = 2(2a-1) = 4a-2$। $4a-2 = 21$ रखने पर,$4a = 23$ मिलता है,जिसका कोई पूर्णांक हल नहीं है।
अतः,$a = 12$।
अब,हम $\lim_{x \rightarrow 12^{-}} \left( \frac{|x|^3}{12} - \left[ \frac{x}{12} \right] \right)$ का मूल्यांकन करते हैं।
जैसे $x \rightarrow 12^{-}$,$x$ का मान $12$ से थोड़ा कम है,इसलिए $\frac{x}{12}$ का मान $1$ से थोड़ा कम है,जिसका अर्थ है कि $\left[ \frac{x}{12} \right] = 0$।
इसलिए,सीमा $\lim_{x \rightarrow 12^{-}} \frac{x^3}{12} - 0 = \frac{12^3}{12} = 12^2 = 144$ है।