Mix Examples of Relation and Function Questions in Hindi

(A) दिया गया है $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $f(x)=\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$ प्राप्त होता है।
हमें संबंध $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ दिया गया है।
दाहिनी ओर $f(x)$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right) = \log \left( \frac{10 + \frac{200x}{100+x^2}}{10 - \frac{200x}{100+x^2}} \right)$
$= \log \left( \frac{10(100+x^2) + 200x}{10(100+x^2) - 200x} \right)$
$= \log \left( \frac{1000 + 10x^2 + 200x}{1000 + 10x^2 - 200x} \right)$
$= \log \left( \frac{10(x^2 + 20x + 100)}{10(x^2 - 20x + 100)} \right)$
$= \log \left( \frac{(x+10)^2}{(10-x)^2} \right)$
$= 2 \log \left( \frac{10+x}{10-x} \right) = 2f(x)$।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $f(x) = k \cdot 2f(x)$।
चूंकि $x \in (-10, 10)$ के लिए $f(x) \neq 0$,इसलिए $1 = 2k$,जिसका अर्थ है कि $k = 0.5$।

(D) दिया गया है $f(x) = |x|$ और $g(x) = [x]$।
हमें $x \in R$ का वह समुच्चय ज्ञात करना है जिसके लिए $g(f(x)) \leq f(g(x))$ हो।
फलन का मान रखने पर,हमें $[|x|] \leq |[x]|$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $x \geq 0$ है,तो $|x| = x$ और $[x] \geq 0$ होता है। असमिका $[x] \leq |[x]|$ बन जाती है। चूंकि $[x]$ एक पूर्णांक है और $[x] \geq 0$ है,इसलिए $|[x]| = [x]$ होता है। अतः $[x] \leq [x]$,जो सभी $x \geq 0$ के लिए सत्य है।
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो मान लीजिए $x = -n - f$,जहाँ $n \geq 0$ एक पूर्णांक है और $0 \leq f < 1$ है। यदि $f=0$ है,तो $x = -n$ (एक पूर्णांक),तब $[|x|] = [n] = n$ और $|[x]| = |-n| = n$ होता है। अतः $n \leq n$ सत्य है।
यदि $0 < f < 1$ है,तो $x = -(n+f)$। $|x| = n+f$,इसलिए $[|x|] = [n+f] = n$ होता है। साथ ही $[x] = [-(n+f)] = -(n+1)$। तब $|[x]| = |-(n+1)| = n+1$ होता है। असमिका $n \leq n+1$ बन जाती है,जो सत्य है।
चूंकि असमिका सभी $x \in R$ के लिए सत्य है,इसलिए हल समुच्चय $R$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} -1, & -2 \leq x \leq 0 \\ x - 1, & 0 < x \leq 2 \end{cases}$ है।
हमें $x$ के उन मानों का समुच्चय ज्ञात करना है जिनके लिए $x \leq 0$ और $f(|x|) = x$ हो।
चूंकि $x \leq 0$,इसलिए $|x| = -x$ होता है।
इस मान को $f(|x|) = x$ शर्त में रखने पर,हमें $f(-x) = x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \leq 0$,इसलिए $-x \geq 0$ होता है।
यदि $-x = 0$,तो $x = 0$। शर्त की जाँच करने पर: $f(|0|) = f(0) = -1$। लेकिन $x = 0$,इसलिए $-1 \neq 0$।
यदि $-x > 0$,तो $-x$ अंतराल $(0, 2]$ में आता है।
$t \in (0, 2]$ के लिए फलन की परिभाषा $f(t) = t - 1$ का उपयोग करने पर,हमें $f(-x) = (-x) - 1$ प्राप्त होता है।
इसे $x$ के बराबर रखने पर,$-x - 1 = x$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर: $2x = -1$,जिससे $x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-\frac{1}{2} \leq 0$,यह मान मान्य है।
अतः,समुच्चय $\{-\frac{1}{2}\}$ है।

(D) फलन $f(x) = x^2$ के रूप में परिभाषित है।
$A$. $f$ एकैकी और आच्छादक है,यदि $A = B = R^{+}$.
$A = R^{+}$ के लिए,$f(x) = x^2$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए यह एकैकी है। चूँकि $B = R^{+}$ है,प्रत्येक $y \in R^{+}$ के लिए,$x = \sqrt{y} \in R^{+}$ मौजूद है ताकि $f(x) = y$,इसलिए यह आच्छादक है। अतः,$A \rightarrow 4$.
$B$. $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है,यदि $A = R^{+}, B = R$.
$A = R^{+}$ के लिए,$f(x) = x^2$ एकैकी है। चूँकि $B = R$ है,परिसर $R^{+}$ है,जो $B$ का एक उचित उपसमुच्चय है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः,$B \rightarrow 1$.
$C$. $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है,यदि $A = R, B = R^{+}$.
$A = R$ के लिए,$f(1) = 1$ और $f(-1) = 1$,इसलिए यह एकैकी नहीं है। चूँकि $B = R^{+}$ है,प्रत्येक $y \in R^{+}$ के लिए,$x = \pm \sqrt{y} \in R$ मौजूद है ताकि $f(x) = y$,इसलिए यह आच्छादक है। अतः,$C \rightarrow 3$.
$D$. $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है,यदि $A = B = R$.
$A = R$ के लिए,$f(1) = f(-1) = 1$,इसलिए यह एकैकी नहीं है। चूँकि $B = R$ है,परिसर $R^{+}$ है,जो $B$ का एक उचित उपसमुच्चय है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः,$D \rightarrow 2$.
अतः,सही मिलान $A \rightarrow 4, B \rightarrow 1, C \rightarrow 3, D \rightarrow 2$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{a x^{10} + b x^8 + c x^6 + d x^4 + e x^2 + 12 x + 15}{x}$.
प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करने पर:
$f(x) = a x^9 + b x^7 + c x^5 + d x^3 + e x + 12 + \frac{15}{x}$.
अब,$f(-x)$ पर विचार करें:
$f(-x) = a(-x)^9 + b(-x)^7 + c(-x)^5 + d(-x)^3 + e(-x) + 12 + \frac{15}{-x}$
$f(-x) = -(a x^9 + b x^7 + c x^5 + d x^3 + e x) + 12 - \frac{15}{x}$.
$f(x)$ और $f(-x)$ को जोड़ने पर:
$f(x) + f(-x) = 12 + 12 = 24$.
$x = 4$ के लिए:
$f(4) + f(-4) = 24$.
चूंकि $f(4) = -4$ दिया गया है:
$-4 + f(-4) = 24$
$f(-4) = 28$.

(D) यहाँ $X = \{0, 1, 2\}$ और $Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ है। हमें ऐसे अचर न होने वाले फलनों $f: X \to Y$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $f(0) \leq f(1) \leq f(2)$ हो।
चूँकि फलन अचर नहीं होना चाहिए,हम उस स्थिति को घटा देंगे जहाँ $f(0) = f(1) = f(2)$ हो।
गैर-घटते फलनों की कुल संख्या $\binom{n+r-1}{r} = \binom{8+3-1}{3} = \binom{10}{3} = 120$ है।
यहाँ $8$ अचर फलन हैं जहाँ $f(0) = f(1) = f(2) = k$ है।
अतः,अचर न होने वाले गैर-घटते फलनों की संख्या $120 - 8 = 112$ है।
वैकल्पिक रूप से,स्थितियों का योग:
स्थिति $I$: $f(0) < f(1) < f(2)$. तरीकों की संख्या = $\binom{8}{3} = 56$.
स्थिति $II$: $f(0) = f(1) < f(2)$. तरीकों की संख्या = $\binom{8}{2} = 28$.
स्थिति $III$: $f(0) < f(1) = f(2)$. तरीकों की संख्या = $\binom{8}{2} = 28$.
कुल = $56 + 28 + 28 = 112$.

(D) फलन $f(n)$,$n$ के सभी धनात्मक भाजकों का योग दर्शाता है।
संख्या $n = 2^k \cdot 3^1$ के लिए,भाजक $2^k$ के भाजकों और $3^1$ के भाजकों का गुणनफल होते हैं।
$2^k$ के भाजकों का योग $(1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^k) = \frac{2^{k+1}-1}{2-1} = 2^{k+1}-1$ है।
$3^1$ के भाजकों का योग $(1 + 3) = 4$ है।
चूंकि $f$ सह-अभाज्य कारकों के लिए एक गुणात्मक फलन है,$f(2^k \cdot 3) = f(2^k) \cdot f(3)$।
अतः,$f(2^k \cdot 3) = (2^{k+1}-1) \cdot 4 = 4(2^{k+1}-1)$।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}}$।
$e^x$ और $2e^{-x}$ के लिए $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{e^x + 2e^{-x}}{2} \geq \sqrt{e^x \cdot 2e^{-x}} = \sqrt{2}$।
अतः,$e^x + 2e^{-x} \geq 2\sqrt{2}$।
इसलिए,$f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}} \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$।
चूंकि $e^x + 2e^{-x} > 0$,इसलिए $0 < f(x) \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$।
अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
चूंकि $\frac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0.3535$ और $\frac{1}{3} \approx 0.3333$,इसलिए $\frac{1}{3} < \frac{1}{2\sqrt{2}}$।
फलन के सतत होने के कारण,मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,किसी $c \in R$ के लिए $f(c) = \frac{1}{3}$ होगा।
अतः,अभिकथन $(A)$ सत्य है और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(C) परिभाषा के अनुसार,$x \in f^{-1}(A - B)$ यदि और केवल यदि $f(x) \in A - B$ हो।
इसका अर्थ है कि $f(x) \in A$ और $f(x) \notin B$ है।
यह $x \in f^{-1}(A)$ और $x \notin f^{-1}(B)$ के समतुल्य है।
अतः,$x \in f^{-1}(A) - f^{-1}(B)$ है।
चूंकि यह दोनों दिशाओं में सत्य है,इसलिए $f^{-1}(A - B) = f^{-1}(A) - f^{-1}(B)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \right)$ है,जहाँ $x > 1$ है।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$f(x) = x \left( \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{x} \right)$
$f(x) = x \left( \frac{2x}{x^2 - 1} + \frac{1}{x} \right)$
$f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1} + 1$
$f(x) = \frac{2}{1 - \frac{1}{x^2}} + 1$
चूँकि $x > 1$ है,इसलिए $x^2 > 1$ होगा,जिसका अर्थ है कि $0 < \frac{1}{x^2} < 1$ है।
अतः,$0 < 1 - \frac{1}{x^2} < 1$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{1 - \frac{1}{x^2}} > 1$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$\frac{2}{1 - \frac{1}{x^2}} > 2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$f(x) > 2 + 1 = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) > 3$।

(C, D) एक फलन $f(x)$ सम है यदि $f(-x) = f(x)$ और विषम है यदि $f(-x) = -f(x)$।
$(a)$ $f(x) = x^{3} \sin x$. तब $f(-x) = (-x)^{3} \sin(-x) = (-x^{3})(-\sin x) = x^{3} \sin x = f(x)$. अतः,$f(x)$ सम है।
$(b)$ $f(x) = x^{2} \cos x$. तब $f(-x) = (-x)^{2} \cos(-x) = x^{2} \cos x = f(x)$. अतः,$f(x)$ सम है।
$(c)$ $f(x) = e^{x} x^{3} \sin x$. तब $f(-x) = e^{-x} (-x)^{3} \sin(-x) = e^{-x} x^{3} \sin x \neq f(x)$. अतः,$f(x)$ सम नहीं है।
$(d)$ $f(x) = x - [x]$. तब $f(-x) = -x - [-x]$. चूंकि $[-x] = -[x] - 1$ (गैर-पूर्णांक $x$ के लिए),$f(-x) = -x - (-[x] - 1) = -x + [x] + 1 = 1 - (x - [x]) = 1 - f(x) \neq f(x)$. अतः,$f(x)$ सम नहीं है।
इसलिए,विकल्प $(c)$ और $(d)$ सम फलन नहीं हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = [x]^2 - ([x] + 3) - 3 = [x]^2 - [x] - 6$.
गुणनखंड करने पर,$f(x) = ([x] - 3)([x] + 2)$.
$(1)$ $f(x) > 0$ के लिए,$[x] > 3$ या $[x] < -2$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $x \in [4, \infty)$ या $x \in (-\infty, -2)$। अतः,विकल्प $A$ गलत है।
$(2)$ $f(x) < 0$ के लिए,$-2 < [x] < 3$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $[x] \in \{-1, 0, 1, 2\}$।
इसका अर्थ है $x \in [-1, 3)$। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$(3)$ समाकलन की गणना: $\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 f(x) dx$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $f(x) = 0^2 - 0 - 6 = -6$.
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $f(x) = 1^2 - 1 - 6 = -6$.
अतः,$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 (-6) dx + \int_1^2 (-6) dx = -6 - 6 = -12$. विकल्प $C$ गलत है।
$(4)$ $f(x) = 0$ के लिए,$[x] = 3$ या $[x] = -2$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $x \in [3, 4)$ या $x \in [-2, -1)$,जिसमें अनंत मान शामिल हैं। विकल्प $D$ गलत है।

(A) सबसे पहले,हम समुच्चय $A$ के अवयव ज्ञात करते हैं:
$|(|x - 3| - 3)| \leq 1 \implies -1 \leq |x - 3| - 3 \leq 1$
$2 \leq |x - 3| \leq 4$
इसका अर्थ है $2 \leq x - 3 \leq 4$ या $-4 \leq x - 3 \leq -2$
$5 \leq x \leq 7$ या $-1 \leq x \leq 1$
चूंकि $x \in \mathbb{Z}$,$A = \{-1, 0, 1, 5, 6, 7\}$। $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 6$ है।
अब,हम समुच्चय $B$ के अवयव ज्ञात करते हैं:
$\frac{(x - 2)(x - 4)}{x - 1} \log_{e}(|x - 2|) = 0$
इसका अर्थ है $(x - 2)(x - 4) = 0$ या $\log_{e}(|x - 2|) = 0$।
यदि $(x - 2)(x - 4) = 0$,तो $x = 2$ या $x = 4$। चूंकि $x \in \mathbb{R} - \{1, 2\}$,हम $x = 4$ स्वीकार करते हैं।
यदि $\log_{e}(|x - 2|) = 0$,तो $|x - 2| = 1$,इसलिए $x - 2 = 1$ या $x - 2 = -1$।
इससे $x = 3$ या $x = 1$ प्राप्त होता है। चूंकि $x \in \mathbb{R} - \{1, 2\}$,हम $x = 3$ स्वीकार करते हैं।
अतः,$B = \{3, 4\}$,और $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 2$ है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय से $m$ अवयवों वाले समुच्चय पर आच्छादक फलनों की संख्या $m^n - \binom{m}{1}(m-1)^n + \binom{m}{2}(m-2)^n - \dots$ द्वारा दी जाती है।
$n = 6$ और $m = 2$ के लिए,आच्छादक फलनों की संख्या $2^6 - 2 = 64 - 2 = 62$ है।

(D) मान लीजिए $S = A \times B = \{(1,2), (1,3), (1,8), (4,2), (4,3), (4,8), (7,2), (7,3), (7,8)\}$ है।
संबंध $R$ को $S \times S$ पर परिभाषित किया गया है,जहाँ $|S| = 9$,इसलिए $|S \times S| = 81$ है।
हमें ऐसे युग्म $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$ खोजने हैं ताकि $(a_1 + a_2)$,$(b_1 + b_2)$ को विभाजित करे।
$a_1, a_2 \in \{1, 4, 7\}$ और $b_1, b_2 \in \{2, 3, 8\}$ के संयोजनों की जाँच करने पर:
$1$. यदि $a_1+a_2=2$ (अर्थात $a_1=1, a_2=1$),तो $b_1+b_2$ सम संख्या होनी चाहिए। संभावित $(b_1, b_2)$ युग्म $(2,2), (2,8), (3,3), (8,2), (8,8)$ हैं। ($5$ युग्म)
$2$. यदि $a_1+a_2=8$ (अर्थात $(1,7), (7,1), (4,4)$),तो $b_1+b_2$ को $8$ का गुणज होना चाहिए।
- $(1,7)$ के लिए,$b_1+b_2$ का मान $8$ या $16$ हो सकता है। युग्म: $(2,8), (8,2), (8,8)$। ($3$ युग्म)
- $(7,1)$ के लिए,$b_1+b_2$ का मान $8$ या $16$ हो सकता है। युग्म: $(2,8), (8,2), (8,8)$। ($3$ युग्म)
- $(4,4)$ के लिए,$b_1+b_2$ का मान $8$ या $16$ हो सकता है। युग्म: $(2,8), (8,2), (8,8)$। ($3$ युग्म)
$3$. यदि $a_1+a_2=14$ (अर्थात $(7,7)$),तो $b_1+b_2$ को $14$ का गुणज होना चाहिए। कोई भी युग्म $14$ नहीं जोड़ता है। ($0$ युग्म)
$4$. यदि $a_1+a_2=5$ (अर्थात $(1,4), (4,1)$),तो $b_1+b_2$ को $5$ का गुणज होना चाहिए। युग्म: $(2,3), (3,2)$। ($2$ युग्म प्रत्येक,कुल $4$ युग्म)
$5$. यदि $a_1+a_2=11$ (अर्थात $(4,7), (7,4)$),तो $b_1+b_2$ को $11$ का गुणज होना चाहिए। कोई भी युग्म $11$ नहीं जोड़ता है। ($0$ युग्म)
कुल योग: $5 + 3 + 3 + 3 + 4 = 18$।

(A) संबंध $R, A \times A$ पर परिभाषित है जहाँ $A = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
शर्त $(x, y) R (z, w) \iff x|z$ और $y \le w$ है,जहाँ $(x, y), (z, w) \in A \times A$ है।
ऐसे क्रमित युग्मों की कुल संख्या $(\sum_{x \in A} \sum_{z \in A, x|z} 1) \times (\sum_{y \in A} \sum_{w \in A, y \le w} 1)$ द्वारा दी जाती है।
$x|z$ के लिए:
यदि $x=2$,तो $z \in \{2, 4, 6\}$ ($3$ मान)।
यदि $x=3$,तो $z \in \{3, 6\}$ ($2$ मान)।
यदि $x=4$,तो $z \in \{4\}$ ($1$ मान)।
यदि $x=5$,तो $z \in \{5\}$ ($1$ मान)।
यदि $x=6$,तो $z \in \{6\}$ ($1$ मान)।
$(x, z)$ के लिए कुल युग्म $3+2+1+1+1 = 8$ हैं।
$y \le w$ के लिए:
यदि $y=2$,तो $w \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ ($5$ मान)।
यदि $y=3$,तो $w \in \{3, 4, 5, 6\}$ ($4$ मान)।
यदि $y=4$,तो $w \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ मान)।
यदि $y=5$,तो $w \in \{5, 6\}$ ($2$ मान)।
यदि $y=6$,तो $w \in \{6\}$ ($1$ मान)।
$(y, w)$ के लिए कुल युग्म $5+4+3+2+1 = 15$ हैं।
$R$ में कुल अवयव $= 8 \times 15 = 120$ हैं।