Mix Examples of Relation and Function Questions in Hindi

(A) दिया गया है $S = (0,1) \cup (1,2) \cup (3,4)$ और $T = \{0, 1, 2, 3\}$।
$(A)$ चूंकि $S$ एक अनंत समुच्चय है और $T$ में $4$ अवयव हैं,$S$ से $T$ तक $4^{|S|}$ फलन हैं। चूंकि $|S|$ अनंत है,इसलिए अनंत फलन संभव हैं। अतः,$(A)$ सत्य है।
$(B)$ $S$ के प्रत्येक जुड़े हुए घटक के लिए,सतत फलन का प्रतिबिंब भी जुड़ा हुआ होना चाहिए। $T$ एक विविक्त समुच्चय है,इसलिए फलन को प्रत्येक घटक पर अचर होना चाहिए। $T$ परिमित है,इसलिए ऐसे फलनों की संख्या परिमित है। अतः,$(B)$ असत्य है।
$(C)$ $S$ से $T$ तक एक सतत फलन को $S$ के प्रत्येक जुड़े हुए घटक पर अचर होना चाहिए। $S$ के $3$ घटक हैं और प्रत्येक के लिए $4$ विकल्प हैं,इसलिए कुल $4 \times 4 \times 4 = 64$ फलन हैं। चूंकि $64 \le 120$,इसलिए $(C)$ सत्य है।
$(D)$ $S$ के प्रत्येक घटक पर सतत फलन अचर होता है,और एक अचर फलन अवकलनीय होता है। अतः,$(D)$ सत्य है।
अतः,सही कथन $(A)$,$(C)$ और $(D)$ हैं।

(A) विकल्प $[A]$ के लिए,मान लीजिए $g(x) = e^x - \int_0^x f(t) \sin t \, dt$ है। चूँकि $f(t) \in (0,1)$ और $\sin t \in [0,1]$ है,इसलिए समाकलन $\int_0^x f(t) \sin t \, dt < x$ होगा। अतः $g(x) > e^x - x$ है। चूँकि $e^x - x > 0$ है,इसलिए $g(x)$ कभी शून्य नहीं हो सकता।
विकल्प $[B]$ के लिए,मान लीजिए $h(x) = x^9 - f(x)$ है। चूँकि $f(x) \in (0,1)$ है,इसलिए $h(0) = -f(0) < 0$ और $h(1) = 1 - f(1) > 0$ है। Intermediate Value Theorem $(IVT)$ के अनुसार,कोई $c \in (0,1)$ मौजूद है जिसके लिए $h(c) = 0$ है।
विकल्प $[C]$ के लिए,मान लीजिए $k(x) = f(x) + \int_0^{\pi/2} f(t) \sin t \, dt$ है। चूँकि $f(x) > 0$ और समाकलन धनात्मक है,इसलिए $k(x) > 0$ है। अतः यह शून्य नहीं हो सकता।
विकल्प $[D]$ के लिए,मान लीजिए $m(x) = x - \int_0^{\pi/2 - x} f(t) \cos t \, dt$ है। चूँकि $m(0) < 0$ और $m(1) > 0$ है,$IVT$ के अनुसार कोई $c \in (0,1)$ मौजूद है जिसके लिए $m(c) = 0$ है।

(C, B) $f(x) = \sin(\pi \cos x)$ के लिए,$f(x) = 0 \implies \pi \cos x = n\pi \implies \cos x = n$. चूँकि $n \in \mathbb{Z}$ और $|\cos x| \le 1$,इसलिए $n \in \{-1, 0, 1\}$। अतः $x = n\pi$ या $x = n\pi \pm \frac{\pi}{2}$,जो $x = \frac{k\pi}{2}$ $(k \in \mathbb{N})$ में सरल हो जाता है। $X = \{\frac{k\pi}{2} : k \in \mathbb{N}\}$। यह $\frac{\pi}{2}$ के सार्व अंतर वाली एक समांतर श्रेणी है। अतः $(I) \to (Q)$।
$f'(x) = \cos(\pi \cos x) \cdot (-\pi \sin x) = 0$ के लिए। या तो $\sin x = 0 \implies x = n\pi$ या $\cos(\pi \cos x) = 0 \implies \pi \cos x = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \cos x = \pm \frac{1}{2}$। $Y = \{n\pi, n\pi \pm \frac{\pi}{3}\}$। यह समांतर श्रेणी नहीं है। $Y$ में $\{\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi\}$ शामिल है। अतः $(II) \to (R), (T)$।
$g(x) = \cos(2\pi \sin x) = 0 \implies 2\pi \sin x = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \sin x = \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{3}{4}$। यह समांतर श्रेणी नहीं है। अतः $(III) \to (R)$।
$g'(x) = -\sin(2\pi \sin x) \cdot (2\pi \cos x) = 0$ के लिए। या तो $\cos x = 0 \implies x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ या $\sin(2\pi \sin x) = 0 \implies 2\pi \sin x = n\pi \implies \sin x = \frac{n}{2}$। अतः $\sin x \in \{0, \pm \frac{1}{2}, \pm 1\}$। $W$ में $\{\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}\}$ शामिल है। अतः $(IV) \to (S)$।
मिलान: प्रश्न $(1)$ के लिए सही विकल्प $(4)$ है और प्रश्न $(2)$ के लिए सही विकल्प $(2)$ है।

(B) माना $\theta = \pi x - \frac{\pi}{4}$। चूंकि $x \in [0, 2]$,$\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$।
तब $2\pi x = 2\theta + \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin(2\pi x) = \cos(2\theta)$।
साथ ही $3\pi x + \frac{\pi}{4} = 3(\theta + \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = 3\theta + \pi$,इसलिए $\sin(3\pi x + \frac{\pi}{4}) = \sin(3\theta + \pi) = -\sin(3\theta)$।
असमिका $f(x) \geq 0$ का रूप $(3 - \cos(2\theta)) \sin \theta - (-\sin(3\theta)) \geq 0$ हो जाता है।
$(3 - (1 - 2\sin^2 \theta)) \sin \theta + \sin(3\theta) \geq 0$।
$(2 + 2\sin^2 \theta) \sin \theta + (3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) \geq 0$।
$2\sin \theta + 2\sin^3 \theta + 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta \geq 0$।
$5\sin \theta - 2\sin^3 \theta \geq 0 \Rightarrow \sin \theta (5 - 2\sin^2 \theta) \geq 0$।
चूंकि सभी $\theta$ के लिए $5 - 2\sin^2 \theta > 0$,इसलिए $\sin \theta \geq 0$ होना चाहिए।
अतः,$\theta \in [0, \pi]$।
$0 \leq \pi x - \frac{\pi}{4} \leq \pi$ $\Rightarrow \frac{\pi}{4} \leq \pi x \leq \frac{5\pi}{4}$ $\Rightarrow x \in [\frac{1}{4}, \frac{5}{4}]$।
इसलिए,$\alpha = \frac{1}{4}$ और $\beta = \frac{5}{4}$,अतः $\beta - \alpha = 1$।

(A) गुणधर्म $f(x) + f(1-x) = 1$ का उपयोग करने पर।
यहाँ $39$ पदों का योग है,जिसमें मध्य पद $f\left(\frac{1}{2}\right)$ है।
$19$ युग्मों का योग $1$ होता है,इसलिए कुल योग $19 + f\left(\frac{1}{2}\right)$ होगा।
अतः,$19 + f\left(\frac{1}{2}\right) - f\left(\frac{1}{2}\right) = 19$.

(AB) दिया गया है कि $f(\cos 4 \theta) = \frac{2}{2-\sec^2 \theta}$.
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} = \frac{2}{1+\cos 2 \theta}$.
इसे $f(\cos 4 \theta)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(\cos 4 \theta) = \frac{2}{2 - \frac{2}{1+\cos 2 \theta}} = \frac{2(1+\cos 2 \theta)}{2(1+\cos 2 \theta) - 2} = \frac{1+\cos 2 \theta}{\cos 2 \theta} = 1 + \frac{1}{\cos 2 \theta}$.
अब,मान लीजिए $\cos 4 \theta = \frac{1}{3}$.
सर्वसमिका $\cos 4 \theta = 2 \cos^2 2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \cos^2 2 \theta - 1 = \frac{1}{3} \Rightarrow 2 \cos^2 2 \theta = \frac{4}{3} \Rightarrow \cos^2 2 \theta = \frac{2}{3}$.
अतः,$\cos 2 \theta = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$.
इस मान को $f(\cos 4 \theta)$ के व्यंजक में रखने पर:
$f\left(\frac{1}{3}\right) = 1 + \frac{1}{\pm \sqrt{2/3}} = 1 \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$.
अतः,मान $1+\sqrt{\frac{3}{2}}$ और $1-\sqrt{\frac{3}{2}}$ हैं।

(A, C) चरण $1$: विषम/सम फलन की जाँच करें।
$f(-x) = (\log(\sec(-x) + \tan(-x)))^3 = (\log(\sec x - \tan x))^3$.
चूंकि $\sec x - \tan x = \frac{1}{\sec x + \tan x}$,इसलिए $\log(\sec x - \tan x) = \log((\sec x + \tan x)^{-1}) = -\log(\sec x + \tan x)$.
अतः,$f(-x) = (-\log(\sec x + \tan x))^3 = -(\log(\sec x + \tan x))^3 = -f(x)$.
इसलिए,$f(x)$ एक विषम फलन है।
चरण $2$: एकैकी फलन की जाँच करें।
$f'(x) = 3(\log(\sec x + \tan x))^2 \cdot \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot (\sec x \tan x + \sec^2 x) = 3(\log(\sec x + \tan x))^2 \cdot \sec x$.
चूंकि $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए $\sec x > 0$ है और $(\log(\sec x + \tan x))^2 \ge 0$ है,इसलिए $f'(x) \ge 0$ है। फलन निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह एक एकैकी फलन है।
चरण $3$: आच्छादक फलन की जाँच करें।
जैसे $x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-$,$\sec x + \tan x \rightarrow \infty$,इसलिए $f(x) \rightarrow \infty$.
जैसे $x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^+$,$\sec x + \tan x \rightarrow 0^+$,इसलिए $\log(\sec x + \tan x) \rightarrow -\infty$,और $f(x) \rightarrow -\infty$.
चूंकि परिसर $(-\infty, \infty) = \mathbb{R}$ है,इसलिए फलन आच्छादक है।
निष्कर्ष: $f(x)$ एक विषम फलन और आच्छादक फलन है।

(D) $1$. $f_4(x)$ का विश्लेषण:
$f_2(f_1(x)) = (f_1(x))^2 = \begin{cases} x^2 & x < 0 \\ e^{2x} & x \geq 0 \end{cases}$
$f_4(x) = \begin{cases} x^2 & x < 0 \\ e^{2x} - 1 & x \geq 0 \end{cases}$
$x=0$ पर,$f_4(0) = e^0 - 1 = 0$. $\lim_{x \to 0^-} f_4(x) = 0$. अतः $f_4$ संतत है। यह बहु-एक (many-one) है (उदा.,$f_4(-1) = 1, f_4(\frac{1}{2}\ln 2) = 1$)। परिसर $[0, \infty)$ है,इसलिए यह आच्छादक है। अतः $P \to 1$.
$2$. $f_3(x)$ का विश्लेषण:
$f_3(x) = \begin{cases} \sin x & x < 0 \\ x & x \geq 0 \end{cases}$
$x=0$ पर,$f_3(0) = 0$. $\lim_{x \to 0^-} \sin x = 0$. संतत है। $f_3'(0^-) = \cos(0) = 1$,$f_3'(0^+) = 1$. अवकलनीय है। यह बहु-एक है (उदा.,$f_3(-\pi) = 0, f_3(0) = 0$)। अतः $Q \to 3$.
$3$. $f_2 \circ f_1(x)$ का विश्लेषण:
$(f_2 \circ f_1)(x) = \begin{cases} x^2 & x < 0 \\ e^{2x} & x \geq 0 \end{cases}$
$x=0$ पर,$LHL = 0, RHL = 1$. असंतत है। अतः $R \to 2$.
$4$. $[0, \infty)$ पर $f_2(x) = x^2$ का विश्लेषण:
यह वर्धमान फलन है,इसलिए एकैकी है। संतत है। अतः $S \to 4$.
मिलान: $P-1, Q-3, R-2, S-4$. सही विकल्प $(D)$ है।

(A) सबसे पहले,फलनों का विश्लेषण करें:
$f(x) = \begin{cases} x|x| \sin(1/x), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$
$g(x) = \begin{cases} 1-2x, & 0 \leq x \leq 1/2 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
$g(1/2-x) = \begin{cases} 2x, & 0 \leq 1/2-x \leq 1/2 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases} = \begin{cases} 2x, & 0 \leq x \leq 1/2 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
अतः,$g(x) + g(1/2-x) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1/2 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
$(P)$ यदि $a=0, b=1, c=0, d=0$ है,तो $h(x) = g(x) + g(1/2-x)$। परिसर $\{0, 1\}$ है। यह $(5)$ से मेल खाता है।
$(Q)$ यदि $a=1, b=0, c=0, d=0$ है,तो $h(x) = f(x)$। $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय है क्योंकि $\lim_{x \to 0} \frac{x|x| \sin(1/x) - 0}{x} = \lim_{x \to 0} |x| \sin(1/x) = 0$। यह $(3)$ से मेल खाता है।
$(R)$ यदि $a=0, b=0, c=1, d=0$ है,तो $h(x) = x - g(x) = \begin{cases} x - (1-2x) = 3x-1, & 0 \leq x \leq 1/2 \\ x, & \text{अन्यथा} \end{cases}$। यह फलन आच्छादक है। यह $(2)$ से मेल खाता है।
$(S)$ यदि $a=0, b=0, c=0, d=1$ है,तो $h(x) = g(x) = \begin{cases} 1-2x, & 0 \leq x \leq 1/2 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$। परिसर $[0, 1]$ है। यह $(4)$ से मेल खाता है।
इसलिए,$(P) \to (5), (Q) \to (3), (R) \to (2), (S) \to (4)$।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{(x^{2023} + 2024x + 2025)}{e^{\pi x}(x^2 - x + 3)} (\sin x + 2)$.
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{\pi x} > 0$ है और $x^2 - x + 3$ का विविक्तकर $D = 1 - 12 = -11 < 0$ है,इसलिए $x^2 - x + 3$ हमेशा धनात्मक है।
साथ ही,$-1 \leq \sin x \leq 1$,इसलिए $(\sin x + 2) \geq 1$,जिसका अर्थ है कि $(\sin x + 2)$ कभी शून्य नहीं होता है।
अतः,$f(x) = 0$ तभी होगा जब $x^{2023} + 2024x + 2025 = 0$ हो।
मान लीजिए $\phi(x) = x^{2023} + 2024x + 2025$.
तब $\phi'(x) = 2023x^{2022} + 2024$। चूंकि $x^{2022} \geq 0$,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $\phi'(x) > 0$ है।
अतः,$\phi(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
चूंकि $\phi(x)$ सतत और निरंतर वर्धमान फलन है,यह $R$ में प्रत्येक मान को केवल एक बार धारण करता है।
इसलिए,$\phi(x) = 0$ का केवल एक वास्तविक हल है।
अतः,$f(x) = 0$ के हलों की संख्या $1$ है।

(A) सबसे पहले,हम उन युग्मों $(a, b)$ की संख्या निर्धारित करते हैं जिनके लिए $a, b \in S$ और $|a-b| \geq 2$ है।
प्रत्येक $a \in S$ के लिए,संभावित $b$ मानों की संख्या है:
- यदि $a=1$,$b \in \{3, 4, 5, 6\}$ ($4$ मान)
- यदि $a=2$,$b \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ मान)
- यदि $a=3$,$b \in \{1, 5, 6\}$ ($3$ मान)
- यदि $a=4$,$b \in \{1, 2, 6\}$ ($3$ मान)
- यदि $a=5$,$b \in \{1, 2, 3\}$ ($3$ मान)
- यदि $a=6$,$b \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ मान)
ऐसे युग्मों की कुल संख्या $4+3+3+3+3+4 = 20$ है।
चूंकि $R$ में इन $20$ युग्मों में से ठीक $6$ अवयव होने चाहिए,इसलिए $n(X) = {}^{20}C_{6}$,अतः $m = 20$ है।
$n(Y)$ के लिए,$R$ का परिसर ठीक एक अवयव रखता है,जिसका अर्थ है कि $R$ में सभी $6$ युग्मों $(a, b)$ के लिए $b$ समान होना चाहिए। हालाँकि,किसी भी निश्चित $b$ के लिए,$a$ के अधिकतम $5$ मान ही ऐसे मिल सकते हैं कि $|a-b| \geq 2$ हो। अतः,$n(Y) = 0$ है।
$n(Z)$ के लिए,$R$ एक फलन है,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक $a \in S$ के लिए,ठीक एक $b$ ऐसा है कि $(a, b) \in R$ और $|a-b| \geq 2$ है। प्रत्येक $a$ के लिए विकल्पों की संख्या क्रमशः $4, 3, 3, 3, 3, 4$ है। अतः,$n(Z) = 4 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 4 = 1296 = 36^{2}$ है।
इसलिए,$n(Y) + n(Z) = 0 + 36^{2} = 36^{2}$,अतः $|k| = 36$ है।

(B) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक कुल फलनों की संख्या $|B|^{|A|} = 4^4 = 256$ है।
एकैकी (one-one) फलनों की संख्या $4! = 24$ है।
अनेक-एक (many-one) फलनों की संख्या $\text{कुल} - \text{एकैकी} = 256 - 24 = 232$ है।
अब,हमें उन अनेक-एक फलनों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें $1 \in f(A)$ हो।
यह संख्या = $(\text{कुल अनेक-एक फलन}) - (\text{वे अनेक-एक फलन जिनमें } 1 \notin f(A))$ के बराबर है।
यदि $1 \notin f(A)$ है,तो फलन का परिसर $\{4, 9, 16\}$ का उपसमुच्चय होगा।
$A$ से $\{4, 9, 16\}$ तक कुल फलनों की संख्या $3^4 = 81$ है।
इन $81$ फलनों में एकैकी फलनों की संख्या $0$ है (क्योंकि $|A| > |\{4, 9, 16\}|$)।
अतः,ये सभी $81$ फलन अनेक-एक हैं।
इसलिए,$1 \in f(A)$ वाले अनेक-एक फलनों की संख्या $232 - 81 = 151$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{2^{x+2} + 16}{2^{2x+1} + 2^{x+4} + 32} = \frac{2}{2^x + 4}$.
$f(4-x) = \frac{2^x}{2(2^x + 4)}$ प्राप्त होता है।
अतः $f(x) + f(4-x) = \frac{1}{2}$.
कुल $59$ पद हैं,जिनमें $29$ युग्मों का योग $\frac{1}{2}$ है और मध्य पद $f(2) = \frac{1}{4}$ है।
योग $S = 29 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{59}{4}$.
अतः $8 \cdot S = 8 \cdot \frac{59}{4} = 118$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}}$.
$f(1-x) = \frac{2^{1-x}}{2^{1-x} + \sqrt{2}} = \frac{2/2^x}{2/2^x + \sqrt{2}} = \frac{2}{2 + \sqrt{2} \cdot 2^x} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 2^x}$ प्राप्त करते हैं।
अतः,$f(x) + f(1-x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2^x + \sqrt{2}} = \frac{2^x + \sqrt{2}}{2^x + \sqrt{2}} = 1$ है।
हमें $S = \sum_{k=1}^{81} f\left(\frac{k}{82}\right) = f\left(\frac{1}{82}\right) + f\left(\frac{2}{82}\right) + \dots + f\left(\frac{81}{82}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
पदों को युग्मित करने पर $f\left(\frac{k}{82}\right) + f\left(1 - \frac{k}{82}\right) = f\left(\frac{k}{82}\right) + f\left(\frac{82-k}{82}\right) = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ $40$ ऐसे युग्म हैं ($k=1$ से $40$ तक) और मध्य पद $f\left(\frac{41}{82}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)$ है।
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2^{1/2}}{2^{1/2} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$S = 40 \times 1 + \frac{1}{2} = \frac{81}{2}$।

(D) दिया गया है $S = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$।
संबंध $\log_e y = x \log_e \left(\frac{2}{5}\right)$ से,हमें मिलता है $\log_e y = \log_e \left(\left(\frac{2}{5}\right)^x\right)$।
इसका अर्थ है $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$।
चूंकि $x \in S$,$R$ का परिसर $x = 0, 1, 2, \dots$ के लिए $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$ मानों का समुच्चय है।
परिसर $= \left\{ \left(\frac{2}{5}\right)^0, \left(\frac{2}{5}\right)^1, \left(\frac{2}{5}\right)^2, \dots \right\} = \left\{ 1, \frac{2}{5}, \left(\frac{2}{5}\right)^2, \dots \right\}$।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{5}$ है।
परिसर के तत्वों का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$ है।

(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)f(y)$ और $f(x)>0$,अतः फलन $f(x)=k^x$ के रूप का है।
चूँकि $f(a_{31})=64 f(a_{25})$,हमारे पास $k^{a+30d}=64 k^{a+24d}$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद और $d$ सार्व अंतर है।
यह $k^{6d}=64$ में सरल हो जाता है,अतः $k^d=2$ है।
योग $\sum_{i=1}^{50} f(a_i) = k^a \frac{(k^d)^{50}-1}{k^d-1} = k^a(2^{50}-1)$ है।
दिया गया है कि $k^a(2^{50}-1) = 3(2^{25}+1)$,अतः $k^a = \frac{3}{2^{25}-1}$ है।
हमें $\sum_{i=6}^{30} f(a_i) = k^{a+5d} \frac{(k^d)^{25}-1}{k^d-1} = k^a (k^d)^5 (2^{25}-1)$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $\frac{3}{2^{25}-1} \cdot 2^5 \cdot (2^{25}-1) = 3 \cdot 32 = 96$।

(D) दिया गया है $f(x) = \log_{e}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
हमें $f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
$f(x)$ में $x$ के स्थान पर $\frac{2x}{1+x^2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \log_{e}\left(\frac{1-\frac{2x}{1+x^2}}{1+\frac{2x}{1+x^2}}\right)$
$= \log_{e}\left(\frac{\frac{1+x^2-2x}{1+x^2}}{\frac{1+x^2+2x}{1+x^2}}\right)$
$= \log_{e}\left(\frac{(1-x)^2}{(1+x)^2}\right)$
$= \log_{e}\left(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2\right)$
$= 2\log_{e}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$
$= 2f(x)$.

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = \sec \left[ \log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \right]$ सम है या विषम,हम $f(-x)$ का मूल्यांकन करते हैं।
सबसे पहले,आंतरिक फलन $g(x) = \log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)$ पर विचार करें।
$g(-x) = \log \left( -x + \sqrt{1 + (-x)^2} \right) = \log \left( \sqrt{1 + x^2} - x \right)$.
अंश और हर को $\left( \sqrt{1 + x^2} + x \right)$ से गुणा और भाग करने पर:
$g(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt{1 + x^2} - x)(\sqrt{1 + x^2} + x)}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = \log \left( \frac{1 + x^2 - x^2}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = \log \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = -\log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) = -g(x)$.
चूंकि $g(x)$ एक विषम फलन है,हमारे पास $f(-x) = \sec(g(-x)) = \sec(-g(x))$ है।
चूंकि $\sec(\theta)$ एक सम फलन है,$\sec(-g(x)) = \sec(g(x)) = f(x)$।
अतः,$f(-x) = f(x)$,जिसका अर्थ है कि यह फलन एक सम फलन है।

(D) दिया गया है $f(x) = \cos(\log x)$.
हमें $f(x^2) \cdot f(y^2) - \frac{1}{2} \left[ f\left(\frac{x^2}{y^2}\right) + f(x^2 y^2) \right]$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,पदों की गणना करें:
$f(x^2) = \cos(\log x^2) = \cos(2 \log x)$
$f(y^2) = \cos(\log y^2) = \cos(2 \log y)$
$f\left(\frac{x^2}{y^2}\right) = \cos(\log \frac{x^2}{y^2}) = \cos(2 \log x - 2 \log y)$
$f(x^2 y^2) = \cos(\log x^2 y^2) = \cos(2 \log x + 2 \log y)$
मान लीजिए $A = 2 \log x$ और $B = 2 \log y$ है।
व्यंजक $\cos A \cdot \cos B - \frac{1}{2} [\cos(A - B) + \cos(A + B)]$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$\cos A \cos B - \frac{1}{2} [2 \cos A \cos B] = \cos A \cos B - \cos A \cos B = 0$.

(C) दिया गया है $f(x) = \cos(\log x)$।
हमें व्यंजक $E = f(x) \cdot f(y) - \frac{1}{2} \left( f\left(\frac{x}{y}\right) + f(xy) \right)$ का मान ज्ञात करना है।
फलन की परिभाषा प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \cos(\log x) \cdot \cos(\log y) - \frac{1}{2} \left( \cos(\log(x/y)) + \cos(\log(xy)) \right)$।
लघुगणक के गुणों $\log(x/y) = \log x - \log y$ और $\log(xy) = \log x + \log y$ का उपयोग करने पर:
$E = \cos(\log x) \cdot \cos(\log y) - \frac{1}{2} \left( \cos(\log x - \log y) + \cos(\log x + \log y) \right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = \log x$ और $B = \log y$:
$E = \cos(\log x) \cdot \cos(\log y) - \frac{1}{2} \left( 2 \cos(\log x) \cos(\log y) \right)$।
$E = \cos(\log x) \cdot \cos(\log y) - \cos(\log x) \cdot \cos(\log y) = 0$।

(B) दिया गया है कि $f(x)=3[x]+5\{x+1\}$।
$x=-1.32$ के लिए,$[x]=[-1.32]=-2$ होता है।
साथ ही,$x+1=-1.32+1=-0.32$ होता है।
हम जानते हैं कि $\{x+1\} = (x+1) - [x+1] = -0.32 - [-0.32] = -0.32 - (-1) = 0.68$।
अब,फलन में मान रखने पर:
$f(-1.32) = 3(-2) + 5(0.68)$
$f(-1.32) = -6 + 3.4 = -2.6$।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$x = [x] + \{x\}$,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है और $\{x\}$ भिन्नात्मक भाग फलन है।
$x = -1.4$ के लिए,महत्तम पूर्णांक $[x] = [-1.4] = -2$ होगा।
अतः,भिन्नात्मक भाग $\{x\} = x - [x] = -1.4 - (-2) = 0.6$ होगा।
दिया गया फलन $f(x) = 2\{x\} + 5x$ है।
फलन में $x = -1.4$ और $\{x\} = 0.6$ रखने पर:
$f(-1.4) = 2(0.6) + 5(-1.4)$
$f(-1.4) = 1.2 - 7.0$
$f(-1.4) = -5.8$.

(D) दिया गया है $f(x)=\frac{2^{x}+2^{-x}}{2}$.
अब,$f(x+y)=\frac{2^{x+y}+2^{-(x+y)}}{2}$ और $f(x-y)=\frac{2^{x-y}+2^{-(x-y)}}{2}$.
अतः,$f(x+y) \cdot f(x-y) = \frac{2^{x+y}+2^{-x-y}}{2} \cdot \frac{2^{x-y}+2^{-x+y}}{2}$.
$= \frac{1}{4} [2^{x+y} \cdot 2^{x-y} + 2^{x+y} \cdot 2^{-x+y} + 2^{-x-y} \cdot 2^{x-y} + 2^{-x-y} \cdot 2^{-x+y}]$.
$= \frac{1}{4} [2^{2x} + 2^{2y} + 2^{-2y} + 2^{-2x}]$.
$= \frac{1}{4} [(2^{2x} + 2^{-2x}) + (2^{2y} + 2^{-2y})]$.
$= \frac{1}{2} [\frac{2^{2x} + 2^{-2x}}{2} + \frac{2^{2y} + 2^{-2y}}{2}]$.
$= \frac{1}{2} [f(2x) + f(2y)]$.

(C) मान लीजिए कि $ A $ एक समुच्चय है जिसमें $ n = 6 $ अवयव हैं।
$ A $ से $ A $ तक के कुल फलनों की संख्या $ n^{n} = 6^{6} $ होती है।
एक फलन आच्छादक (bijection) होता है यदि वह एकैकी और आच्छादक दोनों हो। $ n $ अवयवों वाले एक परिमित समुच्चय $ A $ के लिए,$ A $ से $ A $ तक के आच्छादक फलनों की संख्या $ n ! = 6 ! $ होती है।
उन फलनों की संख्या जो आच्छादक नहीं हैं,कुल फलनों की संख्या में से आच्छादक फलनों की संख्या को घटाकर प्राप्त की जाती है।
अतः,अभीष्ट फलनों की संख्या $ 6^{6} - 6 ! $ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^2+2x+2 = (x+1)^2+1$. $f(x)$ का न्यूनतम मान $a = 1$ है।
दिया गया है $g(x) = -(x^2-2x+1) = -(x-1)^2$. $g(x)$ का अधिकतम मान $b = 0$ है।
मान लीजिए $y = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2+2x+2}{-x^2+2x-1}$.
$y(-x^2+2x-1) = x^2+2x+2$
$-yx^2+2xy-y = x^2+2x+2$
$(1+y)x^2 + (2-2y)x + (2+y) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$:
$(2-2y)^2 - 4(1+y)(2+y) \geq 0$
$4(1-y)^2 - 4(y^2+3y+2) \geq 0$
$1-2y+y^2 - y^2-3y-2 \geq 0$
$-5y-1 \geq 0 \implies y \leq -\frac{1}{5}$.
चरम मान $c = -\frac{1}{5}$ है।
अतः,$a+2b+5c+4 = 1 + 2(0) + 5(-\frac{1}{5}) + 4 = 1 - 1 + 4 = 4$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 1+\frac{2x}{k}, & 0 \leq x < 1 \\ kx, & 1 \leq x < 2 \end{cases}$ है,जहाँ $k>0$ है।
हमें दिया गया है कि $\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$ है।
बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ की गणना:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} (1+\frac{2x}{k}) = 1+\frac{2}{k}$।
दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ की गणना:
$\lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} (kx) = k$।
दोनों सीमाओं को बराबर करने पर:
$1+\frac{2}{k} = k$
$k$ से गुणा करने पर:
$k+2 = k^2$
$k^2 - k - 2 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(k-2)(k+1) = 0$।
चूँकि $k>0$,इसलिए $k=2$ है।
अतः,$k^2 = 2^2 = 4$।

(D) दिया गया समीकरण $3[2x - 2] + 1 = 2[2x - 1] - 1$ है।
गुणधर्म $[t - m] = [t] - m$ का उपयोग करने पर,$[2x - 2] = [2x] - 2$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $3([2x] - 2) + 1 = 2([2x] - 1) - 1$.
$3[2x] - 6 + 1 = 2[2x] - 2 - 1$.
$3[2x] - 5 = 2[2x] - 3$.
$[2x] = 2$.
इसका अर्थ है $2 \le 2x < 3$,अतः $1 \le x < 1.5$.
अब,$k = 2[2x - 1] - 1 = 2([2x] - 1) - 1 = 2(2 - 1) - 1 = 2(1) - 1 = 1$.
अतः $f(x) = [k + 5x] = [1 + 5x]$.
चूंकि $1 \le x < 1.5$,इसलिए $5 \le 5x < 7.5$ प्राप्त होता है।
$1$ जोड़ने पर,$6 \le 1 + 5x < 8.5$ प्राप्त होता है।
$[1 + 5x]$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $\{6, 7, 8\}$ हैं।

(A) माना $f(x) = y$ है। चूँकि $f: R \rightarrow [-1, 1]$ आच्छादक है,$y$ का मान $[-1, 1]$ के सभी मानों को ग्रहण करता है।
दिया गया है $\sin \left(g(x) - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{y}{2} \sqrt{4 - y^2}$।
माना $y = 2 \sin \theta$ है। चूँकि $y \in [-1, 1]$,$\sin \theta \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$,इसलिए $\theta \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$।
तब $\frac{y}{2} \sqrt{4 - y^2} = \sin \theta \sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta} = \sin \theta \sqrt{4 \cos^2 \theta} = 2 \sin \theta \cos \theta = \sin(2 \theta)$।
अतः,$\sin \left(g(x) - \frac{\pi}{3}\right) = \sin(2 \theta)$।
चूँकि $\theta \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$,इसलिए $2 \theta \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$।
अतः,$g(x) - \frac{\pi}{3} = 2 \theta \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$।
$g(x) \in \left[-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right] = \left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$।
चूँकि $g$ आच्छादक है,सह-प्रांत $A = \left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ है।

(D) दो फलनों $f$ और $g$ को समान तब कहा जाता है यदि और केवल यदि:
$(i)$ $f$ का प्रांत $g$ के प्रांत के बराबर हो।
(ii) $f$ का सह-प्रांत $g$ के सह-प्रांत के बराबर हो (आमतौर पर निहित)।
(iii) उनके उभयनिष्ठ प्रांत में प्रत्येक $x$ के लिए $f(x) = g(x)$ हो।
चूँकि परिभाषा के अनुसार प्रांत समान होने चाहिए और उस प्रांत के सभी $x$ के लिए फलन के मान समान होने चाहिए,इसलिए सूचीबद्ध तीनों शर्तें फलनों की समानता के लिए आवश्यक हैं।

(A) यदि $f$,$R$ से $R$ तक एक सम फलन है,तो $f(0)$ का मान $0$ होना चाहिए।
हम जानते हैं कि यदि फलन $f(x)$ सम है,तो $f(-x)=f(x)$ होता है।
यदि हम $f(x)=\cos x$ मान लें,तो $f(-x)=\cos(-x)=\cos x=f(x)$।
अतः,$f(x)=\cos x$ एक सम फलन है।
हालाँकि,$f(0)=\cos 0=1 \neq 0$।
इसलिए,दिया गया कथन असत्य है।
$(b)$ $f: R \rightarrow R$,$f(x)=x-[x]$।
हम जानते हैं कि $x=[x]+\{x\}$,जहाँ $\{x\}$ भिन्नात्मक भाग फलन है,इसलिए $f(x)=\{x\}$।
चूँकि $\{x\}$ एक आवर्ती फलन है,इसलिए $f(x)$ भी एक आवर्ती फलन है।
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।
$(c)$ यदि $f: R \rightarrow R$ एक विषम फलन है,तो $f(0)=0$ होता है।
विषम फलन के लिए $f(-x)=-f(x)$ होता है।
$x=0$ रखने पर,$f(0)=-f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2f(0)=0$,यानी $f(0)=0$।
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।
$(d)$ समुच्चय $\{1,2,3,4,5,6\}$ से $\{1,2\}$ तक आच्छादक फलनों की संख्या $62$ है।
माना $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ और $B=\{1,2\}$,तो $n(A)=6$ और $n(B)=2$।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय से $n$ अवयवों वाले समुच्चय तक आच्छादक फलनों की संख्या $n^m - \binom{n}{1}(n-1)^m + \binom{n}{2}(n-2)^m - \dots$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n=2$ और $m=6$ के लिए,आच्छादक फलनों की संख्या $2^6 - \binom{2}{1}(1)^6 = 64 - 2 = 62$ है।
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।

(C) चरण $1$: $A$ का विश्लेषण करें। मान लीजिए $f(x) = \frac{x}{e^x-1} + \frac{x}{2} + 4$. $f(-x)$ की जाँच करने पर,हमें $f(x)$ प्राप्त होता है,अतः $A$ एक सम फलन है $(II)$.
चरण $2$: $B$ का विश्लेषण करें। $x > 0$ के लिए,यह फलन न तो विषम है और न ही सम $(I)$।
चरण $3$: $C$ का विश्लेषण करें। $3 < x < 5$ के लिए,$|x-2| = x-2$,$|x-3| = x-3$,$|x-5| = 5-x$. अतः $f(x) = x$,जो कि तत्समक फलन है $(IV)$।
चरण $4$: $D$ का विश्लेषण करें। यह फलन न तो विषम है और न ही सम $(I)$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है $g(x) = 1 + x - [x]$.
हम जानते हैं कि भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\} = x - [x]$ के रूप में परिभाषित है।
अतः,$g(x) = 1 + \{x\}$.
चूंकि $0 \le \{x\} < 1$,इसलिए $1 \le g(x) < 2$ होता है।
किसी भी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$g(x)$ हमेशा $0$ से बड़ा होता है।
अब,फलन $f(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$ पर विचार करें।
चूंकि सभी $x$ के लिए $g(x) > 0$ है,हम $f$ फलन के लिए $x > 0$ वाली शर्त का उपयोग करके $f(g(x))$ का मान ज्ञात करते हैं।
इसलिए,सभी $x$ के लिए $f(g(x)) = 1$ होगा।

(B) दिया गया है $f(a) = \log \left| \frac{1-a}{1+a} \right|$.
हमें $f\left( \frac{2a}{1+a^2} \right) > 0$ को हल करना है।
$x = \frac{2a}{1+a^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\log \left| \frac{1 - \frac{2a}{1+a^2}}{1 + \frac{2a}{1+a^2}} \right| > 0$.
इसका अर्थ है $\left| \frac{1+a^2-2a}{1+a^2+2a} \right| > 1$,जो सरल होकर $\left| \frac{(1-a)^2}{(1+a)^2} \right| > 1$ बन जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{(1-a)^2}{(1+a)^2} > 1 \Rightarrow (1-a)^2 > (1+a)^2$.
$1 - 2a + a^2 > 1 + 2a + a^2$.
$-2a > 2a \Rightarrow 4a < 0 \Rightarrow a < 0$.
इसके अतिरिक्त,हमें डोमेन की शर्तों $a \neq \pm 1$ और $\frac{2a}{1+a^2} \neq \pm 1$ को संतुष्ट करना होगा।
$a < 0$ के लिए,$a \neq -1$ की शर्त को हटाना होगा।
अतः,हल $a \in (-\infty, 0) - \{-1\}$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} -1, & -2 \leq x \leq 0 \\ x-1, & 0 < x \leq 2 \end{cases}$ है।
हमें $x$ का वह समुच्चय ज्ञात करना है जिसके लिए $x \leq 0$ और $f(|x|) = x$ हो।
चूंकि $x \leq 0$,इसलिए $|x| = -x$ है। यदि $x \in [-2, 0]$ है,तो $|x| \in [0, 2]$ है।
$0 < |x| \leq 2$ के लिए,$f(|x|) = |x| - 1 = -x - 1$ है।
$f(|x|) = x$ रखने पर,हमें $-x - 1 = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2x = -1$,इसलिए $x = -\frac{1}{2}$ है।
शर्त $x \leq 0$ की जाँच करने पर,हम देखते हैं कि $x = -\frac{1}{2}$ इस शर्त को पूरा करता है।
यदि $x = 0$ है,तो $f(|0|) = f(0) = -1$ है। लेकिन $x = 0$ है,इसलिए $f(0) \neq 0$ है।
अतः,अभीष्ट समुच्चय $\{-\frac{1}{2}\}$ है।

(D) एक परिमित समुच्चय $S$ के लिए,फलन $f: S \rightarrow S$ एक परिमित समुच्चय से स्वयं पर एक प्रतिचित्रण है।
यदि $f$ एकैकी है,तो इसे आच्छादक भी होना चाहिए (परिमित समुच्चयों के लिए पिजनहोल सिद्धांत के अनुसार),और इसके विपरीत भी सत्य है।
चूंकि $f$ एक गैर-तत्समक फलन है,यह तत्समक के अलावा कोई क्रमचय (एकैकी और आच्छादक) हो सकता है,या यह न तो एकैकी हो सकता है और न ही आच्छादक।
चूंकि प्रश्न में $f$ के गैर-तत्समक होने के अलावा कोई अन्य गुण नहीं दिए गए हैं,इसलिए इसका विशिष्ट प्रकार निर्धारित करना असंभव है।
अतः,यह निष्कर्ष निकालने के लिए आंकड़े अपर्याप्त हैं कि क्या यह एकैकी,आच्छादक,एकैकी और आच्छादक है या इनमें से कोई नहीं।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया है कि,$n(G) = 3$ और $n(A) = 4$.
$(A)$ $G \times G$ से $G$ तक के फलनों की कुल संख्या $n(G)^{n(G \times G)} = 3^{(3 \times 3)} = 3^9 = 19683$ है। $G \times G$ से $G$ तक के बायजेक्टिव फलनों की संख्या $0$ है (क्योंकि $n(G \times G) = 9 \neq n(G) = 3$)। अतः,गैर-बायजेक्टिव फलनों की संख्या $19683 - 0 = 19683$ है। इसलिए,$A \rightarrow V$.
$(B)$ $A$ से $A$ तक के बायजेक्टिव फलनों की संख्या $n(A)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ है। इसलिए,$B \rightarrow I$.
$(C)$ $G$ से $G \times A$ तक के फलनों की संख्या $n(G \times A)^{n(G)} = (3 \times 4)^3 = 12^3 = 1728$ है। इसलिए,$C \rightarrow III$.
$(D)$ $A$ से $A \times A$ तक के आच्छादक फलनों की संख्या $0$ है क्योंकि $n(A) = 4$ और $n(A \times A) = 16$ है। चूँकि $n(A) < n(A \times A)$,इसलिए कोई आच्छादक फलन संभव नहीं है। इसलिए,$D \rightarrow II$.
अतः,सही मिलान $A-V, B-I, C-III, D-II$ है।

(D) दिया गया है: $f(x) = x + \frac{1}{x}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(f(x))^2 = (x + \frac{1}{x})^2$
$(f(x))^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$
$(f(x))^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$
अब,$f(x^2) = x^2 + \frac{1}{x^2}$ और $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ लें।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(f(x))^2 = f(x^2) + f(1)$

(C) दिया गया है,$f(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}$.
हम देखते हैं कि $f(1 - x) = \frac{4^{1 - x}}{4^{1 - x} + 2} = \frac{4/4^x}{4/4^x + 2} = \frac{4}{4 + 2 \cdot 4^x} = \frac{2}{2 + 4^x}$.
साथ ही,$f(x) + f(1 - x) = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{2}{4^x + 2} = \frac{4^x + 2}{4^x + 2} = 1$.
इसलिए,$f(1 - x) = 1 - f(x)$.
हमें $S = f(\frac{1}{4}) + 2 f(\frac{1}{2}) + f(\frac{3}{4})$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $f(\frac{1}{4}) + f(1 - \frac{1}{4}) = f(\frac{1}{4}) + f(\frac{3}{4}) = 1$,हम $f(\frac{3}{4}) = 1 - f(\frac{1}{4})$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$S = f(\frac{1}{4}) + 2 f(\frac{1}{2}) + (1 - f(\frac{1}{4})) = 1 + 2 f(\frac{1}{2})$.
अब,$f(\frac{1}{2}) = \frac{4^{1/2}}{4^{1/2} + 2} = \frac{2}{2 + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ की गणना करें।
इस मान को रखने पर,$S = 1 + 2(\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2020^x}{2020^x + \sqrt{2020}}$.
ध्यान दें कि $f(1-x) = \frac{2020^{1-x}}{2020^{1-x} + \sqrt{2020}} = \frac{2020}{2020 + \sqrt{2020} \cdot 2020^x} = \frac{\sqrt{2020}}{\sqrt{2020} + 2020^x}$.
अतः,$f(x) + f(1-x) = \frac{2020^x + \sqrt{2020}}{2020^x + \sqrt{2020}} = 1$.
हमें $S = \sum_{r=1}^{4039} 2 f\left(\frac{r}{4040}\right) = 2 \sum_{r=1}^{4039} f\left(\frac{r}{4040}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
पदों $f\left(\frac{r}{4040}\right)$ और $f\left(\frac{4040-r}{4040}\right)$ को जोड़ने पर,हमें $f\left(\frac{r}{4040}\right) + f\left(1 - \frac{r}{4040}\right) = 1$ प्राप्त होता है।
$r=1$ से $2019$ तक ऐसी $2019$ जोड़ियाँ हैं,और मध्य पद $f\left(\frac{2020}{4040}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)$ है।
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{2020}}{\sqrt{2020} + \sqrt{2020}} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\sum_{r=1}^{4039} f\left(\frac{r}{4040}\right) = 2019 \times 1 + \frac{1}{2} = 2019.5$.
अतः,$S = 2 \times 2019.5 = 4039$.

(A) दिया गया है $f(x) = x + \frac{1}{x}$.
हमें $f^4(x) - f(x^4) - 4f^2(x)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$f^2(x) = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ की गणना करें।
इसके बाद,$f^4(x) = (f^2(x))^2 = (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2})^2 = (x^2)^2 + 2^2 + (\frac{1}{x^2})^2 + 2(x^2)(2) + 2(x^2)(\frac{1}{x^2}) + 2(2)(\frac{1}{x^2}) = x^4 + 4 + \frac{1}{x^4} + 4x^2 + 2 + \frac{4}{x^2} = x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4}$ की गणना करें।
अब,$f(x^4) = x^4 + \frac{1}{x^4}$ की गणना करें।
साथ ही,$4f^2(x) = 4(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}) = 4x^2 + 8 + \frac{4}{x^2}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f^4(x) - f(x^4) - 4f^2(x) = (x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4}) - (x^4 + \frac{1}{x^4}) - (4x^2 + 8 + \frac{4}{x^2})$.
$= x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4} - x^4 - \frac{1}{x^4} - 4x^2 - 8 - \frac{4}{x^2}$.
$= 6 - 8 = -2$.

(C) दिया गया है $f(x) = 2x + 3$।
समीकरण $f(x^2) - 2f(\frac{x}{2}) - 1 = 0$ में फलन का मान रखने पर:
$(2x^2 + 3) - 2(2(\frac{x}{2}) + 3) - 1 = 0$
$2x^2 + 3 - 2(x + 3) - 1 = 0$
$2x^2 + 3 - 2x - 6 - 1 = 0$
$2x^2 - 2x - 4 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
अतः,मूल $\alpha = 2$ और $\beta = -1$ हैं।
इसलिए,$\alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$।

(C) एक संबंध को दो समुच्चयों के कार्तीय गुणन $A \times B$ के उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है।
फलन,संबंध का एक विशिष्ट प्रकार है जहाँ प्रांत के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत में केवल एक ही प्रतिबिंब होता है।
इसलिए,प्रत्येक फलन एक संबंध है,लेकिन प्रत्येक संबंध एक फलन नहीं है।
अतः,कथन $(ii)$ सत्य है,जबकि $(i)$ और $(iii)$ असत्य हैं।

(A) दिए गए फलन $f(x) = |x|$ और $g(x) = |x| + a$ हैं,जहाँ $a > 0$ है।
$0 \leq x \leq b$ के लिए,क्षेत्र $g(x) \leq y \leq f(x)$ द्वारा परिभाषित है।
दी गई आकृति के अनुसार,यह क्षेत्र $x=0$,$x=b$,$y=|x|$ और $y=|x|+a$ रेखाओं द्वारा घिरा हुआ है।
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = x$ और $g(x) = x + a$ होता है।
अतः,क्षेत्र $x=0$,$x=b$,$y=x$ और $y=x+a$ रेखाओं के बीच स्थित है।
यहाँ $y-x=0$ और $y-x=a$ समांतर रेखाएँ हैं,और $x=0$ तथा $x=b$ भी समांतर रेखाएँ हैं।
इसलिए,यह क्षेत्र एक समांतर चतुर्भुज है।

(B) दिया गया समीकरण $x - f(x) = 19[\frac{x}{19}] - 90[\frac{f(x)}{90}]$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x - 19[\frac{x}{19}] = f(x) - 90[\frac{f(x)}{90}]$ प्राप्त होता है।
यह $x \pmod{19} = f(x) \pmod{90}$ के बराबर है।
मान लीजिए $x = 1990$. तो $1990 = 19 \times 104 + 14$,इसलिए $1990 \equiv 14 \pmod{19}$.
अतः,$f(1990) \equiv 14 \pmod{90}$.
इसका अर्थ है कि किसी पूर्णांक $k$ के लिए $f(1990) = 90k + 14$.
हमें दिया गया है कि $1990 < f(1990) < 2100$.
$f(1990) = 90k + 14$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1990 < 90k + 14 < 2100$ प्राप्त होता है।
$1976 < 90k < 2086$.
$90$ से विभाजित करने पर,हमें $21.95 < k < 23.17$ प्राप्त होता है।
चूंकि $k$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $k = 22$ या $k = 23$.
यदि $k = 22$ है,तो $f(1990) = 90(22) + 14 = 1980 + 14 = 1994$.
यदि $k = 23$ है,तो $f(1990) = 90(23) + 14 = 2070 + 14 = 2084$.
दोनों मान $1990 < f(1990) < 2100$ की शर्त को संतुष्ट करते हैं।
अतः,$f(1990)$ के लिए $2$ संभावित मान हैं।

(A) दिया गया है $f(x) = \{x + [\frac{x}{1+x^2}]\}$।
चूंकि किसी भी पूर्णांक $I$ के लिए $[n + I] = [n] + I$ होता है,इसलिए हमारे पास $f(x) = \{x + [\frac{x}{1+x^2}]\} = \{x\} + [\frac{x}{1+x^2}] - [\{x\} + [\frac{x}{1+x^2}]] = \{x\}$ है।
अतः,$f(x) = \{x\} = x - [x]$।
अब,$f(\sqrt{2}) = \{\sqrt{2}\} = \sqrt{2} - [\sqrt{2}] = 1.414 - 1 = 0.414$ की गणना करें।
इसके बाद,$f(-\sqrt{3}) = \{-\sqrt{3}\} = -\sqrt{3} - [-\sqrt{3}] = -1.732 - (-2) = -1.732 + 2 = 0.268$ की गणना करें।
इसलिए,$f(\sqrt{2}) + f(-\sqrt{3}) = 0.414 + 0.268 = 0.682$।

(A) $A)$ $\cos ^2 x$ का परिसर $[0, 1]$ है।
$\Rightarrow 1+\cos ^2 x \in [1, 2]$.
$\Rightarrow [1+\cos ^2 x] \in \{1, 2\}$.
$\Rightarrow \sec ^{-1}[1+\cos ^2 x] \in \{\sec ^{-1} 1, \sec ^{-1} 2\}$. अतः,$A-V$.
$B)$ दिया है $f(x+\frac{1}{x}) = x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2$.
माना $t = x+\frac{1}{x}$। फलन $f(t) = t^2-2$ के लिए प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ $R$ है। अतः,$B-IV$.
$C)$ $f(x+y) = f(x)+f(y)$ कौशी का कार्यात्मक समीकरण है,इसलिए $f(x) = kx$.
$f(1) = 5$ दिया गया है,इसलिए $k(1) = 5 \Rightarrow k = 5$.
अतः $f(x) = 5x$,जो एक विषम फलन है क्योंकि $f(-x) = 5(-x) = -f(x)$। अतः,$C-I$.
$D)$ $\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = 0$.
$x=0$ के लिए: $\sin ^{-1}(0) - \cos ^{-1}(0) + \sin ^{-1}(1) = 0 - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$. (सही)
$x=\frac{1}{2}$ के लिए: $\sin ^{-1}(\frac{1}{2}) - \cos ^{-1}(\frac{1}{2}) + \sin ^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = 0$. (सही)
अतः,$D-II$.

(B) डोमेन की पहचान करें और लघुगणकीय रूपों का उपयोग करें:
सबसे पहले,ध्यान दें कि फलन $\cosh^{-1} x$ केवल $x \geq 1$ के लिए परिभाषित है। इसलिए,हमारे पास $x \geq 1$ होना चाहिए।
हम प्रतिलोम हाइपरबोलिक फलनों की लघुगणकीय परिभाषाओं का उपयोग करते हैं:
$e^{\cosh^{-1} x} = x + \sqrt{x^2 - 1}$
$e^{\sinh^{-1} x} = x + \sqrt{x^2 + 1}$
समीकरण में मान रखें और सरल करें:
इन व्यंजकों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$\sqrt{2} + (x + \sqrt{x^2 - 1}) - (x + \sqrt{x^2 + 1}) = 0$
$x$ पद कट जाते हैं,जिससे शेष रहता है:
$\sqrt{2} + \sqrt{x^2 - 1} - \sqrt{x^2 + 1} = 0$
$\sqrt{2} + \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{x^2 + 1}$
$x$ के लिए हल करें:
वर्गमूल को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:
$(\sqrt{2} + \sqrt{x^2 - 1})^2 = (\sqrt{x^2 + 1})^2$
$2 + (x^2 - 1) + 2\sqrt{2}\sqrt{x^2 - 1} = x^2 + 1$
$x^2 + 1 + 2\sqrt{2}\sqrt{x^2 - 1} = x^2 + 1$
दोनों पक्षों से $x^2 + 1$ घटाने पर:
$2\sqrt{2}\sqrt{x^2 - 1} = 0$
$\sqrt{x^2 - 1} = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$
चूंकि डोमेन $x \geq 1$ की मांग करता है,इसलिए एकमात्र मान्य समाधान $x = 1$ है। अतः,$1$ मूल है।

(D) $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$. चूँकि $\sinh(-x) = -\sinh x$,यह $\mathbb{R}$ परिसर वाला एक विषम फलन है। अतः,$A-IV$.
$(B)$ $\text{sech } x = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$. चूँकि $\text{sech}(-x) = \text{sech } x$,यह एक सम फलन है। अतः,$B-III$.
$(C)$ $\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$. चूँकि $\tanh(-x) = -\tanh x$,यह $(-1, 1)$ परिसर वाला एक विषम फलन है। अतः,$C-V$.
$(D)$ $\text{cosech}^{-1} x = \ln\left(\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1+x^2}}{|x|}\right)$. इसका प्रांत $x \neq 0$ है और यह न तो सम है और न ही विषम फलन है। अतः,$D-II$.
अतः,सही मिलान $A-IV, B-III, C-V, D-II$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x + 4, & x < -4 \\ 3x + 2, & -4 \leq x < 4 \\ x - 4, & x \geq 4 \end{cases}$
$(A) f(-5) + f(-4) = (-5 + 4) + (3(-4) + 2) = -1 + (-12 + 2) = -1 - 10 = -11$. अतः,$(A) \rightarrow (iii)$.
$(B) f(|f(-8)|) = f(|-8 + 4|) = f(|-4|) = f(4) = 4 - 4 = 0$. अतः,$(B) \rightarrow (vi)$.
$(C) f(f(-7) + f(3)) = f((-7 + 4) + (3(3) + 2)) = f(-3 + 11) = f(8) = 8 - 4 = 4$. अतः,$(C) \rightarrow (ii)$.
$(D) f(f(f(f(0)))) + 1$. पहले,$f(0) = 3(0) + 2 = 2$. फिर $f(f(0)) = f(2) = 3(2) + 2 = 8$. फिर $f(f(f(0))) = f(8) = 8 - 4 = 4$. फिर $f(f(f(f(0)))) = f(4) = 4 - 4 = 0$. अंत में,$0 + 1 = 1$. अतः,$(D) \rightarrow (v)$.
सही मिलान $(A)-(iii), (B)-(vi), (C)-(ii), (D)-(v)$ है।

(A) दिया गया है $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $f(x)=\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$ प्राप्त होता है।
हमें संबंध $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ दिया गया है।
दाहिनी ओर $f(x)$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right) = \log \left( \frac{10 + \frac{200x}{100+x^2}}{10 - \frac{200x}{100+x^2}} \right)$
$= \log \left( \frac{10(100+x^2) + 200x}{10(100+x^2) - 200x} \right)$
$= \log \left( \frac{1000 + 10x^2 + 200x}{1000 + 10x^2 - 200x} \right)$
$= \log \left( \frac{10(x^2 + 20x + 100)}{10(x^2 - 20x + 100)} \right)$
$= \log \left( \frac{(x+10)^2}{(10-x)^2} \right)$
$= 2 \log \left( \frac{10+x}{10-x} \right) = 2f(x)$।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $f(x) = k \cdot 2f(x)$।
चूंकि $x \in (-10, 10)$ के लिए $f(x) \neq 0$,इसलिए $1 = 2k$,जिसका अर्थ है कि $k = 0.5$।