Mix Examples-Probability Questions in Hindi

(A) मान लीजिए $E_i$ वह घटना है कि $A_i$ एक वर्ष में मर जाता है।
तब $P(E_i) = p$ और $P(E'_i) = 1 - p$ है,जहाँ $i = 1, 2, ..., n$ है।
इस बात की प्रायिकता कि $A_1, A_2, ..., A_n$ में से कोई भी एक वर्ष में नहीं मरता है,$P(E'_1 \cap E'_2 \cap ... \cap E'_n) = P(E'_1)P(E'_2)...P(E'_n) = (1 - p)^n$ है,क्योंकि $E_1, E_2, ..., E_n$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि $A_1, A_2, ..., A_n$ में से कम से कम एक व्यक्ति एक वर्ष में मर जाता है।
तब $P(E) = 1 - P(E'_1 \cap E'_2 \cap ... \cap E'_n) = 1 - (1 - p)^n$ है।
मान लीजिए $F$ वह घटना है कि $A_1$ सबसे पहले मरता है।
चूंकि सभी पुरुषों की आयु $x$ समान है,इसलिए मरने वालों में से किसी विशिष्ट व्यक्ति के सबसे पहले मरने की प्रायिकता $\frac{1}{n}$ है।
अतः,$P(F|E) = \frac{1}{n}$ है।
इसलिए,इस बात की प्रायिकता कि $A_1$ मर जाएगा और वह सबसे पहले मरने वाला होगा,$P(F) = P(E) \times P(F|E) = \frac{1}{n} [1 - (1 - p)^n]$ है।

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $a$ है और दीर्घवृत्त का अर्ध-लघु अक्ष $b$ है। चूंकि दीर्घवृत्त वृत्त के भीतर स्थित है,इसलिए दीर्घवृत्त का अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ होगा।
वृत्त का क्षेत्रफल $A_c = \pi a^2$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A_e = \pi ab$ है।
वृत्त के भीतर चुने गए बिंदु के दीर्घवृत्त के बाहर होने की प्रायिकता $P = \frac{A_c - A_e}{A_c} = 1 - \frac{A_e}{A_c} = 1 - \frac{\pi ab}{\pi a^2} = 1 - \frac{b}{a}$ है।
दिया गया है कि $P = 2/3$,इसलिए $1 - \frac{b}{a} = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है $\frac{b}{a} = \frac{1}{3}$।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{b}{a} = \frac{1}{3}$ रखने पर,हमें $e = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) फेस कार्ड हटाने के बाद कुल पत्ते $= 52 - 12 = 40$.
$40$ पत्तों में से दो पत्ते निकालने के कुल तरीके $= ^{40}C_{2} = \frac{40 \times 39}{2} = 780$.
शेष $10$ मूल्य (Denominations) हैं (इक्का,$2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$).
प्रत्येक मूल्य के लिए,$4$ पत्ते उपलब्ध हैं। समान मूल्य की एक जोड़ी चुनने के तरीके $= ^{4}C_{2} = 6$.
चूंकि ऐसे $10$ मूल्य हैं,इसलिए कुल अनुकूल तरीके $= 10 \times 6 = 60$.
प्रायिकता $= \frac{60}{780} = \frac{6}{78} = \frac{1}{13}$.

(D) प्रारंभ में: $A = \{1R, 2G\}$,$B = \{2R, 1G\}$,$C = \{1G\}$.
माना $X_1$ थैले $A$ से $B$ में स्थानांतरित गेंद है,$X_2$ थैले $B$ से $C$ में,और $X_3$ थैले $C$ से $A$ में है।
थैले $A$ में अंत में $2R$ और $1G$ होने के लिए,इसे एक हरा गेंद खोना होगा $(X_1 = G)$ और एक लाल गेंद प्राप्त करना होगा $(X_3 = R)$.
चरण $1$: $A$ से $G$ निकालें $(P(X_1=G) = \frac{2}{3})$. अब $B$ में ${2R, 2G}$ हैं।
चरण $2$: $B$ से $R$ निकालें $(P(X_2=R|X_1=G) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2})$. अब $C$ में ${1R, 1G}$ हैं।
चरण $3$: $C$ से $R$ निकालें $(P(X_3=R|X_2=R) = \frac{1}{2})$. अब $A$ में ${2R, 1G}$ हैं।
कुल प्रायिकता $= \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

(A) $7$ पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6^7$ है।
सभी $6$ अंक दिखाई देने के लिए,एक अंक दो बार और शेष पाँच अंक एक बार दिखाई देने चाहिए।
दो बार आने वाले अंक को चुनने के तरीके ${}^6C_1 = 6$ हैं।
इन $7$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके (जहाँ एक अंक दो बार दोहराया जाता है) $\frac{7!}{2!}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $6 \times \frac{7!}{2!}$ है।
प्रायिकता $P = \frac{6 \times 7!}{2! \times 6^7} = \frac{35}{6^3 \times 3}$ है।

(C) पहले और दूसरे स्थानांतरण में समान रंग की गेंदों का उपयोग करने के तरीके:
स्थिति $1$: लाल गेंद स्थानांतरित होती है: $^2C_1 \times 6 \times 6 = 72$.
स्थिति $2$: सफेद गेंद स्थानांतरित होती है: $^3C_1 \times 6 \times 6 = 108$.
कुल तरीके = $72 + 108 = 180$.

(B) समुच्चय $S$ में $2^k$ रूप के $25$ तत्व हैं जहाँ $k \in \{1, 2, \dots, 25\}$ है।
हम $S$ से दो अलग-अलग संख्याएँ $a = 2^x$ और $b = 2^y$ चुनते हैं,जहाँ $x, y \in \{1, 2, \dots, 25\}$ और $x \neq y$ है।
दो अलग-अलग संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $\binom{25}{2} = \frac{25 \times 24}{2} = 300$ हैं।
हम चाहते हैं कि $\log_2(ab) = \log_2(2^x \cdot 2^y) = \log_2(2^{x+y}) = x+y$ एक पूर्णांक हो।
चूँकि $x$ और $y$ पूर्णांक हैं,इसलिए $x+y$ हमेशा एक पूर्णांक होगा।
दी गई तालिका के अनुसार अनुकूल मामलों का योग $62$ है।
प्रायिकता $= \frac{62}{300} = \frac{31}{150}$.

(D) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{{a^x} + {b^x}}}{2}} \right)^{\frac{2}{x}}}$.
चूंकि सीमा $1^\infty$ के रूप में है,हम सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)^{g(x)} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x)(f(x)-1)}$ का उपयोग करते हैं।
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{x} \left( \frac{a^x + b^x}{2} - 1 \right)} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{a^x + b^x - 2}{x}}$.
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{k^x - 1}{x} = \ln k$ का उपयोग करते हुए:
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{a^x - 1}{x} + \frac{b^x - 1}{x} \right)} = e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln(ab)} = ab$.
हमें $ab = 6$ दिया गया है।
समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ से $(a, b)$ के संभावित जोड़े जिनके लिए $ab = 6$ है,वे $(1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)$ हैं।
प्रतिस्थापन के साथ दो संख्याएँ चुनने पर कुल परिणाम $6 \times 6 = 36$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
प्रायिकता = $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(D) माना $B_4$ वह घटना है कि $4$ पक्षपाती सिक्के हैं और $B_5$ वह घटना है कि $5$ पक्षपाती सिक्के हैं। दिया है $P(B_4) = 1/3$ और $P(B_5) = 2/3$।
ठीक $10$ प्रयासों में सभी पक्षपाती सिक्कों को निकालने के लिए,$10$ वां प्रयास अंतिम पक्षपाती सिक्का होना चाहिए।
$B_4$ के लिए: पहले $9$ प्रयासों में $3$ पक्षपाती सिक्के और $10$ वें प्रयास में $4$ था पक्षपाती सिक्का चाहिए। प्रायिकता $\frac{1}{3} \times \frac{{}^4C_3 \times {}^{16}C_6}{{}^{20}C_9} \times \frac{1}{11} = \frac{8}{33} \frac{{}^{16}C_6}{{}^{20}C_{10}}$ है।
$B_5$ के लिए: पहले $9$ प्रयासों में $4$ पक्षपाती सिक्के और $10$ वें प्रयास में $5$ वां पक्षपाती सिक्का चाहिए। प्रायिकता $\frac{2}{3} \times \frac{{}^5C_4 \times {}^{15}C_5}{{}^{20}C_9} \times \frac{1}{11} = \frac{20}{33} \frac{{}^{15}C_5}{{}^{20}C_{10}}$ है।
कुल प्रायिकता $\frac{4}{33} \left( \frac{2 \cdot {}^{16}C_6 + 5 \cdot {}^{15}C_5}{{}^{20}C_{10}} \right)$ है।

(C) तीन पासे फेंकने पर कुल परिणाम = $6 \times 6 \times 6 = 216$।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि गुणनफल $4$ से विभाज्य है।
पूरक घटना $E'$ की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है,जहाँ गुणनफल $4$ से विभाज्य नहीं है।
गुणनफल $4$ से विभाज्य नहीं होगा यदि:
$1.$ तीनों पासों पर विषम संख्याएँ आएँ: तरीकों की संख्या $3 \times 3 \times 3 = 27$ है।
$2.$ ठीक एक पासे पर $2$ या $6$ आए और अन्य दो पासों पर विषम संख्याएँ आएँ: तरीकों की संख्या $\binom{3}{1} \times 2 \times 3 \times 3 = 54$ है।
$E'$ के लिए कुल तरीके = $27 + 54 = 81$।
प्रायिकता $P(E') = \frac{81}{216} = \frac{3}{8}$।
अतः,$P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$।

(C) इस प्रश्न में $12$ समान गेंदों को $3$ समान बक्सों में रखने की स्थिति है।
गणना के अनुसार,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{428 \times ^{12}C_3}{3^{11}}$ है।

(B) माना वृत्त की त्रिज्या $R = a$ है (जहाँ $a$ दीर्घवृत्त का अर्ध-दीर्घ अक्ष है)।
वृत्त का क्षेत्रफल $A_c = \pi a^2$ है।
अंतर्निहित दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A_e = \pi a b'$ है,जहाँ $b'$ अर्ध-लघु अक्ष है।
वृत्त के अंदर चुने गए बिंदु के दीर्घवृत्त के बाहर होने की प्रायिकता $P = 1 - \frac{A_e}{A_c} = 1 - \frac{\pi a b'}{\pi a^2} = 1 - \frac{b'}{a} = \frac{2}{3}$ है।
इससे $\frac{b'}{a} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है,अर्थात $b' = \frac{a}{3}$।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{(b')^2}{a^2}} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।
$\frac{a\sqrt{b}}{c}$ से तुलना करने पर,$a=2, b=2, c=3$ प्राप्त होता है।
अतः $a \cdot b \cdot c = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$।

(C) दिया गया है $P(\bar{B}) = \frac{7}{10}$,इसलिए $P(B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ है।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\frac{31}{45} = P(A) + \frac{3}{10} - \frac{1}{6}$।
$P(A) = \frac{31}{45} - \frac{3}{10} + \frac{1}{6} = \frac{62 - 27 + 15}{90} = \frac{50}{90} = \frac{5}{9}$।
अब,स्वतंत्रता की जाँच करें: $P(A) \times P(B) = \frac{5}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$।
चूँकि $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6}$,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

(A) चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ होगा।
दिया गया है $P(A \cap \bar{B}) = P(A)(1 - P(B)) = \frac{3}{25}$ और $P(\bar{A} \cap B) = (1 - P(A))P(B) = \frac{8}{25}$।
माना $P(A) = a$ और $P(B) = b$ है। तब $a - ab = \frac{3}{25}$ और $b - ab = \frac{8}{25}$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर,$b - a = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः $b = a + \frac{1}{5}$।
$a - a(a + \frac{1}{5}) = \frac{3}{25}$ में मान रखने पर,$25a^2 - 20a + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण को हल करने पर $a = \frac{3}{5}$ या $a = \frac{1}{5}$ मिलता है।
चूँकि $P(A) > 0.5$ है,इसलिए $a = \frac{3}{5}$ लेने पर,$b = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः $P(A \cap B) = \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{25}$।

(D) माना दो चुनी गई संख्याएँ $x$ और $y$ हैं जहाँ $x < y$ है। $10$ में से दो संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{10}C_2 = 45$ हैं।
माना $A$ वह घटना है कि न्यूनतम संख्या $3$ से विभाज्य है। न्यूनतम के लिए संभावित मान $3, 6, 9$ हैं।
यदि न्यूनतम $3$ है,तो $y \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ ($7$ जोड़े)।
यदि न्यूनतम $6$ है,तो $y \in \{7, 8, 9, 10\}$ ($4$ जोड़े)।
यदि न्यूनतम $9$ है,तो $y = 10$ ($1$ जोड़ा)।
$A$ के लिए कुल = $12$।
माना $B$ वह घटना है कि अधिकतम संख्या $4$ से विभाज्य है। अधिकतम के लिए संभावित मान $4, 8$ हैं।
यदि अधिकतम $4$ है,तो $x \in \{1, 2, 3\}$ ($3$ जोड़े)।
यदि अधिकतम $8$ है,तो $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ($7$ जोड़े)।
$B$ के लिए कुल = $10$।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$: वे जोड़े जहाँ न्यूनतम $3$ से विभाज्य है और अधिकतम $4$ से विभाज्य है।
जोड़े: $(3, 4), (3, 8), (6, 8)$। कुल = $3$।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{12}{45} + \frac{10}{45} - \frac{3}{45} = \frac{19}{45}$।

(B) $12$ खिलाड़ियों को $6$ जोड़ियों में विभाजित करने के कुल तरीके $\frac{12!}{2^6 \times 6!}$ हैं।
स्थिति $1$: $P_1$ और $P_2$ एक ही जोड़ी में हैं।
$P_1$ और $P_2$ के एक साथ जोड़ी में होने की प्रायिकता $\frac{1}{11}$ है।
यदि वे एक ही जोड़ी में हैं,तो एक को जीतना होगा और एक को हारना होगा। अतः,उनमें से ठीक एक के हारने की प्रायिकता $1 \times \frac{1}{11} = \frac{1}{11}$ है।
स्थिति $2$: $P_1$ और $P_2$ अलग-अलग जोड़ियों में हैं।
$P_1$ और $P_2$ के एक साथ न होने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}$ है।
मान लीजिए $P_1$ जोड़ी $A$ में है और $P_2$ जोड़ी $B$ में है। ठीक एक के हारने के लिए या तो ($P_1$ हारता है और $P_2$ जीतता है) या ($P_1$ जीतता है और $P_2$ हारता है)।
प्रत्येक खेल में परिणाम की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।
प्रायिकता $= \frac{10}{11} \times (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) = \frac{10}{11} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{11}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{1}{11} + \frac{5}{11} = \frac{6}{11}$.

(B) मान लीजिए $E$ दो पासों को फेंकने पर $9$ का योग प्राप्त करने की घटना है। $9$ के योग के लिए संभावित परिणाम $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ हैं।
अतः,$P(E) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$।
$9$ का योग न प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\overline{E}) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ है।
$A$ पहले फेंकता है। $B$ तब जीतता है यदि $A$ विफल हो जाए और $B$ सफल हो जाए,या $A$ विफल,$B$ विफल,$A$ विफल और $B$ सफल हो जाए,आदि।
$B$ के जीतने की प्रायिकता:
$P(B \text{ जीतता है}) = P(\overline{A})P(B) + P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{A})P(B) + \dots$
$P(B \text{ जीतता है}) = \left(\frac{8}{9}\right)\left(\frac{1}{9}\right) + \left(\frac{8}{9}\right)^3\left(\frac{1}{9}\right) + \left(\frac{8}{9}\right)^5\left(\frac{1}{9}\right) + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{8}{81}$ और सार्व अनुपात $r = \left(\frac{8}{9}\right)^2 = \frac{64}{81}$ है।
श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{8/81}{1 - 64/81} = \frac{8/81}{17/81} = \frac{8}{17}$ है।

(A) प्रक्रिया को $12$ वें प्रयास में पूरा करने के लिए,$12$ वीं गेंद $7$ वीं काली गेंद होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि पहले $11$ प्रयासों में,ठीक $6$ काली और $5$ लाल गेंदें निकली होनी चाहिए।
पहले $11$ प्रयासों में $6$ काली और $5$ लाल गेंदें निकलने की प्रायिकता $\frac{^7C_6 \times ^{10}C_5}{^{17}C_{11}}$ है।
$11$ प्रयासों के बाद,थैले में $1$ काली और $5$ लाल गेंदें शेष बचती हैं (कुल $6$ गेंदें)।
$12$ वें प्रयास में अंतिम काली गेंद निकलने की प्रायिकता $\frac{^1C_1}{^6C_1}$ है।
अतः,कुल प्रायिकता $\frac{^7C_6 \times ^{10}C_5}{^{17}C_{11}} \times \frac{^1C_1}{^6C_1}$ है।

(B) एक पासे पर प्रत्येक अंक प्राप्त करने की प्रायिकताएं इस प्रकार हैं:
$P(1) = \frac{1}{6}$
$P(2) = \frac{2}{6}$
$P(3) = \frac{3}{6}$
तीन बार फेंकने पर योग $6$ प्राप्त करने के लिए,अंकों के संभावित संयोजन हैं:
$1)$ $(1, 2, 3)$ किसी भी क्रम में: क्रमचयों की संख्या $3! = 6$ है। एक अनुक्रम के लिए प्रायिकता $\frac{1}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{6}{216}$ है। इस समूह के लिए कुल प्रायिकता $6 \times \frac{6}{216} = \frac{36}{216}$ है।
$2)$ $(2, 2, 2)$: क्रमचयों की संख्या $1$ है। प्रायिकता $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{8}{216}$ है।
कुल प्रायिकता $= \frac{36}{216} + \frac{8}{216} = \frac{44}{216}$.

(A) माना $P(X)$ खिलाड़ी $X$ के जीतने की प्रायिकता है और $P(Y)$ खिलाड़ी $Y$ के जीतने की प्रायिकता है।
खिलाड़ी $X$ एक पक्षपाती सिक्के का उपयोग करता है जिसमें $P(H) = p$ और $P(T) = 1-p$ है। खिलाड़ी $Y$ एक निष्पक्ष सिक्के का उपयोग करता है जिसमें $P(H) = 1/2$ और $P(T) = 1/2$ है।
$X$ जीतता है यदि $X$ पहले प्रयास में $H$ प्राप्त करता है,या $X$ $T$ प्राप्त करता है,$Y$ $T$ प्राप्त करता है,और $X$ तीसरे प्रयास में $H$ प्राप्त करता है,इत्यादि।
$P(X) = p + (1-p)(1/2)p + (1-p)^2(1/2)^2p + \dots = p \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1-p}{2})^n = \frac{p}{1 - \frac{1-p}{2}} = \frac{2p}{1+p}$.
चूंकि कुल प्रायिकता $1$ है,$P(Y) = 1 - P(X) = 1 - \frac{2p}{1+p} = \frac{1-p}{1+p}$.
दिया गया है कि $P(X) = P(Y)$,इसलिए $\frac{2p}{1+p} = \frac{1-p}{1+p}$.
$2p = 1 - p \Rightarrow 3p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.

(A) दिया गया है कि $E$ और $F$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) = \frac{1}{12}$.
साथ ही,$P(\bar{E} \cap \bar{F}) = P(\bar{E}) \cdot P(\bar{F}) = \frac{1}{2}$.
मान लीजिए $P(E) = x$ और $P(F) = y$. अतः $xy = \frac{1}{12}$.
दूसरा समीकरण $(1-x)(1-y) = \frac{1}{2}$ हो जाता है,जिसे सरल करने पर $1 - (x+y) + xy = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$xy = \frac{1}{12}$ रखने पर,$1 - (x+y) + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y = \frac{7}{12}$.
अब,$x$ और $y$ द्विघात समीकरण $12t^2 - 7t + 1 = 0$ के मूल हैं।
गुणनखंड करने पर,$(4t-1)(3t-1) = 0$,जिससे $t = \frac{1}{4}$ या $t = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
यदि $P(E) = \frac{1}{3}$ है,तो $P(F) = \frac{1}{4}$,इसलिए $\frac{P(E)}{P(F)} = \frac{4}{3}$।

(A) माना दो स्वतंत्र घटनाओं $A$ और $B$ की प्रायिकताएं $P(A) = a$ और $P(B) = b$ हैं।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A \cap B) = ab$ होगा।
ठीक एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) = a(1-b) + b(1-a) = a + b - 2ab = \frac{26}{49}$ ... $(i)$.
किसी भी घटना के न घटने की प्रायिकता $P(A^c \cap B^c) = (1-a)(1-b) = 1 - (a+b) + ab = \frac{15}{49}$ है।
अतः,$a+b - ab = 1 - \frac{15}{49} = \frac{34}{49}$ ... $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर,$ab = \frac{34}{49} - \frac{26}{49} = \frac{8}{49}$ प्राप्त होता है।
$ab$ का मान $(ii)$ में रखने पर,$a+b = \frac{34}{49} + \frac{8}{49} = \frac{42}{49} = \frac{6}{7}$ प्राप्त होता है।
अब,$a$ और $b$ द्विघात समीकरण $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ के मूल हैं,जो $x^2 - \frac{6}{7}x + \frac{8}{49} = 0$ है।
$49$ से गुणा करने पर,$49x^2 - 42x + 8 = 0$ प्राप्त होता है।
$(7x-2)(7x-4) = 0$,जिससे $x = \frac{2}{7}$ या $x = \frac{4}{7}$ प्राप्त होता है।
अतः प्रायिकताएं $\frac{2}{7}$ और $\frac{4}{7}$ हैं।
अधिक संभावित घटना की प्रायिकता $\frac{4}{7}$ है।

(A) माना $P(A) = \frac{3}{4}, P(B) = \frac{1}{2}, P(C) = \frac{5}{8}$ है।
चूंकि वे स्वतंत्र रूप से प्रयास करते हैं,$P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$ है।
वह घटना कि लक्ष्य $A$ या $B$ द्वारा भेदा जाए लेकिन $C$ द्वारा नहीं,$(A \cup B) \cap \bar{C}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,$P((A \cup B) \cap \bar{C}) = P(A \cup B) \times P(\bar{C})$ है।
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ है।
$P(A \cup B) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2}) = \frac{6+4-3}{8} = \frac{7}{8}$ है।
अतः,$P((A \cup B) \cap \bar{C}) = \frac{7}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{21}{64}$ है।

(D) दिया गया है $P(X \cup Y) = P(X \cap Y)$.
हम जानते हैं कि $P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$.
दी गई शर्त को प्रतिस्थापित करने पर,$P(X \cap Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$,जिसका अर्थ है $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y)$. अतः,कथन $2$ सही है।
अब,$P(X \cap Y') = P(X) - P(X \cap Y)$ और $P(X' \cap Y) = P(Y) - P(X \cap Y)$.
चूंकि $P(X \cup Y) = P(X \cap Y)$,इसका अर्थ है $P(X \cup Y) - P(X \cap Y) = 0$,जो $P(X \Delta Y) = 0$ है।
इसका अर्थ है $P(X \cap Y') = 0$ और $P(X' \cap Y) = 0$. अतः,कथन $1$ सही है।
चूंकि $P(X \cap Y') = 0$ और $P(X' \cap Y) = 0$,हमारे पास $P(X) = P(X \cap Y)$ और $P(Y) = P(X \cap Y)$ है,जो $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y)$ की ओर ले जाता है। इसलिए,कथन $2$ कथन $1$ की सही व्याख्या है।

(C) दी गई व्यंजक $\frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n+1}{3}$ है।
व्यंजक के पूर्णांक होने के लिए,$2n+1$ को $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है $2n+1 \equiv 0 \pmod{3}$,जिसका तात्पर्य है $2n \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}$,इसलिए $n \equiv 1 \pmod{3}$।
हमें समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ में $n$ के उन मानों को खोजना है जिनके लिए $n = 3k+1$ हो,जहाँ $k \ge 0$ एक पूर्णांक है।
$k=0$ के लिए,$n=1$। $k=333$ के लिए,$n=3(333)+1 = 1000$।
अतः,$k$ का मान $0$ से $333$ तक हो सकता है,जो कुल $333 - 0 + 1 = 334$ मान देता है।
$n$ के लिए संभावित कुल मानों की संख्या $1000$ है।
इसलिए,आवश्यक प्रायिकता $\frac{334}{1000} = 0.334$ है।

(B) $S = \{1, 2, \dots, 20\}$ के सभी तत्वों का योग $\frac{20 \times 21}{2} = 210$ है।
मान लीजिए $B$,$S$ का एक ऐसा उपसमुच्चय है जिसके तत्वों का योग $203$ है।
मान लीजिए $B^c = S \setminus B$,$S$ में $B$ का पूरक समुच्चय है।
$B^c$ के तत्वों का योग $(S \text{ का योग}) - (B \text{ का योग}) = 210 - 203 = 7$ होगा।
हमें $S$ के उन उपसमुच्चयों को खोजना है जिनके तत्वों का योग $7$ है।
$S$ के ऐसे उपसमुच्चय जिनके तत्वों का योग $7$ है,वे हैं:
$1. \{7\}$
$2. \{1, 6\}$
$3. \{2, 5\}$
$4. \{3, 4\}$
$5. \{1, 2, 4\}$
ऐसे कुल $5$ उपसमुच्चय हैं।
$S$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^{20}$ है।
अतः,यादृच्छिक रूप से चुने गए उपसमुच्चय के "नाइस" होने की प्रायिकता $\frac{5}{2^{20}}$ है।

(D) मान लीजिए $X_i$ $i$-वां उछाल है। प्रयोग $5$-वें उछाल पर समाप्त होता है,इसका अर्थ है कि $4$-था और $5$-वां उछाल $4$ होना चाहिए और $3$-रा उछाल $4$ नहीं होना चाहिए।
संभावित अनुक्रम:
$1$. $(4, X_2, X_3, 4, 4)$ जहाँ $X_2, X_3 \neq 4$: प्रायिकता $= \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{6^5}$.
$2$. $(X_1, 4, X_3, 4, 4)$ जहाँ $X_1, X_3 \neq 4$: प्रायिकता $= \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{6^5}$.
$3$. $(X_1, X_2, X_3, 4, 4)$ जहाँ $X_3 \neq 4$ और $(X_1, X_2) \neq (4, 4)$:
कुल प्रायिकता $= \frac{25+25+125}{6^5} = \frac{175}{6^5}$.

(C) $10$ अलग-अलग गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में रखने के कुल तरीके $4^{10}$ हैं।
उन तरीकों की संख्या जिनमें दो बक्सों में क्रमशः $2$ और $3$ गेंदें हों:
$1$. $4$ में से $2$ बक्सों का चयन करें: $P(4, 2) = 12$ तरीके।
$2$. $10$ गेंदों में से $2$ और $3$ गेंदों का चयन करें: $\binom{10}{2} \times \binom{8}{3} = 2520$ तरीके।
$3$. शेष $5$ गेंदों को शेष $2$ बक्सों में $2^5 = 32$ तरीकों से रखा जा सकता है।
कुल अनुकूल तरीके $= 12 \times 2520 \times 32 = 967680$।
प्रायिकता $= \frac{967680}{4^{10}} = \frac{945}{2^{10}}$।

(A) गेंदों की कुल संख्या $= 10 + 8 = 18$.
काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B) = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
चूंकि गेंदें प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं,इसलिए घटनाएं स्वतंत्र हैं।
एक काली और एक लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता दो तरीकों से हो सकती है: $(Black, Red)$ या $(Red, Black)$.
$P(\text{एक काली, एक लाल}) = P(B) \times P(R) + P(R) \times P(B)$.
$= (\frac{5}{9} \times \frac{4}{9}) + (\frac{4}{9} \times \frac{5}{9})$.
$= \frac{20}{81} + \frac{20}{81} = \frac{40}{81}$.

(B) दो घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र कहलाती हैं यदि $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ हो।
विकल्प $B$ में दी गई शर्त पर विचार करें:
$P(A' \cap B') = [1 - P(A)][1 - P(B)]$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$A' \cap B' = (A \cup B)'$,इसलिए:
$P((A \cup B)') = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$
$1 - P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$
चूंकि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$,इसलिए:
$P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$
$P(A \cap B) = P(A)P(B)$
यह पुष्टि करता है कि यदि $P(A' \cap B') = [1 - P(A)][1 - P(B)]$ है,तो $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

(A) मान लीजिए $S$ सफलता ('$6$' प्राप्त करना) और $F$ विफलता ('$6$' प्राप्त न करना) को दर्शाता है।
$P(S) = \frac{1}{6}$,$P(F) = \frac{5}{6}$.
$A$ जीतता है यदि $A$ पहले,तीसरे,पांचवें,$\dots$ प्रयास में '$6$' प्राप्त करता है।
$P(A \text{ की जीत}) = P(S) + P(FFS) + P(FFFFS) + \dots$
$= \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^4 \cdot \frac{1}{6} + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{6}$ और सार्व अनुपात $r = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ है।
$P(A \text{ की जीत}) = \frac{a}{1-r} = \frac{1/6}{1 - 25/36} = \frac{1/6}{11/36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{36}{11} = \frac{6}{11}$.
चूंकि $A$ और $B$ केवल दो खिलाड़ी हैं,$P(B \text{ की जीत}) = 1 - P(A \text{ की जीत}) = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$.

(D) माना $A$ के लिए $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p_A = \frac{5}{36}$ है।
माना $B$ के लिए $7$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p_B = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
$q_A = 1 - p_A = \frac{31}{36}$ और $q_B = 1 - p_B = \frac{5}{6}$ है।
$A$ के जीतने की प्रायिकता $P(A \text{ wins}) = p_A + (q_A q_B) p_A + (q_A q_B)^2 p_A + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = \frac{5}{36}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{155}{216}$ है।
$P(A \text{ wins}) = \frac{a}{1-r} = \frac{5/36}{1 - 155/216} = \frac{30}{61}$.

(B) मान लीजिए $P(E_{1}) = P_{1}$,$P(E_{2}) = P_{2}$,और $P(E_{3}) = P_{3}$ है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,केवल $E_{1}$ के घटित होने की प्रायिकता $\alpha = P_{1}(1 - P_{2})(1 - P_{3})$ है।
केवल $E_{2}$ के घटित होने की प्रायिकता $\beta = (1 - P_{1})P_{2}(1 - P_{3})$ है।
केवल $E_{3}$ के घटित होने की प्रायिकता $\gamma = (1 - P_{1})(1 - P_{2})P_{3}$ है।
कोई भी घटना न घटने की प्रायिकता $p = (1 - P_{1})(1 - P_{2})(1 - P_{3})$ है।
दिया गया है $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$,मान रखने पर:
$\left(P_{1}(1 - P_{2})(1 - P_{3}) - 2(1 - P_{1})P_{2}(1 - P_{3})\right)p = P_{1}(1 - P_{2})(1 - P_{3}) \cdot (1 - P_{1})P_{2}(1 - P_{3})$.
दोनों पक्षों को $(1 - P_{1})(1 - P_{2})(1 - P_{3})^2$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है:
$\frac{P_{1}}{1 - P_{1}} - \frac{2P_{2}}{1 - P_{2}} = \frac{P_{1}P_{2}}{(1 - P_{1})(1 - P_{2})}$.
इसे सरल करने पर $P_{1} = 2P_{2}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ से,हमें $P_{2} = 3P_{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P_{1} = 2(3P_{3}) = 6P_{3}$ है।
इस प्रकार,$\frac{P_{1}}{P_{3}} = 6$।

(D) अनुक्रम $'1001'$ शुरुआती स्थान के आधार पर दो तरीकों से हो सकता है:
स्थिति $1$: अनुक्रम विषम स्थान से शुरू होता है।
विषम स्थान $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
सम स्थान $(0)$: $P(0) = \frac{1}{2}$
विषम स्थान $(0)$: $P(0) = \frac{1}{3}$
सम स्थान $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
प्रायिकता $= \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$
स्थिति $2$: अनुक्रम सम स्थान से शुरू होता है।
सम स्थान $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
विषम स्थान $(0)$: $P(0) = \frac{1}{3}$
सम स्थान $(0)$: $P(0) = \frac{1}{2}$
विषम स्थान $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
प्रायिकता $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$
कुल प्रायिकता $= \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

(B) मान लीजिए $P(B_{1}) = p_{1}$,$P(B_{2}) = p_{2}$,और $P(B_{3}) = p_{3}$ है।
दिया गया है कि $p_{1}(1 - p_{2})(1 - p_{3}) = \alpha$ $...(i)$
$p_{2}(1 - p_{1})(1 - p_{3}) = \beta$ $...(ii)$
$p_{3}(1 - p_{1})(1 - p_{2}) = \gamma$ $...(iii)$
और $(1 - p_{1})(1 - p_{2})(1 - p_{3}) = p$ $...(iv)$
इनसे,हमें $\frac{p_{1}}{1 - p_{1}} = \frac{\alpha}{p}$,$\frac{p_{2}}{1 - p_{2}} = \frac{\beta}{p}$,और $\frac{p_{3}}{1 - p_{3}} = \frac{\gamma}{p}$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण: $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta \Rightarrow \frac{1}{p} = \frac{1}{\beta} - \frac{2}{\alpha} \Rightarrow \frac{1}{\beta} = \frac{1}{p} + \frac{2}{\alpha}$.
साथ ही,$(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma \Rightarrow \frac{1}{2\gamma} - \frac{3}{2\beta} = \frac{1}{p} \Rightarrow \frac{1}{2\gamma} = \frac{1}{p} + \frac{3}{2\beta}$.
दूसरे समीकरण में $\frac{1}{\beta} = \frac{1}{p} + \frac{2}{\alpha}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2\gamma} = \frac{1}{p} + \frac{3}{2}(\frac{1}{p} + \frac{2}{\alpha}) = \frac{1}{p} + \frac{3}{2p} + \frac{3}{\alpha} = \frac{5}{2p} + \frac{3}{\alpha}$.
$\frac{\alpha}{p} = \frac{p_{1}}{1 - p_{1}}$ और $\frac{\gamma}{p} = \frac{p_{3}}{1 - p_{3}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - p_{3}}{p_{3}} = \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{1 - p_{1}}{p_{1}}$ प्राप्त होता है।
सरलीकरण करने पर $\frac{p_{1}}{p_{3}} = 6$ प्राप्त होता है।

(C) ठीक एक $7$ वाली $4$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या:
यदि $7$ हजार के स्थान पर है: $1 \times 9 \times 9 \times 9 = 729$.
यदि $7$ हजार के स्थान पर नहीं है: $3 \times (8 \times 9 \times 9) = 1944$.
कुल $n(S) = 729 + 1944 = 2673$.
संख्या को $5$ से विभाजित करने पर शेषफल $2$ प्राप्त करने के लिए,अंतिम अंक $2$ या $7$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: अंतिम अंक $7$ है। अन्य तीन अंक $7$ नहीं हो सकते। हजार के स्थान के लिए $8$ विकल्प और अन्य दो स्थानों के लिए $9$ विकल्प हैं। $n(E_1) = 8 \times 9 \times 9 = 648$.
स्थिति $2$: अंतिम अंक $2$ है। $7$ पहले तीन स्थानों में से किसी एक पर हो सकता है। यदि $7$ हजार के स्थान पर है: $1 \times 9 \times 9 = 81$. यदि $7$ सौ या दहाई के स्थान पर है: $2 \times (8 \times 9) = 144$. $n(E_2) = 81 + 144 = 225$.
कुल $n(E) = 648 + 225 = 873$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{873}{2673} = \frac{97}{297}$.

(D) $A$ या $B$ में से ठीक एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = \frac{5}{9}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, यह $P(A)P(\overline{B}) + P(\overline{A})P(B) = \frac{5}{9}$ हो जाता है।
दिए गए मान $P(A) = p$ और $P(B) = 2p$ रखने पर, हमें $p(1 - 2p) + (1 - p)(2p) = \frac{5}{9}$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर, $p - 2p^2 + 2p - 2p^2 = \frac{5}{9}$, जो सरल होकर $3p - 4p^2 = \frac{5}{9}$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण में व्यवस्थित करने पर: $36p^2 - 27p + 5 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(12p - 5)(3p - 1) = 0$।
अतः, $p = \frac{5}{12}$ या $p = \frac{1}{3}$।
$p$ का अधिकतम मान $\frac{5}{12}$ है।

(D) प्रत्येक फलक प्राप्त करने की प्रायिकता $P(n) = \frac{1}{n}$ द्वारा दी गई है।
$P(2) = \frac{1}{2}, P(4) = \frac{1}{4}, P(8) = \frac{1}{8}, P(16) = \frac{1}{16}, P(32) = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$.
हमें तीन बार फेंकने पर योग $48$ प्राप्त करना है। संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:
$1$. $(16, 16, 16)$: प्रायिकता $= P(16) \times P(16) \times P(16) = \frac{1}{16} \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16^3} = \frac{1}{4096}$.
$2$. $(32, 8, 8)$ किसी भी क्रम में: क्रमचयों की संख्या $\frac{3!}{2!} = 3$ है।
प्रायिकता $= 3 \times P(32) \times P(8) \times P(8) = 3 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{8} = \frac{3}{1024} = \frac{12}{4096}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{1}{4096} + \frac{12}{4096} = \frac{13}{4096} = \frac{13}{2^{12}}$.

$P \left( A ^{\prime}\right)<\frac{1}{5}=\frac{36}{180}$

$5$ times the sum of missing number should be less than $36 .$

If $1$ digit is missing $=7$

If $2$ digit is missing $=9$

If $3$ digit is missing $=2$

If $0$ digit is missing $=1$

Alternate

$A$ is subset of $S$ hence

$A$ can have elements:

type $1:\{\}$

type $2$: $\left\{E_{1}\right\},\left\{E_{2}\right\}, \ldots \ldots .\left\{E_{8}\right\}$

type $3$: $\left\{ E _{1}, E _{2}\right\},\left\{ E _{1}, E _{3}\right\} \ldots \ldots .\left\{ E _{1}, E _{ 8 }\right\}$

.

.

.

type $6$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots E _{5}\right\}, \ldots \ldots\left\{ E _{4}, E _{5}, E _{6}, E _{7}, E _{8}\right\}$

type $7$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots . . E _{6}\right\}, \ldots \ldots .\left\{ E _{3}, E _{4}, \ldots \ldots \ldots . . E _{ 8 }\right\}$

type $8$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots . E _{9}\right\}\left\{ E _{2}, E _{3}, \ldots \ldots \ldots . E _{8}\right\}$

type $9$: $\left\{ E _{1}, E _{2}, \ldots \ldots . . E _{ 8 }\right\}$

As $P ( A ) \geq \frac{4}{5}$

Note : Type $1$ to Type $4$ elements can not be in set

$A$ as maximum probability of type $4$ elements.

$\left\{ E _{5}, E _{6}, E _{ 7 }, E _{ s }\right\}$ is $\frac{5}{36}+\frac{6}{36}+\frac{7}{36}+\frac{8}{36}=\frac{13}{18}<\frac{4}{5}$

Now for Type $5$ acceptable elements let's call probability as $P _{ 5 }$

$P _{5}=\frac{ n _{1}+ n _{2}+ n _{3}+ n _{4}+ n _{5}}{36} \leq \frac{4}{5}$

$\Rightarrow n _{1}+ n _{2}+ n _{3}+ n _{4}+ n _{5} \geq 28.8$

Hence, $2$ possible ways $\left\{ E _{9}, E _{6}, E _{\eta}, E _{\varepsilon}, E _{3}\right.$ or $\left.E _{4}\right\}$

$P _{6}= n _{1}+ n _{2}+ n _{3}+ n _{4}+ n _{5}+ n _{6} \geq 28.8$

$\Rightarrow 9$ possible ways

$P _{8} \Rightarrow n _{1}+ n _{2}+\ldots \ldots \ldots+ n _{1} \geq 288$

$\Rightarrow 7$ possible ways

$P _{ 8 } \Rightarrow n _{1}+ n _{2}+\ldots \ldots \ldots+ n _{ 8 } \geq 28.8$

$\Rightarrow 1$ possible way

Total $=19$

(C) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ है। ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $10^4 = 10000$ है,क्योंकि प्रत्येक $4$ प्रविष्टियों को $10$ अभाज्य संख्याओं में से $10$ तरीकों से चुना जा सकता है।
एक आव्यूह अव्युत्क्रमणीय होता है यदि उसका सारणिक $|A| = ad - bc = 0$ हो,जिसका अर्थ है $ad = bc$।
स्थिति $1$: सभी प्रविष्टियाँ समान हैं। ऐसे $10$ आव्यूह हैं (उदाहरण के लिए,प्रत्येक अभाज्य संख्या $p$ के लिए $\begin{bmatrix} p & p \\ p & p \end{bmatrix}$)।
स्थिति $2$: प्रविष्टियाँ सभी समान नहीं हैं,लेकिन $ad = bc$ है। यदि $ad = bc = k$ है,तो हमें $a, d$ और $b, c$ के ऐसे जोड़े चुनने होंगे जिनका गुणनफल समान हो।
गणना के अनुसार,कुल अव्युत्क्रमणीय आव्यूहों की संख्या $190$ है।
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{190}{10000} = \frac{19}{1000}$।

(A) द्विघात व्यंजक $x^{2}+\alpha x+\beta > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने हेतु विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = \alpha^{2} - 4\beta < 0 \implies \alpha^{2} < 4\beta$.
पासे को दो बार फेंकने पर कुल संभावित परिणाम $6 \times 6 = 36$ हैं।
प्रत्येक $\beta \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए शर्त $\alpha^{2} < 4\beta$ की जाँच करते हैं:
यदि $\beta = 1$,$\alpha^{2} < 4 \implies \alpha \in \{1\}$ ($1$ स्थिति)।
यदि $\beta = 2$,$\alpha^{2} < 8 \implies \alpha \in \{1, 2\}$ ($2$ स्थितियाँ)।
यदि $\beta = 3$,$\alpha^{2} < 12 \implies \alpha \in \{1, 2, 3\}$ ($3$ स्थितियाँ)।
यदि $\beta = 4$,$\alpha^{2} < 16 \implies \alpha \in \{1, 2, 3\}$ ($3$ स्थितियाँ)।
यदि $\beta = 5$,$\alpha^{2} < 20 \implies \alpha \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ स्थितियाँ)।
यदि $\beta = 6$,$\alpha^{2} < 24 \implies \alpha \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ स्थितियाँ)।
कुल अनुकूल स्थितियाँ $= 1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 17$.
अतः,प्रायिकता $\frac{17}{36}$ है।

(A) प्रारंभ में,रवि के पास ${2R, 2B}$ और रश्मि के पास ${2R, 2B}$ हैं। प्रत्येक के पास कुल $4$ कार्ड हैं।
चरण $1$: रवि रश्मि से एक कार्ड चुनता है। रश्मि के पास अब $3$ कार्ड हैं। फिर रश्मि रवि से एक कार्ड चुनती है। रवि के पास अब फिर से $4$ कार्ड हैं।
सभी $4$ कार्ड एक ही रंग के होने के लिए,रवि के पास अंत में $4$ लाल कार्ड और रश्मि के पास $4$ काले कार्ड होने चाहिए,या इसके विपरीत।
स्थिति $1$: रवि के पास $4$ लाल कार्ड और रश्मि के पास $4$ काले कार्ड हों।
पहले आदान-प्रदान में,रवि को रश्मि से एक लाल कार्ड चुनना होगा (प्रायिकता $\frac{2}{4}$) और रश्मि को रवि से एक काला कार्ड चुनना होगा (प्रायिकता $\frac{2}{4}$)। इसके बाद,रवि के पास ${3R, 1B}$ और रश्मि के पास ${1R, 3B}$ होते हैं।
दूसरे आदान-प्रदान में,रवि को रश्मि से शेष लाल कार्ड चुनना होगा (प्रायिकता $\frac{1}{4}$) और रश्मि को रवि से शेष काला कार्ड चुनना होगा (प्रायिकता $\frac{1}{4}$)।
स्थिति $1$ की प्रायिकता = $(\frac{2}{4} \times \frac{2}{4}) \times (\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}) = \frac{4}{16} \times \frac{1}{16} = \frac{4}{256} = \frac{1}{64}$.
स्थिति $2$: रवि के पास $4$ काले कार्ड और रश्मि के पास $4$ लाल कार्ड हों।
समरूपता द्वारा,यह प्रायिकता भी $\frac{1}{64}$ है।
कुल प्रायिकता $p = \frac{1}{64} + \frac{1}{64} = \frac{2}{64} = \frac{1}{32} = 0.03125 = 3.125 \%$.
चूंकि $3.125 \% \leq 5 \%$,सही विकल्प $A$ है।

(A) समुच्चय $A_n$ में $(n+1)^2$ बिंदु हैं। कम से कम दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखाओं की कुल संख्या $S_n$,$O(n^4)$ के रूप में बढ़ती है।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $ax+by+c=0$ है,जहाँ $a, b, c$ पूर्णांक हैं।
मूल बिंदु से इस रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=R^2$ है,जहाँ $R^2 = n^2\left(1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$ है।
एक रेखा वृत्त की स्पर्शरेखा होती है यदि $d^2 = R^2$,जिसका अर्थ है $\frac{c^2}{a^2+b^2} = n^2\left(1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$।
चूंकि $a, b, c$ पूर्णांक हैं,$\frac{c^2}{a^2+b^2}$ एक परिमेय संख्या है। हालाँकि,अधिकांश $n$ के लिए,$R^2$ अपरिमेय है। यहाँ तक कि जब $R^2$ परिमेय होता है,तब भी इस शर्त को पूरा करने वाली रेखाओं की संख्या $S_n$ में रेखाओं की कुल संख्या की तुलना में नगण्य है जैसे-जैसे $n \rightarrow \infty$।
अतः,प्रायिकता $P_n$ कि एक यादृच्छिक रूप से चुनी गई रेखा वृत्त की स्पर्शरेखा है,$n \rightarrow \infty$ होने पर $0$ की ओर प्रवृत्त होती है।

(D) मान लीजिए कि दो पासों पर संख्याएँ $x_1$ और $x_2$ हैं,जहाँ $1 \le x_1, x_2 \le 12$ है।
कुल परिणामों की संख्या $= 12 \times 12 = 144$ है।
हमें योग $S = x_1 + x_2$ ऐसा चाहिए कि $S \equiv 2 \pmod{9}$ हो।
चूँकि $2 \le S \le 24$ है,इसलिए $S$ के संभावित मान $2, 11, 20$ हैं।
स्थिति $I$: $S = 2$. केवल एक परिणाम $(1, 1)$ है। परिणामों की संख्या $= 1$ है।
स्थिति $II$: $S = 11$. परिणाम $(1, 10), (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2), (10, 1)$ हैं। परिणामों की संख्या $= 10$ है।
स्थिति $III$: $S = 20$. परिणाम $(8, 12), (9, 11), (10, 10), (11, 9), (12, 8)$ हैं। परिणामों की संख्या $= 5$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 10 + 5 = 16$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{16}{144} = \frac{1}{9}$ है।

(B) $4$ अलग गेंदों को $4$ अलग बक्सों में रखने के कुल तरीके $4^4 = 256$ हैं।
ठीक एक बक्सा खाली रहने के लिए,$4$ गेंदों को $3$ बक्सों में होना चाहिए। इसका अर्थ है कि एक बक्से में $2$ गेंदें और शेष दो बक्सों में $1-1$ गेंद होगी।
खाली बक्सा चुनने के तरीके $\binom{4}{1} = 4$ हैं।
शेष $3$ बक्सों में से $2$ गेंदों वाला बक्सा चुनने के तरीके $\binom{3}{1} = 3$ हैं।
$4$ गेंदों को इन $3$ बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीके कि एक में $2$ गेंदें और दो में $1-1$ गेंद हो,$\frac{4!}{2!1!1!} = \frac{24}{2} = 12$ हैं।
कुल अनुकूल तरीके = $4 \times 3 \times 12 = 144$.
प्रायिकता = $\frac{144}{256} = \frac{9}{16}$.

(A) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पहले ड्रा में नीली गेंद निकाली जाती है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि पहले ड्रा में लाल गेंद निकाली जाती है।
मान लीजिए $C$ वह घटना है कि दूसरे ड्रा में नीली गेंद निकाली जाती है।
पहले ड्रा में नीली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(A) = \frac{b}{b+r}$ है।
यदि नीली गेंद निकाली जाती है,तो उसे एक और नीली गेंद के साथ वापस रखा जाता है,इसलिए अब बॉक्स में $b+1$ नीली गेंदें और $r$ लाल गेंदें हैं। गेंदों की कुल संख्या $b+r+1$ है। अतः,$P(C|A) = \frac{b+1}{b+r+1}$ है।
पहले ड्रा में लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B) = \frac{r}{b+r}$ है।
यदि लाल गेंद निकाली जाती है,तो उसे एक और लाल गेंद के साथ वापस रखा जाता है,इसलिए अब बॉक्स में $b$ नीली गेंदें और $r+1$ लाल गेंदें हैं। गेंदों की कुल संख्या $b+r+1$ है। अतः,$P(C|B) = \frac{b}{b+r+1}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,दूसरी गेंद के नीली होने की प्रायिकता है:
$P(C) = P(A) \cdot P(C|A) + P(B) \cdot P(C|B)$
$P(C) = \left(\frac{b}{b+r}\right) \left(\frac{b+1}{b+r+1}\right) + \left(\frac{r}{b+r}\right) \left(\frac{b}{b+r+1}\right)$
$P(C) = \frac{b(b+1) + rb}{(b+r)(b+r+1)}$
$P(C) = \frac{b^2 + b + rb}{(b+r)(b+r+1)} = \frac{b(b+r+1)}{(b+r)(b+r+1)}$
$P(C) = \frac{b}{b+r}$

(B) मान लीजिए लाल,सफेद,नीले और हरे कंचों की संख्या क्रमशः $r, w, b, g$ है और $r + w + b + g = n$ है।
दिया गया है कि घटनाएं समान रूप से संभावित हैं,इसलिए:
$\frac{{}^rC_4}{{}^nC_4} = \frac{{}^wC_1 \cdot {}^rC_3}{{}^nC_4} = \frac{{}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^rC_2}{{}^nC_4} = \frac{{}^rC_1 \cdot {}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^gC_1}{{}^nC_4}$
प्रथम समानता से: ${}^rC_4 = {}^wC_1 \cdot {}^rC_3 \Rightarrow r = 4w + 3$.
दूसरी समानता से: ${}^wC_1 \cdot {}^rC_3 = {}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^rC_2 \Rightarrow r = 3b + 2$.
तीसरी समानता से: ${}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^rC_2 = {}^rC_1 \cdot {}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^gC_1 \Rightarrow r = 2g + 1$.
$r$ के लिए समीकरणों की तुलना करने पर: $r = 4w + 3 = 3b + 2 = 2g + 1$.
$r$ का न्यूनतम मान $11$ प्राप्त होता है।
अतः $w = 2, b = 3, g = 5$.
कुल कंचे $n = 11 + 2 + 3 + 5 = 21$।

(C) मान लीजिए $S_n$ उन उपसमुच्चयों $A \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}$ की संख्या है जिनमें किन्हीं दो तत्वों का अंतर कम से कम $3$ है। मान लीजिए $a_n$ ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या है।
$n=10$ के लिए,हम कुल वैध उपसमुच्चयों की संख्या $N$ की गणना करते हैं।
मान लीजिए $f(n)$ $X_n$ के लिए ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या है। पुनरावृत्ति संबंध $f(n) = f(n-1) + f(n-3) + 1$ है (जहाँ $1$ रिक्त समुच्चय के लिए है)।
मानों की गणना करने पर: $f(0)=1, f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4, f(4)=6, f(5)=9, f(6)=13, f(7)=19, f(8)=28, f(9)=41, f(10)=60$.
कुल उपसमुच्चय $N = 60$.
$1$ वाले उपसमुच्चयों की संख्या: यदि $1 \in A$,तो $2, 3 \notin A$. हमें $\{4, 5, \ldots, 10\}$ से एक उपसमुच्चय चुनने की आवश्यकता है ताकि तत्वों का अंतर कम से कम $3$ हो। यह समान शर्त के साथ $\{1, 2, \ldots, 7\}$ से एक उपसमुच्चय चुनने के बराबर है। अतः,$N(1 \in A) = f(7) = 19$.
इसलिए,$p = \frac{19}{60}$.
$2$ वाले उपसमुच्चयों की संख्या: यदि $2 \in A$,तो $1, 3, 4 \notin A$. हमें $\{5, 6, \ldots, 10\}$ से एक उपसमुच्चय चुनने की आवश्यकता है ताकि तत्वों का अंतर कम से कम $3$ हो। यह समान शर्त के साथ $\{1, 2, \ldots, 6\}$ से एक उपसमुच्चय चुनने के बराबर है। अतः,$N(2 \in A) = f(6) = 13$.
इसलिए,$q = \frac{13}{60}$.
अतः,$p > q$ और $p - q = \frac{19-13}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$.