$\left\{1, 2, 2, 3, 3, 3\right\}$ अंकों वाले एक पासे को तीन बार फेंका जाता है। पासे के फलकों पर आने वाली संख्याओं का योग $6$ होने की प्रायिकता क्या है?

चार मशीनें हैं और यह ज्ञात है कि उनमें से ठीक दो मशीनें खराब हैं। उन्हें एक-एक करके,यादृच्छिक क्रम में तब तक परखा जाता है जब तक कि दोनों खराब मशीनें पहचानी न जाएं। तो,केवल दो परीक्षणों की आवश्यकता होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है जहाँ $\omega \neq 1$ है। एक निष्पक्ष पासे को तीन बार फेंका जाता है। यदि $r_1, r_2$ और $r_3$ पासे पर प्राप्त संख्याएँ हैं,तो $\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ होने की प्रायिकता क्या है?

पहली थैली में $3$ लाल और $5$ काली गेंदें हैं और दूसरी थैली में $6$ लाल और $4$ काली गेंदें हैं। प्रत्येक थैली से एक गेंद निकाली जाती है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि एक गेंद लाल और दूसरी काली हो?

मान लीजिए कि $7$ प्रेक्षणों $2, 4, 10, x, 12, 14, y$ (जहाँ $x > y$) का माध्य और प्रसरण क्रमशः $8$ और $16$ हैं। समुच्चय $\{1, 2, 3, x-4, y, 5\}$ में से दो संख्याएँ बिना प्रतिस्थापन के एक के बाद एक चुनी जाती हैं। तो इस बात की प्रायिकता कि चुनी गई दो संख्याओं में से छोटी संख्या $4$ से कम है,क्या होगी:

एक संख्या $n$ को समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि $\frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i}$ एक पूर्णांक है?