$A$ और $B$ बारी-बारी से एक पासा फेंकते हैं जब तक कि उनमें से कोई एक '$6$' प्राप्त न कर ले और खेल जीत न जाए। यदि $A$ पहले शुरू करता है,तो उनकी जीतने की संबंधित प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

दो खिलाड़ी,$P_1$ और $P_2$,एक-दूसरे के खिलाफ खेल खेलते हैं। प्रत्येक दौर में,प्रत्येक खिलाड़ी एक बार पासा फेंकता है। मान लीजिए $x$ और $y$ $P_1$ और $P_2$ के परिणाम हैं। यदि $x > y$,तो $P_1$ को $5$ अंक और $P_2$ को $0$ अंक मिलते हैं। यदि $x = y$,तो प्रत्येक को $2$ अंक मिलते हैं। यदि $x < y$,तो $P_1$ को $0$ और $P_2$ को $5$ अंक मिलते हैं। मान लीजिए $X_n$ और $Y_n$ $n$ दौर के बाद $P_1$ और $P_2$ के कुल स्कोर हैं। निम्नलिखित का मिलान करें:

सूची-$I$	सूची-$II$
$(I)$ $(X_2 \geq Y_2)$ की प्रायिकता है	$(P)$ $\frac{3}{8}$
$(II)$ $(X_2 > Y_2)$ की प्रायिकता है	$(Q)$ $\frac{11}{16}$
$(III)$ $(X_3 = Y_3)$ की प्रायिकता है	$(R)$ $\frac{5}{16}$
$(IV)$ $(X_3 > Y_3)$ की प्रायिकता है	$(S)$ $\frac{355}{864}$
	$(T)$ $\frac{77}{432}$

प्रथम $10$ अभाज्य संख्याओं के समुच्चय से सभी प्रविष्टियों वाले यादृच्छिक रूप से चुने गए $2 \times 2$ आव्यूह के अव्युत्क्रमणीय (singular) होने की प्रायिकता क्या है?

एक सिक्के को $8$ बार उछाला जाता है। यदि पहले छह उछालों में ठीक $4$ चित (heads) आने और अंतिम पांच उछालों में ठीक $3$ चित आने की प्रायिकता $p$ है,तो $96p$ का मान ———— है।

मान लीजिए $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है जहाँ $\omega \neq 1$ है। एक निष्पक्ष पासे को तीन बार फेंका जाता है। यदि $r_1, r_2$ और $r_3$ पासे पर प्राप्त संख्याएँ हैं,तो $\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ होने की प्रायिकता क्या है?

यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं और $P(A) = p, P(B) = 2p$,तथा $P(A \text{ और } B \text{ में से ठीक एक घटना घटित हो}) = \frac{5}{9}$ है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।