Mix Examples-Probability Questions in Hindi

(B) द्विघात व्यंजक $lx^2 + mx + 1 > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने की शर्तें:
$1$. $x^2$ का गुणांक धनात्मक होना चाहिए: $l > 0$. जो यहाँ हमेशा सत्य है।
$2$. विविक्तकर $D < 0$: $m^2 - 4l < 0$,अर्थात $m^2 < 4l$.
कुल संभावित जोड़े $(l, m) = 7 \times 7 = 49$ हैं।
$l$ के मानों के लिए:
- $l = 1$ के लिए,$m^2 < 4 \implies m = 1$ ($1$ जोड़ा)।
- $l = 2$ के लिए,$m^2 < 8 \implies m = 1, 2$ ($2$ जोड़े)।
- $l = 3$ के लिए,$m^2 < 12 \implies m = 1, 2, 3$ ($3$ जोड़े)।
- $l = 4$ के लिए,$m^2 < 16 \implies m = 1, 2, 3$ ($3$ जोड़े)।
- $l = 5$ के लिए,$m^2 < 20 \implies m = 1, 2, 3, 4$ ($4$ जोड़े)।
- $l = 6$ के लिए,$m^2 < 24 \implies m = 1, 2, 3, 4$ ($4$ जोड़े)।
- $l = 7$ के लिए,$m^2 < 28 \implies m = 1, 2, 3, 4, 5$ ($5$ जोड़े)।
कुल अनुकूल परिणाम = $1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 = 22$.
प्रायिकता = $\frac{22}{49}$.

(D) $x^2+x+1=0$ के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है।
हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2=0$ होता है।
$\alpha^a+\alpha^b+\alpha^c=0$ के लिए,घात $\alpha^a, \alpha^b, \alpha^c$ को ${1, \omega, \omega^2}$ का एक क्रमचय (permutation) होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $a, b, c$ को $3k_1+r_1, 3k_2+r_2, 3k_3+r_3$ के रूप में होना चाहिए जहाँ ${r_1, r_2, r_3} = {0, 1, 2}$ मॉड्यूलो $3$ है।
पासे में,संख्याएँ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ होती हैं।
मॉड्यूलो $3$ के अनुसार,ये ${1, 2, 0, 1, 2, 0}$ हैं।
यहाँ दो $1$s,दो $2$s,और दो $0$s हैं।
${r_1, r_2, r_3} = {0, 1, 2}$ प्राप्त करने के लिए,हमें प्रत्येक शेषफल समूह से एक संख्या चुनने की आवश्यकता है।
किसी भी क्रम में ${0, 1, 2}$ शेषफल वाले $a, b, c$ चुनने के तरीकों की संख्या $3! \times (2 \times 2 \times 2) = 6 \times 8 = 48$ है।
कुल परिणाम $= 6^3 = 216$ हैं।
प्रायिकता $= \frac{48}{216} = \frac{2}{9}$।

(D) मान लीजिए $W_A, W_B, W_C$ क्रमशः थैलियों $A, B, C$ से सफेद गेंद निकालने की घटनाएं हैं और $R_A, R_B, R_C$ क्रमशः लाल गेंद निकालने की घटनाएं हैं।
$P(W_A) = \frac{3}{7}, P(R_A) = \frac{4}{7}$
$P(W_B) = \frac{4}{9}, P(R_B) = \frac{5}{9}$
$P(W_C) = \frac{5}{11}, P(R_C) = \frac{6}{11}$
हमें एक सफेद और दो लाल गेंदें चाहिए। यह तीन परस्पर अनन्य स्थितियों में हो सकता है:
स्थिति $I$: $A$ से सफेद,$B$ से लाल,$C$ से लाल: $P_1 = \frac{3}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{6}{11} = \frac{90}{693}$
स्थिति $II$: $A$ से लाल,$B$ से सफेद,$C$ से लाल: $P_2 = \frac{4}{7} \times \frac{4}{9} \times \frac{6}{11} = \frac{96}{693}$
स्थिति $III$: $A$ से लाल,$B$ से लाल,$C$ से सफेद: $P_3 = \frac{4}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{5}{11} = \frac{100}{693}$
कुल प्रायिकता $= P_1 + P_2 + P_3 = \frac{90+96+100}{693} = \frac{286}{693}$.

(A) कुल स्क्रू $= 50$.
खराब स्क्रू $= 5$.
सही स्क्रू $= 45$.
माना $A$ वह घटना है कि सभी $3$ स्क्रू सही हैं।
$(a)$ प्रतिस्थापन के साथ:
एक सही स्क्रू निकालने की प्रायिकता $P = \frac{45}{50} = \frac{9}{10}$ है।
प्रतिस्थापन के साथ होने के कारण,घटनाएँ स्वतंत्र हैं।
$P(A) = \left(\frac{9}{10}\right)^3$.
$(b)$ प्रतिस्थापन के बिना:
प्रायिकता $= \frac{45}{50} \times \frac{44}{49} \times \frac{43}{48} = \frac{1419}{1960}$.

(B) प्रायिकता के अभिगृहीतों के अनुसार,यदि $E_1 \subseteq E_2$ है,तो $P(E_1) \leq P(E_2)$ होता है।
कथन (iv) कहता है कि यदि $E_1 \subseteq E_2$ है,तो $P(E_2) \leq P(E_1)$,जो गलत है।
अतः,कथन (iv) $P$ द्वारा संतुष्ट नहीं होता है।

(A) मान लीजिए $O$ एक विषम संख्या और $E$ एक सम संख्या को दर्शाता है। समुच्चय $\{1, 2, \dots, 100\}$ में,$50$ विषम और $50$ सम संख्याएँ हैं। अतः,$P(O) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ और $P(E) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$।
तीन संख्याओं का योग विषम होने के लिए,हमारे पास विषम संख्या में विषम गेंदें होनी चाहिए। संभावित स्थितियाँ हैं:
$1$. तीन विषम गेंदें: $P(O, O, O) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
$2$. एक विषम और दो सम गेंदें: विषम गेंद $3$ में से किसी भी स्थान पर हो सकती है $(OEE, EOE, EEO)$।
$P(O, E, E) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
$P(E, O, E) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
$P(E, E, O) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
कुल प्रायिकता $= \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।

(A) मान लीजिए $R$ लाल गेंदों की संख्या है और $B$ काली गेंदों की संख्या है। प्रारंभ में,$R = 19$ और $B = 19$ है।
प्रत्येक चरण में,दो गेंदें हटाई जाती हैं:
$1$. यदि दो लाल गेंदें हटाई जाती हैं,तो $R$ में $2$ की कमी होती है $(R \to R-2, B \to B)$।
$2$. यदि दो काली गेंदें हटाई जाती हैं,तो $B$ में $2$ की कमी होती है $(R \to R, B \to B-2)$।
$3$. यदि एक लाल और एक काली गेंद हटाई जाती है,तो काली गेंद को हटा दिया जाता है और लाल गेंद को वापस डाल दिया जाता है $(R \to R, B \to B-1)$।
ध्यान दें कि लाल गेंदों की संख्या हमेशा विषम रहेगी क्योंकि उन्हें केवल जोड़े में ही हटाया जा सकता है। इसलिए,प्रक्रिया हमेशा $1$ लाल गेंद के साथ समाप्त होगी। अतः,प्रायिकता $1$ है।

(A) चूंकि प्रत्येक गेंद को $3$ बक्सों में से किसी एक में रखा जा सकता है,इसलिए कुल तरीके $3^{12}$ हैं।
पहले बक्से में ठीक $3$ गेंदें होने के अनुकूल तरीके:
$12$ में से $3$ गेंदों को चुनने के तरीके ${}^{12}C_3$ हैं।
शेष $9$ गेंदों को अन्य $2$ बक्सों में $2^9$ तरीकों से रखा जा सकता है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{{}^{12}C_3 \times 2^9}{3^{12}}$ है।

(B) $REGULATIONS$ शब्द में $11$ अलग-अलग अक्षर हैं।
चूंकि $G, U, L, A, T, I, O, N, S$ अक्षरों के सापेक्ष स्थान निश्चित हैं,हमें केवल $11$ उपलब्ध स्थानों में $R$ और $E$ के स्थानों पर विचार करना है।
$11$ स्थानों में $R$ और $E$ को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $^{11}P_2 = 11 \times 10 = 110$ हैं।
हमें $R$ और $E$ के बीच ठीक $4$ अक्षर चाहिए। यदि $R$ स्थान $i$ पर है और $E$ स्थान $j$ पर है,तो $|i - j| = 5$ होगा।
संभावित जोड़े $(i, j)$ हैं: $(1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10), (6, 11)$।
चूंकि $R$ और $E$ को आपस में बदला जा सकता है,हमारे पास $6 \times 2 = 12$ अनुकूल परिणाम हैं।
प्रायिकता $\frac{12}{110} = \frac{6}{55}$ है।

(C) जब एक पासे को तीन बार फेंका जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ होती है।
हमें योग $S$ ऐसा खोजना है कि $S$,$4n+1$ के रूप की अभाज्य संख्या हो।
संभावित योग $3$ से $18$ के बीच हैं।
इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ $3, 5, 7, 11, 13, 17$ हैं।
इनमें से,$4n+1$ के रूप की अभाज्य संख्याएँ $5, 13, 17$ हैं।
योग $5$ प्राप्त करने के तरीके: $(1,1,3)$ के $3$ क्रमचय,$(1,2,2)$ के $3$ क्रमचय। कुल = $6$ तरीके।
योग $13$ प्राप्त करने के तरीके: $(1,6,6)$ के $3$ क्रमचय,$(2,5,6)$ के $6$ क्रमचय,$(3,4,6)$ के $6$ क्रमचय,$(3,5,5)$ के $3$ क्रमचय,$(4,4,5)$ के $3$ क्रमचय। कुल = $21$ तरीके।
योग $17$ प्राप्त करने के तरीके: $(5,6,6)$ के $3$ क्रमचय। कुल = $3$ तरीके।
कुल अनुकूल परिणाम = $6 + 21 + 3 = 30$।
आवश्यक प्रायिकता = $\frac{30}{216} = \frac{5}{36}$।

(B) $5$ अलग-अलग पुस्तकों को $4$ छात्रों के बीच वितरित करने के कुल तरीके $4^5 = 1024$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक छात्र को कम से कम एक पुस्तक मिले,हमें पुस्तकों को इस तरह वितरित करना होगा कि एक छात्र को $2$ पुस्तकें मिलें और अन्य तीन छात्रों को $1-1$ पुस्तक मिले।
किस छात्र को $2$ पुस्तकें मिलेंगी,यह चुनने के तरीके $\binom{4}{1} = 4$ हैं।
$5$ में से $2$ पुस्तकें चुनने के तरीके $\binom{5}{2} = 10$ हैं।
शेष $3$ पुस्तकों को शेष $3$ छात्रों में वितरित करने के तरीके $3! = 6$ हैं।
कुल अनुकूल तरीके = $4 \times 10 \times 6 = 240$।
आवश्यक प्रायिकता $\frac{240}{1024} = \frac{15}{64}$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) माना $A$ वह घटना है कि योग $7$ है और $B$ वह घटना है कि योग $11$ है।
दो पासों को फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $36$ है।
योग $7$ के लिए परिणामों की संख्या $n(A) = 6$ है।
योग $11$ के लिए परिणामों की संख्या $n(B) = 2$ है।
प्रायिकताएं $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ और $P(B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ हैं।
$B$ से पहले $A$ आने की प्रायिकता अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दी जाती है:
$P = \frac{P(A)}{1 - P(\text{neither } A \text{ nor } B)} = \frac{1/6}{1 - (1 - 1/6 - 1/18)} = \frac{1/6}{4/18} = \frac{1/6}{2/9} = \frac{3}{4}$.

(A) तीन पासे फेंकने पर कुल परिणाम $6^3 = 216$ होते हैं।
घटना $A$ योग $S > 14$ है,अर्थात $S \in \{15, 16, 17, 18\}$।
इन योगों को प्राप्त करने के कुल परिणाम $20$ हैं।
घटना $B$ योग $3$ का गुणज है,अर्थात $S \in \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$।
$A \cap B$ में $S=15$ और $S=18$ शामिल हैं,इसलिए $n(A \cap B) = 11$।
$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{20-11}{216} = \frac{9}{216}$।
चूंकि $n(B) = 72$ है,$P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{72-11}{216} = \frac{61}{216}$।
अतः,$P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = \frac{9+61}{216} = \frac{70}{216} = \frac{35}{108}$।

(C) माना $P(A) = x$, $P(B) = y$, $P(C) = z$, $P(A \cap B) = p$, $P(B \cap C) = q$, $P(C \cap A) = r$, और $P(A \cap B \cap C) = k = \frac{1}{16}$ है।
दिया है $P(\text{exactly one of } A \text{ or } B) = x + y - 2p = \frac{1}{4}$।
इसी प्रकार, $y + z - 2q = \frac{1}{4}$ और $z + x - 2r = \frac{1}{4}$।
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2(x + y + z) - 2(p + q + r) = \frac{3}{4} \implies x + y + z - (p + q + r) = \frac{3}{8}$।
कम से कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B \cup C) = (x + y + z) - (p + q + r) + k$ है।
मान रखने पर: $P(A \cup B \cup C) = \frac{3}{8} + \frac{1}{16} = \frac{7}{16}$।

(C) माना $n-1$ अनुचित सिक्के हैं (दोनों तरफ चित) और $2n - (n-1) = n+1$ उचित सिक्के हैं।
कुल सिक्के = $2n$.
अनुचित सिक्का चुनने की प्रायिकता $\frac{n-1}{2n}$ है और उचित सिक्का चुनने की प्रायिकता $\frac{n+1}{2n}$ है।
चित आने की प्रायिकता इस प्रकार है:
$P(H) = P(H|\text{अनुचित})P(\text{अनुचित}) + P(H|\text{उचित})P(\text{उचित})$
$\frac{41}{56} = (1) \times \frac{n-1}{2n} + (\frac{1}{2}) \times \frac{n+1}{2n}$
$\frac{41}{56} = \frac{2(n-1) + (n+1)}{4n}$
$\frac{41}{56} = \frac{3n-1}{4n}$
$41 \times 4n = 56 \times (3n-1)$
$164n = 168n - 56$
$4n = 56 \Rightarrow n = 14$.
अनुचित सिक्कों की संख्या $n-1 = 14-1 = 13$ है।

(D) कुल गेंदों की संख्या $= 2 + 3 + 5 = 10$ है।
मान लीजिए $R_3$ वह घटना है कि तीसरी निकाली गई गेंद लाल है।
बिना प्रतिस्थापन के गेंद निकालने की प्रक्रिया में समरूपता (symmetry) के कारण,$k$-वीं गेंद के किसी विशेष रंग का होने की प्रायिकता थैले में उस रंग के प्रारंभिक अनुपात के बराबर होती है।
किसी भी स्थान $k$ (जहाँ $1 \le k \le 10$) के लिए,$k$-वीं गेंद के लाल होने की प्रायिकता $P(R_k) = \frac{\text{लाल गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$P(R_3) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$।

(C) मान लीजिए $E_A$ योग $6$ प्राप्त करने की घटना है और $E_B$ योग $7$ प्राप्त करने की घटना है।
योग $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E_A) = \frac{5}{36}$ है।
योग $6$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E_A^c) = 1 - \frac{5}{36} = \frac{31}{36}$ है।
योग $7$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E_B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
योग $7$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E_B^c) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
$A$ जीतता है यदि वह अपने पहले प्रयास में $6$ प्राप्त करता है,या यदि $A$ विफल रहता है,$B$ विफल रहता है,और फिर $A$ अपने दूसरे प्रयास में $6$ प्राप्त करता है,इत्यादि।
$P(A \text{ wins}) = P(E_A) + P(E_A^c)P(E_B^c)P(E_A) + P(E_A^c)P(E_B^c)P(E_A^c)P(E_B^c)P(E_A) + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{5}{36}$ और सार्व अनुपात $r = P(E_A^c)P(E_B^c) = \frac{31}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{155}{216}$ है।
$P(A \text{ wins}) = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{155}{216}} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{61}{216}} = \frac{5}{36} \times \frac{216}{61} = \frac{30}{61}$.

(B) दिया गया है कि,$P(A) = 0.6$ और $P(B) = 0.8$।
अतः,$P(A') = 0.4$ और $P(B') = 0.2$।
$A$ जीतता है यदि $A$ पहले शॉट में लक्ष्य भेद दे,या $A$ चूक जाए,$B$ चूक जाए और $A$ तीसरे शॉट में लक्ष्य भेद दे,या $A$ चूक जाए,$B$ चूक जाए,$A$ चूक जाए,$B$ चूक जाए और $A$ पांचवें शॉट में लक्ष्य भेद दे,इत्यादि।
$A$ के जीतने की प्रायिकता $= P(A) + P(A')P(B')P(A) + P(A')P(B')P(A')P(B')P(A) + \dots$
$= 0.6 + (0.4)(0.2)(0.6) + (0.4)^2(0.2)^2(0.6) + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 0.6$ और सार्व अनुपात $r = (0.4)(0.2) = 0.08$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$P(A \text{ जीतता है}) = \frac{0.6}{1 - 0.08} = \frac{0.6}{0.92} = \frac{60}{92} = \frac{15}{23}$।

(C) माना $A$ वह घटना है कि विमान-$I$ लक्ष्य को सफलतापूर्वक भेदता है और $B$ वह घटना है कि विमान-$II$ लक्ष्य को सफलतापूर्वक भेदता है।
दिया गया है: $P(A) = 0.3$ और $P(B) = 0.2$.
विमान-$I$ के लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$ है।
विमान-$II$ के लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.2 = 0.8$ है।
दूसरा विमान केवल तभी बम गिराता है यदि पहला विमान चूक जाता है। दूसरे विमान द्वारा लक्ष्य के भेदे जाने की स्थितियाँ:
$1.$ विमान-$I$ चूक जाए और विमान-$II$ भेद दे: $P(A')P(B) = 0.7 \times 0.2 = 0.14$.
$2.$ विमान-$I$ चूक जाए,विमान-$II$ चूक जाए,विमान-$I$ चूक जाए और विमान-$II$ भेद दे: $P(A')P(B')P(A')P(B) = 0.7 \times 0.8 \times 0.7 \times 0.2 = (0.56) \times 0.14$.
$3.$ यह प्रक्रिया एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में जारी रहती है।
दूसरे विमान द्वारा लक्ष्य के भेदे जाने की कुल प्रायिकता $P(X)$ है:
$P(X) = 0.14 + 0.14(0.56) + 0.14(0.56)^2 + \dots$
यह एक अनंत $GP$ है जिसमें प्रथम पद $a = 0.14$ और सार्व अनुपात $r = 0.56$ है।
योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{0.14}{1-0.56} = \frac{0.14}{0.44} = \frac{14}{44} = \frac{7}{22} \approx 0.31818...$
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $0.32$ है।

(C) दिया गया है,$P(A) = 0.7$।
उनमें से ठीक एक के चुने जाने की प्रायिकता $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = 0.6$ है।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ होगा।
ठीक एक के चुने जाने की प्रायिकता का सूत्र $P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = 0.6$ है।
मान रखने पर: $0.7 + P(B) - 2(0.7)P(B) = 0.6$।
$0.7 + P(B) - 1.4P(B) = 0.6$।
$-0.4P(B) = 0.6 - 0.7$।
$-0.4P(B) = -0.1$।
$P(B) = \frac{0.1}{0.4} = 0.25$।
अतः,$B$ के चुने जाने की प्रायिकता $0.25$ है।

(B) मान लीजिए कि $A$ और $B$ समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ से क्रमशः $x$ और $y$ संख्याएँ चुनते हैं। कुल संभावित परिणामों की संख्या $n \times n = n^2$ है।
$x < y$ होने के तरीकों की संख्या $n$ में से $2$ भिन्न संख्याएँ चुनने के तरीकों के बराबर है,जो $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ है।
दी गई प्रायिकता $P(x < y) = \frac{n(n-1)}{2n^2} = \frac{n-1}{2n} = \frac{1009}{2019}$ है।
$n$ के लिए हल करने पर: $2019(n-1) = 2018n \Rightarrow 2019n - 2019 = 2018n \Rightarrow n = 2019$.
अब,हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $y = x + 1$ हो। $y = x + 1$ होने वाले संभावित जोड़े $(1, 2), (2, 3), \ldots, (n-1, n)$ हैं। ऐसे कुल $n-1$ जोड़े हैं।
अतः,आवश्यक प्रायिकता $\frac{n-1}{n^2} = \frac{2019-1}{(2019)^2} = \frac{2018}{(2019)^2}$ है।

(D) कुल गेंदों की संख्या = $7 + 6 + 8 = 21$.
सफेद गेंदों की संख्या = $7$.
सफेद न होने वाली गेंदों की संख्या = $6 + 8 = 14$.
हमें कम से कम एक गेंद सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
पूरक घटना की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है: $P(\text{कम से कम एक सफेद}) = 1 - P(\text{कोई भी सफेद नहीं})$.
यदि कोई भी सफेद गेंद नहीं निकाली जाती है,तो दोनों गेंदें सफेद नहीं होनी चाहिए।
पहली गेंद सफेद न होने की प्रायिकता = $\frac{14}{21}$.
एक सफेद न होने वाली गेंद निकालने के बाद,कुल $20$ गेंदों में से $13$ सफेद न होने वाली गेंदें बचती हैं।
दूसरी गेंद सफेद न होने की प्रायिकता = $\frac{13}{20}$.
$P(\text{कोई भी सफेद नहीं}) = \frac{14}{21} \times \frac{13}{20} = \frac{2}{3} \times \frac{13}{20} = \frac{26}{60} = \frac{13}{30}$.
अतः,$P(\text{कम से कम एक सफेद}) = 1 - \frac{13}{30} = \frac{17}{30}$.

(B) मान लीजिए कि चार मशीनें $M_1, M_2, F_1, F_2$ हैं,जहाँ $F_1, F_2$ खराब हैं और $M_1, M_2$ सही हैं।
हमें दोनों खराब मशीनों की पहचान करनी है। चार में से दो मशीनों को एक विशिष्ट क्रम में चुनने के कुल तरीके $4 \times 3 = 12$ हैं।
केवल दो परीक्षणों की आवश्यकता होने के लिए,पहले दो परीक्षण किए गए मशीनें दोनों खराब होनी चाहिए ($F_1, F_2$ या $F_2, F_1$)।
पहले परीक्षण में खराब मशीन चुनने की प्रायिकता $\frac{2}{4}$ है।
यदि पहली मशीन खराब थी,तो दूसरे परीक्षण में दूसरी खराब मशीन चुनने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।
इसलिए,दोनों खराब मशीनों के ठीक दो परीक्षणों में पहचाने जाने की प्रायिकता $\frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ है।

(B) माना $P(A) = x$ और $P(B) = y$ है। चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = xy = \frac{1}{6}$।
साथ ही,$P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c) = (1-x)(1-y) = \frac{1}{3}$।
दूसरे समीकरण का विस्तार करने पर: $1 - x - y + xy = \frac{1}{3}$।
$xy = \frac{1}{6}$ प्रतिस्थापित करने पर: $1 - (x+y) + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$।
$x+y = 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
अतः $x+y = \frac{5}{6}$ और $xy = \frac{1}{6}$।
ये द्विघात समीकरण $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ के मूल हैं,जो $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$ है।
$6$ से गुणा करने पर: $6t^2 - 5t + 1 = 0$।
$(2t-1)(3t-1) = 0$।
अतः,$t = \frac{1}{2}$ या $t = \frac{1}{3}$।
चूँकि $P(A) > P(B)$,इसलिए $P(A) = \frac{1}{2}$ और $P(B) = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$B$ के घटित होने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।

(A) $I$. $A, B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं $\Rightarrow P(A \cap B) = 0$. अतः,$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. यह $(iv)$ से मेल खाता है।
$II$. $A, B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं $\Rightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. तब $P(\frac{\bar{A}}{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\bar{A}) \cdot P(B)}{P(B)} = P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. यह $(iii)$ से मेल खाता है।
$III$. $A \cap B = A \Rightarrow A \subset B \Rightarrow P(A) \leq P(B)$. यह $(ii)$ से मेल खाता है।
$IV$. $A \cup B = S \Rightarrow P(A \cup B) = 1$. चूँकि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1$,हमारे पास $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - 1$ है। चूँकि $P(A) = 1 - P(\bar{A})$,हमें $P(A \cap B) = 1 - P(\bar{A}) + P(B) - 1 = P(B) - P(\bar{A})$ प्राप्त होता है। यह $(i)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(I)$-$(iv)$,$(II)$-$(iii)$,$(III)$-$(ii)$,$(IV)$-$(i)$ है।

(C) $P(A) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$,इसलिए $P(\bar{A}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$P(B) = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$,इसलिए $P(\bar{B}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
वे एक-दूसरे का खंडन तब करते हैं जब एक सच बोलता है और दूसरा झूठ बोलता है।
यह दो तरीकों से हो सकता है: ($A$ सच बोलता है और $B$ झूठ बोलता है) या ($A$ झूठ बोलता है और $B$ सच बोलता है)।
$P(\text{खंडन}) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B)$
$P(\text{खंडन}) = (P(A) \times P(\bar{B})) + (P(\bar{A}) \times P(B))$
$P(\text{खंडन}) = (\frac{3}{4} \times \frac{1}{5}) + (\frac{1}{4} \times \frac{4}{5})$
$P(\text{खंडन}) = \frac{3}{20} + \frac{4}{20} = \frac{7}{20}$.

(C) माना $P(A) = x, P(B) = y, P(C) = z$. चूँकि $A, B, C$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A^c, B^c, C^c$ भी स्वतंत्र हैं।
दिया है $P(A \cap B^{c} \cap C^{c}) = P(A)P(B^c)P(C^c) = x(1-y)(1-z) = \frac{1}{4} \dots (i)$
दिया है $P(A^{c} \cap B \cap C^{c}) = P(A^c)P(B)P(C^c) = (1-x)y(1-z) = \frac{1}{8} \dots (ii)$
दिया है $P(A^{c} \cap B^{c} \cap C^{c}) = P(A^c)P(B^c)P(C^c) = (1-x)(1-y)(1-z) = \frac{1}{4} \dots (iii)$
$(i)$ को $(iii)$ से भाग देने पर: $\frac{x(1-y)(1-z)}{(1-x)(1-y)(1-z)} = \frac{1/4}{1/4} \Rightarrow \frac{x}{1-x} = 1 \Rightarrow x = 1-x \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
$(ii)$ को $(iii)$ से भाग देने पर: $\frac{(1-x)y(1-z)}{(1-x)(1-y)(1-z)} = \frac{1/8}{1/4} \Rightarrow \frac{y}{1-y} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2y = 1-y \Rightarrow 3y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{3}$.
$x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{1}{3}$ को $(i)$ में रखने पर: $\frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{3}) \times (1-z) = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times (1-z) = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{3}(1-z) = \frac{1}{4} \Rightarrow 1-z = \frac{3}{4} \Rightarrow z = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
अतः,$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$.

(D) मान लीजिए $A$ और $B$ वे घटनाएँ हैं कि $P$ सच बोलता है और $Q$ सच बोलता है।
दिया गया है $P(A) = \frac{70}{100} = 0.7$ और $P(B) = \frac{80}{100} = 0.8$।
अतः,उनके झूठ बोलने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - 0.7 = 0.3$ और $P(\bar{B}) = 1 - 0.8 = 0.2$ है।
वे एक ही तथ्य बताने के लिए सहमत होते हैं यदि दोनों सच बोलते हैं या दोनों झूठ बोलते हैं।
आवश्यक प्रायिकता $P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(A)P(B) + P(\bar{A})P(\bar{B})$ है।
$= (0.7 \times 0.8) + (0.3 \times 0.2)$
$= 0.56 + 0.06 = 0.62$।
प्रतिशत में बदलने पर,$0.62 \times 100 = 62\%$।
अतः,उनके $62\%$ मामलों में सहमत होने की संभावना है।

(B) मान लीजिए कि दो घटनाएँ $A$ और $B$ हैं। दिया गया है,$P(A) = \frac{2}{5}$ और $P(B') = \frac{3}{10}$।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए उनके पूरक $A'$ और $B$ भी स्वतंत्र हैं।
घटना $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(B) = 1 - P(B') = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ है।
घटना $A$ के घटित न होने की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ है।
केवल एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cap B') + P(A' \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,यह $P(A)P(B') + P(A')P(B)$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{2}{5} \times \frac{3}{10} + \frac{3}{5} \times \frac{7}{10} = \frac{6}{50} + \frac{21}{50} = \frac{27}{50}$।

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{12}$।
साथ ही,न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता $P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = \frac{1}{2}$ है।
दूसरे समीकरण का विस्तार करने पर: $1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = \frac{1}{2}$।
$P(A)P(B) = \frac{1}{12}$ रखने पर: $1 - (P(A) + P(B)) + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$।
$P(A) + P(B) = 1 + \frac{1}{12} - \frac{1}{2} = \frac{12 + 1 - 6}{12} = \frac{7}{12}$।
मान लीजिए $x = P(A)$ और $y = P(B)$। हमारे पास $x + y = \frac{7}{12}$ और $xy = \frac{1}{12}$ है।
$x$ और $y$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ है,जो $t^2 - \frac{7}{12}t + \frac{1}{12} = 0$ है।
$12$ से गुणा करने पर: $12t^2 - 7t + 1 = 0$।
$12t^2 - 4t - 3t + 1 = 0 \implies 4t(3t - 1) - 1(3t - 1) = 0$।
$(4t - 1)(3t - 1) = 0$,इसलिए $t = \frac{1}{4}$ या $t = \frac{1}{3}$।
चूँकि $P(B) > P(A)$,इसलिए $P(A) = \frac{1}{4}$ और $P(B) = \frac{1}{3}$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{6}$.
साथ ही,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A})P(\bar{B}) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = \frac{1}{3}$.
दूसरे समीकरण का विस्तार करने पर: $1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = \frac{1}{3}$.
$P(A)P(B) = \frac{1}{6}$ रखने पर: $1 - (P(A) + P(B)) + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.
$P(A) + P(B) = 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{6 + 1 - 2}{6} = \frac{5}{6}$.
माना $x = P(A)$ और $y = P(B)$ है। हमारे पास $x + y = \frac{5}{6}$ और $xy = \frac{1}{6}$ है।
ये द्विघात समीकरण $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ के मूल हैं,जो $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$ है।
$6$ से गुणा करने पर: $6t^2 - 5t + 1 = 0$.
$(2t - 1)(3t - 1) = 0$.
अतः,$t = \frac{1}{2}$ या $t = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,$P(A)$ का मान $\frac{1}{2}$ या $\frac{1}{3}$ हो सकता है।
अतः सही विकल्प $D$ है।

(B) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः कलश $U_1, U_2, U_3$ चुनने की घटनाएं हैं। चूंकि कलश यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$।
मान लीजिए $B$ काली गेंद चुनने की घटना है। हमें काली गेंद न मिलने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(B^c) = 1 - P(B)$ है।
प्रत्येक कलश से काली गेंद चुनने की प्रायिकता:
$P(B|E_1) = \frac{2}{5+3+2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$P(B|E_2) = \frac{2}{4+4+2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$P(B|E_3) = \frac{3}{3+4+3} = \frac{3}{10}$
संपूर्ण प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,$P(B) = P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2) + P(E_3)P(B|E_3)$
$P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{10} = \frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{2}{15} + \frac{1}{10} = \frac{4+3}{30} = \frac{7}{30}$।
अतः,काली गेंद न मिलने की प्रायिकता $P(B^c) = 1 - \frac{7}{30} = \frac{23}{30}$ है।

(C) मान लीजिए $W_A, B_A$ पात्र $A$ से सफेद या काली गेंद निकालने की घटनाएँ हैं। $P(W_A) = \frac{4}{5}, P(B_A) = \frac{1}{5}$.
$A$ से $B$ में स्थानांतरण के बाद,पात्र $B$ में $6$ गेंदें हैं।
स्थिति $1$: यदि $W_A$ स्थानांतरित होता है,तो $B$ में $4$ सफेद,$2$ काली गेंदें होती हैं। $P(W_{B|W_A}) = \frac{4}{6}, P(B_{B|W_A}) = \frac{2}{6}$.
स्थिति $2$: यदि $B_A$ स्थानांतरित होता है,तो $B$ में $3$ सफेद,$3$ काली गेंदें होती हैं। $P(W_{B|B_A}) = \frac{3}{6}, P(B_{B|B_A}) = \frac{3}{6}$.
पात्र $C$ में प्रारंभ में $2$ सफेद,$3$ काली गेंदें हैं। $B$ से स्थानांतरण के बाद,इसमें $6$ गेंदें हो जाती हैं।
यदि $W_B$ स्थानांतरित होता है,तो $C$ में $3$ सफेद,$3$ काली गेंदें होती हैं। $P(B_C|W_B) = \frac{3}{6}$.
यदि $B_B$ स्थानांतरित होता है,तो $C$ में $2$ सफेद,$4$ काली गेंदें होती हैं। $P(B_C|B_B) = \frac{4}{6}$.
कुल प्रायिकता $P(B_C) = P(B_C|W_B)P(W_B) + P(B_C|B_B)P(B_B)$.
$P(W_B) = P(W_B|W_A)P(W_A) + P(W_B|B_A)P(B_A) = (\frac{4}{6} \times \frac{4}{5}) + (\frac{3}{6} \times \frac{1}{5}) = \frac{16+3}{30} = \frac{19}{30}$.
$P(B_B) = 1 - \frac{19}{30} = \frac{11}{30}$.
$P(B_C) = (\frac{3}{6} \times \frac{19}{30}) + (\frac{4}{6} \times \frac{11}{30}) = \frac{57 + 44}{180} = \frac{101}{180}$.

(D) माना $R_P$ थैली $P$ से लाल गेंद निकालने की घटना है और $B_P$ थैली $P$ से काली गेंद निकालने की घटना है। इसी प्रकार,$R_Q$ और $B_Q$ थैली $Q$ के लिए घटनाएँ हैं।
थैली $P$ में $4$ लाल और $5$ काली गेंदें हैं (कुल $9$)।
थैली $Q$ में $3$ लाल और $6$ काली गेंदें हैं (कुल $9$)।
हम $P$ से $1$ गेंद और $Q$ से $2$ गेंदें निकालते हैं।
कुल तरीके $\binom{9}{1} \times \binom{9}{2} = 9 \times 36 = 324$ हैं।
हमें $2$ काली और $1$ लाल गेंद चाहिए। यह दो मामलों में संभव है:
स्थिति $1$: $P$ से $1$ लाल और $Q$ से $2$ काली गेंदें।
प्रायिकता $= P(R_P) \times P(2B_Q) = \frac{4}{9} \times \frac{\binom{6}{2}}{\binom{9}{2}} = \frac{4}{9} \times \frac{15}{36} = \frac{5}{27}$.
स्थिति $2$: $P$ से $1$ काली और $Q$ से $1$ लाल,$1$ काली गेंद।
प्रायिकता $= P(B_P) \times P(1R_Q, 1B_Q) = \frac{5}{9} \times \frac{\binom{3}{1} \times \binom{6}{1}}{\binom{9}{2}} = \frac{5}{9} \times \frac{18}{36} = \frac{5}{18}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{5}{27} + \frac{5}{18} = \frac{10 + 15}{54} = \frac{25}{54}$.

(C) $1$ से $100$ तक $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $N = {}^{100}C_2 = 4950$ हैं।
घटना $A$: गुणनफल सम है। यह तब होता है जब कम से कम एक संख्या सम हो। पूरक घटना यह है कि दोनों संख्याएँ विषम हैं। विषम संख्याएँ $50$ हैं।
$n(A) = {}^{100}C_2 - {}^{50}C_2 = 4950 - 1225 = 3725$.
घटना $B$: गुणनफल $4$ से विभाज्य है। यह तब होता है जब (दोनों सम हों और कम से कम एक $4$ का गुणज हो) या (एक विषम हो और एक $4$ का गुणज हो)।
$E_2$ वे सम संख्याएँ हैं जो $4$ से विभाज्य नहीं हैं ${2, 6, \dots, 98}$ ($25$ संख्याएँ) और $O$ विषम संख्याएँ हैं ${1, 3, \dots, 99}$ ($50$ संख्याएँ)।
गुणनफल सम है लेकिन $4$ से विभाज्य नहीं है,इसके लिए एक संख्या $E_2$ से और दूसरी $O$ से होनी चाहिए।
$n(A \cap \bar{B}) = {}^{25}C_1 \times {}^{50}C_1 = 25 \times 50 = 1250$.
$P(A \cap \bar{B}) = \frac{1250}{4950} = \frac{25}{99}$.

(C) माना $B_1$ पहला थैला है और $B_2$ दूसरा थैला है।
थैले $B_1$ में $4$ लाल और $5$ काली गेंदें हैं (कुल = $9$)।
थैले $B_2$ में $3$ लाल और $6$ काली गेंदें हैं (कुल = $9$)।
हम $B_1$ से $1$ गेंद और $B_2$ से $2$ गेंदें निकालते हैं। कुल निकाली गई गेंदें = $3$।
हमें $2$ काली और $1$ लाल गेंद चाहिए। दो स्थितियाँ संभव हैं:
स्थिति $I$: $B_1$ से निकाली गई गेंद लाल हो और $B_2$ से निकाली गई दोनों गेंदें काली हों।
$P(Case I) = P(R_1) \times P(B_2, B_2) = \frac{4}{9} \times \frac{\binom{6}{2}}{\binom{9}{2}} = \frac{4}{9} \times \frac{15}{36} = \frac{5}{27}$।
स्थिति $II$: $B_1$ से निकाली गई गेंद काली हो और $B_2$ से निकाली गई दो गेंदों में से एक लाल और एक काली हो।
$P(Case II) = P(B_1) \times P(R_2, B_2) = \frac{5}{9} \times \frac{\binom{3}{1} \times \binom{6}{1}}{\binom{9}{2}} = \frac{5}{9} \times \frac{18}{36} = \frac{5}{18}$।
कुल प्रायिकता = $P(Case I) + P(Case II) = \frac{5}{27} + \frac{5}{18} = \frac{10 + 15}{54} = \frac{25}{54}$।

(B) मान लीजिए $O_i$ और $E_i$ क्रमशः Box-$i$ से विषम और सम संख्या निकालने की घटनाएँ हैं।
Box-$I$ $(1, 2, 3)$ के लिए: $P(O_1) = \frac{2}{3}$,$P(E_1) = \frac{1}{3}$.
Box-$II$ $(1, 2, 3, 4, 5)$ के लिए: $P(O_2) = \frac{3}{5}$,$P(E_2) = \frac{2}{5}$.
Box-$III$ $(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)$ के लिए: $P(O_3) = \frac{4}{7}$,$P(E_3) = \frac{3}{7}$.
योग $x_1+x_2+x_3$ विषम तब होता है जब या तो तीनों संख्याएँ विषम हों या एक विषम और दो सम संख्याएँ हों।
स्थिति $1$: तीनों विषम हों: $P(O_1 \cap O_2 \cap O_3) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{24}{105}$.
स्थिति $2$: एक विषम और दो सम हों:
- $O_1, E_2, E_3$: $\frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{12}{105}$.
- $E_1, O_2, E_3$: $\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{105}$.
- $E_1, E_2, O_3$: $\frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{105}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{24+12+9+8}{105} = \frac{53}{105}$.

(A) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि $A$ सच बोलता है और $B$ वह घटना है कि $B$ सच बोलता है।
दी गई प्रायिकताएँ हैं:
$P(A) = 75 \% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
$P(B) = 80 \% = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$
उनके बयान तब मेल नहीं खाते हैं यदि एक व्यक्ति सच बोलता है और दूसरा झूठ बोलता है।
यह दो तरीकों से हो सकता है: ($A$ सच बोलता है और $B$ झूठ बोलता है) या ($A$ झूठ बोलता है और $B$ सच बोलता है)।
आवश्यक प्रायिकता $= P(A) \times P(\bar{B}) + P(\bar{A}) \times P(B)$
$= P(A) \times (1 - P(B)) + (1 - P(A)) \times P(B)$
$= \frac{3}{4} \times (1 - \frac{4}{5}) + (1 - \frac{3}{4}) \times \frac{4}{5}$
$= \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{4}{5}$
$= \frac{3}{20} + \frac{4}{20} = \frac{7}{20}$

(A) एक बार पासा फेंकने पर $3$ आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है।
$3$ न आने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
$A$ खेल शुरू करता है। $A$ तब जीतता है यदि वह $1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, \dots$ प्रयास में $3$ प्राप्त करता है।
$P(A) = p + q^2p + q^4p + \dots = \frac{p}{1 - q^2}$.
मान रखने पर: $P(A) = \frac{1/6}{1 - (5/6)^2} = \frac{1/6}{1 - 25/36} = \frac{1/6}{11/36} = \frac{6}{11}$.
चूंकि कुल प्रायिकता $1$ है,$P(B) = 1 - P(A) = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$.
अतः,प्रायिकताएं $\frac{6}{11}$ और $\frac{5}{11}$ हैं।

(C) सिक्के का प्रत्येक उछाल एक स्वतंत्र घटना है।
एक निष्पक्ष सिक्के के लिए,किसी भी एक उछाल में चित आने की प्रायिकता हमेशा $P(H) = \frac{1}{2}$ होती है।
चूंकि उछाल स्वतंत्र हैं,इसलिए $1947$ वें उछाल का परिणाम किसी अन्य उछाल के परिणामों पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,$1947$ वें उछाल पर चित आने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ ही रहती है।

(C) मान लीजिए $W$ जीतना (संख्या $> 4$ प्राप्त करना,प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$) है और $L$ हारना (संख्या $\le 4$ प्राप्त करना,प्रायिकता $q = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$) है। खिलाड़ी $W$ मिलने पर या $3$ प्रयासों के बाद खेल छोड़ देता है। संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$(i)$ $W$: $5$ रुपये जीतता है। प्रायिकता $P_1 = \frac{1}{3}$.
(ii) $LW$: $1$ रुपया हारता है,फिर $5$ रुपये जीतता है। शुद्ध लाभ $= 4$ रुपये। प्रायिकता $P_2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$.
(iii) $LLW$: $1$ रुपया हारता है,$1$ रुपया हारता है,फिर $5$ रुपये जीतता है। शुद्ध लाभ $= 3$ रुपये। प्रायिकता $P_3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$.
(iv) $LLL$: $1$ रुपया हारता है,$1$ रुपया हारता है,$1$ रुपया हारता है। शुद्ध लाभ $= -3$ रुपये। प्रायिकता $P_4 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$.
अपेक्षित मान $E = \sum x_i P_i = 5(\frac{1}{3}) + 4(\frac{2}{9}) + 3(\frac{4}{27}) + (-3)(\frac{8}{27})$.
$E = \frac{5}{3} + \frac{8}{9} + \frac{12}{27} - \frac{24}{27} = \frac{45 + 24 + 12 - 24}{27} = \frac{57}{27} = \frac{19}{9}$.

(D) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक कुल फलनों की संख्या $|B|^{|A|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$|A| = 3$ और $|B| = 5$ है।
कुल फलनों की संख्या = $5^3 = 125$ है।
एक फलन एकैकी (one-one) होता है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव का $B$ में एक विशिष्ट प्रतिबिंब हो।
एकैकी फलनों की संख्या $5$ अवयवों में से $3$ को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीके,यानी $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ है।
यादृच्छिक रूप से चुने गए फलन के एकैकी होने की प्रायिकता = (एकैकी फलनों की संख्या) / (कुल फलनों की संख्या) है।
प्रायिकता = $\frac{60}{125} = \frac{12}{25}$।

(B) जब तीन पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ होती है।
तीन पासों पर संख्याओं का योग $3$ से $18$ तक हो सकता है।
इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ $3, 5, 7, 11, 13, 17$ हैं।
प्रत्येक योग प्राप्त करने के तरीकों की गणना करने पर:
योग $= 3$: $1$ तरीका।
योग $= 5$: $6$ तरीके।
योग $= 7$: $15$ तरीके।
योग $= 11$: $27$ तरीके।
योग $= 13$: $21$ तरीके।
योग $= 17$: $3$ तरीके।
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 6 + 15 + 27 + 21 + 3 = 73$।
प्रायिकता $\frac{73}{216}$ है।

(C) शतरंज की बिसात में $8 \times 8 = 64$ वर्ग होते हैं। दो वर्गों को चुनने के कुल तरीके $\binom{64}{2} = \frac{64 \times 63}{2} = 2016$ हैं।
यदि दो वर्ग क्षैतिज या लंबवत रूप से आसन्न हैं तो उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ होती है।
क्षैतिज आसन्न जोड़ों की संख्या: प्रत्येक पंक्ति में $7$ जोड़े हैं,और $8$ पंक्तियाँ हैं,इसलिए $8 \times 7 = 56$।
लंबवत आसन्न जोड़ों की संख्या: प्रत्येक स्तंभ में $7$ जोड़े हैं,और $8$ स्तंभ हैं,इसलिए $8 \times 7 = 56$।
कुल आसन्न जोड़े = $56 + 56 = 112$।
उन जोड़ों की संख्या जिनमें कोई उभयनिष्ठ भुजा नहीं है,$2016 - 112 = 1904$ है।
प्रायिकता $\frac{1904}{2016}$ है।
दोनों को $112$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1904 \div 112}{2016 \div 112} = \frac{17}{18}$ प्राप्त होता है।

(B) $50$ में से तीन संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{50}C_3 = 19,600$ हैं।
तीन संख्याओं $a, b, c$ के समांतर श्रेणी में होने के लिए $2b = a + c$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $a + c$ एक सम संख्या होनी चाहिए,जो तभी संभव है जब $a$ और $c$ दोनों विषम हों या दोनों सम हों।
समुच्चय में $25$ विषम और $25$ सम संख्याएँ हैं।
दो विषम संख्याएँ चुनने के तरीके $^{25}C_2 = 300$ हैं।
दो सम संख्याएँ चुनने के तरीके $^{25}C_2 = 300$ हैं।
कुल अनुकूल परिणाम = $300 + 300 = 600$।
प्रायिकता = $\frac{600}{19600} = \frac{3}{98}$।

(B) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $C(52, 2) = 1326$ हैं।
गड्डी में $12$ फेस कार्ड होते हैं।
कुल $13$ हुकुम के पत्ते होते हैं।
हुकुम के फेस कार्ड $3$ होते हैं।
हुकुम के वे पत्ते जो फेस कार्ड नहीं हैं,उनकी संख्या $13 - 3 = 10$ है।
हमें $1$ फेस कार्ड और $1$ हुकुम का पत्ता (जो फेस कार्ड न हो) चुनना है।
स्थिति $1$: $3$ हुकुम फेस कार्ड में से $1$ और $10$ हुकुम के पत्तों में से $1$ चुनने के तरीके = $3 \times 10 = 30$।
स्थिति $2$: $9$ अन्य फेस कार्ड में से $1$ और $10$ हुकुम के पत्तों में से $1$ चुनने के तरीके = $9 \times 10 = 90$।
कुल अनुकूल परिणाम = $30 + 90 = 120$।
प्रायिकता = $\frac{120}{1326} = \frac{20}{221}$।

(C) दिया गया है कि $A, B, C$ युग्मवार स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B)$,$P(B \cap C) = P(B)P(C)$,और $P(C \cap A) = P(C)P(A)$ है।
हमें $P(\bar{B} \cup \bar{C}) = \frac{1}{2}$ दिया गया है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(\bar{B} \cup \bar{C}) = 1 - P(B \cap C) = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $P(B \cap C) = \frac{1}{2}$।
चूँकि $B$ और $C$ स्वतंत्र हैं,$P(B)P(C) = bc = \frac{1}{2}$।
हमें $P((\bar{B} \cap \bar{C}) \mid A) = \frac{P((\bar{B} \cap \bar{C}) \cap A)}{P(A)}$ ज्ञात करना है।
समुच्चय के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$P((\bar{B} \cap \bar{C}) \cap A) = P(A) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C) = P(A)(1 - b - c + bc)$।
$bc = \frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$P((\bar{B} \cap \bar{C}) \cap A) = P(A)(1 - b - c + \frac{1}{2}) = P(A)(\frac{3}{2} - b - c)$।
अतः,$P((\bar{B} \cap \bar{C}) \mid A) = \frac{3}{2} - b - c$।

(B) मान लीजिए कि एक उछाल में चित और $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p$ है। चित प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है और $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है। चूंकि ये स्वतंत्र घटनाएं हैं,$p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$. एक उछाल में न जीतने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{11}{12}$ है।
$A$ खेल शुरू करता है। $B$ तब जीतता है यदि $A$ विफल हो जाए,फिर $B$ सफल हो जाए,या $A$ विफल हो जाए,$B$ विफल हो जाए,$A$ विफल हो जाए,$B$ सफल हो जाए,आदि।
$B$ के जीतने की प्रायिकता है:
$P(B) = qp + q^3p + q^5p + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp = \frac{11}{12} \times \frac{1}{12} = \frac{11}{144}$ और सार्व अनुपात $r = q^2 = (\frac{11}{12})^2 = \frac{121}{144}$ है।
$P(B) = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{11}{144}}{1 - \frac{121}{144}} = \frac{\frac{11}{144}}{\frac{23}{144}} = \frac{11}{23}$.