Mix Examples-Probability Questions in Hindi

(B) माना $X_n$ पासे का $n$-वां परिणाम है। $A$ $n=1, 3, 5, \dots$ पर और $B$ $n=2, 4, 6, \dots$ पर पासा फेंकता है।
$B$ तब जीतता है यदि:
$1. X_2 \neq X_1$ (प्रायिकता = $\frac{5}{6}$)
$2. X_2 = X_1, X_3 = X_2$ और $X_4 \neq X_3$ (प्रायिकता = $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}$)
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{5}{6}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{36}$ है।
योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{5/6}{1 - 1/36} = \frac{6}{7}$.

(D) माना $n \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ और प्रारंभिक दिन $d \in \{1, 2, \ldots, 7\}$ है।
$n$ लगातार दिनों में रविवारों की संख्या $S(n, d)$ और सोमवारों की संख्या $M(n, d)$ है।
हमें $S(n, d) \neq M(n, d)$ होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
किसी भी $n$ के लिए,$n = 7q + r$ लिखा जा सकता है,जहाँ $0 \leq r < 7$ है।
$7q$ दिनों के किसी भी क्रम में,रविवार और सोमवार की संख्या समान $(q)$ होती है।
अतः,$S(n, d) \neq M(n, d)$ तभी होता है जब $S(r, d) \neq M(r, d)$ हो।
प्रत्येक $r \in \{1, 2, \ldots, 6\}$ के लिए,$7$ में से $2$ प्रारंभिक दिन ऐसे होते हैं जिनमें रविवार और सोमवार की संख्या भिन्न होती है।
अतः,जब $n$,$7$ का गुणज नहीं है,तो प्रायिकता $\frac{2}{7}$ है।
जब $n$,$7$ का गुणज है,तो प्रायिकता $0$ है।
$1$ से $100$ के बीच $7$ के $14$ गुणज हैं।
कुल प्रायिकता $= \frac{86}{100} \times \frac{2}{7} + \frac{14}{100} \times 0 = \frac{43}{175}$.

(D) कुल परिणामों की संख्या $n \times n = n^2$ है।
हम उन युग्मों $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करना चाहते हैं जहाँ $x, y$ को विभाजित करता है या $y, x$ को विभाजित करता है।
मान लीजिए $S$ उन युग्मों का समुच्चय है जहाँ $x|y$ या $y|x$ है।
यह उन युग्मों की गणना करने के बराबर है जहाँ $x|y$ है,साथ ही जहाँ $y|x$ है,और इसमें से उन युग्मों को घटाना है जहाँ $x|y$ और $y|x$ दोनों हैं (जो तब होता है जब $x=y$)।
एक निश्चित $x=k$ के लिए,$y$ की संख्या जिसके लिए $k|y$ है,$\lfloor \frac{n}{k} \rfloor$ है।
अतः,उन युग्मों $(x, y)$ की संख्या जिनके लिए $x|y$ है,$\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor$ है।
इसी प्रकार,उन युग्मों $(x, y)$ की संख्या जिनके लिए $y|x$ है,$\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor$ है।
$x=y$ वाले युग्म $(1,1), (2,2), \ldots, (n,n)$ हैं,जो कुल $n$ युग्म हैं।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,अनुकूल परिणामों की संख्या $2 \sum_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor - n$ है।
प्रायिकता $\frac{2 \sum_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor - n}{n^2} = \frac{2}{n^2} \sum_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor - \frac{1}{n}$ है।

(C) एक संख्या $4$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य हो।
$0$ के बिना $4$-अंकीय संख्या के लिए,अंकों का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है।
यदि संख्या में $4$ या $8$ है,तो यह $4$ से विभाज्य संख्या बना सकती है। इसलिए $B$ में मौजूद संख्या में $4$ या $8$ नहीं होना चाहिए।
यदि संख्या में $2$ या $6$ है,तो वे भी $4$ से विभाज्य जोड़ी बना सकते हैं।
अतः,$B$ में केवल विषम अंक ${1, 3, 5, 7, 9}$ हो सकते हैं।
कुल संख्याएँ $5^4 = 625$ हैं।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{16}{1641}$ है।

(B) एक $3$-अंकीय संख्या $4$ और $5$ से विभाज्य होती है यदि वह $\text{lcm}(4, 5) = 20$ से विभाज्य हो।
$3$-अंकीय संख्या के $20$ से विभाज्य होने के लिए,उसका अंतिम अंक $00, 20, 40, 60,$ या $80$ होना चाहिए।
मान लीजिए $S$ सभी $3$-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है,$|S| = 900$।
हम ऐसी संख्याएँ ढूँढते हैं जिनके अंकों को $20$ का गुणज बनाने के लिए क्रमचयित किया जा सके।
एक संख्या को $20$ के गुणज में बदला जा सकता है यदि उसके अंकों में शामिल हों:
$1$. कम से कम एक $0$ और ${2, 4, 6, 8}$ में से एक सम अंक।
$2$. दो शून्य और कोई भी गैर-शून्य अंक।
$3$. दो सम अंक और एक $0$।
अंकों के उन समुच्चयों ${a, b, c}$ की गणना करने के बाद जो $20$ का गुणज बना सकते हैं,हमें पता चलता है कि ऐसी कुल $145$ संख्याएँ हैं।
प्रायिकता $\frac{145}{900} = \frac{29}{180}$ है।

(D) $15$ खिलाड़ियों को $15$ टी-शर्ट वितरित करने के कुल तरीके $15!$ हैं।
मान लीजिए $X$ उन खिलाड़ियों की संख्या है जो सही टी-शर्ट चुनते हैं। हमें $P(X \ge 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ ज्ञात करना है।
$P(X=k)$ वह प्रायिकता है कि ठीक $k$ खिलाड़ी सही टी-शर्ट चुनते हैं,जो $\frac{\binom{15}{k} D_{15-k}}{15!}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D_n$ $n$ वस्तुओं का अव्यवस्था (derangement) है।
$D_n = n! \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!}$.
बड़े $n$ के लिए,$P(X=k) \approx \frac{e^{-1}}{k!}$.
अतः,$P(X \ge 3) = 1 - \sum_{k=0}^{2} \frac{e^{-1}}{k!} = 1 - e^{-1} (1 + 1 + \frac{1}{2}) = 1 - \frac{2.5}{e} \approx 1 - \frac{2.5}{2.718} \approx 0.08$.

(B) माना $P(w_1) = \lambda$ है। तब $P(w_2) = \frac{\lambda}{2}, P(w_3) = \frac{\lambda}{4}, \ldots, P(w_n) = \frac{\lambda}{2^{n-1}}$ होगा।
चूँकि $\sum_{k=1}^{\infty} P(w_k) = 1$,इसलिए $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda}{2^{k-1}} = 1$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{\lambda}{1 - 1/2} = 1 \Rightarrow 2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(w_n) = \frac{1}{2^n}$ है।
समुच्चय $A = \{2k + 3\ell : k, \ell \in \mathbb{N}\}$ है। चूँकि $k, \ell \geq 1$,सबसे छोटे मान इस प्रकार हैं:
$k=1, \ell=1$ के लिए $n=5$ है।
$k=2, \ell=1$ के लिए $n=7$ है।
$k=1, \ell=2$ के लिए $n=8$ है।
$k=3, \ell=1$ के लिए $n=9$ है।
$k=2, \ell=2$ के लिए $n=10$ है।
यह दिखाया जा सकता है कि $A = \mathbb{N} \setminus \{1, 2, 3, 4, 6\}$ है।
इसलिए,$P(B) = 1 - [P(w_1) + P(w_2) + P(w_3) + P(w_4) + P(w_6)]$ होगा।
$P(B) = 1 - [\frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6}] = 1 - [\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64}]$ है।
$P(B) = 1 - [\frac{32 + 16 + 8 + 4 + 1}{64}] = 1 - \frac{61}{64} = \frac{3}{64}$।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $64x^2 + 5Nx + 1 = 0$ है।
समीकरण का कोई वास्तविक मूल न होने के लिए,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (5N)^2 - 4(64)(1) < 0$
$25N^2 - 256 < 0$
$N^2 < \frac{256}{25} \Rightarrow N < \frac{16}{5} = 3.2$.
चूँकि $N$ उछालों की संख्या है,$N$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $N \in \{1, 2, 3\}$।
चित आने की प्रायिकता $P(H) = \frac{1}{4}$ है और पट (tail) आने की प्रायिकता $P(T) = \frac{3}{4}$ है।
$N$-वें उछाल पर पहला चित आने की प्रायिकता $P(N) = (\frac{3}{4})^{N-1} \times \frac{1}{4}$ है।
$N=1$ के लिए: $P(1) = \frac{1}{4}$।
$N=2$ के लिए: $P(2) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$।
$N=3$ के लिए: $P(3) = (\frac{3}{4})^2 \times \frac{1}{4} = \frac{9}{64}$।
कुल प्रायिकता $P(N \in \{1, 2, 3\}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{9}{64} = \frac{16 + 12 + 9}{64} = \frac{37}{64}$।
यहाँ,$p = 37$ और $q = 64$ है।
अतः,$q - p = 64 - 37 = 27$।

(C) मान लीजिए $p$ एक प्रयास में $2$ प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{1}{6}$।
मान लीजिए $q$ $2$ न प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = \frac{5}{6}$।
यह घटना कि $2$ सम संख्या वाले प्रयासों में आता है,इसका अर्थ है कि यह $2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, \dots$ प्रयास में आता है।
प्रायिकता अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दी जाती है:
$P = qp + q^3p + q^5p + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ और सार्व अनुपात $r = q^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$P = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{11}{36}} = \frac{5}{11}$।

(A) एक चतुष्फलकीय पासे को तीन बार उछालने पर कुल परिणामों की संख्या $4 \times 4 \times 4 = 64$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac \geq 0$ होना चाहिए,अर्थात $b^2 \geq 4ac$।
हम $b \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए मानों की जाँच करते हैं:
$1$. यदि $b = 1$,तो $b^2 = 1$। $1 \geq 4ac$ के लिए $a, c \in \{1, 2, 3, 4\}$ में कोई हल नहीं है।
$2$. यदि $b = 2$,तो $b^2 = 4$। $4 \geq 4ac \Rightarrow ac \leq 1$। केवल एक हल $(a, c) = (1, 1)$ है। ($1$ स्थिति)
$3$. यदि $b = 3$,तो $b^2 = 9$। $9 \geq 4ac \Rightarrow ac \leq 2.25$। संभावित जोड़े $(a, c)$ हैं: $(1, 1), (1, 2), (2, 1)$। ($3$ स्थितियाँ)
$4$. यदि $b = 4$,तो $b^2 = 16$। $16 \geq 4ac \Rightarrow ac \leq 4$। संभावित जोड़े $(a, c)$ हैं: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 1)$। ($8$ स्थितियाँ)
कुल अनुकूल परिणाम = $1 + 3 + 8 = 12$।
प्रायिकता $P = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$ है।
अतः,$m = 3$ और $n = 16$। चूँकि $\operatorname{gcd}(3, 16) = 1$,इसलिए $m + n = 3 + 16 = 19$।

(B) समीकरणों की प्रणाली समघात है: $ax+by=0$ और $cx+dy=0$।
एक समघात प्रणाली का हमेशा तुच्छ हल $(x=0, y=0)$ होता है।
इसलिए,प्रणाली का हल होने की प्रायिकता $1$ है,जो $\text{कथन}-2$ को सत्य बनाता है।
अद्वितीय हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक गैर-शून्य होना चाहिए: $\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right| \neq 0$,जिसका अर्थ है $ad - bc \neq 0$।
चूंकि $a, b, c, d \in \{0, 1\}$,कुल संभावित परिणाम $2^4 = 16$ हैं।
$ad - bc \neq 0$ शर्त का अर्थ है $ad \neq bc$।
$(ad, bc)$ के लिए संभावित मामले $(1, 0)$ या $(0, 1)$ हैं।
यदि $ad=1$,तो $a=1$ और $d=1$ है। $bc=0$ होना चाहिए। $bc=0$ तब होता है जब $(b,c) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ हो। यह $3$ मामले देता है।
यदि $ad=0$,तो $bc=1$ होना चाहिए,यानी $b=1$ और $c=1$ है। $ad=0$ तब होता है जब $(a,d) \in \{(0,0), (0,1), (1,0)\}$ हो। यह $3$ मामले देता है।
कुल अनुकूल मामले $= 3 + 3 = 6$।
प्रायिकता $= 6/16 = 3/8$ है। अतः,$\text{कथन}-1$ सत्य है।
चूंकि $\text{कथन}-2$ बताता है कि प्रणाली का हमेशा एक हल होता है,यह $\text{कथन}-1$ के लिए सही व्याख्या नहीं है।

(C) मान लीजिए $W, D, L$ क्रमशः $T_1$ के लिए जीत,ड्रा और हार को दर्शाते हैं। $P(W) = \frac{1}{2}, P(D) = \frac{1}{6}, P(L) = \frac{1}{3}$.
$(1)$ $X > Y$ तब होता है यदि $T_1$ को $T_2$ से अधिक अंक मिलते हैं। दो मैचों के लिए संभावित परिणाम:
- $T_1$ दोनों जीतती है: $(W, W) \implies X=6, Y=0, P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
- $T_1$ एक जीतती है,एक ड्रा करती है: $(W, D) \text{ या } (D, W) \implies X=4, Y=1, P = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$
$X>Y$ के लिए प्रायिकताओं का योग: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3+2}{12} = \frac{5}{12}$. सही विकल्प $(B)$ है.
$(2)$ $X=Y$ तब होता है यदि:
- दोनों ड्रा होते हैं: $(D, D) \implies X=2, Y=2, P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
- $T_1$ एक जीतती है,एक हारती है: $(W, L) \text{ या } (L, W) \implies X=3, Y=3, P = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} = \frac{12}{36}$
$X=Y$ के लिए प्रायिकताओं का योग: $\frac{1}{36} + \frac{12}{36} = \frac{13}{36}$. सही विकल्प $(C)$ है.

(B) माना $P(H) = \frac{1}{3}$ और $P(T) = \frac{2}{3}$ है।
प्रयोग चित पर समाप्त होता है यदि हमें $HH$ प्राप्त हो या $HTHH, HTHTHH, \dots$ या $THH, THTHH, THTHTHH, \dots$ जैसी अनुक्रम प्राप्त हों।
स्थिति $1$: $H$ से शुरू होने वाले और $HH$ पर समाप्त होने वाले अनुक्रम $HH, HTHH, HTHTHH, \dots$ हैं।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{9}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{9}$ है।
योग $= \frac{1/9}{1 - 2/9} = \frac{1}{7}$ है।
स्थिति $2$: $T$ से शुरू होने वाले और $HH$ पर समाप्त होने वाले अनुक्रम $THH, THTHH, THTHTHH, \dots$ हैं।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{2}{27}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{9}$ है।
योग $= \frac{2/27}{1 - 2/9} = \frac{2}{21}$ है।
कुल प्रायिकता $= \frac{1}{7} + \frac{2}{21} = \frac{5}{21}$ है।

(A) ग्रिड में $7 \times 7$ बिंदु हैं,इसलिए कुल $49$ बिंदु हैं।
$(1)$ मित्रों की संख्या के आधार पर बिंदुओं का वर्गीकरण:
- कोने के बिंदु: $4$ बिंदु,प्रत्येक के $2$ मित्र हैं।
- किनारे के बिंदु (कोनों को छोड़कर): $5 \times 4 = 20$ बिंदु,प्रत्येक के $3$ मित्र हैं।
- आंतरिक बिंदु: $5 \times 5 = 25$ बिंदु,प्रत्येक के $4$ मित्र हैं।
$X$ (मित्रों की संख्या) का प्रायिकता वितरण:
- $P(X=2) = \frac{4}{49}$
- $P(X=3) = \frac{20}{49}$
- $P(X=4) = \frac{25}{49}$
- $P(X=0) = P(X=1) = 0$
$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 2 \times \frac{4}{49} + 3 \times \frac{20}{49} + 4 \times \frac{25}{49} = \frac{8 + 60 + 100}{49} = \frac{168}{49} = \frac{24}{7}$.
अतः,$7 E(X) = 7 \times \frac{24}{7} = 24$.
$(2)$ $2$ अलग-अलग बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $\binom{49}{2} = \frac{49 \times 48}{2} = 49 \times 24$ हैं।
मित्रों के जोड़ों की संख्या (ग्रिड में आसन्न किनारे):
- क्षैतिज किनारे: $7$ पंक्तियाँ,प्रत्येक में $6$ किनारे,इसलिए $7 \times 6 = 42$.
- ऊर्ध्वाधर किनारे: $7$ स्तंभ,प्रत्येक में $6$ किनारे,इसलिए $7 \times 6 = 42$.
कुल किनारे = $42 + 42 = 84$.
प्रायिकता $p = \frac{84}{\binom{49}{2}} = \frac{84 \times 2}{49 \times 48} = \frac{168}{2352} = \frac{1}{14}$.
अतः,$7 p = 7 \times \frac{1}{14} = 0.5$.

(C) प्रतिबंध $\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ तभी संतुष्ट होता है जब $r_1, r_2, r_3$ को $3$ से विभाजित करने पर शेषफल $0, 1, 2$ प्राप्त हो।
प्रत्येक $r_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए,$3$ से विभाजित करने पर शेषफल इस प्रकार हैं:
$r_i \equiv 1 \pmod{3} \implies r_i \in \{1, 4\}$ ($2$ मान)
$r_i \equiv 2 \pmod{3} \implies r_i \in \{2, 5\}$ ($2$ मान)
$r_i \equiv 0 \pmod{3} \implies r_i \in \{3, 6\}$ ($2$ मान)
अनुकूल परिणामों की संख्या $3! \times (2 \times 2 \times 2) = 48$ है।
कुल परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{48}{216} = \frac{2}{9}$ है।

(A-T, B-P, R, C-Q, S, D-R) $(A)-(t)$: मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$ मानिए। यह दी गई रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है। समीकरणों को हल करने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $P(5, -5, 2)$ और $Q(\frac{10}{3}, -\frac{10}{3}, \frac{8}{3})$ प्राप्त होते हैं। दूरी $PQ^2 = (5-\frac{10}{3})^2 + (-5+\frac{10}{3})^2 + (2-\frac{8}{3})^2 = \frac{54}{9} = 6$.
$(B)-(p), (r)$: $\tan^{-1}(x+3) - \tan^{-1}(x-3) = \sin^{-1}(\frac{3}{5}) = \tan^{-1}(\frac{3}{4})$। सूत्र $\tan^{-1}A - \tan^{-1}B = \tan^{-1}(\frac{A-B}{1+AB})$ का उपयोग करने पर,$\frac{6}{x^2-8} = \frac{3}{4} \Rightarrow x^2-8 = 8 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$.
$(C)-(q), (s)$: दी गई शर्तों $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 0$,$2|\vec{b}+\vec{c}| = |\vec{b}-\vec{a}|$ और $\vec{a} = \mu \vec{b} + 4 \vec{c}$ का उपयोग करके सरलीकरण करने पर $\mu$ के लिए द्विघात समीकरण $\mu^2 - 5\mu = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $\mu = 0, 5$ मिलता है।
$(D)-(r)$: $I = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(9x/2)}{\sin(x/2)} dx = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(9x/2)}{\sin(x/2)} dx$। सर्वसमिका $\frac{\sin(nx)}{\sin x} = 1 + 2\sum_{k=1}^{(n-1)/2} \cos(2kx)$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} (1 + 2\sum_{k=1}^{4} \cos(kx)) dx = \frac{4}{\pi} [x + 2\sum \frac{\sin(kx)}{k}]_0^{\pi} = 4$.

(B) मान लीजिए $P(E) = x$ और $P(F) = y$ है। चूँकि $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं,$P(E \cap F) = xy$ है।
ठीक एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(E)P(F') + P(F)P(E') = x(1-y) + y(1-x) = x + y - 2xy = \frac{11}{25} \quad \dots (1)$ है।
किसी भी घटना के न घटित होने की प्रायिकता $P(E' \cap F') = P(E')P(F') = (1-x)(1-y) = 1 - x - y + xy = \frac{2}{25} \quad \dots (2)$ है।
समीकरण $(2)$ से,$1 - (x+y) + xy = \frac{2}{25} \Rightarrow x+y - xy = \frac{23}{25}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $S = x+y$ और $P = xy$ है। तब $(1)$ से $S - 2P = \frac{11}{25}$ और $(2)$ से $S - P = \frac{23}{25}$ प्राप्त होता है।
घटाने पर: $(S - P) - (S - 2P) = \frac{23}{25} - \frac{11}{25} \Rightarrow P = \frac{12}{25}$ प्राप्त होता है।
$S - P = \frac{23}{25}$ में $P$ का मान रखने पर,$S = \frac{23}{25} + \frac{12}{25} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ और $y$ द्विघात समीकरण $t^2 - St + P = 0$ के मूल हैं,अर्थात $t^2 - \frac{7}{5}t + \frac{12}{25} = 0$ है।
$25t^2 - 35t + 12 = 0 \Rightarrow (5t-4)(5t-3) = 0$,अतः $t = \frac{4}{5}$ या $t = \frac{3}{5}$ है।
इस प्रकार,${P(E), P(F)} = \{\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\}$ है। यह विकल्प $(A)$ और $(D)$ के अनुरूप है।

(A) दी गई प्रायिकताएँ: $P(X_1) = \frac{1}{2}, P(X_2) = \frac{1}{4}, P(X_3) = \frac{1}{4}$।
मान लीजिए $X_1^c, X_2^c, X_3^c$ वे घटनाएँ हैं कि इंजन कार्य नहीं कर रहे हैं,इसलिए $P(X_1^c) = \frac{1}{2}, P(X_2^c) = \frac{3}{4}, P(X_3^c) = \frac{3}{4}$।
जहाज चालू $(X)$ है यदि कम से कम दो इंजन कार्य करते हैं:
$P(X) = P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1 X_2^c X_3) + P(X_1^c X_2 X_3) + P(X_1 X_2 X_3)$
$P(X) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) = \frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$।
$(A) P(X_1^c \mid X) = \frac{P(X_1^c \cap X)}{P(X)} = \frac{P(X_1^c X_2 X_3)}{P(X)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{8} \neq \frac{3}{16}$। (असत्य)
$(B) P(\text{ठीक दो} \mid X) = \frac{P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1 X_2^c X_3) + P(X_1^c X_2 X_3)}{P(X)} = \frac{\frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32}}{\frac{1}{4}} = \frac{7/32}{1/4} = \frac{7}{8}$। (सत्य)
$(C) P(X \mid X_2) = \frac{P(X \cap X_2)}{P(X_2)} = \frac{P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1^c X_2 X_3) + P(X_1 X_2 X_3)}{P(X_2)} = \frac{\frac{3}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32}}{\frac{1}{4}} = \frac{5/32}{1/4} = \frac{5}{8} \neq \frac{5}{16}$। (असत्य)
$(D) P(X \mid X_1) = \frac{P(X \cap X_1)}{P(X_1)} = \frac{P(X_1 X_2 X_3^c) + P(X_1 X_2^c X_3) + P(X_1 X_2 X_3)}{P(X_1)} = \frac{\frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = \frac{7/32}{1/2} = \frac{7}{16}$। (सत्य)

(B) चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
इसका अर्थ है $\frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{n(A)}{n(S)} \times \frac{n(B)}{n(S)}$,इसलिए $n(A \cap B) = \frac{n(A)n(B)}{6}$.
$n(A \cap B)$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n(A)n(B)$ को $6$ का गुणज होना चाहिए.
$1 \leq |B| < |A|$ दिया गया है,हम $n(A)$ और $n(B)$ के लिए संभावित मानों की जाँच करते हैं.
$1$. यदि $n(A) = 3, n(B) = 2$,तो $n(A \cap B) = 1$. युग्मों की संख्या $= \binom{6}{3} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{1} = 180$.
$2$. यदि $n(A) = 4, n(B) = 3$,तो $n(A \cap B) = 2$. युग्मों की संख्या $= \binom{6}{4} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{1} = 180$.
$3$. यदि $n(A) = 6$,तो $n(B)$ का मान $1, 2, 3, 4, 5$ हो सकता है. कुल युग्म $= 62$.
कुल युग्म $= 180 + 180 + 62 = 422$.

(D) मान लीजिए $S$ दो पासों पर आए अंकों का योग है। $S$ के संभावित मान $2$ से $12$ तक हैं।
अभाज्य योग का समुच्चय $P = \{2, 3, 5, 7, 11\}$ है। इन योगों के लिए परिणामों की संख्या: $P(2)=1, P(3)=2, P(5)=4, P(7)=6, P(11)=2$ है। अभाज्य के लिए कुल परिणाम = $1+2+4+6+2 = 15$ हैं। अतः,$P(\text{Prime}) = \frac{15}{36}$ है।
पूर्ण वर्ग योग का समुच्चय $Q = \{4, 9\}$ है। इन योगों के लिए परिणामों की संख्या: $P(4)=3, P(9)=4$ है। पूर्ण वर्ग के लिए कुल परिणाम = $3+4 = 7$ हैं। अतः,$P(\text{Perfect Square}) = \frac{7}{36}$ है।
न तो अभाज्य और न ही पूर्ण वर्ग प्राप्त करने की प्रायिकता $1 - (\frac{15}{36} + \frac{7}{36}) = 1 - \frac{22}{36} = \frac{14}{36}$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि अभाज्य से पहले एक पूर्ण वर्ग प्राप्त होता है। प्रायिकता $P(E) = \frac{7/36}{1 - 14/36} = \frac{7}{22}$ है।
हमें दिया गया है कि अभाज्य से पहले एक पूर्ण वर्ग प्राप्त होता है। हम वह प्रायिकता ज्ञात करना चाहते हैं कि यह पूर्ण वर्ग एक विषम संख्या है। हमारे समुच्चय में विषम पूर्ण वर्ग $9$ है,जिसके $4$ परिणाम हैं। सम पूर्ण वर्ग $4$ है,जिसके $3$ परिणाम हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,पूर्ण वर्ग के $9$ (विषम) होने की प्रायिकता $\frac{P(9)}{P(4) + P(9)} = \frac{4}{3+4} = \frac{4}{7}$ है।
अतः,$p = \frac{4}{7}$ है।
इसलिए,$14p = 14 \times \frac{4}{7} = 8$ है।

(D) $(1)$ $p_1$ वह प्रायिकता है कि चुनी गई संख्याओं का अधिकतम मान कम से कम $81$ है।
$p_1 = 1 - P(\text{अधिकतम} \leq 80) = 1 - (\frac{80}{100})^3 = 1 - (\frac{4}{5})^3 = 1 - \frac{64}{125} = \frac{61}{125}$.
अतः,$\frac{625}{4} p_1 = \frac{625}{4} \times \frac{61}{125} = \frac{5 \times 61}{4} = \frac{305}{4} = 76.25$.
$(2)$ $p_2$ वह प्रायिकता है कि चुनी गई संख्याओं का न्यूनतम मान अधिकतम $40$ है।
$p_2 = 1 - P(\text{न्यूनतम} \geq 41) = 1 - (\frac{60}{100})^3 = 1 - (\frac{3}{5})^3 = 1 - \frac{27}{125} = \frac{98}{125}$.
अतः,$\frac{125}{4} p_2 = \frac{125}{4} \times \frac{98}{125} = \frac{98}{4} = 24.50$.

(B) दिया गया है $P(X \mid Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)} = \frac{1}{2}$.
चूँकि $P(X \cap Y) = \frac{1}{6}$,हमारे पास $\frac{1/6}{P(Y)} = \frac{1}{2} \Rightarrow P(Y) = \frac{1}{3}$ है।
दिया गया है $P(Y \mid X) = \frac{P(X \cap Y)}{P(X)} = \frac{1}{3}$.
चूँकि $P(X \cap Y) = \frac{1}{6}$,हमारे पास $\frac{1/6}{P(X)} = \frac{1}{3} \Rightarrow P(X) = \frac{1}{2}$ है।
अब,$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3+2-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है। अतः,$(A)$ सही है।
स्वतंत्रता के लिए जाँचें: $P(X) \cdot P(Y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ है।
चूँकि $P(X \cap Y) = \frac{1}{6} = P(X) \cdot P(Y)$,इसलिए $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं। अतः,$(B)$ सही है।
$P(X^C \cap Y) = P(Y) - P(X \cap Y) = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ है। अतः,$(D)$ गलत है।

(B) मान लीजिए $x, y, z$ क्रमशः $E_1, E_2, E_3$ की प्रायिकताएं हैं।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,हमारे पास है:
$\alpha = x(1-y)(1-z)$,$\beta = y(1-x)(1-z)$,$\gamma = z(1-x)(1-y)$,और $p = (1-x)(1-y)(1-z)$.
इनसे,हम लिख सकते हैं:
$\frac{\alpha}{p} = \frac{x}{1-x}$,$\frac{\beta}{p} = \frac{y}{1-y}$,और $\frac{\gamma}{p} = \frac{z}{1-z}$.
दिए गए संबंध $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ को $p^2$ से विभाजित करने पर $\frac{\alpha}{p} - 2\frac{\beta}{p} = \frac{\alpha}{p} \cdot \frac{\beta}{p}$ प्राप्त होता है।
$u = \frac{x}{1-x}, v = \frac{y}{1-y}, w = \frac{z}{1-z}$ रखने पर,हमें $u - 2v = uv \Rightarrow u(1-v) = 2v \Rightarrow u = \frac{2v}{1-v}$ मिलता है।
इसी प्रकार,$(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma \Rightarrow \frac{\beta}{p} - 3\frac{\gamma}{p} = 2\frac{\beta}{p} \cdot \frac{\gamma}{p} \Rightarrow v - 3w = 2vw \Rightarrow v = \frac{3w}{1-2w}$.
इन संबंधों को हल करने पर $x = 2y$ और $y = 3z$ प्राप्त होता है,अतः $x = 6z$।
इस प्रकार,अनुपात $\frac{P(E_1)}{P(E_3)} = \frac{x}{z} = 6$ है।

(A, D) $1.$ तीनों गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता $P(WWW) + P(RRR) + P(BBB)$ द्वारा दी जाती है।
$P(WWW) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{9} \times \frac{3}{12} = \frac{6}{648}$
$P(RRR) = \frac{3}{6} \times \frac{3}{9} \times \frac{4}{12} = \frac{36}{648}$
$P(BBB) = \frac{2}{6} \times \frac{4}{9} \times \frac{5}{12} = \frac{40}{648}$
इनका योग करने पर,हमें $\frac{6+36+40}{648} = \frac{82}{648}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
$2.$ मान लीजिए $E$ एक सफेद और एक लाल गेंद निकालने की घटना है। मान लीजिए $B_1, B_2, B_3$ संबंधित बॉक्स चुनने की घटनाएं हैं।
$P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{1}{3}$.
$P(E|B_1) = \frac{\binom{1}{1} \times \binom{3}{1}}{\binom{6}{2}} = \frac{1 \times 3}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.
$P(E|B_2) = \frac{\binom{2}{1} \times \binom{3}{1}}{\binom{9}{2}} = \frac{2 \times 3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$P(E|B_3) = \frac{\binom{3}{1} \times \binom{4}{1}}{\binom{12}{2}} = \frac{3 \times 4}{66} = \frac{12}{66} = \frac{2}{11}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(B_2|E) = \frac{P(B_2)P(E|B_2)}{P(B_1)P(E|B_1) + P(B_2)P(E|B_2) + P(B_3)P(E|B_3)}$.
$P(B_2|E) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{6}}{\frac{1}{3} \times (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{2}{11})} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{66+55+60}{330}} = \frac{1}{6} \times \frac{330}{181} = \frac{55}{181}$. अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(A-D) $1.$ योग $x_1 + x_2 + x_3$ विषम तब होता है यदि तीनों विषम हों या दो सम और एक विषम हो।
स्थिति $1$: $(O, O, O) \rightarrow P = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{24}{105}$
स्थिति $2$: $(O, E, E) \rightarrow P = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{12}{105}$
स्थिति $3$: $(E, O, E) \rightarrow P = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{105}$
स्थिति $4$: $(E, E, O) \rightarrow P = \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{105}$
कुल प्रायिकता $= \frac{24+12+9+8}{105} = \frac{53}{105}$.
$2.$ $x_1, x_2, x_3$ के समांतर श्रेणी में होने के लिए,$2x_2 = x_1 + x_3$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $x_1 + x_3$ सम होना चाहिए,जिसका मतलब है कि $x_1$ और $x_3$ की समता (parity) समान होनी चाहिए।
यदि $x_1, x_3$ दोनों विषम हैं: $(1,1), (1,3), (1,5), (1,7), (3,1), (3,3), (3,5), (3,7)$ (कुल $8$ जोड़े)।
यदि $x_1, x_3$ दोनों सम हैं: $(2,2), (2,4), (2,6)$ (कुल $3$ जोड़े)।
कुल अनुकूल परिणाम $= 8 + 3 = 11$.
कुल संभावित परिणाम $= 3 \times 5 \times 7 = 105$.
प्रायिकता $= \frac{11}{105}$.

(A) मान लीजिए $W$ वह घटना है जिसमें $P_1$ दौर जीतता है,$L$ जिसमें $P_1$ हारता है,और $D$ ड्रा है।
$P(D) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$P(W) = P(L) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{6}) = \frac{5}{12}$.
$n=2$ के लिए:
$P(X_2 > Y_2) = P(W, W) + P(W, D) + P(D, W) = (\frac{5}{12})^2 + 2(\frac{5}{12} \times \frac{1}{6}) = \frac{25}{144} + \frac{20}{144} = \frac{45}{144} = \frac{5}{16}$. ($II \rightarrow R$ से मेल खाता है)
$P(X_2 = Y_2) = P(D, D) + P(W, L) + P(L, W) = (\frac{1}{6})^2 + 2(\frac{5}{12} \times \frac{5}{12}) = \frac{1}{36} + \frac{50}{144} = \frac{54}{144} = \frac{3}{8}$. ($I \rightarrow P$ से मेल खाता है)
$P(X_2 \geq Y_2) = P(X_2 > Y_2) + P(X_2 = Y_2) = \frac{5}{16} + \frac{3}{8} = \frac{11}{16}$. ($I \rightarrow Q$ से मेल खाता है)
$n=3$ के लिए:
$P(X_3 = Y_3) = \frac{77}{432}$. ($III \rightarrow T$ से मेल खाता है)
$P(X_3 > Y_3) = \frac{1}{2}(1 - P(X_3 = Y_3)) = \frac{355}{864}$. ($IV \rightarrow S$ से मेल खाता है)
अतः,$I \rightarrow Q, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow S$.

(A) माना $D_1$ पहला पासा है और $D_2$ दूसरा पासा है। $D_1$ के परिणाम ${1, 1, 2, 2, 3, 4}$ हैं और $D_2$ के परिणाम ${1, 2, 2, 3, 3, 4}$ हैं। कुल परिणाम $= 6 \times 6 = 36$.
हम योग $S = 4$ या $S = 5$ प्राप्त करना चाहते हैं।
$S = 4$ के लिए,संभावित जोड़े $(D_1, D_2)$ हैं $(1, 3), (1, 3), (2, 2), (2, 2), (3, 1)$.
आवृत्ति की गणना: $(1, 3)$ $2 \times 2 = 4$ बार,$(2, 2)$ $2 \times 2 = 4$ बार,$(3, 1)$ $1 \times 1 = 1$ बार आता है। $S=4$ के लिए कुल $4+4+1 = 9$ है।
$S = 5$ के लिए,संभावित जोड़े $(D_1, D_2)$ हैं $(1, 4), (2, 3), (2, 3), (3, 2), (3, 2), (4, 1)$.
आवृत्ति की गणना: $(1, 4)$ $2 \times 1 = 2$ बार,$(2, 3)$ $2 \times 2 = 4$ बार,$(3, 2)$ $1 \times 2 = 2$ बार,$(4, 1)$ $1 \times 1 = 1$ बार आता है। $S=5$ के लिए कुल $2+4+2+1 = 9$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 9 + 9 = 18$.
प्रायिकता $= \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(B) माना $P(S_5)$ दो पासों पर $5$ का योग प्राप्त करने की प्रायिकता है: $P(S_5) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
माना $P(S_8)$ दो पासों पर $8$ का योग प्राप्त करने की प्रायिकता है: $P(S_8) = \frac{5}{36}$.
$A$ के जीतने की प्रायिकता एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी द्वारा दी गई है:
$P(A) = \frac{P(S_5)}{1 - (1 - P(S_5)) \cdot (1 - P(S_8))} = \frac{1/9}{1 - (8/9 \cdot 31/36)} = \frac{9}{19}$.

(D) $40$ में से $3$ भिन्न संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{40}C_3 = 9880$ हैं।
माना संख्याएँ $a, ar, ar^2$ हैं जहाँ $r = \frac{p}{q}$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $28$ प्राप्त होते हैं।
प्रायिकता $P = \frac{28}{9880} = \frac{7}{2470}$ है।
अतः,$m = 7, n = 2470$.
$m + n = 7 + 2470 = 2477$.

(A) $P(U) = 1 - P(S_1^{\prime} \cap S_2^{\prime} \cap S_3^{\prime}) = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow P(S_1^{\prime}) \cdot P(S_2^{\prime}) \cdot P(S_3^{\prime}) = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow (1 - P(S_1))(1 - P(S_2))(1 - P(S_3)) = \frac{1}{2} \dots (1)$
$P(V) = \frac{P(S_1 \cap S_2^{\prime} \cap S_3^{\prime})}{P(S_2^{\prime} \cap S_3^{\prime})} = \frac{1}{10}$
$\Rightarrow \frac{P(S_1) \cdot P(S_2^{\prime}) \cdot P(S_3^{\prime})}{P(S_2^{\prime}) \cdot P(S_3^{\prime})} = \frac{1}{10}$
$\Rightarrow P(S_1) = \frac{1}{10}$
$P(W) = P(S_2 \cap S_3^{\prime}) = P(S_2) \cdot P(S_3^{\prime}) = \frac{1}{12}$
$\Rightarrow P(S_2)(1 - P(S_3)) = \frac{1}{12} \dots (2)$
समीकरण $(1)$ से,$(1 - \frac{1}{10})(1 - P(S_2))(1 - P(S_3)) = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow (1 - P(S_2))(1 - P(S_3)) = \frac{5}{9} \dots (3)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(3)$ से विभाजित करने पर: $\frac{P(S_2)}{1 - P(S_2)} = \frac{1}{12} \times \frac{9}{5} = \frac{3}{20}$
$20 P(S_2) = 3 - 3 P(S_2) \Rightarrow 23 P(S_2) = 3 \Rightarrow P(S_2) = \frac{3}{23}$
$P(S_2)$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर: $\frac{3}{23}(1 - P(S_3)) = \frac{1}{12}$
$1 - P(S_3) = \frac{23}{36} \Rightarrow P(S_3) = 1 - \frac{23}{36} = \frac{13}{36}$
अतः,$P(T) = P(S_3) = \frac{13}{36}$.

(D) किसी भी धनात्मक पूर्णांक का इकाई अंक $10$ अंकों में से कोई भी हो सकता है: ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$.
चार संख्याओं के गुणनफल का इकाई अंक $1, 3, 7,$ या $9$ होने के लिए,चारों संख्याओं का इकाई अंक ${1, 3, 7, 9}$ समुच्चय से होना चाहिए।
प्रत्येक संख्या के लिए $10$ संभावित अंकों में से $4$ अनुकूल अंक हैं।
एक संख्या का इकाई अंक ${1, 3, 7, 9}$ में होने की प्रायिकता $P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ है।
चूँकि चार पूर्णांक स्वतंत्र रूप से चुने जाते हैं,इसलिए चारों का इकाई अंक ${1, 3, 7, 9}$ में होने की प्रायिकता $\left(\frac{2}{5}\right)^{4} = \frac{16}{625}$ है।

(B) समुच्चय $\{1, 2, 3, 4\}$ से प्रतिस्थापन के साथ दो संख्याएँ $p$ और $q$ चुनने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $4 \times 4 = 16$ है।
हमें उन युग्मों $(p, q)$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $p^2 > 4q$ हो।
आइए $p$ के प्रत्येक मान की जाँच करें:
यदि $p = 1$,तो $p^2 = 1$। किसी भी $q \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $1 > 4q$ संभव नहीं है।
यदि $p = 2$,तो $p^2 = 4$। किसी भी $q \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $4 > 4q$ संभव नहीं है।
यदि $p = 3$,तो $p^2 = 9$। $q = 1$ $(9 > 4)$ और $q = 2$ $(9 > 8)$ के लिए $9 > 4q$ सत्य है। अतः,$(3, 1)$ और $(3, 2)$ अनुकूल परिणाम हैं।
यदि $p = 4$,तो $p^2 = 16$। $q = 1$ $(16 > 4)$,$q = 2$ $(16 > 8)$,और $q = 3$ $(16 > 12)$ के लिए $16 > 4q$ सत्य है। अतः,$(4, 1), (4, 2)$,और $(4, 3)$ अनुकूल परिणाम हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $2 + 3 = 5$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{5}{16}$ है।

(C) लीप वर्ष हर $4$ साल में आता है,इसलिए वर्ष के लीप वर्ष होने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।
अतः,वर्ष के लीप वर्ष न होने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
एक सामान्य वर्ष में $365$ दिन ($52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन) होते हैं। इस अतिरिक्त दिन के सोमवार होने की प्रायिकता $\frac{1}{7}$ है।
एक लीप वर्ष में $366$ दिन ($52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन) होते हैं। इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए संभावित जोड़े (सोम,मंगल),(मंगल,बुध),(बुध,गुरु),(गुरु,शुक्र),(शुक्र,शनि),(शनि,रवि) और (रवि,सोम) हैं। कुल $7$ परिणाम हैं,जिनमें से $2$ में सोमवार आता है।
अतः,लीप वर्ष में $53$ सोमवार होने की प्रायिकता $\frac{2}{7}$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(\text{सामान्य वर्ष}) \times P(\text{सोमवार} | \text{सामान्य वर्ष}) + P(\text{लीप वर्ष}) \times P(\text{सोमवार} | \text{लीप वर्ष})$.
$= \frac{3}{4} \times \frac{1}{7} + \frac{1}{4} \times \frac{2}{7} = \frac{3}{28} + \frac{2}{28} = \frac{5}{28}$.

(D) प्रतिबंध $\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ तभी संतुष्ट होता है जब ${r_1, r_2, r_3}$ को $3$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल का समुच्चय ${0, 1, 2}$ हो।
पासे के लिए,$n_0 = 2$ (संख्याएँ $3, 6$),$n_1 = 2$ (संख्याएँ $1, 4$),और $n_2 = 2$ (संख्याएँ $2, 5$) हैं।
शेषफल $0, 1, 2$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(0) = \frac{1}{3}, P(1) = \frac{1}{3}, P(2) = \frac{1}{3}$ है।
$\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ के लिए,शेषफल $(0, 1, 2)$ के क्रमचय होने चाहिए।
ऐसे कुल $3! = 6$ क्रमचय संभव हैं।
अतः प्रायिकता $6 \times (\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}) = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $P(A') + P(B') P(A \cup B) = 0.7$ है।
हम जानते हैं कि $P(A') = 1 - P(A)$ और $P(B') = 1 - P(B)$ होता है।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(A') + P(B') = 2 - (P(A) + P(B)) = 2 - (P(A \cup B) + P(A \cap B))$।
यहाँ $P(A \cap B) = 0.2$ और $P(A \cup B) = 0.7$ लेने पर:
$P(A') + P(B') = 2 - (0.7 + 0.2) = 2 - 0.9 = 1.1$।

(B) मान लीजिए $S_1$ पहली अलमारी चुनने की घटना है और $S_2$ दूसरी अलमारी चुनने की घटना है। चूंकि अलमारी यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है,इसलिए $P(S_1) = P(S_2) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $P$ भौतिकी की पुस्तक निकालने की घटना है।
पहली अलमारी से भौतिकी की पुस्तक निकालने की प्रायिकता $P(P|S_1) = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$ है।
दूसरी अलमारी से भौतिकी की पुस्तक निकालने की प्रायिकता $P(P|S_2) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,आवश्यक प्रायिकता है:
$P(P) = P(S_1) \cdot P(P|S_1) + P(S_2) \cdot P(P|S_2)$
$P(P) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{5}{8}\right) + \left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\right)$
$P(P) = \frac{5}{16} + \frac{1}{3} = \frac{15+16}{48} = \frac{31}{48}$.

(A) तीन पासों को फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
$5$ से कम योग निम्नलिखित परिणामों से प्राप्त होता है: $(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)$।
$5$ से कम योग वाले परिणामों की संख्या $n(E') = 4$ है।
$5$ से कम योग प्राप्त करने की प्रायिकता $P(< 5) = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$ है।
कम से कम $5$ योग प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\geq 5) = 1 - P(< 5)$ है।
$P(\geq 5) = 1 - \frac{1}{54} = \frac{53}{54}$।

(B) मान लीजिए कि $W_i$ और $B_i$ क्रमशः कलश $i$ से सफेद और काली गेंद निकालने की घटनाएँ हैं,जहाँ $i = 1, 2, 3$ है।
कलश $1$: $P(W_1) = \frac{2}{5}$,$P(B_1) = \frac{3}{5}$.
कलश $2$: $P(W_2) = \frac{3}{5}$,$P(B_2) = \frac{2}{5}$.
कलश $3$: $P(W_3) = \frac{1}{5}$,$P(B_3) = \frac{4}{5}$.
हमें $1$ काली और $2$ सफेद गेंदें चुनने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। यह तीन परस्पर अपवर्जी तरीकों से हो सकता है:
$1$. $(B_1, W_2, W_3)$: $P(B_1) \times P(W_2) \times P(W_3) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{9}{125}$.
$2$. $(W_1, B_2, W_3)$: $P(W_1) \times P(B_2) \times P(W_3) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{4}{125}$.
$3$. $(W_1, W_2, B_3)$: $P(W_1) \times P(W_2) \times P(B_3) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{125}$.
कुल प्रायिकता इन प्रायिकताओं का योग है: $\frac{9}{125} + \frac{4}{125} + \frac{24}{125} = \frac{37}{125}$.

(A) दिया गया है कि $P(A)=\frac{3}{10}$ और $P(B)=\frac{2}{5}$ है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $A^{\prime}$ और $B$ भी स्वतंत्र घटनाएँ होंगी।
सबसे पहले,$P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ ज्ञात करें।
दो घटनाओं के संघ (union) के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए: $P(A^{\prime} \cup B) = P(A^{\prime}) + P(B) - P(A^{\prime} \cap B)$।
चूँकि $A^{\prime}$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A^{\prime} \cap B) = P(A^{\prime}) \times P(B)$ होगा।
मान रखने पर:
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{7}{10} + \frac{2}{5} - (\frac{7}{10} \times \frac{2}{5})$
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{7}{10} + \frac{4}{10} - \frac{14}{50}$
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{11}{10} - \frac{7}{25}$
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{55 - 14}{50} = \frac{41}{50}$।

(B) लक्ष्य को भेदने की दी गई प्रायिकताएं $P(P) = \frac{3}{4}$,$P(Q) = \frac{1}{2}$,और $P(R) = \frac{5}{8}$ हैं।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,लक्ष्य को न भेदने की प्रायिकताएं $P(P') = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$,$P(Q') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,और $P(R') = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$ होंगी।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि लक्ष्य $P$ या $Q$ द्वारा भेदा जाए लेकिन $R$ द्वारा नहीं। यह घटना $(P \cap Q' \cap R') \cup (P' \cap Q \cap R') \cup (P \cap Q \cap R')$ के अनुरूप है।
चूंकि ये परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं,प्रायिकता:
$P = P(P)P(Q')P(R') + P(P')P(Q)P(R') + P(P)P(Q)P(R')$
$P = \left(\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}\right) + \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}\right) + \left(\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}\right)$
$P = \frac{9}{64} + \frac{3}{64} + \frac{9}{64} = \frac{21}{64}$.

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
दिए गए समीकरण से: $P(A \cup B) = 2P(B) - P(A)$.
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 2P(B) - P(A)$.
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B) = 2P(B) - P(A)$.
$P(B)$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2P(A) = P(B) + P(A) \cdot P(B)$.
$2P(A) = P(B)(1 + P(A))$.
$P(B) = \frac{2P(A)}{1 + P(A)}$.
चूंकि $P(A) = \frac{1}{4}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$P(B) = \frac{2 \times \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$.

(B) मान लीजिए $R_1$ और $B_1$ पहली थैली से लाल और काली गेंद निकालने की घटनाएं हैं। $P(R_1) = \frac{3}{8}$,$P(B_1) = \frac{5}{8}$.
मान लीजिए $R_2$ और $B_2$ दूसरी थैली से लाल और काली गेंद निकालने की घटनाएं हैं। $P(R_2) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$,$P(B_2) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
यह घटना कि एक गेंद लाल और दूसरी काली हो,दो परस्पर अनन्य तरीकों से हो सकती है: (पहली से लाल और दूसरी से काली) या (पहली से काली और दूसरी से लाल)।
आवश्यक प्रायिकता $= P(R_1) \times P(B_2) + P(B_1) \times P(R_2)$.
$= (\frac{3}{8} \times \frac{4}{10}) + (\frac{5}{8} \times \frac{6}{10})$.
$= \frac{12}{80} + \frac{30}{80} = \frac{42}{80} = \frac{21}{40}$.

(C) $X$ के मानों के समुच्चय में अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5, 7\}$ हैं।
$P(E) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = 0.23 + 0.12 + 0.08 + 0.05 = 0.48$.
घटना $F = \{X < 5\}$ का अर्थ है $X \in \{1, 2, 3, 4\}$।
$P(F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.15 + 0.23 + 0.12 + 0.20 = 0.70$.
घटना $E \cap F$ का अर्थ है कि $X$ एक $5$ से छोटी अभाज्य संख्या है,जो $\{2, 3\}$ है।
$P(E \cap F) = P(X=2) + P(X=3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
प्रायिकता के योग के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = 0.48 + 0.70 - 0.35 = 0.83$.

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A) = p$ और $P(B) = 2p$।
घटना $A$ या $B$ में से ठीक एक के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B^c) = P(A)P(B^c) = p(1 - 2p)$ और $P(A^c \cap B) = P(A^c)P(B) = (1 - p)(2p)$।
अतः,$P(\text{ठीक एक}) = p(1 - 2p) + 2p(1 - p) = \frac{5}{9}$।
इसका विस्तार करने पर,$p - 2p^2 + 2p - 2p^2 = \frac{5}{9}$ प्राप्त होता है।
यह $3p - 4p^2 = \frac{5}{9}$ या $4p^2 - 3p + \frac{5}{9} = 0$ में सरल हो जाता है।
$9$ से गुणा करने पर,$36p^2 - 27p + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $36p^2 - 12p - 15p + 5 = 0 \implies 12p(3p - 1) - 5(3p - 1) = 0$।
अतः,$(12p - 5)(3p - 1) = 0$।
इससे $p = \frac{5}{12}$ या $p = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दो घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र होती हैं यदि और केवल यदि $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ हो।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A' \cap B' = (A \cup B)'$ होता है।
इसलिए,$P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B)$ होता है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ होता है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ होता है।
इस मान को $P(A' \cap B')$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A' \cap B') = 1 - [P(A) + P(B) - P(A)P(B)]$
$P(A' \cap B') = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$
$P(A' \cap B') = [1 - P(A)] - P(B)[1 - P(A)]$
$P(A' \cap B') = [1 - P(A)][1 - P(B)]$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,उनके संघ (union) की प्रायिकता का सूत्र है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) P(B)$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B)$.
वैकल्पिक रूप से,हम इसे पूरक घटनाओं $A'$ और $B'$ का उपयोग करके व्यक्त कर सकते हैं:
$P(A \cup B) = 1 - P((A \cup B)') = 1 - P(A' \cap B')$.
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A'$ और $B'$ भी स्वतंत्र हैं।
अतः,$P(A' \cap B') = P(A') P(B')$.
इस प्रकार,$P(A \cup B) = 1 - P(A') P(B')$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
हम दो घटनाओं के संघ (union) के लिए सूत्र जानते हैं: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + P(B) - P(A) \cdot P(B)$.
$\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + P(B) - \frac{1}{2} P(B)$.
$\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = P(B) (1 - \frac{1}{2})$.
$\frac{6-5}{10} = P(B) (\frac{1}{2})$.
$\frac{1}{10} = P(B) \cdot \frac{1}{2}$.
$P(B) = \frac{2}{10} = 0.2$.

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ होता है।
हम दो घटनाओं के संघ (union) के लिए सूत्र जानते हैं: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
स्वतंत्र घटना के गुण का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$.
यहाँ $P(A \cup B) = 0.5$ और $P(A) = 0.2$ दिया गया है,मान रखने पर:
$0.5 = 0.2 + P(B) - 0.2 \cdot P(B)$.
$0.5 - 0.2 = P(B)(1 - 0.2)$.
$0.3 = 0.8 \cdot P(B)$.
$P(B) = \frac{0.3}{0.8} = \frac{3}{8}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है,$P(\bar{A})=0.75$,$P(A \cup B)=0.65$ और $P(B)=x$.
सबसे पहले,$P(A)$ ज्ञात करें: $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0.75 = 0.25$.
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.25x$.
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$0.65 = 0.25 + x - 0.25x$.
$0.65 - 0.25 = x(1 - 0.25)$.
$0.40 = 0.75x$.
$x = \frac{0.40}{0.75} = \frac{40}{75} = \frac{8}{15}$.

(C) दिया गया है कि $A, B$ और $C$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं जहाँ $P(A)=P(B)=P(C)=P$ है।
$A, B$ और $C$ में से कम से कम दो घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता निम्नलिखित परस्पर अपवर्जी स्थितियों की प्रायिकताओं का योग है:
$1$. ठीक दो घटनाएँ घटित हों: $(A \cap B \cap C') \cup (A \cap B' \cap C) \cup (A' \cap B \cap C)$
$2$. तीनों घटनाएँ घटित हों: $(A \cap B \cap C)$
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं, $P(A \cap B \cap C') = P(A)P(B)P(C') = P \times P \times (1-P) = P^{2}(1-P)$।
इसी प्रकार, $P(A \cap B' \cap C) = P^{2}(1-P)$ और $P(A' \cap B \cap C) = P^{2}(1-P)$।
साथ ही, $P(A \cap B \cap C) = P \times P \times P = P^{3}$।
अतः, $P(\text{कम से कम दो घटनाएँ घटित हों}) = 3 \times P^{2}(1-P) + P^{3}$।
$= 3P^{2} - 3P^{3} + P^{3} = 3P^{2} - 2P^{3}$।