यदि $P(B) = \frac{3}{4}$,$P(A \cap B \cap \bar{C}) = \frac{1}{3}$ और $P(\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) = \frac{1}{3}$ है,तो $P(B \cap C)$ का मान क्या है?

एक बॉक्स में $1, 2, 3, \ldots, n$ लेबल वाले कूपन हैं। एक कूपन यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और संख्या $x$ नोट की जाती है। कूपन को वापस बॉक्स में डाल दिया जाता है और एक नया कूपन यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। नई संख्या $y$ है। तो,इस बात की प्रायिकता कि $x$ और $y$ में से एक संख्या दूसरी को विभाजित करती है,क्या है? (नीचे दिए गए विकल्पों में $[r]$,$r$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है)

मान लीजिए $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं जैसे कि $P(A)=p$ और $P(B)=2p$। $p$ का वह अधिकतम मान, जिसके लिए $P(\text{A, B में से ठीक एक घटना घटित हो}) = \frac{5}{9}$ है, ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $E$ और $F$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं। $E$ और $F$ दोनों के होने की प्रायिकता $\frac{1}{12}$ है और न तो $E$ और न ही $F$ के होने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है,तो

एक जहाज में तीन इंजन $E_1, E_2$ और $E_3$ लगे हैं। इंजन एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से क्रमशः $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ और $\frac{1}{4}$ की प्रायिकता के साथ कार्य करते हैं। जहाज के चालू रहने के लिए,इसके कम से कम दो इंजनों का कार्य करना आवश्यक है। मान लीजिए $X$ उस घटना को दर्शाता है कि जहाज चालू है और $X_1, X_2$ और $X_3$ क्रमशः उन घटनाओं को दर्शाते हैं कि इंजन $E_1, E_2$ और $E_3$ कार्य कर रहे हैं। निम्नलिखित में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?
$(A) P(X_1^c \mid X) = \frac{3}{16}$
$(B) P(\text{ठीक दो इंजन कार्य कर रहे हैं} \mid X) = \frac{7}{8}$
$(C) P(X \mid X_2) = \frac{5}{16}$
$(D) P(X \mid X_1) = \frac{7}{16}$

दो खिलाड़ी $A$ और $B$ बारी-बारी से एक सिक्का और एक पासा उछालते हैं। जो खिलाड़ी पहले चित (head) और $6$ लाता है,वह खेल जीत जाता है। यदि $A$ खेल शुरू करता है,तो $B$ के खेल जीतने की प्रायिकता क्या है?