मान लीजिए $X$ और $Y$ ऐसी घटनाएँ हैं कि $P(X \cup Y) = P(X \cap Y).$
कथन-$1$: $P(X \cap Y) = P(X' \cap Y') = 0$
कथन-$2$: $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y).$

$50$ स्क्रू के एक लॉट में $5$ खराब स्क्रू हैं। यदि $3$ स्क्रू यादृच्छिक रूप से निकाले जाते हैं,तो इस घटना की प्रायिकता कि सभी $3$ स्क्रू सही (गैर-खराब) हों,यदि चयन $(a)$ प्रतिस्थापन के साथ और $(b)$ प्रतिस्थापन के बिना किया जाता है,तो क्रमशः क्या होगी?

मान लीजिए $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है जहाँ $\omega \neq 1$ है। एक निष्पक्ष पासे को तीन बार फेंका जाता है। यदि $r_1, r_2$ और $r_3$ पासे पर प्राप्त संख्याएँ हैं,तो $\omega^{r_1}+\omega^{r_2}+\omega^{r_3}=0$ होने की प्रायिकता क्या है?

बॉक्स $1$ में $1, 2, 3$ नंबर वाले तीन कार्ड हैं; बॉक्स $2$ में $1, 2, 3, 4, 5$ नंबर वाले पांच कार्ड हैं; और बॉक्स $3$ में $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ नंबर वाले सात कार्ड हैं। प्रत्येक बॉक्स से एक कार्ड निकाला जाता है। मान लीजिए $x_i$ $i$-वें बॉक्स से निकाले गए कार्ड पर की संख्या है,$i = 1, 2, 3$.
$1.$ $x_1 + x_2 + x_3$ विषम होने की प्रायिकता है:
$(A) \frac{29}{105}$ $(B) \frac{53}{105}$ $(C) \frac{57}{105}$ $(D) \frac{1}{2}$
$2.$ $x_1, x_2, x_3$ के समांतर श्रेणी में होने की प्रायिकता है:
$(A) \frac{9}{105}$ $(B) \frac{10}{105}$ $(C) \frac{11}{105}$ $(D) \frac{7}{105}$
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।

यदि $A$ और $B$ दो घटनाएँ हैं,तो इस घटना की प्रायिकता कि $A$ और $B$ में से अधिकतम एक घटित हो,क्या होगी?

एक व्यक्ति बार-बार एक निष्पक्ष सिक्का उछालता है। उसे प्रत्येक चित (head) के लिए $10$ अंक और प्रत्येक पट (tail) के लिए $5$ अंक मिलते हैं। यदि उसे ठीक $30$ अंक प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\text{gcd}(m, n) = 1$,तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए: