दो सिक्के उछाले जाते हैं। मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पहले सिक्के पर चित (head) आता है और $B$ वह घटना है कि दूसरे सिक्के पर पट (tail) आता है। ये दो घटनाएँ $A$ और $B$ हैं:

मान लीजिए कि तीन स्वतंत्र घटनाएँ $E_{1}, E_{2}$ और $E_{3}$ हैं। केवल $E_{1}$ के घटित होने की प्रायिकता $\alpha$ है,केवल $E_{2}$ के घटित होने की प्रायिकता $\beta$ है और केवल $E_{3}$ के घटित होने की प्रायिकता $\gamma$ है। मान लीजिए $p$ उस प्रायिकता को दर्शाता है कि कोई भी घटना घटित नहीं होती है,जो समीकरणों $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ और $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ को संतुष्ट करती है। सभी दी गई प्रायिकताएँ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित मानी जाती हैं। तो,$\frac{\text{Probability of occurrence of } E_{1}}{\text{Probability of occurrence of } E_{3}}$ का मान .......... है।

एक लड़का एक निष्पक्ष पासा फेंकता है। जब भी उसे पासे पर $1$ मिलता है,तो उसे तुरंत फिर से पासा फेंकने का एक और मौका मिलता है। इस प्रक्रिया में लड़के को $7$ का स्कोर मिलने की प्रायिकता क्या है?

समीकरणों की प्रणाली $ax + by = 0$ और $cx + dy = 0$ पर विचार करें,जहाँ $a, b, c, d \in \{0, 1\}$ है।
कथन $-1$: समीकरणों की प्रणाली का हल होने की प्रायिकता $1$ है।
कथन $-2$: समीकरणों की प्रणाली का अद्वितीय हल होने की प्रायिकता $\frac{3}{8}$ है।

मान लीजिए $B_{i} (i=1, 2, 3)$ एक प्रतिदर्श समष्टि में तीन स्वतंत्र घटनाएँ हैं। केवल $B_{1}$ के घटित होने की प्रायिकता $\alpha$ है,केवल $B_{2}$ के घटित होने की प्रायिकता $\beta$ है और केवल $B_{3}$ के घटित होने की प्रायिकता $\gamma$ है। मान लीजिए $p$ वह प्रायिकता है कि कोई भी घटना $B_{i}$ घटित नहीं होती है और ये $4$ प्रायिकताएँ समीकरणों $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ और $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ को संतुष्ट करती हैं (सभी प्रायिकताएँ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित मानी गई हैं)। तो $\frac{P(B_{1})}{P(B_{3})}$ का मान .......... है।

मान लीजिए कि $a, b$ और $c$ एक निष्पक्ष चतुष्फलकीय पासे के तीन स्वतंत्र उछालों के परिणाम हैं,जिसके चार फलकों पर $1, 2, 3, 4$ अंकित हैं। यदि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल वास्तविक होने की प्रायिकता $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$,तो $m + n$ का मान .......... है।