यदि समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ से $n$ संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं,तो क्या प्रायिकता है कि $\frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i}$ एक पूर्णांक है?

चार मशीनें हैं और यह ज्ञात है कि उनमें से ठीक दो मशीनें खराब हैं। उन्हें एक-एक करके,यादृच्छिक क्रम में तब तक परखा जाता है जब तक कि दोनों खराब मशीनों की पहचान न हो जाए। तो,केवल दो परीक्षणों की आवश्यकता होने की प्रायिकता क्या है?

$S$ प्रतिदर्श समष्टि है और $A, B$ एक यादृच्छिक प्रयोग की दो घटनाएँ हैं। सूची-$A$ की वस्तुओं का मिलान सूची-$B$ की वस्तुओं से कीजिए।

सूची-$A$	सूची-$B$
$(I)$ $A, B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं	$(i)$ $P(A \cap B) = P(B) - P(\bar{A})$
$(II)$ $A, B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं	$(ii)$ $P(A) \leq P(B)$
$(III)$ $A \cap B = A$	$(iii)$ $P(\frac{\bar{A}}{B}) = 1 - P(A)$
$(IV)$ $A \cup B = S$	$(iv)$ $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
	$(v)$ $P(A) + P(B) = 2$

समुच्चय $S = \{2^1, 2^2, 2^3, \dots, 2^{25}\}$ से दो अलग-अलग संख्याएँ $a$ और $b$ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। $\log_2(ab)$ के पूर्णांक होने की प्रायिकता क्या है?

एक शतरंज बोर्ड पर एक-एक करके दो वर्ग चुने जाते हैं। इस बात की प्रायिकता क्या है कि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ (common) हो?

मान लीजिए $A$ और $B$ दो ऐसी घटनाएँ हैं कि $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$,$P(A \cup B) = \frac{31}{45}$,और $P(\bar{B}) = \frac{7}{10}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?