यदि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(A) = \frac{1}{2}$ और $P(B) = \frac{1}{5}$,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

एक व्यक्ति बार-बार एक निष्पक्ष सिक्का उछालता है। उसे प्रत्येक चित (head) के लिए $10$ अंक और प्रत्येक पट (tail) के लिए $5$ अंक मिलते हैं। यदि उसे ठीक $30$ अंक प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\text{gcd}(m, n) = 1$,तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए:

एक शतरंज बोर्ड पर एक-एक करके दो वर्ग चुने जाते हैं। इस बात की प्रायिकता क्या है कि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ (common) हो?

दो मित्र $A$ और $B$ हर सप्ताहांत या तो पार्टी में या स्पोर्ट्स क्लब में मिलते हैं। उनके स्पोर्ट्स क्लब में मिलने की प्रायिकता $\frac{4}{9}$ है। पार्टी में और क्लब में उनके साथ भोजन करने की प्रायिकता क्रमशः $\frac{1}{3}$ और $\frac{2}{5}$ है। किसी सप्ताहांत पर,उनके साथ भोजन किए बिना अलग होने की प्रायिकता क्या है?

चार मशीनें हैं और यह ज्ञात है कि उनमें से ठीक दो मशीनें खराब हैं। उन्हें एक-एक करके,यादृच्छिक क्रम में तब तक परखा जाता है जब तक कि दोनों खराब मशीनें पहचानी न जाएं। तो,केवल दो परीक्षणों की आवश्यकता होने की प्रायिकता क्या है?

बिंदुओं $(x, y)$ के समुच्चय $A_n$ पर विचार करें जैसे कि $0 \leq x \leq n, 0 \leq y \leq n$,जहाँ $n, x, y$ पूर्णांक हैं। मान लीजिए $S_n$ उन सभी रेखाओं का समुच्चय है जो $A_n$ के कम से कम दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती हैं। मान लीजिए कि हम $S_n$ से यादृच्छिक रूप से एक रेखा $l$ चुनते हैं। मान लीजिए $P_n$ वह प्रायिकता है कि $l$,वृत्त $x^2+y^2=n^2\left(1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$ की स्पर्शरेखा है। तो,सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} P_n$ है