Mix Examples-Probability Questions in Gujarati

(B) દ્વિઘાત પદાવલિ $lx^2 + mx + 1 > 0$ તમામ $x \in R$ માટે સાચી હોય તે માટેની શરતો:
$1$. $x^2$ નો સહગુણક ધન હોવો જોઈએ: $l > 0$. જે અહીં હંમેશા સાચું છે.
$2$. વિવેચક $D < 0$: $m^2 - 4l < 0$,એટલે કે $m^2 < 4l$.
કુલ શક્ય જોડીઓ $(l, m) = 7 \times 7 = 49$ છે.
$l$ ની કિંમતો માટે:
- $l = 1$ માટે,$m^2 < 4 \implies m = 1$ ($1$ જોડી).
- $l = 2$ માટે,$m^2 < 8 \implies m = 1, 2$ ($2$ જોડી).
- $l = 3$ માટે,$m^2 < 12 \implies m = 1, 2, 3$ ($3$ જોડી).
- $l = 4$ માટે,$m^2 < 16 \implies m = 1, 2, 3$ ($3$ જોડી).
- $l = 5$ માટે,$m^2 < 20 \implies m = 1, 2, 3, 4$ ($4$ જોડી).
- $l = 6$ માટે,$m^2 < 24 \implies m = 1, 2, 3, 4$ ($4$ જોડી).
- $l = 7$ માટે,$m^2 < 28 \implies m = 1, 2, 3, 4, 5$ ($5$ જોડી).
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 = 22$.
સંભાવના = $\frac{22}{49}$.

(D) $x^2+x+1=0$ ના બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\omega+\omega^2=0$.
$\alpha^a+\alpha^b+\alpha^c=0$ માટે,ઘાત $\alpha^a, \alpha^b, \alpha^c$ એ ${1, \omega, \omega^2}$ નો ક્રમચય હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $a, b, c$ એ $3k_1+r_1, 3k_2+r_2, 3k_3+r_3$ સ્વરૂપના હોવા જોઈએ જ્યાં ${r_1, r_2, r_3} = {0, 1, 2}$ મોડ્યુલો $3$ છે.
પાસામાં,સંખ્યાઓ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ છે.
મોડ્યુલો $3$ મુજબ,આ ${1, 2, 0, 1, 2, 0}$ છે.
ત્યાં બે $1$s,બે $2$s,અને બે $0$s છે.
${r_1, r_2, r_3} = {0, 1, 2}$ મેળવવા માટે,આપણે દરેક શેષના સમૂહમાંથી એક સંખ્યા પસંદ કરવાની જરૂર છે.
કોઈપણ ક્રમમાં ${0, 1, 2}$ શેષ હોય તેવી રીતે $a, b, c$ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $3! \times (2 \times 2 \times 2) = 6 \times 8 = 48$ છે.
કુલ પરિણામો $= 6^3 = 216$.
સંભાવના $= \frac{48}{216} = \frac{2}{9}$.

(D) ધારો કે $W_A, W_B, W_C$ એ થેલીઓ $A, B, C$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે અને $R_A, R_B, R_C$ એ લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
$P(W_A) = \frac{3}{7}, P(R_A) = \frac{4}{7}$
$P(W_B) = \frac{4}{9}, P(R_B) = \frac{5}{9}$
$P(W_C) = \frac{5}{11}, P(R_C) = \frac{6}{11}$
આપણે એક સફેદ અને બે લાલ દડા જોઈએ છે. આ ત્રણ પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓમાં થઈ શકે છે:
કિસ્સો $I$: $A$ માંથી સફેદ,$B$ માંથી લાલ,$C$ માંથી લાલ: $P_1 = \frac{3}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{6}{11} = \frac{90}{693}$
કિસ્સો $II$: $A$ માંથી લાલ,$B$ માંથી સફેદ,$C$ માંથી લાલ: $P_2 = \frac{4}{7} \times \frac{4}{9} \times \frac{6}{11} = \frac{96}{693}$
કિસ્સો $III$: $A$ માંથી લાલ,$B$ માંથી લાલ,$C$ માંથી સફેદ: $P_3 = \frac{4}{7} \times \frac{5}{9} \times \frac{5}{11} = \frac{100}{693}$
કુલ સંભાવના $= P_1 + P_2 + P_3 = \frac{90+96+100}{693} = \frac{286}{693}$.

(A) કુલ સ્ક્રૂ $= 50$.
ખામીયુક્ત સ્ક્રૂ $= 5$.
ખામી રહિત સ્ક્રૂ $= 45$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ત્રણેય સ્ક્રૂ ખામી રહિત છે.
$(a)$ પુરવણી સહિત:
એક સ્ક્રૂ ખામી રહિત હોવાની સંભાવના $P = \frac{45}{50} = \frac{9}{10}$ છે.
પુરવણી સહિત હોવાથી,ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.
$P(A) = \left(\frac{9}{10}\right)^3$.
$(b)$ પુરવણી રહિત:
સંભાવના $= \frac{45}{50} \times \frac{44}{49} \times \frac{43}{48} = \frac{1419}{1960}$.

(B) સંભાવનાના સ્વયંસિદ્ધાંતો મુજબ,જો $E_1 \subseteq E_2$ હોય,તો $P(E_1) \leq P(E_2)$ થાય.
વિધાન (iv) જણાવે છે કે જો $E_1 \subseteq E_2$ હોય,તો $P(E_2) \leq P(E_1)$,જે ખોટું છે.
તેથી,વિધાન (iv) $P$ દ્વારા સંતોષાતું નથી.

(A) ધારો કે $O$ એ એકી સંખ્યા અને $E$ એ બેકી સંખ્યા દર્શાવે છે. $\{1, 2, \dots, 100\}$ ગણમાં,$50$ એકી અને $50$ બેકી સંખ્યાઓ છે. તેથી,$P(O) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ અને $P(E) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો એકી હોવા માટે,આપણી પાસે એકી સંખ્યામાં એકી દડા હોવા જોઈએ. શક્ય કિસ્સાઓ છે:
$1$. ત્રણ એકી દડા: $P(O, O, O) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
$2$. એક એકી અને બે બેકી દડા: એકી દડો $3$ માંથી કોઈપણ સ્થાન પર હોઈ શકે છે $(OEE, EOE, EEO)$.
$P(O, E, E) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
$P(E, O, E) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
$P(E, E, O) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
કુલ સંભાવના $= \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $R$ એ લાલ દડાની સંખ્યા છે અને $B$ એ કાળા દડાની સંખ્યા છે. શરૂઆતમાં,$R = 19$ અને $B = 19$ છે.
દરેક પગલામાં,બે દડા દૂર કરવામાં આવે છે:
$1$. જો બે લાલ દડા દૂર કરવામાં આવે,તો $R$ માં $2$ નો ઘટાડો થાય છે $(R \to R-2, B \to B)$.
$2$. જો બે કાળા દડા દૂર કરવામાં આવે,તો $B$ માં $2$ નો ઘટાડો થાય છે $(R \to R, B \to B-2)$.
$3$. જો એક લાલ અને એક કાળો દડો દૂર કરવામાં આવે,તો કાળો દડો દૂર થાય છે અને લાલ દડો પાછો મૂકવામાં આવે છે $(R \to R, B \to B-1)$.
નોંધો કે લાલ દડાની સંખ્યા હંમેશા એકી રહેશે કારણ કે તે ફક્ત જોડીમાં જ દૂર થાય છે. તેથી,પ્રક્રિયા હંમેશા $1$ લાલ દડા સાથે સમાપ્ત થશે. તેથી,સંભાવના $1$ છે.

(A) દરેક $12$ દડાને $3$ પેટીઓમાંથી કોઈપણ એકમાં મૂકી શકાય છે,તેથી કુલ રીતો $3^{12}$ છે.
પ્રથમ પેટીમાં બરાબર $3$ દડા હોય તે માટે:
$12$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{12}C_3$ છે.
બાકીના $9$ દડાને બાકીની $2$ પેટીઓમાં મૂકવાની રીતો $2^9$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{{}^{12}C_3 \times 2^9}{3^{12}}$ છે.

(B) $REGULATIONS$ શબ્દમાં $11$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે.
$G, U, L, A, T, I, O, N, S$ અક્ષરોના સાપેક્ષ સ્થાન નિશ્ચિત હોવાથી,આપણે ફક્ત $11$ ખાલી જગ્યાઓમાં $R$ અને $E$ ના સ્થાન ધ્યાનમાં લેવાના છે.
$11$ જગ્યાઓમાં $R$ અને $E$ ને ગોઠવવાની કુલ રીતો $^{11}P_2 = 11 \times 10 = 110$ છે.
આપણે $R$ અને $E$ ની વચ્ચે બરાબર $4$ અક્ષરો જોઈએ છે. જો $R$ સ્થાન $i$ પર હોય અને $E$ સ્થાન $j$ પર હોય,તો $|i - j| = 5$ થાય.
શક્ય જોડીઓ $(i, j)$ એ $(1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10), (6, 11)$ છે.
$R$ અને $E$ અદલાબદલી કરી શકાય છે,તેથી આપણી પાસે $6 \times 2 = 12$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
સંભાવના $\frac{12}{110} = \frac{6}{55}$ છે.

(C) જ્યારે પાસાને ત્રણ વાર ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
આપણે સરવાળો $S$ એવો શોધવાનો છે કે જેથી $S$ એ $4n+1$ સ્વરૂપની અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય.
શક્ય સરવાળા $3$ થી $18$ ની વચ્ચે છે.
આ શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $3, 5, 7, 11, 13, 17$ છે.
તેમાંથી,$4n+1$ સ્વરૂપની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $5, 13, 17$ છે.
સરવાળો $5$ મેળવવાની રીતો: $(1,1,3)$ ના $3$ ક્રમચયો,$(1,2,2)$ ના $3$ ક્રમચયો. કુલ = $6$ રીતો.
સરવાળો $13$ મેળવવાની રીતો: $(1,6,6)$ ના $3$ ક્રમચયો,$(2,5,6)$ ના $6$ ક્રમચયો,$(3,4,6)$ ના $6$ ક્રમચયો,$(3,5,5)$ ના $3$ ક્રમચયો,$(4,4,5)$ ના $3$ ક્રમચયો. કુલ = $21$ રીતો.
સરવાળો $17$ મેળવવાની રીતો: $(5,6,6)$ ના $3$ ક્રમચયો. કુલ = $3$ રીતો.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $6 + 21 + 3 = 30$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{30}{216} = \frac{5}{36}$.

(B) $5$ અલગ-અલગ પુસ્તકોને $4$ વિદ્યાર્થીઓ વચ્ચે વહેંચવાની કુલ રીતો $4^5 = 1024$ છે.
દરેક વિદ્યાર્થીને ઓછામાં ઓછું એક પુસ્તક મળે તે માટે,આપણે પુસ્તકો એવી રીતે વહેંચવા જોઈએ કે એક વિદ્યાર્થીને $2$ પુસ્તકો મળે અને બાકીના ત્રણ વિદ્યાર્થીઓને $1-1$ પુસ્તક મળે.
કયા વિદ્યાર્થીને $2$ પુસ્તકો મળશે તે પસંદ કરવાની રીતો $\binom{4}{1} = 4$ છે.
$5$ માંથી $2$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{2} = 10$ છે.
બાકીના $3$ પુસ્તકોને બાકીના $3$ વિદ્યાર્થીઓમાં વહેંચવાની રીતો $3! = 6$ છે.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = $4 \times 10 \times 6 = 240$.
જરૂરી સંભાવના $\frac{240}{1024} = \frac{15}{64}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $A$ એ સરવાળો $7$ મળવાની ઘટના છે અને $B$ એ સરવાળો $11$ મળવાની ઘટના છે.
બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $36$ છે.
સરવાળો $7$ માટેના પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 6$ છે.
સરવાળો $11$ માટેના પરિણામોની સંખ્યા $n(B) = 2$ છે.
સંભાવનાઓ $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ અને $P(B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ છે.
$B$ પહેલા $A$ આવે તેની સંભાવના અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$P = \frac{P(A)}{1 - P(\text{neither } A \text{ nor } B)} = \frac{1/6}{1 - (1 - 1/6 - 1/18)} = \frac{1/6}{4/18} = \frac{1/6}{2/9} = \frac{3}{4}$.

(A) ત્રણ પાસા ફેંકતા કુલ પરિણામો $6^3 = 216$ છે.
ઘટના $A$ એટલે સરવાળો $S > 14$,એટલે કે $S \in \{15, 16, 17, 18\}$.
આ સરવાળા મેળવવાના કુલ પરિણામો $20$ છે.
ઘટના $B$ એટલે સરવાળો $3$ નો ગુણક હોય,એટલે કે $S \in \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$.
$A \cap B$ માં $S=15$ અને $S=18$ નો સમાવેશ થાય છે,તેથી $n(A \cap B) = 11$.
$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{20-11}{216} = \frac{9}{216}$.
$n(B) = 72$ હોવાથી,$P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{72-11}{216} = \frac{61}{216}$.
તેથી,$P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = \frac{9+61}{216} = \frac{70}{216} = \frac{35}{108}$.

(C) ધારો કે $P(A) = x$, $P(B) = y$, $P(C) = z$, $P(A \cap B) = p$, $P(B \cap C) = q$, $P(C \cap A) = r$, અને $P(A \cap B \cap C) = k = \frac{1}{16}$.
આપેલ છે કે $P(\text{exactly one of } A \text{ or } B) = x + y - 2p = \frac{1}{4}$.
તે જ રીતે, $y + z - 2q = \frac{1}{4}$ અને $z + x - 2r = \frac{1}{4}$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(x + y + z) - 2(p + q + r) = \frac{3}{4} \implies x + y + z - (p + q + r) = \frac{3}{8}$.
ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવના $P(A \cup B \cup C) = (x + y + z) - (p + q + r) + k$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B \cup C) = \frac{3}{8} + \frac{1}{16} = \frac{7}{16}$.

(C) ધારો કે $n-1$ અયોગ્ય સિક્કા છે (બંને બાજુ છાપ) અને $2n - (n-1) = n+1$ યોગ્ય સિક્કા છે.
કુલ સિક્કા = $2n$.
અયોગ્ય સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{n-1}{2n}$ છે અને યોગ્ય સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{n+1}{2n}$ છે.
છાપ આવવાની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(H) = P(H|\text{અયોગ્ય})P(\text{અયોગ્ય}) + P(H|\text{યોગ્ય})P(\text{યોગ્ય})$
$\frac{41}{56} = (1) \times \frac{n-1}{2n} + (\frac{1}{2}) \times \frac{n+1}{2n}$
$\frac{41}{56} = \frac{2(n-1) + (n+1)}{4n}$
$\frac{41}{56} = \frac{3n-1}{4n}$
$41 \times 4n = 56 \times (3n-1)$
$164n = 168n - 56$
$4n = 56 \Rightarrow n = 14$.
અયોગ્ય સિક્કાઓની સંખ્યા $n-1 = 14-1 = 13$ છે.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા $= 2 + 3 + 5 = 10$ છે.
ધારો કે $R_3$ એ ત્રીજો દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
પુરવણી વગર દડા કાઢવાની પ્રક્રિયામાં સંમિતતાના ગુણધર્મને કારણે,$k$-મો દડો કોઈ ચોક્કસ રંગનો હોય તેની સંભાવના તે રંગના દડાના શરૂઆતના પ્રમાણ જેટલી જ હોય છે.
કોઈપણ સ્થાન $k$ (જ્યાં $1 \le k \le 10$) માટે,$k$-મો દડો લાલ હોવાની સંભાવના $P(R_k) = \frac{\text{લાલ દડાની સંખ્યા}}{\text{કુલ દડાની સંખ્યા}}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$P(R_3) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $E_A$ એ સરવાળો $6$ મેળવવાની ઘટના છે અને $E_B$ એ સરવાળો $7$ મેળવવાની ઘટના છે.
સરવાળો $6$ મેળવવાની સંભાવના $P(E_A) = \frac{5}{36}$ છે.
સરવાળો $6$ ન મેળવવાની સંભાવના $P(E_A^c) = 1 - \frac{5}{36} = \frac{31}{36}$ છે.
સરવાળો $7$ મેળવવાની સંભાવના $P(E_B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ છે.
સરવાળો $7$ ન મેળવવાની સંભાવના $P(E_B^c) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
$A$ જીતે છે જો તે તેના પ્રથમ પ્રયત્નમાં $6$ મેળવે,અથવા જો $A$ નિષ્ફળ જાય,$B$ નિષ્ફળ જાય,અને પછી $A$ તેના બીજા પ્રયત્નમાં $6$ મેળવે,વગેરે.
$P(A \text{ wins}) = P(E_A) + P(E_A^c)P(E_B^c)P(E_A) + P(E_A^c)P(E_B^c)P(E_A^c)P(E_B^c)P(E_A) + \dots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{5}{36}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = P(E_A^c)P(E_B^c) = \frac{31}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{155}{216}$ છે.
$P(A \text{ wins}) = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{155}{216}} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{61}{216}} = \frac{5}{36} \times \frac{216}{61} = \frac{30}{61}$.

(B) આપેલ છે કે,$P(A) = 0.6$ અને $P(B) = 0.8$.
તેથી,$P(A') = 0.4$ અને $P(B') = 0.2$.
$A$ જીતે જો $A$ પ્રથમ શૉટમાં લક્ષ્ય વીંધે,અથવા $A$ ચૂકી જાય,$B$ ચૂકી જાય અને $A$ ત્રીજા શૉટમાં લક્ષ્ય વીંધે,અથવા $A$ ચૂકી જાય,$B$ ચૂકી જાય,$A$ ચૂકી જાય,$B$ ચૂકી જાય અને $A$ પાંચમા શૉટમાં લક્ષ્ય વીંધે,વગેરે.
$A$ જીતે તેની સંભાવના $= P(A) + P(A')P(B')P(A) + P(A')P(B')P(A')P(B')P(A) + \dots$
$= 0.6 + (0.4)(0.2)(0.6) + (0.4)^2(0.2)^2(0.6) + \dots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 0.6$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (0.4)(0.2) = 0.08$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$P(A \text{ જીતે}) = \frac{0.6}{1 - 0.08} = \frac{0.6}{0.92} = \frac{60}{92} = \frac{15}{23}$.

(C) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વિમાન-$I$ લક્ષ્યને સફળતાપૂર્વક ભેદે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે વિમાન-$II$ લક્ષ્યને સફળતાપૂર્વક ભેદે છે.
આપેલ છે: $P(A) = 0.3$ અને $P(B) = 0.2$.
વિમાન-$I$ લક્ષ્ય ચૂકી જાય તેની સંભાવના $P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$ છે.
વિમાન-$II$ લક્ષ્ય ચૂકી જાય તેની સંભાવના $P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.2 = 0.8$ છે.
બીજું વિમાન ત્યારે જ બોમ્બ ફેંકે છે જો પ્રથમ વિમાન ચૂકી જાય. બીજા વિમાન દ્વારા લક્ષ્ય ભેદાય તે માટેની શરતો:
$1.$ વિમાન-$I$ ચૂકી જાય અને વિમાન-$II$ ભેદે: $P(A')P(B) = 0.7 \times 0.2 = 0.14$.
$2.$ વિમાન-$I$ ચૂકી જાય,વિમાન-$II$ ચૂકી જાય,વિમાન-$I$ ચૂકી જાય અને વિમાન-$II$ ભેદે: $P(A')P(B')P(A')P(B) = 0.7 \times 0.8 \times 0.7 \times 0.2 = (0.56) \times 0.14$.
$3.$ આ પ્રક્રિયા અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી $(GP)$ માં ચાલુ રહે છે.
બીજા વિમાન દ્વારા લક્ષ્ય ભેદાય તેની કુલ સંભાવના $P(X)$ છે:
$P(X) = 0.14 + 0.14(0.56) + 0.14(0.56)^2 + \dots$
આ એક અનંત $GP$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 0.14$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 0.56$ છે.
સરવાળો $= \frac{a}{1-r} = \frac{0.14}{1-0.56} = \frac{0.14}{0.44} = \frac{14}{44} = \frac{7}{22} \approx 0.31818...$
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની કિંમત $0.32$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$P(A) = 0.7$.
બંનેમાંથી બરાબર એકની પસંદગી થવાની સંભાવના $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = 0.6$ છે.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ થાય.
બરાબર એકની પસંદગી થવાની સંભાવનાનું સૂત્ર $P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = 0.6$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.7 + P(B) - 2(0.7)P(B) = 0.6$.
$0.7 + P(B) - 1.4P(B) = 0.6$.
$-0.4P(B) = 0.6 - 0.7$.
$-0.4P(B) = -0.1$.
$P(B) = \frac{0.1}{0.4} = 0.25$.
આમ,$B$ ની પસંદગી થવાની સંભાવના $0.25$ છે.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ એ $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ ગણમાંથી અનુક્રમે $x$ અને $y$ સંખ્યાઓ પસંદ કરે છે. કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n \times n = n^2$ છે.
$x < y$ હોય તેવી પસંદગીઓની સંખ્યા $n$ માંથી $2$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો જેટલી છે,જે $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
આપેલ સંભાવના $P(x < y) = \frac{n(n-1)}{2n^2} = \frac{n-1}{2n} = \frac{1009}{2019}$ છે.
$n$ માટે ઉકેલતા: $2019(n-1) = 2018n \Rightarrow 2019n - 2019 = 2018n \Rightarrow n = 2019$.
હવે,આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે $y = x + 1$ હોય. $y = x + 1$ થાય તેવી શક્ય જોડીઓ $(1, 2), (2, 3), \ldots, (n-1, n)$ છે. આવી કુલ $n-1$ જોડીઓ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{n-1}{n^2} = \frac{2019-1}{(2019)^2} = \frac{2018}{(2019)^2}$ થાય.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા = $7 + 6 + 8 = 21$.
સફેદ દડાની સંખ્યા = $7$.
સફેદ ન હોય તેવા દડાની સંખ્યા = $6 + 8 = 14$.
આપણે ઓછામાં ઓછો એક દડો સફેદ હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે.
પૂરક ઘટનાની સંભાવના શોધવી સરળ છે: $P(\text{ઓછામાં ઓછો એક સફેદ}) = 1 - P(\text{એક પણ સફેદ નહીં})$.
જો એક પણ સફેદ દડો ન નીકળે,તો બંને દડા સફેદ ન હોય તેવા હોવા જોઈએ.
પ્રથમ દડો સફેદ ન હોય તેની સંભાવના = $\frac{14}{21}$.
એક સફેદ ન હોય તેવો દડો કાઢ્યા પછી,કુલ $20$ દડામાંથી $13$ સફેદ ન હોય તેવા દડા બાકી રહે છે.
બીજો દડો સફેદ ન હોય તેની સંભાવના = $\frac{13}{20}$.
$P(\text{એક પણ સફેદ નહીં}) = \frac{14}{21} \times \frac{13}{20} = \frac{2}{3} \times \frac{13}{20} = \frac{26}{60} = \frac{13}{30}$.
તેથી,$P(\text{ઓછામાં ઓછો એક સફેદ}) = 1 - \frac{13}{30} = \frac{17}{30}$.

(B) ધારો કે ચાર મશીનો $M_1, M_2, F_1, F_2$ છે,જ્યાં $F_1, F_2$ ખામીયુક્ત છે અને $M_1, M_2$ ખામીયુક્ત નથી.
આપણે બંને ખામીયુક્ત મશીનોને ઓળખવાની જરૂર છે. ચારમાંથી બે મશીનોને ચોક્કસ ક્રમમાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $4 \times 3 = 12$ છે.
માત્ર બે પરીક્ષણોની જરૂર પડે તે માટે,પ્રથમ બે તપાસાયેલા મશીનો બંને ખામીયુક્ત હોવા જોઈએ ($F_1, F_2$ અથવા $F_2, F_1$).
પ્રથમ પરીક્ષણમાં ખામીયુક્ત મશીન પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{2}{4}$ છે.
જો પ્રથમ મશીન ખામીયુક્ત હોય,તો બીજા પરીક્ષણમાં બીજું ખામીયુક્ત મશીન પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે.
તેથી,બંને ખામીયુક્ત મશીનો બરાબર બે પરીક્ષણોમાં ઓળખાય તેની સંભાવના $\frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ છે.

(B) ધારો કે $P(A) = x$ અને $P(B) = y$. $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = xy = \frac{1}{6}$.
વળી,$P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c) = (1-x)(1-y) = \frac{1}{3}$.
બીજા સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $1 - x - y + xy = \frac{1}{3}$.
$xy = \frac{1}{6}$ મુકતા: $1 - (x+y) + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.
$x+y = 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
આમ,$x+y = \frac{5}{6}$ અને $xy = \frac{1}{6}$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ ના બીજ છે,એટલે કે $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$.
$6$ વડે ગુણતા: $6t^2 - 5t + 1 = 0$.
$(2t-1)(3t-1) = 0$.
તેથી,$t = \frac{1}{2}$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
$P(A) > P(B)$ હોવાથી,$P(A) = \frac{1}{2}$ અને $P(B) = \frac{1}{3}$ મળે.
આમ,$B$ ઉદ્ભવવાની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે.

(A) $I$. $A, B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે $\Rightarrow P(A \cap B) = 0$. તેથી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. આ $(iv)$ સાથે સુસંગત છે.
$II$. $A, B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે $\Rightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. તેથી $P(\frac{\bar{A}}{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\bar{A}) \cdot P(B)}{P(B)} = P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. આ $(iii)$ સાથે સુસંગત છે.
$III$. $A \cap B = A \Rightarrow A \subset B \Rightarrow P(A) \leq P(B)$. આ $(ii)$ સાથે સુસંગત છે.
$IV$. $A \cup B = S \Rightarrow P(A \cup B) = 1$. કારણ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1$,તેથી $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - 1$. કારણ કે $P(A) = 1 - P(\bar{A})$,આપણને $P(A \cap B) = 1 - P(\bar{A}) + P(B) - 1 = P(B) - P(\bar{A})$ મળે છે. આ $(i)$ સાથે સુસંગત છે.
આમ,સાચી જોડ $(I)$-$(iv)$,$(II)$-$(iii)$,$(III)$-$(ii)$,$(IV)$-$(i)$ છે.

(C) $P(A) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$,તેથી $P(\bar{A}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$P(B) = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$,તેથી $P(\bar{B}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
જો એક વ્યક્તિ સાચું બોલે અને બીજી વ્યક્તિ જૂઠું બોલે તો તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ કરે છે.
આ બે રીતે થઈ શકે છે: ($A$ સાચું બોલે અને $B$ જૂઠું બોલે) અથવા ($A$ જૂઠું બોલે અને $B$ સાચું બોલે).
$P(\text{વિરોધાભાસ}) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B)$
$P(\text{વિરોધાભાસ}) = (P(A) \times P(\bar{B})) + (P(\bar{A}) \times P(B))$
$P(\text{વિરોધાભાસ}) = (\frac{3}{4} \times \frac{1}{5}) + (\frac{1}{4} \times \frac{4}{5})$
$P(\text{વિરોધાભાસ}) = \frac{3}{20} + \frac{4}{20} = \frac{7}{20}$.

(C) ધારો કે $P(A) = x, P(B) = y, P(C) = z$. $A, B, C$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$A^c, B^c, C^c$ પણ સ્વતંત્ર છે.
આપેલ છે કે $P(A \cap B^{c} \cap C^{c}) = P(A)P(B^c)P(C^c) = x(1-y)(1-z) = \frac{1}{4} \dots (i)$
આપેલ છે કે $P(A^{c} \cap B \cap C^{c}) = P(A^c)P(B)P(C^c) = (1-x)y(1-z) = \frac{1}{8} \dots (ii)$
આપેલ છે કે $P(A^{c} \cap B^{c} \cap C^{c}) = P(A^c)P(B^c)P(C^c) = (1-x)(1-y)(1-z) = \frac{1}{4} \dots (iii)$
$(i)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા: $\frac{x(1-y)(1-z)}{(1-x)(1-y)(1-z)} = \frac{1/4}{1/4} \Rightarrow \frac{x}{1-x} = 1 \Rightarrow x = 1-x \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
$(ii)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા: $\frac{(1-x)y(1-z)}{(1-x)(1-y)(1-z)} = \frac{1/8}{1/4} \Rightarrow \frac{y}{1-y} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2y = 1-y \Rightarrow 3y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{3}$.
$x = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{1}{3}$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $\frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{3}) \times (1-z) = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times (1-z) = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{3}(1-z) = \frac{1}{4} \Rightarrow 1-z = \frac{3}{4} \Rightarrow z = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
આમ,$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$.

(D) ધારો કે $A$ અને $B$ એ ઘટનાઓ છે કે $P$ સત્ય બોલે છે અને $Q$ સત્ય બોલે છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{70}{100} = 0.7$ અને $P(B) = \frac{80}{100} = 0.8$.
તેથી,તેમના અસત્ય બોલવાની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - 0.7 = 0.3$ અને $P(\bar{B}) = 1 - 0.8 = 0.2$ છે.
તેઓ એક જ હકીકત જણાવવા માટે ત્યારે સહમત થાય છે જો બંને સત્ય બોલે અથવા બંને અસત્ય બોલે.
જરૂરી સંભાવના $P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(A)P(B) + P(\bar{A})P(\bar{B})$ છે.
$= (0.7 \times 0.8) + (0.3 \times 0.2)$
$= 0.56 + 0.06 = 0.62$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,$0.62 \times 100 = 62\%$.
તેથી,તેઓ $62\%$ કિસ્સાઓમાં સહમત થવાની શક્યતા ધરાવે છે.

(B) ધારો કે બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ છે. આપેલ છે કે,$P(A) = \frac{2}{5}$ અને $P(B') = \frac{3}{10}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી તેમના પૂરક $A'$ અને $B$ પણ સ્વતંત્ર છે.
ઘટના $B$ બનવાની સંભાવના $P(B) = 1 - P(B') = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ મળે છે.
ઘટના $A$ ન બનવાની સંભાવના $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ મળે છે.
બેમાંથી માત્ર એક જ ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A \cap B') + P(A' \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,આ $P(A)P(B') + P(A')P(B)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{5} \times \frac{3}{10} + \frac{3}{5} \times \frac{7}{10} = \frac{6}{50} + \frac{21}{50} = \frac{27}{50}$.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{12}$.
વળી,$A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બને તેની સંભાવના $P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = \frac{1}{2}$ છે.
બીજા સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = \frac{1}{2}$.
$P(A)P(B) = \frac{1}{12}$ મૂકતા: $1 - (P(A) + P(B)) + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$.
$P(A) + P(B) = 1 + \frac{1}{12} - \frac{1}{2} = \frac{12 + 1 - 6}{12} = \frac{7}{12}$.
ધારો કે $x = P(A)$ અને $y = P(B)$. આપણી પાસે $x + y = \frac{7}{12}$ અને $xy = \frac{1}{12}$ છે.
$x$ અને $y$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ છે,જે $t^2 - \frac{7}{12}t + \frac{1}{12} = 0$ થાય.
$12$ વડે ગુણતા: $12t^2 - 7t + 1 = 0$.
$12t^2 - 4t - 3t + 1 = 0 \implies 4t(3t - 1) - 1(3t - 1) = 0$.
$(4t - 1)(3t - 1) = 0$,તેથી $t = \frac{1}{4}$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
$P(B) > P(A)$ હોવાથી,$P(A) = \frac{1}{4}$ અને $P(B) = \frac{1}{3}$ મળે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{6}$.
વળી,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A})P(\bar{B}) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = \frac{1}{3}$.
બીજા સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = \frac{1}{3}$.
$P(A)P(B) = \frac{1}{6}$ મૂકતા: $1 - (P(A) + P(B)) + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.
$P(A) + P(B) = 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{6 + 1 - 2}{6} = \frac{5}{6}$.
ધારો કે $x = P(A)$ અને $y = P(B)$. આપણી પાસે $x + y = \frac{5}{6}$ અને $xy = \frac{1}{6}$ છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ ના બીજ છે,એટલે કે $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$.
$6$ વડે ગુણતા: $6t^2 - 5t + 1 = 0$.
$(2t - 1)(3t - 1) = 0$.
તેથી,$t = \frac{1}{2}$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
આમ,$P(A)$ ની કિંમત $\frac{1}{2}$ અથવા $\frac{1}{3}$ હોઈ શકે છે.
તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે પાત્રો $U_1, U_2, U_3$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. પાત્ર યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $B$ એ કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે. આપણે કાળો દડો ન મળે તેની સંભાવના શોધવી છે,જે $P(B^c) = 1 - P(B)$ છે.
દરેક પાત્રમાંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના:
$P(B|E_1) = \frac{2}{5+3+2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$P(B|E_2) = \frac{2}{4+4+2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$P(B|E_3) = \frac{3}{3+4+3} = \frac{3}{10}$
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(B) = P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2) + P(E_3)P(B|E_3)$
$P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{10} = \frac{1}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{2}{15} + \frac{1}{10} = \frac{4+3}{30} = \frac{7}{30}$.
તેથી,કાળો દડો ન મળે તેની સંભાવના $P(B^c) = 1 - \frac{7}{30} = \frac{23}{30}$ છે.

(C) ધારો કે $W_A, B_A$ એ $A$ માંથી સફેદ અથવા કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. $P(W_A) = \frac{4}{5}, P(B_A) = \frac{1}{5}$.
$A$ માંથી $B$ માં સ્થાનાંતરિત કર્યા પછી,પાત્ર $B$ માં $6$ દડા છે.
કિસ્સો $1$: જો $W_A$ સ્થાનાંતરિત થાય,તો $B$ માં $4$ સફેદ,$2$ કાળા દડા રહે. $P(W_{B|W_A}) = \frac{4}{6}, P(B_{B|W_A}) = \frac{2}{6}$.
કિસ્સો $2$: જો $B_A$ સ્થાનાંતરિત થાય,તો $B$ માં $3$ સફેદ,$3$ કાળા દડા રહે. $P(W_{B|B_A}) = \frac{3}{6}, P(B_{B|B_A}) = \frac{3}{6}$.
પાત્ર $C$ માં શરૂઆતમાં $2$ સફેદ,$3$ કાળા દડા છે. $B$ માંથી સ્થાનાંતર પછી,તેમાં $6$ દડા થાય છે.
જો $W_B$ સ્થાનાંતરિત થાય,તો $C$ માં $3$ સફેદ,$3$ કાળા દડા રહે. $P(B_C|W_B) = \frac{3}{6}$.
જો $B_B$ સ્થાનાંતરિત થાય,તો $C$ માં $2$ સફેદ,$4$ કાળા દડા રહે. $P(B_C|B_B) = \frac{4}{6}$.
કુલ સંભાવના $P(B_C) = P(B_C|W_B)P(W_B) + P(B_C|B_B)P(B_B)$.
$P(W_B) = P(W_B|W_A)P(W_A) + P(W_B|B_A)P(B_A) = (\frac{4}{6} \times \frac{4}{5}) + (\frac{3}{6} \times \frac{1}{5}) = \frac{16+3}{30} = \frac{19}{30}$.
$P(B_B) = 1 - \frac{19}{30} = \frac{11}{30}$.
$P(B_C) = (\frac{3}{6} \times \frac{19}{30}) + (\frac{4}{6} \times \frac{11}{30}) = \frac{57 + 44}{180} = \frac{101}{180}$.

(D) ધારો કે $R_P$ એ થેલી $P$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $B_P$ એ થેલી $P$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે. તેવી જ રીતે,$R_Q$ અને $B_Q$ એ થેલી $Q$ માટેની ઘટનાઓ છે.
થેલી $P$ માં $4$ લાલ અને $5$ કાળા દડા છે (કુલ $9$).
થેલી $Q$ માં $3$ લાલ અને $6$ કાળા દડા છે (કુલ $9$).
આપણે $P$ માંથી $1$ દડો અને $Q$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરીએ છીએ.
કુલ પસંદગીના પ્રકારો $\binom{9}{1} \times \binom{9}{2} = 9 \times 36 = 324$ છે.
આપણે $2$ કાળા અને $1$ લાલ દડો જોઈએ છે. આ બે રીતે શક્ય છે:
કિસ્સો $1$: $P$ માંથી $1$ લાલ અને $Q$ માંથી $2$ કાળા દડા.
સંભાવના $= P(R_P) \times P(2B_Q) = \frac{4}{9} \times \frac{\binom{6}{2}}{\binom{9}{2}} = \frac{4}{9} \times \frac{15}{36} = \frac{5}{27}$.
કિસ્સો $2$: $P$ માંથી $1$ કાળો અને $Q$ માંથી $1$ લાલ,$1$ કાળો દડો.
સંભાવના $= P(B_P) \times P(1R_Q, 1B_Q) = \frac{5}{9} \times \frac{\binom{3}{1} \times \binom{6}{1}}{\binom{9}{2}} = \frac{5}{9} \times \frac{18}{36} = \frac{5}{18}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{5}{27} + \frac{5}{18} = \frac{10 + 15}{54} = \frac{25}{54}$.

(C) $1$ થી $100$ માંથી $2$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $N = {}^{100}C_2 = 4950$ છે.
ઘટના $A$: ગુણાકાર બેકી છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી હોય. પૂરક ઘટના એ છે કે બંને સંખ્યાઓ એકી હોય. એકી સંખ્યાઓ $50$ છે.
$n(A) = {}^{100}C_2 - {}^{50}C_2 = 4950 - 1225 = 3725$.
ઘટના $B$: ગુણાકાર $4$ વડે વિભાજ્ય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે (બંને બેકી હોય અને ઓછામાં ઓછી એક $4$ નો ગુણક હોય) અથવા (એક એકી હોય અને એક $4$ નો ગુણક હોય).
$E_2$ એ બેકી સંખ્યાઓ છે જે $4$ વડે વિભાજ્ય નથી ${2, 6, \dots, 98}$ ($25$ સંખ્યાઓ) અને $O$ એ એકી સંખ્યાઓ છે ${1, 3, \dots, 99}$ ($50$ સંખ્યાઓ).
ગુણાકાર બેકી હોય પણ $4$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવા કિસ્સામાં એક સંખ્યા $E_2$ માંથી અને બીજી $O$ માંથી હોવી જોઈએ.
$n(A \cap \bar{B}) = {}^{25}C_1 \times {}^{50}C_1 = 25 \times 50 = 1250$.
$P(A \cap \bar{B}) = \frac{1250}{4950} = \frac{25}{99}$.

(C) ધારો કે $B_1$ પ્રથમ થેલી છે અને $B_2$ બીજી થેલી છે.
થેલી $B_1$ માં $4$ લાલ અને $5$ કાળા દડા છે (કુલ = $9$).
થેલી $B_2$ માં $3$ લાલ અને $6$ કાળા દડા છે (કુલ = $9$).
આપણે $B_1$ માંથી $1$ દડો અને $B_2$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરીએ છીએ. કુલ પસંદ કરેલા દડા = $3$.
આપણને $2$ કાળા અને $1$ લાલ દડો જોઈએ છે. બે કિસ્સાઓ શક્ય છે:
કિસ્સો $I$: $B_1$ માંથી પસંદ કરેલો દડો લાલ હોય અને $B_2$ માંથી પસંદ કરેલા બે દડા કાળા હોય.
$P(Case I) = P(R_1) \times P(B_2, B_2) = \frac{4}{9} \times \frac{\binom{6}{2}}{\binom{9}{2}} = \frac{4}{9} \times \frac{15}{36} = \frac{5}{27}$.
કિસ્સો $II$: $B_1$ માંથી પસંદ કરેલો દડો કાળો હોય અને $B_2$ માંથી પસંદ કરેલા બે દડામાંથી એક લાલ અને એક કાળો હોય.
$P(Case II) = P(B_1) \times P(R_2, B_2) = \frac{5}{9} \times \frac{\binom{3}{1} \times \binom{6}{1}}{\binom{9}{2}} = \frac{5}{9} \times \frac{18}{36} = \frac{5}{18}$.
કુલ સંભાવના = $P(Case I) + P(Case II) = \frac{5}{27} + \frac{5}{18} = \frac{10 + 15}{54} = \frac{25}{54}$.

(B) ધારો કે $O_i$ અને $E_i$ એ અનુક્રમે Box-$i$ માંથી એકી અને બેકી સંખ્યા પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
Box-$I$ $(1, 2, 3)$ માટે: $P(O_1) = \frac{2}{3}$,$P(E_1) = \frac{1}{3}$.
Box-$II$ $(1, 2, 3, 4, 5)$ માટે: $P(O_2) = \frac{3}{5}$,$P(E_2) = \frac{2}{5}$.
Box-$III$ $(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)$ માટે: $P(O_3) = \frac{4}{7}$,$P(E_3) = \frac{3}{7}$.
સરવાળો $x_1+x_2+x_3$ એકી ત્યારે જ થાય જો ત્રણેય સંખ્યાઓ એકી હોય અથવા એક એકી અને બે બેકી સંખ્યાઓ હોય.
કિસ્સો $1$: ત્રણેય એકી સંખ્યા હોય: $P(O_1 \cap O_2 \cap O_3) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{24}{105}$.
કિસ્સો $2$: એક એકી અને બે બેકી સંખ્યા હોય:
- $O_1, E_2, E_3$: $\frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{12}{105}$.
- $E_1, O_2, E_3$: $\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{105}$.
- $E_1, E_2, O_3$: $\frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{105}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{24+12+9+8}{105} = \frac{53}{105}$.

(A) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે $A$ સત્ય બોલે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે $B$ સત્ય બોલે છે.
આપેલ સંભાવનાઓ છે:
$P(A) = 75 \% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
$P(B) = 80 \% = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$
તેમના નિવેદનો ત્યારે મેળ ન ખાય જો એક વ્યક્તિ સત્ય બોલે અને બીજી વ્યક્તિ જૂઠું બોલે.
આ બે રીતે થઈ શકે છે: ($A$ સત્ય બોલે અને $B$ જૂઠું બોલે) અથવા ($A$ જૂઠું બોલે અને $B$ સત્ય બોલે).
જરૂરી સંભાવના $= P(A) \times P(\bar{B}) + P(\bar{A}) \times P(B)$
$= P(A) \times (1 - P(B)) + (1 - P(A)) \times P(B)$
$= \frac{3}{4} \times (1 - \frac{4}{5}) + (1 - \frac{3}{4}) \times \frac{4}{5}$
$= \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{4}{5}$
$= \frac{3}{20} + \frac{4}{20} = \frac{7}{20}$

(A) એક ફેંકમાં $3$ મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ છે.
$3$ ન મેળવવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
$A$ રમત શરૂ કરે છે. જો $A$ પ્રથમ,ત્રીજા,પાંચમા,$\dots$ ફેંકમાં $3$ મેળવે તો $A$ જીતે છે.
$P(A) = p + q^2p + q^4p + \dots = \frac{p}{1 - q^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $P(A) = \frac{1/6}{1 - (5/6)^2} = \frac{1/6}{1 - 25/36} = \frac{1/6}{11/36} = \frac{6}{11}$.
કુલ સંભાવના $1$ હોવાથી,$P(B) = 1 - P(A) = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$.
આમ,સંભાવનાઓ $\frac{6}{11}$ અને $\frac{5}{11}$ છે.

(C) દરેક સિક્કાનો ઉછાળો એ એક સ્વતંત્ર ઘટના છે.
એક નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,કોઈપણ એક ઉછાળામાં છાપ મળવાની સંભાવના હંમેશા $P(H) = \frac{1}{2}$ હોય છે.
કારણ કે ઉછાળાઓ સ્વતંત્ર છે,$1947$ મા ઉછાળાનું પરિણામ અન્ય કોઈ ઉછાળાના પરિણામ પર આધારિત નથી.
તેથી,$1947$ મા ઉછાળા પર છાપ મળવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ રહે છે.

(C) ધારો કે $W$ એ જીત (સંખ્યા $> 4$ મેળવવી,સંભાવના $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$) અને $L$ એ હાર (સંખ્યા $\le 4$ મેળવવી,સંભાવના $q = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$) દર્શાવે છે. ખેલાડી જ્યારે $W$ મળે અથવા $3$ પ્રયત્નો પછી રમત છોડી દે છે. શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ $W$: $5$ રૂપિયા જીતે છે. સંભાવના $P_1 = \frac{1}{3}$.
(ii) $LW$: $1$ રૂપિયો ગુમાવે છે,પછી $5$ રૂપિયા જીતે છે. ચોખ્ખો નફો $= 4$ રૂપિયા. સંભાવના $P_2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$.
(iii) $LLW$: $1$ રૂપિયો ગુમાવે છે,$1$ રૂપિયો ગુમાવે છે,પછી $5$ રૂપિયા જીતે છે. ચોખ્ખો નફો $= 3$ રૂપિયા. સંભાવના $P_3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$.
(iv) $LLL$: $1$ રૂપિયો ગુમાવે છે,$1$ રૂપિયો ગુમાવે છે,$1$ રૂપિયો ગુમાવે છે. ચોખ્ખો નફો $= -3$ રૂપિયા. સંભાવના $P_4 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$.
અપેક્ષિત કિંમત $E = \sum x_i P_i = 5(\frac{1}{3}) + 4(\frac{2}{9}) + 3(\frac{4}{27}) + (-3)(\frac{8}{27})$.
$E = \frac{5}{3} + \frac{8}{9} + \frac{12}{27} - \frac{24}{27} = \frac{45 + 24 + 12 - 24}{27} = \frac{57}{27} = \frac{19}{9}$.

(D) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $|B|^{|A|}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$|A| = 3$ અને $|B| = 5$ છે.
કુલ વિધેયોની સંખ્યા = $5^3 = 125$.
જો વિધેયના પ્રદેશના દરેક ઘટકનું સહ-પ્રદેશમાં અલગ-અલગ પ્રતિબિંબ હોય,તો તે વિધેય એક-એક વિધેય કહેવાય.
એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $5$ ઘટકોમાંથી $3$ ઘટકોની ગોઠવણી એટલે કે $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ થાય.
યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ વિધેય એક-એક હોય તેની સંભાવના = (એક-એક વિધેયોની સંખ્યા) / (કુલ વિધેયોની સંખ્યા).
સંભાવના = $\frac{60}{125} = \frac{12}{25}$.

(B) જ્યારે ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ છે.
ત્રણ પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $3$ થી $18$ ની વચ્ચે હોઈ શકે છે.
આ શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $3, 5, 7, 11, 13, 17$ છે.
દરેક સરવાળો મેળવવાની રીતોની ગણતરી કરતા:
સરવાળો $= 3$: $1$ રીત.
સરવાળો $= 5$: $6$ રીતો.
સરવાળો $= 7$: $15$ રીતો.
સરવાળો $= 11$: $27$ રીતો.
સરવાળો $= 13$: $21$ રીતો.
સરવાળો $= 17$: $3$ રીતો.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 6 + 15 + 27 + 21 + 3 = 73$.
સંભાવના $\frac{73}{216}$ છે.

(C) ચેસબોર્ડમાં $8 \times 8 = 64$ ચોરસ હોય છે. બે ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{64}{2} = \frac{64 \times 63}{2} = 2016$ છે.
જો બે ચોરસ આડા અથવા ઊભા પાસપાસે હોય તો તેમની બાજુ સામાન્ય હોય છે.
આડી પાસપાસેની જોડીઓની સંખ્યા: દરેક હરોળમાં $7$ જોડીઓ છે,અને $8$ હરોળ છે,તેથી $8 \times 7 = 56$.
ઊભી પાસપાસેની જોડીઓની સંખ્યા: દરેક સ્તંભમાં $7$ જોડીઓ છે,અને $8$ સ્તંભ છે,તેથી $8 \times 7 = 56$.
કુલ પાસપાસેની જોડીઓ = $56 + 56 = 112$.
જે જોડીઓમાં કોઈ સામાન્ય બાજુ નથી તેની સંખ્યા $2016 - 112 = 1904$ છે.
સંભાવના $\frac{1904}{2016}$ છે.
બંનેને $112$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1904 \div 112}{2016 \div 112} = \frac{17}{18}$ મળે છે.

(B) $50$ માંથી ત્રણ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{50}C_3 = 19,600$ છે.
ત્રણ સંખ્યાઓ $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો $2b = a + c$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $a + c$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ,જે ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $a$ અને $c$ બંને એકી હોય અથવા બંને બેકી હોય.
ગણમાં $25$ એકી અને $25$ બેકી સંખ્યાઓ છે.
બે એકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{25}C_2 = 300$ છે.
બે બેકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{25}C_2 = 300$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $300 + 300 = 600$.
સંભાવના = $\frac{600}{19600} = \frac{3}{98}$.

(B) $52$ પત્તામાંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $C(52, 2) = 1326$ છે.
ડેકમાં $12$ ફેસ કાર્ડ હોય છે.
કુલ $13$ ફુલ્લી (spade) કાર્ડ હોય છે.
ફુલ્લીના ફેસ કાર્ડ $3$ છે.
ફેસ કાર્ડ ન હોય તેવા ફુલ્લી કાર્ડ $13 - 3 = 10$ છે.
આપણે $1$ ફેસ કાર્ડ અને $1$ ફુલ્લી કાર્ડ (જે ફેસ કાર્ડ નથી) પસંદ કરવાનું છે.
કિસ્સો $1$: $3$ ફુલ્લી ફેસ કાર્ડમાંથી $1$ અને $10$ ફુલ્લી કાર્ડમાંથી $1$ પસંદ કરવાની રીતો = $3 \times 10 = 30$.
કિસ્સો $2$: $9$ અન્ય ફેસ કાર્ડમાંથી $1$ અને $10$ ફુલ્લી કાર્ડમાંથી $1$ પસંદ કરવાની રીતો = $9 \times 10 = 90$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $30 + 90 = 120$.
સંભાવના = $\frac{120}{1326} = \frac{20}{221}$.

(C) આપેલ છે કે $A, B, C$ એ જોડીમાં સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B)$,$P(B \cap C) = P(B)P(C)$,અને $P(C \cap A) = P(C)P(A)$.
આપણને $P(\bar{B} \cup \bar{C}) = \frac{1}{2}$ આપેલ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(\bar{B} \cup \bar{C}) = 1 - P(B \cap C) = \frac{1}{2}$,જે સૂચવે છે કે $P(B \cap C) = \frac{1}{2}$.
$B$ અને $C$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(B)P(C) = bc = \frac{1}{2}$.
આપણે $P((\bar{B} \cap \bar{C}) \mid A) = \frac{P((\bar{B} \cap \bar{C}) \cap A)}{P(A)}$ શોધવાનું છે.
ગણના ગુણધર્મ મુજબ,$P((\bar{B} \cap \bar{C}) \cap A) = P(A) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C) = P(A)(1 - b - c + bc)$.
$bc = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$P((\bar{B} \cap \bar{C}) \cap A) = P(A)(1 - b - c + \frac{1}{2}) = P(A)(\frac{3}{2} - b - c)$.
તેથી,$P((\bar{B} \cap \bar{C}) \mid A) = \frac{3}{2} - b - c$.

(B) ધારો કે એક પ્રયત્નમાં છાપ અને $6$ મેળવવાની સંભાવના $p$ છે. છાપ મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે અને $6$ મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે. આ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,$p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$. એક પ્રયત્નમાં ન જીતવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{11}{12}$ છે.
$A$ રમત શરૂ કરે છે. $B$ ત્યારે જીતે જો $A$ નિષ્ફળ જાય,પછી $B$ સફળ થાય,અથવા $A$ નિષ્ફળ જાય,$B$ નિષ્ફળ જાય,$A$ નિષ્ફળ જાય,$B$ સફળ થાય,વગેરે.
$B$ જીતે તેની સંભાવના:
$P(B) = qp + q^3p + q^5p + \dots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp = \frac{11}{12} \times \frac{1}{12} = \frac{11}{144}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2 = (\frac{11}{12})^2 = \frac{121}{144}$ છે.
$P(B) = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{11}{144}}{1 - \frac{121}{144}} = \frac{\frac{11}{144}}{\frac{23}{144}} = \frac{11}{23}$.